1 Tecnicas experimentales I

Práctica 4 de Electromagnetismo

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TOPOGRAFÍA DEL CAMPO MAGNETOSTÁTICO

Objetivos -

Medida del campo magnetostático en el eje de una bobina o en el de un par de bobinas de Helmholtz.

-

Topografía del campo magnetostático generado por dos bobinas.

-

Medida del campo magnetostático en el eje de un solenoide y determinación de la permeabilidad magnética en el vacío.

-

Medida de la componente tangencial del campo magnético terrestre.

Teoria

APLICACIONES ELEMENTALES DE LA LEY DE BIOT-SAVART Mediante la ley de Biot-Savart puede determinarse el campo magnético creado por una distribución de corrientes dada. En particular, resulta sencillo obtener el campo magnético en el eje de una configuración de corrientes que presenta simetría axial. Por ejemplo, en el eje de una espira circular de radio R0, por la que circula una intensidad de corriente I, la expresión del campo magnético resulta ser(*): zˆ

R0

xˆ r B=

µ 0 I R02 2 ( x 2 + R02 ) 3 / 2

xˆ (1)

I

Fig. 1

(*)

Adviértase que en el presente guión, en contra de la notación habitual, la coordenada axial es llamada coordenada x, mientras que la coordenada que en este caso llamamos z es la radial. De este modo, las expresiones teóricas quedan adaptadas a la notación por la que se rige el instrumental de medida que se va a emplear.

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Sin embargo, en general no puede encontrarse una expresión analítica para el campo magnético que crean estas configuraciones en puntos fuera del eje. BOBINAS DE HELMHOLTZ Ésta es una configuración frecuentemente empleada para conseguir un campo relativamente uniforme en una pequeña región del espacio. Consiste en dos bobinas iguales, coaxiales, y separadas por una distancia tal que la segunda derivada del campo magnético se anula en el punto del eje equidistante de ambas bobinas (figura 2).

zˆ d

d

R0

xˆ

I

I Fig. 2 – Bobinas de Helmholtz

El campo magnético en el eje de las bobinas se calcula con facilidad por superposición de las contribuciones de cada bobina, las cuales se obtienen directamente adaptando (1) a la posición y dimensiones de cada una de ellas.

  r µ I N R02  1 1  B ( x) = 0 +  xˆ  3 / 2 3 / 2 2 2 2 2 2   ( x − d ) + R0 ( x + d ) + R0

[

]

[

(N es el número de vueltas que tiene cada bobina).

]

(2)

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La simetría de esta configuración asegura que todas las derivadas impares de Bx(x) son nulas en x = 0, puesto que Bx(x) resulta simétrica respecto a x = 0. Además, puede comprobarse con facilidad que la segunda derivada, evaluada en x = 0, toma la siguiente expresión: d 2 Bx d x2

= 3µ 0 NIR02

4d 2 − R02 (d 2 + R02 ) 7 / 2

(3)

Que se anula si se verifica que 2d = R0. Por consiguiente, si se desarrolla Bx(x) en serie de Taylor en torno a x = 0, se obtiene que: Bx(x) = Bx(0) +

4 1 4 d Bx x + ... 24 d x 4 x =0

(4)

Si la cuarta derivada se evalúa en x = 0, se obtiene que Bx(x) puede escribirse como:  144  x  4     Bx(x) ≈ Bx(0) 1 −  125  R0     De manera que, cuando

(5)

x < R0/10, Bx(x) se diferencia de Bx(x = 0) en un factor

menor que 1.5 10-4. Es decir, resulta una buena aproximación considerar el campo magnético constante en la zona del eje entre x = - R0 / 10 y x = R0 / 10. SOLENOIDE

A efectos de cálculo del campo magnetostático, un solenoide puede describirse como un conjunto de espiras circulares iguales, coaxiales y uniformemente apiladas. El campo magnetostático en su eje resulta tener únicamente componente axial, cuyo valor es:

zˆ L/2

Fig. 3

L/2

R0 xˆ

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  L L   −x +x µ0 I N   2 2 + Bx(x) =   1 / 2 1 / 2 2 L  L L     2 2 ( + x) 2 + R02   ( 2 − x) + R0      2   

(6)

Si el solenoide es suficientemente largo y el punto en el que se observa el campo magnético está suficientemente alejado de los extremos, esta expresión se simplifica considerablemente: tanto x como R0 resultan despreciables con respecto a L, por lo que cada término dentro de la llave de la expresión anterior tiende a la unidad. Por consiguiente: Bx(x) =

µ0 I N L

(7)

