Aplicaciones de Ec. en Diferencias a la Economía Economía Matemática.

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

1 / 21

Nota previa sobre raices complejas

Antes de ver algunos ejemplos aplicados a la economía, una nota sobre como llegamos a la expresión …nal de la solución de la ec. en diferencias de segundo orden cuando tenemos raíces complejas. Partiamos de yt +2 + a1 yt +1 + a2 yt = c Teniamos luego que a12 complejas.

4a2 < 0, entonces teniamos raices

Habiamos llegado inicialmente a que la solución de la homogenea era entonces yt = A1 (h + iv )t + A2 (h iv )t

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

2 / 21

Nota previa sobre raices complejas Esto lo podemos pasar de coordenas catesianas a coordenadas polares usando: h = cos θ R v = senθ R p p R = h2 + v 2 = a2 = modulo del número complejo θ = ángulo del número complejo Entonces yt yt

h v h v + i )t + A2 R t ( i )t ) R R R R = A1 R t (cos θ + isenθ )t + A2 R t (cos θ isenθ )t

= A1 R t (

Aplicando teorema de De Moivre ((cos θ + isenθ )t =(cos θt + isenθt ) y (cos θ isenθ )t =(cos θt isenθt )) yt = A1 R t (cos θt + isenθt ) + A2 (cos θt (FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

isenθt ) 3 / 21

Nota sobre clase anterior

Podemos ir un paso más yt yt yt

= A1 R t (cos θt + isenθt ) + A2 R t (cos θt isenθt ) = R t ((A1 + A2 ) cos θt + (A1 A2 i )senθt ) = R t (A3 cos θt + A4 senθt )

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

4 / 21

El problema del consumidor

El problema del consumidor en t es ∞

max∞ Ut =

f c t +i g i =0

∑ β i u ( ct + i ) ,

(1)

i =0

∞

s.a.

∞ ct + i yt +i = A + t ∑ i i i =0 R i =0 R

∑

R = 1 + r ; At =activos, yt =ingreso, ct =consumo, u 0 (ct ) > 0, u 00 (ct ) < 0. β=

1 1 +ρ

es el factor de descuento (ρ es la tasa de descuento).

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

5 / 21

Un problema simpli…cado El Lagrangiano del problema se puede plantear como " # ∞ ∞ ∞ y c t +i t +i L = ∑ βi u (ct +i ) + λ At + ∑ i ∑ Ri , R i =0 i =0 i =0

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(2)

6 / 21

Un problema simpli…cado El Lagrangiano del problema se puede plantear como " # ∞ ∞ ∞ y c t +i t +i L = ∑ βi u (ct +i ) + λ At + ∑ i ∑ Ri , R i =0 i =0 i =0

(2)

Entonces las (T ) condiciones de primer orden son: ∂L ∂ct ∂L ∂ct +1

= u 0 ( ct )

= βu 0 (ct +1 ) ...

(FCEA, UdelaR)

λ = 0,

Aplicaciones

(3)

λ = 0, R (4)

6 / 21

Un problema simpli…cado El Lagrangiano del problema se puede plantear como " # ∞ ∞ ∞ y c t +i t +i L = ∑ βi u (ct +i ) + λ At + ∑ i ∑ Ri , R i =0 i =0 i =0

(2)

Entonces las (T ) condiciones de primer orden son: ∂L ∂ct ∂L ∂ct +1

= u 0 ( ct )

λ = 0,

= βu 0 (ct +1 )

(3)

λ = 0, R

...

(4)

Entonces: u 0 (ct ) = βRu 0 (ct +1 )

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(5)

6 / 21

Un problema simpli…cado El Lagrangiano del problema se puede plantear como " # ∞ ∞ ∞ y c t +i t +i L = ∑ βi u (ct +i ) + λ At + ∑ i ∑ Ri , R i =0 i =0 i =0

(2)

Entonces las (T ) condiciones de primer orden son: ∂L ∂ct ∂L ∂ct +1

= u 0 ( ct )

λ = 0,

= βu 0 (ct +1 )

(3)

λ = 0, R

...

