ESTADISTICA ESPAÑOLA Núm. 91, 1981, p^gs. 23 a 52

Aplicaciones del espacio de H i lbert a la estad ística por FRANCISCO JAVIER URBELZ IBARROLA Catedr^tico de Estadfstica Universidad de Santander

RESUMEN

En este trabajo se estudian los axiomas para la formación de un espaciu de Hilbert de natur•aleza estadística definiendo los elementos pertenecientes al espacio comu funciunes, variables estocásticas u procesos estocásticus, Se cumpletan las definiciunes de la operación interna de^nida en los axiomas que en el casc^ de ser funciones, éstas deben ser de cuadrado iniegrables; y en el de variables estocástieas, el axioma del producto interno es una esperanza matemática. Nu se estudian lus prucesus estucásticus, pero se comprende fácilmente que lus elementos s^n prucesus y el productu interno son esperanzas matemáticas euincidiendo con las funciones de covarianza. Si lus elementos sun funciunes, toda la Teoría de las Funciunes Ortog^nales puede desarrullarse y una función de densidad puede converger en media cuadrática en desarrullos cunucidus que se deducen corno casos particulares. Si los elementos son de naturaleza estucástica, son un conjunto de variables estcx:ásticas, puede cunstruirse una base aleat^ria urtogonalizada y toda variable distinta puede desarrc^llarse calculando sus coeficientes regresures que son ias coordenadas de los elementos aleatorios ortogonali-

ES7ADISTtCA ESPAÑO^.,A

tadus. Se estudian el hiperplanu, recta y plano de regresión como casos particulares. Finalmente, la distancia al cuadrado de la variable regresura sobre el hiperplanc^ de regresicín, no es sinu la varianza residual y que es nuia c;uando la variable regresora sea un puntu del hiperplano. En este caso la dimensionatidad es la del subespacio euclideu. Pulabrus clave: Espacio de Hilbert: funciunes urtugunales en el espaciu de Hilbert; espacio estocástico de Hilbert.

1.

INTR(JDUCCIUN En este articulo expondrem^s brevemente el cunceptu de espaciu de Hilbert y su

fundamentación axiomática para dedicarnos, en principiu, a las aplicaciunes estadísticas en sus dos aspectus: cuando !us elementus correspundientes son de naturaleza funcional a estocástica. En las aplicaciones funcionales trato, en principio, de las funciones ortoganales en general y especialmente d^edico atención preferente a las funciones de Fuurier para, entre otros, dem©strar la relación entre la función característica y su función de densida+d. Siguiendo ei mismo método de las funciones ortogunales (generalizadas respecto a una función ponderativa o núeleo) estudiaremos, a título de ejemplu, algunos desarrollos sencillos, como sun los de Charlier y de Hermite. De forma semejante pocirían construirse polinomios ortogonales, cumo sun lus de Legendre, Thebychev, Laguerre, Hermite, etc., yue comentaremos brevemente. La segunda parte de nuestro estudio, preferentemente la dedicamos al espaciu estocástico de Hilbert. En esta parte puntualizaremos la métrica de este espaciu que, como se verá, son esperanzas matemáticas. Es importante la formación de elementos estucásticus urtunurmalizados; es decir, construir una base y cualquier elemento de naturaleza estocástica representarlo en esta base. La determinación de las coordenadas en la base elegida es similar a la de naturaleza funcianal. Consecuencia inmediata es la posibilidad de representar una recta o un plano de regresión por medio de la base estocástica ortonormalizada elegida, que tiene la propiedad de ser mínima la varianza residual.

APLrCAC[ONES DEL ESPACIO DE HILBERT A LA ESTADIST1Cw

2S

ESPACIO DE H 1LBERT

2.

AXIUMÁTICA

2.1.