En estas condiciones, puede demostrarse que el campo magnético no solamente toma este valor en el eje, sino en cualquier punto dentro del solenoide. CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE El campo magnético terrestre presenta una topografía compleja, con multitud de irregularidades de carácter local. Además, está sujeto a continuas fluctuaciones temporales. Concretamente, la localización de los polos magnéticos puede modificarse algunas decenas de kilómetros al año. No obstante, suele considerarse que, en primera aproximación, el campo magnético terrestre es similar al que crearía un dipolo magnético situado en el centro de la Tierra y orientado en una dirección cercana a la del eje de rotación, con su polo Norte apuntando hacia el polo Sur geográfico (ver figura). Por tanto, podemos expresar dicho campo de la forma siguiente: r µ m B = − 0 (2 cosθ rˆ + senθ θˆ ) 4πR 3

(8)

en donde la orientación correspondiente al Norte geográfico se utiliza como origen del ángulo polar. De este modo, el vector unitario θˆ apunta en dirección Sur y θ = α − 90º, siendo α la latitud (considerada como positiva si se trata de latitud Norte

y como negativa si se trata de latitud Sur).

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Norte geográfico

Líneas del campo magnético terrestre Fig. 4

En determinados experimentos, es necesario tener en cuenta el campo magnético terrestre e incluso compensarlo generando un campo magnético opuesto orientado en la dirección y sentido adecuados, lo cual puede conseguirse experimentalmente mediante dos pares de bobinas de Helmholtz perpendiculares. INSTRUMENTAL DE MEDIDA SONDA HALL

Recordemos que el efecto Hall tiene su origen en la llamada fuerza de Lorentz, que ejerce el campo magnético sobre toda partícula cargada en movimiento r r r ( Fm = q(v × B) ). En la figura adjunta, tal fuerza origina una tendencia a que los portadores de carga (electrones) se desplacen hacia adelante, de forma que en la célula se origina una distribución de carga que da lugar a un campo eléctrico. Dicho campo r ejerce sobre las partículas cargadas una fuerza Fe en sentido contrario a la fuerza de Lorentz. La situación de equilibrio queda determinada por la compensación de estas dos r r fuerzas contrapuestas. En estas condiciones ( B perpendicular a v ), es inmediato obtener la expresión de la diferencia de potencial entre las caras anterior y posterior: VH = v.a.B. Suponiendo que mantenemos la intensidad constante, con lo cual también lo será la velocidad promedio de los portadores de carga, en este tipo de dispositivos se tiene una relación lineal entre el campo magnético y la diferencia de potencial. Si la célula Hall ha sido previamente calibrada (es decir, si se ha medido el voltaje que proporciona

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sometida a un campo magnético conocido), podemos determinar campos magnéticos experimentalmente a partir de la medida del voltaje Hall que generen. r B

+++++++++ r r v Fe r Fm _________ a

I

_

+ VH

Fig. 5 – Esquema de una sonda Hall

En esencia, el teslámetro que se va a manejar consiste en dos células Hall en forma de lámina de unos pocos milímetros, dispuestas perpendicularmente entre sí para poder determinar dos componentes ortogonales del campo magnético. Las células se conectan por una parte a una fuente de tensión continua, que asegura un valor constante de I, y por otra a un voltímetro. La lectura de éste lleva incorporado el factor apropiado para que proporcione directamente el valor del campo magnético expresado en militeslas. Previamente a la utilización de la sonda, se debe realizar el ajuste a cero, obviamente en ausencia de campo magnético. Durante las medidas es conveniente reajustar la escala cada cierto tiempo, puesto que se observa cierta deriva en la respuesta de la sonda ante campo magnético cero. BRUJULA DE TANGENTES

Consiste en una aguja imanada cuyo centro se coloca sobre un pivote, el cual se halla en el centro de una o varias espiras conductoras. Se utiliza para determinar experimentalmente la componente horizontal del campo magnético terrestre, BH (esto es, la componente θˆ en la expresión 8, suponiendo que la forma de la Tierra es perfectamente esférica). Para ello, se debe colocar la brújula de modo que cuando por las espiras no circula corriente la aguja esté contenida en el plano de las espiras. De esta manera, la dirección horizontal del plano de las espiras es la dirección de BH.

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Seguidamente, se hace pasar una corriente conocida por la espira. Se genera, pues, un r campo magnético B E que, en el centro de la espira, resulta ser perpendicular a ésta y, por tanto, perpendicular a BH. La aguja imanada se orientará en la dirección del campo magnético total. Dado que se conoce el campo que crea la espira en su centro (aplicando (1)), BH puede determinarse midiendo el ángulo que gira la aguja con respecto a su posición cuando I=0 (figura 6):

I BH

φ B H = B E / tgφ =

µ0 I

2 R0 tgφ

(9)

BE

Fig. 6

MODO OPERATORIO 1.- BOBINAS DE HELMHOLTZ A.- Colocar la bobina móvil en la posición x = 10 cm

Hacer pasar una intensidad de 0.5 amperios por dicha bobina y medir el campo magnético desde x = 0 cm hasta x = 20 cm, a intervalos de 2 cm. PRECAUCIÓN: Tanto en este montaje como en todos los que siguen, al suministrar la corriente al sistema (es decir, a las bobinas o al solenoide), éste se debe colocar en serie con un reostato de modo que la fuente de tensión no quede en cortocircuito.

