APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI y h1

A1

V1,p1

pa

EL MEDIDOR VENTURI h

h2

A2

Se usa para medir la rapidez de flujo en un tubo. La parte angosta del tubo se llama garganta.

pa

v2,p2

1 2 1 2 p1 + ρv1 + ρgy1= p2 + ρv2 + ρgy 2 = const 2 2 A2 v2 = A1v1

v2 =

y1=y2 p1=pa+ρgh1 p2=pa+ρgh2

A1 v1 A2

p1-p2=ρg(h1-h2)=ρgh 2

1 2 1 2 1 2  A1  1 2 1 2  A12  p1 − p2 = ρv2 − ρv1 = ρv1   − ρv1 = ρv1  2 − 1 2 2 2 2  A2  2  A2  Si A1 > A2, v2 > v1 y p2 < p1, una 1 2  A12  2 gh ρv1  2 − 1 = ρgh ⇒ v1 = fuerza neta hacia la derecha 2 A A A 2 ( / ) − 1 1 2  2  acelera el fluido que entra en la garganta

EJEMPLO 14.8 Entra agua en una casa por un tubo con diámetro interior de 2 cm a una presión absoluta p1=4 105 Pa. Un tubo de 1 cm de diámetro va al cuarto de baño del segundo piso, que está a una altura h=5 m. La rapidez de flujo en el tubo de entrada es v1=1.5 m/s. Calcule la rapidez de flujo, presión y razón de flujo de volumen en el cuarto del segundo piso.

p1 + p2, v2, y2=h d2=0.01 m

h

1 2 1 ρv1 + ρgy1= p2 + ρv22 + ρgy 2 = const 2 2

A1 0.012 m m π (d1 / 2) 2 v2 = v1 = v 1 . 5 6 = = A2 π (d 2 / 2) 2 1 0.0052 s s 1 ρ (v12 − v22 ) − ρgy2 = 2 1 3 m2 m2  5 3  4 10 Pa + (10 kg / m ) 2.25 2 − 36 2  + 2 s s   p2 = p1 +

− (103 kg / m3 )9.8

m 5m = 3.3 105 Pa s

A2

p1, v1, y1=0 d1=0.02 m

3 dV 2 m −4 m = A2v2 = π (0.005m) 6 = 4.7 10 dt s s

14.36 En un punto de una tubería, la rapidez del agua es de 3 m/s y la presión manométrica es de 5 104 Pa. Calcule la presión manométrica en otro punto de la tubería, 11 m más abajo, si el diámetro del tubo ahí es el doble que en el primer punto. v1=3 m/s y1

p1=5 104 Pa

A1,v1, p1

h=11 m d2=2d1

v1 A1 = v2 A2

1 2 p + ρgy + ρv = const 2

h=11 m y2

A2,v2, p2

π (d1 / 4) v1 A1 ⇒ v2 = v1 = v1 = = 0.75m / s 2 A2 π (4d1 / 4) 4 2

v1 A1 = v2 A2

1 2 1 ρv1 + ρgy1 = p2 + ρv22 + ρgy2 2 2 1 p2 = p1 + ρ (v12 − v22 ) + ρg ( y1 − y2 ) = 2 2 1 kg m kg m 5 10 4 Pa + 1000 3 (8.4375 2 ) + 1000 3 (9.8 2 )(11m) = 2 m s m s 5 10 4 Pa + 4218.7 Pa + 107800 Pa = 1.62 105 Pa p1 +

14.35 ¿Qué presión manométrica se requiere en una toma municipal de agua para que el chorro de una manguera de bomberos conectada a ella alcance una altura vertical de 15 m? (Suponga que la toma tiene un diámetro mucho mayor que la manguera). v2=0 y2 p a

1 2 p + ρgy + ρv = const 2

h=15 m

v1 ~0

y1

p1

p1 + ρgy1 = pa + ρgy2 kg m p1 − pa = ρg ( y2 − y1 ) = ρgh = 1000 3 (9.8 2 )(15m) = 1.47 105 Pa m s ** Esto no lo vimos en la clase**

