APUNTES FRACCIONES Y DECIMALES FRACCIONES ¿Qué es una fracción? Una fracción es un cociente de dos números enteros . Al de la parte superior se le llama NUMERADOR y al de la inferior DENOMINADOR.

¿Para qué sirve una fracción? Las fracciones aparecen en muchas partes de las matemáticas , de ahí su importancia .Se usan para muchas cosas pero su significado básico es representar las partes en que se divide algo ( denominador ) y el número de ellas que se toman ( numerador ). Ejemplos : Podemos representar gráficamente funciones usando la idea anterior.

5 8

Dividimos la figura en el número de partes que indique el denominador ( 8 en el ejemplo ) y seleccionamos las que indica el numerador ( las 5 del ejemplo )

12 5 Cuando el numerador es mayor que el denominador( 12 es mayor que 5) necesitamos varios figuras para poder tomar todas las partes iguales que este indica

Ejercicios : Representa las siguientes fracciones a)

3 7

b)

5 12

c)

4 6

FRACCIONES EQUIVALENTES Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo valor. Por ejemplo ( usando la representación gráfica ) : 3 4

6 8

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

La forma más sencilla es calcular el decimal correspondiente a cada fracción para comprobar si los valores son exactamente iguales . El método que debe usarse sin recurrir a los decimales es realizar el producto cruzado de las fracciones ( numerador de la primera por denominador de la segunda y denominador de la primera por numerador de la segunda ) . Si los resultados son iguales las fracciones son equivalentes. Ejemplo : Probar , sin usar decimales , si las fracciones

2 6 y son equivalentes. 25 150

2 • 150 = 300 Luego son equivalentes , al obtenerse el mismo 25 • 6 = 300 resultado en los productos cruzados.

¿Cómo construir fracciones equivalentes a partir de una dada? Se puede hacer esto de dos formas : • Por amplificación ,multiplicando numerador y denominador por un mismo número .Se podrán crear infinitas fracciones equivalentes. • Por simplificación, dividiendo numerador y denominador por un mismo número. Solo se podrá hacer si ambos números son divisibles por el mismo.

Ejemplos: Calcula fracciones equivalentes a las dadas. 5 a) Por amplificación : 3 • • • •

Multiplicando arriba y abajo por 2 Multiplicando arriba y abajo por 3 Multiplicando arriba y abajo por 7 Etc....

Por simplificación , no se puede pues no hay números que dividan a 5 y a 3 a la vez.

b)

12 Por amplificación : 54

• Multiplicando arriba y abajo por algún número Por simplificación : • Se puede dividir entre 2 el numerador y el denominador • También se puede dividir entre 3 • ¿Se podría simplificar dividiendo entre 4? ¿porqué?

OPERACIONES CON FRACCIONES Suma y resta de fracciones Solo se pueden sumar o restar fracciones que tengan el mismo denominador. En ese caso nos ocuparemos de sumar o restar SOLO LOS NUMERADORES y el denominador es el mismo que tienen todas las fracciones. Ejemplo:

8 2 1 8 − 2 +1 7 = − + = 5 5 5 5 5

¿Qué hacer cuando tenemos fracciones con diferentes denominadores?

Debemos buscar fracciones equivalentes a las que nos dan, pero de forma que todas ellas tengan el mismo denominador. 1 1 Por ejemplo si queremos sumar + 2 3 los denominadores son distintos pero hay fracciones equivalentes a ambas:

1 2 3 4 6 = = = = = .... 2 4 6 8 12

1 2 3 4 6 = = = = = ... 3 6 9 12 18

Vemos que entre las equivalentes las hay que tienen denominadores 1guales (el 6) , podemos usar esas fracciones para hacer la suma:

1 1 3 2 3+ 2 5 + = + = 2 3=6 6 6 6 Al denominador que usamos se le llama denominador común. No hace falta hacer esta búsqueda para encontrar el denominador común , hay dos métodos para hacerlo más rápido: PRIMER MÉTODO : MULTIPLICAR DENOMINADORES ENTRE SÍ.

Paso1 : Multiplicar los denominadores entre sí.

Ejemplo:

2 1 3 + − 25 4 10

Paso 1:

25 • 4 • 10 = 1000

Este sería nuestro denominador común

Paso2 : Para que las fracciones no cambien debemos modificar también los numeradores , para ello debemos dividir el denominador común encontrado entre el denominador de cada fracción inicial . El resultado de cada una de esas divisiones se multiplica por el numerador de la fracción que corresponda.

