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I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
APRENDEMOS ALGO DE LÓGICA PROPOSICIONAL APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica las operaciones lógicas.
PROPOSICIÓN
EJEMPLOS:
Una proposición lógica es todo enunciado que tiene un valor de verdad: verdadero (V) o falso (F), pero no ambos a la vez
p: Perú es un país de gran diversidad ecológica.
EJEMPLOS: -
Lima es la capital del Perú 3 – 6 = -3 Chota es una provincia El Nevado Huascarán está ubicado en Ancash { 2 } es un conjunto unitario
Todos los enunciados anteriores son proposiciones porque se les puede atribuir un valor de verdad, ya sea verdadero o falso. -
¿Qué hora tienes? ¡Qué Tal! Muy buenas noches ¡Viva Chota carajo! Discúlpame, pero no estoy de acuerdo.
Todos los enunciados anteriores no son proposiciones porque no se les puede atribuir un valor de verdad, ya sea verdadero o falso A una proposición también se le puede representar por letras minúsculas como p, q, r, s, etc. PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
q: El orden de los sumandos no altera el resultado. r: El fémur es el hueso más largo del cuerpo humano. s: 20 – 25 = -7
CLASES DE PROPOSICIONES
Proposición Simple Son expresiones que constan de un solo enunciado EJEMPLOS p: 17 es un número impar q: El sol es una estrella
Proposición Compuesta Es aquella donde aparecen dos o más proposiciones simples enlazadas por conectivos lógicos. EJEMPLOS -
Lima es la capital del Perú y son las 9 de la mañana. No viajaremos 1
I.E. “SAN MARCOS” -
TERCER GRADO
Si te marchas entonces yo me quedo Juegan todos o nos quedamos sentados Pasamos a la final si y solo si ganamos hoy
PARA 2 PROPOSICIONES:
22 = 4 valores de verdad
CONECTIVO LÓGICO Conjunto de símbolos y letras o palabras que nos permiten formar las proposiciones compuestas.
CONECTIVO LÓGICO O o … o …
≢
no es cierto que Si.…entonces… ≣
OBSERVACIÓN Al enlazar “n” proposiciones simples resulta 2n valores de verdad para cada preposición al escribir todas las posibles combinaciones de V y F. EJEMPLO Elabora verdad
los
respectivos
valores
PARA 1 PROPOSICIÓN: 21 = 2 valores de verdad P V
V V F F
V F V F
PARA 3 PROPOSICIONES:
. ˅
si y solo si
q
23 = 8 valores de verdad
SÍMBOLO
˄ ˅ ↮
y
p
de
p
q
r
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
OPERACIONES LÓGICAS Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones compuestas mediante operaciones lógicas. Las principales:
La La La La La
negación conjunción disyunción condicional bicondicional
A cada una de estas operaciones lógicas la corresponde una tabla de verdad.
F PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
2
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LA NEGACIÓN ( )
La tabla de verdad es la siguiente:
Son aquellas proposiciones que hacen uso del adverbio negativo NO o sus expresiones equivalentes. Lógicamente se rige por la siguiente regla: "La negación de una proposición verdadera es falsa. La negación de una proposición falsa es verdadera". La tabla de verdad es la siguiente: p
p
V F
F V
LA CONJUNCIÓN (
V F V F
V F F F
Luchín aprobó y se va de viaje. Luchín aprobó pero se va de viaje. Luchín aprobó aunque se va de viaje.
LA DISYUNCIÓN DÉBIL ( V )
INCLUSIVA
O
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico O, o con expresiones equivalentes. En este caso es: "Es falsa sólo cuando todos sus componentes son falsos, en los demás casos es verdadera". La tabla de verdad es la siguiente:
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico y, o con expresiones equivalentes.
p
q
p v q
V V F F
V F V F
V V V F
EJEMPLOS Veamos las siguientes proposiciones -
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V V F F
-
˄)
La función veritativa de la conjunción se rige por la siguiente regla: "Una proposición conjuntiva es verdadera cuando todas sus proposiciones componentes son verdaderas, siendo falsa en los demás casos".
p ˄ q
Veamos las siguientes proposiciones
Veamos las siguientes proposiciones El gallo no canta. No es el caso que el gallo cante. No es cierto que el gallo cante. Es falso que el gallo cante. No ocurre que el gallo cante
q
EJEMPLOS
EJEMPLOS
-
p
Carlita es matemática o poetisa. 3
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TERCER GRADO
-
20 es múltiplo de 5 o divisible por 2 Carlos es limeño o vive en Cajamarca
LA
DISYUNCIÓN
FUERTE (
EXCLUSIVA
EJEMPLOS Veamos las siguientes proposiciones O
↮)
La regla es: "Una proposición disyuntiva fuerte es falsa cuando sus componentes tienen valores iguales, en los demás casos es verdadera". La tabla de verdad es la siguiente:
p
q
V V F F
V F V F
p
-
LA BICONDICIONAL (
La regla es: "Una proposición bicondicional es verdadera cuando sus dos componentes tienen valores iguales, y es falsa cuando sus dos componentes tienen valores distintos".
)
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico si …. entonces…, o con expresiones equivalentes.
La tabla de verdad es la siguiente:
La regla es: "Una proposición condicional es falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadero en los demás casos". La tabla de verdad es la siguiente: p
q
V V F F
V F V F
p
q V F V V
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)
Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico si y solo si, o con expresiones equivalentes.
↮q F V V F
LA CONDICIONAL (
Si Tony estudia entonces aprobará el curso. Tony estudia luego aprobará el curso. Tony estudia implica que aprobará el curso. Tony estudia de manera que aprobará el curso.
p
q
V V F F
V F V F
p
q V F F V
EJEMPLOS Veamos las siguientes proposiciones -
Un ángulo es recto si y solo si mide 90º Para que un ángulo sea recto es condición necesaria y suficiente si mide 90º 4
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TERCER GRADO
Un ángulo recto es equivalente a 90º
-
EJEMPLOS: 1. Si: p = F, q = V y r = F; indica el valor de verdad (verdadero o falso) de las siguiente fórmula: (q ˅ p)
(r
-
(r F
F
-
p)
Evaluar las fórmulas de acuerdo a las reglas de las funciones veritativas (q ˅ p) V F
(r F
V
F
p)
V V
-
El valor final se obtiene del operador principal (mayor jerarquía). Resultado = V (verdadero).
Luego obtenemos el valor de cada variable. p=V
q=F
r=F
Resultado: VFF. 3. Evalúa y determina la matriz principal de la siguiente fórmula: (p v q) p
q
R
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
˄
(r v q)
(p v q) V V V V V V F F
2. Si la fórmula (p ˄ q) v (p s), es falsa, halle los valores de p, q y r, respectivamente:
El valor de verdad de la fórmula se ubica en el operador principal (mayor jerarquía). (p ˄ q) v (p F
s)
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˄
(r v q)
V V V V V F F F
V V V V V F V F
Matriz Principal
Pasos a seguir: -
s)
VFF F VF F
Asignar los valores correspondientes a cada variable: (q ˅ p) V F
(p ˄ q) v (p
p)
Pasos a seguir: -
Se procede a dar el valor correspondiente a cada fórmula o variable de acuerdo al valor dado del operador principal, que cumpla con las reglas de las funciones veritativas.
ESQUEMAS LÓGICOS Son fórmulas lógicas (proposiciones formalizadas) las cuales según los valores obtenidos en la matriz principal, se clasifican de la siguiente manera: 5
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TAUTOLOGÍA ( T ) Cuando los valores principal resultan verdaderos.
de la ser
matriz todos
Cuando los valores de la matriz principal resultan ser verdaderos falsos
EJEMPLO
EJEMPLO
Verifica si es o no una tautología
Verifica si es o no una tautología
( p v q )
( p
P
q
( p v q )
V V F F
V F V F
V V V F
q )
( p
( p V V V V
F F V V
q )
p
q
( p
V F V F
V V F F
V F V F
V V F F
V V V F
Si es una tautología porque los valores de la matriz principal son todos verdaderos.
CONTRADICCIÓN ( ) Cuando los valores de la matriz principal resultan ser todos falsos. EJEMPLO Verifica si es o no una contradicción ( p ˄ q ) v q ]
CONTINGENCIA ( Q )
p
q
V V F F
V F V F
( p ˄ q ) v V F F F
V F V F
˄ q
q ] ˄ V F V F
F F F F
q F V F V
Si es una contradicción porque los valores de la matriz principal son todos falsos.
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q )
p q )
V F F V
V F V F
p V V V F
V V F F
Si es una contingencia porque los valores de la matriz principal son verdaderos y falsos
PRACTIQUEMOS 1. No es proposición b) Arturo es abogado penalista b) Heráclito no fue biólogo c) La Universidad del Pacífico c) Ana es peruana e) Eduardo salió 2. Una de las siguientes expresiones es proposición: a) Espero que te vaya bien B) Me parece que domina matemática c) ¿Tú crees que sea demasiado tarde? d) ¡Evite fumar! e) Ayer fumigué todo el local.
6
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3. Señala la expresión que indique una proposición: a) Cuanto tiempo sin verte b) ¿Estás bien? c) Cede el asiento d) El libro es de Carla e) Debes tener fe
8. Un esquema molecular es Tautológico cuando su matriz está constituida: a) Sólo por valores verdaderos. b) Sólo por valores falsos. c) Por valores falsos y verdaderos. d) Sólo por valores posibles. e) Por valores necesarios y falsos.
4. Identifica la expresión proposicional. a) Actúa con imparcialidad b) ¿Qué hora es? c) ¿Qué apéndices le sirven a las aves para volar? d) María es estudiante e) ¡Viva el Perú! 5. Señala la matriz principal del siguiente esquema molecular:
9. Si el esquema es F, diga el valor de las variables: p, q, r y s respectivamente: ˄ a) VVVV d) VFVF
6.
b) VFVV e) VVVV
c) VVVF
¿Qué matriz principal corresponde al siguiente esquema molecular?
˄
a) VVVVVVVV c) VFFVVFFV e) VVVFVVVF
b) VVVVVFFV d) VVVVVVFF
7. Señala la matriz principal del siguiente esquema molecular: a) FFFFVVVV c) FFFFVFVV e) VVVVVVVF
˄
˅ b) FFFVVVFF d) VVVVVVVV
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˅
˄
b) VVFF e) FFFF
c) VVVF
10. Si el esquema es F, señala el valor de cada variable:
˄ a) VVFV d) FFVV
↮
a) VVV d) VVF
˅ b) FFF e) FFV
11. Halla la matriz de: a) VVVV d) FVVF
b) FFFF e) VFVV
c) VFV
c) VFFV
12. Si el esquema ˄ es falso, halla el valor de p, q, r y s respectivamente: a) VFFV d) VVVF
b) FVVF e) VFVF
c) VVFV
13. Si ˄ ˅ es falso, halla el valor de p, q, r y s, respectivamente: a) VVVF d) VFVV
b) FVFV e) FVVV
c) VVFF
7
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14. Sabiendo el valor verdadero de:
˄
˄
Entonces señala el valor de p, q, r y s respectivamente: a) FVVF d) VVVF
b) VVFV e) FFFF
c) VVFF
15. Si se sabe que: * * *
˅
las son
Obtén los valores de verdad de: (
)
(
)
(
)
˅
s
˅ ˄
˅
a) VFF d) FVV
˄
˄
˄
b) VVV e) VVF
c) FFF
19. Dada la proposición:
Halla los valores de p, q, r y t respectivamente. a) VFFF d) VVFF
b) VVFV e) VVVV
c) FFFF
16. Si el esquema falso, luego: I. II. III.
18. Los valores de verdad de proposiciones p, q, r y s respectivamente V, F, F, V.
˄
es
a) FVFV d) VFVV
b) VFVF e) FFVV
˄
c) Todas.
17. Si se sabe que:
c) VVVV
es falsa
˅
Indica las verdaderas.
proposiciones
a) p y r d) q y t
b) p y q e) p ; r y t
que
son
c) r y t
21. Si la proposición:
˄ es F es V ˅ es F
˄
Determina los valores de verdad de p, q, r y t. a) VVVV d) FVFF
Los valores de la matriz principal de su tabla de verdad son:
20. Si la proposición compuesta:
no es falso. es verdadera. es verdadera.
a) Sólo I. b) I y II. d) Sólo III. e) N. A.
"Si llueve, el suelo se moja".
b) VVFF e) FFFF
c) VFVF
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, es falsa.
Determina, cuáles de las proposiciones son falsas: a) p y q d) q y r
b) p y r e) r y q
c) p; q y r
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22. Si el esquema no es V, señala el valor de cada variable ˄
˅ a) VFVF d) FVFV
b) VVFF e) VFVV
c) VVVF
23. Es una proposición en la cual basta que una de las proposiciones sea verdadera para que la proposición sea verdadera: a) Conjunción. c) Bicondicional. e) Negación.
b) Disyunción. d) Condicional.
Señala cuál de las siguientes fórmulas no es verdadera: a) ˄ ˅ b) c) d) ˄ ˅ e) ˄ 25. ¿Cuál de las siguientes fórmulas tiene como valores: VVVF? a) ˄ ˅ b) c) d) ˄ ˅ e) ˄
b) F y F. c) V y V. e) Indeterminado.
28. El valor definido de: "Es falso que no ocurra el temblor y haya derrumbes", es: a) VVFV d) FFVF
b) V y F c) V ó F e) Siempre falso.
Entonces: a) ˄ es falso. b) ˄ es verdadero. c) es verdadero. d) ˅ ˄ es falso. e) es falso. 30. Si el esquema: ˄ es falso, halla el valor de p, q, r y s, respectivamente: a) V - F - F - V. c) V - V - F - V. e) V - F - V - F. 31. La fórmula
26. Si p = V y q = F, entonces una de las siguientes fórmulas es verdadera: b) e)
a) V y F. d) F y V.
29. Se tiene que: ~p = F; q = V y ~r = F.
24. Si: p = V; q = F y r = V.
a) d) ˅
27. En la tabla de verdad del siguiente esquema: , el valor de la primera y cuarta fila, respectivamente es:
˄ ≣
c)
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˅
b) F - V - V - F. d) V - V - V - F.
es falsa.
Halla el valor veritativo del siguiente esquema: a) Verdadero. c) Indefinido. e) N.A.
b) Falso. d) Consistente.
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MI TAREA 1 1. ¿En cuál de las siguientes expresiones no encontramos una proposición? a) =6 b) Napoleón fracasó en Waterloo. c) Guillermo Leibnitz fue alemán. d) La edad media también es llamada etapa feudal. e) La Universidad Nacional Mayor de San Marcos. 2. Es una proposición que admite el valor V sólo cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas: a) Conjunción. c) Condicional. e) Negación.
b) Disyunción. d) Bicondicional.
3. Es una proposición que admite el valor V solo cuando las dos proposiciones tiene el mismo valor de verdad: a) Conjunción. c) Bicondicional. e) Negación.
b) Disyunción. d) Condicional.
4. Si: p = V , q = F y r = V. Señala cuál de las siguientes fórmulas es verdadera: a) ˄ ˅ b) c) ˄ d) e) PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
5. Halla la tabla de verdad de la siguiente fórmula: ˄ ˅ a) VVFF d) FVVF
b) FFVV e) VVVF
c) VFFV
6. Efectúa el siguiente ejercicio:
˅ a) VFVFVFVF c) FFFFFFFF e) FFFFVVVV
b) FVFVVFVV d) VVVVVVVV
7. El valor final del siguiente esquema: ˅
˄
˅
˅
se define como: a) Tautológico. c) Contradictorio. e) Inconsistente.
b) Consistente. d) Contingente.
8. Halla el valor final esquema:
siguiente
˄
˄ a) VVVVFFFF c) FFFFFFFF e) VVFFVVFF
del
b) FFFFFFVF d) FFFFFFVV
9. Si hallamos la tabla de valores de la fórmula: ˄
˅
El resultado final es: a) VVVVVVVV c) VVVVFFVV e) FVFVFFFF
b) FFFFFFFF d) FFVVVVVV
10
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
10. ¿Cuál de las siguientes fórmulas tiene como valores "VFVV"? a) d)
b) e)
˄
c)
˅
11. Los valores FVVV pertenecen a la fórmula: a) ˄ c) e) b y c
b) ˄ d) a y b
a) Conjunción. b) Disyunción inclusiva. c) Negación. d) Bicondicional. e) Condicional.
a) VFVF d) VVFF
b) FVFFFFFF d) VVFVVVVV
~(pvq)
a) Contradicción c) Tautología e) N.A.
b) FFVV e) FFFF
b) Inconsistente d) Contingencia
~r)
b) Contingencia d) p q
19. Si: ( p ˄ ~q ) => r es falsa; determina el valor de p, q y r respectivamente b) FFV e) VVV
c) VVF
20. La expresión equivalente a
˅
r
c) VFFF
15. Determina el valor de la matriz principal de: ~ ( p v q ) (~ p ˄ ~ q) a) VVFF d) VVVV
17. Se puede afirmar que:
a) VFF d) FVV
b) VVVF e) FFVV
b) Consistente d) Contingencia
a) Tautológico c) Contradictorio e) p => ~r
˅
˄
a) Contradicción c) Tautología e) N.A.
