8

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

 

ACTIVIDADES    Respuesta abierta. Por ejemplo: 

      Respuesta abierta. Por ejemplo: 

   

 

  f(x)  x2 decrece en (∞, 0) y crece en (0, ∞).  a)  f(x)  (x  1)2  En este caso se trata de una traslación de la función original una unidad a la derecha, el intervalo de  decrecimiento en este caso será (∞, 1) y el de crecimiento (1, ∞). 

 

 

337   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

b)  f(x)  (x  2)2  En este caso se trata de una traslación de la función original dos unidades a la izquierda, por lo que el intervalo  de decrecimiento será (∞, 2) y el de crecimiento, (2, ∞).  c)  f(x)  x2  1  Esta función es el resultado de trasladar una unidad hacia arriba la función original, por lo que el intervalo de  decrecimiento en este caso será (∞, 0) y el de crecimiento será (0, ∞).  d)  f(x)  x2  3  En este caso, como en el apartado anterior, se produce una traslación en vertical de tres unidades hacia abajo,  con lo que el intervalo de decrecimiento en este caso será (∞, 0) y el de crecimiento será (0, ∞).      a)  La derivada es  f ´( x ) = 4 x + 4  y  4 x + 4 = 0  x = -1 .  Vemos que  4 x + 4 < 0  x Î (-¥, - 1)  → En este intervalo la función decrece.  4 x + 4 > 0  x Î (-1, + ¥)  → En este intervalo la función crece. 

b)  La derivada es  f ´( x ) = -2 x + 6  y  -2 x + 6 = 0  x = 3 . Vemos que:  -2 x + 6 > 0  x Î (-¥, 3)  → En este intervalo la función crece.  -2 x + 6 < 0  x Î (3, + ¥)  → En este intervalo la función decrece. 

    a)  Su derivada es  f ´( x ) = 3 x - 6 x = 3 x ( x - 2) , que se anula en x  0 y x  2.  2

Es creciente a la izquierda de 0 y decreciente a la derecha → Máximo en (0, 0).  Es decreciente a la izquierda de 2 y creciente a la derecha → Mínimo en (2, 4).  b)  Su derivada es  f ´( x ) = 6 x 2 - 6 x - 36 = 6( x - 3)( x + 2)  y se anula en x  3 y x  2.  Es creciente a la izquierda de 2 y decreciente a la derecha → Máximo en (2, 45).  Es decreciente a la izquierda de 3 y creciente a la derecha → Mínimo en (0, 80).   

  a)  Su primera derivada es  f ´( x ) = 4 x 3 - 8 x = 4 x ( x 2 - 2) = 4 x ( x - 2 )( x + 2 ) , que es igual a 0 en x  0, x   2  y  x = 2 . 

Su segunda derivada es  f ´´( x ) = 12 x 2 - 8 = 4(3 x - 2) .  Para x   - 2 :  f ´´(- 2 ) = 4(3(- 2 ) - 2) = 4(6 - 2) = 16 > 0  → Mínimo en x   - 2 .  2

Para x   2 :  f ´´( 2 ) = 4(3( 2 ) - 2) = 4(6 - 2) = 16 > 0  → Mínimo en x   2 .  2

Para x  0:  f ´´(0) = 4(3(0)2 - 2) = 4(0 - 2) = -8 < 0  → Máximo en x  0. 

338   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

b)  Su primera derivada es  f ´( x ) = 3 x 2 + 6 x = 3 x ( x - 2) , que es igual a 0 en x  0 y x  2.  Su segunda derivada es  f ´´( x ) = 6 x + 6 = 6( x -1) .  Para x  0:  f ´´(0) = 6(0 -1) =-6 < 0  → Máximo en x  0.  Para x  2: f ´´(2) = 6(2 -1) = 6 > 0  → Mínimo en x  2.  c)  Su primera derivada es  f ´( x ) = 2 x + 9 , que es igual a 0 en  x =

-9 .  2

Su segunda derivada es f ´´( x ) = 2 .  Para x  

æ- 9 ö -9 -9 : f ´´ççç ÷÷÷= 2 > 0  → Mínimo en x   .  è 2 ø 2 2

d)  Su primera derivada es  f ´( x ) = 6 x 2 + 18 x - 4  que se anula para  x =

-9 + 105 -9 - 105  y  x = .  6 6

Su segunda derivada es  f ´´( x ) = 12 x + 18 .  Para  x =

æ -9 + 105 ö÷ -9 + 105 ÷÷ > 0  → Mínimo en x = -9 + 105 . :  f ´´ççç è ø÷ 6 6 6

 

æ -9 - 105 ö÷ -9 - 105 ÷÷ < 0  → Máximo en x = -9 - 105 .  Para  x = :  f ´´ççç ÷ø è 6 6 6

 

  x + 2x x ( x + 2) 2 x ( x + 1) - x 2x + 2x - x .  = = = ( x + 1)2 ( x + 1)2 ( x + 1)2 ( x + 1)2 2

Su primera derivada es  f ´( x ) =

2

2

2

Vemos que es una función racional cuyo denominador es siempre positivo, así que estudiamos el signo del  numerador.  x ( x + 2) > 0  x Î (-¥, - 2) È (0, +¥) . Por tanto, en estos intervalos la función es creciente.  x( x + 2) < 0  x Î (-2, 0) . Por tanto, en este intervalo la función es decreciente. 

Para calcular los valores de x tales que  f ´( x ) = 0 , hacemos 

x ( x + 2) =0 ( x + 1)2

, que es equivalente en este caso a calcular 

x( x + 2) = 0 . Esta ecuación se cumple en x  0 y x  2. 

Su segunda derivada es:  f ´´( x ) =

(2 x + 2)( x + 1)2 - 2 x ( x + 2)( x + 1) (2 x + 2)( x + 1) - 2 x ( x + 2) 2   = = ( x + 1)4 ( x + 1)3 ( x + 1)3

Para x  0:  f ´´(0) =

2 = 2 > 0  → Mínimo en x  0.  (0 + 1)3

Para x  2:  f ´´(-2) =

2 = -2 < 0  → Máximo en x  2.  (-2 + 1)3

 

 

 

339   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

   

a)  Analizamos el signo de f ´´(x):  f ´(x)  21x2  2x  1   

 

f ´´(x)  42x  2 

Buscamos los puntos donde f ´´(x) se anula, que son los posibles puntos de inflexión:  f ´´(x)  42x  2  0 → x =

1   21

Analizamos el signo de f ´´(x) a la izquierda y a la derecha de  Para  x <

1   : f ´´(0)  2  0 → f(x) es convexa.  21

Para  x >

1   : f ´´(1)  26  0 → f(x) es cóncava.  21

1 :  21

b)  Analizamos el signo de f ´´(x):  2x

f ´( x ) =

   

( x 2 + 1)

2

 

 

f ´´( x ) =

2 (1 - 3 x 2 )

( x 2 + 1)

3

 

Buscamos los puntos donde f ´´(x) se anula, que son los posibles puntos de inflexión:  f ´´( x ) =

2 (1 - 3 x 2 )

( x + 1)

3

2

= 0  → x = 

3   3

Analizamos el signo de f ´´(x) en  x < Para  x < Para  Para 

3 3 3 3 ,  - < x <  y  < x :  3 3 3 3

3   : f ´´(2)  0 → f(x) es convexa.  3

3 3   : f ´´(0)  0 → f(x) es cóncava.  0 . Con a  4, x  2 es un mínimo. 

    Se sabe que la derivada de la función es una recta con pendiente 3, por lo que será de la forma  f ´( x ) = 3 x + n .  La función será de la forma  f ( x ) = ax 2 + bx + c , pues su derivada es  f ´( x ) = 2ax + b .  3 2

Se tiene entonces que  2a = 3  a = , y  b = n , por lo que las funciones que cumplan las condiciones del  3 2

enunciado tendrán como ecuación:  f ( x ) = x 2 + nx + c  con  n, cÎ        Una parábola tendrá como ecuación  f ( x ) = ax + bx + c , y como pasa por el (0, 1), al sustituir, se obtiene c  1.  2

Al ser el punto (3, 8) el vértice de la parábola:  ▪ Es un punto de ella →  a32 + b3 + 1 = -8   ▪ Será un máximo o un mínimo global → f ´(3)  0 → 6 a + b = 0 .  ü 9 a + 3b = -1 üï a32 + b3 + 1 = -8ï ï ï ý ý  9 a - 18 a = -9  a = 1, b = -6   b = -6 aï 6a + b = 0 ï ï ï þ þ

Por tanto,  f ( x ) = x 2 - 6 x + 1 .   

 

346   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

   

2

f ´(x)  3x   2x  1 

   

  Analizamos el dominio de f(x) para saber dónde puede haber discontinuidades:  Dom f =  - {0}   ïìï2 x + 2 si x < -2 f ´( x ) = ïí 2     ïïsi x ³ -2 3 ïïî x

 

 

ïìï2 f ´´( x ) = ïí 6 ïï 4 ïïî x

si x < -2 si x ³ -2

 

Tenemos que ver dónde se anula f ´´(x). En este caso,  f ´´( x ) ¹ 0  para cualquier x, por tanto, analizamos el signo de  f ´´(x) si x  2,  -2 £ x < 0  y x  0:  Para x  2: f ´´  0 → f(x) es cóncava.  Para  -2 £ x < 0 : f ´´(1)  0 → f(x) es cóncava.  Para x  0: f ´(1)  0 → f(x) es cóncava.   

  En x  1 la función es cóncava.  En x  1 la función tiene un punto de inflexión.  En x  2 la función es convexa.   

 

 

347   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  2- x = -1   f tiene una asíntota horizontal en  y =-1 .  x2 -1 2

lim

x ¥

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota por la derecha, se dan valores muy grandes a x, y  se estudia su valor:  Para x  1 000:  f (1000) =

2 - (1000)2 2 - 1000 000 -999 998 = = = -0,999998 > -1   (1000)2 - 1 1000 000 - 1 999 999

Por la derecha, la gráfica está situada por encima de la asíntota.  Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota por la izquierda, se dan valores muy pequeños a  x, y se estudia su valor:  Para x  1 000:  f (-1 000) =

2 - (-1 000)2 -999 998 = = -0,999998 > -1   (-1000)2 - 1 999 999

Por la izquierda, la gráfica está situada por encima de la asíntota.      3

x 1 1 =    f tiene una asíntota horizontal en  y = .  2 2x3 + 3x2 + 2 2

lim

x ¥

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota por la derecha, se dan valores muy grandes a x, y  se estudia su valor:  Para x  1 000:  f (1000) =

(1000)3 1000 000 000 1 = = 0,49925... <   2(1000) + 3(1000)2 + 2 2003 000 002 2 3

Por la derecha, la gráfica está situada por debajo de la asíntota.  Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota por la izquierda, se dan valores muy pequeños a  x, y se estudia su valor:  Para x  1 000:  f (-1000) =

(-1000)3 1000 000 000 1 = = 0,5007... >   3 2 2(-1000) + 3(-1000) + 2 1996 999 998 2

Por la izquierda, la gráfica está situada por encima de la asíntota.      Las asíntotas verticales aparecen cuando el denominador vale 0. En este caso:  x 2 - 4 = ( x + 2)( x - 2) = 0  x = 2   lim

x2

lim

x +1 =¥ x2 - 4

x -2

Tiene una asíntota vertical en x  2. 

x +1 = ¥  Tiene una asíntota vertical en x  2.  x2 - 4

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la izquierda, se dan valores muy  cercanos a 2 por la izquierda a x, y se estudia su valor:  Para x  2,01:  f (-2,01) =

-2,01 + 1 < 0  lim - f ( x ) = -¥   x -2 (-2,01)2 - 4

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la derecha, se dan valores muy  cercanos a 2por la derecha a x, y se estudia su valor: 

348   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

Para x  1,99:  f (-1,99) =

8

-1,99 + 1 > 0  lim + f ( x ) = +¥   x -2 (-1,99)2 - 4

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la izquierda, se dan valores muy  cercanos a 2por la izquierda a x, y se estudia su valor:  Para x  1,99:  f (1,99) =

1,99 + 1 < 0  lim- f ( x ) = -¥ x 2 (1,99)2 - 4

 

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la derecha, se dan valores muy  cercanos a 2 por la derecha a x, y se estudia su valor:  Para x  2,01:  f (2,01) =

2,01 + 1 > 0  lim+ f ( x ) = +¥ x 2 (2,01)2 - 4

 

    Las asíntotas verticales aparecen cuando el denominador vale 0. En este caso:  x 2 - x - 6 = ( x + 2)( x - 3) = 0  x = -2, x = 3  → Tiene dos asíntotas verticales.  lim

x -2

lim

x 3

3x - 2 = ¥  Tiene asíntota vertical en x  2.  x2 - x - 6 3x - 2 =¥ x2 - x - 6

Tiene asíntota vertical en x  3. 

