APUNTES DE SISTEMA DIÉDRICO (1) Departamento de Dibujo I. E. S. Jaime Ferrán

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SISTEMA DIÉDRICO El Sistema Diédrico es un Sistema de Representación que se basa en una Proyección Paralela o Cilíndrica Ortogonal con dos Planos de Proyección, y en consecuencia, con dos proyecciones. En algunos casos se trabaja con tres planos de proyección, y por lo tanto con tres proyecciones. Por cada plano de proyección se obtienen una proyección. Los dos planos de proyección principales se cortan perpendicularmente en posiciones vertical y horizontal, dividiendo el espacio en cuatro zonas. A los planos de proyección se les denomina Plano Vertical de Proyección (PV o V) y Plano Horizontal de Proyección (PH o H). Aunque se representan con límites, en realidad son ilimitados, ya que son imaginarios. A la línea de intersección de los planos de proyección se la denomina Línea de Tierra (LT). A los cuatro espacios en los que queda divido el espacio general por los planos de proyección, se les denomina Diedros o Cuadrantes. El nombre Sistema Diédrico proviene de Diedro.

Diedro 2º

V Diedro 1º

H

Diedro 3º

Diedro 4º

Cada vez que se posiciona un elemento en el espacio, automáticamente se obtienen sus dos proyecciones en los planos vertical y horizontal de proyección. A estas proyecciones se las denomina proyección vertical y proyección horizontal. Para convertir estos dos planos en uno solo, se abate uno de los planos sobre el otro, girando sobre la Línea de Tierra (LT), que hace las veces de bisagra, de forma que queden superpuestos. En el abatimiento se llevan consigo sus proyecciones. Después de realizado el abatimiento, junto con sus proyecciones, se obtiene un único plano de trabajo, con el único indicador de la Línea de Tierra (LT) como medio de referencia. La Línea de Tierra se marca con una línea fina horizontal y dos pequeñas rayitas debajo de sus extremos. La proyección vertical queda encima de la LT y la proyección horizontal queda debajo de la LT. Sistema Diédrico (1) - Página 2

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V Proyección vertical H

Proyección horizontal

En ocasiones es interesante imaginar dos planos que dividen a los Cuadrantes en dos partes iguales. A estos planos se les conoce como Planos Bisectores. Los Planos de Proyección dividen el espacio en cuatro Cuadrantes. Los Planos Bisectores y los Planos de Proyección dividen el espacio en ocho Octantes.

V

1er Bisector

V

2º Bisector

Octante 3º

H

1er Bisector

Octante 2º

Octante 1º

Octante 4º LT Octante 5º

2º Bisector

H Octante 8º

Octante 6º Octante 7º

Los puntos se representan con letras mayúsculas latinas (A, B, C,…). La proyección vertical lleva el subíndice 2 (A2). La proyección horizontal lleva el subíndice 1 (A1). Las rectas se representan con letras minúsculas latinas (r, s, t,…). La proyección vertical lleva el subíndice 2 (r2). La proyección horizontal lleva el subíndice 1 (r1). Los planos se representan con letras griegas (α, β, γ,…). La traza vertical se denomina con la letra v y el subíndice de la letra griega correspondiente (vα). La traza horizontal se denomina con la letra h y el subíndice de la letra griega correspondiente (hα). Sistema Diédrico (1) - Página 3

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En determinadas ocasiones, es muy útil trabajar con otro plano de proyección, que se suele situar perpendicular a los PV y PH. A este plano de proyección auxiliar se le denomina Plano de Perfil de Proyección o solo Plano de Perfil. A la proyección que se obtiene con el Plano de Perfil se la denomina proyección de perfil. P

V H

Cuando se utilizan tres planos de proyecciones, se trabaja con tres proyecciones de los objetos. Para poder situar una proyección de perfil se utiliza una línea perpendicular a la Línea de Tierra, que simula la bisagra de giro del Plano de Perfil.

P

Proyección vertical

V

H Proyección horizontal

Sistema Diédrico (1) - Página 4

Proyección de perfil

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PUNTO El punto es el elemento geométrico más simple. No tiene dimensiones, es inmaterial. Solo tiene posición. Dos puntos definen una línea recta (un segmento). Tres puntos forman un plano (un triángulo). La proyección de un punto es otro punto. Todo punto en el espacio del Sistema Diédrico genera automáticamente dos proyecciones en forma de dos puntos. Una proyección vertical, en el plano de proyección Vertical, y otra proyección horizontal, en el plano de proyección Horizontal. A la distancia que hay desde el punto al Plano Horizontal se la denomina Cota. A la distancia que hay desde el punto al Plano Vertical se la denomina Alejamiento. La representación en el Sistema Diédrico de un punto cualquiera se hace a partir de una línea perpendicular a la LT, midiendo en la proyección vertical la cota del punto y en la proyección horizontal el alejamiento del punto.