˄(q
14. Cuál es la matriz de:
(pvq)
18. Se puede afirmar que:
13. Qué valores pertenecen a:
a) VFVVVVVF c) VFVVVVVV e) VVVFVVFF
(p˄q)
(p˄q)
12. ¿A qué operador corresponde VFFV?
16. Obtenemos al evaluar:
c) VFVF
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a) b) c) d) e)
p p q q N.A.
(q
p)
(rvq) (rvq) (rvp) (rvp)
11
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
CONOCEMOS AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES (I) APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica un número irracional
INTRODUCCIÓN
División indicada de 2 números enteros (divisor diferente de cero)
Formación de los conjuntos numéricos: Ejemplos: ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ….} a)
ℕ
7 = 7 es natural, entero y racional 1
b) 8 = - 8 es entero y racional ℤ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
ℕ
ℤ
1 2 c) = es racional 3 5 d) = es racional 4
Expresión decimal de los números racionales:
1 6 ℚ = {6; -5; ; ; 0,62; 1,65; 1,3; …} 3 7
ℤ
ℚ
ℕ
Ejemplos: a) 7 = 7,00 b) – 8 = - 8,00 c) 6 = -1,2
5 7 d) = -0, 6363... 11 1 e) = 0,1666... 6
OBSERVACIÓN Los números racionales tienen 2 formas de representarse:
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Existen números con infinitas cifras en su parte decimal y que no presentan período alguno. 12
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
Tales números forman parte de un nuevo conjunto de números, “Los Números Irracionales”.
III. Otros números irracionales son llamados trascendentes como el (se lee número “PI”) y e (se lee número de Neper).
¿QUÉ ES UN NÚMERO IRRACIONAL? Es todo aquel número que en su parte decimal tiene infinitas cifras decimales sin presentar período alguno. Estos números constituyen un conjunto numérico denominado CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES y se le representa por I.
= 3,14159265...
e
= 2,71828128...
IV. El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos entre sí QI=
PRACTIQUEMOS
Ejemplos: i)
= 2,2360679...
ii)
= 3,14159265... No presentan
iii)
= 1,4142135...
iv) e
= 2,71828128...
v)
= 1,7320508...
Período
NOTA I.
II.
Los números irracionales no pueden ser representados por fracción alguna. Algunos de estos números irracionales son el resultado de efectuar ciertas operaciones de radicación, por ejemplo: = 1,4142135...
1. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) 3 N
(
)
b) 7/5 Z
(
)
c) –7 I
(
)
d)
I
(
)
e) 0,3 I
(
)
f) 0 Q
(
)
g) 2,2360679... I
(
)
h) 1,414141... Q
(
)
i) 2,71828128... I
(
)
j)
(
)
k) 6 Z
(
)
N
3
l) 1,4142135... I
(
)
= 1,7320508...
m) 2,333... Q
(
)
= 2,2360679...
n) – 8 N
(
)
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
13
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
o) 0 I
(
)
p) 1 I
(
)
q)
(
)
r) I
(
)
s) 1,7320508 I
(
)
t)
(
)
Q
MI TAREA 2 1. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) 9 N
(
)
b) 3/5 Z
(
)
c) –4 I
(
)
d)
(
)
e) 1 Q
(
)
f) 2,2360679... I
(
)
g) 1,414141... Q
(
)
h) 1,71828128... I
(
)
i)
(
)
j) 1,666... Q
(
)
k) – 7 N
(
)
l)
0I
(
)
0,2121…
m) -2 I
(
)
-
n)
(
)
o) e I
(
)
p)
(
)
(
)
(
)
Z
u)
Z
(
)
v)
Q
(
)
2. Marca con una ‘‘X’’ a que conjunto pertenece cada número: Número
N
Z
Q
1,412
-0,91
-3,427
I
-0,121
q)
0,222…
r)
-6,213
I
N
Q
Z Z Q
2. Di cuál de las siguientes afirmaciones es falsa. I.
2 pertenece a N, Z y Q.
-
II.
-3,27
III. -7 pertenece a Z y Q. IV. V.
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
pertenece a Z y Q. pertenece a Q. I (I: Irracional). 14
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
IDENTIFICAMOS AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ) APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica un número real.
La unión de los conjuntos de los números racionales y los irracionales recibe el nombre de conjunto de números reales. Al conjunto de los números reales se representa así: ℝ Es decir Q I = ℝ: Gráficamente R Q N
Z
I
Citemos algunos elementos del conjunto R: R = 0,4;
2 ; 1,57;
3 ; 1 ; 5 ; ; e;
7 2 ; 0,45; 0; 3 ; ... 8 ; -2,56; 3 4
NOTAS: I. Aún existe números que no están dentro de R como ejemplos: 4= ?
(no tiene solución en R)
4 16 = ?
(no tiene solución en R)
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
15
I.E. “SAN MARCOS” 6 25 = ?
TERCER GRADO
(no tiene solución en R)
En general
na
=?
Donde:
(no tiene solución en R) n: par
a: número negativo
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA El CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES está dado por la unión del CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES con el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Es decir: ℝ = Q I Además los racionales incluyen a los naturales, a los enteros y a las mismas fracciones o su representación decimal. Cada uno de estos conjuntos pueden ser representados en la recta numérica. Para los números naturales (N):
0
1
2
3
4
5 .......
Para los números enteros (Z):
....... -5
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5 .......
+4
+5 .......
Para los números racionales (Q): -5/2 ....... -5
-4
-3
0,5 -2
-1
0
3/2 +1
10/3 +2
+3
Si en la recta numérica donde hemos ubicado a los números racionales, ubicamos también a los números irracionales (con aproximación al décimo) , tendremos entonces representados a los NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA.
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
16
I.E. “SAN MARCOS” Así:
TERCER GRADO
-
....... -5
-4
-3
2
2
-2
-1
0
5/2
+1 0,5
3
+2 3/2
+3
+4
+5 .......
10/3
Comentarios alrededor de la RECTA NUMÉRICA para ℝ: Si sólo ubicamos a los NATURALES o a los ENTEROS en la RECTA NUMÉRICA, no a todos sus puntos les corresponde un número N o Z. Si ubicamos a los RACIONALES o a los IRRACIONALES o a los REALES en la RECTA NUMÉRICA, cada uno de sus infinitos puntos están asociados con cada uno de los infinitos números Q, I o R. Los números N, Z, Q, I, R situados a la derecha del CERO siempre son POSITIVOS. Los que se sitúan a la izquierda del CERO siempre son NEGATIVOS. Así: Si a es un número real a > 0, significa que el número a es positivo. significa que el número a es negativo.
a < 0,
Los conjuntos N, Z, Q, I, R representados en la recta numérica están ordenados de menor a mayor de izquierda a derecha, a lo largo de toda la recta. Por eso decimos que el conjunto R es ORDENADO. Es decir: 2
-1/2 0
-6 De modo que:
-6 < -1/2
10
+1 0 > -1/2
0 <
2
Entre dos números reales, por más cerca que se encuentren el uno del otro en la recta numérica, siempre hay otro número real. Esto nos permite afirmar que entre dos números reales existen otros infinitos números reales; por lo tanto decimos que el conjunto R es DENSO. Todo número real tiene un punto asociado a él en la recta numérica; por eso decimos que el conjunto R es COMPLETO. Si deseamos hallar un número real comprendido entre otros dos, sólo tenemos que sumar dichos números y dividir la suma entre 2. PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
17
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
Así: Entre 5 y 7 tenemos el número que resulta de efectuar 5 7 , es decir 6. 2 Entre 2,15 y 2,16 tenemos el número que resulta de efectuar: 2,15 2,16 es decir: 2
2,155
5 tenemos el número que resulta de efectuar: 2 5 ; si consideramos 2 5 aproximado al centésimo tendremos 5 = 2,24; es decir: 2 2,24 = 2,12 2
Entre 2 y
REDONDEO Cuando sea preciso redondear un cierto valor numérico a una determinada cantidad de cifras decimales, deberá tenerse en cuenta las siguientes consideraciones: I. “Si el valor de la primera cifra a suprimir es menor que 5, las cifras no varían” Ejemplos: a. Redondea a 1 cifra decimal (décimos) los siguientes números: 1) 0,34
2) 1,723 3) 2,6452
0,3(4
4< 5
0,3 Rpta.
1,7(23
2< 5
1,7 Rpta.
2,6(452
4< 5
2,6 Rpta.
b. Redondea a 2 cifras decimales (centésimos) los siguientes números: 1) 2,1341 2,13(41 2) 0,01123
0,01(123
4< 5 1< 5
2,13 Rpta. 0,01 Rpta.
II. “Si el valor de la primera cifra a suprimir es mayor que 5, la última cifra conservada se incrementa en una unidad.” Ejemplos: a. Redondea a 1 cifra decimal (décimos) los siguientes números: 1) 0,37
0,3(7
7> 5
0, 4 Rpta.
2) 1,766
1,7(66
6> 5
1,8 Rpta.
3) 2,6952
2,6(952
9> 5
2,7 Rpta.
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18
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
b. Redondea a 2 cifras decimales (centésimos) los siguientes números: 1) 2,1361
2) 0,017123
2,13(61
6> 5
2,14 Rpta.
0,01(7123
7> 5
0,02 Rpta.
III. “Si el valor de la primera cifra a suprimir es igual a 5 entonces aumentará en una unidad la última cifra a conservarse Ejemplos: a. Redondea a 2 cifras decimales (centésimos) los siguientes números: 1) 2,135001 2,13(52172
2,14 Rpta.
2) 0,1650043 0,16(583
0,17 Rpta.
3) 0,13500
0,14 Rpta.
0,13(5238
PRACTIQUEMOS 1. Ubica aproximadamente los siguientes números reales en la recta numérica. a) –3; 5 ; 2 ; -7 ; +10 b) ; 5,2 ; 7,1 ; -6,2 c) –0,3 ; 5,6 ; -1,1 ; 0,3 ; 4,5 d) 7/2 ; 1/5 ; 0,5 ; 3,1 ; -1,6 e) –2,8 ; 1 1 ; 7 ; -5 ; 1/7 f) 4,2 ; -0,1 ; -1 ; 0 ; -3 g) –1/9; 0,4; +7 ; -8,1 ; -1 h) 1,6 ; 13 ; 3 ; 1,4 ; -8
3. Redondea al centésimo los siguientes decimales: a) 3,45312 c) 0,68731 e) 2,305001
b) 6,71492 d) 1,17924 f) 1,21738
4. Redondea al milésimo los siguientes decimales: a) 1,234567 c) 4,34789 e) 6,51555...
b) 2,137891 d) 5,415567 f) 7,11221333...
5. Completa las siguiente tabla Dado el número: 0,37535
2. Redondea al décimo los siguientes decimales: a) 0,74 b) 1,6452 e) 2,776
b) 2,823 d) 1,48 f) 2,6942
Redondea a:
Resultado
1 cifra decimal 2 cifras decimales 3 cifras decimales 4 cifras decimales
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19
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO b) Dados el número: 2,340125003
MI TAREA 3 1. Redondea al décimo los siguientes decimales: a) 1,150002
b)) 0,350043
c) 2,4502
d) 7,65008
e) 0,75120
f) 5,3547
2. Redondea al centésimo los siguientes decimales: a) 2,14567
b) 0,00234
c) 0,01111
d) 2,345666...
e) 7,181818...
f) 6,353535...
3. Redondea al milésimo los siguientes decimales:
Redondea a: 1 cifra decimal 2 cifras decimales 3 cifras decimales 4 cifras decimales 5 cifras decimales 6 cifras decimales 7 cifras decimales
c) Dado el número: 1,23472147
Redondea a:
2 cifras decimales 3 cifras decimales
b) 0,0001
4 cifras decimales
c) 0,00107
d) 0,0005
e) 0,01255192
f) 1,3009123
5 cifras decimales
a) Dado el número: 1,162345
Redondea a:
Resultado
1 cifra decimal 2 cifras decimales 3 cifras decimales
Resultado
1 cifra decimal
a) 3,456178
4. Completa las siguientes tablas
Resultado
5. Ubica aproximadamente los siguientes números reales en la recta numérica. a) –2; 5 ; 2 ; -4 ; +6 b) ; 3,4 ; 1,1 ; -3,2 c) –0,4 ; 3,7 ; -2,2 ; 0,5 ; 3,5 d) 5/2 ; 1/6 ; 0,5 ; 4,3 ; -1,1 e) –2,6 ; 1 1 ; 7 ; -6 ; 2/7
4 cifras decimales
f) 3,2 ; -0,4 ; -2 ; 0 ; -5
5 cifras decimales
g) –2/5; 0,6; +5 ; -5,1 ; -2 h) 2,4 ; 13 ; 3 ; 1,5 ; -4
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20
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
APRENDEMOS A SUMAR Y RESTAR NÚMEROS REALES APRENDIZAJE ESPERADO: -
Utiliza algoritmos apropiados en la solución de ejercicios de adición y sustracción de números reales.
ADICIÓN EN ℝ Operación binaria que, dados 2 números reales a y b llamados sumandos hace corresponder un tercer entero S llamado suma. a
+
b
S = 3, 14159... + 2,645751... + 0,629629... aproximando a milésimos cada sumando: S = 3,141 + 2,646 + 0,630 Efectuando la suma:
= S
S = 6,417 sumandos
Suma
Ejemplo:
Efectúa con aproximación al milésimo: S= + Solución:
17 7 27
(pi) es un número especial o una constante universal, cuyo valor es: 3,14159... es un número irracional porque no hay forma de representarla como fracción. Luego:
S= +
7
Respuesta: La suma pedida con aproximación a milésimos es 6,417.
SUSTRACCIÓN EN ℝ La sustracción de dos números reales es un caso particular de la adición de los mismos. Es decir: Efectuar la sustracción de dos números reales M y S significa sumar M con el opuesto de S. M – S = D es equivalente a M + (-S) = D Donde:
M: es minuendo S: es sustraendo
17 27
D: diferencia Ejemplo:
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21
I.E. “SAN MARCOS”
De 7/9 restar a milésimos.
1 1 con aproximación
Solución: 7 = 0,7777….. 0,778 9
1 1 = 3,316624… 3,317
8)
5 + 0,925673 +
9)
7 + 0,8668 +
10) +
1 = 11
1 = 10
2 3 5 =
11) De 1/2 restar 0,3542 12) De
3 restar 3/8
13) Restar 0,3245 de
Luego:
7 9
Es:
11
0,778 - 3,317 = -2,539 Respuesta: El resultado de efectuar la sustracción pedida con aproximación al milésimo es –2,539.
PRACTIQUEMOS Efectúa las siguientes operaciones de Adición y Sustracción de R con aproximación a centésimo: 1)
TERCER GRADO
5 2 =
1 2) + 0,256 + 5 = 7 2 3) + + 2 = 3
1 1 = 2 9
14) De
7 restar
2
2 -1
15) De ( 7 + 1) restar ( + 1)
MI TAREA 4 Efectúa las siguientes operaciones de adición y sustracción en R con aproximación al milésimo. 1) De
3 + 1 con
5 restar
2) De
7 restar ( + 3)
3) Restar 2 de la suma
7 con
3+1
4) Restar ( 5 - 1) de ( 5 + 1) 5) De 13/14 restar 6)
1 1 +52 9
13
3
4)
3+
5)
2 3 5+ =
7)
2 3 5+
6)
5 1 11 7 = 4 2
8)
5 + 0,92573 + 1/11
7)
2 1 3 + 0,3682 = 5
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
2
9) +
2 3 5
10) 1/7 + 0,2568 +
5 3 22
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
MULTIPLICAMOS Y DIVIDIMOS NÚMEROS REALES APRENDIZAJE ESPERADO: -
Utiliza algoritmos apropiados en la solución de ejercicios de multiplicación y división de números reales.
MULTIPLICACIÓN en ℝ Operación aritmética directa que consiste en repetir una cantidad denominada multiplicando tantas veces como la indique otra, llamada multiplicador. a
x
n
=
p
Ejemplo:
7 3 5 aproximación a centésimos. 7,15
x
La división de dos números reales a y b, tienen por objeto hallar un tercer número llamado cociente (q), de modo que a = bq
Divide: 5,15 (2/3 + aproximación a centésimos.
multiplicador
Efectúa:
DIVISIÓN EN ℝ
Ejemplo:
producto
multiplicando
Respuesta: El resultado de la operación dada es 22,38 aproximada a centésimo.
con
Solución: 7,15 7,15
Luego:
7/5
1.40
3
1,73
= 5,15 = 5,15 = 5,31
= 7,15 (1,40 + 1,73) = 7,15 (3,13) = 22,38 PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
con
Solución: 5,15 5,15 2/3 0,67 0;3 0,30
Luego:
0,3)
(0,67 + 0,30) 0,97
Respuesta: El resultado de la operación dada es 5,31 aproximada a centésimo.
23
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
PRACTIQUEMOS A. Efectúa las siguientes operaciones de Multiplicación y División en R con aproximación a décimos.
