APUNTES DEL CURSO OSCILACIONES Y ONDAS Luis Joaquin Mendoza Herrera 21 de marzo de 2011

´INDICE GENERAL 1 Movimiento Oscilatorio 1.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ecuaci´on del movimiento de una part´ıcula oscilante . . . . . 1.3 Analog´ıa con el movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Cinem´atica del movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . 1.5 Ejemplos de movimientos arm´onicos simples . . . . . . . . . 1.5.1 P´endulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1.1 Expresi´on general del periodo de un p´endulo 1.5.2 P´endulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 P´endulo de torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 P´endulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Combinaci´on de movimientos arm´onicos . . . . . . . . . . . 1.6.1 Combinaci´on de dos movimientos perpendiculares . . 1.7 Movimiento Amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Oscilaciones Forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie . . 1.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Movimiento Ondulatorio 2.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Descripci´on matem´atica de la propagaci´on 2.3 Ondas de presi´on en una columna de gas . 2.4 Ondas longitudinales en una barra . . . . 2.5 Ondas transversales en una barra . . . . . 2.6 Ondas longitudinales en un resorte . . . . 2.7 Ondas transversales en una cuerda . . . . 2.8 Ondas Superficiales en un liquido . . . . . 2.9 Potencia de una onda . . . . . . . . . . . . 2.10 Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . . 2.11 Ondas en una membrana tensa . . . . . . 2.12 Ondas esf´ericas en un fluido . . . . . . . . 2.13 velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . .

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1 1 1 2 4 7 7 11 13 15 16 18 21 24 27 32 34

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37 37 38 39 42 45 48 49 50 59 61 62 63 64

´INDICE GENERAL

´INDICE GENERAL

3 Ondas Electromagn´ eticas 3.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Condiciones de frontera para el campo el´ectrico . 3.3.2 Condiciones de frontera para el campo magn´etico 3.4 Ecuaciones de Ondas Electromagn´eticas . . . . . . . . . 3.5 Energ´ıa y momentum de una onda electromagn´etica . . . 3.6 Presi´on de Radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Ecuaci´on de onda con fuentes . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Radiaci´on de un dipolo el´ectrico oscilante . . . . . . . . . 3.9 Radiaci´on de un dipolo magn´etico oscilante . . . . . . . .

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´ 4 Optica Geom´ etrica 4.1 Formaci´on de im´agenes por reflexi´on en una superficie plana (espejo plano) 4.2 Formaci´on de im´agenes por transmisi´on en una superficie plana . . . . 4.3 Formaci´on de im´agenes por reflexi´on en una superfice esf´erica (espejo esf´erico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Formaci´on de im´agenes por transmisi´on en una superfice esf´erica . . . . 4.5 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Aumento o´ Amplificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Distancia focal y trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Distancia focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2.1 Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2.2 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Espectro visible, ondas de Sonido y efecto 5.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Espectro electromagn´etico . . . . . . . . . 5.2.1 Ondas de radio . . . . . . . . . . . 5.2.2 Microondas . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Infrarrojo . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Espectro visible . . . . . . . . . . . 5.2.5 Rayos ultravioleta . . . . . . . . . . 5.2.6 Rayos X . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.7 Rayos Gamma . . . . . . . . . . . . 5.3 Ondas de Sonido . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Cualidades del sonido . . . . . . . . 5.4 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Aplicaciones del ultrasonido . . . . 5.5.1.1 Guiado y sondeo . . . . . 5.5.1.2 Medicina y biolog´ıa . . . .

88 88 88 88 89 89 90 90 91 91 92 92 94 95 95 96 96

ii

Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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81 83 84 85 86 86 86 86 87

´INDICE GENERAL

´INDICE GENERAL

5.5.1.3 Aplicaciones f´ısicas . . . . . . Infrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas de Choque y n´ umero de Mach . . . . . La audici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . Instrumentos ´opticos . . . . . . . . . . . . . . 5.11.1 Microscopio simple o lupa . . . . . . . 5.11.2 Microscopio compuesto . . . . . . . . . 5.11.3 Telescopio . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.3.1 Telescopios de reflexi´on . . . 5.11.4 El proyector . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.5 El prisma . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Dispersi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13 Efecto Doppler de las ondas electromagn´eticas 5.13.1 Transformaci´on de Lorentz . . . . . . . 5.13.2 Transformaci´on de las frecuencias . . . 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11

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6 Interferencia 6.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . 6.3 Experimento de la doble rendija de Young . . . . . 6.4 Biprisma de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Interferencia por reflexi´on en laminas delgadas . . . 6.6 Anillos de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Interferencia de ondas producidas por varias fuentes 6.8 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Ondas estacionarias en una cuerda . . . . . 6.8.2 Ondas estacionarias en una columna de aire 6.8.3 Ondas estacionarias electromagn´eticas . . . 6.9 Ondas estacionarias en dos dimensiones . . . . . . . 6.10 Ondas estacionarias en tres dimensiones . . . . . . 6.11 Gu´ıas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11.1 Ondas electromagn´eticas en gu´ıas de ondas .

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7 Difracci´ on y Polarizaci´ on 7.1 Difracci´on de Fraunhofer por una abertura rectangular 7.2 Doble rendija de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Redes de difracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Difracci´on en una abertura circular . . . . . . . . . . . 7.5 Polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 La elipse de polarizaci´on . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2.1 Polarizaci´on por reflexi´on . . . . . . . iii

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96 96 97 97 98 98 101 101 102 104 104 106 107 109 110 111 114

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115 115 115 117 119 120 122 123 126 128 130 131 133 135 136 138

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140 140 143 144 145 146 146 146 147

´INDICE GENERAL

7.5.3

´INDICE GENERAL

7.5.2.2 Polarizaci´on por transmisi´on . . . . 7.5.2.3 Polarizaci´on por doble transmisi´on 7.5.2.4 Polarizaci´on por absorci´on selectiva 7.5.2.5 Actividad ´optica . . . . . . . . . . Grado de polarizaci´on . . . . . . . . . . . .

iv

. . o . .

. . . . . . . . . . . . dicro´ısmo . . . . . . . . . . . .

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147 148 148 149 149

´INDICE DE FIGURAS 1.1 1.2

Part´ıcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios Analog´ıa entre el movimiento de una part´ıcula en un resorte y el movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´on geom´etrica del ´angulo φ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.18 1.19 1.20 1.21 1.22

3 5 Movimiento arm´ onico producido por una part´ıcula que se mueve en un plano inclinado 6 Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes . . . . . . . . . . . . . . . 12 Esquema de un pendulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Esquema de un p´endulo de torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Esquema del p´endulo de torsi´on con un bloque rectangular . . . . . . . 16 Construcci´on de una curva cicloide positiva . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Esquema de un p´endulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Diagrama de fasores para la combinaci´on de movimientos arm´onicos de igual direcci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Combinaci´on de movimientos arm´onicos de frecuencias diferentes cuando: ω2 > ω1 y (a) A1 > A2 , (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2 . . . . . . . . . . 20 Diagrama de fasores para la combinaci´on de dos movimientos arm´onicos de igual frecuancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Trayectoria del movimiento resultante de la combinaci´on de dos movimientos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Construcci´on de una figura de Lissajous cuando ω1 = 34 ω2 , φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1 y B = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de α . . . . . . 24 Amplitud de una oscilaci´on subamortiguada en funci´on del tiempo . . . 25 Representaci´on geom´etrica del a´ngulo α . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Movimiento de una pesa por un ni˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Circuito RLC en serie con fuente de tensi´on de alterna . . . . . . . . . 32

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Ondas de presi´on en una columna de gas . . . Ondas longitudinales en una barra . . . . . . Ondas Transversales en una barra . . . . . . . Ondas de torsi´on en una barra . . . . . . . . . Diagrama de cuerpo libre de la secci´on cortada

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17

v

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40 43 45 46 48

´INDICE DE FIGURAS

´INDICE DE FIGURAS

2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

Momentos polares de inercia para una secci´on circular . . . . . . . . . . Ondas Transversales en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas superficiales en un liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elemento diferencial de volumen entre dos superficies . . . . . . . . . . Interface entre los dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas que act´ uan sobre el elemento diferencial de superficie . . . . . . En la figura (a) se muestra una onda propag´andose en la direcci´on X y en la figura (b) se muestra una onda propag´andose en una direcci´on arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 50 51 54 55 57

4.1 4.2

79

4.3 4.4 4.5

Imegenes formadas por reflexi´on en un espejo plano . . . . . . . . . . . Configuraci´on para la formaci´on de una imagen por transmisi´on en una superficie plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Configuraci´on para la formaci´on de una imagen en una superficie esferica Configuraci´on para la formaci´on de una imagen en una superficie esferica por transmisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Configuraci´on para la formaci´on de una imagen en una lente formada por dos superficies esfericas S1 y S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . ´ Angulo m´ınimo que en un prisma el rayo emerja del otro lado . Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . .

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83 84

Espectro electromagn´etico . . . . . . . . . . . . Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructura general del o´ıdo humano . . . . . . . Corte lateral de la retina y sus componentes. . . Estructura general del ojo humano . . . . . . . Esquema general de una lupa. . . . . . . . . . . Esquema general de un microscopio compuesto. Esquema general de un telescopio astronomico. . Esquema general de un telescopio terrestre. . . . Esquema general de un telescopio Galileo. . . . Esquema general de un telescopio de Newton. . Esquema general de un telescopio de Cassegrain. Esquema general de un proyector. . . . . . . . . Configuraci´on de un prisma . . . . . . . . . . .

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89 94 98 99 99 101 103 104 105 105 106 106 107 107 108 111

6.1 6.2

Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . Gr´aficas fasoriales para la interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de la interferencia en la doble rendija de Young . . . . . . . . Esquema de interferencia producida por un biprisma de Fresnel . . . . Esquema de interferencia producida por una l´amina delgada . . . . . . Esquema de interferencia para producir anillos de Newton . . . . . . . Esquema de interferencia producido por N fuentes sincronicas . . . . .

116

vi

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80 81

5.1 5.2 5.3 5.5 5.4 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16

6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

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62 63

116 118 120 121 122 124

´INDICE DE FIGURAS 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19

´INDICE DE FIGURAS

Fasores correspondientes a cada una de las fuentes . . . . . . . . . . . . Esquema para la suma de los dos primeros fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema para la suma de los tres primeros fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema para la suma de los N fasores en la interferencia de N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema para la interferencia de dos ondas . . . . . . . . . . . . . . . . Modos de vibraci´on para las ondas estacionarias en una cuerda de longitud L y fija a ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modos de vibraci´on para las ondas estacionarias en una columna de aire de longitud L y con un extremo cerrado y un extremo abierto . . . . . Ondas estacionarias electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas estacionarias electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y n2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y n2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de una gu´ıa de ondas rectangular, en la cual las ondas se propagan en la direcci´on z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Esquema para el estudio de la difracci´on en una abertura rectangular . Esquema para el estudio de la difracci´on en una abertura rectangular . Gr´afica de la intensidad producida por una abertura rectangular . . . . Esquema para la difracci´on en dos aberturas rectangulares . . . . . . . Gr´afica de la intensidad producida por dos aberturas considerando la difracci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Esquema para el estudio de la difracci´on en una red de difracci´on . . . 7.7 Polarizaci´on por reflexi´on en una superficie (´angulo de Brewster) . . . . 7.8 Polarizaci´on por transmisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Polarizaci´on por doble transmisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Dicro´ısmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.11 Esquema para el estudio de la actividad ´optica . . . . . . . . . . . . . .

vii

124 125 125 126 127 129 131 131 132 134 135 137 141 141 142 143 144 144 147 147 148 148 149

Cap´ıtulo 1 Movimiento Oscilatorio 1.1.

Introducci´ on

Cuando un objeto se desplaza a uno y otro lado de una posici´on fija siguiendo una ley cualquiera, se dice que est´a en movimiento vibratorio u oscilatorio. Por ejemplo el ´embolo de una locomotora. Entre todos los movimientos oscilatorios que existen en la naturaleza el m´as importante es el movimiento arm´onico simple(M.A.S), en el cual es un movimiento peri´odico porque se reproduce exactamente cada vez que transcurre un tiempo determinado, llamado per´ıodo. Per´ıodo es el tiempo que tarda el objeto en dar una oscilaci´on completa. El M.A.S describe con una buena aproximaci´on la mayor parte de las oscilaciones de la naturaleza. Los sistemas oscilatorios, como el p´endulo de reloj, una lancha subiendo y bajando sobre las olas, o una part´ıcula en el extremo de un resorte, tienen una propiedad en com´ un: cada sistema tiene un estado de equilibrio estable. En el equilibrio la fuerza y el torque netos que act´ uan sobre cada parte del sistema son iguales a cero. El equilibrio es estable si un peque˜ no desplazamiento origina una fuerza neta que tiende a regresar al sistema hacia el estado de equilibrio. Est´as fuerzas de restauraci´on constituyen una segunda caracter´ıstica de los sistemas oscilatorios.

1.2.

Ecuaci´ on del movimiento de una part´ıcula oscilante

Para describir el movimiento de una part´ıcula oscilante, se expresa la posici´on de la part´ıcula como una funci´on del tiempo. Iniciando con la segunda ley de Newton que relaciona la fuerza de restauraci´on con la aceleraci´on de la part´ıcula. como primer ejemplo consideremos el caso de una part´ıcula en el extremo de un resorte, en este caso la fuerza de restauraci´on y el desplazamiento se ubican en una sola direcci´on que podemos definir como x. si tomamos el origen coincidente con la posici´on de equilibrio de la part´ıcula (Fig 1.2), la posici´on de la part´ıcula x(t) coincide con el estiramiento

1

Oscilaciones y Ondas del resorte, donde la fuerza de restauraci´on es −kx(t). En el caso del movimiento sin fricci´on, de acuerdo con la segunda ley de Newton: max = Fx = −kx(t)

(1.1)

La aceleraci´on es la segunda derivada de la posici´on en funci´on del tiempo, de este modo: d2 x k d2 x (1.2) = −kx o ´ + x=0 2 2 dt dt m En este caso lo que se desea es la posici´on de la part´ıcula como una funci´on del tiempo, este es un problema matem´atico que puede ser resuelto utilizando la analog´ıa del M.A.S con el movimiento circular. m

Figura 1.1: Part´ıcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios

1.3.