(4)

Entonces: u 0 (ct ) = βRu 0 (ct +1 )

(5)

A esta ecuación se la llama ecuación de Euler. (FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

6 / 21

Una función de utilidad especí…ca Supongamos que la función de utilidad tiene la siguiente forma u (ct ) = log ct

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(6)

7 / 21

Una función de utilidad especí…ca Supongamos que la función de utilidad tiene la siguiente forma u (ct ) = log ct Por tanto u 0 ( ct ) =

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

1 ct

(6)

(7)

7 / 21

Una función de utilidad especí…ca Supongamos que la función de utilidad tiene la siguiente forma u (ct ) = log ct Por tanto u 0 ( ct ) =

(6)

1 ct

(7)

Entonces la ecuación de Euler se puede expresar como: 1 ct ct + 1

(FCEA, UdelaR)

= βR

1

ct + 1 = βRct

Aplicaciones

)

(8) (9)

7 / 21

Una función de utilidad especí…ca Supongamos que la función de utilidad tiene la siguiente forma u (ct ) = log ct Por tanto u 0 ( ct ) =

(6)

1 ct

(7)

Entonces la ecuación de Euler se puede expresar como: 1 ct ct + 1

= βR

1

ct + 1 = βRct

)

(8) (9)

Esta es una ecuación en diferencia lineal de primer orden (es además homogenea). (FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

7 / 21

Una función de utilidad especí…ca

Esta es una ecuación en diferencia lineal de primer orden (es además homogenea).

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

8 / 21

Una función de utilidad especí…ca

Esta es una ecuación en diferencia lineal de primer orden (es además homogenea). Sabemos que la solución será de la siguiente forma: ct = c0 ( βR )t

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(10)

8 / 21

Una función de utilidad especí…ca

Esta es una ecuación en diferencia lineal de primer orden (es además homogenea). Sabemos que la solución será de la siguiente forma: ct = c0 ( βR )t

(10)

Tenemos que converge siempre y cuando ( βR ) < 1.

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

8 / 21

El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios.

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

9 / 21

El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios. El modelo se compone de las siguientes ecuaciones Qtd = B Qts =

(FCEA, UdelaR)

Pt 1 F + Pt 2

Aplicaciones

(11) (12)

9 / 21

El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios. El modelo se compone de las siguientes ecuaciones Qtd = B Qts =

Pt 1 F + Pt 2

(11) (12)

Condición de equilibrio: Qtd = Qts

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(13)

9 / 21

El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios. El modelo se compone de las siguientes ecuaciones Qtd = B Qts =

Pt 1 F + Pt 2

(11) (12)

Condición de equilibrio: Qtd = Qts

(13)

La primera es una ecuación de demanda usual. La cantidad de cerdos demandados depende negativamente de su precio.

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

9 / 21

El modelo del ciclo del precio de los cerdos Este modelo es útil para entender las subas desproporcionadas de los precios agropecuarios, así como sus dramáticas caídas (dicho de otra forma, sus ciclos). Se utilizó para entender la oferta y demanda de cerdos y la evolución de su precios. El modelo se compone de las siguientes ecuaciones Qtd = B Qts =

Pt 1 F + Pt 2

(11) (12)

Condición de equilibrio: Qtd = Qts

(13)

La primera es una ecuación de demanda usual. La cantidad de cerdos demandados depende negativamente de su precio. La cantidad ofertada depende positivamente del precio del cerdo del período anterior. Esto se debe a que lleva cierto tiempo el lograr cerdos adultos para la venta. Es decir la decisión de generar y vender más cerdos se toma en el período anterior con el precio de ese período. (FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

9 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos Pt =

(FCEA, UdelaR)

0.5Pt

1

Aplicaciones

+ (B + F )

(14)

10 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos Pt =

0.5Pt

1

+ (B + F )

(14)

Resolvamos esta ecuación en diferencias.

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

10 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos Pt =

0.5Pt

1

+ (B + F )

(14)

Resolvamos esta ecuación en diferencias. Ecuación homogenea: Pt =

(FCEA, UdelaR)

0.5Pt

Aplicaciones

1

(15)

10 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos Pt =

0.5Pt

1

+ (B + F )

(14)

Resolvamos esta ecuación en diferencias. Ecuación homogenea: Pt =

0.5Pt

1

(15)

La solución toma la forma Abt . Más particularmente: A( 0.5)t .