Alejamiento A

A2

A2

V

Cota

Cota

A1 H

Alejamiento A1

En el caso de trabajar con tres planos de proyecciones, a la distancia que hay desde el punto al Plano de Perfil se la denomina Desviación. La proyección vertical de un punto se marca con la letra mayúscula correspondiente y el subíndice 2. La proyección horizontal de un punto se marca con la letra mayúscula correspondiente y el subíndice 1. En caso de trabajar con el plano de perfil, la proyección de perfil de un punto se marca con la letra mayúscula correspondiente rodeada de paréntesis ( ).

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Por ejemplo, si queremos dibujar en Diédrico un punto E del primer cuadrante que tiene 25 mm de cota y 47 mm de alejamiento, situado a 56 mm del margen izquierdo, tenemos:

56

E2

E2

(E)

25

47

E1

E1

Representación por coordenadas: Para simplificar, existe otra forma de definir un punto en Diédrico por medio de coordenadas. Si imaginamos un sistema de coordenadas X, Y, Z situados en los Planos de Proyección, tal como se muestra en la figura siguiente:

+Z

V

+X

-Y

+Y

H -X -Z

Podemos trabajar en el papel de acuerdo con el siguiente esquema: +Z

-Y

-X

+Y Sistema Diédrico (1) - Página 6

+X

0

-Z

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De esta forma, podemos definir cualquier punto dando tres coordenadas en la forma: (X, Y, Z), que se corresponden con X=desviación, Y=alejamiento y Z=cota, pudiendo tener valores positivos o negativos, tal como se puede ver en las figuras anteriores. En este sistema no es preciso dibujar los ejes. Solo se necesita marcar la Línea de Tierra y el origen de coordenadas en la LT. Por ejemplo, si decimos dibujar el punto E (36, 47, 25), tenemos:

36

E2

E2

E2

E1

E1

(E)

25

47

E1

Otros casos posibles serían: F(25, 30, -40); G(-15, -52, 18); H(0, -10, -10); etc. G1

G2

H1 H2 F1 F2

Posiciones generales del punto: Un punto en el espacio puede tener cualquier situación, pero según sea su posición relativa a los planos de proyección, presentan características de representación especiales. Los puntos situados en el primer Cuadrante siempre tienen la proyección vertical encima de la LT y la proyección horizontal debajo de la LT.

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Los puntos situados en el segundo Cuadrante siempre tienen la proyección vertical y la proyección horizontal encima de la LT. Los puntos situados en el tercer Cuadrante siempre tienen la proyección vertical debajo de la LT y la proyección horizontal encima de la LT. Los puntos situados en el cuarto Cuadrante siempre tienen la proyección vertical y la proyección horizontal debajo de la LT. Los puntos situados en el plano Horizontal de proyección siempre tienen cota cero. Los puntos situados en el plano Vertical de proyección siempre tienen alejamiento cero. Los puntos situados en los planos bisectores siempre tienen iguales la cota y el alejamiento. Los puntos situados en la Línea de Tierra siempre tienen cota y alejamiento cero. Existen 17 puntos notables en el Sistema Diédrico situados en los ocho octantes, en los cuatro bisectores, en los cuatro planos de proyección y en la LT. A la representación de estos 17 puntos se la conoce como alfabeto del punto.

Consideraciones finales: Un punto puede venir dado de tres formas:  Por medio de sus características propias (cota, alejamiento, situación).  Por medio de sus coordenadas X, Y, Z.  Por la resolución de operaciones geométricas. Cuando se pasan a tinta los puntos en el Sistema Diédrico, se siguen las siguientes normas:  La Línea de Tierra se pasa con trazo fino continuo y las rayitas de los extremos con trazo medio o grueso.  Las líneas de referencia de los puntos perpendiculares a la LT con trazo fino.  Las proyecciones de los puntos se dibujan con circunferencias pequeñas hechas con plantilla (diámetro 2/3 mm.) con trazo fino.  Los textos, cifras y letras de referencia se ajustan a las normas de rotulación.  Cualquier otra línea auxiliar se pasa con trazo fino.