Analog´ıa con el movimiento circular

Las oscilaciones se relacionan de una manera muy estrecha con el movimiento circular, cuando una part´ıcula se mueve en un movimiento circular con una velocidad lineal constante v, la cual se relaciona con la velocidad angular ω = v/r, donde r es el radio del circulo, el cambio de direcci´on es originado por una aceleraci´on hacia el centro del circulo: a = −ω 2 r

(1.3)

Donde las componentes en x de est´a ecuaci´on son: d2 x + ω 2 x = 0, (1.4) 2 dt ecuaci´on que es similar a la ecuaci´on 1.2 para las oscilaciones cuando se define la frecuencia angular ax = −ω 2 x o´

2

Oscilaciones y Ondas

s

k , m donde el periodo de las oscilaciones se obtiene como: ω=

r

P = 2π

m , k

(1.5)

(1.6)

Figura 1.2: Analog´ıa entre el movimiento de una part´ıcula en un resorte y el movimiento circular

La posici´on de la part´ıcula es definida por el a´ngulo θ, donde A es la m´axima amplitud de la part´ıcula, la amplitud de la part´ıcula en funci´on del tiempo est´a determinada por la componente en x = A cos θ. La distancia angular φ0 define la posici´on inicial de la part´ıcula y es conocida como fase inicial, es decir la posici´on inicial de la part´ıcula es A cos φ0 , en este caso ωt es la distancia angular recorrida por la part´ıcula, luego entonces la distancia angular θ es igual a la distancia angular recorrida m´as la distancia angular inicial: θ = ωt + φ0

(1.7)

Obteniendose la posici´on de la part´ıcula en funci´on del tiempo como x(t) = A cos (ωt + φ0 )

3

(1.8)

Oscilaciones y Ondas Es importante aclarar que la posici´on de la part´ıcula en funci´on del tiempo tambi´en puede ser expresada en funci´on del sen en este caso solo cambiaria la fase inicial, por ejemplo cos (ωt + π/3) = sen (ωt + 5π/6), las funciones seno y cose se diferencian en π/2, en este documento utilizaremos la funci´on seno para referirnos a la posici´on de la part´ıcula esto es: x(t) = Asen (ωt + φ0 )

1.4.

(1.9)

Cinem´ atica del movimiento arm´ onico simple

La velocidad y la aceleraci´on de un movimiento arm´onico simple pueden ser expresadas a partir de la ecuaci´on 1.9, como: √ v(t) = Aω cos (ωt + φ0 ) = ω A2 − x2

(1.10)

a(t) = −Aω 2 sen (ωt + φ0 ) = −ω 2 x

(1.11)

La fuerza que debe actuar sobre un cuerpo de masa m, para que oscile con movimiento arm´onico simple es: F = ma = −mω 2 x = −kx

(1.12)

es decir, que para producir un M.A.S se requiere una fuerza proporcional a la elongaci´on y dirigida siempre hacia la posici´on de equilibrio, como lo indica el signo menos. La energ´ıa cin´etica est´a definida por:   1 1 1 Ec = mv 2 = mA2 cos2 (ωt + φ0 ) = mω 2 A2 − x2 (1.13) 2 2 2 Para la energ´ıa potencial se utiliza la definici´on de la fuerza en t´erminos de la energ´ıa p potencial F = − ∂E : ∂x Z Ep

Z x

1 −kxdx ⇒ Ep = kx2 (1.14) 2 0 0 Con las definiciones de energ´ıa cin´etica y potencial se puede obtener la energ´ıa total del sistema, en la forma dEp = −

   1 1 1  1 1 E = Ec + Ep = mω 2 A2 − x2 + kx2 = k A2 − x2 + kx2 = kA2 2 2 2 2 2

(1.15)

Ejemplo 1 Una part´ıcula cuya mas es de 1 Kg se mueve con movimiento arm´onico simple. Su periodo es de 0.1s y la amplitud de su movimiento es de 10cm. Calcular la aceleraci´on, la fuerza, la energ´ıa potencial y la energ´ıa cin´etica, cuando se encuentra a 4cm de la posici´on de equilibrio. Soluci´ on: Con la ayuda de la ecuaci´on (1.4) a = −ω 2 x y ω = 2π/T = 2π/0,1 = 20π, tenemos que la aceleraci´ on es a = −400π 2 0,04 = −157,9m/s2 .

4

Oscilaciones y Ondas La fuerza se puede obtener de F = ma = −157,9N, la energ´ıa potencial es Ep = 21 kx2 , que con la ecuaci´ on (1.5) se convierte en Ep = 21 mω 2 x2 = 0,5 · 1 · 400π 2 0,042 = 3,16J, para el calculo de la energ´ıa cinetica se debe calcular la energ´ıa total E = 12 mω 2 A2 = 0,5 · 1 · 400π 2 0,12 = 19,74J, luego la energ´ıa cin´etica es Ec = (19,74 − 3,16) J = 16,58J.

Ejemplo 2 Una part´ıcula que se mueve con movimiento arm´onico simple, con una frecuencia f , fue lanzada con una velocidad inicial v0 , desde una posici´on que se encuentra a x0 de la posici´ on de equilibrio, determinar la posici´ on de la part´ıcula como una funci´on del tiempo. Soluci´ on: En este caso la posici´ on debe presentarse en t´erminos de la informaci´on suministrada por el proble las cuales son la frecuencia f , que no debe confundirse con la frecuencia angular ω, la posici´ on inicial x0 y la velocidad inicial v0 . La ecuaci´on que determina la posici´on de la part´ıcula como una funci´ on del tiempo es x = Asen (ωt + φ), donde ω = 2πf . A continuaci´on se deben determinar A y φ, de las condiciones iniciales. x0 = Asenφ

v0 = Aωcosφ

Al dividir estas ecuaci´ on se obtiene la fase del movimiento como tanφ = representaci´ on gr´ afica de φ, se puede obtener la amplitud:

(1.16) ωx0 v0

y con la ayuda de la

Figura 1.3: Representaci´on geom´etrica del a´ngulo φ √ 2 2 2 √ 2 2 2 2 x0 ω +v0 x0 4π f +v0 luego entonces remplazando senφ o cosφ, se obtiene la amplitud A = = , ω 2πf con estos resultados la posici´ on como una funci´on del tiempo se convierte en: p    x20 4π 2 f 2 + v02 x0 2πf sen 2πf t + tan−1 (1.17) x (t) = 2πf v0

Ejemplo 3 Un tronco cil´ındrico de longitud L y radio R, tiene un contrapeso de plomo, con la finalidad de mantenerlo en forma vertical. La masa del tronco y el plomo juntos es M . Si el tronco se empuja un poco hacia abajo demuestre que al soltarlo se produce un movimiento arm´onico simple y determine su frecuencia. Calcule su frecuencia para M = 60Kg y R = 10cm Soluci´ on: El tronco flota a causa de la fuerza que el agua ejerce hacia arriba por el principio de arqu´ımedes. Primero debe determinarse la posici´on de equilibrio, para esta posici´on el peso del tronco y el empuje del agua deben ser iguales. M g = ρagua πR2 Dg

(1.18)

donde D es la longitud de la porci´ on sumergida del tronco, de esta ecuaci´on D = πR2M ρagua . Cuando el tronco se empuja hacia abajo una peque˜ na distancia z, la fuerza del empuje es mayor que el peso del tronco y lo impulsa hacia arriba, cuando el peso del tronco y el plomo superan la fuerza del empuje, el

5

Oscilaciones y Ondas tronco es impulsado hacia abajo, resultando con esto un movimiento arm´onico simple. para determinar la frecuencia de este movimiento, cuando se desplaza una peque˜ na distancia z hacia abajo la fuerza resultante es M g − πR2 (D + z)ρagua g = −πR2 ρagua gz, y la ecuaci´on del movimiento para el tronco es: d2 z + πR2 ρagua g = 0 (1.19) dt2 q pg πR2 ρagua g de donde la frecuencia de oscilaci´ on esta dada por ω = = D . En el caso M = 60Kg M y R = 10cm, D = 1,91m y ω = 2,27rad/s. Ejemplo 4 Una part´ıcula se desliza hacia adelante y hacia atr´as entre dos planos inclinados sin fricci´ on. Encontrar el periodo de oscilaci´on del movimiento si h es la altura inicial. M

Figura 1.4: Movimiento arm´onico producido por una part´ıcula que se mueve en un plano inclinado Soluci´ on: Para calcular el periodo de oscilaci´on en primera medida calculamos la aceleraci´on del sistema, esta aceleraci´ on se obtiene de la segunda ley de newton F = mgsenα = ma, luego la aceleraci´ on es a = gsenα. La distancia que debe bajar la part´ıcula es

h senα ,

1 h = gsenαt2 senα 2

el tiempo que tarda en bajar se puede calcular como: s 2h 1 o´ t= , g senα

de donde el periodo de oscilaci´ on es cuatro veces el tiempo calculado s 2h 1 P =4 g senα

(1.20)

EjemploTomemos el caso en el cual una part´ıcula de masa m se encuentra sobre una mesa, unida a un punto fijo de ´esta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un resorte de constante k. En el instante t = 0 se encuentra en la posici´on ~r0 = x0 a ˆ x + y0 a ˆy y se le proporcio0na una velocidad ~v0 = v0x a ˆx + v0y a ˆy . La ecuaci´ on que define un oscilador arm´onico, en general, es la ecuaci´on de movimiento vectorial d2~r = −k~r (1.21) dt2 En este problema tenemos una part´ıcula situada en un plano. Su posici´on inicial est´a a una cierta distancia del punto fijo. Por tanto, necesariamente su movimiento ser´a bidimensional. Para la part´ıcula situada sobre la mesa, su movimiento ser´a bidimensional y podr´a describirse un sistema de coordenadas cartesiano m

~r = xˆ ax + yˆ ay En este mismo sistema, la velocidad y la aceleraci´on se escribir´an

6

Oscilaciones y Ondas

d~r d~v d2 y dx ˆ dy ˆ d2 x i+ j, ~a = = = 2 ˆi + 2 ˆj dt dt dt dt dt dt Sustituyendo en la ecuaci´ on de movimiento y recordando que dos vectores son iguales si lo son cada una de sus componentes, la ecuaci´on vectorial se convierte en dos ecuaciones escalares ~v =

d2 y = −ky dt2

d2 x = −kx, dt2 Cuyas soluciones son de la forma:: x = Ax sen (ωt + φx ) ,

y = Ay sen (ωt + φy )

que utilizando las condiciones iniciales llegamos a x0 = Ax sen (φx ) ,

y0 = Ay sen (φy )

v0x = Ax ω cos (φx ) ,

v0y = Ay ω cos (φy )

de donde tanφx =

x0 ω , v0x

tanφy =

y0 ω v0y

y r Ax =

s

v2 x20 + 0x , ω2

Ay =

y02 +

2 v0y ω2

Con estos resultados las expresiones para las elongaciones en x y y son respectivamente v0y v0x senωt + x0 cos ωt, y= senωt + y0 cos ωt ω ω Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuaci´on de la trayectoria seguida por el cuerpo x=

2 v~0 x2 + y 2 = senωt + r~0 cos ωt ω

1.5. 1.5.1.

(1.22)

Ejemplos de movimientos arm´ onicos simples P´ endulo simple

Un p´endulo simple consiste en una part´ıcula de masa m, colgada de un hilo de longitud l y masa despreciable. La part´ıcula oscila sin ficci´on entre un punto de suspensi´on. Cuando el hilo forma un a´ngulo θ, con la vertical la fuerza restauradora est´a determinada por: FR = −mgsenθ = m

d2 s d2 θ = ml , dt2 dt2

(1.23)

o sea d2 θ g = − senθ dt2 l 7

(1.24)

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.5: Esquema de un pendulo simple

Esta ecuaci´on no tiene la forma normal 1.2 y no tiene soluciones sencillas. sin embargo cuando la amplitud es peque˜ na es decir θ es peque˜ no, podemos aplicar la aproximaci´on senθ ≈ θ. En este caso: d2 θ g + θ=0 (1.25) dt2 l que es la ecuaci´on para el movimiento arm´onico simple, donde θ es el desplazamiento q q y la frecuencia angular es ω = g/l, es decir el periodo de oscilaci´on es P = 2π l/g. Asi: θ (t) = θmax cos

q



g/lt + φ0 .

(1.26)

Las expresiones para la velocidad y la aceleraci´on angular est´an dadas por: q

Ω (t) = θmax g/lsen

q



g/lt + φ0 .

q  g α (t) = −θmax cos g/lt + φ0 . l La energ´ıa potencial en el p´endulo simple est´a determinada por:

Ep = mgh = mg(l − l cos θ) = mgl (1 − cos θ) 8

(1.27) (1.28)

(1.29)

Oscilaciones y Ondas Utilizando la identidad trigonometrica sen2 A = 21 (1 − cos 2A), con 2A = θ θ 2

(1.30)

θ0 2

(1.31)

Ep = 2mglsen2 Utilizando est´a definici´on la energ´ıa total e: E = 2mglsen2

pg
l t . Encuentre la tensi´ on en la cuerda de este p´endulo para θ peque˜ no. La masa de la part´ıcula suspendida m, en que tiempo la tensi´ on es m´ axima y cual es el valor de la tensi´on m´axima.

Ejemplo 5 El movimiento de un p´endulo simple est´a dado por θ = Acos

Soluci´ on: La energ´ıa en el punto de m´axima amplitud es solo potencial y es mgH = mg (l − lcosA) y la energ´ıa en cualquier otro punto es la suma de la energ´ıa potencial mgh = mg (l − lcosθ) y la energ´ıa cin´etica 12 mv 2 , de acuerdo con el principio de conservaci´on de energ´ıa est´as dos energias son iguales es decir

Figura 1.6: Esquema de un pendulo simple

1 mgl (1 − cosA) = mgl (1 − cosθ) + mv 2 2 La suma de las fuerzas normales es igual a T = mgcosθ + m

v 2 = 2gl (cosθ − cosA)

v2 = mgcosθ + 2mg (cosθ − cosA) = 3mgcosθ − 2mgcosA l

La serie para el cosB = 1 − 21 B 2 + · · ·, r       1 2 1 2 3 2 g 2 2 T = 3mg 1 − θ − 2mg 1 − A = mg 1 + A − A sen t 2 2 2 l

(1.32)

(1.33)

(1.34)

Para obtener el valor m´ aximo de la tensi´on se debe derivar la tensi´on esto es r r  r   r  3 g g g g g 2sen t cos t = −mg A2 sen 2 t =0 l l l 2 l l q p de donde 2 gl t = π o t = π2 gl , de donde el valor m´aximo de la tensi´on es: dT 3 = −mg A2 dt 2

r

9

(1.35)

Oscilaciones y Ondas

  1 2 T = mg 1 − A 2

(1.36)

Ejemplo 6 Un p´endulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g = 9,8m/s2 , si la longitud aumenta en 1mm ¿Cuanto se habr´ a atrasado el reloj en 24 horas?. Soluci´ on: Utilizando el periodo del p´endulo cuando la gravedad es g = 9,8m/s2 , se puede calcular la longitud normal del p´endulo. s l T = 2s = 2π l = 0,9929m (1.37) 9,8 La nueva longitud es ln = 0,9929m+1mm=0,9939m p Con esta nueva longitud el periodo para la nueva longitud es Tn = 2π 0,9939/9,8 = 2,001s, luego el p´endulo se retrasa 1,0068 × 10−3 s, cada 2 segundos, debido a que en 24 horas existen 86400 segundos el reloj se retrasa 86400 · 1,0068 × 10−3 = 87s.