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

10 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Igualando oferta a demanda tenemos Pt =

0.5Pt

1

+ (B + F )

(14)

Resolvamos esta ecuación en diferencias. Ecuación homogenea: Pt =

0.5Pt

1

(15)

La solución toma la forma Abt . Más particularmente: A( 0.5)t . Encontremos la solución particular. Probemos con la constante P

(FCEA, UdelaR)

P

=

P

=

0.5P + (B + F ) ) 1 (B + F ) 2

Aplicaciones

(16) (17)

10 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Entonces la solución puede expresarse como: 1 Pt = A( 0.5)t + (B + F ) 2

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(18)

11 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Entonces la solución puede expresarse como: 1 Pt = A( 0.5)t + (B + F ) 2

(18)

Si tenemos el precio en el momento cero, podemos encontrar la constante A: 1 P0 = A + (B + F ) ) 2 1 A = P0 (B + F ) 2

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(19) (20)

11 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Entonces la solución puede expresarse como: 1 Pt = A( 0.5)t + (B + F ) 2

(18)

Si tenemos el precio en el momento cero, podemos encontrar la constante A: 1 P0 = A + (B + F ) ) 2 1 A = P0 (B + F ) 2

(19) (20)

Entonces la solución del modelo del ciclo del precio de los cerdos es: Pt = P0

(FCEA, UdelaR)

1 1 (B + F ) ( 0.5)t + (B + F ) 2 2 Aplicaciones

(21)

11 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Podemos analizar ahora la dinámica del modelo.

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

12 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Podemos analizar ahora la dinámica del modelo. Primero veamos el equilibrio (de estado estacionario). El equilibrio de estado estacionario lo de…nimos como Pt = Pt 1 (es decir cuando el precio no se está moviendo). Imponemos la condición de equilibrio a (14). Entonces:

(FCEA, UdelaR)

P

=

P

=

0.5P + (B + F ) ) 1 (B + F ) 2

Aplicaciones

(22) (23)

12 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Podemos analizar ahora la dinámica del modelo. Primero veamos el equilibrio (de estado estacionario). El equilibrio de estado estacionario lo de…nimos como Pt = Pt 1 (es decir cuando el precio no se está moviendo). Imponemos la condición de equilibrio a (14). Entonces: (22) 0.5P + (B + F ) ) 1 (B + F ) P = (23) 2 La convergencia al equilibrio está dada por el término ( 0.5)t de la solución: 1 1 Pt = P0 (B + F ) ( 0.5)t + (B + F ) (24) 2 2 P

(FCEA, UdelaR)

=

Aplicaciones

12 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Podemos analizar ahora la dinámica del modelo. Primero veamos el equilibrio (de estado estacionario). El equilibrio de estado estacionario lo de…nimos como Pt = Pt 1 (es decir cuando el precio no se está moviendo). Imponemos la condición de equilibrio a (14). Entonces: (22) 0.5P + (B + F ) ) 1 (B + F ) P = (23) 2 La convergencia al equilibrio está dada por el término ( 0.5)t de la solución: 1 1 Pt = P0 (B + F ) ( 0.5)t + (B + F ) (24) 2 2 P

=

Dado que ( 0.5) esta entre 0 y -1 sabemos que tendremos una convergencia oscilatoria al equilibrio, siempre que partamos de una situación de desequilibrio. (FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

12 / 21

El modelo del ciclo de los precios de los cerdos Supongamos que partimos de un P0 = 1 y que B = F = 5. Simulemos la convergencia.

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

13 / 21

El precio de los activos ¿Qué es lo que determina el precio de una acción? ¿Por qué los individuos mantienen este tipo de activos en su poder?

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

14 / 21

El precio de los activos ¿Qué es lo que determina el precio de una acción? ¿Por qué los individuos mantienen este tipo de activos en su poder? Básicamente por 2 razones: ellos esperan recibir los dividendos que estas acciones pagan y además porque pueden tener la esperanza de que el precio de las mismas suban.

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

14 / 21

El precio de los activos ¿Qué es lo que determina el precio de una acción? ¿Por qué los individuos mantienen este tipo de activos en su poder? Básicamente por 2 razones: ellos esperan recibir los dividendos que estas acciones pagan y además porque pueden tener la esperanza de que el precio de las mismas suban. Un modelo simple (donde ignoramos las expectativas de los agentes!) puede ser formulado de la siguiente forma: Pt =

(FCEA, UdelaR)

Pt +1 + dt +1 1+r

Aplicaciones

(25)

14 / 21

El precio de los activos ¿Qué es lo que determina el precio de una acción? ¿Por qué los individuos mantienen este tipo de activos en su poder? Básicamente por 2 razones: ellos esperan recibir los dividendos que estas acciones pagan y además porque pueden tener la esperanza de que el precio de las mismas suban. Un modelo simple (donde ignoramos las expectativas de los agentes!) puede ser formulado de la siguiente forma: Pt =