MI TAREA 5 A. Efectúa las siguientes operaciones con aproximación a décimos. 1)
8 3 : 4/5
2)
76 5 : 38/5
3)
23/7 : 32/17
4)
3 7 : 5 2
5)
14 7 : 6/7
6)
3 2 : 2 5
7)
28 14 5 : 5 3
8) (2 2 ) ( + 3,8)
8)
(3 2 ) ( - 2,81)
9) (3,865) (2,56 + )
9)
(4,865) (1,36 + e)
1) (7,12) ( 3 ) = 2) (3,12) ( 2 ) (1,11) =
2)=
3) 3,768 (1/2 +
4) (3,75 + 2,148) (5,13 +
2)=
5) (1, 108 + 1,73) (5,17) = 6) ( 2 + 1) ( 3 - 1) = 7) ( + 2) ( 2 - 1)
10) (7,032) ( + 11) (3/4 + 1) (
2) - 1) =
12) ( - 1) ( 2 - 2) 13) 4 7 : 3 5 4 14) 17 2 : 2 5
15) 3 8 : 2 3
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
10) (7,357) ( + e) 11) 8 : 12 12) (7,24) ( 3 ) = 13) (3,34) ( 2 ) (1,22) = 14) 6,878 (2/5 +
2)=
15) (5 2 ) : ( - 1,82) 24
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
HALLAMOS LA POTENCIA Y RAÍZ DE NÚMEROS R APRENDIZAJE ESPERADO: -
Utiliza algoritmos apropiados en la solución de ejercicios de potenciación y radicación de números reales.
POTENCIACIÓN
Ejemplo:
Es el producto abreviado de un mismo número real mediante una cantidad determinada de veces. Así:
1) (-3)2 = (-3) (-3) = 9 2) (-2,5)3 = (-2,5) (-2,5) (-2,5) = -15,625
a x a x a x a... x a "n" veces
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMERO REALES:
1. Multiplicación de potencias de bases iguales:
an = P
am . an = am + n
Donde se tiene: a base real n exponente entero
Ejemplo:
P potencia real
POTENCIA DE BASE EXPONENTE NATURAL:
REAL
Y
Si an, es una potencia donde n N, tenemos que: n
a = a x a x a x ......x a
5
3
3 .
7
=
3
57
=
3
12
(-3)8 . (-3)12 = (-3)8 + 12 = (-3)20
2. División iguales:
de
potencias
de
bases
"n" veces a
am
an = am - n
OBSERVACIÓN: En potenciación, el exponente natural “n” nos indica la cantidad de veces que se repite la base “a” real como factor. PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
am an
= am - n
25
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
Ejemplo:
Ejemplo: =
81
(-3)
=
79
81 - 79
. (-3)
= (-3)
2
= (-3)
3. Potencia de una multiplicación:
0,5
2 3
5 7
= (0,5)6
2 3
7
30
6. Potencia de exponente negativo:
(a . b)n = an . bn Ejemplo: 3
3
1 1 . 5 . 7 7
1 2. 3
5
5 3
2 5 31
5
4. Potencia de una División: n an a = n b b
5
2 3
0,36 33
2
2
RADICACIÓN Es la operación inversa a la potenciación. En ella se conoce la potencia y el exponente, debiendo hallar la base.
Ejemplo:
Ejemplo:
5
Es decir:
35
n
0,362 3
3
a = r rn = a
2
Donde:
5. Potencia de potencia:
= a
m.n.p
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N a
: es el índice; n N; n 2 : es el radicando; a R : es el operador radical
r
: es la raíz ; r R
26
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
Ejemplo:
7.
5
32 3 64 =
3
8.
3
8 3 27 =
8 = -2 (-2)3 = -8
SIGNOS DE RADICACIÓN: impar
1)
3
2)
= -r
Ejemplo:
5
3)
par
27 = + 3
32 = -2
A. Efectúa las siguientes operaciones de Potenciación y Radicación.
19.
17
0
5 32 =
0,25 3 0,125 =
= =
0
+ 105 = -1
20.
-1
=
7 + (5/3) + (2/3) =
2.
3. 5/3
2
5
B. Efectúa las siguientes combinadas en R:
2
4.
=
1.
operaciones
= 2
2. 22 3 1 =
5. 6.
0 =
=
17. 18.
0
5 1
=
14.
PRACTIQUEMOS
-2
=
=
12.
16.
= R
1. (-1/2 + 7)
0
7
10/ 2 2 . 50 7
15.
81 = 9
4)
11.
11
2
13.
A = + r
Ejemplo:
7
3 : 3
10.
A = + r
Ejemplo:
18 16 9. 5 : 5
3
3
1/8 8 =
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
3.
= 27
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
4.
=
5.
MI TAREA 6
=
6.
Efectúa:
7. 1.
8. 9.
(0,2)
-2
-
3
64 2
22
0
164
50
6
a) 1 d) 6
=
b) 2 e) 8
c) 4
a) 1
b) –1
c) 2
d) 3
e) ∄
50
10.
=
11. 12.
= 3
8
5 3
8
4
(3)
13. 14.
2. ( 9)2
0
= 3.
=
80
1 / 273 a) 2 d) –2
=
4. (1/3)
=
15.
=
17.
19. 20.
–1
+ (1/2)
5. (1/2)
= = =
-1
+ (1/8)
+ (1/7)
–1
–1
c) 12
– (1/4)
b) 1 e) 4
6. Simplifica: 2
n+5
:2
n
b) 2 e) 32
7. Reduce:
52 m : 5 m b) 5 e) 12
–1
c) 7
a) 16 d) 1
a) 1 d) 25 PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
–1
c) 1
b) 10 e) 16
a) 2 d) 6
=
18.
b) –1 e) 3
a) 7 d) 15
16.
83
c) 8
c) 10
28
I.E. “SAN MARCOS” 8. Dar la mitad de: [3 a) 3 d) 2
n+1
TERCER GRADO x 2] :3
n
b) 1 e) 9
15. Reduce: c) 6 a) 3 d) -6
9. Halla la raíz cuadrada de M si: M = [10 a) 100 d) 2 10. Efectúa: a) 2 d) 3
n -2 –1
]
x 10
6
3
x
16. Efectúa: c) 8
60
b) 1 e) 5
c) 28
n
b) 10 e) 5 5
b) 18 e) -3
R=
1 / 81
a) 9 d) 1
359
c) –10
0 26
1616
b) 2 e) 81
c) 3
b) 1 e) 3
c) –4
17. Simplifica:
11. Calcula P10 sabiendo que:
a) 2 d) 1
b) 0 e) 5
c) –1
a) 2 d) 6
18. Halla la séptima parte de:
12. Calcula el valor de x en:
a) 7 d) 3 a) 1 d) 0
b) –1 c) 2 e) No se puede
a) 6 d) 2
13. Efectúa: a) 1/2 d) 1
b) 0 e) 2
c) –1
14. Calcula la mitad de: (1 / 36) 2 a) 6 d) 1,5
19. Efectúa:
b) 3 e) 8
b) 2 e) 5
c) 1
7 6 8 (1 / 7) 5
0
b) 5 e) 1
c) –1
b) 4 e) 1
c) 8
20. Reduce:
50
c) 1
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) 2 d) 3
29
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
IDENTIFICAMOS EL GR Y GA DE UN MONOMIO APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica el grado relativo y absoluto de un monomio.
a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión. Ejemplo: Sea:
2. En el siguiente monomio: 2 3 n+4 5
M(x, y) = 4 a x
y
es de grado
absoluto 16. Halla: “n” 5 4 3
M(x, y) = 13 x y
GR(x): Se lee grado relativo con respecto a “x” GR(x) = 4 (exponente de x)
b) 6 e) 9
b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: Sea: 5 4 3
c) 7
3. En el siguiente monomio: M(x, y) = 3x
GR(y) = 3 (exponente de y)
n-4 6
y . Calcula “n”, si el
G.A. = 12 a) 6 d) 12
b) 8 e) 14
c) 10
5 2n-3 5
M(x, y) 13 x y
4. En el monomio: M(x, y) = 3 x Calcula
GA = 4 + 3 GA = 7
“n”
si
el
grado
y
relativo
respecto de “x”. GRx es igual a 21. a) 8 d) 11
PRACTIQUEMOS 1. En el siguiente monomio: a+3 6
M(x, y) = 4x Halla: “a” a) 8 d) 3
a) 5 d) 8
y
b) 10 e) 1
b) 9 e) 12
c) 10
2 4 m+3 5
es de G.A. = 12.
c) 2
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
5. Si: (x, y, z) = 6a x y
z
Calcula “m” si el grado respecto de “y” es 16. a) 10 d) 14
b) 12 e) 15
relativo
c) 13
30
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
6. En el monomio: M(x, y) = 3x
n-8 5n
y
Calcula: GRy si GRx = 12 a) 50 d) 90
c) 80
7. Halla “n” si el grado absoluto 24: 4 2n-2 6
a) 10 d) 13
y
b) 11 e) 14
en:
y
c) 24
si: GR(x) = 8 ; GRy = 9
a) 20 d) 30
y
c) 28
10. En el monomio: 3
y
GRy = 11 b) 8 e) 2
b) 12 e) 14
c) 13
13. El siguiente monomio es de grado 99.
a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
14. El siguiente monomio es de grado 177.
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
15. En el monomio:
3a+b 2a+5b
Calcula el coeficiente si: GRx = 10,
a) 10 d) 4
a) 18 d) 11
……………… sea 1 120
El valor de “m” será:
b) 25 e) 31
2
12. Cuántas letras se deben tomar para que el grado absoluto del monomio:
M(x, y) 0,7[x3m 2y11m 5 ]3
a-6 b+7
M(x, y) = (a + b )x
c) 12
Calcula el valor de “n” será:
9. En el monomio:, calcula el coeficiente
M(x, y) =(2a + b)x
y
M(x, y) 2 [x2n 1 yn 2 ]3
2a-4 b-3
b) 22 e) 26
b) 11 e) 15
2 6 12 20
8. Halla el coeficiente de GRx = 12 y GRy = 14
a) 20 d) 25
a) 9 d) 14
A B C D c) 12
M(x, y) = (a + b)x
2n-1 n+5
Calcula el valor del GRx siendo GRy = 10
b) 70 e) 100
M(x, y) = 3 x
11. En el monomio: M(x, y) = 5x
c) 6
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
M(x, y) = (a + 3b) x
2a+3b a+b
y
Donde: Coeficiente del monomio es: 11, Grado Absoluto del monomio es: 23 Calcula el grado relativo de “y”. a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
c) 7
31
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO 6. Si el monomio:
MI TAREA 7
x+2 y+5
M(a; b) = -4xya
b
Donde GR(a) = 5, GR(b) = 7
1. En el siguiente monomio:
Calcula: “El coeficiente”
a+2 5
M(x, y) = 3x Halla: “a” a) 10 d) 14
y es de G.A. = 18.
b) 11 e) 15
y
b) 10 e) 6
c) 5
y
es de grado
absoluto 20. Halla “n” b) 8 e) 16
c) 10
y .
Calcula “n”, si el GA = 15. b) 4 e) 10
c) 6
5. Halla “n” si el grado absoluto es 9. 3 2n-4 5
M(x, y) = 2 x a) 2 d) 7
a) 6 d) 12
b) 8 e) 14
relativo
c) 10
2 3 m+2 3
8. Si: M(x, y, z) = 7a x y
z
GRy es 10. a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
a) 4 d) 9
c) 6
b) 6 e) 10
n+2 n+7
y
c) 6
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
c) 8
10. Halla el coeficiente si GRx = 10 y GRy = 12 en: M(x, y) = (a + b)x
y
b) 4 e) 8
grado
Calcula el valor del GRx, siendo GRy = 11
n+7 4
a) 3 d) 8
el
9. En el monomio: M(x, y) = 5x
4. En el siguiente monomio M(x, y) = 2x
si
Calcula “m” si el grado absoluto respecto de “y”
3. En el siguiente monomio: 4 2 n+6 6
“n”
y
respecto de “x” GRx es igual a 20.
z
Calcula: “a . b”
a) 6 d) 14
2 2n-8 4
Calcula
Es de GA = 14 y GR(y) = GR(z)
M(x, y) = 3 a x
c) 25
7. En el monomio: M(x, y) = -3 x
a+1 b+2 4
a) 15 d) 3
b) -24 e) 12
c) 12
2. Si el siguiente monomio: M(x, y, z) = -4x
a) 24 d) 26
a) 14 d) 23
a+1 b-3
b) 18 e) 24
y
c) 22
32
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
11. En el monomio:
16. Halla “n” si el grado absoluto es 7.
M(x, y) = (2a + b)x
a-5 b+4
y
M(x, y) = 2x
Calcula el coeficiente si: GRx = 2, GRy = 6 a) 14 d) 17
b) 15 e) 18
c) 16
n-6 4n
y
Calcula: GRy, si GRx = 4 b) 20 e) 50
c) 30
a) 16 d) 7
y . Halla GR(x) si GA = 8 y
b) 6 e) 16
M(x, y) = (2a - b)x
c) 3
2
a-b 5a+b
y
Calcula: el coeficiente si: GRx = 6, GRy = 12 a) 6 d) 11
b) 7 e) 13
M(x, y, z) = 3x
c) 10
m+1
y
p+2
2
z
GR(x) = GR(y)
Calcula: m . P a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
2a+b 3a-b
y
19. El siguiente monomio es de grado 42.
Calcula el coeficiente si: GRx = 7, GRy = 8
M(x, y) 2 2 [x3n 4 y5n 1 ]2 El valor de “n” será:
b) 7 e) 13
c) 8
15. El siguiente monomio es de grado 28. Calcula: “n”
b) 1 e) 5
y
a) 1 d) 4
]
c) 3
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
b) 2 e) 5
c) 3
20. Halla el coeficiente de:
1 M(x, y) 2
3n+2 n+1 4
M(x, y) = 27[x a) 2 d) 4
c) 3
17. En el monomio:
GA = 12
14. En el monomio:
a) 5 d) 12
b) 4 e) 8
18. En el siguiente monomio:
2m n
13. Dado: -5x GR(y) = 2
a) 2 d) 7
y
M(x, y) = (a + b + 1)x
12. En el monomio: M(x, y) = 4x
a) 10 d) 40
2n-4 5
m
. 9m . x3m 2n y5m n
cuyo GA = 20 GRx = 14 a) 2/3 d) 81/16
b) 81/2 e) 27/16
c) 81/4
33
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
IDENTIFICAMOS EL GR Y GA DE UN POLINOMIO APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica el grado relativo y absoluto de un polinomio.
a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio.
P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GR(x) = 3 GR(y) = 4 Entonces:
GR (x) = 5
GR(x) = 5 GR(y) = 3
GR(x) = 1 GR(y) = 2
GR(y) = 4
b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma al mayor.
P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GA = 7
GA = 8
GA = 3
Entonces: GA = 8 2. En el siguiente polinomio:
PRACTIQUEMOS 1. Coloca verdadero corresponda: 4
o 6
falso
a-2
según
2
P(x) = 4x – 5x + 2x + 6 I. El polinomio es de grado 4. ( ) II. El término independiente es 6. ( ) III. La suma de coeficientes es 7. ( )
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a-4
a-6
P(x) = 2x + 6x + 8x Calcula el valor de “a”. Si: G.A. = 13 a) 15 d) 10
b) 14 e) 12
3. En el polinomio: 2a 4
2a 6
c) 13
2a
P(x, y) = x y – 3x y – x Calcula el valor de “a” G.A. = 20 a) 7 d) 11
b) 8 e) 14
c) 10
34
I.E. “SAN MARCOS” 4. En el polinomio: 2a+4
TERCER GRADO
a-5 2
9. Calcula el valor de “n” en:
a-3 2
a) 4 d) 9
b) 5 e) 10
y)
3 b+6
= 5x y
P(x, y) 6x 2 y3 2x2 y 3 1 . Siendo
c) 3
n x2 donde x1 y x2 son dos raíces 2
de x + 11x + 24 = 0. Calcula: x2 – x1.
7. Resuelve: 2
(x + 4) = 2x(5x - 1) – 7(x - 2) a) {2; 1/9} c) {-2; -1/9} e) N.A.
b) {1/9; -2} d) {2; -1/9}
8. Si: a b son raíces de la ecuación. x2 74 x x x
b) 8/9 e) N.A.
a) 5 d) -11
b) -5 e) 9
c) 11
13. Calcula el discriminante de la siguiente ecuación 7x(x + 5) = 3 a) -109 d) 106
b) –89 e) 1309
c) 89
14. Encuentra el valor de c que hace que en la ecuación x2 + 9x + c = 0, una raíz sea el doble de la otra
Además a < b. Calcula: a/b a) -9/8 d) -1
b) 17/4 e) 1
ecuación x
6. Da el conjunto solución de:
a) {3; 4} d) {-3; -4}
2
raíces de la ecuación: 2x – 3x – 2 = 0
c) -8/9
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) 9 d) 27
b) 6 e) 18
c) 3
63
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO 2
MI TAREA 14 I. RESUELVE: 1.