Ejemplo 7 Un p´endulo cuya longitud es 2m se encuentra en un lugar donde g = 9,8m/s2 . El p´endulo oscila con una amplitud de 2o . Expresar en funci´on del tiempo, su desplazamiento angular, su velocidad angular, su aceleraci´ on angular, su velocidad lineal, su aceleraci´on centr´ıpeta y la tensi´ on en la cuerda si la masa en su extremo es de 1Kg.
pg Soluci´ on: El desplazamiento angular del p´endulo esta definido como θ = θ0 sen l t + φ , la
pg pg velocidad angular Ω = θ0 l cos on angular α = − gl θ, la velocidad lineal l t + φ , la aceleraci´ 2 v = Ω · l, la aceleraci´ on centripeta ac = mvl y la tensi´on como T = mg (3cosθ − 2cosθ0 ), donde se deben determinar los valores de θ0 y φ, para esto se remplazan las condiciones iniciales para el ´angulo y la velocidad r 9,8m/s2 o 2 = θ0 senφ 0 = θ0 cosφ (1.38) 2m de donde φ = (π/2)rad, θ0 = 2o , lo que produce θ = 2sen (2,21t + π/2) o

(1.39)

Ω = 4,42cos (2,21t + π/2) o /s

(1.40)

α = −9,8sen (2,21t + π/2) o /s2

(1.41)

v = 0,3cos (2,21t + π/2) m/s

(1.42)

No debe olvidar cambiar los grados a radianes para que las unidades de la velocidad se conviertan en m/s ac = 0,047cos2 (2,21t + π/2) m/s2

(1.43)

T = 9,8 (3cos (2o sen (2,21t + π/2)) − 2cos2o ) N

(1.44)

10

Oscilaciones y Ondas 1.5.1.1.

Expresi´ on general del periodo de un p´ endulo simple

La energ´ıa total es en este caso la suma de la energ´ıa cin´etica y la energ´ıa potencial, esto es: 1 1 E = mv 2 + Ep = 2 2

dx dt

!2

+ Ep ,

(1.45)

despejando la velocidad obtenemos 1/2 2 dx = (E − Ep ) dt m integrando sobre una oscilaci´on completa obtenemos



Z P

dt = 4



Z x

0

x0

(1.46)

ldθ n

(1.47)

o1/2

2 m

(E − Ep )

en t´erminos del ´angulo θ se tiene: P =4

Z θ0 0

ldθ n

2 m



q

θ0 2



sen2







2mglsen2

P = 2 l/g

Z π/2 

(1.48)

 o1/2 θ 2

dθ r

Si tomamos el cambio de variables sen periodo del p´endulo se convierte en: P = 4 l/g

− 2mglsen2

Z θ0 0

q



1 θ 2

1 − sen

2



0

θ0 2



−

sen2

 





= sen

1 θ 2 0

senΨ, la ecuaci´on para el

−1/2

1 θ0 sen2 Ψ 2 

Utilizando la serie (1 + x)n = 1 + nx + n(n−1) x2 + 2!   −sen2 21 θ0 sen2 Ψ y n = − 12 e integrando llegamos a:

(1.49)

θ 2

dΨ

n(n−1)(n−2) 3 x 3!

(1.50) + · · ·, donde x =

1 1 9 1 P = 2π l/g 1 + sen2 θ0 + sen4 θ0 + · · · (1.51) 4 2 64 2 Donde puede observarse que para θ peque˜ no se obtiene nuevamente el periq 1 odo como P = 2π l/g, en el caso de 2 θ peque˜ no, se obtiene el periodo como q

q



P = 2π l/g 1 +

1 2 θ 16 0















.

Ejemplo 8 Una part´ıcula de masa m situada en una mesa horizontal lisa est´a sostenida por dos resortes de constante el´ astica k y longitud normal l0 , cuyos extremos est´an fijos en P1 y P2 . Si la part´ıcula se desplaza lateralmente una cantidad x0 peque˜ na comparada con la longitud normal de los resortes, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente. Encontrar su frecuencia de oscilaci´ on y escribir la ecuaci´ on de su movimiento.

11

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.7: Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes

Soluci´ on: Para calcular el periodo de oscilaci´on utilizamos la p ecuaci´on (1.46), para lo cual necesitamos la energ´ ıa potencial E , la longitud del resorte estirado es x2 + l02 , la longitud que se estiro p p 2 2 el resorte es x + l0 − l0 , la energ´ıa potencial es q

1 Ep = k 2

l02

x2 +

2



1 = kl02 2

− l0

x2 1+ 2 l0

!2

1/2

−1

luego la energ´ıa total se presenta cuando est´a totalmente estirado es decir x = x0 es decir 1 E= k 2

q

x20

+

l02

2 − l0



1 = kl02 2

x2 1 + 20 l0

!2

1/2 −1

Debido a que l0 >> x, x0 /l0 y x/l0 son peque˜ nos y valores peque˜ nos utilizando el desarrollo n binomial, se puede realizar la aproximaci´on (1 + y) ∼ = 1 + ny convirtiendo estas energ´ıas en:  1 2 kl0 1 + 2  1 Ep = kl02 1 + 2 Ep =

2 x2 1 x4 x4 − 1 = kl02 4 = k 2 2 2l0 2 4l0 8l0 2 x20 1 2 x40 x40 kl − 1 = = k 2l02 2 0 4l04 8l02

(1.52)

(1.53)

El periodo se calcula entonces como:

P ∼ =4

Z 0

x0

Z

dx n

2 m



x4 k 8l02 0

−k

x4 8l02

o1/2 = 4

0

x0

dx n

k 4ml02

(x40 − x4 )

r o1/2 = 8l0

m k

Z 0

x0

dx p 4 x0 − x4

Si tomamos u = x/x0 , tenemos r r Z r 8l0 m 1 dx 8l0 m π 4πl m √ √ =√ 0 P ∼ = = 4 x0 k 0 x0 k 2 3 3x0 k 1−u Luego debido a que ω =

2π P

tenemos √

3x0 ω= 2l0

12

r

k m

(1.54)

Oscilaciones y Ondas p  x2 + l02 − l0 , la √ 2 2
2k x +l −l0 x √ 2 02 componente de esta fuerza que produce el movimiento oscilatorio es FR = 2F senφ = − , Para la ecuaci´ on del movimiento la fuerza de cada uno de los resortes es F = −k

x +l0

si factorizamos l0 en el numerador y en el denominador obtenemos.  FR = −2k

x2 1+ 2 l0

 2   1/2 !  −1/2  x x2 x2 kx3 kx5 ∼ 1+ 2 1− 2 x=− 2 + 4 = −2k 2 l0 2l0 2l0 l0 2l0

Finalmente la ecuaci´ on del movimiento es m

1.5.2.

kx3 kx5 d2 x =− 2 + 4 2 dt l0 2l0

o´

d2 x kx3 kx5 + − =0 2 2 dt ml0 2ml04

(1.55)

P´ endulo compuesto

Cuando un cuerpo r´ıgido(como una barra) se balancea, en torno de un punto por lo general el borde, se obtiene un p´endulo conocido como p´endulo f´ısico o compuesto; donde el periodo del mismo se relaciona con su tama˜ no y forma.

Figura 1.8: Esquema de un pendulo compuesto

En la figura 1.5.2 se muestra el diagrama de un p´endulo compuesto. este p´endulo compuesto posee un momento de inercia I, con respecto al punto de giro O, y su centro de masa se encuentra a una distancia d del punto de balanceo O. El peso act´ ua en el centro de masa y ejerce un torque con respecto al punto de giro dado por: τ = −mgdsenθ

(1.56)

donde utilizando la ecuaci´on del movimiento de rotaci´on tenemos: Iα = −mgdsenθ

13

(1.57)

Oscilaciones y Ondas 2

donde α = d2 θ es la aceleraci´on angular del movimiento de rotaci´on. Con la aproximaci´on de un ´angulo peque˜ no senθθ, la ecuaci´on del movimiento se convierte en: d2 θ

mgd θ=0 (1.58) I Ecuaci´on que muestra el comportamiento de un movimiento arm´onico simple con frecuencia angular: 2

+

s

mgd (1.59) I Es importante notar que un p´endulo simple es un caso particular de un p´endulo compuesto en el cual el momento de inercia es el de la masa colgando I = ml2 y el centro de masa se encuentra sobre la masa esto es d = l ω=

Ejemplo 9 Un disco solido de radio R puede colgarse de un extremo horizontal a una distancia h de su centro. Encontrar la longitud del p´endulo simple equivalente y la posici´on del eje para la cual el periodo es un m´ınimo. Soluci´ on: Para determinar la longitud del p´endulo simple equivalente debemos calcular el periodo del p´endulo e igualarlo al periodo de un p´endulo simple para determinar la longitud de este p´endulo simple que tiene el mismo periodo que el compuesto Para determinar el period del p´endulo compuesto primero el momento de inercia del disco con 2 respecto al centro de masa el cual es Ic = m R2 , donde m es la masa del disco, pero debido a que el disco no gira en su centro de masa si no a una distancia h del mismo, se debe aplicar el teorema de steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste en sumarle al momento de inercia del centro de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro de masa al punto de giro, esto es R2 + mh2 (1.60) 2 Luego se debe determinar d que es la distancia del centro de masa al punto de giro, la cual en este caso es h, de donde el periodo del p´endulo compuesto es: s
2 m R2 + h2 T = 2π (1.61) mgh I=m

periodo que se debe igualar al periodo de un p´endulo simple s s
R2 2 l 2 +h 2π = 2π gh g de donde l =

R2 2h

(1.62)

+ h, para determinar el valor m´aximo del periodo, lo derivamos con respecto a h

dT 2π 2gh2 − gR2 /2 − gh2 = r =0
R2 dh g 2 h2 2 2 +h 2 gh √ El valor de h para le cual el periodo es un m´ınimo es h = R/ 2

14

(1.63)

Oscilaciones y Ondas

1.5.3.

P´ endulo de torsi´ on

Otro ejemplo de movimiento oscilatorio es el p´endulo de torsi´on, el cual consiste en un objeto de momento de inercia I, con respecto a su centro de masa, este objeto esta colgado por su centro de masa por un alambre, al girar este cuerpo un a´ngulo θ, el sistema ejerce un torque que tiende a regresar el sistema a su estado de equilibrio, este torque es proporcional al ´angulo θ τ = −ktor θ, donde ktor es la constante de torsi´on del alambre que soporta el cuerpo. La ecuaci´on del movimiento del cuerpo es entonces:

Figura 1.9: Esquema de un p´endulo de torsi´on

d2 θ d2 θ ktor = −k θ o ´ + θ (1.64) tor dt2 dt2 I que on de un qmovimiento arm´onico simple con frecuencia angular q es la ecuaci´ ω = ktor /I y periodo P = 2π I/ktor I

Ejemplo 10 Un p´endulo de torsi´on consiste en bloque rectangular de madera de 8cm×12cm×3cm con una masa de 0,3Kg suspendido por medio de un alambre que pasa a trav´es de su centro y de modo que el lado m´as corto es vertical. El periodo de oscilaci´on es 2,4s . ¿Cual es la constante de torsi´ on ktor del alambre?. 2

2

+0,12 Soluci´ on: El momento de inercial del bloque rectangular es I = 0,3Kg 0,08 12 m2 = 5,2 × −4 2 10 Kg m , por tanto el periodo de oscilaci´on del p´endulo es s 5,2 × 10−4 Kgm2 2,4s = 2π ktor = 3,56 × 10−3 N m/rad (1.65) ktor

15

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.10: Esquema del p´endulo de torsi´on con un bloque rectangular

1.5.4.

P´ endulo cicloidal

Dentro de los modelos de p´endulo existe un p´endulo en el cual su periodo no depende de la amplitud, el cual es conocido como p´endulo cicloidal, uno de los modelos de p´endulo cicloidal consiste de dos curvas cicloides entre las cuales se coloca un p´endulo simple, para construir una curva cicloidal se toma un punto en un borde de un circulo 4 y se rueda la curva 3.5 resultante es una cicloide figura 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 Figura 1.11: Construcci´ cicloide -2 -1 0 1 2 on de 3 una 4 curva 5 6 7 positiva

las ecuaciones de est´a curva son x = a (φ − senφ), y = a (1 − cosφ), en el caso del p´endulo cicloidal como el de la figura 1.5.4 est´a curva es hacia abajo por lo tanto est´as ecuaciones se modifican en: x = a (φ − senφ) y = a (cosφ − 1)

(1.66)

Para obtener el periodo de oscilaci´on de este pendulo utilizaremos el enfoque de las energ´ıas el cual parte del hecho de que la energ´ıa total es constante. La energ´ıa total de la part´ıcula es la suma de su energ´ıa potencial y su energ´ıa cin´etica, esto es: 16

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.12: Esquema de un p´endulo cicloidal



1 dx E = Ec + Ep = m  2 dt

!2

dy + dt

!2   + mgy

(1.67)

donde utilizando la definici´on de la curva cicloide 1.67, obtenemos la energ´ıa total como: 

dφ E = ma (1 − cosφ)  dt

!2



a − g

(1.68)

pero en este caso la oscilaci´on es arm´onica simple pero en la longitud, por lo r tanto debemos expresar est´a ecuaci´on en t´erminos de la longitud s (φ) = Rφ 0



dx dφ0

2

+



 dy 2 dφ0 , 0 dφ

llegando a:

dφ (1.69) dt al remplazar este valor en la energ´ıa obtenemos la energ´ıa como una funci´on de la longitud de la curva: s (φ) = 2asen (φ/2)

!2

ds mgs2 1 + E= m (1.70) 2 dt 8a Recordando que la energ´ıa es una constante, su derivada es igual a cero llegando a: dE ds d2 s mg ds d2 s g =m + s = 0 o ´ + s=0 (1.71) 2 2 dt dt dt 4a dt dt 4a La cual esquna ecuaci´on que describe un movimiento onico simple de frecuencia q arm´ angular ω = g/4a, o periodo de oscilaci´on P = 2π 4a/g 17

Oscilaciones y Ondas

1.6.