A finales del síglo pasado se estudiaron las propiedades primarias de matríces. Los métodos de Algebra Lineal estudian los conceptos de espacios y se aplican a sus transformaciones, formas de operadores, proyectores, etc., aunque, como dice Máltsev (*), el objeto del Algebra Líneal es eI estudio de las «matrices, espacios y formas algebraicas, cuyas teoñas están estrictamente vinculadas» . Son inmensas las aplicaciones a la Estadística y a la Econometría y he creída necesario dedicar estas breves páginas en farma elemental al estudio de los conceptos básicos de los espacios de Euctides y de Hilbert, para después apliearlos a la Estadtstica. En los espacios abstractos se denominan elementos a un conjunto de puntos, ^^uriubl^s estuc•c^sticUS, vectures, func•iunes que gozan determinadas propiedades, que se establecen como axiomas o postulados. Particularmente importantes son los espacios euclideo -de n dimensiones--- y el espacio de Hilbert, de in^nítas dimensiones, Sintetizaremos la axiomática para ambos espacios, representanda por H el espacio de Hilbert o euclideo --,n dimensiones--; pero cuando expresamente nos referimos al euclideo, representaremos el espacio por Hn, indicando el subíndice la dimensionalidad.

I.

AXIOMA DE GRU PO

Dadus dus elementos pertenecientes al espacio x, e y E H está definida la operación adición, cun las propiedades de poseer el elementu neutro, e1 simétrico (la operación adición es conmutativa y asociativa).

I l.

AXIUMA DE LINEALI DAD

Para tudo x E H y para c ualquíer número completu está definida la operación producto cx u c• x, que goza cc^n resp+ecto a la adición de ser distributiva a derecha e izquierda, y en cunsec uencia, si .x, y^ H, c• (x + y)= c•x + c•y E H; c(dx) _(cd )x E H, donde c y d son números esealares cualesquiera. EI producto por 0 y 1 son: Ox = 0, i • x = x. (*)

A. I. Máltsev: «Fundamentos del Algebra LinealN, pág. 12, Editorial Mir. Moscú, 1972.

ESTAiDIST I^CA F,SPA1401.A

26

AXIt}MA Mf~.TRICO

lll.

Se define una uperaci^n interna (también denuminada pruducto interno) con las siguientes propiedades: Si x, y E H denominamos producto interno al número compleja (x, y}, que cumple las siguientes condiciones: (x, y } ^ ( y. x }

(ax, y)= a( x, y)

a un escalar cualquiera.

(x + y, ^ ) - (x. z ) + (y, w } (^rx + by, ti)= a( x, z)+ b( y, ^) (x, uy )= á(x, y)

[1) corulario de las dos precedentes.

igualmente curolariu de las dos primeras, y también

( x. -x ) ? a Se denornina longitud de x o norma: llxll = (x, x ) in

,

[^)

y al pruductu: tx - y. x- y)'^2 = Ilx - y/^

[3]

Se llama distancia del elementu x al elementu y; si es cero, x= y, y mayur que cero cuando x ^ y.

IV.

AXIOMAS CUMPLEMENTAR!OS DE HILBERT

Axiumas de ccanvergencia. Dus axiomas se introducen en este espacio: u)

Prupiedad de Cauchy. 5i x„ E H y dado un E> 0 por pequeño que sea, si para

un n> N se verifica: lIX n-- xn +p II ^ E

[4)

existe un elementu x al que cunverge x„ lim Ilx - xnll = U n-+ x

Suele sustituirse este axioma pur la propiedad denuminada espacio cumpleto.

[Sl

27

APLtCACI^UNES DEL ESi'ACl4 DE HIi.BERT A LA ESTADISTICA

b) Separabilidad. Cuando hay una sucesión (x; E H) al que se aproxima a x E H con error arbitrariamenie pequeño, podemos del espa^io H extraer una sucesión de elementos de z,^ E H, de forma que: //x - x„ // < ^

[6]

Se denomina a esta propiedad espacio separable cuandu el error es arbitrariamente pequeño.