2
2
2
c) 2x – 32 = 0
a) -7/6 d) -1
b) 6/7 e) N.A.
c) -6/9
2
a) x + 5x = 0
2
8. Da la diferencia de raíces: x + 5x + 6 = 0
2
b) 3x – 12x = 0 2
c) 2x – 12x = 0
a) 1 d) 4
2
a) x – 5x - 6 = 0
b) 2 e) 5
c) 3
9. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación:
2
2
b) x + 2x – 24 = 0
2
x – 2x – 15 = 0. Calcular E= x1 + x2
2
c) x + 6x + 9 = 0 2
a) 2 d) 28
d) x + 3x – 10 = 0 2
e) x + 3x – 70 = 0 4.
b) {1/9; -2} c) {-2; -1/9} e) N.A.
Además a < b. Calcula: a/b
b) x – 144 = 0
3.
a) {2; 1/9} d) {2; -1/9}
7. Si: a b son raíces de la ecuación. x3 45 x x x
a) x – 49 = 0
2.
6. Resuelve: (x + 4) = 2x(5x - 1) – 7(x - 2)
b) 8 e) 32
2
c) 34
10. Halla la división de raíces de la 2
2
ecuación x – 6x + 8 = 0
a) 5x + 9x – 2 = 0 2
b) 3x – 5x –2 = 0
a) 2 d) 5
2
c) 2x + 13x + 6 = 0 2
d) 2x – x – 3 = 0 2
11. Halla la mayor raíz de: x – 3x – 18 = 0
II. RESUELVE:
a) -3 d) 6
5. Da el conjunto solución de: 2
b) {3; -2} e) N.A.
b) -6 e) 1
c) -2
2
x – 2(x - 2) = x – 12 a) {3; 4} d) {-3; -4}
c) 4
2
e) 5x – 12x + 4 = 0
2
b) 3 e) 6
12. Si la ecuación: x + x – 2 = 0, tiene por c) {2; 6}
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
raíces a x1 y x2 donde x1 > x2. Indica el valor de: x13 x23 .
64
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
ECUACIÓN DE 2do GRADO “NATURALEZA DE RAÍCES” APRENDIZAJE ESPERADO: -
Desarrolla ecuaciones de segundo grado aplicando algunas propiedades.
A. Si tenemos una ecuación de segundo grado: 2
ax + bx + c = 0 y el discriminante:
=b
2
2
x + 10x + 29 = 0 x1 = 5 + 2i
=
x2 = 5 – 2i
=
TEOREMA DE CARDANO – F. VIETA – 4ac
2
Sean: x1; x2 las raíces de: ax + bx + c = 0 Observemos que si:
> 0 : Las raíces son reales y I. Suma de Raíces S = x + x = b 1 2 a diferentes. c = 0 : Las raíces son reales e iguales. II. Producto de Raíces P = x1 . x2 = a < 0 : Las raíces son complejas y conjugadas. Esta es una forma de analizar las raíces de la ecuación.
P = x1 . x2 = -5
x + 4x – 5 = 0 x1 = -5 x2 = 1
Raíces reales y diferentes.
2
= 6 – 4(9)(1) =0
2
2x + 3x + 7 = 0
{x1, x2}
S = x1 + x2 = -3/2 P = x1 . x2 = 7/2
2
x + 6x + 9 = 0
{x1, x2}
S = x1 + x2 = -4
2
2
2
x + 4x – 5 = 0
Ejemplo
= 4 – 4(1)(-5) = 36
Ejemplo
x1 = -3 x2 = -3
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
2
3x - 2x - 8 = 0
{x1, x2}
S = x1 + x2 = 2/3
P = x1 . x2 = -8/3 65
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO II. RESUELVE:
PRACTIQUEMOS
5. Halla la menor raíz de la ecuación:
I. RESUELVE:
2
(k - 2)x – (2k – 1)x + (k – 1) = 0 Siendo el discriminante igual a 25.
1. Indica el discriminante: 2
=
2
=
2
=
a)
x + 4x – 5 = 0
b)
x + 3x + 2 = 0
c)
x + 2x + 1 = 0
2. Indica el discriminante: 2
a)
2x + x + 1 = 0
b)
x +x+1=0
c)
2 2
x + 6x + 9 = 0
= = =
a) 3/4 d) 1/5
b) 1/2 e) N.A.
c) 4/5
6. Halla “a” si la ecuación: 2
(a + 4)x – 1 = (2a + 2)x - a Presenta única solución. a) 5 d) 1
b) 3 e) N.A.
c) 2
7. Halla el valor de “p” para que la ecuación: 2
(p + 1)x + (5p - 3)x + 2p + 3 = 0 tenga sus dos raíces iguales:
3. Calcula la suma y el producto de raíces: a)
2
x – 3x + 1 = 0
S= P=
b)
2
x + 2x – 3 = 0
S= P=
4. Da la suma y el producto: a)
2
2x + 5x – 1 = 0
2
3x + 4x + 3 = 0
b) -3 e) N.A.
c) 5
8. Halla “n” sabiendo que las raíces se 2
difieran en 3 unidades. x – 7x + n = 0 a) 10 d) 8
b) 5 e) 7
c) 4
9. Calcula “m” en la ecuación: S= P=
b)
a) 3 d) 1/17
S=
2
(m + 1)x - (m + 8)x + 10 = 0 Para que la suma de raíces sea 9/2. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
P= PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
66
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
10. Encuentra la suma de los valores que puede tomar “p” para que la ecuación cuadrática:
14. Calcula: R
1 1 , siendo a y b raíces a b 2
de la ecuación: 3x – 2x + 4 = 0
2
3x + (p + 11)x + 24 = 0
a) 0,25 d) 0,1
Admite por raíces a “r” y “2r”. a) -22 d) 20
b) -20 e) N.A.
c) 22
b) 0,16 e) N.A.
c) 0,5
15. Si “a” y “b” son las raíces de la 2
ecuación: x – 5x + 7 = 0
III. RESUELVE:
2
2
Calcula el valor de a + b :
11. Calcula los valores de “a” e indica su suma en la ecuación: 2
a) 11 d) 15
b) 13 e) N.A.
c) 12
2ax + 3x + a = 0 Si una raíz es el doble de lo otra. a) 1 d) 0
b) -1 e) 3
MI TAREA 15
c) 2
I. RESUELVE:
2
12. Si: a y b son raíces de x – 5x = -15.
a)
Calcula:
1 a b R a . (b a ) 3 a) 5
2
d) 15
1. Indica el discriminante:
b) 15 15
5
b
=
2
=
x -x-1=0
c)
x + 4x + 1 = 0
2. Indica el discriminante: c) 15
e) N.A.
13. Si: x1 y x2 son raíces de:
3
a) b)
2
=
2
=
2x + x + 1 = 0 3x + 2x + 1 = 0 2
x + 16x + 64 = 0
=
3. Calcula la suma y el producto de raíces:
2
3x – 15x + 21 = 0 Calcula: M x12 x22 b) 9 e) N.A.
=
2
b)
c)
a) 8 d) 11
2
x + 8x + 1 = 0
a) c) 10
2
2x – 13x + 12 = 0
S= P=
b)
2
3x + 4x – 3 = 0
S= P=
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
67
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
4. Da la suma y el producto: a)
2
x + 5x + 4 = 0
S=
9. Halla “m” sabiendo que las raíces se difieran en 5 unidades. 2
x – 11x + m = 0
P= b)
2
x + 4x + 5 = 0
S= P=
II. RESUELVE: 5. Halla el valor de (k + 2):
1 x2 (k 4)x 0 4 Siendo el discriminante igual a 20. a) 3/4 d) 1/5
b) 1/2 e) N.A.
c) 4/5
6. Halla “a” si la ecuación: 2
(a + 5)x + 1 = (a + 2)x Presenta única solución. (Indica el valor mayor de “a”) a) 5 d) -4
b) 8 e) N.A.
c) 4
7. Halla el menor valor de “p” para que la ecuación: 2
x + (b - 3)x + b + 5 = 0 tenga sus dos raíces iguales: a) 11 d) 1
b) -1 e) N.A.
c) 24
10. Encuentra la suma de los valores que puede tomar “a” para que la ecuación cuadrática: 2
x - (a + 1)x + 18 = 0 Admite por raíces a “b” y “2b”. a) -2 d) 5 III.
b) 2 e) N.A.
c) 3
RESUELVE:
11. Calcula el valor de “a” en la ecuación: 2
3
2x - 24x + a = 0 Si una raíz es el doble de la otra. a) 4 d) 8
b) -1 e) 3
c) 2
12. Si: x1 y x2 son raíces de: 2
c) 5
Calcula: M x12 x22 a) 25 d) 23
2
(a + 4)x - (a + 3)x + 10 = 0 Para que la suma de raíces sea 6/7. b) 2 e) 5
b) 52 e) 17
2x – 10x + 4 = 0
8. Calcula “a” en la ecuación:
a) 1 d) 4
a) 10 d) 81
c) 3
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
b) 24 e) N.A.
c) 21
2
13. Si: a; b son raíces de x – 3x = -3 Calcula: R = a a) 3 d) 9
a+b
.b
ab
b) -3 e) N.A.
c) 27
68
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
IDENTIFICAMOS A LOS INTERVALOS APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica intervalos limitados e ilimitados
Entre dos puntos de la recta numérica correspondientes a dos números reales diferentes, existen otros infinitos números reales. Esto hace que pensemos en subconjuntos de R que en adelante llamaremos INTERVALOS. Un INTERVALO en la recta numérica podemos graficarlo así:
...
-4
-3
-2
-1
0
¿Cuántos números naturales existen entre –1 y + 4 incluyendo a éstos últimos?.................... ¿Cuántos números enteros existen entre – 2 y + 5 incluyendo a éstos últimos? ..................... Pero... ¿cuántos números reales existen entre –2 y + 5 incluyendo a éstos últimos? ............. Estos infinitos números reales pertenecen a un subconjunto de R llamado INTERVALO, cuyos extremos son –2 y +4. Un INTERVALO puede o no incluir a los extremos; como también, un INTERVALO puede incluir sólo a un extremo; según esto podemos tener entonces diversos tipos de intervalos que luego pasaremos a estudiar; pero antes generalicemos la idea de INTERVALO: PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
+1
+2
+3
+4
+5
...
Un INTERVALO es un subconjunto de R, cuyos elementos x están comprendidos entre los EXTREMOS a y b que también son números reales que pueden o no estar incluidos en el intervalo.
TIPOS DE INTERVALOS Pueden ser limitados o ilimitados. 1. INTERVALOS LIMITADOS. a. Si incluimos a los extremos INTERVALO es CERRADO.
el
Gráficamente
a
x
b 69
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
Donde x representa a cualquiera de los elementos del intervalo. Observa que los extremos a y b están resaltados con puntos negros lo cual significa que se incluye a los extremos. Representación simbólica: x a ; b Como conjunto: P = x R / a x b
Representación simbólica: x a ; b Como conjunto: P = x R / a < x < b Ejemplo: Representar el intervalo de números reales x comprendido entre – 7 y – 2 sin incluir a estos extremos. Gráficamente:
Ejemplo: Representa el intervalo de números reales x comprendido entre – 5 y +1 incluyendo a estos extremos.
-7
-2
0
Representación simbólica: x -7 ; - 2
Gráficamente:
Como conjunto: P = x R/ – 7 < x < –2
-5
0
+1
Representación simbólica: x - 5 ; 1 Como conjunto: P = x R / -5 x 1 b. Si no incluimos a los extremos, el INTERVALO es ABIERTO.
c. Si incluimos sólo a uno de extremos, el INTERVALO SEMIABIERTO.
los es
Abierto por la izquierda, cerrado por la derecha.Gráficamente:
Gráficamente: a
a
x
b
En este caso como los extremos a y b no pertenecen al intervalo, éstos se representan en la recta numérica por dos círculos pequeños. PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
x
b
Aquí, sólo b pertenece al intervalo, no así el extremo a. Representación simbólica: x a ; b Como conjunto: P = x R / a < x b
70
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
Abierto por la derecha, cerrado por la izquierda.Gráficamente:
Representación simbólica: x ] - , + [ Como conjunto: R = x R / - < x < +
a
x
a) Intervalo ilimitado cerrado por la derecha.
b
En este caso, sólo a pertenece al intervalo, no así el extremo b.
Gráficamente:
Representación simbólica: x a ; b [ Como conjunto: P = x R / a x < b 2. INTERVALOS ILIMITADOS
-
x
a
+
Representación simbólica: x ] - , a ] o x < -, a]
El conjunto de números reales es infinito. Esta característica la representamos en la recta numérica por el símbolo “” que no es un número porque no se adecua a sus propiedades, sino que más bien expresa una cualidad que podemos interpretar del siguiente modo:
Como conjunto: P = x R / x a b) Intervalo ilimitado derecha.
abierto por
la
Gráficamente:
“y así sucesivamente” en la recta numérica R es infinito por la derecha (+) y por la izquierda (-). El mismo conjunto R es un caso especial de INTERVALO, donde los extremos son propiamente números.
x
a
+
Representación simbólica: x ] - , a [ o
x < -, a [
Como conjunto P = x R / x < a
Gráficamente: -
-
x
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+ 71
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
c) Intervalo ilimitado cerrado por la izquierda.
d) Intervalo ilimitado izquierda.
Gráficamente:
-
abierto por
la
Gráficamente:
a
x
+
-
a
x
+
Representación simbólica:
Representación simbólica:
x ]a , + [
x [a , + > o x [a, +[
o x
Como conjunto
Como conjunto
P = x R / x > a
P = x R / x a
PRACTIQUEMOS 1. En los problemas escribe el intervalo correspondiente a la figura propuesta a) –5
–4
–3
– 2– 1-1
0
+1
+2
+3
+4
–5
–4
–3
– 2– 1 -1
0
+1
+2
+3
+4
–5
–4
–3
–2
+1
+2
+3
+4
–5
–4
–3
– 2– 1 -1
–5
–4
–3
– 2 –1-1
b)
c) -1
0
d) 0
+1
+2
+3
+4
–0
+1
+2
+3
+4
e)
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72
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
2. Completa el siguiente cuadro, graficando en la recta numérica cada intervalo dado: Representación simbólica del intervalo
Intervalo como conjunto
x]–5;2 x R / – 1 < x 4 x [ 3 ; 11 ] x R / 0 x < 7
MI TAREA 16 1. Completa el siguiente cuadro, graficando en la recta numérica cada intervalo dado: Representación simbólica del intervalo
x]–3;3
x [– 3 ; 0 [
x R /– 2 x 7
x R /– 5 < x < – 1
x [ -3 ; 9 ]
x]–4;3[
x R / 0 x < 4
x R / 2 x < 8
x [– 4 ; 0 [
x[–7;–2
x R /– 4 < x < 0
x R / x < – 2 x]–4; x[–
;–2
3. Representa los siguientes intervalos como conjuntos: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n)
x x x x x x x x x x x x x x
x]–5;2[
[ x R / x 8
–7,0 –3,1 – 14 , + 14 –5,4 – 10 , – 9 +3 ;+5 – 1 ; 12 0 , 11 ,4 – 10 , + ;+5 –1; + ; 11 ,6
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Intervalo como conjunto
x R / 3 x < 10 x[–5;–1 x R / x < – 5 x]–2;
[ x R / x -2
x[–
;–4
2. Representa los siguientes intervalos como conjuntos: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
x x x x x x x x x x
–8,–6 +3 ;+7 –1; 9 0 , 10 ,-2 – -6 , + ;+3 –4; + ;6 ,+4 73
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
REALIZAMOS OPERACIONES CON INTERVALOS APRENDIZAJE ESPERADO: -
Realiza operaciones con intervalos.
Las operaciones con intervalos son las mismas que las de conjuntos, tal es el caso de: la unión, intersección, diferencia y complemento
1. Dados los intervalos :
= -7 ; 7
b)
A B = -5 ; 2
2. Dados los intervalos: y
B = 5 ; 8
a) A - B
yB=-5;7.
b) B – A
Solución:
Halla: a) A B
AB
A = -3 ; 12 Halla:
PROBLEMAS RESUELTOS
A = -7 ; 2
a)
b) A B
Solución: Un intervalo es un conjunto. En este caso es posible el cálculo de A B y A B recordando que un elemento de la UNIÓN pertenece a A, o a B, o a ambos, y un elemento de la INTERSECCIÓN pertenece a ambos conjuntos. Graficando los intervalos dados en la recta numérica:
Recordemos que los elementos que pertenecen a la diferencia A – B, pertenecen a A pero no pertenecen a B. Asimismo, los elementos que pertenecen a B – A, pertenecen a B pero no pertenecen a A. Graficando los intervalos dados en la recta numérica:
-3
0
5
8
12
Del gráfico se nota que: -7
-5
0
2
Del gráfico se nota que: PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
7
a) A – B
= -3 ; 5 8 ; 12
b) B – A
=
74
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
PRACTIQUEMOS I. Sabiendo que:
MI TAREA 17 I. Sabiendo que:
A = < -5 , 3 ] ; C = < -7 , 1> ;
B= [0,4> D=
1) A B =
2) A B =
3) A – B =
4) B – D =
5) A C =
A = [ -17 , 14 ] C = ] - , - 10] E = [ 0 , 10]
, B = ] 2 , 18 [ , D = [ -1, 6 [
1) A B =
2) A B =
6) A C =
3) A – B =
4) B – A =
7) A – C =
8) C – A =
5) A C =
6) A C =
9) A D =
10) A D =
7) A – C =
8) C – A =
9) A D =
10) A D =
11) A – D =
12) A E =
13) A E =
14) A – E =
II. Dados los siguientes intervalos efectuar las operaciones indicadas: A = ] -7 ; 4 C=-1;6
B=2;8 D=–3;7
(1) A B
(2) B – A
(3) (A – C) D
(4) A B
(5) B C
(6) (C – A ) B
(7) A D
(8) C D
(9) (A – C) – B
(10) A – D (11) B D
(12) B ( C A)
(13) D – A (14) B – D (15) ( A B) – C
(16) A – B
(17) C D
(18) (A D) C
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
II. Dados los siguientes intervalos efectuar las operaciones indicadas. A =–3,2 ; C = – 5 ; – 2 ; E =0;2 ; 1)
AB
B= –4;1 D = 3, 5 F=–1;4
2) A B
3) A – B
4) B – A
5) A C
6)
7) A F
8) (B D) – C
9) A D
10) (A E) – (A C)
11) F – E
12) (B – A) (A – B)
(E C) – A
75
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
RECORDAMOS LAS INECUACIONES DE 1er GRADO APRENDIZAJE ESPERADO: -
Desarrolla ejercicios sobre inecuaciones de primer grado.