Combinaci´ on de movimientos arm´ onicos

A menudo se combinan movimientos arm´onicos simples en igual direcci´on como en direcci´on perpendicular. El movimiento resultante es la suma de las oscilaciones independientes, en primera medida consideremos el caso en el cual los dos movimientos tienen igual direcci´on, y denotaremos esta direcci´on como x, la ecuaci´on 1.9 describe una oscilaci´on arm´onica luego las ecuaciones

x1 (t) = A1 sen (w1 t + φ1 ) x2 (t) = A2 sen (w2 t + φ2 ) ,

(1.72)

describen dos movimientos arm´onicos simples en la misma direcci´on en este caso x, por lo tanto el movimiento resultante de la combinaci´on de estos dos movimientos es la suma x (t) = x1 (t) + x2 (t) = A1 sen (w1 t + φ1 ) + A2 sen (w2 t + φ2 )

(1.73)

para obtener la suma de estos dos movimientos, se pueden utilizar dos m´etodos el anal´ıtico y el gr´afico, el anal´ıtico est´a basado en las identidades trigonom´etricas y el m´etodo gr´afico est´a basado en la analog´ıa entre el movimiento oscilatorio y el movimiento circular, lo cual es conocido como t´ecnica de fasores, en nuestro desarrollo utilizaremos el m´etodo gr´afico De la figura 1.6 y utilizando el teorema del coseno se obtienen la amplitud del movimiento resultante de los dos movimientos. A=

q

A21 + A22 + 2A1 A2 cos [(w2 − w1 ) t + (φ2 − φ1 )]

(1.74)

Existe un caso especial en el cual φ1 = φ2 , la amplitud se reduce a: A=

q

A21 + A22 + 2A1 A2 cos [(w2 − w1 ) t]

(1.75)

En este caso la amplitud cambia entre los valores A1 +A2 y A2 −A1 , dependiendo de los valores de las frecuencias, para el caso en el cual (w2 − w1 ) t = 2nπ, las amplitudes se suman, y en el caso en el cual (w2 − w1 ) t = (2n + 1) π se restan, como la amplitud cambia con la frecuencia se dice que la amplitud se encuentra modulada, estos cambios en la amplitud producen como consecuencia fluctuaciones en la intensidad de un sonido llamadas pulsaciones. La frecuencia con la cual cambia la amplitud esta dada por: fp = (w2 − w1 ) /2π

(1.76)

y es la frecuencia es la frecuencia de pulsaci´on, para el caso especial en el cual las amplitudes de los movimientos son iguales esto es A1 = A2 , llegamos a

18

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.13: Diagrama de fasores para la combinaci´on de movimientos arm´onicos de igual direcci´on

1 + cos [(w2 − w1 ) t] = A1 2 (1 + cos [(w2 − w1 ) t)] = 2A1 cos (w2 − w1 ) t A= 2 (1.77) Sumando los movimientos arm´onicos de las ecuaciones 1.73, cuando tienen la misma frecuencia y utilizando la identidad trigonom´etrica sen(A) + sen(B) = 2 cos 12 (A − B)sen 12 (A + B), llegamos a: q

2A21



q

2A21

1 1 (w2 − w1 ) t sen (w2 + w1 ) t (1.78) 2 2 La gr´afica de x en funci´on del tiempo para los casos en los cuales las amplitudes son diferentes siendo mayor la amplitud de la de x1 , amplitudes iguales y amplitudes diferentes siendo mayor la amplitud de x2 , se muestran en la figura 1.6 , en la cual se puede observar que cuando la amplitud de x2 es mayor que la amplitud de x1 , se produce un solapamiento. Es importante aclarar que se ha supuesto que la frecuencia de x2 es mayor que la frecuencia de x1 Cuando las frecuencias de los dos movimientos son iguales la amplitud del movimiento resultante descrita por la ecuaci´on 1.75, se puede escribir como: 







x = 2A1 cos

A=

q

A21 + A22 + 2A1 A2 cos (φ2 − φ1 )

(1.79)

para obtener la fase del movimiento resultante se debe recordar que este es la suma de los movimientos x1 y x2 , p`or lo tanto la suma de las componentes en x0 y y 0 de estos 19



Oscilaciones y Ondas

Figura 1.14: Combinaci´on de movimientos arm´onicos de frecuencias diferentes cuando: ω2 > ω1 y (a) A1 > A2 , (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2 .

dos movimientos debe ser igual a las componentes en x0 y y 0 de movimiento resultante donde x0 y y 0 , se ilustran en la figura 1.6,de acuerdo con esto se tiene:

Asenφ = A1 senφ1 + A2 senφ2 A cos φ = A1 cos φ1 + A2 cos φ2 ,

(1.80)

resultando con esto que: tan φ =

A1 senφ1 + A2 senφ2 A1 cos φ1 + A2 cos φ2

(1.81)

La ecuaci´on que describe el comportamiento del movimiento resultante esta dada por: x = Asen (ωt + φ) , donde A y φ est´an descritos por las ecuaciones 1.79 y 1.81.

20

(1.82)

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.15: Diagrama de fasores para la combinaci´on de dos movimientos arm´onicos de igual frecuancia

1.6.1.

Combinaci´ on de dos movimientos perpendiculares

Analizaremos a continuaci´on el caso en el cual los dos movimientos implicados son perpendiculares entre, que un movimiento se encuentra en la direcci´on x y el otro se encuentra en la direcci´on y, en este caso lo interesante es determinar la trayectoria del movimiento resultante, en primera instancia analizaremos cuando los dos movimientos tienen la misma frecuencia, las ecuaciones que describen cada uno de los movimientos son: x = Asen (ωt + φ1 )

y = Bsen (ωt + φ2 )

(1.83)

Si despejamos ωt de la primera ecuaci´on y la remplazamos en la segunda ecuaci´on obtenemos: x + (φ2 − φ1 ) (1.84) y = Bsen sen A Desarrollando es con ayuda de la identidad trigonom´etrica sen(A + B) = sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A), se obtiene: 

−1







y x x = cos(δ) + cos sen−1 B A A 

21





sen (δ)

(1.85)

Oscilaciones y Ondas donde δ = φ2 − φ1 , pero cos(M ) =

q

1 − sen2 (M ), llegando finalmente a:

y 2 2xy cos δ x 2 + − = sen2 δ (1.86) A B AB lo cual corresponde a una elipse que hace un ´angulo con los ejes como la ilustrada en la figura 1.6.1 







x 2/9+y 2/1-2 cos( /6) x y/3-(sin( /6))2 = 0

Figura 1.16: Trayectoria del movimiento resultante de la combinaci´on de dos movimientos perpendiculares

En el caso en el cual las amplitudes de los movimientos son iguales A = B, la trayectoria de los movimientos es un circulo, cuando las fases iniciales de los dos movimientos x, en el caso en el cual la son iguales φ1 = φ2 , se obtiene una l´ınea recta dada por y = B A diferencia entre las fases iniciales es π, la trayectoria resultante es una recta y = − B x, A los dos casos correspondientes a l´√ ıneas rectas son movimientos arm´onicos simples, con frecuencia angular ω y amplitud A2 + B 2 . para obtener la direcci´on del movimiento se deben derivar las posiciones en x y y para obtener la componentes de la velocidad, con estas componentes de la velocidad se eval´ ua en cualquier punto de la trayectoria para as´ı determinar la direcci´on del movimiento. En el caso de tener frecuencias diferentes se obtienen unas figuras conocidas como figuras del Lissajous, para ilustrar la construcci´on de las mismas utilizaremos la t´ecnica de fasores, las ecuaciones para dos movimientos arm´onicos simples perpendiculares de diferentes frecuencias son: x = Asen (ω1 t + φ1 )

y = Bsen (ω2 t + φ2 )

(1.87)

Tomemos como ejemplo el caso en el cual ω1 = 43 ω2 , φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1 y B = 2 la relaci´on entre las fases describe por ejemplo que cuando x recorre 3o , y recorre 4o , donde la construcci´on se muestra en la figura 1.6.1 Ejemplo 11 Encontrar la ecuaci´on de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimientos arm´ onicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4senωt y y = 3sen (ωt + α), cuando 22

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.17: Construcci´on de una figura de Lissajous cuando ω1 = φ1 = 0, φ2 = π/6, A = 1 y B = 2

3 ω, 4 2

α = 0, π/2 y π. Hacer un gr´ afico de la trayectoria de la part´ıcula en cada caso y se˜ nalar el sentido en el cual viaja la part´ıcula. Soluci´ on: despejando de la primera de estas ecuaciones tenemos senωt = x/4, que al remplazarlo en la segunda de las ecuaciones tenemos r y x x2 = cosα + 1 − senα (1.88) 3 4 16 para α = 0 y = 2

x 16

2

3 4 x,

lo cual corresponde a una l´ınea recta de pendiente positiva, para α = π/2

y 9

+ = 1, que representa una elipse, y para α = π y = − 34 x, que corresponde a una l´ınea de pendiente negativa. Para la direcci´ on de la trayectoria de la combinaci´on de los movimientos, se deben obtener las componentes de las velocidades, es decir vx = 4ωcosωt y vy = 3ωcos (ωt + φ), para x = 0 se tiene que ωt = 0, en este caso: vx = 4ω   α = 0 vy = 3ω α = π/2 vy = 0 (1.90) vy = 3ωcosα  α = π vy = −3ω

23

(1.89)

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.18: Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de α

1.7.

Movimiento Amortiguado

Todos los sistemas oscilantes descritos, poseen perdida de energ´ıa a causa de la fricci´on; por ejemplo un p´endulo simple despu´es de algunas oscilaciones disminuye la amplitud de sus oscilaciones, este tipo de movimiento en el cual se considera la disminuci´on de la amplitud Fig. es el movimiento oscilatorio amortiguado. En los fluidos como el aire, la fuerza de amortiguamiento a bajas velocidades se considera proporcional a la velocidad del objeto −λv, donde λ es una constante que depende de la viscosidad del medio y de la forma del objeto, por ejemplo para un objeto esferico de radio R, esta dada por λ = 6πηR, donde η es la viscosidad del medio. Para el caso de medias y altas velocidades, esta fuerza en el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad. Para ilustrar el movimiento oscilatorio amortiguado, consideremos un cuerpo unido a un resorte que se mueve en un fluido, en este caso las fuerzas que actuan sobre el cuerpo son la de restauraci´ on del resorte y la de amortiguamiento; la ecuaci´on del movimiento del cuerpo es: m

d2 x = −λv − kx, dt2

(1.91)

que puede ser escrita como: d2 x k λ dx + + x=0 (1.92) 2 dt m dt m La energ´ıa que se disipa debido a la fuerza de amortiguamiento se puede calcular multiplicando 2 la fuerza por la velocidad esto es dE a energ´ıa es dt = −λvv = −λv , lo cual quiere decir que est´ m´ axima cuando la velocidad es m´ axima. La soluci´on de esta ecuaci´on resultante puede ser obtenida de dos formas una es notando la forma de exponencial decreciente en la amplitud de las oscilaciones amortiguadas, tomando en este caso la soluci´on en la forma: x (t) = Ae−γt sen (ωA t + φ)

(1.93)

Donde se deben determinara la constante de amortiguamiento γ y la frecuencia de oscilaci´on con amortiguamiento, calculando la primera y segunda derivadas de (1.93) y remplazando en (1.92), se obtiene: dx dt

= −Aγe−γt sen (ωA t + φ) + ωA Ae−γt cos (ωA t + φ)

24

(1.94)

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.19: Amplitud de una oscilaci´on subamortiguada en funci´on del tiempo d2 x dt2

= Aγ 2 e−γt sen (ωA t + φ) − 2AγωA e−γt cos (ωA t + φ) 2 −ωA Ae−γt sen (ωA t + φ)



2 γ 2 − ωA −

k λγ + m m



  λ Ae−γt sen (ωA t + φ) + −2γωA + ωA Ae−γt cos (ωA t + φ) = 0 m

(1.95)

Donde surgen las condiciones: k λγ + m m λ −2γωA + ωA m

2 γ 2 − ωA −

=

0

=

0

(1.96)

De donde se obtienen los valores de γ y ωA :

γ ωA

λ 2m r q k λ2 = − = ω02 − γ 2 m 4m2

=

(1.97)

Otro m´etodo para la soluci´ on de la ecuaci´on diferencial (1.92) es el m´etodo para la soluci´on de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, el cual consiste en tomar una soluci´ on de la forma est y remplazarla en la ecuaci´on con sus respectivas derivadas, lo que convierte la ecuaci´ on (1.92) en: s2 +

λ k s+ =0 m m

(1.98)

cuya soluci´ on para s es: s=−

λ ± 2m

q

25

γ 2 − ω02

(1.99)

Oscilaciones y Ondas Con estos valores de s se pueden obtener tres soluci´on, las cuales tienen significados f´ısicos diferentes, para el caso en el cual ω0 > γ, el p movimiento oscilatorio de denomina subamortiguado y en este caso los valores de s son s = −γ ± i ω02 − γ 2 , donde las soluciones complejas producen funciones sinusoidales de la forma (1.95). Cuando γ = ω0 , las oscilaciones se llaman cr´ıticamente amortiguadas y en este caso las soluciones para s son s = −γ y la soluci´on de la amplitud de las oscilaciones es: x (t) = (At + B) e−γt

(1.100)

Para el caso en el cual γ > ω0 , las soluciones son reales y no se producen oscilaciones, en este caso cuando se pone a oscilar la amplitud decaer´a r´apidamente sin producir oscilaciones, los valores de s, est´ an dados por (1.99) y x (t) como:

√ √ −γ− γ 2 −ω02 t −γ+ γ 2 −ω02 t + Be (1.101) x (t) = Ae

Ejemplo 12 Encontrar la ecuaci´on del movimiento para una oscilaci´on sub amortiguada cuyas posici´ on y velocidad inicial son x0 y v0 . Soluci´ on: Las ecuaciones de la posici´on y velocidad en este caso son: x = Ae−γt sen (ωt + φ) v = −A−γt sen (ωt + φ) + A−γt cos (ωt + φ) Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones: x0 = Asenφ v0 = −Aγsenφ + Aωcosφ, remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuaci´on obtenemos ωx0 cosφ senφ x0 ω tanφ = , v0 + γx0

v0 = −γx0 +

lo angulo con lados opuesto y adyacente x0 ω y v0 + γx0 e hipotenusa q cual corresponde a un ´ 2 2 2 x0 ω + (v0 + γx0 ) , de esta forma la amplitud se convierte en q 2 x20 ω 2 + (v0 + γx0 ) x0 A= = senφ ω Obteniendose finalmente la ecuaci´ on del movimiento como: q    2 x20 ω 2 + (v0 + γx0 ) −γt x0 ω x (t) = e sen ωt + tan−1 ω v0 + γx0