Repetir las medidas con intensidades de 1 A y 1.5 A. Mediante una tabla o gráficamente, comparar las medidas con los valores teóricos esperados, teniendo en cuenta que cada bobina contiene 95 espiras, con un radio medio de 6.5 cm.

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B.- Conectar las bobinas de forma que la corriente se oriente en ambas en el mismo

sentido y distanciar sus centros 6.5 cm. Así, se adopta la configuración de Helmholtz. Hacer pasar una corriente de 0.5 A por ambas bobinas. Medir el campo magnético a lo largo de todo el rango que permite el montaje, a intervalos de 1 cm. Comparar las medidas con los valores teóricos esperados mediante una tabla o gráficamente. C.- Colocar las bobinas a una distancia d y hacer pasar por ellas una intensidad I, siendo

tanto d como I magnitudes cuyo valor se indicará en el momento de la realización de este apartado. Realizar la conexión entre las bobinas de manera que la intensidad circule por ambas en el mismo sentido. Colocar la sonda Hall sobre la plataforma elevadora. Medir el campo magnético tanto en el eje de las bobinas, en 10 puntos diferentes, como a lo largo de cuatro líneas más, paralelas al eje, igualmente en 10 puntos diferentes. Una de esas líneas debe ser exterior a las bobinas. Repetir estas medidas invirtiendo el sentido de la intensidad en una de las dos bobinas. Representar en papel milimetrado el mapa de vectores obtenido. 2.- SOLENOIDE A.- Conectar la corriente (I = 1 A) al solenoide de 40 cm.

Medir el campo magnético que se tiene entre x = 0 (centro del solenoide) y x = 24 (máximo que permite el montaje), a intervalos de 1 cm. B.- Conectar la corriente (valor de intensidad indicado por el profesor) a uno de los

solenoides pequeños (el que, para cada grupo, señale el profesor). Repetir la medida del apartado A.

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C.- Conectar el generador al solenoide de 40 cm. Colocar la sonda en el centro del

solenoide. Variar la intensidad desde 0 hasta 2 A., a intervalos de 0.2 A, y medir el campo magnético en cada caso. Determinar la permeabilidad magnética del vacío por ajuste a una recta de los datos experimentales obtenidos. En todos los casos, comparar los resultados obtenidos con los esperados teóricamente. 3.- BRUJULA DE TANGENTES

Colocar la brújula de manera que la aguja imanada se encuentre en el plano que contiene las espiras circulares. Suministrar a la espira de menor radio intensidades de diferentes valores (desde 0.1 A hasta 1 A, a intervalos de 0.1 A). Para cada valor de intensidad empleado, anotar la posición angular de la aguja una vez ésta haya alcanzado el equilibrio. Representar la tangente de la posición angular de la aguja frente a la intensidad suministrada. Ajustar los puntos experimentales a una recta y deducir de dicho ajuste el valor de la componente horizontal del campo magnético terrestre.

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TABLAS DE RESULTADOS EXPERIMENTALES

1. A. Campo magnético en el eje de una bobina Coordenada I = mA axial Bx (mT)

Bz (mT)

I= mA Bx (mT)

Bz (mT)

I= mA Bx (mT)

Bz (mT)

1. b. Campo magnético en el eje de dos bobinas en configuración de Helmholtz Coordenada I = mA axial Bx (mT)

Bz (mT)

I= mA Bx (mT)

Bz (mT)

I= mA Bx (mT)

Bz (mT)

Fecha: - 200 .Práctica realizada por: ……………………………………………………… ……………………………………………………….

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1. c. Topografía del campo magnético creado por dos bobinas. Distancia entre las bobinas: ________ cm. Intensidad que circula por ellas: ________ A. (en ambas en el mismo sentido)

x (cm)

z = cm Bz Bx (mT) (mT)

z = cm Bz Bx (mT) (mT)

z = cm Bx Bz (mT) (mT)

z = cm Bx Bz (mT) (mT)

z = cm Bz Bx (mT) (mT)

Intensidad que circula por ellas: ________ A. (en sentidos opuestos)

x (cm)

z = cm Bz Bx (mT) (mT)

z = cm Bz Bx (mT) (mT)

z = cm Bx Bz (mT) (mT)

z = cm Bx Bz (mT) (mT)

z = cm Bz Bx (mT) (mT)

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2 A Campo magnético en el eje de un solenoide de 40 cm de longitud. x(cm) Bx(mT) x(cm) Bx(mT) 2 B. Campo magnético en el eje de un solenoide de _______ cm de longitud x(cm) Bx(mT) x(cm) Bx(mT) 2 C – Medida de la permeabilidad magnética en el vacío I(A) B(mT) 3 – Campo magnético terrestre I(A) ϕ tg ϕ

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