PRACTIQUEMOS 1. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) 2x + 9 > 23 b) 8 - 3x < -5x + 12 c) 1 - 5x > 12 + 6x d) 5x - 12 < 3x e) (x+4)(x+3) < (x+4)(x-3) 2 2 f) (x+1) - 4 > (x - 1) 2 2 g) (x+3) + (x - 3) > x(2x+9) 2 h) (2x+1) + 4(1 - x)(3 + x) > 9 i) 3x(x - 2) - 21>x(3x+1) j) 8x - 1 - 2(5x - 2) > 8 k) 3(x + 4) + 3x < 4x - 5 + 2(x + 1) l) 5(x + 3) + 2(3x - 2) 6(2x - 1) 2. ¿De qué inecuación, 3 es un elemento del conjunto solución? a) 7 x + 4x < 15 + x b) 12 + 5x 3x + 18 c) 2x + 4 > 17 - x - 1 d) 5x - 3 + x 2x + 15 e) 5x - 2 - 22 f) 15 - 4x -6x + 7 g) 3x + 16 x h) 18 - 3x 3(x + 4) PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
3. Resuelve los siguientes sistemas: a) -3 < 2x + 7 < 15 b) x - 3 < 2x - 5 < x + 1 c) 5x - 2 < 10x + 8 < 2x + 16 d) 3x < 4 - 5x < 5 + 3x e) 2x + 3 3x + 4 4x + 5 f) -1
9x – 63
0,4x +
a) x < -20 c) x > 53/4 e) 53/4 < x < 20
b) x > -20 d) –20 < x < 53/4
x 1 x 1 6 2 3 Indicando el intervalo solución.
5. Resuelve:
a) x [7; +> c) x [-1; 1] e) x
b) x [1; +> d) x R
76
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
6. Resuelve: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1) Indicando el menor valor entero que adopta “x”. a) 1 d) 10
b) 8 e) 9
7. Resuelve:
Indicando el intervalo no solución.
8. Resuelve:
b) e) N.A.
c)
x 1 x 2 x 3 x 4 2 3 4 5
Halla el mayor valor que satisface la desigualdad. a) 2 d) -1
b) 1 e) -2
c) 0
9. Señala cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es verdadera : I.
Si :
II.
Si:
2x 1 2 x > 1; entonces: x > 2 5 3
5x 1 3x 13 5x 1 > ; entonces: 10 3 4 x>1
III. Si:
3x 1 x 1 x < 1 ; entonces: 5 2 7
x 3x 6 5 9
a) 4 d) 7
b) 5 e) 3
c) 6
11. Resuelve el sistema:
x 1 x 2 x 3 -x 2 3 4 2 – x > 2x - 8 a) x [-1, 3> c) x [-2, 10/3> e) x [-1, 10/3> 12. Resuelve: a) d) 13. Resuelve: a) d)
b) x [-2, 13/3> d) x [-3, 10/3>
x5 x3 5 4 2
b) e)
c)
3x 2 x 2 x 1 4 3 5
b) e)
c)
14. Resuelve:
(3a 2b)x (3b 2a)x 7b 7a 5 5 (a < b) a)
b)
77
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
15. Se desea
saber el mayor número de alumnos que hay en el aula, si al doble del número de éstos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y sí al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número, aumentado en 16.
a) 20 d) 18
b) 22 e) 19
c) 21
16. Resuelve el sistema:
4x 5 2x – 5 4
b) –21 e) 25
1. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) 7 - 4x > 13 + 2x b) 7x - 16 < 5x c) 3x + 2 > 11 - x – 3 d) 2x - 11 -3x + 4 e) x + 5 < 2x f) 2(x + 3) > 3x + 4 g) x - 2 3(x + 1) h) (x + 3)(x - 4) < (x + 5)(x - 7) i) (x + 5) (x + 3) < (x + 5) (x - 2) 2
j) (x + 2) - 8 > (x - 2) 2
Indica la suma de las soluciones enteras: a) –36 d) 18
MI TAREA 18
c) –18
2
2
k) (x + 4) + (x - 4) > x(2x + 8) l) 4x(x - 3) + 17 > x(4x + 5) 2. Resuelve los siguientes sistemas: a) -15 < 2x + 7 < 3 b) x - 4 < 2x - 6 < x + 2
17. Señala cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es falsa :
c) 4x -3 < 7x + 6 < 10x + 9
I.
e) -
II.
Si : 2(x + 4) + 3(x - 1) > 4(x + 8), entonces : x < 27 Si : 2 +
x 5 x8 - 5, entonces: 3 2
x -11 III. Si : 6x + n<
22 7
a) Sólo I c) Sólo III e) II y III
5 7
> 4x + 7, entonces:
b) Sólo II d) I y III
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
d) 2x - 1 3(x + 1) x + 4 2x -
f) -4 3x - 14 7x 5 > x + 12 2 a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
78
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
4. Señala cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones es verdadera : I.
II.
x5 1 Si: 3 + x 3 > - 2 , entonces: 6 3 3 x < 19 Si:
3x 1 1 2x > , entonces: x < 5/13 2 3
III. Si: 3 -
x 4
< 7 +
x 3 , entonces: 4
x < -13/2 a) Sólo I c) Sólo III e) II y III
b) Sólo II d) I y III
5. Resuelve el sistema:
3x -5>7 4 x +3>x–9 2 a) d)
b) e)
a) x 1 d) x 5 9. Resuelve:
b) x 2 e) N.A.
c) x 3
5x 1 3x 2 x 2 4 5 30
a)
d) [3; +>
e) [37; +>
10. Resuelve:
c)
e) [-10; 10]
c) (x + 2) (-6) 3(2x + 3) < 7x – 2(x - 8)
c) a) 13 d) 14
2 – [4 – (x - 1) + 2(x - 3)] x – [2 – 3x] b) x 1 e) N.A.
c) x 0
x2 x 4 6 3 5 Indicando su intervalo solución.
7. Resuelve:
a) x [11; +> b) x [-11; 11] c) x [2; 3]
x2 x1 x 4 3 3 6 9
11. Halla el total de valores enteros que verifican el sistema :
6. Resuelve:
a) x 1 d) x 4
8. Resuelve:
d) x R e) x
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
b) 12 e) 15
c) 11
12. Halla el mínimo valor entero de “x” en cada una de las siguientes inecuaciones. 3x – 7 > 2 4x + 5 > 3(x + 2) 5(x + 2) < 6(x - 1) + 4 2
(x + 2)(x + 6) – (x + 4) + x 2
79
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
RESOLVEMOS INECUACIONES DE 2do GRADO APRENDIZAJE ESPERADO: -
Desarrolla ejercicios sobre inecuaciones de segundo grado.
1. Definición Las desigualdades de tipo: 2
2
2
2
ax + bx + c > 0 ; ax + bx + c 0 ax + bx + c < 0 ; ax + bx + c 0 se denominan desigualdades de segundo grado o cuadráticas. Ejemplos:
2
2
x + x – 6 > 0 ; 2x – 5x – 3 < 0 2
2
5x – 8x + 3 0 ; 2x + 4x + 5 0 2. Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado 2
Sea el polinomio de segundo grado: ax + bx + c
Se verifica que “a” sea positivo, si a es negativo se cambia el signo a todos los términos de la desigualdad. 2
2
Ejemplo: Resuelve -2x + 5x + 3 < 0 cambiando el signo 2x – 5x – 3 > 0
Se calcula el discriminante para ver el tipo de raíces :
= (-5)2 – 4(2) (-3) = 49
Se calculan las raíces factorizado por aspa simple o por fórmula general: 2
2x – 5x – 3 = 0 (2x + 1) (x - 3) = 0 x = -1/2 ; x = 3 A estos valores se les conoce como “puntos críticos”. PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
80
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica para analizar los signos del 2
trinomio : P = 2x – 5x – 3 +
+ -1 2
-
3
-
+
Como P > 0 entonces la respuesta es la Zona positiva.
Se escribe el intervalo solución : x
PRACTIQUEMOS 1. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2
2
a) x + 4x > 0
b) x > 7x
c)
d) 3x 6x
2
2. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2
b) x < -12x
2
d)
b) 5x - 2x < 0 c) 4x - 7x 0
2
3. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2
a) x - 1 > 0 2
c) 100x > 4
2
b) 4x - 1 > 0 d)
4. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 4x 0
2 b) 9x 12x
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
2 c) x 121
d)
5. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 9 < 0
2 b) 16x - 1 < 0
2 c) x 169
d)
6. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + x - 2 > 0
2 b) x - x - 6 > 0
2 c) x - 4x - 21 > 0
2 d) 6x + x - 2 > 0
7. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + 2x - 3 0 2 c) x - x - 30 0
2 b) x - 2x - 480 2 d) 2x - 5x - 3 0
8. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2
a) x + 3x - 4 < 0 2
c) x - x - 42 0
2
b) x - 2x – 35 < 0 2
d) 4x - 11x + 6 0
81
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
9. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2
b) x > 5x - 1
2
d) x + 5x 3
a) x + x - 1 > 0 c) x - x 4
16. Resuelve las siguientes inecuaciones:
2
a) (x + 2)(3x + 2) > (x + 2)(2x + 1)
2
b) (x + 1)
2
9
2
2
2
a) x + x - 4 0
b) -5x - 6x 0
2
d) 16 - 25x 0
2
c) 9 - x < 0
11. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2
2
b) x + 4x + 5 0
2
d) x + 4x + 4 > 0
a) x + x + 1 < 0
2
c) x - 2x + 4 < 0 12. Halla
el
conjunto 2
solución
de
la
inecuación: (x + 2) – 6 x + 2 a) [-4, 1] d) [-4, 4] 13. halla
b) [-4, -1] e) [-1, 4]
el
conjunto 2
c) [-3, 2]
solución
de
inecuación 6x
la
– 5x – 6 0 e indica cuántos números enteros satisfacen la inecuación: a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
b) e) R – {4}
c) R 2
15. Resuelve la inecuación: x – 3x 2x
2
17. Resuelve: x - 5x + 3 0 Se obtiene como conjunto solución. x IR - . Indica "m + n" a) 1 d) -5
b) 3 e) -3
c) 5 2
18. Si en la inecuación: x - mx + n < 0 Se obtiene como conjunto solución: x . Halla: m + n a) 20 d) 23
b) 21 e) 24
c) 22
2 19. Si la inecuación: -5x + mx + n > 0; presenta como conjunto solución: . Luego el valor de "m - n". a) -125 d) 12
b) 5 e) 25
c) 10
Indica un intervalo solución.
x(x - 8) + 8 > 4(1 - x)
a)
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) d)
b) e)
c)
21. La solución de la inecuación: 2
-x + 8x – 7 > 0 a) - < x < c) –1 < x < 1 e) 1 < x < 7
b) –1 < x < 7 d) 0 < x < 7
82
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO 6. Resuelve las siguientes inecuaciones:
MI TAREA 19 1. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 4x > 0
2 b) x > 6x
2 c) x -8x
2 d) x -9x
2 e) x - 3x < 0
2 f) x < -11x
2 g) x - 5x 0
2 h) x + 2x 0
2. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 9 > 0
2 b) x - 49 > 0
2 c) x - 1 < 0
2 d) x - 25 < 0
2 e) x < 196
2 f) x - 4 0
2 g) x 121
2 h) 9x - 1 0
3. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - x - 2 > 0 2 c) x - 6x + 8 > 0
2 b) x + x - 6 > 0 2 d) x - 2x - 3 0
4. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - 3x - 4 < 0
2 b) x + x - 20 < 0
2 c) x - 4x - 5 0
2 d) x + x - 42 0
5. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - x + 3 > 0 2 c) x + 5x - 4 0
2 b) x - x < 5 2 d) x - x 8
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
2 a) x + x - 1 < 0 2 c) x + 5x 3 2 e) -x + 8x < 0
2 b) x + 2x - 4 < 0 2 d) x 4x - 1 2 f) 20 - x - x < 0
7. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) -5x - 2x 0 2 c) 2 - x - x 0
2 b) 6 - x - x > 0 2
d) 49x + 5 > 14x
8. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x - x + 2 < 0 2 b) x + 2x + 1 > 0
2 b) x - x - 4 2
d) 4x + 4x + 1 > 0
9. Resuelve las siguientes inecuaciones: 2 a) x + 4x + 4 0 2 b) x - 8x + 16 0 2 c) 25x - 10x + 1 0 10. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) (x + 3)(4x + 3) > (x + 3)(3x - 1) 2 b) (x + 2) 25 2 2 2 c) (3x + 1) + (x - 1) + (x - 2) > 0 2 11. Resuelve: x - 7x + 2 0 Se obtiene como conjunto solución: x IR - . Indica: m + n a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 2
83
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
IDENTIFICAMOS EL VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO |a| DE UN NÚMERO
APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica el valor absoluto de un número real.
El valor absoluto de un número real es la distancia del CERO a dicho número. Es decir: 17
- 17
(1) ¿A qué es igual 1 ? 5 Como en el interior de las barras tenemos un número real negativo: 1 1 = 5 5 Porque a = -a si a < 0.
1 = 1 = 1 En este caso: 5 5 5
+ 17
0 17
(2) ¿A qué es igual
Es fácil que la distancia de 0 a + 17 , es la misma que de que de 0 a – 17 , entonces podemos afirmar que el valor absoluto de + 17 es el mismo que el de – 17 . Así:
17 =
17
17 =
17
En general, si a es un número real, el valor absoluto de a se representa como a y está definido así: Ejemplos:
2 ?
Como en el interior de las barras tenemos un número real positivo: 2 = 2 Porque: a = a si a > 0. En este caso: 2 =
2
PROPIEDADES ABSOLUTO
DEL
VALOR
Si a y b son dos números reales tendremos que: 1. Si dos números son opuestos, su valor absoluto es el mismo.
a = a
si a > 0
a = 0
si a = 0
a = -a
si a < 0
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
Es decir:
a a
84
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
Ejemplos:
(4) Resuelve: 9 (x - 8) = 27
(1) 5 5 5 5
Solución:
(2) 3 3 3
9 (x - 8)
= 27
9x - 8
= 27
9 x - 8
= 27
2
2
2
2. El valor absoluto del producto de dos números, es igual al producto de los valores absolutos de los dos números. Es decir:
x - 8
= 3
i) x – 8 = 3 x
ab a b
= 11
ii) -x + 8 = 3
Ejemplos:
x =5
(1) (3)x(5) 3 x 5 15 = 3 x 5
15 = 15
3. El valor absoluto del cociente de dos números, es igual al cociente de los valores absolutos de ambos números.
(2) ( 3)( 2) 3 2
6 3x 2
PRACTIQUEMOS
6 6 (3) 5 (8) = 5 8 Solución: 5 (8) = 5 8 40
40 40
= 5 8
= 5
.
8
40
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
A. Efectúa 1.
100 100
4. 6 10
2.
7 2 2 7
5. 1 1
3.
0,3 0,3
6. 11 11
B. Resuelve: 1. x + 6 = 8
8. x – 8 = 14
2. x + 10 = 23
9. x - 24 = 15
3. x + 8 = 3,5
10. x – 5 = 6
4. 3 (x - 1) = 9
11.4 (x + 5)= 48 85
I.E. “SAN MARCOS” 5. 2 (x - 6) = 5 6.
x 1 3 = 12 6
TERCER GRADO 12. x 8 = 7 3
e) Si sumamos los posibles valores de “m” en |m + 2| + 9 = 12, obtenemos:
13. x 21 = 8 15
7. x - 7 = 11
a) -1 d) -4
14. x + 3 = 13
a) Da la suma de todos los posibles valores de a en: a +1=5 b) -8 e) -2
b) -6 e) 0
2n + 3+ 6 = 0 a) 8 d) -2
c) 4 de
c) 4
a) 3 d) 4
2a + 1+ 2 = 0 b) 6 e) Absurdo
c) -4
MI TAREA 20 A. Resuelve los siguientes problemas d) Da la suma de todos los posibles valores de a en:
a +2=6 a) 0 d) 8
b) -8 e) -2
c) -4
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
b) 5 e) 6
h) Calcula el valor de
c) Da la suma de los posibles valores “ a” en la siguiente expresión:
a) 8 d) -2
b) 6 e) Absurdo
c) -4
g) Halla el valor de: |-3|+|2|+|3/2|-|5/2|
b) Si sumamos los posibles valores “b” en |b + 3| + 7 = 15, obtenemos: a) -2 d) -4
c) 4
f) Da la suma de los posibles valores “n” en la siguiente expresión:
C. Resuelve los siguientes problemas
a) 8 d) 0
b) -5 e) 0
a) 4 d) -1
b) -2 e) 1
c) 1/2
2 2 3 3 1 1 3
c) -4
B. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones: 1.