Paso3 : Por último los valores obtenidos se operan en el numerador . A veces es necesario simplificar el resultado

?• 2 ?• 1 ?• 3 + − 1000 1000 1000

Paso 2: Dividimos

1000 | 25 000 40

1000 | 4 1000 | 10 000 250 000 100

Multiplicamos

40 • 2 250 • 1 100 • 3 + − 200 200 200

Operamos con los numeradores

80 + 250 − 300 30 3 = = 1000 1000 100

SEGUNDO MÉTODO: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DENOMINADORES

Paso1: Para buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores debemos descomponerlos en factores de números primos.

Ejemplo:

2 1 3 + − 25 4 10 5 5 5 5 1

Paso1:

Paso2 : De las descomposiciones hay que seleccionar ciertos números : todos los números distintos presentes en las descomposiciones con sus exponentes incluidos. En el m.c.m. no puede haber números repetidos , aparecerán siempre números distintos , si hay dos repetidos se elige el de mayor exponente .

Paso3: El producto de estos números es el mínimo común múltiplo y lo usaremos como denominador común para hacer la suma o resta .

Paso4: Para que las fracciones no cambien debemos modificar también los numeradores , para ello debemos dividir el denominador común encontrado entre el denominador de cada fracción inicial . El resultado de cada división se multiplica por el numerador de la fracción que le corresponda.

5 = 52 Paso2:

4 2 2 2 1

10 2 5 5 1

4 = 22 10 =2 • 5 2

Seleccionamos : 52 , 2

( solo aparecen dos números diferentes en las descomposiciones , el 2 y el 5 , pero aparecen con distintos exponentes. Siempre se seleccionan , para el m.c.m. , los de mayor exponente) 2

Paso3 : m.c.m (4,10,25) = 2 •52 = 4 • 25 = 100 Este es nuestro denominador común.

?• 2 ?• 1 ?• 3 − + 100 100 100 Paso4: Hay que cambiar los numeradores Dividimos 100 | 25 100 | 4 100 | 10 0 4 20 25 00 10 Multiplicamos

4 • 2 25 • 1 10 • 3 + − 100 100 100

Paso5: Operamos los numeradores

Paso5:

Por último los valores obtenidos se operan en el numerador .

8 + 25 − 30 3 = 100 100

Vemos que los dos métodos nos dan el mismo resultado ,si no fuera así algo estaría mal. Con el primer método evitamos hacer el cálculo del m.c.m. pero a cambio obtenemos ,generalmente ,números muy grandes que complican los cálculos. Con el segundo método , tenemos el inconveniente de que hay que saber hacer con seguridad el m.c.m. , pero, a cambio , el denominador es , generalmente , mucho mas pequeño y las divisiones son más sencillas.

Multiplicación de fracciones Para multiplicar dos fracciones se multiplican , por un lado, los numeradores entre sí y ,por otro , los denominadores entre sí.

Ejemplos: 2 7 2 • 7 14 a) • = = 5 3 5 • 3 15

3 5

•

4 12 = 7 35

2 2 • 5 10 c) • 5 = = 7 7 7

1 3 •1 3 b) 3 • = = 5 5 5

División de fracciones Para dividir fracciones debemos hacer el producto cruzado . En concreto, numerador de la primera por denominador de la segunda será el numerador de la fracción resultado del cociente y denominador de la primera por numerador de la segunda será el denominador del resultado. Ejemplos : 2 3 2 • 5 10 a) : = = 7 5 7 • 3 21

b) 3 :

3 5

4 3 • 7 21 = = 7 5 • 4 20

:

6 6 •1 6 c) : 5 = = 7 7 • 5 35

5 3 • 4 12 = = 4 5 5

Ejercicios : Practica las siguientes operaciones con fracciones , simplifica siempre los resultados . 1)

1 5 + 4 3

2)

2 1 − 3 9

1 5 3) 1 − + 6 3

5)

5 3 7 − + 12 8 6

6)

2 7 +1− 4 8

7)

10)

3 6 • 4 5

8)

⎛1 ⎞ 1 5 11) ⎜ + 3 ⎟ • − ⎝ 2 ⎠ 3 12

4 :6 3

4)

1 3 + −2 5 4

18 10 • 5 3

9)

12 6 : 5 7

⎛1 ⎞ 1 5 12) ⎜ : 3 ⎟ + • − 1 ⎝6 ⎠ 4 3

Recuerda que en caso de tener varias posibles operaciones hay un orden : primero los paréntesis o corchetes si los hay , luego las potencias y raíces si las hubiera, después las multiplicaciones o divisiones y lo último siempre son las sumas y restas .

23 12

2)

5 3

3)

8) 12

9)

14 5

10)

Soluciones : 1)

5 2

2 9

4)

− 21 20

11)

3 4

5)

12)

29 24 − 19 36

6)

5 8

7)

9 10