2.2.

CONCEPTOS DE ORTOGONAL.IDAD

Dados dos elementos x, y E H se denominan ortogonales cuandu: ,

(x,y)=o

La ortogonalidad se representa también de la forma: x y En el caso particular, si para x E H, el praducto escalar es:

C21

(x, x ) = 1 se denomina a1 elemento x que está normalizado u tiene módulo unidad.

En un conjunto de puntos: eti E HM (h = 1, 2, 3, ..., n) que pc^seen las prupiedades [i] y [2)^ leh^ ek) ^ btik

h=k

b hh . = 1

h ^k

óhk=0

L3 ^

donde ^^ es el símbolo de Kronocker. Tal cor^junto de puntos eh se denomina: elementos ortonormalizadus. En una sucesión x,, x 2, ..., x,^ de elementos de H{o de Hn) que cumplen la [ 1] pur los axiomas [ l] de 2.1, s u prod uc to interno es: llx, + x2 + x3 + ... + x„ll2 = llz,ll2 + llx2/l2 + llx3/lz +

Si el espacio es de Hilbert, la expresión [4] //z/IZ = lim

... + llx,^ll2

[4j

28

ESTADISTICA ESPAÑOLA

Cuando x es urtogon;a^.l a t^^d^^ elementc^ de un subconjuntu L de H decimus yue es vrtugunal a L y escribirnos x^L. Si L, y L; sc^n das subconjuntos, tales que todo elemento de [., es urtogunal a tudu etementu de L^, diremus que ambos subconjuntos son ortugonales si cumplen [ 1 ^ para tudos !us elementus de los subconjuntus correspondientes.

2.^.

Ct)ORDENADAS DE LUS ESPACIOS H,^ Y H

Sea el conjunto [3) de 2,2 de elementos ortonormalizados, pudiendo ser n elementos (espacio euclidec)} u un cunjunto numerable (espacio de Hilbert). Tcadu punto x E H^ (u x E H> es representable por una cumbinación tineal. x=.C ^E' ,-^- x,E' 2^-

...

-4-

X ^C' n

X; E

^

[1]

dunde ^^; sun los elementus básicos [3] de 2.2 urtunurmalizados. Si n tiende a infinito, el puntc^ x ^ H. [2] Multiplicando escalarmente ta [ 1] por ^; tenemos: t.x, e;) = x;

[3]

recurdando 1as [3j de 2.2. A x; se denumina la cc^ur^denada x;, y x puede representarse en función de sus courdenadas por la [ l] o una sucesión urdenada:

x - (x ,, x ^, . . . , x;, . . . , x„ )

[4]

Cuandu x^ H, la sucesión de las coordenadas se extiende a infinito.

2.4.

PROCES(.) DE E)RT(^UNALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT

Hemus partido de la hipótesis que conociamos una base en un espacio H,^ o H. A veces se desconuce, y el métc^do de Schmidt se utiliza en los espacios funci^nales para determinar una base. Sea: v ^, v 2,

un sistema de eiementus pertenecientes a un espacio H.

[1]

APLICACIONE3 DEl. E3PAC10 DE HII.:BERT A LA ESTADISTICA

Se pretende construir un sistema ortonormalizado: (e ,, e ^, . . . )

C2l

de forn^a que el elemento e j se expresa en función lineal de los elementos v^, ^^^, ..., v,,, En principio, formemos los elementos e^ auxíliares de la forma siguiente y a partir de ellos los elementos e j, que son ortonormalizados: v, (v,, v,) t^t e2 = v2 - (v2, e,)

;

e7 .^(P^• ^Pí

e3 = v^ -(v^, e,)e, -(v2, e2)e^;

e^ _ (e3. e3)

e^ -- Vn

- ^ (Vn,

ei)^i;

^PA

[3]

=

Vf (en^ e^)

i=1

Los vectores e^ son auxiliares y de los ei se comprueba la ^rtogonalización de manera sencilla. Para: (e 2, e,) _ (v2, e,) -(v2, e,)(e,, e,) = 0

por la [ 3] . Supuesto j ^ n por ind ucción, (eR^

ej^

- (vn ^

^j^ - ^(^n• ei) (ei^ ej)

_ (vn, ej) -. (vn, ej) ^. p

y la normalización de las vectores o elementos e; es inmediata a partir de los auxiliares.