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la izquierda, se dan valores muy  cercanos a 2 por la izquierda a x, y se estudia su valor:  Para x  2,01:  f (-2,01) =

3(-2,01) - 2 < 0  lim - f ( x ) = -¥ x -2 (-2,01)2 + 2,01- 6

 

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  2 por la derecha, se dan valores muy  cercanos a 2 por la derecha a x, y se estudia su valor:  Para x  1,99:  f (-1,99) =

3(-1,99) - 2 > 0  lim + f ( x ) = +¥   x -2 (-1,99)2 + 1,99 - 6

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  3 por la izquierda, se dan valores muy  cercanos a 3 por la izquierda a x, y se estudia su valor:  Para x  2,99:  f (2,99) =

3(2,99) - 2 < 0  lim- f ( x ) = -¥ x 3 (2,99)2 - 2,99 - 6

 

Para determinar la situación de la gráfica respecto de la asíntota x  3 por la derecha, se dan valores muy  cercanos a 3 por la derecha a x, y se estudia su valor:  Para x  3,01:  f (3,01) =

3(3,01) - 2 > 0  lim+ f ( x ) = +¥ x3 (3,01)2 - 3,01- 6  

 

ACTIVIDADES FINALES 

 

349   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  9 4

    f '(-2) = > 0   La función es creciente en x  2. 

   

   a)  f ´( x ) = cos x  f ´(p) = cos p = -1 < 0   La función decrece en  x = p .  b)  f ´( x ) = cos x + 1 + tg 2 x  f ´(0) = cos 0 + 1 + tg 2 0 = 2 > 0   La función crece en x  0.  c)  f ´( x ) =

( x 2 - 1) cos x - 2 x ( sen x + 1) æç p ÷ö p  f ´çç ÷÷ < 0  La función decrece en  x =   2 2 è 2ø 2 x 1 ( )  

d)  f ( x ) = sen2 x + cos 2 x = 1 "x Î   Función constante en todo su dominio y no crece ni decrece en x  0.   

  a)  f ´( x ) = 2 x - 4  f ´( x ) = 0  cuando x  2.  En (∞, 2) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (2, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  Por tanto, x  2 es un mínimo.  b)  f ´( x ) =-2 x  f ´( x ) = 0  cuando x  0.  En (∞, 0) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En (0, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  Por tanto, x  0 es un máximo. 

 

350   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

c)  f ´( x ) = 4 x - 8  f ´( x ) = 0  cuando x  2.  En (∞, 2) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (2, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  Por tanto, x  2 es un mínimo.  3 2

d)  f ´( x ) = -3 - 2 x  f ´( x ) = 0  cuando  x = - .  æ 3ö En  ççç-¥, - ÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  è 2ø   æ 3

ö

En  ççç- , + ¥÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  è 2 ø   3 2

Por tanto,  x = -  es un máximo.  e)  f ´( x ) = 2 x - 6  f ´( x ) = 0  cuando x  3.  En (∞, 3) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (3, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  Por tanto, x  3 es un mínimo.  1 3

f)  f ´( x ) = 6 x - 2  f ´( x ) = 0  cuando  x = .  æ 1ö En  ççç-¥, ÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  è 3ø   æ1

ö

En  ççç , + ¥÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  è3 ø   1 3

Por tanto,  x =  es un mínimo.   

  a)  f ´( x ) = 3 x - 12 x + 9  f ´( x ) = 0  cuando x  1 y x  3. Divide el dominio en 3 intervalos.  2

En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En (1, 3) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (3, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En x  1 tiene un máximo y en x  3 un mínimo.  b)  f ´( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9  f ´( x ) = 0  cuando x  1 y x  3. Divide el dominio en 3 intervalos.  En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En (1, 3) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (3, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En x  1 tiene un máximo y en x  3 un mínimo. 

 

 

351   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

c)  f ´( x ) = 3 x 2 - 3  f ´( x ) = 0 cuando  x = 1 .  En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En (1, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (1, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En x  1 tiene un máximo y en x  1 un mínimo.  d)  f ´( x ) = 6 x 2 + 6 x - 36  f ´( x ) = 0 cuando x  2 y x  3.  En (∞, 3) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En (3, 2) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (2, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En x  3 tiene un máximo, y en x  2 un mínimo.  e)  f ´( x ) = 6 x 2 + 6 x + 6 > 0  f ´( x ) > 0 "x Î    La función es creciente en todo su dominio y no tiene máximos ni mínimos.   

  a)  f ´( x ) = 4 x - 4  f ´( x ) = 0  cuando x  1.  3

En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (1, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  1 2

2 3

b)  f ´( x ) = 36 x 3 - 6 x 2 - 12 x  f ´( x ) = 0  cuando x  0,  x = -  y  x = .  æ 1ö En ççç-¥, - ÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  è 2ø   æ 1

ö

En ççç- , 0÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  è 2 ø   æ

2ö

En ççç0, ÷÷÷ f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  è 3ø   æ2

ö

En  ççç , + ¥÷÷÷ es creciente en este intervalo.  è3 ø   c)  f ´( x ) = 3 x 3 - 3 x 2 - 6 x  f ´( x ) = 0  cuando x  0, x  1 y x  2.  En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (1, 0) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En (0, 2) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (2, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  d)  f ´( x ) = 4 x ( x + 1)( x - 1)  f ´( x ) = 0  cuando x  0, x  1 y x  1.  En (∞, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (1, 0) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En (0, 1) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (1, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo. 

352   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  a)  f ´( x ) = 3 x  f ´( x ) = 0  cuando x  0.  2

En (∞, 0) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  En (0, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  b)  f ´( x ) = 4 x 3  f ´( x ) = 0  cuando x  0.  En (∞, 0) f ´(x)  0 → f(x) es decreciente en este intervalo.  En (0, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.  c)  f ´( x ) =

1 2 x

 

En (∞, 0) la función no está definida.  En (0, ∞) f ´(x)  0 → f(x) es creciente en este intervalo.   

  p 4

a)  f ´( x ) = 6 cos 2 x  f ´( x ) = 0  cuando  x = + æp è4

En los intervalos  ççç + k p,

kp , k Î 2

. 

ö 3p + k p÷÷÷ , k Î , f ´(x)  0 → f(x) es decreciente.  ø 4  

æ 3p ö 5p + k p, + k p÷÷÷ , k Î , f ´(x)  0 → f(x) es decreciente.  è4 ø 4

En los intervalos ççç b)  f ´( x ) = 2

x +1

 

ln 2 > 0 "x Î   

Por tanto, la función es creciente en toda la recta real.  c)  f ´( x ) = 2e2 x -1 > 0 "x Î    Por tanto, la función es creciente en toda la recta real.  d)  f ´( x ) = -ln 4 ⋅ 4- x < 0 "x Î    Por tanto, la función es decreciente en toda la recta real.   

  a)  Dom f ( x ) = (0, + ¥)   f ´( x ) =

 

1 > 0  en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre creciente.  x  

 

353   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

b)  x 2 + 1 > 0 "x Î   Dom f ( x ) =    f ´( x ) =

2x  f ´( x ) = 0  x = 0 x2 + 1

 

f(x) decrece en (∞, 0) porque f ´(1)  1  0 y crece en (0, ∞) porque f ´(1)  1  0.  c)  x 3 + 1 > 0  x > -1  Dom f ( x ) = (-¥, - 1)   f ´( x ) =

3x2 > 0  en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre creciente.  ( x + 1)ln 2 3

d)  Dom f ( x ) = (0, + ¥)   f ´( x ) = -

e) 

1 < 0  en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre decreciente.  x log 2

1 > 0 "x Î   Dom f ( x ) =    x2 +1 f ´( x ) =

-2 x  f ´( x ) = 0  x = 0 x2 + 1

 

En  (-¥, 0 ) f ´( x ) > 0  La función es creciente.  En  (0, + ¥) f ´(x) < 0  La función es decreciente.  f(x) tiene un máximo en x  0.  æ x - 1 ö÷ æ 1 ö÷ ÷ = lnççç ÷    è x 2 - 1ø÷ è x + 1ø÷

f)  f ( x ) = lnççç f ´( x ) = -

 

 

1 > 0  x > -1  Dom f ( x ) = (-1, + ¥)   x +1

1 < 0 en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre decreciente.  x +1  

 

  si x £ 1 ìïïf creciente si x £ 1 ïì1   í ïîï-2 si x > 1 ïîïf decreciente si x > 1

a)  f ´( x ) = ïí

si x < 0 ï ïìf ´( x ) > 0 ïì2 í ï ï6 x + 5 si x ³ 0 ï ïf ´( x ) > 0 î î

si x < 0

b)  f ´( x ) = ïí

ì ï3 x 2 ïïî x

c)  f ´( x ) = ïí

si x £ 0 si x > 0

ìf ´( x ) > 0 ï ï í ïîf ´( x ) > 0 ï

si x ³ 0

si x £ 0 si x > 0

 f crece "x Î   

 f crece "x Î   

ìf ´( x ) < 0 ï

si x < - 1  f decrece ïü

ïï ï ï îf ´( x ) < 0

si 2 < x  f decrece

ï  f tiene un mínimo en x = - 1 ï ì d)  f ´( x ) = íïï2 x + 2 si x £ 2  íïïf ´( x ) > 0 si - 1 < x £ 2  f creceïþýï   ïîï- 3

si x > 2

 

 

354   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  a)  f ´( x ) =

2x  f ´( x ) = 0 cuando x  0.  ( x 2 + 1)2

Como el denominador es siempre positivo, solo comprobamos el signo del numerador, por lo que:  f ´( x ) = f ´( x ) =

2x < 0  x Î (-¥, 0)  ( x 2 + 1)2

 

En este intervalo f(x) decrece. 

2x > 0  x Î (0, + ¥ )   En este intervalo f(x) crece.  ( x 2 + 1)2

b)  Dom f ( x ) =  - {-3}   

 

f ´( x ) =

1 > 0 en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre creciente.  ( x + 3)2  

c)  Dom f ( x ) =  - {-1}   

 

f ´( x ) =

2 >0 ( x + 1)2

d)  Dom f ( x ) =  - {2}    

 

f ´( x ) = -

 

en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre creciente. 