Pt +1 + dt +1 1+r

(25)

Es decir, el precio que estamos dispuestos a pagar por la acción depende de los dividendos que podemos recibir en el próximo período y el precio de la acción en ese período. Ambos descontados al día de hoy por la tasa de interés. (FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

14 / 21

El precio de los activos Notar que Pt Pt +1 Pt +2 Pt +n

(FCEA, UdelaR)

1

Pt +1 + dt +1 1+r Pt +2 + dt +2 = 1+r Pt +3 + dt +3 = 1+r ... Pt +n + dt +n = 1+r

=

Aplicaciones

(26) (27) (28) (29)

15 / 21

El precio de los activos Notar que Pt Pt +1 Pt +2 Pt +n

1

Pt +1 + dt +1 1+r Pt +2 + dt +2 = 1+r Pt +3 + dt +3 = 1+r ... Pt +n + dt +n = 1+r

=

(26) (27) (28) (29)

Si utilizar el Pt +1 de la ecuación (27) en la ecuación (26): Pt =

(FCEA, UdelaR)

P t +2 + d t +2 1 +r

+ dt +1

1+r Aplicaciones

=

Pt +2 + dt +2 dt +1 + 2 (1 + r ) 1+r

(30)

15 / 21

El precio de los activos Ahora podemos utilizar el Pt +2 de la ecuación (28) en la ecuación (30): Pt

=

Pt

=

(FCEA, UdelaR)

P t +3 + d t +3 1 +r

+ dt +2

dt +1 ) 1+r Pt +3 dt +3 dt +2 dt +1 + + + 3 3 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) 1+r

(1 + r )2

Aplicaciones

+

(31) (32)

16 / 21

El precio de los activos Ahora podemos utilizar el Pt +2 de la ecuación (28) en la ecuación (30): Pt

=

Pt

=

P t +3 + d t +3 1 +r

+ dt +2

dt +1 ) 1+r Pt +3 dt +3 dt +2 dt +1 + + + 3 3 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) 1+r

(1 + r )2

+

(31) (32)

Si seguimos repitiendo este procedimiento hasta el momento t + n: Pt =

(FCEA, UdelaR)

Pt +n dt +1 dt +n + ... + + n 1+r (1 + r ) (1 + r )n

Aplicaciones

(33)

16 / 21

El precio de los activos Ahora podemos utilizar el Pt +2 de la ecuación (28) en la ecuación (30): Pt

=

Pt

=

P t +3 + d t +3 1 +r

+ dt +2

dt +1 ) 1+r Pt +3 dt +3 dt +2 dt +1 + + + 3 3 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) 1+r

(1 + r )2

+

(31) (32)

Si seguimos repitiendo este procedimiento hasta el momento t + n: Pt =

Pt +n dt +1 dt +n + ... + + n 1+r (1 + r ) (1 + r )n

(33)

Si hacemos que n ! ∞ tendremos:

∞ Pt +n dt +i + ∑ n i n ! ∞ (1 + r ) i =1 ( 1 + r )

Pt = lim

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(34)

16 / 21

El precio de los activos Si suponemos que no existes burbujas en este mercado, es decir que los precios no pueden crecer hasta in…nito tendremos que lim (1P+t +rn)n = 0 y entonces n !∞

∞

Pt =

dt +i

∑ (1 + r )i

(35)

i =1

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

17 / 21

El precio de los activos Si suponemos que no existes burbujas en este mercado, es decir que los precios no pueden crecer hasta in…nito tendremos que lim (1P+t +rn)n = 0 y entonces n !∞

∞

Pt =

dt +i

∑ (1 + r )i

(35)

i =1

Ahora si suponemos que los dividendos son constantes entonces tenemos que: ∞ 1 d (36) Pt = ∑ (1 + r ) i =0 ( 1 + r ) i

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

17 / 21

El precio de los activos Si suponemos que no existes burbujas en este mercado, es decir que los precios no pueden crecer hasta in…nito tendremos que lim (1P+t +rn)n = 0 y entonces n !∞

∞

Pt =

dt +i

∑ (1 + r )i

(35)

i =1

Ahora si suponemos que los dividendos son constantes entonces tenemos que: ∞ 1 d (36) Pt = ∑ (1 + r ) i =0 ( 1 + r ) i ∞

Notar que ∑

i =0

1 (1 +r )i

∞

=∑ i =0

1 i 1 +r

=

1

Pt = (FCEA, UdelaR)

1 1 +r

1

Aplicaciones

d r

=

1 +r r .