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RECTA La recta es uno de los elementos geométricos básicos. Solo tiene una dimensión lineal (X). Dos puntos definen una línea recta (un segmento). En general, la proyección de una recta es otra recta. Toda recta en el espacio del Sistema Diédrico genera automáticamente dos proyecciones en forma de dos rectas. Una proyección vertical, en el Plano de Proyección Vertical, y otra proyección horizontal, en el Plano de Proyección Horizontal. Conceptos básicos Ya sabemos representar un punto y es de sobra conocido que dos puntos en el espacio definen una recta. Por lo tanto, si tenemos las proyecciones de dos puntos cualesquiera, podemos conseguir las proyecciones de la recta definida por dichos puntos uniendo sus proyecciones homónimas, esto es, por un lado las proyecciones verticales y por otro lado las proyecciones horizontales de los dos puntos. Una recta en el espacio de marca con una letra mayúscula (A, B,…). A la proyección vertical de una recta se la denomina con una letra minúscula y el subíndice 2, y a la proyección horizontal de una recta se la denomina con la misma letra minúscula y el subíndice 1. A2

A

A2

r2

V B2

A

A1

B B1

R A1

B2 B

H

r1

B1

A2

A2 r2 B2

B1

B2

A1

B1

r1

A1

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Un punto pertenece a una recta si su proyección vertical está en la proyección vertical de la recta y si su proyección horizontal está en la proyección horizontal de la recta. No es suficiente con que solo coincida una de las proyecciones. En la siguiente figura, el punto A pertenece a la recta R y el punto B no está en la recta R.

A

A2

A2 r2

B2

R B

r2

r1

B2

A1

B1 B1

r1

A1

Consideraciones técnicas Se dice que una recta es una sucesión de puntos en la misma dirección. Técnicamente es el lugar geométrico de los puntos que tienen una misma dirección. Se denomina segmento a la recta que tiene dos límites en sus extremos y, por lo tanto, tiene una longitud fija. Se denomina semirrecta a la recta que tiene un límite en uno de sus extremos y, por lo tanto, solo se puede prolongar en la dirección libre. Se denomina recta a la recta que no tiene límites, o sea, que es ilimitada y puede prolongarse en las dos direcciones. SEGMENTO SEMIRECTA

RECTA

A partir de ahora, vamos a imaginar que los planos de proyección son semiopacos y que nosotros estamos siempre situados en el Primer Diedro, por lo tanto, todo lo que se encuentre en el Primer Cuadrante es visible y todo lo que se encuentre en los otros tres cuadrantes está oculto. Sistema Diédrico (1) - Página 10

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Las líneas visibles se dibujan con línea continua de espesor grueso. Las líneas ocultas se dibujan con línea a trazos de espesor medio.

Trazas Cualquier recta situada en el espacio sin condiciones especiales (al azar), al prolongarse atraviesa el PV y el PH y pasa por tres diedros o cuadrantes. Los puntos por los que la recta a traviesa los planos de proyección se denominan trazas de la recta, existiendo dos: la traza vertical (donde atraviesa al PV) y la traza horizontal (donde atraviesa al PH). La traza vertical de una recta siempre es un punto del PV y la traza horizontal de una recta siempre es un punto del PH. Para diferenciarse de puntos cualesquiera situados en los planos de proyección, se denominan de una forma especial, con la letra V o H, según sean traza vertical o traza horizontal, acompañadas de un subíndice con la letra correspondiente a la recta. Solo se suelen rotular en la proyección correspondiente de cada punto. Las trazas se localizan en la perpendicular sobre la LT a partir del punto donde la proyección de la recta toca a la Línea de Tierra. Vr Vr r2 r2

R

.

. r1

r1 Hr

Hr

Ya hemos comentado que cualquier recta del espacio, al ser ilimitada, atraviesa varios cuadrantes (normalmente tres), por lo tanto, hay partes de las proyecciones de la recta que pertenecen a diversos cuadrantes. Para saber qué zonas de una recta están en distintos cuadrantes, es preciso localizar primero las trazas de la recta, ya que estos puntos marcan los puntos donde la recta cambia de diedro. La zona de la recta situada entre las trazas pertenece a un determinado diedro. La zona de la recta que va desde la traza de la izquierda hacia la izquierda pertenece a otro diedro. La zona de la recta que va desde la traza de la derecha hacia la derecha pertenece a otro diedro.