2 < 0 en todo el dominio, por lo que f(x) es siempre decreciente.  ( x - 2)2  

   

   

  æ ì ì ïì 2ö ïï-3 x - 2 si x < - 2 ïï-3 si x < - 2 ïïf ( x ) decrece en çç-¥, - ÷÷÷. ï ï ï èç ï ï 3ø 3 3 ï ï ï a)  f ( x ) = í    f ´( x ) = í í ï ïï æ 2 ö 2 2 ïï ïï3 x + 2 çç- , + ¥÷÷. ³ > si x 3 si x ï ï f ( x ) crece en ï ïîï çè 3 ø÷ 3 3 ïïî ï î

En x  1 crece y en x  4 decrece.  ì x - 3 si x > 3 ì1 ìf ( x ) crece en (3, + ¥ ). si x > 3 ï ï ï    f ´( x ) = ï ï í í ï ï ï £ < x x x 3 si 3 1 si 3 ï ï ïf ( x ) decrece en (-¥, 3). î î î

b)  f ( x ) = ïí

En x  0 decrece y en x  5 crece.  ì x - 3 si x > 3 ì1 ìf ( x ) crece en (3, + ¥ ). si x > 3 ï ï ï    f ´( x ) = ï ï í í ï ï ï £ < x x x 3 si 3 1 si 3 ï ï ïf ( x ) decrece en (-¥, 3). î î î

c)  f ( x ) = ïí

En x  1 decrece y en x  2 decrece.  ïìï-3 x - 2 ïï d)  f ( x ) = ïí 2 ïï 3 x + 2 ïîïï 2

2 ïìï-3 ïï 3 2  f ´( x ) = ïí ïï 3 2 si x ³ ïîïï 2 3

si x < -

æ 2ö 2 ïìï ïf ( x ) decrece en çççè-¥, - ÷÷÷ø. 3 3 ïï   í æ 2 ö 2 ïï ÷ ç si x > ïf ( x ) crece en çç- , + ¥÷÷. è 3 ø 3 ïïî

si x < -

En x  2 crece y en x  0 crece.   

355   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  ì x 2 - 3 si x £ - 3 ì2 x ï ï ï ï ï ï ï 2 a)  f ( x ) = íï3 - x si - 3 < x < 3  f ´( x ) = ïíï-2 x ï ï 2 ï ï ï ï ï x - 3 si 3 £ x ï2 x î î

si x £ - 3 si - 3 < x < 3   si 3 £ x

En x  3: f ´(3)  6  0 → f(x) decrece.  En x  1: f ´(1)  2  0 → f(x) crece.  En x  4: f ´(4)  8  0 → f(x) crece.  ì ïìï x 2 - 3 x si x £ 0 ï2 x - 3 si x £ 0 ï ïï ï 2 b)  f ( x ) = íï3 x - x si 0 < x < 3  f ´( x ) = íï3 - 2 x si 0 < x < 3   ï ïï 2 ï ïî x - 3 x si 3 £ x ïï î2 x - 3 si 3 £ x

En x  2: f ´(2)  7  0 → f(x) decrece.  En x  2: f ´(2)  1  0 → f(x) decrece.  En x  6: f ´(6)  9  0 → f(x) crece.  ì x +7 ì 1 ï ï ï ï si x < -7 si x < -7 ì ïïïïïf ( x ) decrece en (-¥, - 7). 4 4 ï  f ´( x ) = ï ï   c)  f ( x ) = í í í ïï x + 7 ïï 1 îïïf ( x ) crece en (-7, + ¥). ³ > x x si 7 si 7 ï ï ï ï ï 4 ï4 î î

En x  10 decrece, en x  5 y x  1 crece.   

  æ ö÷ ïì 1- 21 úù êé 1 + 21 ïï x 2 - x - 5 Èê si x Î ççç-¥, , + ¥÷÷ ï ú ÷ ï 2 úû êë 2 èç ø a)  f ( x ) = x 2 - x - 5 = ïí   ïï æ ö ïï- x 2 + x + 5 si x Î çç 1- 21 , 1 + 21÷÷÷ çç 2 2 ÷ø è ïïïî ì ì ï ï ï2 x - 1 > 0 si x > 1 ïï æ ö÷ ï ï 1- 21ö÷÷ æç 1 + 21 ï 2 ç ï 2x -1 si x Î çç-¥, , + ¥÷÷  ï í ÷Èç ïï è ø ï 1 2 ø èç 2 ï ï ï 2 x - 1 < 0 si x < ï ï ï ï 2 ï î ï f ´( x ) = í   ï ì ï ï ï-2 x + 1 > 0 si x < 1 ïï ï æ 1- 21 1 + 21ö÷ ï 2 ï ïï-2 x + 1 si x Î ççç , ÷÷  í ï ç ï 1 2 ÷ø ïï è 2 ïï ïï-2 x + 1 < 0 si x > ï 2 ï î ï î æ

Por lo que la función decrece en  ççç-¥, èç

356   

æ 1- 21 1ö÷ æ 1 + 21 1- 21ö÷÷ æç 1 1 + 21ö÷÷ ÷ö ç , ÷÷ È ççç , + ¥÷÷ .  ÷ È çç , ÷  y crece en  çç ÷ ÷ ÷ ÷ø 2 ø èç 2 2 ø 2 ø èç 2 èç 2

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

ïìï 1 1 ïïï x b)  f ( x ) = = í x ïï 1 ïïîï x

ïìï 1 ïï 2 x  f ´( x ) = ïí ïï 1 si x ³ 0 ïï- 2 îï x

si x < 0

8

si x < 0

ïìf ´( x ) > 0 si x < 0  ïí   ïf ´( x ) < 0 si x > 0 si x > 0 îï

Por tanto, la función crece en el intervalo (∞, 0) y decrece en el intervalo (0, ∞).  ìï x 2 - 1 ïï ì x ï ï ïï x 2 + 1 2 - 2 si x < 0 ï ) ï ïï( x + x 1 =ï  = f x ´( ) c)  f ( x ) = 2 í í ïï 1- x 2 x + 1 ïï x si x ³ 0 ï 2 ï 2 ï ï 2 ïx +1 ï î ïïî( x + 1)

si x < 0

ïì f ´( x ) < 0 en x Î (-1, 0 )È (1, + ¥)  ïí   ïï f ´( x ) > 0 en x Î(-¥, - 1) È (0, 1) î si x > 0

La función decrece en  (-1, 0) È (1, + ¥)  y crece en  (-¥, - 1) È (0, 1) .  ïì- - x d)  f ( x ) = - x = ïí ïïîï- x

ìï 1 ïï ïï 2 - x  f ´( x ) =í 1 si x ³ 0 ïï ïïïïî 2 x si x < 0

si x < 0

ìf ´( x ) < 0 si x > 0 ï ï   í ïf ´( x ) > 0 si x < 0 î si x > 0 ï

La función crece en el intervalo (∞, 0) y decrece en (0, ∞).  ì 1 ï ï ï ì < £ x x ln si 0 1 ï ï x  f ´( x ) = ï e)  f ( x ) = ln x = ïí í ïî ï 1 si x > 1 ïln x ï ï ï ïx î

si 0 < x < 1 si x > 1

ïìf ´( x ) < 0 si 0 < x < 1  ïí   ïïf ´( x ) > 0 si x > 1 î

La función decrece en el intervalo (0, 1) y crece en (1, ∞).  ìï ïï- 1 ìln(1- x ) si x < 0 ï ï 1- x ï  f ´( x ) = ïí f)  f ( x ) = ln( x + 1) = í ï ïï 1 ïln( x + 1) si x ³ 0 î ïï ïî x + 1

si x < 0 si x > 0

ïìf ´( x ) < 0 si (-¥, 0 )  ïí   ïï f ´( x ) > 0 si (0, + ¥) î

La función decrece en el intervalo (∞, 0) y crece en el intervalo (0, ∞).   

  a)  f ´( x ) =

x ( x - 2)  f ´( x ) = 0 ( x - 1)2

f ´´( x ) =

b)  f ´( x ) =

 

ì ïEn x = 0  f ´´(0 ) = -2 < 0 ìï ï x = 0 máximo 2 ï í   í 3 ïïEn x = 2  f ´´(2) = 2 > 0 ï ( x - 1) ï î x = 2 mínimo î

x (4 - x )  f ´( x ) = 0 (2 - x )2

f ´´( x ) =

cuando x  0 y x  2.   

cuando x  0 y x  4. 

ì ïEn x = 0  f ´´(0 ) = 1 > 0 ïì x = 0 mínimo 8 ï ï   í í 3 ï ï =  = < x f En 4 ´´ 4 1 0 (2 - x ) ( ) ï ï î x = 2 máximo î

 

357   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

c)  f ´( x ) =

8

( x + 3)( x - 3)  f '( x ) = 0 cuando  x = 3 .  x2

ì 2 ï ï ïEn x = -3  f ´´(-3) = - < 0 ïì x = -3 máximo 18 ï 3 ï f ´´( x ) = 3  í ï   í ï 2 x ï ï x = 3 mínimo îï En 3 ´´ 3 0 x =  f = > ( ) ï ï 3 ï î

d)  f ´( x ) =

x 2 ( x 2 + 12)  f ´( x ) = 0 cuando x  0.  ( x 2 + 4)2

f ´´( x ) = -

8 x ( x 2 - 12)  En x = 0 f ´´(0) = 0   ( x 2 + 4)3

No podemos concluir mediante este método si es un máximo o un mínimo.  e)  f ´( x ) =

x ( x + 2)  f ´( x ) = 0 cuando x  0 y x  2.  ( x + 1)2

f ´´( x ) =

ìEn x = 0  f ´´(0 ) = 2 > 0 ìï x = 0 mínimo ï 2 ï ï   í í ïïEn x = -2  f ´´(-2) = -2 < 0 îïï x = 2 máximo ( x + 1)3 î

f)  f ´( x ) = f ´´( x ) =

8( x 2 - 1)  f ´( x ) = 0 cuando  x = 1 .  ( x 2 + 1)2

ï x = -1 mínimo 16 x ( x 2 - 3) ìïïEn x = -1  f ´´(-1) = 4 > 0 ìï í í   ïïEn x = 1  f ´´(1) = -4 < 0 ï ( x 2 + 1)3 ï î x = 1 máximo î

 

  a)  f ´( x ) = 3 > 0  f ´( x ) ¹ 0 "x Î    No existe máximo ni mínimo en esta función.  1 2

b)  f ´( x ) = - < 0  f ´( x ) ¹ 0 " x Î    No existe máximo ni mínimo en esta función.  c)  f ´( x ) = 6 x 2 - 6 = 6( x 2 - 1)  f ´( x ) = 0 cuando x 2 - 1 = 0  x = 1   ìf ´´(-1) = - 12 < 0 ïìï x = - 1 máximo ï f ´´( x ) = 12 x  ïí í ïîïf ´´(1) = 12 > 0 ïîï x = 1 mínimo

 

d)  f ´( x ) = 4 x - 12 = 4( x - 3)  f ´( x ) = 0 cuando 4( x - 3) = 0  x = 3   f ´´( x ) = 4  f ´´(3) = 4 > 0  x = 3 mínimo  

e)  f ´( x ) = 8 x 3 - 8 x = 8 x ( x 2 - 1)  f ´( x ) = 0 cuando 8 x ( x 2 - 1) = 0  x = 0 y x = 1   ì ì f ´´(0) = -8 < 0 x = 0 máximo ï ï ï ï ï ï ï = >  f ´´( x ) = 8(3 x 2 - 1)  ï f ´´( 1) 16 0 í í x = -1 mínimo   ï ï ï ï ïf ´´(1) = 16 > 0 ï x = 1 mínimo ï ï î î

3 2

f)  f ´( x ) = 4 x 3 - 6 x 2 = 2 x 2 (2 x - 3)  f ´( x ) = 0 para x = 0 y x = .  ìïf ´´(0) = 0 ïïì x = 0 no se puede decidir con este método. ïï  ïí f ´´( x ) = 12 x ( x - 1)  í æ 3 ö   3 ï f ´´ççç ÷÷÷ = 9 > 0 ïï x = mínimo ï ïïî 2 ïîï è 2 ø

 

358   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  Como el vértice es un máximo o un mínimo, tiene que cumplir la ecuación f(x)  0. Además, y por tanto en el  vértice, al igualar ambas ecuaciones, se obtiene:  0 = 2 ax + b  x = -

b 2a

æ -b ÷ö b2 , con lo que ya se puede dar una expresión algebraica para el  ÷÷ = c è 2a ø 4a

, y al sustituir,  f ççç

vértice de una parábola:  æ b b 2 ÷ö ç ÷ ççè- 2 a , c - 4 a ÷ø  en función de los parámetros a, b y c. 