2.5.

DISTANC[A MÍNIMA DE x E H A UN SUBESPACIO Hn

El problema planteado es encontrar una descomposición de x en dos: uno perteneciente al espacio Hn y otro y^ Hn, de forma que y H„ x = x' + y

[1)

ESTAD^Si'ICA ESPAÑOL,A

1✓ 1 elemento .x' E H„ será combinación lineal de los elementos básicos de este subespacio:

x'

[2)

_ ,% , aiFi

Resalveremos por rnayor sencillez en el caso de ser los elementos x E H reales, en cuyo caso para dx, y E H será:

[3l

(x. y ) = (y. x ) de acuercio cun el axiuma métrico [ l l de 2.1.

La distancia al cuadrado //D//2 es:

llDll2 = lfx - x'll2 =

x- ^ a ie i, x-^ a^e^ _

_ (x, x ) _ ^ {x , e^)2 +

^'

^i)

- ai^2

La distancia //D// no depende de los dos primeros sumandos y sí del término no negat i vo:

[{

[5]

Si elegimos: ai - ^^• ^i) = Xi

se anulan todos los términos de [S] y el valor mínimo de [4] se reduce:

min //D//2 - (x, x) -

^ ( x, x )

-..

^ ,JC ? i=1

recordando la [6].

[6]

APLiCAC^fJNES DEL ESPACIO DE H1L8ERT A LA ESTADISTICA

La [ l] la escribiremos sustituyendo a, por los valores determinados por la [6]:

x' _

r f=1

Si las coordenadas se han elegido según la [6] de la [ 1] y[7] deducimos para t^v, y):

(y. .v ) _ (x, x ) - ^, X;

Cy)

i=1

La distancia x a su aproximación x', combinación linea! x' E H^, puede hacerse tan pequeña como queramos. Si el conjunto es denso, decimos que x se puede aproximar con expresiones lineales con «error cuadrático» y escribimos: A

[ 10]

x' ? ^ x;e i i=1

Cuando n-♦ ^ y el error tiende a cero, llamacnos convergencia cuadrática a la expresián [ 10].

3.

3.1.

FUNCIONES ORTOGONALES EN EL ESPACIQ DE HILBERT

GENE1tAL1DADES

La eleccibn de ios elementos básicos pertenecientes a Hilbert pueden ser funciones según d^j imos y s ubrayamos en 2.1. En tal caso, se define previamente el campo de variabilidad C =(a, 6), que supondremos un intervalo cualquiera. Llamamos sucesión de funciones ortonormalizadas dentro del intervalo (a, b) a:

^o, f^, ^^, . . . , .fn

[1]

con las condiciones:

0

b

^

,f;f dx = Fi;; --

0

1

[2]

32

ESTADISTiCA ESPAÑOLA

Definamas la uperación:

I.

para

6

^.K'dx

C3l

b,,f', g y examinemos si podemos formar un espacio funcional de Hilbert, con los siguientes axiomas: I.

A x^oMA DE GRUPo

Dadas dos funciones de [ 1] cualquiera f, g E H, la suma f+ g E H; la diferencia j' -^^ E H; existe un elemento neutro y el simétrico que pertenencen a H. 1 I.

AXIOMA DE LIN EA LI DAD

Dadas dos funciones cualesquiera^}; K E H y los números cumplejos a y b, uf + +bgEH. 11 ^ .

