TALLER DE OSCILACIONES Y ONDAS

Departamento De F´ısica y Geolog´ıa, Universidad De Pamplona

DOCENTE: F´ısico Amando Delgado. TEMAS: Todos los desarrollados el primer corte. 1. Determinar la frecuencia angular y la amplitud de una part´ıcula que oscila con MAS, si a las distancias x1 y x2 de la posici´on de equilibrio su velocidad es v1 y v2 respectivamente. 2

N 2. Una part´ıcula de 4kg se mueve a lo largo del eje x bajo la acci´on de la fuerza F = −kx, con k = π16 m . m Cuando t = 2s, la part´ıcula pasa por el origen, y cuando t = 4s su velocidad es de 4 s . Encontrar la ecuaci´on del movimiento.

3. Una part´ıcula se mueve con MAS, con una amplitud de 0,1m y un periodo de 2s. Realizar una tabla para los P 5P 3P 7P valores de desplazamiento, velocidad y aceleraci´on para los tiempos P4 , 3P 8 , 2 , 8 , 4 , 8 , P . Realizar la correspondiente gr´afica en funci´on del tiempo. 4. Una part´ıcula est´a situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posici´on de equilibrio con una veloci−3 m. ¿Cu´al es la frecuencia y el periodo del vibrador? Escribir la ecuaci´on dad de 2 m s , la amplitud es de 10 que exprese su desplazamiento en funci´on del tiempo. 5. Una part´ıcula cuya masa es de 1g se mueve con movimiento arm´onico simple con una amplitud de 2mm. Su aceleraci´on en el extremo de su recorrido es de 8 × 10−3 m s . Calcular la frecuencia del movimiento y la velocidad de la part´ıcula cuando pasa por la posici´on de equilibrio y cuando la elongaci´on es de 1,2mm, Calcular en esta posici´on la energ´ıa potencial. Escribir la ecuaci´on de la fuerza que act´ua sobre la part´ıcula en funci´on posici´on y el tiempo. 6. Una part´ıcula de masa m se mueve bajo la acci´on de una fuerza F = −kx. Cuando t = 2s la part´ıcula pasa por su posici´on de equilibrio, cuando t = 4s su velocidad es 4 m on del movimiento y s . Encontrar la ecuaci´ demostrar que la amplitud es

√ 2(32) m π

si su periodo es 16s

7. Teniendo en cuenta las ecuaciones de energ´ıa cin´etica y potencial, realizar una gr´afica que explique la transformaci´on de energ´ıas en un MAS as´ı como el echo de que la energ´ıa total permanece constante.. 8. Un bloque de madera cuya densidad es ρ tiene dimensiones a, b, c. Mientras est´a flotando en el agua con el lado a en posici´on vertical se le empuja hacia abajo y se le suelta. Halle el periodo de las oscilaciones resultantes. 9. Calcular para un MAS los valores de x ¯ y x ¯2 referentes al tiempo. Tambi´en los promedio de las energ´ıas cin´etica y potencial para el tiempo y el espacio. 10. Una part´ıcula que se mueve con movimiento arm´onico simple, con una frecuencia f , fue lanzada con una velocidad inicial v0 , desde una posici´on que se encuentra a x0 de la posici´on de equilibrio, determinar la posici´on de la part´ıcula como una funci´on del tiempo. 11. Flotando en el agua se encuentra un tronco cil´ındrico de longitud L y radio R. Tiene un contrapeso de plomo, con la finalidad de mantenerlo en forma vertical (ver figura (1)). La masa del tronco y el plomo juntos es M . Si el tronco se empuja un poco hacia abajo demuestre que al soltarlo se produce un movimiento arm´onico simple y determine su frecuencia.

Figura 1. Tronco flotando.

12. Una masa m esta ubicada en el extremo de una barra de longitud l y masa m,la cual puede girar de su punto superior. Ver figura (2). Calcule el periodo para peque˜nas oscilaciones.

Figura 2. P´endulo compuesto barra-masa.

13. Una part´ıcula se desliza entre dos planos inclinados sin fricci´on como se muestra en la figura (3). Encontrar el periodo de oscilaci´on del movimiento si h es la altura inicial. Decir si es un MAS.

Figura 3. Part´ıcula en un plano inclinado.