    2ö æ b çç- , c - b ÷÷ = (-1, 8) y 5  a02  b0  c → c  5, por lo que: ÷ çè 2a 4a ø

 

b ïü b = 2a üïï b = 2aüïï b = 2aüïï =- 1ïï 2a ïïý  ïý  ïý  2 ïý  b = 6ïïýü   2 2 (2 ) 4 b a a 2 ï -5 b = -8ïï = 3 ïï = 3 ïï a = 3ïþï -5 = -8ïïï 4a 4a 4a þïï þïï þïï 4a ïþ -

 

  Si la tangente a la curva es horizontal en el vértice, significa que la primera derivada (pendiente de la tangente en  ese punto) es igual a cero.  a)  f ´( x ) = 0  6 x - 6 = 0  x = 1   f ´´( x ) = 6  f ´´(1) = 6 > 0  x = 1 mínimo  

b)  f ´( x ) = 0  -4 x + 6 = 0  x =

3 2

æ3ö 3 f ´´( x ) = -4  f ´´ççç ÷÷÷ = -4 < 0  x  = máximo   è2ø 2

c)  f ´( x ) = 0  2 x + 2 = 0  x = -1   f ´´( x ) = 2  f ´´(-1) = 2 > 0  x = -1 mínimo  

d)  f ´( x ) = 0  -2 x + 4 = 0  x = 2  

f ´´( x ) = -2  f ´´(2) = -2 < 0  x = 2 máximo

e)  f ´( x ) = 0  6 x + 1 = 0  x =

-1 6

 

æ -1ö -1 f ´´( x ) = 6  f ´´ççç ÷÷÷ = 6 > 0  x =  mínimo è6ø 6

f)  f ´( x ) = 0  x + 2 = 0  x = -2

 

  f ´´( x ) = 1  f ´´(-2) = 1 > 0  x = -2 mínimo    

359   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  Al sustituir en la función, se tiene que  5 = 1 + a1 + b = 1 + a + b  4 = a + b , y puesto que se tiene mínimo en (1, 5),  se sigue que  f ´( x ) = 3 x 2 + a  f ´(1) = 0  0 = 3 + a  a = -3 , y se obtiene:  3

ü ìb = 7 a+b=4 ï ï ï   ýï í a = -3ï ï ï ï a = -3 þ î

    Es imposible que en x  0 la derivada de esa función tenga tangente horizontal, ya que  f ´( x ) = 3 ax + 2bx + 1  y  f ´(0)  1, con lo que se concluye que no existe una función con esas características.  2

    Pasa por (2, 6)   6 = a(2) + b(2) + c  6 = 8 a + 2b + c   3

Pasa por (1, 2)   2 = a(1)3 + b(1) + c  2 = a + b + c   Como además en (1, 2) tiene un mínimo, se obliga a que:  f ´( x ) = 3 ax 2 + b  f ´(1) = 3 a + b = 0  

Con lo que se tienen tres ecuaciones y tres incógnitas:  ü 8 a + 2b + c = 6 ü ìa = 1 8 a + 2 b + c = 6ï ï ï ïï ï 2a + c = 6ü ïï ïï ï ï 8 a - 6 a + c = 6ü ï 3 a + b + c = 2ýï  a + b + c = 2 ýï  ý ý  íïb = -3  f ( x ) = x - 3 x + 4   ï ï ï ï ï + = a - 3 a + c = 2ï 2 a c 2 ï ï ï ï þ þ ïc = 4 3 a + b = 0þ b = -3 aï ïï ï ï þ î

Se comprueba que x  1 es un mínimo, ya que f ´´( x ) = 6 x  f ´´(1) = 6 > 0 .   

  Como su gráfica pasa por ( 4, 0) y ( 3, 0), se obtienen las ecuaciones:  ì ï 0 = a(-4)3 + b(- 4)2 + c (- 4) + d  0 = -64 a + 16 b - 4c + d ï í 3 2 ï ï î0 = a(-3) + b(- 3) + c (- 3) + d  0 = -27 a + 9 b - 3c + d

 

Además, se sabe que su derivada se anula en los puntos x  4 y  x = -

10 , con lo que se obtienen las ecuaciones:  3

ì ï 0 = 3 a(-4)2 + 2b(-4) + c  0 = 48 a - 8b + c ï ï ï 2   í ïï0 = 3 a æçç- 10 ö÷÷ + 2b æçç- 10 ö÷÷ + c  0 = 100 a - 20 b + 3c ÷ ÷ ç ç ï è 3ø è 3ø ï î ïìï-64 a + 16b - 4c + d = 0 ïï -27a + 9b - 3c + d = 0 Se obtienen cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:  ïí   ïï 48 a - 8b + c = 0 ïï 100 a - 20 b + 3c = 0 ïîï

El sistema es compatible indeterminado, por tanto, no existe una única solución. Dejando d como variable libre:  c=

360   

5d 11d d ,b= ,a= 6 48 48

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  ö÷ ì 13 ï ïü é 13 - 329 ùú éê 13 + 329 Dom f = í x Î  : 2 x 3 - x 2 - 5 x > 0ý = êê , 0ú È ê , + ¥÷÷   ï ï ê ÷ø 2 8 8 ï ï î þ úû ëê ë f ´( x ) =

6 x 2 - 13 x - 5 1 5  f ´( x ) = 0 cuando 6 x 2 - 13 x - 5 = 0  x = - y x = .  3 2 13 2 3 2 x - x - 5x 2

5 2

De los dos posibles candidatos a punto crítico se descarta  x =  por no encontrarse en el dominio de la función.  1 3

Se calcula la segunda derivada para comprobar si  x = -  es un máximo o un mínimo:  f ´´( x ) =

æ 1ö 12 x 4 - 52 x 3 - 60 x 2 - 25 3 1  f ´´ççç- ÷÷÷ = -51 < 0  x = - máximo   è 3ø 94 3 2( x (4 x 2 - 13 x - 10))3 / 2 æ13 - 329 æ 1 ö 1÷ö , - ÷÷÷ , y decrece en el intervalo ççç- , 0÷÷÷ .  è 3 ø 8 3ø

La función crece en el intervalo  ççç è

    Los puntos de corte son el (0, b) y el (x0, 0), donde x0 será una raíz del polinomio  x + ax + b .  3

2

En estos puntos, la derivada se anula; en el caso de (0, b) es un mínimo, con lo que la segunda derivada en él es  positiva; en el caso (x0, 0) es un máximo, con lo que la segunda derivada en él es negativa:  ìïf ´(0 ) = 3 ⋅ 0 2 + 2a ⋅ 0 = 0 ïï ïì x = 0 ïìïf ´( x ) = 3 x + 2ax ïïïf ´´(0 ) = 6 ⋅ 0 + 2a = 2a > 0 ïï 0 í í í 2   2 ïïïf ´( x 0 ) = 3 x 0 + 2ax 0 = 0 ïïï x 0 = - a îïïf ´´( x ) = 6 x + 2a 3 î ïïïîf ´´( x 0 ) = 6 x 0 + 2a < 0 2

Se rechaza x0  0 porque, en ese caso,  f ´´( x 0 ) = 6 x 0 + 2a = 2a < 0 , que sería contradictorio con  f ´´(0 ) = 2a > 0 .  æ è

3

ö 3ø

æ è

2

ö 3ø

3

3

3

27

27

27

Por tanto,  ççç- 2a ÷÷÷ + a ççç- 2 a ÷÷÷ + b = 0  -8 a + 12 a + b = 0  4 a + b = 0 .  Por último, como se cumple la ecuación  a + b = -1 , se resuelve el sistema:  ìa = -3 y b = 4  Se rechaza por ser 2a > 0. ïü 4 a3 ï ï + b = 0ïï 3   ý  4 a - 27a + 27 = 0  ïí 27 ïï ïïa = 3 y b = -1 a + b = 1 ïþï ïï 2 2 î

Con lo que la función buscada será:  f ( x) = x3 +

3 2 1 x -   2 2

 

 

 

 

361   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

El máximo tendrá como coordenadas  x = -

8

b b = -6 y  g (-6) = 238  y el mínimo  x = - = 2  y  h (2) = -90 .  2a 2 a  

Por tanto:  ìïf ´(-6) = 108 a - 12b + c = 0 ïï ìf ´( x ) = 3 a x 2 + 2bx + c ïïf ´´(-6) = -36 a + 2b < 0 ìï108 a - 12b + c = 0 ï ïí ï   í  ïí ï ï ïïf ´(2) = 12 a + 4 b + c = 0 îïï12a + 4 b + c = 0 îïf ´´( x ) = 6 ax + 2b ïïf ´´(2) = 12 a + 2b > 0 ïî ì-216 a + 36 b - 6c + d = 238 ï   ï ï î8 a + 4 b + 2c + d = -90

Por otro lado, también se tiene que:  ïí

Por tanto, se tiene un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, y al resolverlo se obtienen los valores  de los parámetros.  üï ïï 12a + 4b + c = 0 ïï -155 41 123 369   ,b= ,c =,d= ý a= -216 a + 36b - 6c + d = 238 ïï 32 16 8 4 ïï 8 a + 4b + 2c + d = -90ïïþ 108 a - 12b + c = 0

Por tanto, la función buscada será:  f ( x ) = 32 x 3 +

123 2 369 155 x x  16 8 4

 

 

 

   

362   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

 

 

   

 

 

 

363   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

a)   x  a es un máximo.  b)  x  a es un punto crítico, pero no se sabe si es máximo o mínimo.  c)   x  a es un punto crítico y como  f ( x ) £ 3  siempre y f(a)  3 es un máximo.  d)  x  a es un mínimo.  e)  No se puede decidir si hay máximo o mínimo en x  a.  f)   x  a es un máximo, porque f ´(a)  0, crece en x  a y decrece en x  a.   

  a)  Decrece en  (-¥, - 1) È (0, 1)  y crece en  (-1, 0) È (1, + ¥) .  Tiene máximo en x  0, cuyo valor es 1.  Tiene dos mínimos, en x  1 y x  1, ambos con valor 2.  b) Decrece en  (-¥, 0 ) È (2, + ¥)  y crece en  (0, 2) .  Tiene un mínimo en x  0, cuyo valor es 3, y un máximo en x  2, cuyo valor es 1.  c)  Crece en  (-¥, - 1) È (-1, 1)  y decrece en  (1, 3) È (3, + ¥) .  Tiene un máximo en x  1, cuyo valor es, aproximadamente, 0,25.   

 

364   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  f ´( x ) = 4 x - 6 x - 6 x + 4   3

2

a)  f ´(-1) = -4 - 6 + 6 + 4 = 0   f ´(-1,5) = -

27 27 - + 9 + 4 = 13 - 27 = -14   2 2

1 3 f ´(-0,5) = - - + 3 + 4 = 7 - 2 = 5   2 2 f (-1) = 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0  

La gráfica corta con el eje X en x  1. Es un punto crítico, porque el valor de la derivada es 0.  A la izquierda la función decrece porque el valor de la derivada es negativo, y a la derecha crece porque es  positivo.  Por tanto, (1, 0) tiene un mínimo.  1 2

3 2

b)  f ´(0,5) = - - 3 + 4 = 0   f (0,5) =

1 1 3 81 - - +2+4=   16 4 4 16

f ´(0,25) =

1 3 3 65 30 35 - - +4= =   16 8 2 16 16 16

f (1) = 1- 2 - 3 + 4 + 4 = 9 - 5 = 4  

Hay un punto crítico en x  0,5 porque el valor de la derivada es 0. A la izquierda la función crece, porque el  valor de la derivada es positivo, y a la derecha decrece, porque  æ è

Por tanto, en  ççç0,5;

81 > 4 .  16

81ö÷ ÷  tiene un mínimo.  16 ÷ø

c)  f (2) = 16 - 16 - 12 + 8 + 4 = 0   f ´(2) = 32 - 24 - 12 + 4 = 0  

f ´(1,5) =

27 27 - - 9 + 4 = -5   2 2

f ´(2,5) =

125 75 30 8 133 - 105 28 - - + = = = 14   2 2 2 2 2 2

La gráfica corta con el eje X en x  2. Es un punto crítico, porque el valor de la derivada es 0.  A la izquierda la función decrece, porque el valor de la derivada es negativo, y a la derecha crece, porque es  positivo.  Por tanto, en (2, 0) tiene un mínimo.   