(1.102)

Ejemplo 13 Encontrar la ecuaci´on del movimiento para una oscilaci´on criticamente amortiguado cuyas posici´ on y velocidad inicial son x0 y v0 . Soluci´ on: Las ecuaciones de la posici´on y velocidad en este caso son: x = (At + B) e−γt v = Ae−γt − γ (At + B) e−γt = (A − γB − γAt) e−γt Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:

26

Oscilaciones y Ondas

x0 = B v0 = (A − γB) , remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuaci´on obtenemos A = γx0 + v0 Obteniendose finalmente la ecuaci´ on del movimiento como: x (t) = ((γx0 + v0 ) t + x0 ) e−γt

Ejemplo 14 Encontrar la ecuaci´on del movimiento para una oscilaci´on sobre amortiguado cuyas posici´ on y velocidad inicial son x0 y v0 . Soluci´ on: Las ecuaciones de la posici´on y velocidad en este caso son:

√ √ −γ− γ 2 +ω02 t −γ+ γ 2 +ω02 t + Be x = Ae    
q q √ −γ+ γ 2 +ω02 t 2 2 2 2 v = A −γ + γ + ω0 e + B −γ − γ + ω0 e

√

−γ−




γ 2 +ω02 t

Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones: x0 = A + B     q q v0 = A −γ + γ 2 + ω02 + B −γ − γ 2 + ω02 , remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuaci´on obtenemos p v0 − x0 γ + x0 γ 2 + ω02 p A= 2 γ 2 + ω02 y p = v0 + x0 γ + x0 γ 2 + ω02 p B= 2 γ 2 + ω02 Obteniendose finalmente la ecuaci´ on del movimiento como: p v0 − x0 γ + x0 γ 2 + ω02 p e x (t) = 2 γ 2 + ω02

1.8.

√

−γ+




γ 2 +ω02 t

p v0 + x0 γ + x0 γ 2 + ω02 p e + 2 γ 2 + ω02

−γ−

√




γ 2 +ω02 t

Oscilaciones Forzadas

Las oscilaciones forzadas son otro tipo de oscilaciones, en las cuales una fuerza externa, que genera las oscilaciones, supongamos nuevamente el caso de un resorte al cual se le aplica una fuerza externa Fe = F0 cosωf t, en este caso la ecuaci´on 1.92 se modifica en: d2 x λ dx k F0 + + x= cosωf t 2 dt m dt m m 27

(1.107)

Oscilaciones y Ondas En este caso las oscilaciones son producidas por la acci´on de la fuerza externa por tal motivo el movimiento arm´onico simple con frecuencia ωf , es decir: x (t) = Asen (ωf t + α) ,

(1.108)

donde en este caso se deben determinar la amplitud A y la fase α del movimiento, con esta soluci´on la ecuaci´on (1.108), se convierte en: − Aωf2 sen (ωf t + α) +

kA F0 Aωf λ cos (ωf t + α) + sen (ωf t + α) = cos (ωf t) (1.109) m m m

Con la ayuda de las identidades trigonom´etricas sen (ωf t + α) = sen (ωf t) cos (α) + cos (ωf t) sen (α) y cos (ωf t + α) = cos (ωf t) cos (α) + sen (ωf t) sen (α), esta ecuaci´on puede ser escrita como: Aωf λ senα + − m Aωf λ −Aωf2 senα + cosα + m −Aωf2 cosα

!

kA cosα senωf t + m ! kA F0 senα − cosωf t = 0, m m

(1.110)

de donde se obtienen las dos condiciones: Aωf λ kA senα + cosα = 0 m m kA F0 Aωf λ cosα + senα − = 0 −Aωf2 senα + m m m − Aωf2 cosα −

(1.111)

De la primera de las ecuaciones (1.112), se tiene: m tanα = λωf

k − ωf2 m

!

=

ω02 − ωf2 2γωf

(1.112)

Esta expresi´on para la tanα, puede ser representada mediante un tri´angulo como el de la figura1.20, a partir de la cual se pueden obtener las expresiones para el senα y el cosα La segunda expresi´on de (1.112), se convierte en: ω02 − ωf2 r

ω02

−

ωf2

2

+



4γ 2 ωf2

2γωf



ω02 − ωf2 A + r

ω02

−

ωf2

2

A2γωf = +

4γ 2 ωf2

F0 m

(1.113)

de donde A = r

F0 /m ω02 − ωf2 28

2

+ 4γ 2 ωf2

(1.114)

Oscilaciones y Ondas

Figura 1.20: Representaci´on geom´etrica del a´ngulo α De esta expresi´on, se puede observar que la amplitud tiene una dependencia de ωf , adem´as esta amplitud es m´axima cuando el denominador de (1.114) es m´ınimo, lo cual ocurre cuando ω0 = ωf , es decir que la frecuencia forzada es igual a la frecuencia propia del sistema, en este caso se dice que el sistema se encuentra en resonancia y la frecuencia a la cual s presenta este fen´omeno de denomina frecuencia de resonancia, un ejemplo simple de resonancia se presenta cuando se columpia un ni˜ no, el sistema puede ser considerado como un p´endulo el cual posee una frecuencia propia del sistema, en este caso la fuerza externa es la proporcionada por la persona que impulsa el ni˜ no, cuando la frecuencia de la fuerza impulsadora coincide con la frecuencia propia del sistema la amplitud del ni˜ no es mayor. La velocidad con la cual se mueve el objeto al cual se le aplica la fuerza externa es: v = Aωf cos (ωf t + α)

(1.115)

La velocidad m´axima es: v = Aωf = r

F0 ωf /m ω02 − ωf2

2

=q

+ 4γ 2 ωf2

F0 λ2 + (mωf − k/ωf )2

(1.116)

El valor m´as alto de esta velocidad m´axima, ocurre cuando ω0 = ωf , es decir cuando el sistema se encuentra en resonancia, en este caso la energ´ıa cin´etica presenta su m´aximo valor, lo que demuestra que en resonancia la transferencia de energ´ıa es m´axima. El cociente de la velocidad m´axima es la impedancia Z, es decir; Z=

q

λ2 + (mωf − k/ωf )2 ,

(1.117)

impedancia que a su vez esta compuesta de la resistencia R = λ y la reactancia X = mωf − k/ωf , por tanto tanα = X/R. En el caso en el cual se encuentra en resonancia X = 0, lo que implica que α = 0, en este caso el factor Q = cos2 α = 1, el cual se denomina factor de calidad y su valor es m´aximo cuando se encuentra en resonancia es decir se produce la mayor transferencia de energ´ıa. La velocidad puede ser escrita como: v=

F0 cos (ωf t + α) Z 29

(1.118)

Oscilaciones y Ondas La potencia que es la energ´ıa transferida por unidad de tiempo, que tambi´en es m´axima en resonancia est´a dada por:  F02  2 F02 cos (ωf t + α) cosωf t = cos ωf tcosα − senωf tcosωf tsenα (1.119) P = Fv = Z Z

La potencia promedio es entonces F2 P¯ = 0 cosα Z

(1.120)

Ejemplo 15 Un ni˜no juega con un resorte de constante k = 20 N/m, longitud natural l0 = 5 cm y fricci´ on despreciable del cual cuelga una masa m = 200 g, sujetando el otro extremo del resorte entre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El ni˜ no agita la mano arriba y abajo, con una amplitud A = 2 cm y una frecuencia ω. Determine la posici´on de la pesa, si esta oscila con la misma frecuencia que la mano. ¿En qu´e condiciones la pesa llegar´a a golpearle la mano? El movimiento de la pesa es vertical, de forma que podemos usar una sola dimensi´on. Sea Y la direcci´on vertical y hacia abajo, medida desde la posici´on central de la mano, de forma que ´esta ocupa la posici´on y1 = c cos(ωt), Obs´ervese que ω es una frecuencia arbitraria (la que quiera darle el ni˜ no al mover su mano) y no tiene por qu´e coincidir con la que tendr´ıa el resorte si oscilara libremente (frecuencia natural) r ω 6= ω0 =

rad k = 10 m s

La pesa est´a sometida a la acci´on de dos fuerzas: su propio peso y la fuerza el´astica ejercida por el resorte.

Figura 1.21: Movimiento de una pesa por un ni˜no

F = mg − k(y − y1 − l0 ),

siendo l0 la longitud natural del resorte (que aqu´ı debemos tener en cuenta porque queremos ver en qu´e caso el resorte se encoge del todo). La cantidad y1 aparece porque la ley de Hooke es dependiente del estiramiento total del resorte, y ´este depende tanto de la posici´on inicial como de la final.La ecuaci´ on de movimiento para la pesa es entonces d2 y = mg − k(y − y1 − l0 ) dt2 Sustituyendo y1 nos queda la ecuaci´on de movimiento m

m

d2 y + ky = mg + kl0 + kc cos(ωt) dt2

30

Oscilaciones y Ondas Sabemos que la pesa oscila con la misma frecuencia que la mano del ni˜ no. Estas oscilaciones las har´ a en torno a una cierta posici´ on de equilibrio, as´ı que la soluci´on la podemos escribir en la forma y = y0 + Asen(ωt + φ), donde y0 (la posici´ on central de las oscilaciones), A es la amplitud que hay que determinar.Sustituyendo en la ecuaci´ on de movimiento y nos queda −Amω 2 senωt cos φ − Amω 2 cos ωtsenφ + ky0 + kAsenωt cos φ + kA cos ωtsenφ − mg − kl0 = kc cos(ωt) Si est´ a ecuaci´ on debe cumplirse en todo instante, el coeficiente del coseno, el del seno, y el del t´ermino independiente deben ser iguales a un lado y a otro de la igualdad. Esto nos da tres ecuaciones: mg + l0 , k r k 2 −Amω cos φ + kA cos φ = 0 ⇒ ω = , m ky0 − mg − kl0 = 0 ⇒ y0 =

−Amω 2 senφ + kAsenφ = kc ⇒ A =

cω02 ω02 − ω 2

El desfase φ, depende de si la frecuencia es menor o mayor que la frecuencia natura. Si ω < ω0 implica que φ = π/2, y la pesa oscila en fase con la mano, cuando la mano sube, la pesa sube, y si baja, la pesa baja. Si ω > ω0 implica que φ = −π/2, y la pesa oscila en contrafase con la mano: cuando la mano sube, la pesa baja, y viceversa. Con lo que la soluci´ on para la posici´on de la pesa es  mg  cω 2 π y0 = + l0 + 2 0 2 sen(ωt ± ) k ω0 − ω 2 Resulta que la posici´ on central es la misma que si no hubiera oscilaciones de la mano mg + l0 = 14,8cm k Esta amplitud tiene un m´ aximo (te´ oricamente infinito), justo a la frecuencia natural.A muy bajas frecuencias la amplitud coincide con al de oscialci´on de la mano (ya que ´esta se mueve tan despacio que la pesa simplemente la sigue arriba y abajo). A altas frecuencias, la vibraci´on de la mano es tan r´ apida que la pesa no es capaz de seguirla y su amplitud de oscilaci´on tiende a 0. La pesa chocar´ a con la mano cuando la posici´on de la pesa y la posici´on de la mano coincidan, esto es cω02 sen(ωt ± π ) = c cos(ωt) y = y1 ⇒ y0 + 2 2 ω0 − ω 2 y0 =

Para que este choque se produzca, la amplitud de oscilaci´on debe ser lo suficientemente grande, lo cual solo ocurre cerca de la frecuencia propia (o frecuencia de resonancia). Habr´a entonces una frecuencia m´ınima a la cual se producir´a este choque, y tambi´en una frecuencia m´axima. Si la frecuencia es menor que la frecuencia propia, la pesa oscila en fase con la mano, esto es, que si la mano sube la pesa tambi´en, y lo mismo si baja. Pero, dependiendo de la frecuencia, la amplitud de estas oscilaciones ir´ a aumentando, y la frecuencia m´ınima se alcanzar´a cuando la pesa toque una sola vez a la mano. Esta colisi´ on, de producirse, ocurrir´a cuando la mano est´e en su punto m´as alto, momento en que la pesa tambi´en estar´ a en su punto superior. Esto ocurre para t = nT + T /2. y0 −

kc = −c k − mω 2

31

Oscilaciones y Ondas y obtenemos la frecuencia l´ımite s r kc k y0 ωmin = − = ω0 = 9,39rad/s m m(y0 + c) y0 + c Seg´ un hemos dicho cuando la frecuencia es mayor que la frecuencia natural, la pesa oscila al rev´es que la mano, si una sube, la otra baja. A frecuencias altas , la pesa nunca llega a la altura de la mano. La posici´ on extrema en que se produce la colisi´on es aquella en que la mano est´a en su punto m´ as bajo, y la pesa en su punto m´ as alto. Esto ocurre en t = nT y0 +

kc =c k − mω 2

lo que nos da la frecuencia s ωmax =

1.8.1.

k kc + = ω0 m m(y0 − c)

r

y0 = 10,75rad/s y0 − c

Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie

Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una inductancia L, conectadas en serie y alimentados por una fuente de tensi´on de corriente alterna V0 cosωt, como el de la figura , la diferencia de potencial para la resistencia, el condensador y el inductor en funci´on de la carga Q y la corriente I son:

Figura 1.22: Circuito RLC en serie con fuente de tensi´on de alterna

VL = L dI , dt

VC =

Q , C

VR = IR

De acuerdo con la ley de Ohm la suma de los potenciales en un lazo cerrado debe ser cero, esto es: L

dI Q + RI + = V0 cos(ωf t) dt C

donde la relaci´on entre la carga y la corriente es I = (1.121) se convierte en: L

(1.121) dQ , dt

d2 Q dQ Q +R + = V0 cos(ωf t) 2 dt dt C 32

con lo que la ecuaci´on

(1.122)

Oscilaciones y Ondas esta ecuaci´on es similar a la ecuaci´on (), realizando una analog´ıa tenemos que m es an´alogo a L, R es an´alogo a λ, k es an´alogo a 1/C y V0 es an´alogo a F0 . La soluci´on en este caso es de la forma: Q (t) = Asen (ωf t + α)

(1.123)

donde tanα =

ω02 − ωf2 2Rωf

(1.124)

donde s

ω0 =

1 LC

(1.125)

de igual forma: A = r

V0 /L ω02

−

ωf2

2

+

(1.126) 4R2 ωf2

Para el caso de no existir fuente de potencial el sistema se comporta como un q R 2 oscilador amortiguado, donde γ = 2L y ωA = ω0 − γ 2 . Cuando R = 0, el sistema se un oscilador de frecuencia ω0 . Para buscar la expresi´on de la energ´ıa que se conserva en el caso del circuito, comparamos las ecuaciones del oscilador mec´anico y del circuito. Si recordamos que en el oscilador mec´anico la energ´ıa potencial el´astica es 1 Ep = kx2 2 la analog´ıa nos lleva a identificar la energ´ıa

(1.127)

Q2 (1.128) 2C Esta es la energ´ıa potencial electrost´atica. Est´a asociada a la carga el´ectrica almacenada en las placas del condensador. Para buscar el an´alogo a la energ´ıa cin´etica, establecemos la analog´ıa entre la velocidad y la intensidad de corriente. As´ı pues, por analog´ıa con la energ´ıa cin´etica llegamos a la energ´ıa Ee =

1 Em = LI 2 (1.129) 2 Esta es la energ´ıa magn´etica. Est´a asociada al campo magn´etico producido por la corriente el´ectrica. En el oscilador mec´anico, la energ´ıa mec´anica es la suma de la potencial el´astica y la cin´etica. En el circuito, definimos una energ´ıa total como la suma de la energ´ıa potencial electrost´atica y la magn´etica

33

Oscilaciones y Ondas

Q2 1 2 + LI (1.130) 2C 2 Al igual que en el caso mec´anico, esta energ´ıa se conserva. El comportamiento del circuito puede entenderse como un intercambio entre la energ´ıa el´ectrica y la magn´etica. E = Ee + Em =

1.9.