*

14.39 Se descarga agua de un tubo horizontal cilíndrico a razón de 465 cm3/s. En un punto del tubo donde el radio es 2.05 cm, la presión absoluta es de 1.6 105 Pa. ¿Qué radio tiene una constricción del tubo donde la presión se reduce a 1.2 105 Pa? (Encontrar v1 con la ecuación de continuidad, después v2 con la ecuación de Bernoulli y el área A2 con la ecuación de continuidad…) dV p2,A2,v2 dV/dt=465 cm3/s v1 A1 = v2 A2 =

dt

p1=1.6 105 Pa p1,A1,v1

R1=2.05 cm p2=1.2 105 Pa

1 2 p + ρgy + ρv = const 2

dV cm3 (10 −2 m) 3 = 465 = 465 = A1v1 = πR12 v1 dt s s m 465 10 −6 (m 3 / s) v1 = = 0.35 2 π (0.0205m) s

1 2 1 2 p1 + ρv1 = p2 + ρv2 2 2 1 2 1 2 p1 − p2 + ρv1 = ρv2 2 2 2( p1 − p2 ) 2 m + v1 = 8.95 v2 = ρ s dV 465 10 −6 2 v2 A2 = ⇒ A2 = m = 51.9 10 −6 m 2 dt 8.95 A2 R2 = = 0.004m

π

MOVIMIENTO PERIODICO Un cuerpo que tiene un movimiento periódico se caracteriza por una posición de equilibrio estable. Cuando se le aleja de esa posición y se suelta, entra en acción una fuerza o un momento de torsión para volverlo al equilibrio. Sin embargo, para cuando llega ahí, ya ha adquirido cierta energía cinética que lo hace pasarse hasta detenerse del otro lado, de donde será impulsado otra vez hacia el equilibrio. Por ejemplo: PENDULO Sin fricción el movimiento continuaría por siempre.. desplazamiento

equilibrio X=0

Otro ejemplo es el sistema RESORTEMASA ilustrado en figura

m X0

F

X=0

Si desplazamos el cuerpo a la izquierda, x es negativo, el resorte está comprimido y ejerce una fuerza sobre el cuerpo hacia la derecha.

m X0 Fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo

Si desplazamos el cuerpo a la derecha, x es negativa, el resorte está estirado y ejerce una fuerza sobre el cuerpo hacia la izquierda.

Fuerza aplicada al resorte para desplazarlo

La fuerza sobre el cuerpo por el resorte y la posición x siempre tienen signos opuestos.

En este ejemplo del sistema resorte-masa, la fuerza F y el desplazamiento x están relacionados por la ley de Hooke (FUERZA DE RESTITUCION):

F = -kx

F

X=0 X=A

Si desplazamos el cuerpo a la derecha hasta x=A y lo soltamos, la fuerza neta y la aceleración son hacia la izquierda. La rapidez aumenta al aproximarse el cuerpo a la posición de equilibrio x=0. Cuando el cuerpo está en 0, la fuerza neta que actúa sobre él es cero, pero a causa de su energía cinética “rebasa” la posición de equilibrio.

F X=-A

En el otro lado la velocidad es a la izquierda pero la aceleración es a la derecha; la velocidad disminuye hasta que el cuerpo para en x=-A y repite el movimiento. Si no hay fricción u otra fuerza que elimine energía mecánica al sistema, el movimiento se repetirá eternamente.

Ese tipo de movimiento, con la fuerza de restitución directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio se llama MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (MAS)

En un ciclo completo el cuerpo se mueve de x=A a x=–A y regresa en x= A El movimiento armónico simple esta caracterizado por:
PERIODO (T): es el tiempo que tarda un ciclo. En el SI la unidad del periodo es el segundo (s).
FRECUENCIA (f): es el número de ciclos en la unidad de tiempo (f=1/T). La unidad de la frecuencia en el SI es el Hertz (Hz).
AMPLITUD (A): es la máxima magnitud del desplazamiento respecto al equilibrio, es decir, el valor máximo de |x|. Su unidad en el SI es el metro (m).
FRECUENCIA ANGULAR (ω): está relacionada a la frecuencia: ω = 2πf = 2π/T. Su unidad es el rad/s.