5 2
4 2,3 7,1
2.
1 2x 1 3 5 7
5. 0,8 5
3.
7 3 5
6. 8 8
7
C. Resuelve: 1. 2. 3. 4.
x + 4 = 8 x + 12 = 25 x + 9 = 5 3 (x - 2) = 12
5. 2 (x - 6) = 8
6. x – 7 = 16 7. x - 9 = 15 8. x – 5 = 6 9. 4 (x + 5)= 48 x8 10. =9 3 86
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
APRENDEMOS A RESOLVER ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO APRENDIZAJE ESPERADO: -
Desarrolla ejercicios sobre ecuaciones con valor absoluto.
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes: TEOREMAS:
TEOREMA |a| = |b| a = b v a = -b Ejemplo: 1. Resuelve: |2x - 1| = |3x - 5|
|a| = b b 0 (a = b v a = -b)
2x - 1 = 3x – 5 4=x v
Ejemplo:
C.S.: x {4; 6/5}
1. Resuelve: |x| = 5
Cuando se presenta diversos valores absolutos, podemos aplicar el método del seccionamiento, que a continuación verás:
|x| = 5 5 0 (x = 5 v x = -5) C.S.: x {-5; 5} 2. Resuelve: |x + 1| = 8 |x+1| = 8 8 0 (x + 1 = 8 v x +1 = -8) x = 7 v x = -9 C.S.: x {7; -9} 3. Resuelve: |3x+2| = 5 |3x+2| = 5 5 0 (3x + 2 = 5 v 3x + 2 = -5) 3x = 3 3x = -7 x=1 v x = - 7/3 C.S.: x {1; -7/3} PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
2
v
2x - 1 = -(3x - 5) 5x = 6 x = 6/5
Resuelve: |x - 2| + |x + 2| + |x - 5| = 13 Cada valor absoluto lo igualamos a cero y los valores obtenidos los llamaremos puntos críticos, así: |x - 2| = 0 x = 2 |x + 2| = 0 x = -2 |x - 5| = 0 x = 5 Luego, se tiene tres puntos críticos: P.C.: 2; -2; 5 los cuales lo representaremos sobre la recta numérica real. 87
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO 3. Resuelve las ecuaciones siguientes:
IV
-
-2
III
II 2
I
+
5
Ahora se analiza cada zona o sección: I. [5;+>: x - 2 + x + 2 + x - 5 = 13 3x = 18 x=6 S(I) : {6} II. [2; 5>:
III. [-2;2> :
x - 2 + x + 2 + 5 - x = 13 x=8 Pero 8 [2; 5> S(II) : 2 - x + x + 2 + 5 - x = 13 x = -4 Pero -4 [-2; 2> S(III) =
IV. :
2 - x + (-x-2) + 5 - x = 13 -3x = 8 x = -8/3
C.S.: S(I) S(II) S(III) S(IV) ={-8/3; 6}
2 a) |x | = 0 2 b) |x + 2x| = 0
2 c) |3x - 5x| = 0 2 d) |7x - 6x| = 0
4. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ||x - 1| -1| = 0 c) ||3x - 2| - 6| = 0 b) ||x + 1| -2| = 0 d) ||5x + 3| - 8| = 0 5. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ||x - 1| -1| = 1 b) ||4x - 6| - 9| = 3 c) ||x + 1| -2| = 3 d) ||3x - 7| - 6| = 2 6. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 4| = 3x b) |x + 2| = 2x c) |3x + 2| = -3x d) |5x + 1| = 7x 7. Resuelve las ecuaciones siguientes:
PRACTIQUEMOS 1. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 3| = 0 b) |x+1| = 0
c) |2x + 1| = 0 d) |3x - 2| = 0
2. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 3| = 2 b) |x+1| = 5
c) |4x + 1| = 9 d) |5x - 2| = 8
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) |x + 2| = x - 3 b) |2x + 1| = x + 2 c) |3x - 2| = x - 1 d) |4x - 3| = 2x + 1 8. Halla el conjunto solución de: a) 1 - x = |x + 1| b) 2 - x = |x + 2| c) 3 - 4x = |4x + 3| d) 5 - 6x = |6x + 5| 88
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
9. Resuelve las ecuaciones siguientes:
15. Resuelva: |3x - 9| + |x + 2| = |2x - 6| + |2x + 4|
a) ||x - 2| - x| = 1 b) ||x - 1| - x| = 2 10. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) {2} d) {1/2}
b) {-1/2} e) {-2}
c) {0}
16. Resuelve: |x - 6| - |x - 3| = |x - 1|
a) |x + 8| = |6x + 3| b) |3x + 2| = |x + 3| c) |2x + 1| = |x - 4| d) |4x - 3| = |2x + 5|
a) {-2} b) {10/3} c) {-10/3} d) {-2; 10/3} e) {-2; -10/3}
11. Resuelve las ecuaciones siguientes:
17. Resuelve x IR |x| - 2|x + 1| + 3 |x + 2| = 0
2
a) x - 4|x| + 4 = 0 2
b) x - 6|x| + 9 = 0
a) {1} d) {2}
2
c) x + 6 = 5|x|
b) {-2} e) {0}
c) {-1}
2
d) x + 8 = 6|x|
MI TAREA 21
12. Resuelve las ecuaciones siguientes: 2
1. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x + 2x - |x + 1| - 1 = 0 2
b) x - 4x + 2|x - 2| + 1 = 0
a) |x - 2| = 1 b) |x + 2| = 3
2
c) x + 6x + 15 = 5|x + 3| 2
d) x + 24 + 6|x - 4| = 8x 13. Resuelve las ecuaciones siguientes:
2
b) |x - 9| = x + 3 2
c) |4x - 1| = 2x - 1 2
d) |x - 4| = -2x+4
3. Resuelve las ecuaciones siguientes:
14. Resuelva: |x+3| + |x - 1| = 6 b) {2} e) {-4; 2}
2. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) ||x - 2| - 1| = 0 b) ||2x - 3| - 6| = 0 c) ||x+1|- 3| = 0 d) ||4x + 5| - 3| = 0
2
a) |x - 4| = x - 2
a) {-4} d) {-4; -2}
c) |5x + 1| = 11 d) |3x - 4| = 2
c) {-2}
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) ||x - 2| - 1| = 1 b) ||2x - 3| - 3| = 2 c) ||x+1| - 3| = 2 d) ||3x - 4| - 5| = 3 89
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
4. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x + 4| = 3x b) |x - 2| = 2x
c) |4x + 3| = -3x d) |5x + 1| = 6x
5. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) |x - 2| = x + 3 b) |4x - 3| = x + 2
10. Resuelve las ecuaciones siguientes: 2
a) x - 2x + |x - 1| - 1 = 0 2
b) x + 4x - |x+2| - 2 = 0 2
c) x - 4x - 2|x - 2| - 4 = 0 2
d) x + 6x+3|x+3| - 9 = 0 11. Resuelva:
c) |2x - 1| = x – 2 d) |5x + 2| = 2x - 3 6. Halla el conjunto solución de: a) -2 - x = |x + 2| b) -2 - 5x = |5x + 2| c) -3 - x = |x + 3| d) -8 - 3x = |3x + 8| 7. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) b)
|x + 2| + |x - 3| = 5 a) {-2; 3} d) {-3}
a) |x + 4| = |2x + 1| b) |2x + 3| = |x - 4| c) |3x + 1| = |x + 3| d) |5x - 2| = |2x + 1| 9. Resuelve las ecuaciones siguientes:
c) {2}
12. Resuelve: |4x - 2| + |x + 3| = |2x - 1| + |3x + 9| a) {-5/2} d) {-4/5}
b) {-5/4} e) {-5/3}
c) {-2/5}
13. Resuelva:
||x - 1| - x| = 1 ||x - 2| - x| = 3
8. Resuelve las ecuaciones:
b) {2; 3} e) [-2; 3]
|x - 3| - |x - 2| = |x| a) {-1} c) {-1;1} e)
b) {1} d) {5/3; -1; 1}
14. Determina el conjunto solución de la ecuación: |x+1| + 2|x - 2| = |x - 8| a)
b)
c)
d)
2
a) x - 2|x| + 1 = 0 2
c) x - 6 = 5|x| 2
b) x + 4|x| + 4 = 0
e)
2
d) x - 18 = 7|x| PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
90
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS APRENDIZAJE ESPERADO: -
Desarrolla ejercicios sobre sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
Es un conjunto de ecuaciones que verifican para una solución común.
Clasificación
Compatible
Incompatible
Tiene solución
No tiene solución llamado también absurda.
Determinado
Indeterminado
Tiene una cantidad limitada de soluciones
Tiene una cantidad ilimitada de soluciones
Ejemplo:
Ejemplo:
3x – y = 3
x+y=2
x+y=1
2x + 2y = 4
Solo se cumple cuando: x = 1; y=0
Se cumple para: x=1
y=1
x=2
y=0
x=3
y = -1
Ejemplo: x+y=2 x+y=5 No se cumple para ningún valor de x e y.
Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver mediante los siguientes métodos: -
Método de igualación. Método de sustitución Método de reducción
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
91
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO 6. Resuelve:
PRACTIQUEMOS 1. Resuelve el sistema e indicar la mayor solución: 2x + 3y = –2 2x – 6y = 1 a) 1/2 d) 1/5
b) 1/4 e) 2
c) 1/3
4x + 5y = 7 10x + 3y = 8 Indica: E = y - x a) 1 d) 1/3
b) 2 e) 2/3
7. 7x + 5y = 14 3x – 6 = y Son dos ecuaciones simultaneas, halla el valor de x – y
2. Resuelve:
a) 1/2 d) 6
x+y=5 x–y=7
Indica: 3x + y
a) 18 d) 20
b) 19 e) 5
c) 1/2
b) -1/2 e) 5
c) 1/3
8. Resuelve: c) 17
3x + 2y = 5 2x + 3y = 5
Indica el valor de: E
a) 2 d) 1
b) 5 e) 0
3. Resuelve: 5x + 4y = -2 x + y = -1 Indica el valor de x/y a) 3/2 d) 1/3
b) -2/3 e) 1/2
c) 6
x y
c) 3
9. Resuelve: 5x + 7y = 17 2x + y = 5 Indica: 3x + 6y
4. Resuelve: 2x + y = 3 y+x=2
Indica: E = x - y
a) 1 d) 0
b) 2 e) -1
a) 3 d) 12 c) 3
a) 0 d) -1
b) 1 e) 4
5x 2y
2
17x + 2y = 36 x+y=3 Halla: x - y c) 2
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
c) 8
10. Resuelve:
3 2x y
5. Resuelve:
b) 6 e) -2
a) -4 d) 2
1
1 e indica el valor de y/x b) 1/2 e) 3
c) 1/3
92
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
11. Resuelve:
15. Halla el valor de “y” en:
3 x3 y2 4 4 x 3 2 y 2 12 Indica: “x - y” a) 1 d) -2
b) -1 e) 2
c) 0
12. Resuelve y da como respuesta el valor de x.:
b) 1 e) 4
c) 2
16. Resuelve: 2abx + by = 1 ax + y = 2 Indica el valor de “x”
x + 3y = 1 3 xy =2 4
28 a) 12 28 d) 15
a) 0 d) 3
ba ab 1 2b e) ab
a) 1 – 2b
28 b) 13
28 c) 14
e) 6
d)
1 2b b
b)
c) ab
b) 3,3 e) N.A.
c) 3,4
17. Resuelve:
13. Resuelve: 4 2 6 m n
3 2 5 m n
e indica “m + n”
a) 0 d) 2
b) -1 e) -2
c) 1
a) 3,5 d) 3,6 18. Resuelve:
14. Resuelve:
3 1 7 x1 y 1 1 1 13 Indica el valor de “x” x1 y 1
a) 28 ; 5
b) 28 ; 5
c) 25 ; 5
d) 16 ; R
13
a) 3/5 d) 3/4
b) 4/5 e) N.A.
c) -4/5
12
13
12
12 12
12
e) N.A. PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
93
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
MI TAREA 22 1. Resuelve: x–y=7 x + y = 11
Indica el valor de “y”
a) 9 d) 11
b) 2 e) 7
c) 1
6. Resuelve: 4 5 9 a b 7 8 15 a b Indica: “a + b” a) 1 d) 2
b) 0 e) 3
7. Resuelve e indica:
2. Resuelve:
c) -1
x y
xy
3x + y = -1 x–y=5
Indica el valor de “y”
a) 4 d) 1
b) 2 e) -4
c) 3
2 …………… (I) 5 2x 3y 1 …………… (II) 5
a) 14/3 d) 1/3
3. Resuelve:
b) 7/3 e) 4/5
8. Resuelve:
4y + x = 5 3y + 2x = 5
Indica el valor de “x”
a) 1 d) -1
b) 2 e) 5
c) 3
4. Resuelve:
1 1 5 xy xy 1 1 1 xy xy
7x + 3y = 20
Indica el valor de “x”
5x + 2y = 14 Indica: “x/y”
a) 7/12 d) 1
a) 2 d) 3
b) 4 e) -1
c) 1
c) 5/12
x + 3(2 – y) = 6……….(1) 3x + 2y = 77 ……….(2)
3 y 4 Indica el valor de “x” x1
b) -1 e) 0
b) 4/12 e) 12/7
9. Resuelve:
5. Resuelve: 3 2y 5 x1
a) 1 d) 2
c) 4/3
c) 3
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
Indicando: x/y a) 2 d) 7
b) 3 e) 21
c) 1
94
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
10. Resuelve:
15. Resuelve y calcula el valor de x/y:
ay = bx a) {a ; b} d) {2a; 3b}
a b 2 2 b e) a ; 4 b) ;
b 2
c) a ;
a) 11/8 d) 8/7
b) 8/17 e) 1
c) 7/8
16. Resuelve y calcula el valor de y/x:
11. Resuelve
a) 1 d) -3 a) 8; 9 d) 4; 2
b) 6; 9 e) 5; 1
c) 3; 2
12. Resuelve: 7x – 8y = 101 2x + y = -4 Indica el valor de “x - y” a) 13 d) -16
b) 3 e) 16
c) 4
13. Resuelve:
b) -1 e) 4
c) 3
17. La solución del sistema de ecuaciones lineales es:: 5x - 41 = -y 2x + 3y = 32 es: a) x = 7; y = 6 c) x = 6; y = 4 e) x = 3; y = 7
b) x = 5; y = 3 d) x = 7; y = 3
18. Encuentra los valores de x e y en:
3x - 2y = 12 x + 5y = 38 Indica el valor de “x + y”
5x – 4y – 3(2x – 5) = 0 6(x – 1) – (2y -1) = 0
a) 4 d) 12
Indica el valor de y/x
b) 8 e) 16
c) 14
a) 10/17 d) 7/8
14. Resuelve: 10x + 9y = 8 8x – 15y = -1 Indica el valor de “x - y” a) 3 d) 1/6
b) 1/3 e) 2
c) 6
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
b) 17/10 e) 1
c) 8/7
19. Resuelve: 3x + y = 16 3x – y = 14. 95
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
IDENTIFICAMOS MATRICES Y DETERMINANTES APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica una matriz y un determinante
Matrices 1.
Definición.- Una matriz real es un conjunto de números reales arreglados en filas y columnas en forma de rectángulo.
Ejemplos: 3 A = 9
2.
5 4
;
B ) 2 3 5 / 7 1 3 / 4
;
C = 41
2 7
3
4
Notación.Columnas
1 5 M= 2 3 1 4
4 2 1 0 2 5
filas
Columna j (j= 2)
3 2 2 3 N = 1 4 1 5
0 2 2 1 5 3 3 4
1 5 4 2
Fila I (i = 3)
Fila 1 :
3, -2, 0, 2, 1
Fila 3 :
-1, 4, -5, 3, 4
Columna 1 :
3, 2, -1, 5
Columna 3 : 0, -2, -5, 3
El 4 es el elemento que pertenece a la tercera fila y a la segunda columna esto se denota por:
4 = n32
Letra de la matriz (minúscula) Número de columnas Número de filas
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96
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
n34 = 3
n25 = ___
n12 = ___
n11 = ___
n43 = ___
n44 = ___
“El elemento de la fila i, columna j, se representa por n ij” Una matriz en general, se escribe:
a11 A = a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a14 a23 a24 = aij 3x 4 a33 a34
Nota a. Sin una matriz tiene “m” filas y “n” columnas se dice que es una matriz de orden m x n. En el ejemplo anterior A es un matriz de orden 3 x 4. b. Si el número de filas es igual al número de columnas entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su orden es “n”. Ejemplo:
2 M = 3
1 4
es una matriz cuadrada de orden 2.
c. Si A es una matriz cuadrada, la diagonal principal de A, está formada por los elementos aij.