Problemas

1. Una part´ıcula de masa m, se mueve a lo largo del eje X bajo la acci´on de la fuerza F = −kx. Cuando t = 2s, la part´ıcula pasa a trav´es del origen, y cuando t = 4s, su velocidad es de 4m/s. Encontrar la ecuaci´on de la elongaci´on y demostrar que √ la amplitud del movimiento es 32 2/π, cuando el periodo de oscilaci´on es de 16s. 2. Una part´ıcula de masa m, unida a un resorte, se mueve con movimiento arm´onico simple, cuando t = 2s, la aceleraci´on de la part´ıcula es 3m/s2 , y cuando t = 4s, la velocidad de la part´ıcula es 6m/s, si la longitud de onda de las oscilaciones es 0.5m, calcular la amplitud y la fase inicial del movimiento, si la longitud del resorte es 2m, y su masa es 200g, el resorte se estira una distancia de 2cm cuando se aplica una fuerza de 30N 3. Una part´ıcula con una masa de 0.5kg esta unida a un resorte de constante de fuerza 50 N/m. En el tiempo t = 0, la part´ıcula tiene su m´axima rapidez de 20m/s y se mueve a la izquierda. (a) Determine la ecuaci´on del movimiento de la part´ıcula, especificando su posici´on del tiempo. (b) 34

¿En qu´e parte del movimiento es la energ´ıa potencial tres veces la energ´ıa cin´etica?. (c) Encuentre la longitud de un p´endulo simple que tenga el mismo periodo de oscilaci´on. 4. Una masa m = 2,5 kg cuelga del techo mediante un resorte con k = 90 N/m. Inicialmente, el resorte est´a en su configuraci´on no estirada y la masa se mantiene en reposo con su mano. Si en el tiempo t = 0, usted libera la masa, ¿Cual ser´a su posici´on como funci´on del tiempo?. 5. Una part´ıcula de masa 4kg est´a unida a un resorte de constante de fuerza 100N/m. Est´a oscilando sobre una superficie horizontal sin fricci´on con una amplitud de 2m. Un objeto de 6kg se deja caer verticalmente en la parte superior del objeto de 4kg, cuando pasa por la posici´on de equilibrio. Los dos objetos se quedan pegados. (a) cuanto cambia la amplitud, el periodo y la energ´ıa, del sistema vibratorio. 6. Una plancha horizontal oscila con movimiento arm´onico simple con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia

Oscilaciones y Ondas de 15 oscilaciones por minuto. Calcular el valor m´ınimo del coeficiente de fricci´on a fin de que un cuerpo colocado sobre la plancha no resbale cuando la plancha se mueve. 7. Un bloque de madera cuya densidad con respecto al agua es ρ, tiene dimensiones a, b y c. Mientras esta flotando en el agua con el lado a en forma vertical, se empuja hacia bajo y se suelta. Encontrar el periodo de la oscilaci´on resultante. 8. ¿Cu´al deb´ıa ser el porcentaje de cambio en la longitud de un p´endulo a fin de que tenga el mismo periodo cuando se le traslada de un lugar donde g = 9, 8m/s2 a una lugar en el cual g = 9, 81m/s2 ? 9. Una varilla de longitud L, un disco de igual masa que la varilla y de radio R, se coloca en el centro de la varilla, el sistema se pone a oscilar respecto a un eje horizontal que pasa por el extremo de la varilla, calcular el periodo de oscilaci´on del sistema. 10. Un cubo s´olido de lado a puede oscilar con respecto a una eje horizontal coincidente con un borde. Encontrar su per´ıodo de oscilaci´on. 11. Demostrar que para un oscilador amortiguado γ > ω0 , la soluci´on (γ+β)t de la elongaci´on es x = Ae q − +Be−(γ−β)t , donde β = γ 2 − ω02 . Encontrar los valores de A y B si se sabe que cuando t = 0 x = x0 y v = v0 . 12. Un carro consiste en un cuerpo de masa m y cuatro ruedas de masa M y radio R. El carro rueda, sin deslizarse, de ida y vuelta, sobre un 35

plano horizontal sin fricci´on bajo la influencia de un resorte unido a un extremo del carro. La constante del resorte es k. Teniendo en cuenta el momento de inercia de las ruedas calcular el periodo de oscilaci´on de ida y vuelta del carro. 13. El volante en un reloj es un oscilador de torsi´on con un periodo de 0,5s. Si el volante es esencialmente un aro de R = 1cm y su masa es m = 8g. ¿Cual es el valor de la constante de torsi´on?. 14. Un p´endulo f´ısico consiste en de un largo cono delgado suspendido por su a´pice. La altura del cono es L y el radio de su base es R.¿Cual es el periodo del p´endulo?. 15. Una varilla de longitud L oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por un extremo. Un cuerpo de igual masa que la varilla se ubica a una distancia h del eje. Obtener el periodo del p´endulo. 16. El movimiento de un p´endulo simpleqest´a descrito por θ = A cos (g/l)t . Encontrar la tensi´on del p´endulo como una funci´on del tiempo y calcular el valor m´aximo de esta tensi´on. 17. Encontrar la ecuaci´on de la trayectoria del movimiento resultante de la combinaci´on de dos movimientos arm´onicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 3sen (ωt) y y = 4sen (ωt + π/3). Hacer un gr´afico de la trayectoria y se˜ nalar el sentido en el que viaja la part´ıcula 18. Representar la trayectoria y se˜ nalar el sentido en el que viaja una part´ıcula sometida a la combinaci´on

Oscilaciones y Ondas de los movimientos arm´onicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones x = 3sen ((π/3)t + π/2) y y = 4sen ((π/6)t + π/3).

amortiguado se puede escribir como E = 12 mω02 A2 e−2γt (b) la potencia = Eτ . promedio disipada por P = dE dt

19. Encontrar la ecuaci´on resultante de la superposici´on de dos movimientos arm´onicos simples cuyas ecuaciones son x1 = 2sen (ωt + π/6) y x2 = 2 cos (ωt + π/3).

24. Un p´endulo de 1m de largo y cuya masa es de 0,6kg se coloca de modo que forma un a´ngulo de 15◦ con la vertical y luego se suelta. Calcular a) La velocidad, b) la aceleraci´on y c) la tensi´on en la cuerda cuando su desplazamiento angular es 5◦ .

20. Encontrar la ecuaci´on resultante de la superposici´on de dos movimientos arm´onicos simples cuyas ecuaciones son x1 = 2sen (ωt + π/6) y x2 = 2 cos (3ωt + π/3). 21. Un p´endulo simple cuando oscila en el vac´ıo tiene un periodo de oscilaci´on de 2s, cuando se introduce en un fluido y se suelta desde un a´ngulo inicial de 7o , despu´es de 10s la amplitud se reduce a 4,5o , cual es la nueva frecuencia de oscilaci´on y cual es la ecuaci´on de la elongaci´on como una funci´on del tiempo.

25. Un p´endulo simple tiene un periodo de 2s y una amplitud m´axima de 2◦ ; despu´es de 10 oscilaciones completas la amplitud se ha reducido a 5◦ encontrar la ecuaci´on correspondiente para el desplazamiento ?. 26. Un oscilador amortiguado se lanza con una velocidad inicial v0 desde una posici´on inicial x0 , calcular la posici´on ? en funci´on del tiempo, si el periodo es T

22. Un oscilador tiene un periodo de oscilaci´on sin amortiguamiento de 3s y al introducirlo en un fluido su periodo se reduce en un 25 %, cual es la constante de amortiguamiento si la masa del objeto es 500g. Obtener la ecuaci´on de la velocidad en el fluido si se deja oscilar con una velocidad inicial cero y una amplitud maxima de 2cm.

27. Demostrar que para un oscilador  1 ¯ ¯ , cuando la reforzado P = 2 P res actancia es igual la resistencia X = ±R. la diferencia (∆ω)1/2 , entre los dos valores de ωf para est´a situaci´on se denomina ancho de banda del oscilador y la relaci´on Q = ω/ (∆ω)1/2 se le conoce como factor de calidad. Demostrar que para un peque˜ no amortiguamiento (∆ω)1/2 = 2γ y por lo tanto Q = ω2γ0 .

23. En el caso de oscilador amortigua1 , se denomido, la cantidad τ = 2γ na tiempo de relajaci´on, suponer que para un oscilador amortiguado τ es mucho menor que ω0 , de modo que la amplitud permanece escencialmente constante durante una oscilaci´on. (a) Verificar que la energ´ıa del oscilador

28. Una varilla de masa m = 1kg y longitud L = 0,5m se hace oscilar alrededor de un eje horizontal que se encuentra a una distancia h = 0,2m del borde, a esta varilla se le aplica una fuerza oscilante de amplitud m´axima F0 = 10N y una frecuencia ωf = 2rad/s, si la constante λ = 0,5kg·m

36

Cap´ıtulo 2 Movimiento Ondulatorio 2.1.

Introducci´ on

Si en un punto de un medio material cualquiera (s´olido, l´ıquido o gas), se produce una perturbaci´on, que desplaza de su posici´on de equilibrio la part´ıcula situada en el mismo, como por ejemplo cuando se deja caer un objeto en el agua, la perturbaci´on no permanece localizada en el lugar que se produjo la perturbaci´on, sino que despu´es de cierto tiempo este se transmite a las part´ıculas circundantes. El proceso descrito anteriormente recibe el nombre de propagaci´on de una perturbaci´on. El lugar en el cual se produce la perturbaci´on se conoce como foco de la perturbaci´on, en el caso de la perturbaci´on sobre la superficie del agua, esta perturbaci´on produce ondas circulares con centro en el foco de la perturbaci´on. Cuando una perturbaci´on se propaga en una superficie o en el espacio, como por ejemplo el sonido, la intensidad disminuye r´apidamente al aumentar la distancia entre el punto del espacio y el foco de la perturbaci´on, es decir con amortiguamiento, este no es el caso de una pulsaci´on sobre una cuerda tensa, sobre la cual la perturbaci´on avanza una gran distancia sin experimentar una disminuci´on sensible en su intensidad. Cuando la part´ıcula sobre la que se produce la perturbaci´on, se desplaza de su posici´on de equilibrio, comienza a vibrar, produci´endose nuevas perturbaciones, las cuales en la mayor´ıa de los casos se amortiguan r´apidamente, de modo que al cabo de cierto tiempo el movimiento de la part´ıcula sobre la que se produjo la perturbaci´on cesa pr´acticamente, cabe aclarar que en la propagaci´on de una perturbaci´on no son las part´ıculas del medio las que se propagan desplaz´andose de un lugar a otro. En este caso lo que se propaga es la energ´ıa del foco de vibraci´on, conserv´andose en este caso las posiciones medias de las part´ıculas. Esta situaci´on pude ser observada, cuando se tiene un corcho flotando en el agua, en este caso las ondas pasan haciendo subir y bajar el corcho pero sin arrastrarlo con ellas, confirmando que las mol´eculas de agua no avanzan con las ondas.

37

Oscilaciones y Ondas

En el caso en el cual el foco y las part´ıculas circundantes vibran con movimiento arm´onico simple, el movimiento se conoce como ondulatorio y es el caso mas simple.

2.2.