14. Dos cargas positivas q est´an separadas una distancia 2d. Se coloca una tercera carga q negativa exactamente en la mitad de las otras dos, pero a una altura y. Explique bajo que condiciones la carga negativa oscilara con MAS y halle su periodo. 15. Un objeto de 1kg esta atado a un resorte horizontal inicialmente elongado 0,1m. El objeto se libera de esta posici´on y procede a moverse sin fricci´on. En t = 0,5s su velocidad es cero. Calcular la maxima velocidad del objeto. 16. La gr´afica (4) representa el movimiento en cm de un oscilador en funci´on del tiempo. Calcular: la amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia normal, la fase inicial. Calcular las condiciones iniciales. La velocidad y la aceleraci´on maxima. Escribir las ecuaciones de posici´on, velocidad y aceleraci´on y graficar. 17. Un p´endulo consta de un disco uniforme de radio r y masa m unido a una barra de longitud l que tiene una masa M , seg´un figura (5). Calcule la inercia rotatoria del p´endulo respecto al pivote. Cual es la distancia entre el pivote y el centro de masa del p´endulo? Calcule el periodo de oscilaci´on para a´ ngulos peque˜nos.

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Figura 4. Posici´on en funci´on del tiempo de un oscilador.

Figura 5. P´endulo compuesto.

18. Un p´endulo de torsi´on consiste en una varilla de masa 100g y 30cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150g y 5cm de radio, situadas sim´etricamente de modo que el centro de las esferas dista 10cm del eje de giro. Sabiendo que el periodo de la oscilaci´on vale 2,4s, calcular la constante k de torsion del muelle. Si en el instante inicial t = 0 el p´endulo se desplaza θ = π6 de la posici´on de equilibrio y se suelta (velocidad inicial nula), escribir la ecuaci´on del M.A.S. Calcular la velocidad angular de rotaci´on cuando pasa por la posici´on de equilibrio. 19. Un bloque de masa M , se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal sin fricci´on, est´a unido a una pared vertical por medio de un resorte de constante de fuerza k. Una bala de masa m y rapidez v golpea al bloque como se muestra en la figura (6). La bala se queda empotrada en el bloque. Determine la amplitud del movimiento arm´onico simple resultante.

Figura 6. Bloque pagado a un resorte.

20. La figura (7) muestra un peque˜no disco delgado de radio r y masa m que est´a r´ıgidamente unido a la cara de un segundo disco delgado de radio R y masa M . El centro del disco peque˜no se localiza en el borde del disco grande, el cual est´a montado en su centro sobre un eje sin fricci´on en un plano vertical. El conjunto se hace girar un a´ ngulo a partir de su posici´on de equilibrio y se suelta. del centro del disco ! s Pruebe que la velocidad Rg(1 − cos θ) peque˜no cuando pasa por la posici´on de equilibrio es v = 2
. Muestre que el periodo del r 2 2+ M m + R 3

s movimiento es P = 2π

(M + 2m)R2 + mr2 2mgR

Figura 7. P´endulo de discos.

21. Demuestre que las relaciones generales entre los dos valores iniciales de la posici´on inicial x0 y de velocidad q
2 v0 inicial v0 y la amplitud A y el a´ ngulo de fase inicial φ son, A = x2 + vω0 , φ = − ωx0 22. Una esfera s´olida de masa m y radio R rueda sin deslizar en un canal cil´ındrico de radio ! 5R, como se muestra 112mR2 dθ en la figura (8). a)Pruebe que la energ´ıa cin´etica de la esfera vale T = . b) Demuestre que 10 dt para peque˜nos desplazamientos θ desde el punto de equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera s realiza un movimiento arm´onico simple con un periodo P = 2π

28R 5g

Figura 8. Esfera en un canal.

23. Encontrar la ecuaci´on del movimiento que resulta de la superposici´on de dos movimientos arm´onicos simples paralelos cuyas ecuaciones son x1 = 2 sin(ωt + π3 ), x2 = 3 sin(ωt + π2 ). Hacer un gr´afico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus respectivos fasores. 24. Encontrar la ecuaci´on resultante de la superposici´on de dos MAS paralelos cuyas ecuaciones son x1 = 6 sin(2t), x2 = 8 sin(2t + α). Para α = 0; π2 ; π. Hacer un gr´afico de cada movimiento y del movimiento resultante en cada caso. 25. Encontrar la ecuaci´on de movimiento para una part´ıcula sometida a dos MAS perpendiculares cuyas ecuaciones son x = 4 sin(ωt); y = 3 sin(ωt + α). Hacer un gr´afico de la trayectoria cuando α = 0; π2 ; π. y decir la direcci´on de movimiento de la part´ıcula. 4

26. Una part´ıcula de carga negativa q est´a situada en el centro de un anillo con carga uniforme y radio a, el cual tiene una carga positiva total Q. La part´ıcula, limitada a moverse a lo largo del eje x, es desplazada una peque˜na distancia x y luego se le libera. Demuestre que r si x