AXIOMA MÉTRICO

Para

df; g, h E H, c on la definic ión dada en [3) para el pr^^ductv escalar son inmediatas las relaciones:

d IV.

u)

DE CUNVERGENCIA

CritE^ri^^ dE^ ^ur^c^hy ^iikn, ,^^ E H ll,^ n -- ^Qn+pll C £

existe un elemento g E H tal que: lim //g - gn// < ^:

[6l

n -+ x

b)

S^^urubilidud

Se puede elegir una sucesicín de funciones pertenecientes a H, de forma que si gn E H todo f E H puede expresarse con error arbitrariamente pequeño.

APLiCACl4NES DEL ESPACIO DE HIL$ERT A LA ESTADISTICA

3.2.

33

REPRESENTACI6N POR FUNCIONES ORTOGONALES

Si f E H dada la sucesión de funciones [ 1), cumpliendo la [2] de 3. i podemos representar la combinación lineai: ^ A ' a NO

+ a ^ f ^ -4- , . . -f- a ^n

siendo la coordenada: b a k=

f• fkdx

[ 2]

0

deducida de la distancia mínima de f a la combinación [ 1] y de forma semejante como hemos deducido en 2.5. La distancia f a la combinación lineai [ l] cuando sea menor que E debe suceder: b

/f -- g /Zdx < E

l/,f' -- g llz =

C31

a y en este caso escribiremos: „ ^ ? ^akfk=^n k=1

Si f(x) es una función de cuadrado integrable, el error disminuye al agregar términos en [4] y cuando la distancia tiende a cero estamos en el concepto b) del Axioma 1 V de convergencia de 3.1 respecto a ser el espacio funcional separable.

3.3.

CONVERGENCtA UNIFORME Y CUADRÁTICA

La convergencia uniforme de una función f(x) aproximada por una combinaci©n lineal [ 1] de 3.2 para x E(a, b} es: l.f(x} -- g(x)/ < E aproximándose uniformemente a f(x} en ei intervalo (a, b). La convergencia uniforme de g(x) -♦ f(x) en {a, b) implica la convergencia cuadrática.

.f(x) _ ^(x)

[2]

34

F STADISTICA ESPAÑIJLA

^r^rque la ciistancia de j^(_x f a k(x ) :^egún [3J de 3.2 será:

f

n !/^(_r ) - ,^r^(.x)/^clx < ^.^(h - u} ^ f.,

[3l

k' (x )^ = .Í(-x )

j4]

recurdandu la [ I j; luegu:

^.4.

F'UNCICINHS C1RTONC)RMALIJADAS DE f^OURIFR

La :^ucesi©n dc^ f^^nciunes [ I] cie 3. 1 eitntru de^ camno -u. +u, ^uc^^ie ser: 1

.l ^^ ^( X ) -

^ 1

f^,(x 1-

I

.Í^^(.z ) =

nx

c:us

sen

rc .^r

u

,..., j'^-i(x) --

, ..., .t^z^(x )

-

u

I

1

cus

sen

^

nrcx

n rc x

u

h^sta sucesiá^ n cie funciunes se cum^rueba sencillamente yue es una base urtunormalizacia c^e un espac:iu func:ie^nal ^ur 1as ^rc^^iedades de las integrdles de senus y cusenos. L.a re^retientac icín c', ^^ u n eleme ntu ,j^ e^ pur el cc^nj unto de sucesiones urtonormatildcias cie Fuurier re^resentandu u',^ y h;^ las cuurc^enadas en este espaciu es: cl;,

.f^(_r) -^

+

i

l

^

nx

nTCX

^

.,+ ^ u

u'n se n

+ h', se n

U', CUS

+ h;^ se n

U

n _z -

+

U

i?TtX

+ ... + (n = t. 2, 3...)

u

[2)

u

^ur la [2] cie 3,2, tenemus:

.f^(,x).