Descripci´ on matem´ atica de la propagaci´ on

Consideremos una funci´on ψ (x), la cual describe una perturbaci´on inicial, en caso de cambiar la posici´on x, por la posici´on x − x0 , se obtienen la funci´on ψ (x − x0 ), funci´on que representa la misma funci´on de perturbaci´on, pero en este caso la funci´on ha sido desplazada hacia la derecha en caso de ser x0 positivo, de forma similar en el caso ψ (x + x0 ), se obtiene un desplazamiento hacia la izquierda. Si la posici´on x0 = vt, donde t es el tiempo y v es la velocidad de las ondas, la cual es conocida como velocidad de fase, se tiene dos ondas una onda que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda, de donde se concluye que una funci´on de la forma ψ (x ± vt)

(2.1)

describe una onda que ”viaja.o ”se propaga”sin deformaci´on en la direcci´on X, la funci´on ψ, puede representar diferentes cantidades f´ısicas, como por ejemplo, la deformaci´on de un solido, la deformaci´on de un resorte, la presi´on de un gas, un campo el´ectrico, un campo magn´etico, etc. Un caso muy com´ un y especialmente interesante es aquel en el cual la funci´on ψ (x, t), es una funci´on sinusoidal o arm´onica tal como: ψ (x, t) = ψ0 sen (kx − ωt)

(2.2)

donde k es el n´ umero de onda, que es el numero de longitudes de ondas que est´an contenidas en una distancia de 2π, λ, es la longitud de onda, es decir el periodo espacial, esto es la distancia a la cual la onda se repite a si misma, por lo tanto k = 2π/λ, ω es la frecuencia angular o c´ıclica de la onda, la cual se define como ω = 2πf , donde f es la frecuencia de la onda, que define cuantas veces se repite la onda en un segundo, un t´ermino similar es el periodo T , el cual es el inverso de la frecuencia, T = 1/f , el cual es el tiempo en el cual se repite a si misma la onda, no se debe confundir el periodo espacial λ y el periodo temporal T los cuales son diferentes f´ısicamente. Debido a que los campos asociados a un proceso f´ısico est´an gobernados por leyes din´amicas, las cuales pueden expresarse en forma de ecuaciones diferenciales, estamos en la necesidad de encontrar una ecuaci´on diferencial que sea aplicable a todo tipo de movimiento ondulatorio, por ende al investigar las derivadas, de la funci´on de onda, se obtendr´a esta ecuaci´on denominada ecuaci´on de onda, si en la ecuaci´on (2.1) realizamos el cambio de variables u = x ± vt, y utilizando la regla de la cadena obtenemos. ∂ψ ∂ψ ∂u ∂ψ = = (2.3) ∂x ∂u ∂x ∂u de forma similar la segunda derivada espacial pude ser obtenida en la forma 38

Oscilaciones y Ondas

2

∂



∂ψ ∂x



∂



∂ψ ∂x



∂ ψ ∂u ∂ 2ψ = = = (2.4) ∂x2 ∂x ∂u ∂x ∂u2 donde la derivada parcial ∂u = 1, de forma similar se obtiene la derivada temporal ∂x = ±v, con esto (±v)2 = v 2 , se con una peque˜ na diferencia en la derivada parcial ∂u ∂t obtiene la segunda derivada parcial temporal en la forma ∂ 2ψ ∂ 2ψ 2 = v (2.5) ∂t2 ∂u2 remplazando (2.4), en (2.5) se obtiene la ecuaci´on diferencial de ondas como 2 ∂ 2ψ 2∂ ψ = v ∂t2 ∂x2

2.3.

(2.6)

Ondas de presi´ on en una columna de gas

Consideremos una onda que se propaga a trav´es de un gas, por ejemplo una onda sonora, en este caso existen regiones en las cuales la presi´on del gas es ligeramente menor que la presi´on media del gas y regiones donde la presi´on del gas el ligeramente mayor que la presi´on media del gas, supongamos que P0 y ρ0 , la presi´on y densidad del gas en condiciones de equilibrio, las cuales en esta condici´on se mantienen en en todo el volumen del gas, para simplificar el an´alisis del problema, consideremos que el gas se encuentra encerrado en un tubo cil´ındrico figura1.5, en el caso de la propagaci´on de una onda la diferencia de presiones un peque˜ no volumen de espesor dx, se pone en movimiento figura1.5, de modo que el nuevo espesor del peque˜ no volumen es dx + dψ, debido al cambio que ocurre en el volumen la densidad del gas es modificada, pero por el principio de conservaci´on de la masa la masa antes ρ0 Adx y despu´es ρA (dx + dψ)de la deformaci´on deben ser iguales, de esta igualdad y despejando ρ, se obtiene: ρ=

ρ0 1 + ∂ψ/∂x

(2.7)

Realizando la divisi´on (desarrollo binomial) obtenemos: h

ρ = ρ0 1 − ∂ψ/∂x − (∂ψ/∂x)2 + (∂ψ/∂x)3 − · · ·

i

(2.8)

en caso de la deformaci´on ser peque˜ na, se pueden despreciar los t´erminos de orden superior quedando la expresi´on para la densidad finalmente como: ρ = ρ0 [1 − ∂ψ/∂x]

(2.9)

Debido a que la presi´on P en un gas est´a determinada por la ecuaci´on de estado, la cual para un gas ideal es de la forma P V = N RT , lo cual indica que la presi´on es una funci´on del volumen y por ende de la densidad ρ, lo cual se puede escribir en general de la forma P = f (ρ). Utilizando el desarrollo de Taylor para est´a funci´on de la presi´on se tiene 39

Oscilaciones y Ondas

Figura 2.1: Ondas de presi´on en una columna de gas

dP P = P0 + (ρ − ρ0 ) dρ

!

1 d2 P + (ρ − ρ0 )2 2 dρ2 0

!

+ ···

(2.10)

0

Para peque˜ nas variaciones de la densidad, se pueden despreciar los t´erminos de orden superior y escribir dP P = P0 + (ρ − ρ0 ) dρ 

!

(2.11) 0



, se conoce como modulo de elasticidad de volumen, el cual El t´ermino G = ρ0 dP dρ 0 al ser remplazado, en la ecuaci´on anterior se obtiene la ley de Hooke para los fluidos ρ − ρ0 P = P0 + G ρ0

!

(2.12)

Remplazando la ecuaci´on (1.45) en (1.47), tenemos ∂ψ (2.13) ∂x Debido a que existe movimiento de un peque˜ no volumen, se debe obtener la ecuaci´on del movimiento del mismo esto es: P = P0 − G

∂ 2ψ (P − P ) A = −AdP = dm 2 (2.14) ∂t pero el diferencial de masa es dm = ρ0 Adx, la cual al ser remplazada se tiene 0

− AdP = ρ0 Adx

∂ 2ψ ∂t2 40

o´

∂P ∂ 2ψ = −ρ0 2 ∂x ∂t

(2.15)

Oscilaciones y Ondas Remplazando la ecuaci´on (1.49) en la ecuaci´on (1.51) ∂ ∂ψ P0 − G ∂x ∂x

!

= −ρ0

∂ 2ψ ∂t2

o´

∂ 2ψ G ∂ 2ψ = ∂t2 ρ0 ∂x2

(2.16)

Donde hemos llegado a una ecuaci´on similar a la ecuaci´on de ondas (1.6), concluyendo que la expresi´on para la velocidad de las ondas en una columna de gas es v=

q

G/ρ0

(2.17)

De la ecuaci´on (1.49), se puede notar que ∂ 2P ∂ 3ψ = −G ∂t2 ∂x∂t2

(2.18)

1 ∂ 2P ∂ 3ψ = − ∂x∂t2 ρ0 ∂x2

(2.19)

y de (1.51)

Combinando (1.54) con (1.55), se obtiene la ecuaci´on de ondas para la presi´on ∂ 2P G ∂ 2P = (2.20) ∂t2 ρ0 ∂x2 Lo cual explica porque a este tipo de ondas se les llama ondas de presi´on, de forma similar se llega a una ecuaci´on de ondas para la densidad, en la forma G ∂ 2ρ ∂ 2ρ = (2.21) ∂t2 ρ0 ∂x2 Cuando se tiene el movimiento ondulatorio en un gas este proceso es adiab´atico, en un proceso adiab´atico se cumple P = Cργ , donde γ, es una cantidad conocida como coeficiente politropico del gas, si remplazamos est´a expresi´on en la ecuaci´on para   γ−1 G = ρ0 dP = ρ , pero C = P ρ−γ , obteni´endose 0 γCρ dρ G = γP0

(2.22)

Encontrando que la velocidad del sonido en un gas es v=

q

γP/ρ

(2.23)

para un gas ideal P V = N RT , lo cual es similar a P m/ρ = N RT , con esto la velocidad del sonido en un gas en funci´on de la temperatura toma la forma v=

q

γN RT /m =

q

γRT /M

(2.24)

donde M = m/N , es la masa de un mol del gas Ejemplo:Calcular la velocidad de propagaci´on del sonido en el hidr´ogeno(H), nitr´ogeno(N) y ox´ıgeno(O) a 0o C, Tomar γ = 1,4, compararlos con los valores experimentales vH = 1269,5m/s, vN = 339,3m/s, vO = 317,2m/s 41

Oscilaciones y Ondas

La masa molecular de los elementos se puede extraer de la tabla peri´odica como MH = 1g/mol, MN = 14g/mol y MO = 16g/mol, la temperatura es T = 273,15o K y la constante de los gases es R = 8,3143J o /o Kmol, con esto los valores para las velocidades te´oricas son vH = 1260,8m/s, vN = 337m/s, vO = 315,2m/s, valores muy cercanos a los valores experimentales, se debe tener en cuenta que estas mol´eculas son di´atomicas Ejemplo: La temperatura de la atm´osfera en sus capas bajas decrece con la altura como T = T0 − kz T0 = 20o C, k = 6o C/km. Un avi´on rompe la barrera del sonido cuando se encuentra a 8 km de altura. ¿Cu´anto tarda el sonido en llegar al suelo? Se puede hacer una estimaci´on del resultado, para ver si el efecto de la variaci´on t´ermica es apreciable. La temperatura en el camino del sonido var´ıa desde 20 o C al nivel del suelo hasta (20 - 6·8) o C=-28 o C a la altura del avi´on h = 8 km. La velocidad del sonido a estas dos alturas es: m m = 343 s s m m = 314,2 v(−28 o C) = (331 − 0,6 · 28) s s El tiempo que tarda el sonido en llegar al suelo estar´a entre los correspondientes a estas dos velocidades v(20 o C) = (331 + 0,6 · 20)

t(20 o C) = (−28 o C) =

h = 23,3 s v(20 o C) h = 25,5 s v(−28 o C)

Para obtener el valor exacto se tiene que: v=

dz dz o´ v0 + 0,6 · T = 331 + 0,6 (20 − 0,006z) = 343 − 0,0036z = dt dt

de donde t=−

2.4.

ln (343 − 0,0036z) 8000 = 24,36s 0,0036 0

Ondas longitudinales en una barra

Cuando se produce una perturbaci´on, est´a perturbaci´on se propaga a trav´es de la barra y se siente en otros lugares de la barra, en est´e caso se dice que se ha propagado una onda el´astica a lo largo de la barra, a medida que se propaga la perturbaci´on, los elementos de la barra se deforman (se alargan y se contraen) y se desplazan.

42

Oscilaciones y Ondas

Figura 2.2: Ondas longitudinales en una barra Para analizar la propagaci´on de estas ondas en la barra, consideremos una barra cil´ındrica de secci´on transversal A, de esta barra cil´ındrica tomamos un elemento diferencial de volumen de ancho dx, a causa de la perturbaci´on este elemento diferencial se deforma una cantidad dψ, de tal forma que el nuevo ancho del elemento diferencial es dx + dψ, la deformaci´on unitaria o deformaci´on por unidad de longitud  esta definida como la raz´on entre la deformaci´on y el elemento de longitud deformado ∂ψ (2.25) ∂x Una relaci´on entre el esfuerzo normal y la deformaci´on unitaria se establece por la ley de Hooeke, la cual define que el esfuerzo normal es proporcional a la deformaci´on unitaria =

∂ψ (2.26) ∂x donde la constante Y , es el modulo de elasticidad de Young del material de la barra, las unidades del modulo de Young son N/m2 , pero el esfuerzo normal se define como la fuerza por unidad de area es decir σn = Y  = Y

σn = F/A

(2.27)

con la utilizaci´on de estas ultimas ecuaciones se puede escribir la fuerza como ∂ψ (2.28) ∂x El movimiento del elemento de barra est´a determinado por las fuerzas que act´ uan sobre ´el, y que ”tratan”de llevarlo a la posici´on de equilibrio. Las fuerzas que act´ uan son la fuerza F que ejerce la parte de la barra que se encuentra a la izquierda del F = σn A = Y A = Y A

43

Oscilaciones y Ondas elemento y la fuerza F 0 que ejerce la parte de la derecha de la barra, como se muestra en la figura 1.6. De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, tenemos: ∂F ∂x

0

F − F = dF =

!

dx = dm

∂ 2ψ ∂t2

(2.29)

el elemento diferencial de masa puede ser escrito en la forma dm = ρdV , donde dV = Adx, de donde dm = ρAdx, que al ser remplazado en la ecuaci´on anterior se convierte en ∂F ∂x

!

= ρA

∂ 2ψ ∂t2

(2.30)

Introduciendo F , de la ecuaci´on (1.64) en la ecuaci´on (1.66) se llega a ∂ 2ψ YA ∂x2

!

∂ 2ψ = ρA 2 ∂t

o´

∂ 2ψ ∂t2

!

=

Y ∂ 2ψ ρ ∂x2

(2.31)

Esta ecuaci´on, la cual es la ecuaci´on de ondas para la deformaci´on en una barra, de la cual se puede concluir que estas ondas se propagan a lo largo de la barra con una velocidad q

v=

Y /ρ

(2.32)

Si ahora se toma la ecuaci´on (1.66) y se deriva respecto de x ∂ 2F ∂x2

!

∂2 = ρA 2 ∂t

∂ψ ∂x

!

(2.33)

y de (1.64) ∂ψ/∂x = F/Y A, remplazando en la ecuaci´on anterior ∂ 2F ∂t2

!

=

Y ∂ 2F ρ ∂x2

(2.34)

ecuaci´on a partir de la cual se puede notar que el campo de fuerzas se propaga a lo largo de la barra con la misma velocidad que el campo de desplazamientos EjemploUn alambre de acero que tiene una longitud de 2m y un radio de 0,5mmcuelga del techo. Si un cuerpo de 100kg de masa se suspende del extremo libre hallar la elongaci´on del alambre y la velocidad de las ondas longitudinales que se propagan a lo largo del alambre. La fuerza que act´ ua sobre el alambre es el peso el cual es F = mg = 100kg ∗ 9,8m/s2 = 980N , el modulo de Young para el acero es Y = 2,0 × 1011 N/m2 , con esto F = Y A ⇒ 980N = 2,0 × 1011 N/m2 ∗ π ∗ (0,5×−3 )2 , de donde  = 6,238×−3 , de lo cual, la deformaci´on es 1,24cm La velocidad de las ondas longitudinales es q q v = Y /ρ = 2,0 × 1011 N/m2 /7,8 × 103 N/m3 = 5063,7m/s 44

Oscilaciones y Ondas

2.5.