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Vr Vr r2 r2

R r1

Hr

r1

Hr D 4º

D 1º

D 2º

Para saber a qué diedro o cuadrante pertenece una determinada zona, es suficiente con elegir un punto de cada zona que pertenezca a la recta y ver a qué diedro pertenece dicho punto. Otra forma de saber a qué cuadrante pertenece cada zona es fijándose en las trazas. En la figura anterior, las trazas están en el PHA y en el PVS, ambos visibles desde el primer diedro, lo que quiere decir que la zona entre las trazas pertenece al primer cuadrante. Intersección con los Planos Bisectores Una recta sin condiciones especiales (dibujada al azar) corta a los dos Planos Bisectores en dos puntos. Como sabemos que los puntos de los Planos Bisectores tienen la propiedad de que siempre tienen igual la medida de la cota y del alejamiento, para localizar los puntos donde una recta corta a los Bisectores es suficiente con localizar los puntos de dicha recta que tienen igual cota que alejamiento. Uno de los puntos siempre es el lugar donde se cortan las dos proyecciones vertical y horizontal de la recta. Este punto pertenece al Segundo Bisector, pudiendo estar en el Segundo Cuadrante o en el Cuarto Cuadrante. El otro punto se localiza trazando una línea auxiliar que sea simétrica de una de las proyecciones de la recta (que forme el mismo ángulo con la LT) a partir de una de sus trazas. El punto así localizado pertenece al Primer Bisector, pudiendo estar en el Primer Cuadrante o en el Tercer Cuadrante. En la figura siguiente, el punto N pertenece a la recta R y al Segundo Bisector, ya que es donde se cortan las proyecciones de la recta. Para encontrar la otra intersección de la recta R con el Primer Bisector, se dibuja una recta auxiliar desde la intersección de la proyección horizontal de R con LT con el mismo ángulo con la Línea de Tierra (simétrica con respecto a LT), y donde corta a la proyección vertical de R, encontramos la proyección vertical del punto M, que es el punto buscado del Primer Bisector. Bajando una línea perpendicular a LT desde M2 localizamos M1. La recta auxiliar se puede construir igualmente simétrica de la proyección vertical de R. Sistema Diédrico (1) - Página 12

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Vr r2 M2

r1

= = M1

Hr

N2 D 2º

D 1º

N1

D 4º

En ciertas ocasiones, es interesante marcar los puntos donde la recta se corta con los Planos Bisectores de forma especial, con B1 para el Primer Bisector y B2 para el Segundo Bisector, con los correspondientes subíndices relativos a las proyecciones vertical y horizontal. Para definir una recta totalmente es preciso indicar las siguientes características:     

Las proyecciones Las trazas Las intersecciones con los Planos Bisectores Los Cuadrantes u Octantes por los que pasa Las partes vistas y ocultas

Vr r2 B12

r1

= = B11

Hr B21Ξ B22

O3º D 2º

O2º D 1º

O1º

O8º

O7º

D 4º

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Posiciones particulares de la recta Hemos visto varios casos de representaciones de rectas de forma general. Ahora vamos a ver los casos particulares. Recta Inclinada u Oblicua Es la recta que hemos visto hasta ahora. No tiene ninguna condición especial. Pasa por tres diedros y corta a los dos Bisectores. Tiene dos trazas.

Vr r2

r2 R

r1

r1 Hr

Recta Horizontal Es paralela al Plano Horizontal. Su proyección vertical es paralela a la LT. Su proyección horizontal se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros. Corta a dos bisectores.

R

r2

r2

Vr

r1 r1

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Recta Frontal Es paralela al Plano Vertical. Su proyección horizontal es paralela a la LT. Su proyección vertical se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros. Corta a dos bisectores.

r2 R

r2

r1 r1 Hr

Recta De Punta Es perpendicular al Plano Vertical. Su proyección vertical es un punto y su proyección horizontal es perpendicular a la LT. Su proyección horizontal se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros. Corta a dos bisectores.

r2ΞVr r2 R

r1 r1

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Recta Vertical Es perpendicular al Plano Horizontal. Su proyección horizontal es un punto y su proyección vertical es perpendicular a la LT. Su proyección vertical se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. Pasa por dos diedros. Corta a dos bisectores.

R

r2

r2

r1 r1ΞHr

Recta Paralela a LT Es paralela a la Línea de Tierra. Sus dos proyecciones son paralelas a LT. Sus dos proyecciones se muestran en verdadera magnitud. No tiene trazas. Pasa por un diedro. No corta a ningún bisector.

r2 r2 R r1 r1

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Recta que corta a LT Corta a la Línea de Tierra en un punto. Sus dos proyecciones son inclinadas con la LT y se cortan en un punto de ella. Tiene dos trazas coincidentes en un punto de LT. Pasa por dos diedros. No corta a ningún bisector.

r2

r2 HrΞVr

R r1

r1

Recta contenida en PH Está contenida en el Plano Horizontal. Su proyección vertical coincide con la LT y se corta con la proyección horizontal en un punto de ella. Su proyección horizontal se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. No pasa por ningún diedro. No corta a ningún bisector.

r2

Vr

r2

R Ξ r1 r1

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Recta contenida en PV Está contenida en el Plano Vertical. Su proyección horizontal coincide con la LT y se corta con la proyección vertical en un punto de ella. Su proyección vertical se muestra en verdadera magnitud. Tiene una traza. No pasa por ningún diedro. No corta a ningún bisector.

r2

R Ξ r2

r1

Hr r1

Recta contenida en B1 que corta a LT Está contenida en el Primer Bisector. Sus dos proyecciones se cortan en un punto de la LT y forman el mismo ángulo con ella. Tiene dos trazas coincidentes en un punto de LT. Pasa por dos diedros. Pertenece a un bisector y corta al otro bisector en LT.

r2

r2

R HrΞVr r1

= = r1

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Recta contenida en B2 que corta a LT Está contenida en el Segundo Bisector. Sus dos proyecciones se superponen y cortan a LT en un punto. Tiene dos trazas coincidentes en un punto de LT. Pasa por dos diedros. Pertenece a un bisector y corta al otro bisector en LT.