 

 

365   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  a)  f ´( x ) = 4( x - 1)( x + 1)( x + 3)  f ´( x ) = 0  x = 1, x = -1 y x = -3   ì f ´´(-1) = -16 < 0  x = -1 máximo ï ï ï ï   f ´´( x ) = 4(3 x + 6 x - 1)  íf ´´(1) = 32 > 0  x = 1 mínimo ï ï ï f ´´( 3) = 32 > 0  x = 3 mínimo ï î 2

b)  f ´( x ) = 2( x - 1)( x - 2)(2 x - 3)  f ´( x ) = 0 « x = 1, x = 2 y x =

3   2

ìïf ´´(1) = 2 > 0  x = 1 mínimo ïï ï æ3ö 3 2 f ´´( x ) = 2(6 x - 18 x + 13)  íïf ´´ççç ÷÷÷ = -1 < 0  x = máximo   2 ïïï è 2 ø ïïf ´´(2) = 2 > 0  x = 2 mínimo ïî

1 2

c)  f ´( x ) = 2( x - 1)( x + 2)(2 x + 1)  f ´( x ) = 0  x = 1, x = -2 y x = -   ïìïf ´´(-2) = 18 > 0  x = -2 mínimo ïï 1 ï æ 1ö f ´´( x ) = 6(2 x 2 + 2 x - 1)  íf ´´ççç- ÷÷÷ = -9 < 0  x = - máximo   ïï è 2 ø 2 ïïïf ´´(1) = 18 > 0  x = 1 mínimo ïî

    ì ï f ( x ) = 2 x - 40 x + 400 ï ìï ìï ï ï20 = x + y ï20 - x = y ï   f ´( x ) = 4 x - 40 = 0  x = 10   í 2 í í 2 2 2 ïî ï x + y = f ( x , y ) ïî ï x + (20 - x ) = f ( x ) ïïïf ´´( x ) = 4 > 0 siempre ï î 2

  Como la segunda derivada es positiva siempre, se tiene que en x  10 hay un mínimo. y = 20 - x  y = 10  La descomposición pedida es 20  10  10. 

 

 

  ì 4 ï ï f ´( x ) = 1- 2 = 0  x = 2 ïìï x > 0 ï ï x ï ï í   í ïï x + 4 = f ( x ) ïï 8 ïî ïïf ´´( x ) = 3  f ´´(2) = 1 > 0  En x = 2 hay un mínimo. x x ï î

Se descarta x  2 porque el número buscado tiene que ser positivo.      ìï10 - x = y ìï10 = x + y ï ïï ì ïf ´( x ) = 0  5 - x = 0  x = 5 ï ï   í xy í x (10 - x ) í ï ï f ´´( x ) = -1 < 0 siempre  En x = 5 hay un máximo. = f ( x) ï ïïï = f ( x , y ) ï î ï 2 î2 î y = 10 - x  y = 5   El triángulo con mayor área es el que tiene por catetos x  5 e y  5. 

 

 

366   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  ìï10 - x = y 2 2 ì ï ïï ï10 = x + y 10 ï ìïf '( x ) = 0  10 - 3 x 2 = 0  x =  ïí x (10 - x 2 )   í xy ï ï ï 3 =  f x ( ) = f x y ( , ) í ï ïï ï ï 2 = f x x ''( ) 6 ï î2 îï îï 2

2

æ 10 ö÷ ÷ = -6 ⋅ 10 < 0  x = 10 es un máximo.   f ´´çç çè 3 ÷÷ø 3 3

y 2 = 10 - x 2  y 2 = 10 -

10 20 20 10 20 = y=  El triángulo con mayor área tiene por catetos x = ey= .  3 3 3 3 3

 

  ì ì 3 x - 48 ï ïï ïï y = 12 ïìï xy = 12 f ´( x ) = =0 x=4 ïï ï x ï 2x2 ï ï a)  í 3   í í ï 3 x 24 ï 48 48 ïïï x + 2 y = f ( x , y ) ï ï f x ( ) + = f x f ´´( ) =  ´´(4) = > 0 ï ï î2 ï x x3 64 ï î 2 ï îï 2

En x  4 hay un mínimo.  y =

12  y = 4   Las dimensiones de la valla son 4 m de largo y 3 m de ancho.  x

b) El coste del marco será 1,5  2  3  12 €.   

  El perímetro del recinto viene dado por la fórmula  py + 2 x = 200 , y el área por 

py + xy 4 2

, que es lo que se quiere 

maximizar, por tanto:   ì py ì ï 200 py ï ï ï x = 100 ïìïpy + 2 x = 200 f ´( y ) = 100 =0 y = ï ï ï 200 ï 2 p 2 ïí 2 ï ï ,x =0   í 2 í y= py ï æ ö -p p y p + xy = f ( x , y ) ïï py ïïï ï ÷ ç ´´( ) 0 siempre f y = < 100 ( ) + y = f y ï ï ÷ ç ïî 4 ï ï èç 2 2 ø÷ ï î ï î 4

 

  ì ï ï y = 10 + 4 x ï ïìï( x - 2)( y - 4) = 18 ï x -2   ï í í ïîï xy = f ( x , y ) ïï æ 10 + 4 x ö÷ ç x = f ( x ) ÷ ï çç ÷ ï ï î è x -2 ø

367   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

f ´( x ) = 0 

f ´´( x ) =

y=

4 ( x 2 - 4 x - 5) ( x - 2)2

72

( x - 2)

3

 f ´´(5) =

8

ì x = -1  Se descarta. ï =0ï   í ï ï îx = 5 8 > 0  x = 5 es un mínimo.   3

10 + 4 x  y = 10  Las dimensiones de la hoja son x  5, y  10.  x -2

 

  ìï2 x + 2 y = 500 ìïï y = 250 - x   í ïî ïï xy = f ( x , y ) ï x (250 - x ) = f ( x ) î

a)  ïí

f ´( x ) = 250 - 2 x  f ´( x ) = 0  x = 125  

f ´´( x ) = -2 < 0 siempre  x = 125 es un máximo.   y = 250 - x  y = 125   Las dimensiones del rectángulo 125125 m, con lo que se obtiene un cuadrado.  ì2 x + y = 500 ï ì y = 500 - 2 x ï   ï í ï ï = xy f x y ( , ) ï ï x (500 - 2 x ) = f ( x ) î î

b)  ïí

f ´( x ) = 500 - 4 x  f ´( x ) = 0  x = 125   f ´´( x ) = -4 < 0 siempre  x = 125 es máximo.   y = 250 - 2 x  y = 250  Las dimensiones del rectángulo buscado son 125250 m. 

 

  2

æxö pçç ÷÷÷ æ ö÷ px 2 è ø p El perímetro de la figura es  2 y + ççç1 + ÷÷ x = 5  y su área es  xy + 2 = xy + . Por tanto, se tiene que resolver  è 2 8 2ø

el siguiente problema de maximización:  ìï ìï æ pö ï y = 5 - x çæç1 + p ö÷÷ ïïï2 y + ççç1 + ÷÷÷ x = 5 ïïï è 2 2 çè 2 ÷ø 2ø ï   í í 2 ïï ïï 5 x æç 4 + p ö÷ 2 px ï ï ( ) f x x = ÷ ç ïï xy + 8 = f ( x , y ) ïï 2 çè 8 ÷ø î ïî

f ´( x ) =

æ 4 + p ö÷ 5 10 - 2 x çç =0 x=   çè 8 ø÷÷ 2 4+p

æ 4 + p ö÷ f ´´( x ) = -2 çç < 0 siempre   çè 8 ÷÷ø

Por tanto, para  x =  

368   

10 5 ey= 4+p 4+p

 se tiene que el área es máxima. 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  La distancia del punto (6, 0) a un punto arbitrario de la curva ( x ,  2 x )  viene dado por la fórmula  d = ( x - 6)2 + ( 2 x )2 , donde d representa el módulo del vector que tiene por extremos ambos puntos.  2 ì ì x -5 ïïf ( x ) = x - 10 x + 36 ïïf ´( x ) = 0  =0 x =5 ï ï 2 ï ï x - 10 x + 36 ï ï x -5 ï ï í ï ïf ´( x ) = 11 ï x 2 - 10 x + 36 í ï f ´´( x ) = > 0 para x = 5  x = 5 es un mínimo. ï ï 3 ï ï 2 ï ï ( x - 10 x + 36) 11 ï ï î f ´´( x ) = ï 3 ï ï ( x 2 - 10 x + 36) ï î  

Los puntos pedidos son los de coordenadas  x = 5, y =  10 .      La recta, al pasar por el punto (2, 3) tendrá ecuación  y = mx + (3 - 2m) , donde m es la pendiente. Eso quiere decir  que el triángulo buscado tendrá catetos de distancia los cortes de la recta con los ejes.  Por otro lado, se quiere maximizar el área, que vendrá dada por la fórmula 

xy , así que se obtiene el siguiente  2

problema de maximización:  ì ï ï x = 2m - 3 ï ì y = mx + (3 - 2m) ï ï m ï ï ï ï ï   í xy í y = 3 - 2m ï ï = f ( x, y ) ï ï 2 ï ï 2 4 + 12 9 m m î ï f ( m) = ï ï 2m ï î 2 ìï ïïf ´´( m) = -4 m + 4 m - 9 2 ï ìï m3 ï ïf ´( m) = -8 m + 18 ïï æ 3 ö 2 ïïï ï 3 4m  ïíf ´´çç ÷÷ < 0  m = se descarta.   í ïï-8 m2 + 18 2 3 ïï çè 2 ÷ø ïï ï m =  =  0 2 -3 2 ïïï æç -3 ö÷ îï 4 m f ´´ proporciona un área mínima. ÷> 0  m = ïïïî ççè 2 ø÷ 2

3 2

Por lo que la recta buscada será  y = - x + 6 .   

  Respuesta abierta. Por ejemplo: 

 

369   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  Respuesta abierta. Por ejemplo: 

   

  Respuesta abierta. Por ejemplo: 

   

  Respuesta abierta. Por ejemplo: 

 

370   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  Respuesta abierta. Por ejemplo: 

   

 

   

  Respuesta abierta. Por ejemplo: 

 

371   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

 

   

 

 

372   

8

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

   

  a)  f ´( x ) = 2 x 2 + 3 x - 2  f ´( x ) = 0  x =

1 y x = -2   2

æ1 ö æ 1ö f(x) crece en  (-¥, - 2) È ççç , + ¥÷÷÷ y decrece en  ççç-2, ÷÷÷ .  è2

ø

è

2ø

1 2

f(x) tiene un mínimo en  x =  y un máximo en x  2.  4 3

f ´´(x)  4x  3 → f ´´(x)  0 → x = -   æ æ 4 ö 4ö f(x) es convexa en  ççç-¥, - ÷÷÷  y cóncava en  ççç- , + ¥÷÷÷ .  è

3ø

è 3

b)  f ´( x ) = 3 x 2 - 1  f ´( x ) = 0  x =  æ

f(x) crece en  ççç-¥, è

ø

3   3

æ 3 ÷ö÷ æç 3 3 3 ö÷÷ ÷ö ç , + ¥÷÷÷ y decrece en çç, .  ÷Èç ø è 3 3 ÷÷ø 3 ÷ø çè 3

f(x) tiene un mínimo en  x =

3 3 y un máximo en  x = - .  3   3

f ´´(x)  6x → f ´´(x)  0 → x  0  f(x) es convexa en  (-¥, 0 )  y cóncava en  (0, + ¥) .   