Diag(M) = {2; -4}
d. Se llama traza de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal. Traza(M) = 2 + (-4) = -2 3.
Matrices Iguales.- Dos matrices A y B son iguales, si lo son todos los elementos que ocupan las mismas posiciones, es decir : aij = bij, para todo i, j. Ejemplos: 2 A. 4
1 3 2 = 5 7 4
1 3 5 7
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97
I.E. “SAN MARCOS” B. Para que:
4.
2 y
TERCER GRADO
x a = 1 3
2 se debe verificar que: a = 2, x = -2, y = 3, b = -1. b
Suma de Matrices.- Si A y B son matrices del mismo orden, entonces A + B es la matriz en la que cada elemento es la suma de los elementos de la misma fila y columna de A y B. Ejemplo:
5.
1 5
2 3 4 1 6 + = 1 4 5 2 1
3 7
1 5
Resta de Matrices.- Se procede de la misma forma que la suma. Ejemplo:
6.
3 4
4 1 3 4
2 2 2 8
3 3
5 2 2 = 2 11 7
3 0
Multiplicación por un Escalar.- Se obtiene multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar. Ejemplo:
7.
2 3 4
1 6 3 = 3 12 9
Producto de Matrices m x r por r x n.- Para efectuar esta operación se debe cumplir que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. Ejemplos: a.
1
2
3 1 . 4 = 1 . 3 + 2 . 4 + (-1) (-1) = 12 1
2 b. Sea : A = 4
3 1
4 1 ; B= 3 2 2
2.4 3.3 1( 2) A . B = 4.4 ( 1)3 2( 2)
5 6 1
2.5 3.6 1( 1) 15 27 = 4.5 ( 1)6 2( 1) 9 12
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98
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
Determinantes
Determinante de Segundo Orden.- Si : A = ca db A = ca db = ad - bc Determinante de A Ejemplo:
3 2
5 = 3 . 4 – (2) (-5) = 12 + 10 = 22 4
x 0 2 3 =x.x –1.0=x 1 x2
a
b
c
Determinante de Tercer Orden.- Si : A = d e f g h i
para calcular su
determinante se procede de la siguiente manera : 1º Se escriben las dos primeras filas debajo de la tercera : a
b
c
d
e
f
g
h
i
a
b
c
d
e
f
2º Se calculan los productos de los elementos que se encuentran en la diagonal principal y las paralelas, luego se suman dichos productos : a d g
b
c
e
f
h
i
= (aei + dhe + gbf)
a
b
c
d
e
f
3º Se calculan los productos de los elementos que se encuentran en la otra diagonal y sus palabras, para luego sumar dichos productos : PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
99
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO a
b
d =
c
e
g
h
f i
= (ceg + afh + bdi)
a
b
c
d
e
f
4º Se calcula la diferencia de los números obtenidos en los pasos (2º) y (3º): A = (aei + dhc + gbf) – (ceg + afh + bdi)
2 Ejemplo: Si A = 2 3 2
1
3
-2
-1
4
3
4
2
2
1
3
-2
-1
4
1 1 4
3 4 , calcula A 2
(-4 – 24 + 12) = -16
2
1
3
-2
-1
4
3
4
2
2
1
3
-2
-1
4
= (-9 + 32 - 4) = 19
Restando obtenemos: = -16 – 19 = -35 a) 4 d) 3
PRACTIQUEMOS 1. Escribe explícitamente la matriz “A”. A = (aij)3x2 / aij = i + 2j
3 a) 4 5
5 6 7
4 2 d) 0 0 1 4 xy 2. Si: x y
3 b) 4 5
7 8 9
5 c) 6 7
7 8 9
e) N.A.
2z w 3 5 z w = 1 4 . Halla:
“(x + 2y) – (z + w)” PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
b) –3 e) -2
2 1 3. Dado: A = 1 3 5 2
c) 2
2 2 ; B = 1 1 . 1 3
Calcula : “2A - 3B”
4 a) 5 7 4 c) 5 7
1 e) 4 5
2 9 5 2 9 5
4 b) 5 7 4 d) 1 0
2 9 5 2 1 2
2 2 9 100
I.E. “SAN MARCOS” 4. Determina
P(A)
si:
TERCER GRADO A
2 1
=
1 0
además: P(x) = 2x + 31. Da la suma de elementos de P(A). a) 10 d) 14
b) 5 e) 120
2 3 5. Si : A = 1 2
c) 12
1 ; B = 4
a) 2 d) 5
2 1
3 . 2
Halla “AB” 14 a) 9
1 0
12 7
12 0 3 b) 4 3 2 4 c) 2
0 1
4 d) 2
0 0
2 2
1 e) 1
0 0
0 1
1 4
2 6. Dada la matriz: A = 3
1 2 3 5 8. Si: A = ;B= , halla la 3 4 5 9 matriz “X” que resuelve la ecuación: AX = B. Da como respuesta la suma de sus elementos.
3 . Calcula 2
2
b) 3 e) 6
5 2 9. Dadas las matrices: A = ; 7 3 1 2 3 2 B = ; C = . Entonces se 8 5 3 4
cumple que : a) b) c) d) e)
A B A C B
1 3
5 1 d) 0 5
5 b) 0
0 3
5 e) 0
0 5
5 c) 0
1 0 0 2 2 7. Si: A = B = ; AB = 0 1 1
2 BA = 1
0 1
1 ; 2
1 2 . Halla: (A + B) 0
< B < A < C < B < C
< C < C < B < A < A
10. Indica el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:
“A – 4A” 5 a) 0
c) 4
I.
a2 ab
II.
n 1 n = -1 n n 1
III.
ab a b
a) VVV d) FVF
ab 2 2 = 2a b b2
a b = 4ab ab
b) VVF e) VFV
c) FVV
2
4 a) 0
0 4
8 b) 0
0 8
2 d) 0
0 2
1 e) 0
4 7
1 0 c) 0 1
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
11. Si: (1 + x) (1 - x) = y . Calcula:
x E= y a) 0 d) 2
y y x + xy b) –1 e) -2
1 x c) 1
101
I.E. “SAN MARCOS” 12. Si: A =
TERCER GRADO
Log2 32 Log3 27 . Calcula: Log4 16 Log5 125
MI TAREA 23
A a) 15 d) 7
b) 13 e) 9
c) 8
2 13. Dada la matriz: H = x x
H= 4. Halla H
3 , 1
si
2
a)
268 51 68 1 3
d)
244 51 60 1 3
b)
244 45 68 11
e)
268 45 68 11
c)
268 45 68 13
3 1 =2 3 2
b) 32 e) 30
c) –7
2 1 3 15. Dadas las matrices: A = 5 3 2 ; 1 4 3 3 B= 2 3
2 1 5 3 4 2
Calcula el valor de: E = 2A + 3B a) 71 d) 17
b) 16 e) -1
+ a33
c) 4
2x 1 3 3y 2. Si: A = ,B= 4 1 2z A = B.
a) 6 d) 9
4 . 0
Calcula el valor de: E = Traza (x) + x a) –39 d) 25
a) 12 d) –4
1 4 , 5
6y y 1
Calcula el valor de : E = 4x + 2y - z
14. Si “x” satisface la ecuación: 2 x+ 0
2 3 1. Dada la matriz : A = 0 2 3 0 calcula el valor de : E = a12 + a 2 22
b) 36 e) 24
x 3 16. Dada la matriz: B = 3 2 1 7
c) 72
5 x 4 , si 5
B= 100 ¿Cuál es el valor de x? PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
b) 8 e) 5
c) 13
3 1 4 3. Si : A = ; B = 2 5 2 C = 2A + 3B Halla traza (C)
a) 18 d) 24
b) 20 e) 26
2 y 1
c) 22
2x 1 y 4. Dadas las matrices: A = ; 3 y 2 2 5 5 y 2 x B = ; C = , si: 2 x 1 4 1 A = B. Calcular : A + C 7 2 a) 2 5 7 2 c) 4 2 5 1 e) 3 9
7 5 b) 2 2 5 3 d) 9 1
102
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
3 1 2 5. Dada la matriz: A = 2 3 1 y 1 2 4 el polinomio P(x) = 5x – 2. Halla la suma de los elementos de P(A). a) –69 d) –20
b) 20 e) 49
6. Dadas las matrices: A = 1
0
4 ;
2
c) 69
c) –19
2
a) 2 d) –4
2
8 0 ; BA = 1 4
0 0
5 a) 11
1 10
5 6 b) 11 1
10 c) 1 1
1 2 1
5 6 d) 1 11
10 e) 1
12 11
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
c) 306
b) –15 e) –33 =
2 1
1 3
c) 9
y
2
B
1 1 . 2 1
=
Calcula el determinante de: C = (A + B)(A - B)
8. Calcula (A + B) , si se sabe que:
4 = 2
c) 128
b) 48 e) –306
a) –24 d) –9 12. Si: A
d) S = {-2} e) S = {-3}
3 2 2 3 6 2 A = B = ; 6 1 1 3
b) 64 e) 300
11. Si la matriz X satisface la ecuación: 2 1 1 2 X+2 = . Halla X 3 1 3 4
7. Resuelve la ecuación: 1 a2 a 1 5 = [0] 6 a) S = {-2, 3} b) S = {2, -3} c) S = {-2, -3}
a) 32 d) 256
a) 354 d) –256
1 3 B = 5 . 7
b) –37 e) -25
1 4 . Calcula A 2
1 3 t 10. Si: A = . Calcula: E=2A + 3A 4 2
Halla “AB” a) 19 d) 37
2 9. Si: A = 0
AB
b) 4 e) 0
c) –2
2x2 1
13. Dada la matriz: A =
x , si: 2
t
A = 3. Halla: 2A + 3A a) 100 d) –100
b) –125 e) N.A.
c) 25
2 1 3 14. Si: A = 5 3 2 . Calcula: A 1 4 3 a) 40 d) 0
b) 20 e) 10
c) 30
103
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
OPERACIONES CON SEGMENTOS APRENDIZAJE ESPERADO: -
Realiza operaciones con segmentos.
LÍNEA RECTA Es un conjunto ilimitado de puntos que están en una misma dirección. Q
P
Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.
RAYO Es cualquiera de las dos partes de una línea recta que se determina al tener un punto fijo sobre ella. O
Rayo
: OA
Rayo
: OB
Segmento de recta AB: Segmentos congruentes
Línea recta PQ:
A
B
A
B O: origen
8 A 8 C
D
Punto medio de un segmento 4
SEMIRECTA
A
Es un rayo sin origen. O
B
4 O
B
O: Punto medio de B
Operaciones con segmentos
Semirecta OB: A
B
C
D
E
SEGMENTO DE RECTA Es una porción de una línea recta que tiene dos extremos fijos. PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
AE = AB + BC + CD + DE AB = AE - BE 104
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO 6. Calcula “PM”, siendo “M” punto medio de .
PRACTIQUEMOS
18 1. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 21, BD = 28 y AD = 30, calcula “BC”. a) 10 d) 14
b) 12 e) 19
b) 14 e) 11
c) 15
b) 20 e) 18
c) 15
4. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AD = 20, AB = 8 y CD = BC, calcula “AC”. a) 13 d) 16
b) 14 e) 18
c) 15
5. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AB = BC, AC = CD y AD = 48, calcula “BC”. a) 24 d) 16
b) 10 e) 12
R
c) 9
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
S
22 30 a) 15u d) 18
b) 16 e) 19
c) 17
7. Calcula “x”, si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m. x A
3. Se tienen los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R”, “S” y “T”. Si: PQ = QR, RS = ST, PR = 12 y RT = 20, calcula “QS”. a) 12 d) 16
Q
c) 15
2. Se tienen los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC = 19, BD = 24 y AD = 27, calcular “BC”. a) 12 d) 16
P
C
a) 7m d) 4
M
D
b) 6 e) 3
c) 5
8. Del gráfico mostrado, calcula “MN”, siendo “M” y “N” puntos medios de y respectivamente. 18
12 A a) 6 u d) 12
B
8 C
b) 8 e) 14
D c) 10
9. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, en ese orden. Si: AC + AB = 18, calcula “AM”, siendo “M” punto medio de . a) 6 d) 7
b) 8 e) 18
c) 9
105
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
10. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D", siendo "B" punto medio de . Calcula "AB", si: 3BD = 4AC. A
B
D
C
b) 7 e) 10
c) 8
11. Calcula "RS", siendo "R" y "S" puntos medios de y respectivamente.
22
16 P a) 5u d) 8
Q
R
b) 6 e) 9
S
T c) 7
12. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “P”, “Q”, “R” y “S”, tal que: PR = 10 m, QS = 12 m y QR = 4 m. Calcula “MN”, siendo “M” y “N” puntos medios de y . a) 13 m d) 15
b) 14 e) 11
c) 12
13. Sean los puntos consecutivos: "A", "B", "C" y "D" en una recta, tal que: AB = BD = 3CD y AD = 12, calcula "CD". a) 2 d) 18
b) 4 e) 5
c) 16
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) 21 d) 20
b) 22 e) 30
c) 18
15. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D"; tal que: CD = 7AC; BD - 7AB = 40, calcula "BC".
22 a) 6u d) 9
14. Se tienen los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Si: AB = CD, BC + AD = 42, calcula "AC".
a) 2 d) 18
b) 5 e) 20
c) 8
16. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC + BD = 24, calcula "PQ", siendo “P” y “Q” puntos medios de y respectivamente. a) 4 d) 18
b) 6 e) 24
c) 12
17. Si: AD - AB = 20 m y "C" es punto medio de BD, halla "CD".
A a) 7 m d) 10
C
B b) 8 e) 12
D c) 9
18. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si “C” es punto medio de
y
= , calcula
“CD”; además: AD = 12 m. a) 2,4 m d) 4,2
b) 3,5 e) 4,8
c) 4
106
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO a) 2 d) 5
MI TAREA 24
b) 3 e) 6
c) 4
6. Si: AD = 44, calcula “x”. 1. Calcula “AN”, si: AP = 2, PB = 3 y BN = 7. A
P
a) 11 d) 14
B
N
b) 12 e) 15
c) 13
P
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
a) 1 d) 8
B c) 6
b) e) N.A.
B
a) 7 d) 14
C
b) 8 e) 15
B
c) 12
M
c) 14
8. Si: AC = 12cm; BD = 14cm y BC = 7cm, calcula “AD”. B
a) 19cm d) 16
C
D
b) 18 e) 15
c) 17
9. Si: AB = 6 cm; BC = 8 cm y CD = 10 cm, calcula “MN”.
5. Del gráfico, “M” es punto medio de Si: AM = 9y MC = 2, calcula “AB”. A
c) 4
b) 12 e) 18
A
2x
12
4x+3
b) 2 e) 16
a) 10 d) 16
c)
4. Según el gráfico: AC = 26. Calcula “x”. A
D
7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de modo que: AB = 6, BC = 8 y CD = 10. Luego se ubica “M” punto medio de y “N” punto medio de Calcula “MN”.
3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B” y “P” de modo que AB > BP. ¿En qué segmento se encuentra el punto medio de ? (Grafica). a) d)
C 3x+1
3x
2. Calcula “AP”, si: PB = 3 y AB = 10. A
B
A
C
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
M
A .
b a) 12cm d) 18
B
C
N a
b b) 14 e) 20
D a c) 16
107
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
10. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B” y “C”, de modo que: BC = 2AB. Calcula “AB”, si AC = 36. a) 10 d) 16
b) 12 e) 24
c) 14
11. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcula “BC”, si: AD = 10, AC = 8 y BD = 6. a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
12. De la figura: AD = 48. Calcula “BC”. B
A
C
x a) 12 d) 18
2x b) 14 e) 24
D
=
=
a) 10 d) 40
b) 20 e) 50
c) 16
y AD = 40. c) 30
14. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcula “AD”, si: AC = 10 y AD + CD = 30. a) 20 d) 50
b) 30 e) 0
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
16. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”, de tal manera que: AC = 22, BD = 25 y AD = 33. Calcula “BC”. a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
17. Si “M” es punto medio de = 32cm, calcula “MC”. M
A
C
y AC - CE E
3x
13. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcula “AC”, si:
15. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcula “AB”, sabiendo que: AC = 14, BD = 18 y CD = 2AB.
a) 16 d) 10
b) 14 e) 8
c) 12
18. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Si: AC + BD = 24, calcula “PQ”, siendo “P” y “Q” puntos medios de y respectivamente. a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
19. En una recta se dan los puntos consecutivos “A”, “B”, “C” y “D”. Calcula “AD”, sabiendo que: AC = 4 + CD. Además:
=
=
a) 36 d) 34
b) 38 e) 2
c) 10
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
c) 20
108
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
IDENTIFICAMOS A LOS ÁNGULOS APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica un ángulo y su clasificación.
ÁNGULO
CLASIFICACIÓN
Es la unión de 2 rayos que tienen el mismo origen o extremo.
A
1. Ángulo Convexo
*
0º < < 180º
Ángulo Agudo
0º < < 90º º
Vértice
O
B
Notación : ∢AOB, AOB .