R

r2 Ξ r1 r2 r1

HrΞVr

Recta contenida en B1 paralela a LT Está contenida en el Primer Bisector y es paralela a la Línea de Tierra. Sus dos proyecciones son paralelas a la LT y se encuentran a la misma distancia de ella. Sus dos proyecciones se muestran en verdadera magnitud. No tiene trazas. Pasa por un diedro. Pertenece a un bisector.

r2 r2

R

r1

=

= r1

Sistema Diédrico (1) - Página 19

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Recta contenida en B2 paralela a LT Está contenida en el Segundo Bisector y es paralela a la Línea de Tierra. Sus dos proyecciones son paralelas a la LT y son coincidentes. Sus dos proyecciones se muestran en verdadera magnitud. No tiene trazas. Pasa por un diedro. Pertenece a un bisector.

R

r2 Ξ r1 r2

r1

Recta paralela al B1 Está contenida en un plano paralelo al Primer Bisector, y por lo tanto, es paralela al B1. Sus dos proyecciones forman el mismo ángulo con LT, pero no se cortan en el mismo punto de ella. Tiene dos trazas. Pasa por tres diedros. Corta a un bisector.

r2 r2

R Hr

Vr

= r1

= r1

Sistema Diédrico (1) - Página 20

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Recta paralela al B2 Está contenida en un plano paralelo al Segundo Bisector, y por lo tanto, es paralela al B2. Sus dos proyecciones son paralelas. Tiene dos trazas. Pasa por tres diedros. Corta a un bisector.

Vr

R r2

=

r2 = r1

r1

Hr

Recta de Perfil Está contenida en un Plano de Perfil. Sus dos proyecciones son perpendiculares a LT. Las proyecciones vertical y horizontal se complementan con una proyección de perfil. Existen varios subtipos de rectas de Perfil con características propias.

Vr

r2

(V)

R r2 r1

(r)

(H) r1 Hr

Sistema Diédrico (1) - Página 21

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Posiciones relativas de dos rectas Dos rectas en el espacio pueden estar contenidas en un mismo plano, o no, según sea su posición relativa. Dos rectas solo pueden tener tres clases de posiciones relativas entre si: Rectas que se cruzan Se denominan rectas que se cruzan a las rectas que no están contenidas en el mismo plano, y por lo tanto, no tienen ningún punto en común ni son paralelas. Son rectas sin ninguna condición especial. En la figura siguiente se puede ver un caso de rectas que se cruzan.

r2

s2

S r1

s1

R

Rectas que se cortan Se dice que dos rectas se cortan en el espacio si tienen un punto común. Estas rectas siempre definen un plano. En la figura siguiente se puede ver un caso de rectas que se cortan.

r2

s2

S

r1 R

Sistema Diédrico (1) - Página 22

s1

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Rectas paralelas Se dice que dos rectas son paralelas en el espacio si tienen la misma dirección. Estas rectas siempre definen un plano. En la figura siguiente se puede ver un caso de rectas paralelas.

s2

S

r2

R

r1

s1

Comentarios finales Existen varias formas de dar una recta en el Sistema Diédrico. Dando dos puntos. Por ejemplo: dibujar una recta R que pasa por el punto A(10, 20, 30) y por el punto B(-15, 12, -10). Dando un punto y una condición geométrica. Por ejemplo: dibujar una recta S que pasa por el punto C(25, 20, 30) y es paralela a LT. Dando varios condicionantes geométricos. Por ejemplo: dibujar una recta de perfil, contenida en el Primer Bisector y que pasa por el origen de coordenadas.

Sistema Diédrico (1) - Página 23

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PLANO Un plano es una superficie plana ilimitada, sin espesor. El plano es uno de los elementos geométricos básicos. Tiene dos dimensiones planas (X e Y). Tres puntos no alineados definen un plano. Un punto y una recta exterior al punto definen un plano. Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan también definen un plano.