I ^ ^ u^^ ^ ^

. f ^( x )dx

[3J

nx cus [1 ^

u U

=

-

.f(•^Í. V ``

.% ( x ) ^ CUS -u ^ tl

TL X 1fX CI

=

APLtCACl4NES DEL ESPAC't0 DE HILBERT A LA ESTADISTICA

1

Ía

Jt X

,j ( X I Cl)S

= ^--

3S

CI.r

ll

a _ -a

TC X

sen b'^ _ ,f '( x ) ,

^

.f ^C x ) ^en

^

ll

6

1 G'n

u

u

=

rc .r

ci.r

cl

-a

rt n x ,^ (X ) CUS

[ 4a ]

G>'K U

(n - l, ?, 3...> 1

b'n -

-a (1

^.5.

f'( x ) se n

nnx

-a

[4b^

c^.x

C1

F^UNCIÓN CA^2ACTERiSTiCA

A partir de la [2] en 3.4 pudemos deducir la función ^aracterística en t'elación cun la funCión de densidad. Sustituyendu en [2] las cuurdenadas [4a] y[db] tenemus:

.Í^( x ) =

1

a

^,^_a

Jf

n=

nnt + sen

sen

^

^

+

c:us

cl

u _ _a

u

c1t ^

x

-a

+

'

-a

clt =

t^us ll

r_

a

^ _f ^{ t )dt ^ -a

^ n=1

a

+^..-_ f'( t) c: u s

a

^

111t (1 (1

1_ -a

rt 1t ( t -.^ }

!?TC(! ^ -a

- .^ ^ (/l

.t { l ) C U S

c^t -

U

,f (! ) CuS

- .^ ) .

/`l 1L { j

^ , f ^( t ) n - 1 ^l -a

-a

1

^t rc x

cus

a

^ f ^( t )út ^tl

rt tt t

°

nnx

a

-

t

f^( t )dt + ^ - ,/^( t )

- X)

ÚI

+

N STADISTICA ESPAÑ4LA

^^>r ^;er la t^iln^ic^n ^^^,^^n^^ t^un^ir;^n ^^r. Prc.•^iti^mc.•ntc:• ^^^r c•tita ^irc:unst^^ncia y pur ser la t`un^ ión ^^sn^^ im^^r. I^i j 1 j e^ iguat : I

. /'( .^r ^ _

"

nrc(t J'( t ^

?rt

n

u

rtn(t + r ^en

_a

ut

u

^(' n^t(I-xj ^^

=

c^

^ ^,

) ,f ^t ^

-

_r )

^• us

a

-a

Si hac^ m^^s rt rc

_^. - 11 ^^ ^um« rt

[31

N `uan^iu v^rri^i ^ic,• rr a ^t + I, Ientm^^s yue e{ inc:rement^^ de l^ es: (rr

+ I )n

rt n

n

-

_

[4]

- - d r, (1

(1

tl

Lle vanclu este vdl^^r ^ la ^?^. tc.•nc^m^^s: ^

-a

f ^t r > ^1 r ^ (-

. / ^( _C t =

á r^

[ 2' ]

u

2rz -u

y ^uan+^^^ (1 ---^

uc! -x ^i^

^,^^+^ tiende a I^^ dit'erenrial (lrr y la sumaturia [2' ^ a una integral:

. f (.r ) _

^

r

('

:/1!

r

,

f.(t )(^,t,^t

c' -r,xi^Íll

2 ^L

n(I -x li

-^ ^

I ,/^(.r )

^

. f ( t )(!l

2>^ - ^

[S ^ ^

-1

-Y

E.lam^indu t`un^iún earaetc:rísti^a a la ex^resión: ^

f. ^(^(ll)

_

%(1)('

irN^ 1^t

_y

=

iux^ .f tX)('

C^X

[6j

-,^

Su^tituyenciu c:n (^'j tc:nc:me^s yue e^^inciciiencic^ esta función puede determinarse la t`un^ ic^n c1e cit nsiclac^ de ^r^^babil idad . Su^tituyendu la [6^ en la [5' j tenemc^s: 1 , f ^(.X )