373   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

2 3

c)  f ´( x ) = 3 x 2 - 2 x  f ´( x ) = 0  x = 0 y x =   æ2

ö

æ

2ö

f(x) crece en  (-¥, 0) È ççç , + ¥÷÷÷ y decrece en ççç0 , ÷÷÷ .  è3 ø è 3ø   f(x) tiene un mínimo en  x =

2 y un máximo en x  0.  3  1 3

f ´´(x)  6x  2 → f ´´(x)  0 → x =   æ æ1 ö 1ö f(x) es convexa en  ççç-¥, ÷÷÷  y cóncava en  ççç , + ¥÷÷÷ .  è

3ø

è3

ø

4 3

d)  f ´( x ) = 3 x 2 - 4 x  f ´( x ) = 0  x = 0 y x =   æ4 ö æ 4ö f(x) crece en  (-¥, 0) È ççç , + ¥÷÷÷ y decrece en  ççç0, ÷÷÷ .  è3

ø

f(x) tiene un mínimo en  x =

è

3ø

4 y un máximo en x  0.  3  2 3

f ´´(x)  6x  4 → f ´´(x)  0 → x =   æ

2ö 3

æ2

ö

f(x) es convexa en  ççç-¥, ÷÷÷  y cóncava en  ççç , + ¥÷÷÷ .  è ø è ø 3

e)  f ´( x ) = 3 x 2 - 6 x  f ´( x ) = 0  x = 0 y x = 2   f(x) crece en  (-¥, 0) È (2, +¥)  y decrece en (0, 2) .  f(x) tiene un mínimo en x  2 y un máximo en x  0.  f ´´(x)  6x  6 → f ´´(x)  0 → x  1.  f(x) es convexa en  (-¥, 1)  y cóncava en  (1, + ¥) .     

  a)  f ´( x ) = 3 x 2 - 2 x - 2  f ´( x ) = 0  x = æ

f(x) crece en  ççç-¥, è

1 7   3

æ 1- 7 1 + 7 ö÷ 1- 7 ÷÷ö çæ 1 + 7 ÷ö ÷÷ .  , + ¥÷÷÷ y decrece en ççç , ÷ø÷ È çèç ø è 3 3 3 3 ø÷  

f(x) tiene un mínimo en  x =

1+ 7 1- 7 .  y un máximo en  x = 3   3

1 3

f ´´(x)  6x  2 → f ´´(x)  0 → x =   æ æ1 ö 1ö f(x) es convexa en  ççç-¥, ÷÷÷  y cóncava en  ççç , + ¥÷÷÷ .  è ø è ø 3 3

 

374   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

1 3

b)  f ´( x ) = 3 x 2 - 2 x - 1  f ´( x ) = 0  x = - y x = 1   æ æ 1 ö 1ö f(x) crece en  ççç-¥,- ÷÷÷ È (1, + ¥) y decrece en ççç- , 1÷÷÷ .  è è 3 ø 3ø  

1 3

f(x) tiene un mínimo en x  1 y un máximo en  x = - .  1 3

f ´´(x)  6x  2 → f ´´(x)  0 → x =   æ æ1 ö 1ö f(x) es convexa en  ççç-¥, ÷÷÷  y cóncava en  ççç , + ¥÷÷÷ .  è

3ø

è3

ø

c)  f ´( x ) = x 2 - 4 x + 3  f ´( x ) = 0  x = 1 y x = 3   f(x) crece en  (-¥, 1) È (3, +¥)  y decrece en (1, 3 ) .  f(x) tiene un mínimo en x  3 y un máximo en x  1.  f ´´(x)  2x 4 → f ´´(x)  0 → x  2.  f(x) es convexa en  (-¥, 2)  y cóncava en  (2, + ¥) .     

 

 

 

 

 

375   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

     

 

 

  14 ⋅ 2( x + 4) 28  e)  f ´´( x ) = =< 0  La función es siempre convexa.   ( x + 4)4 ( x + 4)3

   

376   

8

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

 

   

  a)  Asíntota horizontal: xlim ¥

x +3 = 1 y = 1   x -4

Asíntota vertical: x - 4 = 0  x = 4  

  6x =6 y =6   b) Asíntota horizontal: xlim ¥ x - 4

Asíntota vertical:  x - 4 = 0  x = 4  

 

 

 

377   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

c)  Asíntota horizontal:  xlim ¥

8

x2 -1 = 1 y = 1   x2 +1

Asíntota vertical:  x 2 + 1 > 0 "x Î   No existe.  

   

 

 

378   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

   

  a)  Tiene una asíntota vertical en x  3 y no tiene asíntota horizontal.  Tiene una asíntota oblicua en y  x  3.  En x  3: 

x2 + 2 < x + 3  La gráfica está por debajo de la asíntota.  x -3

En x  3: 

x2 + 2 > x + 3   La gráfica está por encima de la asíntota.  x -3

ìï ïïï xlim ïí  3 ïï ïï lim+ ïî x  3

x2 + 2 = -¥ x -3 x2 + 2 = +¥ x -3

 

 

b) Tiene una asíntota vertical en x  3 y no tiene asíntota horizontal.  Tiene una asíntota oblicua en y  x  3.  En x  3: 

x2 - 2 < x +3 x -3

En x  3: 

x2 - 2 > x + 3   La gráfica está por encima de la asíntota.  x -3

ìï ïï lim ïï x  3í ïï ïïï xlim + î 3

 La gráfica está por debajo de la asíntota. 

x2 - 2 = -¥ x -3 2 x -2 = +¥ x -3

 

 

c)  Tiene asíntota vertical en x  1 y no tiene asíntota horizontal. Tiene asíntota  oblicua en y  x  1.  En x  1: 

x2 < x + 1 x -1

 La gráfica está por debajo de la asíntota. 

En x  1: 

x2 > x + 1 x -1

 La gráfica está por encima de la asíntota. 

ìï ïï lim ïï x 1í ïï ïïï xlim + î 1

x2 = -¥ x -1 2 x = +¥ x -1

 

379   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

d) Tiene asíntota horizontal en y  1 y no tiene asíntota vertical ni oblicua.  "x Î  

x2 < 1   La gráfica está por debajo de la asíntota.  x +1 2

   

 

 

 

380   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

 

 

381   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

 

 

 

 

 

382   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

 

 

 

383   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

 

 

384   

8

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

 

   

385   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

   

  a)  El dominio vendrá dado por todos los números que no anulen el denominador. Por tanto,  Dom f =  - {1} .  No tiene puntos de corte con el eje X, ya que  f ( x ) ¹ 0 "x Î  .  Punto de corte con el eje Y:  x  0 → f(0)  1 → El punto de corte es (0, 1).  No tiene asíntotas horizontales.  Tiene asíntotas verticales en  x = 1. 

386   

8

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

f ´( x ) =

2 x ( x 4 - 2 x 2 - 3)

( x 2 - 1)

2

2 x ( x 4 - 2 x 2 - 3)

( x 2 - 1)

2

8

 

ì ì ïïf ´( x ) > 0 en (- 3, - 1) È (-1, 0) È ( 3, + ¥) ïx = 0 =0ï  ïí   í ï ï x =  3 ïï ïf ´( x ) < 0 en (-¥, - 3 ) È (0, 1) È (1, + 3 ) î î

La función decrece en  (-¥, - 3 ) È (0, 1) È (1, + 3 ) y crece en  (- 3, - 1) È (-1, 0) È ( 3, + ¥) .    Se calcula la segunda derivada  f ´´( x ) =

2( x 6 - 3 x 4 + 15 x 2 + 3)

( x 2 + 1)

3

 y se evalúa en los puntos críticos: 

f ´´(- 3 ) = 12 > 0  x = - 3 mínimo  

f ´´(0) = -6  x = 0 máximo

f ´´( 3 ) = 12 > 0  x =

3 mínimo

 

 

  b) El dominio vendrá dado por todos los números que no anulen el denominador. Por tanto,  Dom f =  - {1} .  Punto de corte con el eje X:  f ( x ) = 0  x = 2  El punto de corte es (2, 0). 

  Punto de corte con el eje Y: 

x = 0  f (0) = -2   El punto de corte es (0, 2). 

No tiene asíntotas verticales.  Tiene asíntota horizontal en y  0.  f ´( x ) =

f ´´( x ) =

-x 2 + 4 x + 3

( x 2 + x + 1)

2

ì ïïf ´( x ) < 0 en x Î (-¥, 2 - 7 ) È (2 + 7, + ¥)  f ( x ) crece. ï í ï ï ï îf ´( x ) > 0 en x Î (2 - 7, 2 + 7 )  f ( x ) decrece.

2( x 3 - 6 x 2 + 9 x - 1)

( x 2 + x + 1)

3

ì ïf ´´(2 - 7) > 0  x = 2 - 7 es mínimo. ï   í ï ï ï îf ´´(2 + 7) < 0  x = 2 + 7 es máximo.

 

 

 

 

387   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

c)  El dominio, vendrá dado por todos los números que no anulen el denominador. Por tanto,  Dom f =  - {-1} .  Punto de corte con el eje X:  f ( x ) = 0  x = 1   El punto de corte es (1, 0). 

Punto de corte con el eje Y:  x = 0  f (0) = -1   El punto de corte es (0, 1). 

Tiene asíntota horizontal en y  0.  f ´( x ) = -

f ´´( x ) =

ìf ´( x ) < 0 en x Î (-¥, 0) È (2, +¥)  f ( x ) crece. ï ï   í ( x - x + 1) ïïîf ´( x ) > 0 en x Î (0, 2)  f ( x ) decrece. x ( x - 2)

2

2

2( x 3 - 3 x 2 + 1)

( x 2 - x + 1)

3

ì ï ïf ´´(0) = 2 > 0  x = 0 mínimo ï   í -2 ï < 0  x = 2 máximo f ´´(2) = ï ï 9 ï î

  d) El dominio, dado por todos los números que no anulen el denominador. Por tanto,  Dom f =  - {-1} .  No tiene puntos de corte con el eje X, ya que  f ( x ) ¹ 0 "x Î  .  Punto de corte con el eje Y:  x = 0  f (0) = 1  El punto de corte es (0, 1). 

Tiene asíntota vertical en x  1.  Tiene asíntota horizontal en y  0.  f ´( x ) = -

x ( x 3 + 3 x 2 - 2)

(x

3

+ 1)

2

Puesto que  f ´( x ) = -

f ´´( x ) =

ìf ´( x ) < 0 en x Î (-¥, - 1) È (-1, 0) È (0,596; + ¥)  f ( x ) crece ï ï   í ï îïf ´( x ) > 0 en x Î (0; 0,596)  f ( x ) decrece

x ( x 3 + 3 x - 2)

( x 3 + 1)

2

2( x 6 + 6 x 4 - 7 x 3 - 3 x + 1)

( x 2 + 1)

3

 se anula en x  0 y en x  0,596. Calculamos la segunda derivada: 

, que si es evaluada en los puntos críticos, se obtiene:

ì f ´´(0,596) = - 1,650 < 0  x = 0,596 máximo ï ï   í ï ï îf ´´(0) = 2 > 0  x = 0 mínimo

 

388   

 

8

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  ▪   Su máximo es (0, 1) y la tangente es horizontal para x  1 y x  1.  Son características de g(x)  x4  2x2  1:  g ´( x ) = 4 x 3 - 4 x  g ´( x ) = 0  x = 1 y x = 0  

La derivada en los puntos x  1 y x  1 es 0, con lo que la tangente será horizontal en esos puntos.  g ´´( x ) = 12 x 2 - 4  g ´(0) = -4 < 0  x = 0 máximo

  

 

 

g (0) = -1  (0, - 1) máximo  

▪   Tiene dos asíntotas verticales.  Es característica de  j ( x ) =

x2 + 1 .  x2 - 2

Las asíntotas horizontales se tienen cuando el denominador se anula. En este caso en se tienen dos asíntotas:  en x  2 y en x  2.  ▪   Su máximo es (1, 4) y la tangente es horizontal para x  1 y x  1.  Son características de h(x)  x3  3x  2  ìïh´( x ) = -3 x 2 + 3  h´( x ) = 0  x = 1 ïï ïíh´´( x ) = -6  h´´(1) = -6 < 0  x = 1 máximo   ïï ïïîh(1) = 4  (1, 4) máximo

▪   Es creciente siempre.  Es característica de  f ( x ) = f ´( x ) =

x3 + x2 + x 10

. 