Un plano no tiene proyección (la proyección de los infinitos puntos que lo componen daría como resultado una mancha de puntos), por este motivo, los planos se representan en el Sistema Diédrico por sus trazas. Todo plano en el espacio del Sistema Diédrico genera automáticamente dos trazas en forma de dos rectas contenidas en los dos planos proyectantes. Una traza vertical, en el Plano de Proyección Vertical, y otra traza horizontal, en el Plano de Proyección Horizontal. Aunque los planos no tienen proyección propia y se representan por sus trazas, las figuras planas que contienen los planos (puntos, rectas, polígonos, circunferencias, etc.) si tienen proyecciones. Decimos que una figura geométrica pertenece a un plano si está contenida en dicho plano. Sistema Diédrico (1) - Página 24

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Conceptos básicos Ya sabemos que las rectas disponen de trazas y que dos rectas que se cortan en el espacio (o que son paralelas) definen un plano. Por lo tanto, si tenemos las trazas de dos rectas que se cortan o que son paralelas, podemos conseguir las trazas del plano definido por dichas rectas uniendo sus trazas homónimas, esto es, por un lado las trazas verticales y por otro lado las trazas horizontales de las dos rectas.

Traza vertical del plano

s2

r2 r2

s2

r1 s1

r1

s1

Traza horizontal del plano

Las trazas de un plano dispuesto sin ninguna condición especial se cortan en un mismo punto de la Línea de Tierra. Un plano en el espacio se marca con una letra griega mayúscula (α, β,…). A la traza vertical de un plano se la denomina con la letra minúscula v y el subíndice α, (u otra letra griega que define el plano) y a la traza horizontal de un plano se la denomina con la letra minúscula h y el mismo subíndice α (o la letra griega que le corresponda).

vα

vα

α

hα hα

Sistema Diédrico (1) - Página 25

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Recordemos que un plano siempre es ilimitado, y por lo tanto, sus trazas también son ilimitadas.

vα

α

vα

hα hα

Existen varias formas de dar un plano en el Sistema Diédrico. Una de ellas es definir las características geométricas de sus trazas. Por ejemplo: dibujar el plano α, cuya traza vertical forma 43º con LT y cuya traza horizontal forma 37º con LT, cortándose ambas en el punto A(-50, 0, 0), del que se abren hacia la derecha.

vα

43º

O

37º hα 50

Otro sistema, más práctico y sencillo, es definir el plano por tres puntos, relacionados todos con un origen de coordenadas, pertenecientes siempre a LT, PH y PV, y en este mismo orden. Al ser puntos especiales, es suficiente con dar sus medidas principales X, Y, Z. Por ejemplo: dibujar el plano β (47, 29, 38).

Sistema Diédrico (1) - Página 26

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+Z

vβ

38 +X

O

O 29

hβ

+Y 47

El tercer sistema es definir el plano por condicionantes y/o construcciones geométricas. Por ejemplo: dibujar un plano γ, paralelo al PV y que contiene al punto A(30, 25, 12). Recta y punto contenidos en el plano Una recta pertenece a un plano o está contenida en un plano, si las trazas de la recta coinciden con las trazas homónimas del plano. En la figura siguiente se puede ver que la recta R pertenece al plano α, ya que sus trazas vr y hr están contenidas en las trazas del plano vα y hα, respectivamente.

α

vα

vα Vr

r2

Vr r2

r1

R hα

Hr

r1 hα

Hr

Un punto pertenece a un plano o está contenido en un plano, si pertenece a cualquier recta del plano. En la siguiente figura se puede ver que el punto A pertenece a la recta S, que está contenida en el plano β. Por lo tanto A está en el plano β. Sistema Diédrico (1) - Página 27

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vβ

Vs

Vs

β

S A2

A2

A

s2

A1

vβ

s1

Hs

hβ

A1

Hs

hβ

En las siguientes figuras pueden verse rectas y puntos que no pertenecen a los planos. vβ

vβ

Vs Vs s2

s2

Hs

s1

s1 Hs

hβ

hβ

vβ

vβ

Vs

Vs

A2 s2

s2

s1 Hs

s1 A1

A1

Hs

hβ

Sistema Diédrico (1) - Página 28

A2

hβ

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Rectas Frontal y Horizontal del plano Existen dos tipos de rectas muy útiles en el trabajo con los planos, ya que son muy fáciles de dibujar. Son los tipos de rectas Frontal y Horizontal. Una recta Horizontal contenida en un plano tiene su proyección vertical paralela a LT y su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano. Una recta Vertical contenida en un plano tiene su proyección horizontal paralela a LT y su proyección vertical paralela a la traza vertical del plano. Un plano cualquiera puede tener infinitas rectas horizontales y verticales, tal como se puede ver en la figura siguiente. vβ

vβ Vs s2

s2

Vs

s1

s1

hβ

hβ

vβ

vβ

s2

s2

s1 Hs s1 hβ

Hs

hβ

Una determinada recta Horizontal de un plano contiene todos los puntos del plano que tienen una cota fija. Una determinada recta Frontal de un plano contiene todos los puntos del plano que tienen un alejamiento fijo. Sistema Diédrico (1) - Página 29