* Ángulo Recto
Medida del ángulo: m∢AOB = º
m AOB = º Un ángulo se sexagesimales
mide
en
grados
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO.
90º
* Ángulo obtuso
Rayo que biseca al ángulo. A
90º < < 180º
Bisectriz
M º
2. Ángulo Llano
º O
B
180º
OM : Bisectriz del AOB . PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
109
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
3. Ángulo no convexo
7. Ángulos Complementarios
180º < B < 360º
º + º = 90º
B
Complemento de un ángulo xº = Cx 4. Ángulo de una vuelta
Cx = 90º - xº = 360º
8. Ángulos Suplementarios
º + º = 180º
5. Ángulos Adyacentes º
º
B
A
Suplemento de un ángulo xº = Sx
Sx = 180º - xº
O
C
6. Ángulos Opuestos por el Vértice
9. Ángulos
formados al lado de una
recta
=
+ + = 180º +
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
110
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
10. Ángulos formados alrededor de un
punto
3. Calcula “x” 30º+x
2x+25º
a) 2º d) 5
b) 4 e) 15
c) 10
4. Calcula “x” + + + = 360º x +40°
PRACTIQUEMOS
3x-20º
1. Del gráfico, calcula ”x”. a) 15º d) 5 2xº
xº
b) 30 e) 60
c) 45
5. Halla “x” e “y”.
xº
xº
2. De los gráficos calcula “”
º º
º
3y 2x
3x
2y
x
a) 60º y 20º c) 60º y 10º e) 30º y 10º
4y
b) 30º y 5º d) 30º y 20º
6. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC; OD es bisectriz del ∢BOC; calcula: 2º
3º
a) 70º d) 28º PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
m∢AOB,
si:
m∢AOD
-
m∢DOC = 35º b) 35º e) 7º
c) 5º
111
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
7. Halla “x” ; a – b = 30º
10. Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC. m∢AOC = 100º. Calcula el ángulo formado con las bisectrices de los ángulos BOC y AOC.
a
a) 25º d) 75º
x
b
b) 50º e) 40º
11. Halla “x”, si a) 20º d) 50º
b) 30º e) 60º
c) 40º
OB
ángulo AOC
c) 100º
es bisectriz del C
B
8. Calcula “x” 20º
4x A 2x
2x-
a) 18º d) 40
a) 14º d) 12
x+
b) 36 e) 60
c) 30
9. Halla: m∢COD; si OM
es bisectriz
del ángulo AOC.
C
a) 90 -
0
3 2
d) 45+3
b) 3 e)
c) 10
12. Calcula un ángulo que es la quinta parte de su complemento. a) 12º d) 30º
a) 130º d) 100º
3
A
b) 30 e) 20
D
b) 15º e) 16º
c) 18º
13. Halla un ángulo que es el cuádruple de su suplemento.
B
M
0
D
c) 6
3 2
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
b) 144º e) 80º
c) 120º
14. La suma del complemento más el suplemento de cierto ángulo es igual a 140º. Halla la medida del ángulo mencionado. a) 135º d) 55º
b) 140º e) 65º
c 45º
112
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
15. Halla la medida del ángulo que forman las bisectrices de 2 ángulos adyacentes y suplementarios a la vez. a) 60º d) 80º
b) 30º e) 50º
B
2x+20º
A
17. Del problema anterior, calcula la medida del ángulo, formado por la bisectriz del ángulo BOC y el rayo OA. b) 50º e) N.A.
c) 120º
b) 60º e) N.A.
a) 5º d) 20º
b) 10º e) 25º
a) 80º d) 85º
b) 70º e) N.A.
c) 90º
C 160º
D
100º
c) 15º
O
Si: m∢AOB = m∢BOC = m∢COA B y A z+20º C
b) 210º e) 240º
c) 15º
21. Del problema anterior, calcula la medida del ángulo formado por la bisectriz de BOC y OD.
19. Calcula: x + y + z.
O
A
22. Calcula: m∢BOC m∢COD
18. Calcula la mitad del complemento de la mitad de 60º.
a) 200º d) 230º
x
E
C
z+2x
x O
O
a) 30º d) 20º
B
D
5x+20º
a) 60º d) 100º
C
c) 90º
16. Calcula “x”. a) 10º b) 20º c) 25º d) 30º e) 40º
20. Calcula “x”; si: m∢COE = 40º
c) 220º
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) 10º d) 40º
b) 20º e) 50º
20º 20º
B
A
c) 30º
23. Dos ángulos complementarios están en la relación de uno a ocho. Calcula el complemento de la diferencia de dichos ángulos. a) 70º d) 30º
b) 20º e) N.A.
c) 60º
113
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
24. Del gráfico, calcula “x”
MI TAREA 25
Si OB : Bisectriz del ∢AOC
OC : Bisectriz del ∢AOD D
1. Halla: “” y “” C
4º 70º
B x
E
15º A
a) 60º d) 120º
b) 80º e) 150º
c) 100º
y
bisectriz
m∢TRI,
A
O
a) 9º d) 17º
b) 18º e) 27º
c) 130º
c) 35º
27. La quinta parte de un ángulo llano es el complemento de: a) 36º d) 60º
b) 144º e) N.A.
m∢TRC
-
c) 10º
x
26. Dos ángulos suplementarios son 40º y (2x + 10º). Calcula el complemento de “x”. b) 25º e) N.A.
∢IRL,
3. Halla : “” ; x – y = 10º
C
a) 65º d) 15º
si:
del
m∢CRL= 18º
60º
b) 120º e) 150º
b) 20º y 15º d) 10º y 15º
IRL; RC es
Calcula:
B
a) 100º d) 140º
a) 5º y 30º c) 20º y 30º e) 5º y 15º
60º
2. Se tienen los ángulos consecutivos TRI
25. Calcula “x”, si: m∢BOC = m∢COA
x+20º
2º
c) 54º
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
y
a) 10º d) 40º
b) 20º e) 50º
c) 30º
4. El complemento de un ángulo es 17º; halla el suplemento de dicho ángulo. a) 17º d) 73º
b) 107º e) 173º
c) 117º
114
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD; m∢AOC = 50º; m∢BOD = 80º; Halla el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. a) 130º d) 80º
b) 100º e) 50º
c) 65º
6. Halla: m∢AOC; m∢COD = 2m∢AOB
a) 90º d) 30º
b) 0º e) 60º
10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que: m∢AOC = m∢COD. Calcula: m∢BOC ;
a) 10º d) 48º
A
D
O
a) 100º d) 120º
b) 30º e) 150º
c) 10º
si: m∢BOD - m∢AOB = 48º
C
B
9. El suplemento de un ángulo “x” es igual al complemento del ángulo “y”. Calcula el complemento de la diferencia entre los ángulos x e y.
b) 12º e) 50º
c) 24º
11. Calcula “x”
c) 60º xº
7. Calcula “x” ; m∢AOD = 102º
º
130º
º
B A x-
C x x+
D
O
a) 27º d) 50º
a) 155º d) 140º
c) 135º
12. Calcula “x” b) 36º e) 64º
xº
c) 34º 46º
º
8. Un ángulo es la tercera parte de su suplemento. Calcula el complemento del ángulo. a) 135º d) 18º
b) 125º e) 175º
b) 45º e) 10º
c) 105º
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
º
a) 68º d) 48º
b) 78º e) 34º
c) 58º
115
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
13. Del gráfico, calcula “”. Si: OM bisectriz del ∢AOB. a) 10º b) 20 c) 30 d) 15 e) 5 O
es
A
a) 30º d) 35º
M
20º
17. Calcula el menor de dos ángulos complementarios sabiendo que el mayor es el doble del menor. b) 15º e) 60º
18. Calcula “x”
º B
xº
14. Calcula “x”; si: OP es bisectriz del ∢AOB. B
a) 35º b) 40 c) 75 d) 105 e) 125
c) 45º
P
xº
70º
65º
C
40º
a) 120º d) 145
35º O
A
15. Del gráfico, calcula “x” a) 140º b) 120 c) 160 d) 170 e) 100
b) 115 e) 155
c) 135
19. Calcula “x”
xº 30º-
xº
2
60º
16. Del gráfico, calcula “x”
xº
a) 150º d) 140
80º 70º
a) 100º d) 150
b) 120 e) 170
b) 120 e) 100
c) 130
20. Calcula “x”
c) 130
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) 46º b) 44 c) 54 d) 64 e) 36
xº 46º
116
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE APRENDIZAJE ESPERADO: -
Identifica ángulos entre dos rectas paralelas cortadas por una secante.
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE 1 3 5 7
2
L1
4
6 8
L2
Si dos rectas paralelas L1 y L2 son cortadas por una secante LS, forman ocho ángulos cuyas medidas guardan ciertas relaciones (1) los ángulos alternos externos son congruentes L2 entonces:
m
1
m
8
m
2
m
7
son
Si: L1
L2 entonces:
m
1
m
5
m
2
m
6
m
3
m
7
m
4
m
8
Si: L1
Si: L1
correspondientes
(4) los ángulos conjugados externos son suplementarios
LS
(2) los ángulos congruentes
(3) los ángulos congruentes
m m
L2 entonces:
1+m 2+m
7 = 180° 8 = 180°
(5) los ángulos conjugados internos son suplementarios Si: L1 m m
L2 entonces:
3+m 4+m
5 = 180° 6 = 180°
PROPIEDADES a) Si : L1 alternos
Si: L1
L2 entonces:
m
3
m
6
m
4
m
5
internos
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
son
L2 º
L1
xº º
L2
xº = º + º 117
I.E. “SAN MARCOS” b) Si : L1
TERCER GRADO 3. Calcula “x” ; ( L1 // L2 )
L2 L1
xº º yº º zº
xº
3º
a) 54º b) 36º c) 64º d) 72º e) 108º
L1
L2
2º
L2
º
4. Calcula “x” ; si : L1
xº + yº + zº = º + º + º
L1
30º
a) 70º
+
L2
b) 45
PRACTIQUEMOS
xº
c) 30 d) 40
L2
e) 50
1. Calcula “x” , L1 // L2 L1 3xº 100+xº
40º
5. Calcula “x” ; si : L1
L2 45º L1
a) 105º L2
b) 115
xº
c) 125 d) 75
a) 10º d) 40º
b) 20º e) 80º
c) 35º
60º L2
e) 45 6. Calcula “x” , si : L1
2. Calcula “x”; ( L1 // L2 )
L2 55º
(20+)x
L1
xº
L1
L2 (+x) 20
a) 60 d) 65
b) 20 e) 30
L2
c) 40
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
45º
a) 70º d) 55
b) 80 e) 100
c) 45
118
I.E. “SAN MARCOS” 7. Calcula “x” ; L1
TERCER GRADO 10. Determina el valor que puede tomar “y”; si “x” toma su mínimo valor entero.
L2
40º
L1
xº
L1
2xº-yº xº
30º
a) 110º d) 120
b) 100 e) 80
8. Calcula “x” , L1
x
y -x
L2
yº
L2
c) 70 a) 88º d) 62º
L2
b) 104º e) 84º
11. Calcula “x” ; L1 L1
c) 64º
L2
º
20° 2x
º
L1
40° 2x
10°
L2
xº
º a) 12º d) 18
b) 14 e) 20
9. Calcula “x”; L1
c) 15 a) 100º d) 150
L2
L2
L1 2xº 30º xº 30º
b) 120 e) 115
12. Calcula “x” ; si : L1
c) 130
L2 60º
40°
L1
40º
10º
xº a) 15° d) 36
b) 30 e) 60
L2
c) 45
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) 40º d) 100
b) 60 e) 120
L2 c) 110
119
I.E. “SAN MARCOS” 13. Calcula ”x” ; L1
TERCER GRADO
L2
16. Calcula “x” ; L1
L3
L2 L1
L1 º
100º
L2 30º
xº
b) 100 e) 120
14. Calcula “x” L1
L2
º
a) 30º d) 100
c) 80
70º L2 xº L3
a) 120º d) 70
b) 100 e) 110
15. Calcula “x” ; L1
c) 80
L2
º
L2
b) 60 e) 120
17. Calcula ”x” ; si : L1
L3 L1
10º
xº
º
L3 a) 110 d) 130
º
º
a) 100º b) 120 c) 70 d) 80 e) 110
L2
xº 40 - º
18. Calcula “x” ; si ; L1 a) 70º b) 60 c) 40 d) 30 e) 110
xº 30 º
L2
c) 90
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
a) 60º d) 45
L2
L3 L1
xº
º
b) 60 e) 100
L1
40 +º
2º a) 30º d) 120
L2
L2
º º
L1
60 + º
19. Calcula “x” ; si : L1
xº
c) 90
L2 L3
b) 30 e) 120
c) 90
120
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO 5. Calcula “x” ; si : L1
MI TAREA 26
L1
a) 110º 1. Calcula “x” , Si : L1
L2
a) 108º b) 72 c) 36 d) 54 e) 144
L1
2 xº
L2 3
2. Calcula “x” ; si : L1
L2
L1
L3
xº
c) 140 d) 150
30º
e) 170 6. Calcula “x” ; si L1
45º L3
45º
3º
c) 90
a) 90º d) 75
b) 45 e) 30
a) 12º b) 24 c) 36 d) 48 e) 54 4. Calcula “x” ; L1 a) 10º b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
L2 3x
a) 50º L1
L2
30º
L1
b) 40
xº
c) 45 x x
d) 60
30º L2
e) 70
L1
a) 50º
60º
b) 20
xº
c) 80 d) 30
40º
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
L2
e) 40
L2
20º
8. Calcula “x” ; L1
L2
L2
c) 180
7. Calcula “x” ; si L1 3. Calcula “x” ; L1
L1
xº
xº
b) 50 e) 30
L2
L2
L3
L2
º
a) 45º d) 36
70º
b) 70
L3
L2
L2 xº
L1
80º 30º
L2
121
I.E. “SAN MARCOS” 9. Calcula “x” L1
TERCER GRADO 13. Calcula “x” ; Si : L1
L2 L2
L1 xº+º
a) 20º
xº-º
c) 60º
º xº
80º
d) 80º
º
b) 35 e) 20
10. Calcula “x” ; L1
c) 55
b) 130º L1
a) 50º
80º
b) 45 c) 60 d) 120
b) 110 c) 80
L2
L2 L1
80º xº
d) 100 e) 30
xº
c) 260º d) 160º
40º
30º
L2
15. Calcula “x” , ( L1
40°
a) 50º b) 60º c) 75º d) 90º e) 45º 16. Si : L1
50°
xº
PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
2xº
80º
d) 85 25º
L1
L1
c) 55 e) 45
L2
L2 : Calcula “x”
xº 10º
L1
x°
2xº
L2
a) 35º b) 25
L2
L2 )
10º
12. Calcula “x” ; L1
60º
e) 100º
e) 100
a) 70º
60º
yº
L1
40º
xº
150º
11. Calcula “x” ; L1
14. Del gráfico, calcula “xº + yº” a) 150º
L2
L2
º
e) 160º a) 25º d) 45
L1
º
b) 40º
50º
L2
L2
a) 16º40’ d) 50º40’
L2
b) 8º40’ e) 50º
c) 32º
6
122
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
IDENTIFICAMOS Y CLASIFICAMOS TRIÁNGULOS APRENDIZAJE ESPERADO: -
Desarrolla problemas aplicando propiedades de triángulos.
DEFINICIÓN.- Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos. B
B º
yº A
º c
a
º
º
Región Triangular xº A
b
º
º
C
0º < º, º, º < 90º zº C
ELEMENTOS: Vértice
: A, B, C
Lados
: AB , BC , AC
Ángulos internos
: º, º, º
Ángulos externos
: xº, yº, zº
Perímetro
: 2p = a + b + c
2. Triángulo Obtusángulo. Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso. A
B º
90º < º < 180º,
NOTACIÓN: Triángulo ABC: ∆ABC.
C
3. Triángulo Rectángulo. Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto. B
CLASIFICACIÓN A. Según sus Ángulos 1. Triángulo Acutángulo. Es aquel triángulo que tiene sus ángulos internos agudos. PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
º
º
A
C
º + º = 90º 123
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
B. Según sus lados:
1. Suma de Ángulos Internos
1. Triángulo Escaleno. Es aquel triángulo en el cual sus lados tienen diferente longitud.
En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 180° B
B c
a
A
C
b
º + º + º = 180º
º
º
º A
abc
C
2. Suma de Ángulos Externos 2. Triángulo Isósceles. Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud. B
e2
e3
º
º Base
e1
C
3. Triángulo Equilátero. Es aquel triángulo cuyos lados son de igual longitud. B
L
e1 + e2 + e3 = 360º
L
L
A
En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°
60º
3. Calculo de un ángulo externo: En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él. yº
L º
60º A
60º L
C
º
º
xº
PROPIEDADES FUNDAMENTALES xº = º + º PROFESOR: HUGO MARTÍN RUIZ ACUÑA
yº = º + º 124
I.E. “SAN MARCOS”
TERCER GRADO
4. Desigualdad Triangular
3. Propiedad Pescadito
En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de los mismos.
º xº
yº
b
a
º
x + y = º + º c
4. Propiedad
Sea: a < b < c I.
b–a