AMDG

AMDG

Colegio “Nuestra Señora de los Ángeles” (Santa Elisa) Matemática Elvia Bustamante

Álbum de aplicaciones de las cónicas

Mía Jimena Estrada Bonilla 5to Bachillerato en CCLL Clave:1 19 de Enero de 2,023

AMDG

Introducción En el este trabajo se pueden visualizar las distintas aplicaciones de las cónicas, las cuales son; circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. A estas secciones cónicas se les han dado concretado diferentes definiciones, las cuales nacen de ramas de la matemática, como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc. Coloqué las fórmulas de cada aplicación y sus ecuaciones generales para cualquier sección cónica. Es un tema importante ya que podemos llegar encontrar estas situaciones en nuestra vida cotidiana.

AMDG

Fórmulas La ecuación general para cualquier sección cónica es:

Ax2+ Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 A, B, C, D, E y F son constantes.

Círculo

(x – h ) 2 + ( y – k ) 2 = r2

El radio es r .

Elipse con el eje horizontal mayor

(x – h )2

Elipse con el eje vertical mayor

(x – h )2

Hipérbola con el eje horizontal transversal Hipérbola con el eje vertical transversal

Parábola con el eje horizontal Parábola con el eje vertical

El centro es ( h, k ).

+

a2

a2

(x – h )2 a2

=1

b2

+

b2

(x – h )2

(y – k)2

(y – k)2

=1

a2

-

-

(y – k)2 b2

(y – k)2

=1

=1

b2

El centro es ( h, k ). La longitud del eje mayor es 2 a . La longitud del eje menor es 2 b . La distancia entre el centro y cualquier foco es c con c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0. El centro es ( h, k ). La longitud del eje mayor es 2 a . La longitud del eje menor es 2 b . La distancia entre el centro y cualquier foco es c con c 2 = a 2– b 2 , a > b > 0. El centro es ( h, k ). La distancia entre los vértices es 2a La distancia entre los focos es 2 c . c2=a2+b2 El centro es ( h, k ). La distancia entre los vértices es 2a La distancia entre los focos es 2 c . c2=a2+b2

(y – k) 2 = 4 p ( x – h ), p ≠ 0

El vértice es ( h, k ). El foco es ( h + p, k ). La directriz es la recta x = h – p. El eje es la recta y = k.

(x – h ) 2 = 4 p ( y – k ), p ≠ 0

El vértice es (h, k ). El foco es ( h, k + p ). La directriz es la recta y = k – p . El eje es la recta x = h.

AMDG

2 problemas de aplicación en la vida cotidiana 1. La distancia focal de una elipse con centro en el origen es . Un punto de la elipse dista de sus focos y , respectivamente. Calcular la ecuación canónica de dicha elipse si el eje mayor está sobre el eje . La ecuación de la elipse y la excentricidad son: (x +4 )²/12 + ( y +4 )²/ 16 = 1 ; e = 1/2 . La ecuación de la elipse y la excentricidad se calculan mediante la aplicación de la fórmula: ( x-h)²/b² + ( y-k )²/a²= 1 y la excentricidad : e = c/a, de la siguiente manera: F1 = ( -4,-2 )

F2 =( -4, -6 )

Lr = 6

Lr = 2b²/a

⇒ 6 = 2b²/a

⇒b²= 3a

Ec elipse =? excentricidad = e =? Punto medio

⇒ centro = C ( h,k )

de los focos

Pm = (-4+(-4)/2 , -2 +(-6)/2 ) C = ( -4 , -4 )

h = -4 k = -4

c = 2 distancia de centro a un foco relación : a² = b²+ c² a² = 3a + 2² a²- 3a -4 =0 De donde : a = -1 ; a = 4 b= √( 3*4 ) = √12 b = 2√3

Ecuación de la elipse : ( x-h)²/b² + ( y-k )²/a²= 1 ( x +4 )²/12 + ( y +4 )²/ 16 = 1 Excentricidad : e = c/a = 2/4 = 1/2

AMDG

2. El arco de un túnel es una semi elipse si el ancho es 100 metros y la altura máxima es de 10 metros. Determina la altura a 30 metros a la izquierda del centro.

AMDG

E grafía 1. Secciones cónicas y formas estándar de las ecuaciones 2023 Varsity Tutors - A Nerdy Company. All rights reserved. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topic s/conic-sections-and-standard-forms-of-equations 2. Ejercicios y problemas con la ecuación de la elipse Superprof https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/co nica/ejercicios-de-la-ecuacion-de-la-elipse.html