3x2 + 2x + 1 > 0 "x Î   f ( x ) siempre crece.  10  

i(x) y k(x) no cumple ninguna de las características.   

  a)  El dominio de las funciones exponenciales coincide con el dominio de su  exponente. Como su exponente es un polinomio,  Dom f =  .  No tiene puntos de corte con el eje X.  Punto de corte con el eje Y:  x = 0  f (0) = 1+ e3  El punto de corte es (0, 1  e3).  Tiene asíntota horizontal en y  1 cuando x → ∞.  No tiene asíntotas verticales.  f ( x ) = 1 + e x + 3  f ´( x ) = e x + 3 > 0 "x Î   f(x) es siempre creciente.   

389   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

b) El dominio de las funciones exponenciales coincide con el dominio de su  exponente. Como su exponente es un polinomio,  Dom f =  .  No tiene puntos de corte con el eje X.  Punto de corte con el eje Y:  x = 0  f (0) =

æ 1ö e0 1 =  El punto de corte es  ççç0, ÷÷÷ .  è 2ø 2 2

Tiene asíntota horizontal en y  0 cuando x → ∞.  No tiene asíntotas verticales.  f (x) =

e2 x  f ´( x ) = e 2 x > 0 "x Î   2

 

f(x) es siempre creciente. 

c)  El dominio de las funciones exponenciales coincide con el dominio de su  exponente. Como su exponente es un polinomio,  Dom f =  .  No tiene puntos de corte con el eje X.  Punto de corte con el eje Y:  x = 0  f (0) = 3e  El punto de corte es (0, 3e).  Tiene asíntota horizontal en y  0 cuando x → ∞.  No tiene asíntotas verticales.  f ( x ) = 3e1- x  f ´( x ) = -3e1- x < 0 "x Î   f(x) es siempre decreciente.    d) El dominio de las funciones exponenciales coincide con el dominio de su  exponente. Como su exponente es un polinomio,  Dom f =  .  Punto de corte con el eje X:  0=

3 - ex  3 = e x  x = ln 3  2

El punto de corte es (ln 3, 0). 

Punto de corte con el eje Y:  3 - e0 2 = = 1  El punto de corte es (0, 1).  2 2 3 Tiene asíntota horizontal en  y = cuando x → ∞.  2  x = 0  f (0) =

No tiene asíntotas verticales.  f (x) =

3 - ex -e x  f ´( x ) = < 0 "x Î   2 2

 f(x) es siempre decreciente. 

 

  a)  El dominio de las funciones exponenciales coincide con el dominio de su exponente. Como su exponente es  un polinomio,  Dom f =  .  No tiene puntos de corte con el eje X.  Punto de corte con el eje Y:  æ 8ö 2 8 x = 0  f (0) = ⋅ 22 =  El punto de corte es  ççç0, ÷÷÷ .  è 5ø 5 5

Tiene asíntota horizontal en y  0 cuando  x  -¥ .  No tiene asíntotas verticales.  2 2 f ( x ) = 2 x +2  f ´( x ) = 2 x +2 ln 2 > 0 "x Î   f(x) es siempre creciente y, como  5 5  

f ´(x) no se anula en ningún punto, no tiene máximos ni mínimos. 

390   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

b) El dominio de las funciones exponenciales coincide con el dominio de su exponente. Como su exponente es  un polinomio,  Dom f =  .  No tiene puntos de corte con el eje X.  Punto de corte con el eje Y:  1

æ 3ö æ 1ö 3 x = 0  f (0) = 3 ççç ÷÷÷ =  El punto de corte es  ççç0, ÷÷÷ .  è 2ø è 2ø 2

Tiene asíntota horizontal en y  0 cuando x → ∞.  No tiene asíntotas verticales.  æ 1ö f ( x ) = 3 ççç ÷÷÷ è 2ø

x +1

 f ´( x ) = -2- x -1 ln 8 < 0 "x Î   f(x) es siempre decreciente y, 

  como f ´(x) no se anula en ningún punto, no tiene máximos ni mínimos.  c)  El dominio de las funciones exponenciales coincide con el dominio de su exponente. Como su exponente es  un polinomio,  Dom f =  .  No tiene puntos de corte con el eje X.  Punto de corte con el eje Y:  -1

æ 1ö x = 0  f (0) = 4 + ççç ÷÷÷ = 7  El punto de corte es (0, 7).  è3ø

Tiene asíntota horizontal en y  4 cuando x → ∞.  No tiene asíntotas verticales.  æ 1ö f ( x ) = 4 + ççç ÷÷÷ è3ø

x -1

 f ´( x ) = -31- x ln 3 < 0 "x Î   f(x) es siempre decreciente y, 

  como f ´(x) no se anula en ningún punto, no tiene máximos ni mínimos.  d) El dominio de las funciones exponenciales coincide con el dominio de su exponente. Como su exponente es  un polinomio,  Dom f =  .  No tiene puntos de corte con el eje X.  Punto de corte con el eje Y:  x = 0  f (0) =

4x 1 =  16 16

æ 1 ö÷ ÷ .  è 16 ø÷

El punto de corte es  ççç0,

Tiene asíntota horizontal en y  0 cuando x → ∞.  No tiene asíntotas verticales.  f ( x ) = 4 x -2  f ´( x ) =

ln 4 x 4 > 0 "x Î   f(x) es siempre creciente y, como f ´(x)  16  

no se anula en ningún punto, no tiene máximos ni mínimos.   

 

 

391   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

  a)  La función logarítmica está definida cuando su argumento es mayor que 0.  2 x > 0  x > 0  Dom f = (0, +¥)  

Puntos de corte con el eje X:  0 = log 3 2 x  2 x = 30 = 1  x =

æ1 ö 1  El punto de corte es  ççç , 0÷÷÷ .  è2 ø 2

No tiene puntos de corte con el eje Y.  No tiene asíntotas horizontales.  Tiene asíntota vertical en x  0.  f ( x ) = log 3 2 x  f ´( x ) =

1 > 0 "x > 0   f(x) es siempre creciente.  x ln 3

b) La función logarítmica está definida cuando su argumento es mayor que 0.  x + 1> 0  x >-1 Dom f = (-1, +¥)  

Puntos de corte con el eje X:  0 = log 2 ( x + 1)  x + 1 = 20 = 1  x = 0  El punto de corte es (0, 0). 

 

Punto de corte con el eje Y:  x = 0  f (0) = log2 (0 + 1) = log2 1 = 0  El punto de corte es (0, 0). 

 

No tiene asíntotas horizontales.  Tiene asíntota vertical en x  1.  f ( x ) = log 2 ( x + 1)  f ´( x ) =

1 > 0 "x > -1  f(x) es siempre creciente.  ( x + 1) ln 2  

c)  La función logarítmica está definida cuando su argumento es mayor que 0.  x > 0  Dom f = (0, +¥)  

Puntos de corte con el eje X:  0

æ 1ö 0 = log 1 x  x = ççç ÷÷÷ = 1  x = 1  El punto de corte es (1, 0).  è3ø 3

 

No tiene puntos de corte con el eje Y.  No tiene asíntotas horizontales.  Tiene asíntota vertical en x  0.  f ( x ) = log 1 x  f ´( x ) = 3

1 < 0 "x > 0  f(x) es siempre decreciente y, como  æ 1ö x lnçç ÷÷÷ è3ø

  f ´(x) no se anula en ningún punto, no tiene máximos ni mínimos. 

 

392   

 

8

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

d) La función logarítmica está definida cuando su argumento es mayor que 0.  x - 1> 0  x > 1  Dom f = (1, +¥)  

Puntos de corte con el eje X:  0 = log 5 ( x - 1)  x - 1 = 50 = 1  x = 2  El punto de corte es (2, 0). 

 

No tiene puntos de corte con el eje Y.  No tiene asíntotas horizontales.  Tiene asíntota vertical en x  1.  f ( x ) = log 5 x  f ´( x ) =

1 > 0 "x > 0  f(x) es siempre creciente y, como  x ln 5  

f ´(x) no se anula en ningún punto, no tiene máximos ni mínimos. 

e)  La función logarítmica está definida cuando su argumento es mayor que 0.  1 > 0  x > 0  Dom f = (0, + ¥)   x

Puntos de corte con el eje X:  æ 1ö 0 = lnççç ÷÷÷  x = 1  El punto de corte es (1, 0).  èxø

No tiene puntos de corte con el eje Y.  No tiene asíntotas horizontales.  Tiene asíntota vertical en x  0.  æ 1ö 1 f ( x ) = lnççç ÷÷÷  f ´( x ) = - < 0 "x > 0  f(x) es siempre decreciente y, como  èxø x

  f ´(x) no se anula en ningún punto, no tiene máximos ni mínimos. 

f)  La función logarítmica está definida cuando su argumento es mayor que 0.  1 > 0 "x Î   Dom f =  x2 + 1

 

Puntos de corte con el eje X:  æ 1 ö÷ 1 0 = lnççç 2 = e0 = 1  x = 0  El punto de corte es (0, 0).  ÷ 2 è x + 1÷ø x +1

 

Puntos de corte con el eje Y:  æ 1 ö÷ x = 0  f (0) = lnççç 2 ÷ = ln 1 = 0  El punto de corte es (0, 0).  è 0 + 1ø÷

 

No tiene asíntotas horizontales.  No tiene asíntotas verticales.  ì ï ïf ´( x ) = - 22 x > 0 en x Î (-¥, 0)  f ( x ) es creciente. æ 1 ÷ö ï ï x +1 f ( x ) = lnççç 2 ÷ï í è x + 1÷ø ïï 2x f ´( x ) = - 2 < 0 en x Î (0, + ¥)  f ( x ) es decreciente.   ï ï x +1 ï î

Como en (0, 0) la función crece por la izquierda y decrece por la derecha, es  un máximo.  Para x ¹ 0, f ´( x ) = -

2x ¹0 x2 + 1

 No existen más máximos o mínimos. 

 

393   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

 

 

   

  a)  Se obtendrán ganancias siempre que los beneficios sean superiores a 0:  100 x + 4 > 0 "x > 0   x 2 + 150

75 x > 0 "x > 0 x 2 + 100

Es decir, siempre van a tener beneficios.      b)  fA ´( x ) = -

75( x 2 - 100) = 0  x = 10   ( x 2 + 100)2

 

 

fB ´( x ) =

-4(25 x 2 + 2 x - 3 750) 1 = 0  x = (1 + 93 751) ( x 2 + 150)2 25

Para comprobar si es máximo analizamos la segunda derivada. 

 

150 x ( x 2 - 300) 3 fA ´´( x ) =  fA ´´(10) = - < 0   2 3 ( x + 100) 80 fB ´´( x ) =

æ1 ö 8(25 x 3 + 3 x 2 - 11250 x - 150)  fB ´´ççç (2 + 93751)÷÷÷ » -0,026 < 0 è 25 ø ( x 2 + 150)3

Como en ambas funciones el candidato tiene signo negativo en la segunda derivada, es un máximo.    Los máximos beneficios son:  fA (10) =

15     4

c)  Dado que 

 

 

 

 

 

 

 

 

æ1 ö 1 fB ççç (2 + 93 751)÷÷÷ = (1 + 93 751)   è 25 ø 75

15 1 < (1+ 93 751) , la primera empieza a notar antes que la segunda el descenso de los beneficios.  4 75

d) En ningún momento tienen pérdidas ya que las funciones son mayores que 0 siempre. 