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Comprobar si un punto pertenece a un plano Para saber si un punto cualquiera pertenece a un plano dado, es suficiente con trazar una recta Frontal u Horizontal del plano que pase por alguna de las proyecciones vertical u horizontal del punto, y si las dos proyecciones del punto quedan incluidas en las dos proyecciones homónimas de la recta, podemos asegurar que el punto pertenece al plano. En realidad se puede utilizar cualquier tipo de recta para hacer esta comprobación, pero se utilizan las rectas Horizontal o Vertical por su facilidad de uso. En la figura siguiente podemos ver cómo comprobar si el punto A pertenece al plano β, utilizando una recta de tipo Horizontal. vβ

vβ

A2

A2

A1

A1

hβ

hβ

Queremos saber si el punto A pertenece al plano β

1 Trazamos una paralela a LT por A2 hasta que corta a la traza vertical del plano

vβ

A2

vβ

Vr

r2

A2

r1 A1

A1

hβ 2 Trazamos la perpendicular a LT desde la traza vertical

hβ 3 Trazamos una paralela a la traza horizontal del plano desde LT

En este caso, al estar las dos proyecciones del punto dado A contenidas en las dos proyecciones de la recta horizontal R del plano β, podemos asegurar que el punto A pertenece al plano β. Sistema Diédrico (1) - Página 30

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Posiciones particulares del plano Los planos tienen posiciones relativas con respecto a los planos proyectantes, a los planos bisectores y a la Línea de Tierra. Plano oblicuo o inclinado Este plano no tiene ninguna condición especial, corta a los planos de proyección con ángulos desiguales y sus trazas son oblicuas a la LT. Sus trazas se cortan en un punto de la LT. Pasa por cuatro diedros.

vα

α vα

hα

hα

Plano Horizontal Es paralelo al Plano Horizontal de proyección. Solo tiene traza vertical, que es paralela a LT. Pasa por dos diedros.

vα

vα

α

Sistema Diédrico (1) - Página 31

Departamento de Dibujo

Plano Frontal Es paralelo al Plano Vertical de proyección. Solo tiene traza horizontal, que es paralela a LT. Pasa por dos diedros.

α

hα

hα

Plano Vertical Es perpendicular al Plano Horizontal de proyección. Su traza vertical es perpendicular a LT. Pasa por cuatro diedros.

α vα vα

hα hα

Sistema Diédrico (1) - Página 32

Departamento de Dibujo

Plano De Canto Es perpendicular al Plano Vertical de proyección. Su traza horizontal es perpendicular a LT. Pasa por cuatro diedros.

α vα

vα

hα

hα

Plano paralelo a LT Es paralelo a la Línea de Tierra y oblicuo a los planos proyectantes. Sus dos trazas son paralelas a LT. Pasa por tres diedros.

vα

α

vα

hα

hα

Sistema Diédrico (1) - Página 33

Departamento de Dibujo

Plano De Perfil Es perpendicular a la Línea de Tierra y a los planos proyectantes. Sus dos trazas son perpendiculares a LT. Pasa por cuatros diedros.

vα

α vα

hα hα

Plano que pasa por LT Es el plano que contiene a la Línea de Tierra. Sus dos trazas coinciden con LT, por lo que se recurre a una representación especial auxiliada por un punto del plano. Pasa por dos diedros.

A2

hα

α

A2

A vα

vα h α A1 A1

Sistema Diédrico (1) - Página 34

Departamento de Dibujo

Plano perpendicular a B1 Este tipo de plano, al ser perpendicular al Primer Bisector, siempre tiene sus trazas simétricas respecto a la Línea de Tierra. Pasa por tres diedros.

α vα vα = = hα

hα

Plano perpendicular a B2 Este tipo de plano, al ser perpendicular al Segundo Bisector, siempre tiene sus trazas coincidentes. Pasa por tres diedros.

α vα vα Ξ h α hα

Sistema Diédrico (1) - Página 35

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Rectas de máxima pendiente y de máxima inclinación Existen dos tipos de rectas específicas de los planos, que se denominan recta de máxima pendiente y recta de máxima inclinación. Las rectas de máxima pendiente de un plano son perpendiculares a su traza horizontal. Las rectas de máxima inclinación de un plano son perpendiculares a su traza vertical.

vα

α

vα

Vr

R r2

r2

r1 r1

hα Hr

hα Recta de máxima pendiente

vα

α

vα

Vr r2

r2

R r1

r1

hα

Hr Recta de máxima inclinación

Sistema Diédrico (1) - Página 36

hα

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Plano definido por dos rectas que se cortan Ya hemos comentado que dos rectas que se cortan definen un plano. También sabemos que dos rectas que se cortan tienen un punto común. En la figura siguiente se puede ver cómo se dibuja un plano definido por dos rectas que se cortan, dibujando las trazas del plano por las trazas homónimas de las rectas dadas.