Entonces (37)

17 / 21

El precio de los activos Ahora si los dividendos son constantes nosotros podemos resolver el problema usando la sol. de la ec. en diferencias (25) Pt =

(FCEA, UdelaR)

Pt +1 + d 1+r

Aplicaciones

(25)

18 / 21

El precio de los activos Ahora si los dividendos son constantes nosotros podemos resolver el problema usando la sol. de la ec. en diferencias (25) Pt =

Pt +1 + d 1+r

(25)

Esto se puede expresar como: Pt +1 = (1 + r )Pt

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

d

(38)

18 / 21

El precio de los activos Ahora si los dividendos son constantes nosotros podemos resolver el problema usando la sol. de la ec. en diferencias (25) Pt =

Pt +1 + d 1+r

(25)

Esto se puede expresar como: Pt +1 = (1 + r )Pt

d

(38)

d)

(39)

La solución particular es ("el equilibrio"):

= (1 + r )P d P = r P

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(40)

18 / 21

El precio de los activos La solución de la ecuación homogenea: Pt +1 = (1 + r )Pt

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(41)

19 / 21

El precio de los activos La solución de la ecuación homogenea: Pt +1 = (1 + r )Pt

(41)

Probemos con la solución Ab t : Abt +1 = (1 + r )Abt ) b = 1 + r

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

(42)

19 / 21

El precio de los activos La solución de la ecuación homogenea: Pt +1 = (1 + r )Pt

(41)

Probemos con la solución Ab t : Abt +1 = (1 + r )Abt ) b = 1 + r

(42)

Pt = A(1 + r )t

(43)

Entonces:

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

19 / 21

El precio de los activos La solución de la ecuación homogenea: Pt +1 = (1 + r )Pt

(41)

Probemos con la solución Ab t : Abt +1 = (1 + r )Abt ) b = 1 + r

(42)

Pt = A(1 + r )t

(43)

Entonces: Entonces la solución general es: Pt = A(1 + r )t +

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

d r

(44)

19 / 21

El precio de los activos

Si conocemos P0 podemos determinar A: P0 = A + A = P0

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

d ) r d r

(45) (46)

20 / 21

El precio de los activos

Si conocemos P0 podemos determinar A: P0 = A + A = P0

Por tanto: Pt = P0

(FCEA, UdelaR)

d ) r d r

d d (1 + r )t + r r

Aplicaciones

(45) (46)

(47)

20 / 21

El precio de los activos Por tanto: Pt = P0

(FCEA, UdelaR)

d d (1 + r )t + r r

Aplicaciones

(48)

21 / 21

El precio de los activos Por tanto: Pt = P0

d d (1 + r )t + r r

(48)

Notar que como (1 + r ) > 1, no tenemos convergencia, y los precios son explosivos en este mercado si partimos de un precio distinto a dr .

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

21 / 21

El precio de los activos Por tanto: Pt = P0

d d (1 + r )t + r r

(48)

Notar que como (1 + r ) > 1, no tenemos convergencia, y los precios son explosivos en este mercado si partimos de un precio distinto a dr . La única forma de que el precio no tienda a in…nito es que P0 = dr .

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

21 / 21

El precio de los activos Por tanto: Pt = P0

d d (1 + r )t + r r

(48)

Notar que como (1 + r ) > 1, no tenemos convergencia, y los precios son explosivos en este mercado si partimos de un precio distinto a dr . La única forma de que el precio no tienda a in…nito es que P0 = dr . Precisamente a este precio habíamos llegado antes suponiendo que no existían burbujas en el mercado de acciones.

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

21 / 21

El precio de los activos Por tanto: Pt = P0

d d (1 + r )t + r r

(48)

Notar que como (1 + r ) > 1, no tenemos convergencia, y los precios son explosivos en este mercado si partimos de un precio distinto a dr . La única forma de que el precio no tienda a in…nito es que P0 = dr . Precisamente a este precio habíamos llegado antes suponiendo que no existían burbujas en el mercado de acciones. Por tanto hemos llegado por dos vías alternativas a que el precio en un mercado de acciones donde no existen burbujas debe ser: Pt =

(FCEA, UdelaR)

Aplicaciones

d . r

(49)

21 / 21