394   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  4

æxö f ( x ) = çç ÷÷÷ çè 10 ø

ìïf ( x ) < 0 en (0, 20 ) ïì x = 0 x   = 0  íï  íï ïîï x = 20 ïïf ( x ) > 0 en (20, 50 ) 25 î 2

Se calcula la primera derivada, para ver en qué intervalos f(x) crece y en cuáles decrece.  f ´( x ) =

ïì x = 0 f ´( x ) < 0  0 < x < 14,14213 4x3 2x = 0  ïí    4 ï 10 25 ïî x = 200 = 14,14213 f ´( x ) > 0  14,14213 < x < 50

f ´´( x ) =

12 x 2 2  f ´´(14,14213) > 0  x = 14,14213 es mínimo   10 000 25

A partir de 20 000 € es, rentable ya que la función es positiva y creciente.   

 

  a)  f (1) =

1- 5 - 6 10 = - = -5 º C   2 2 25 - 25 - 6 6 = - = -3 º C   2 2

f (5) =

b)  0 =

t 2 - 5t - 6  t 2 - 5t - 6 = 0  t = 6   2

-3 =

ïìt = 0 t 2 - 5t - 6  t 2 - 5t - 6 = - 6  t 2 - 5t = 0  ïí ïïît = 5 2

c)  f ´(t ) =

 

2t - 5 5 = 0  t = = 2 h 30 min   2 2

æ5 ù é 5ö Asciende en t Î ççç , 8 ú y desciende en t Î ê0, ÷÷÷ .  è2

úû

ëê

2ø

d) Como f(t)  0 cuando t  6, la temperatura es negativa en  t Î [0, 6)  y positiva en  t Î (6, 8] .  e)  La temperatura máxima se alcanza en uno de los extremos, en f(8)  9.  5

æ5ö

49

La temperatura mínima se alcanzará en  t = , y será  f ççç ÷÷÷ = - º C .  è 2ø 2 8

 

 

395   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

f)    Temperatura  (oC) 

Tiempo (h) 

   

  ìf ´( d ) > 0  d < 30 ï   ï ï îf ´( d ) < 0  d > 30

a)  f ´( d ) = 15 - d = 0  d = 30  ïí 2

El intervalo de ventas aumenta durante los primeros 30 días, y disminuye en los siguientes 30.  1 4

b)  f (1) = 100 + 15 - = 115,25 » 116 dispositivos vendidos el primer día.  c)  15d -

d2 = 15,25  d  1 y d  59 el primer y el quincuagésimo noveno día.  4

d) El día 30 es un candidato a máximo, porque la derivada se anula en ese punto.  1 f ´´(d ) = - < 0  d  30 es el día que más unidades se vendieron. En total fueron:  2   f (30) =100 + 450 -

e)  300 = 100 + 15d -

225 = 493,75 » 494 dispositivos.  4

d2  d  20 y d  40.  4

 

 

396   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  a)  N(1)  582 visitantes el día de la inauguración.  b) N(14)  2 376 visitantes el día de la clausura.  c)  N´(t ) = -3t 2 + 48t - 11> 0 para 1 £ t £ 14 , por lo que su máximo y su mínimo se encontrarán en los extremos del  intervalo.  El mínimo se tendrá en N(1) y el máximo en N(14).  d) De nuevo, los valores máximo y mínimo vendrán dados por N(14) y N(1).   

  a) 

ìï 2 ïïï 15 G ´( x ) = ïí ïï 150 ïï 2 ïî( x + 15)

si 0 < x < 15 si x > 15

ìïG ´( x ) < 0 en x Î (0, 15)  ïí ïïG ´( x ) > 0 en x > 15 î

 

   G(x) decrece en los 15 primeros meses y crece a partir de ahí.  b) Empieza decreciendo el gasto durante los primeros 15 meses y a partir de ahí comienza a crecer.  c)  Como la derivada no se anula, se alcanza un máximo en el extremo x  0, porque es decreciente, y un mínimo  en x  15, porque decrece a la izquierda y crece a la derecha.  d) La inversión será rentable durante los 15 primeros meses, porque el gasto decrece, y siempre que el gasto sea  menor que en el momento inicial, es decir, G(x)  3. Esto ocurre cuando:  3=

6 x - 60  3 x + 45 = 6 x - 60  3 x = 105  x = 35   x + 15

Por lo que se concluye que la inversión será rentable durante los primeros 35 meses, puesto que el gasto de  mantenimiento no excede el inicial, como para necesitar comprar una maquinaria nueva.   

 

 

397   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  4 2 5 ïì ïìï ìï f ´(1) = 1= ïïf ( x ) = x - 4 - 2 x ïïïf ´( x ) = 12 2 ïïï 9 ïï ( x + 2) (1 + 2) x +2 ï í í  f ´(1) < g ´(1)   í ïï ïï ïï x 3 3 7 ïï g ( x ) = x + 2 ïï g ´( x ) = 1 + ï ï g ´(1) = 1 + (1- 3)2 = 4 x -3 ïîï îï ( x - 3)2 ïîï

Y como la derivada en ese punto representa la pendiente de la función en dicho punto, al ser mayor esa  pendiente, se concluye que g(x) crece más rápidamente en x  1.  La mejor manera de mostrarlo gráficamente es dibujando las rectas tangentes de las dos funciones en x  1.  f(x)

g(x)

   

 

   

 

398   

 

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

PARA PROFUNDIZAR 

  -1 □  f ´(x)  2(x  5)2(1  2x) se anula en x  5 y  x = .  2

f ´(x)  4(x  2)(x  5)2 → f ´(x)  0 en x  2 y x  5  lim f ( x ) = +¥ïüï ïý  → f(x) toma su valor mínimo en un mínimo.  lim f ( x ) = +¥ïï x +¥ ïþ x -¥

f ´(x)  4(x  2)(x  5)2 → f ´(x)  0 en x  2 y x  5  Lo posibles mínimos están en x  2 y x  5. Calculamos el valor de la función en estos puntos, y el menor será  el mínimo:  f(2)  27, f(5)  0 → Por tanto, el valor mínimo de f(x) es 27.  □  Si se deriva f(x)  xn  xm  1, se obtiene f ´(x)  nxn  1  mxm  1. Igualamos la derivada a 0:  xm  1(nxn  m m)  0. Dicha ecuación se cumple cuando x  0 y cuando  x n-m = æ

f ´(x)  0 en  ççç0, n-m çè

m m .   x = n- m n n

m ö÷÷ ÷ , es decir, es decreciente en ese intervalo y como f(0)  1, en dicho intervalo no tiene  n ÷ø

solución la ecuación.  æ

f(x)  xn  xm  1 es continua y, como f(2)  0 y  f çççn-m çè

æ

solución en el intervalo  ççç n-m çè

m ö÷÷ ÷ < 0 , por el teorema de Bolzano, la función tiene una  n ÷ø

æ ö÷ m ö÷÷ m , 2÷  y, por ser f ´(x)  0 en  ççç n- m , ¥÷÷ , es decir, es creciente en ese intervalo, por  ÷ø çè n ÷ø n

el teorema del valor medio, la solución es única.  □  El cuadrilátero de mayor área es el formado por el triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm, cuya área es  24 cm2. Y el triángulo de mayor área con base 10 cm es el isósceles de altura 5 cm. Por tanto, el cuadrilátero  buscado tiene área 49 cm2.  □  No es ninguna de las soluciones, porque en x  8, f(8)  0 y se anulan ambas raíces.  Se puede reescribir  f ( x ) = x (8 - x ) - (8 - x )( x - 6) , donde se ve bien cómo se factorizan los polinomios de  dentro de las raíces, y para qué valores se anulan.   

399   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  ▪  f(x) es creciente en (∞, 1) y en (3, ∞), y es decreciente en (1, 3), por lo que  tiene un máximo en x  1 y un mínimo en x  3.  ▪  f(x) es convexa en (∞, 2) y cóncava en (2, ∞), por lo que tiene un punto de  inflexión en x  2.  ▪  f(x) tiene una simetría impar respecto del punto (2, f(2)).  Una posible representación de f(x) sería:     

   

▪  f ´(x) es positiva en (∞, 1) y en (1, ∞), y negativa en (1, 1), por lo que se  anular en x  1 y en x  1.  ▪  f ´(x) es decreciente en (∞, 0) y creciente en (0, ∞), por lo que tiene un  mínimo en x  0.  ▪  f ´(x) es par.  Una posible representación de f ´(x) sería:        Aplicando el teorema de Pitágoras se calcula el radio de las bases, que coincide con la mitad de la altura del  cilindro:  2 x 2 = 32  x =

9 3 3 = = 2  2 2 2 æ

2

ö

El área de las bases viene dado por  AB = p ççç 3 2 ÷÷÷ = 9p . Por tanto, el volumen será:  è2 ø 2 V = AB H =

 

400   

9p 27p 2 cm3   ⋅3 2 = 2 2

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  üï > 0  f (t ) es creciente siempreïï ïý  Entre t  0 y t  2 f(t)  0.  ïï ïïþ f (0) = -2 y f (t ) = 0  t = 2 f ´(t) =

8

( t + 2)

2

a)  A partir de t  2 la empresa deja de tener pérdidas.  b) La función es creciente siempre.  c)  Sí, el límite coincide con la asíntota horizontal y  2.   

  La función tiene dos asíntotas verticales, x  a y x  a.  æ 2ax 2 ö÷ lim- ççç 2 ÷÷ = +¥     x - a è x - a2 ø

 

 

 

 

æ 2ax 2 ö÷ lim+ ççç 2 ÷÷ = -¥   x - a è x - a2 ø

æ 2ax 2 ö÷ ÷÷ = -¥   lim- ççç 2 x  a è x - a2 ø

 

 

 

 

æ 2ax 2 ö÷ ÷÷ = +¥   lim+ ççç 2 x  a è x - a2 ø

 

Además, tiene una asíntota horizontal, y  2a. La gráfica está por encima de la  asíntota horizontal:  f ´( x ) =

-4 a3 x x 2 - a2

 → f ´(x)  0 para x  0 

Si x  0, f ´(x)  0 → f(x) crece.    decrece. 

 

 

 

Si x  0, f ´(x)  0 → f(x) 

 

  f ( x ) = ax + bx + cx  f (3) = 1  27 a + 9 b + 3c = 1 üïï ï 1ïï f ´( x ) = 3 ax 2 + 2bx + c  f ´(3) = 1  27 a + 9 b + c = ý    4 ïï ïï f ´´( x ) = 6 ax + 2b  f ´´(3) = 0  18 a + 2b ïïþ 3

 a=

2

1 1 1 , b=- , c =   108 12 2

Por tanto,  f ( x ) =

1 3 1 2 1 x - x + x .  108 12 2

 

401   

Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones

8

  Para que g(x) sea monótona creciente, g´(x) debe ser mayor que 0. Calculamos la derivada de g(x):  g´(x)  f ´(2x  x2)  (2  2x)  g´(x) es un producto de dos factores. Para que sea positiva, los dos factores deben tener el mismo signo:  2  2x  0 para x  1   

 

 

 

2  2x  0 para x  1 

Sabemos que f ´(t)  0 para los 8  t  8. Por tanto:  8  2x  x2  8 → 2  x  4 → Para  x Î (-2, 4)  f ´(2x  x2)  0.  Por tanto:  ìf ´(2 x - x 2 ) > 0ï ü ï ï ý  → ï ï > 2 2 x 0 ï ï î þ

Para  x Î (-2, 1)  ïí

ìf ´(2 x - x 2 ) > 0ï ü ï ï ý  → ï ï ï2 - 2 x < 0 ï î þ

Para  x Î (1, 4)  ïí

g´(x)  0 → g(x) es monótona creciente. 

g´(x)  0 → g(x) es monótona decreciente. 

 

MATEMÁTICAS EN TU VIDA    Función que calcula la variación de la aceleración en un movimiento con respecto al tiempo.      Un acelerón grande para adelantar rápidamente; un frenazo ante el riesgo de colisión con el vehículo delantero.   

  J(t)  s´´´(t)      J(t)  0 → a´(t)  0 → a(t)  constante   

  a)  v(t)  s´(t)  6t  2   

402   

 

 

 

 

b) a(t)  v´(t)  6 

 

 

 

 

c) J(t)  0