'

_

(, -r^xi ^h ^l/ )CÍl! 2r C

- _r_

[%^

APLICAClUNES DEL., ESPAClO DE NtLBERT A LA ESTADISTICA

37

La reciprucidad de las expresiunes [b] y[7] es bien cunc^cida y cc^mu prt^tendiame^s, hemus demustradu estas fórmulas cunuciendu las expresic^nes urt^^nurmalizadds de Fourier. Para que f(x ) sea desarrullable en serie de Fuurier [ 1] debe cumplir las cundiciunts de Dirichlet: tener un número finitu de díscuntinuídades en el períudc^; tener un númcru finito de máximus y mínimos, y a

1 4.

l, f '( x } l^lx { -r_

FUNCI(^NLS URTUGtJNAL^-^S EN FL ESPACIU DE: H I LBE-:RT RH SNN CT(^l DE UNA FUNCIUN PUNDFRATIVA (NUCLEU)

4.1.

AXlOMÁTlCA

Este casu puede reducirse al estudiadu en 3. Unicamr;ntc, tl Axiuma lll es dunde la operación escalar tiene una signiticación diferente. Los Axiomas 1, 11, Ill y[V de 3.1 se dan pur re^ruducidus y entunc:es en el Axiuma métrico 111 se intruduce la función punderativa 1^ {x ) > 0

[1I

denaminada núcleo. Sea un conjunt.u de funciunes:

.f;,, .f^,. .^^,. ..., .1^n

[21

definidas en un intervalu (u, h), la uperación escalar d./; k c^ H respec:t^^ ciel núcleu lr {x) se detine así: b

.Í (-^)^^(.r)Il(x)c!X

Cl. ^') -

(3]

u

A veces representamus pc^r una integral de Stieltjcs-L.thc^sg^ie ^un t^unción p^^nderativa dF(x) >_ 0. La (3J se definiría: h Cf , k ) - .t'( x ) ^' ( X ) cl F ( .r } a

38

Es^rAa^cw ^:s^w^cxr^

Si [^] son funciones de1 espacio funcional de Hilbert respecto del núcleo h(x ) o dF(x) (según sea [3] o[^`]), se puede reducirlas al espacio funcional estudiado en 3, sólo haciendo la sustitución de las funciones [2^ por las nuevas: k;(x} _ }'.(x)

h(x)

[4]

habiendo eliminado el ní^cleo .

4. Z.

(,,^RTOC,oNORMA^LIZACIÓN Y COORDENADAS

I?ecimos tenemos una base ortonormalizada

S',(x), g2(x)...

[1)

respecio del núcleo h(x ) cuando se cumple: b 8;(x)g,;(x)h(x) = b;;

t8;(x), g^ix}) =

[2)

a

Una función f(x) E H puede expr^esarse por una combinacián lineal de la base [ 1]. f(x) = a,g,(x) + a^g^(z) + ... + a„g'(x} + E(x)

[3]

EI térrnino E(z ) se el ige de forma que sea minima la distancia de f{x ) a la expresión: f^ {x ) = a ,g , (x ) + a ^g 2 (x ) + . . . + a,^g„(x )

[4)

La distancia de f„(x) a f(x) se determina por el producto escalar: llf (x ) - ^^(x )ll2 = (f{z ) -- ^a;g,(x ), ,f(x ) - ^a^g^;(x))

[Sl

Es evidente y de forma semejante a coma demostramos en 2.5, esa distancia es minima cuando los coeficientes de [4] son las coordenadas de f(x) en el espacio de la base ortonormalizada [ 1), es decir, cuando: b uk = (^(x ), gk(x)) _

.f(x)gk(x)h (x)dx

a

[^]

a,^ es la coUrdenada k del desarrollo o representación de f(x) por [3]. De [S) deducimos, teniendo en cuenta [2]:

//E (x )// _ //f {x ) - f,^ ( x )/I2 = t.1`^(x } ^ ^(x )) - ^, lak /z ^=i

[^1

APLICAGIQNES DiBi. ESPACjO DE HILBERT A LA ESTADISTICA

4.3.