s2

s2

r2

Vr

r2 s1

s1

r1

r1 Hr

Partimos de dos rectas R y S que se cortan

1 Localizamos las trazas de una de las rectas dadas, en este caso la recta R

Vs

Vs s2

s2

Vr

r2

Vr vα

r2 s1

s1

Hs

r1 Hr 2 Localizamos las trazas de la otra recta, en este caso la recta S

Hs

hα

r1 Hr 3 Unimos las trazas homónimas de cada recta para dibujar las trazas del plano α

Sistema Diédrico (1) - Página 37

Departamento de Dibujo

Plano definido por dos rectas paralelas Ya hemos comentado que dos rectas paralelas definen un plano. También sabemos que dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas. En la figura siguiente se puede ver cómo se dibuja un plano definido por dos rectas paralelas, dibujando las trazas del plano por las trazas homónimas de las rectas dadas. Vr r2

r1

s2

r2

r1

s1

s2

s1 Hr

Partimos de dos rectas R y S paralelas

1 Localizamos las trazas de una de las rectas, en este caso la recta R

Vs

Vs

Vr

Vr

r1

vα

s2

r2

s1

hα Hr

Hs

2 Localizamos las trazas de la otra recta, en este caso la recta S

Sistema Diédrico (1) - Página 38

s2

r2 r1

s1 Hr

Hs

3 Unimos las trazas homónimas de cada recta para dibujar las trazas del plano α

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Plano definido por una recta y un punto Una recta y un punto exterior a ella definen un plano. Para dibujar el plano que forman una recta y un punto debemos coger un punto cualquiera de la recta y trazar la recta que definen el punto dado y el punto que hemos elegido en la recta, lo que da lugar a dibujar un plano definido por dos rectas que se cortan, que ya sabemos cómo se hace. En la figura siguiente se puede ver cómo se dibuja un plano definido por una recta y un punto exterior a ella.

s2

s2

A2

A2 s1

B2

B 1 s1

A1

A1

Partimos de un punto A y una recta S

1 Cogemos un punto cualquiera de la recta dada S, en este caso el punto B

Vs s2 r2

A2

s2 B2 r2

A2

vα s1

B 1 s1 A1 r1

Vr

Hs

hα

A1 r1 Hr

2 Unimos A con B para dibujar una recta R que se corta con la recta S en el punto B

3 Localizamos las trazas de las rectas R y S para dibujar las trazas del plano α

Sistema Diédrico (1) - Página 39

Departamento de Dibujo

Plano definido por tres puntos Tres puntos no alineados definen un plano. Para dibujar el plano que forman tres puntos no alineados debemos unir los tres puntos, dos a dos, para tener dos rectas que se cortan en un de ellos, lo que da lugar a dibujar un plano definido por dos rectas que se cortan, que ya sabemos cómo se hace. En la figura siguiente se puede ver cómo se dibuja un plano definido por tres puntos no alineados.

C2 A2

C2

B2

A2

r2 C1

C1

B1

A1

B2

B1

A1 r1

Partimos de tres puntos A, B y C

1 Unimos dos puntos A y B para formar una recta, en este caso R

Vs s2

s2 C2

r2

A2

C2

B2 r2

C1

B1

A2

s1

C1

A1 r1

B2

B1

Vr vα s1 Hs

hα

A1 r1 Hr

2 Unimos C con B para dibujar la recta S, que se corta con la recta R en el punto B

Sistema Diédrico (1) - Página 40

3 Localizamos las trazas de las rectas R y S para dibujar las trazas del plano α

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Distancias  Distancia entre dos puntos  Distancia entre un punto y un plano  Distancia entre un punto y una recta  Distancia entre rectas paralelas  Distancia entre planos paralelos Abatimientos  Abatimiento de un plano  Abatimiento de un punto contenido en un plano  Abatimiento de una recta contenida en un plano  Abatimiento de una figura plana contenida en un plano Perpendicularidad  Perpendicularidad entre recta y plano  Perpendicularidad entre planos  Perpendicularidad entre rectas Paralelismo  Paralelismo entre rectas  Paralelismo entre recta y plano  Paralelismo entre planos Intersecciones  Intersección entre planos  Intersección entre recta y plano Ángulos  Ángulo entre dos rectas  Ángulo entre recta y plano  Ángulo entre recta y Planos de Proyección  Ángulo entre plano y Planos de Proyección  Ángulo entre dos planos Sombras  Sombra arrojada de puntos  Sombra arrojada de rectas  Sombra arrojada de líneas  Sombra arrojada de figuras planas  Sombra arrojada de sólidos Giros  Giro de un punto  Giro de una recta  Giro de un plano Cambios de plano  Cambios de plano de un punto  Cambios de plano de una recta

Sistema Diédrico (1) - Página 41