Ondas transversales en una barra

El an´alisis de este tipo de ondas es similar al realizado en las ondas longitudinales en una barra, consideremos una barra, la cual en estado sin deformar esta dada por la linea punteada de la figura1.7

Figura 2.3: Ondas Transversales en una barra Si en alg´ un momento se hace vibrar la barra golpe´andola transversalmente, en este caso se deforma la barra tomando la forma de la linea curva continua, donde se puede suponer que las deformaciones de la misma son en forma vertical mas no en forma horizontal. Si tomamos ψ, como el desplazamiento transversal de una peque˜ na secci´on dx en un instante de tiempo, este desplazamiento es una funci´on de la posici´on por cuanto cada uno de los puntos de la barra sufre un desplazamiento diferente, en este caso la deformaci´on unitaria es transversal y por tal motivo recibe el nombre de deformaci´on unitaria , y la ley de Hooke en este caso es transversal, δ = ∂ψ ∂x ∂ψ (2.35) ∂x donde σc , es el esfuerzo cortante y M es el modulo de torsi´on del material, la fuerza es entonces σc = M δ = M

∂ψ (2.36) ∂x donde A es el area de transversal de la barra, la ecuaci´on del movimiento de la barra, de acuerdo con la segunda ley de Newton es F = AM δ = AM

F 0 − F = dF =

∂ 2ψ ∂F dx = dm 2 ∂x ∂t

(2.37)

donde dm = ρdV = ρAdx, con esto ∂F ∂ 2ψ dx = ρAdx 2 ∂x ∂t 45

(2.38)

Oscilaciones y Ondas remplazando la expresi´on para la fuerza ecuaci´on(1.72), en esta ultima ecuaci´on se llega a AM

∂ 2ψ ∂ 2ψ dx = ρAdx ∂x2 ∂t2

o´

∂ 2ψ M ∂ 2ψ = ∂t2 ρ ∂x2

(2.39)

De forma similar se puede obtener la ecuaci´on de ondas para el campo de fuerzas, derivando (1.74), con respecto a x y remplazando la ecuaci´on (1.72), llegando a M ∂ 2F ∂ 2F = ∂t2 ρ ∂x2

(2.40)

de donde, la velocidad con la que se propagan tanto el campo de desplazamientos como el campo de fuerzas s

v=

M ρ

(2.41)

Figura 2.4: Ondas de torsi´on en una barra Otro ejemplo de este tipo de ondas son las ondas de torsi´on, en las cuales se supone una barra a la que se le aplica un momento torsionante τ a los extremos de la barra, la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una h´elice AC, al tiempo que la secci´on en B gira un cierto a´ngulo θ respecto de la secci´on en A. Consideremos una fibra cualquiera a una distancia r del eje de la barra, el eje de esta fibra gira el mismo a´ngulo θ, produci´endose una deformaci´on tangencial δs igual a DE. La longitud de esta deformaci´on es el arco de circulo de radio r y el ´angulo viene dada por:

46

Oscilaciones y Ondas

δs = DE = rθ

(2.42)

La deformaci´on angular media o distorsi´on γ, se obtiene dividiendo la deformaci´on tangencial, entre la longitud total de la barra rθ L y el esfuerzo cortante seg´ un la ley de Hooke de la forma: γ=

(2.43)

rθ (2.44) L Si dividimos en dos la barra de la figura1.8, se traza el diagrama de cuerpo libre correspondiente a una de las partes figura1.9. Un elemento diferencial de ´area de esta secci´on estar´a sometido a una fuerza resistente dP = τ dA, debido a que por ser diferencial se puede asumir que el esfuerzo es constante dentro del elemento. Para que se cumplan las condiciones de equilibrio est´atico, apliquemos la condici´on P M = 0, es decir que el par torsor resistente ha de ser igual al momento torcionante aplicado. El par resistente Tr es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales dP : σc = M γ = M

Z

T = Tr =

rdP =

Z

rσc dA

(2.45)

Sustituyendo σc , por su valor, ecuaci´on(1.80) Mθ Z 2 r dA L R Ahora bien, J = r2 dA, es el momento polar de inercia de la secci´on T =

T =

(2.46)

Mθ J L

(2.47)

Tr J

(2.48)

Combinando (1.80) y (1.83) se obtiene σc = de donde el esfuerzo m´aximo cortante es TR (2.49) J Para secciones circulares el momento dipolar de inercia se muestra en la ficura1.10. En el caso de un eje circular macizo el momento polar de inercia es σc =

J=

πR4 2

y en el caso de un eje circular hueco 47

(2.50)

Oscilaciones y Ondas

Figura 2.5: Diagrama de cuerpo libre de la secci´on cortada

Figura 2.6: Momentos polares de inercia para una secci´on circular

J=

2.6.

π (R4 − R04 ) 2

(2.51)

Ondas longitudinales en un resorte

Cuando se produce una perturbaci´on en un resorte estirado y el desplazamiento esperimentado por la secci´on del mismo es ψ, la fuerza de esta secci´on es ∂ψ (2.52) ∂x donde K, es el modulo de elasticidad del resorte, el cual es diferente de la constante de elasticidad del resorte, para obtener la relaci´on entre el modulo de elasticidad del resorte y la constante de elaticidad del mismo, supongamos que l longitud del resorte sin estirar es L y que cuando se le aplica una fuerza F , se estira una distancia l, quedando con esto la deformaci´on unitaria como ∂ψ/∂x = l/L, de donde F =K

F =K

48

l L

(2.53)

Oscilaciones y Ondas utilizando la ley de Hooke se tiene que F = kl, de lu cual K = kL, utilizando la segunda ley de Newton: ∂F ∂ 2ψ dx = dm 2 ∂x ∂t Remplazando la fuerza de la ecuaci´on (1.88) en (1.90), obteni´endose dF =

K ∂ 2ψ ∂ 2F = ∂t2 µ ∂x2

(2.54)

(2.55)

donde la velocidad de las ondas longitudinales en un resorte dada por s

v=

K = µ

s

kl µ

(2.56)

donde µ = dm/dx = m/L es la densidad de masa lineal

2.7.

Ondas transversales en una cuerda

Consideremos una cuerda sujeto por sus dos extremos de tal forma que se produzca una tensi´on T sobre la cuerda, en estado de equilibrio la cuerda permanece tensa a lo largo del eje de las x, consideremos un elemento diferencial desplazado del equilibrio debido a la presencia de una onda es decir una perturbaci´on. Sus elementos vecinos ejercen fuerzas F~1 y F~2 en los extremos del elemento considerado, se puede suponer que el efecto de la onda es tan peque˜ no como para que la tensi´on de la cuerda sea casi ~ uniforme, lo que significa que F1 = F~2 = T . Por otra parte se puede suponer que la tensi´on de la cuerda es tan grande como para despreciar el efecto del peso, en este caso la sumatoria de las fuerzas en y es: X

Fy = Fy1 = Fy2 = T senθ2 − T senθ1 = T (senθ2 − senθ1 )

(2.57)

Se supone que los a´ngulos θ1 y θ2 , son peque˜ nos, de modo que se puede realizar la aproximaci´on senθ1 ≈ senθ2 , debido a que la pendiente de una curva en un punto es igual a la tangente del a´ngulo entre la curva y el eje x en dicho punto, tan θ = ∂ψ/∂x. Por lo tanto senθ ≈ tan θ = ∂ψ/∂x

(2.58)

de donde se obtiene

X

∂ ∆ (∂ψ/∂x) ∆x = T Fy = T [(∂ψ/∂x)2 − (∂ψ/∂x)1 ] = T ∆ (∂ψ/∂x) = T ∆x ∂x Utilizando la segunda ley de Newton

49

!

∂ψ ∆x ∂x (2.59)

Oscilaciones y Ondas

Figura 2.7: Ondas Transversales en una cuerda

X

∂ ∂ 2ψ Fy = dm 2 = T ∂t ∂x

!

∂ψ ∆x ∂x

(2.60)

ecuaci´on que se puede escribir como: ∂ 2ψ T ∂ 2ψ = ∂t2 µ ∂x2 de donde la velocidad de las ondas transversales en una cuerda s

v=

2.8.

T µ

(2.61)

(2.62)

Ondas Superficiales en un liquido

Lejos de las paredes del recipiente que lo contiene, la superficie libre de un l´ıquido en equilibrio sometido a la gravedad y a las fuerzas de tensi´on superficial es plana y horizontal. Si por efecto de una perturbaci´on la superficie se aparta de esa posici´on en alg´ un punto, ocurre un movimiento en el l´ıquido tendiente a restituir el equilibrio. Este movimiento se propaga sobre la superficie en forma de ondas, llamadas ondas superficiales. Esas ondas afectan tambi´en el interior del fluido, pero con menos intensidad a mayores profundidades. Los efectos de la tensi´on superficial son importantes cuando la longitud de las ondas es muy corta, pues entonces la principal fuerza de restituci´on es la capilaridad. Estas ondas se denominan entonces ondas capilares. Pero cuando las longitudes de onda son grandes, la fuerza de restituci´on se debe s´olo a la gravedad y tenemos entonces ondas de gravedad. Las ondas de superficie en el agua son sin duda el fen´omeno ondulatorio m´as f´acil de observar, y no han cesado de fascinar al observador curioso. Se trata, adem´as de un 50

Oscilaciones y Ondas fen´omeno de enorme importancia pr´actica y de gran relevancia para las ciencias del ambiente terrestre. Presentan una fenomenolog´ıa asombrosamente variada y han dado lugar, y siguen dando hoy, a numerosas investigaciones sea te´oricas que experimentales. Ondas superficiales de gravedad Consideraremos ahora ondas de gravedad de peque˜ na amplitud, en las cuales la velocidad del fluido es peque˜ na. La ecuaci´on que gobierna el movimiento de un fluido es la ecuaci´on de Navier-Stokes 1 d~u = ~g − ∇P + η∇2~u dt ρ

(2.63)

donde η es la viscosidad cinem´atica, en caso de tener un fluido ideal η = 0 y se obtienen las ecuaciones de Euler, debido a que el flujo es incompresible e irrotacional, se puede suponer ~u = ∇φ, donde φ, es el potencial de velocidades, si suponemos que el eje z es vertical y hacia arriba y que la superficie libre en equilibrio del liquido es el plano z = 0

Figura 2.8: Ondas superficiales en un liquido En este caso la ecuaci´on de Navier Stokes toma la forma ∂ 2φ 1 ∂P = −gz − ∂z∂t ρ ∂z

(2.64)

Lo cual pude ser escrito como ∂φ 1 = −gz − P ∂t ρ

(2.65)

Tomando con ψ (x, y, t) la coordenada z de un punto de la superficie perturbada. En el equilibrio ψ = 0, de modo que ψ representa el desplazamiento vertical de la superficie debido a las oscilaciones. Supongamos que sobre la superficie libre se ejerce

51

Oscilaciones y Ondas una presi´on constante P0 (la presi´on atmosf´erica). Entonces por la (2.65) se debe cumplir la condici´on de contorno ∂φ P0 = −ρgψ − ∂t

!

(2.66) z=ψ

donde se puede emplear la nueva variable ψ 0 = ψ + Pρ0 t, la ecuaci´on (2.66), se puede escribir en la forma ∂φ0 0 = ρgψ + ∂t

!

(2.67) z=ψ

donde se nota claramente que ∇ψ = ∇ψ 0 , de esta forma se obtiene ~u = ∇ψ 0 , lo cual puede ser prescrito en la forma uz (x, y, ψ, t) =

∂φ0 ∂z

!

(2.68) z=ψ

Pero por otro lado ∂ψ ∂t Combinando las ecuaciones (2.68) y (2.69), se obtiene uz (x, y, ψ, t) =

∂φ0 ∂z

!

= z=ψ

∂ψ ∂t

(2.69)

(2.70)

Remplazando este resultado en la ecuaci´on (2.67), se obtiene ∂φ0 1 ∂ 2 φ0 + ∂z g ∂t2

!

(2.71) z=ψ

Debido a que las oscilaciones son peque˜ nas, podemos evaluar la cantidad entre par´entesis en z = 0 en lugar de z = ψ , con lo que finalmente el problema se reduce a las siguientes ecuaciones ∇2 φ0 = 0,

∂φ0 1 ∂ 2 φ0 + ∂z g ∂t2

!

(2.72) z=0

Gracias a la aproximaci´on de suponer perturbaciones de peque˜ na amplitud, se ha llegado a un problema lineal que se expresa en las (1.16). En virtud de la linealidad, tiene sentido buscar soluciones en la forma de perturbaciones sinusoidales de la superficie libre, de longitud de onda λ y periodo T , dado que mediante oportunas superposiciones de perturbaciones de este tipo podemos encontrar la soluci´on de cualquier problema de condiciones iniciales. Vamos a suponer que la superficie del liquido es ilimitada y su profundidad h es muy grande, de modo que h >> λ , donde λ es la longitud de onda de la perturbaci´on, cuyo periodo es T . Por lo tanto tendremos lo que se denomina una onda de gravedad en aguas extensas y profundas. En este problema, entonces, no 52

Oscilaciones y Ondas hay condiciones de contorno en los bordes ni en el fondo. Supongamos que la onda se propaga a lo largo del eje x, de modo que todas las magnitudes que la describen son independientes de y. Tendremos entonces φ0 = f (z) sen (kx − ωt)

(2.73)

Sustituyendo phi0 , en la ecuaci´on de Laplace se llega a la ecuaci´on diferencial lineal con coeficientes constantes f 00 − k 2 f = 0

(2.74)

f (z) = Aekz + Be−kz

(2.75)

cuya soluci´on es de la forma

donde tenemos la condici´on f (h → ∞) = 0, lo que produce A = 0, quedando con esto φ0 = Be−kz sen (kx − ωt)

(2.76)

Este comportamiento exponencialmente decreciente en la direcci´on normal a la superficie es caracter´ıstico de las ondas superficiales, que se suelen tambi´en denominar evanescentes dado que no se propagan en esa direcci´on. Si remplazamos (1.20) en (1.16) se puede obtiene φ0 = −kBe−kz sen (kx − ωt) + Obteni´endose la relaci´on ω =

√

ω 2 −kz Be sen (kx − ωt) g

(2.77)

gk, pero utilizando la ecuaci´on v = ω/k, de donde

v=

q

g/k =

q

gλ/2π

(2.78)

La ecuaci´on (1.22) nos muestra que v depende de la longitud de onda. En este caso la velocidad de fase es proporcional a la ra´ız cuadrada de la longitud de onda. Debido a esto, una superposici´on de ondas elementales de diferente longitud de onda cambia de forma mientras se propaga, y un paquete de ondas localizado se dispersa. Por este motivo, las ondas que tienen esta propiedad se dicen dispersivas. Hasta ahora, en nuestro estudio de las ondas superficiales no hemos tenido en cuenta las fuerzas de tension superficial. Veremos que la capilaridad tiene un efecto importante sobre las ondas de gravedad de longitud de onda peque˜ na. Como antes vamos a suponer que la amplitud de las oscilaciones es peque˜ na en comparaci´on con la longitud de onda (a > 1 los efectos de la tensi´on superficial son despreciables y estamos en el caso de las ondas de gravedad puras que acabamos de estudiar. Si, viceversa, B