39

DESARROLLO DE C HARLIER

Una aplicación inmediata de la estudiado en 4.2 es considerar como núcleo ia función de densidad normal tipificada, cuyo campo de variabilidad es el eje real. Formemos las expresiones: So^) = 1 8,(z)

= P,(z)

8 2(x )

_

P2 (z )

^ P^(z )

✓^ Las expresiones P,^(x } son los polinomios de las derivadas de la distribución normai tipificada: 1

^o (x )

e _^=r^

2n .f^^(z) _

1 ^, e "x=nP,^(X ) ^/ 2n

[3]

Se comprueba sencillamente que {g p(z ), g,(x ), g z(x ). .. } [ 1^ es una base ortonormalizada respecto a la función de densidad: h (z } _

1

e -x=rz

[^]

^/ 2n Evidentemente, para m > n ^ (g^(X), gA(X)) -

1

_,^, ✓ 2n

e!

1

^=^2 P,^(x)

.Í^^`(z)F„(x)dx =

(

-Lf^m^ ^(x) Pn(z)^ -x

^

dx

±x

JLm ✓ ^ -^; ^

P,^(x)

^,^^ ^ ^ ^

-

^^V ^ ^

f^^-1(z^ Pn (X }^ -^

x

,f ^-2(x) p,^(x}dx ^^/^ -x

=U

[S^

^40

ESTADISTiCA F.SPAI^+OL.A

pues al integr•ar por partes deducimos en consecuencia, ai ser m>;n par hipbtesis y ser nulos los térrr^inos integrados entre +^c: y ser

P^"+^(x)=0 ^

[+^]

por ser P,^(x) un polinomio de grado n), deducimos la ortogonalidad de las funciones: ^

x

^

e -x^/2P^{x) P,^ (x )

lg^^^)'+ g^^x)

- ^ ^` 2n

^,-' (m ,^,^` ^m x

f^^(x) P,^(x)dx ^

x.

( _ 1)k

_ ^

(_ l^M

fc,^-k(x ) p^{x )dx

=

-x

• P^ ^ (x)

n^ x .fC°(x)d,x = (- 1} m (- ^) _ ,^,

L L

[S']

por ser Pm (x ) una constante y además es factvrial de m con el signo ±, según sea m de naturaleza par o impar. Puede escribirse: ^^m(-x}, g^{-X^^ - bm.^

[S'7

L.a base [ 1] formada como hemos visto está ortanormalizada con el núcleo [3]. Una función cualquiera f(x) puede desarrollarse por medio del sistema ortonormalizado [ 1) en la forma: .f^(x) = uo^o(x ) + a ^g ^(x) + u2g2(x) + ... + a,,,g,„(x) + ...

[7J

En cunsecuencia, las coordenadas con núcleo [3] se determinan por la expresión [b] de 4.2. ^

ak =^.f(x), gk(x}) = ,

, f(x)Pk(x} e x iz dx -x ,/ 2a^

[g3

En nuestro casu recor^demos la [3] y formemos un desarrollo de la función de densidad f'(x) con relación a la función normal ,f^,(x) y sus derivadas f^m(x) (m = 1, 2...) en forma de combinación linzal.

f(x) = a„ff'o(x) + a,f^'(x) + ,.. + a,^k(x) + ...

[9]

APLICArCiONES D^L ESPACKJ DE NILBERT A[.A ESTADiSTiCA

ar

Multiplicando escalarmente en 9 r -^P tenemos: [ ) ^ k ^ x

.f(x)^

P^ ^

=

x

f(X) P^ ^ = a^`