UNIDAD 1 Fracciones y decimales Algunos conceptos y procedimientos de divisibilidad. Cálculo del mínimo común múltiplo de dos números. DIVISORES

• Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. ¿Son 1, 2, 5 y 10 los divisores del número 10? sí no

MÚLTIPLOS

• Los cinco primeros múltiplos de 2 son 2, 4, 6, 8 y 10. ¿Son 6, 9, 12, 15 y 18 los cinco primeros múltiplos de 3? sí no

DIVISIBILIDAD POR 2

• 3 978 es divisible por 2 porque su última cifra, 8, es divisible por 2. ¿Es 184 divisible por 2? sí no ¿Y 222 221? sí no DIVISIBILIDAD POR 3

• 123 es divisible por 3 porque 1 + 2 + 3 = 6, y 6 es divisible por 3. ¿Es 257 divisible por 3? sí no ¿Y 1 002? sí no DIVISIBILIDAD POR 5

• 580 y 435 son divisibles por 5 porque sus últimas cifras son, respectivamente, 0 y 5. ¿Es 100 divisible por 5? sí no

Página 1

1 Escribe todos los divisores de cada uno de estos números: 9

12



15

14



20



27



30





2 Escribe los cinco primeros múltiplos de los siguientes números: 7

8

9

11





3 Indica si los siguientes números son o no divisibles por 2: sí

no

243 580 3 321 15 846

4 Marca si los siguientes números son o no divisibles por 3: sí

no

567 365 1 053 10 003

5 Indica si estos números son o no divisibles por 5: sí

217 495 80 100 555 506

no

UNIDAD 1 Fracciones y decimales Algunos conceptos y procedimientos de divisibilidad. Cálculo del mínimo común múltiplo de dos números. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

• 7 es primo porque solo tiene como divisores 1 y 7. • 10 es compuesto porque tiene más de dos divisores: 1, 2, 5 y 10. • El 1 no se considera ni primo ni compuesto. ¿Es 12 primo?

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6 Marca si estos números son primos o compuestos: primo

compuesto



primo

8

31

15

45

22

47

26

52

29

83

compuesto

sí no

¿Es 11 compuesto?

sí no

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

• La descomposición en factores primos de 20 es: 20 2 10 2 5 5 20 = 2 · 2 · 5 = 1 = 22 · 5

7 Descompón en factores primos cada uno de estos números: a) 6 =

b) 8 =

c) 9 =

d) 10 =

e) 14 =

f) 24 =

g) 32 =

h) 120 =

i) 140 =

8 Escribe los números cuyas descomposiciones en factores primos son: a) 32 · 7 =

b) 23 · 3 · 5 =

c) 2 · 5 · 7 =

d) 52 · 11 =

9 Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números: a) mín.c.m. (20, 18) = b) mín.c.m. (5, 10) = c) mín.c.m. (20, 40, 50) = d) mín.c.m. (8, 12, 15) =

10 Halla el máximo común divisor de los siguientes grupos de números: a) máx.c.d. (40, 50) = b) máx.c.d. (38, 57) = c) máx.c.d. (10, 25, 50) = d) máx.c.d. (18, 24, 48) =

UNIDAD 1 Fracciones y decimales Algunos conceptos y procedimientos de divisibilidad. Cálculo del mínimo común múltiplo de dos números.

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ACTIVIDADES

11 Escribe los divisores de los siguientes números: a) 15 8

b) 28 8

c) 36 8

d) 48 8

e) 60 8 12 Marca en este cuadro los primeros números primos hasta el 100: 1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

5 15 25 35 45

6 16 26 36 46

7 17 27 37 47

8 18 28 38 48

9 19 29 39 49

10 20 30 40 50

51 61 71 81 91

52 62 72 82 92

53 63 73 83 93

54 64 74 84 94

55 65 75 85 95

56 66 76 86 96

57 67 77 87 97

58 68 78 88 98

59 69 79 89 99

60 70 80 90 100

13 Coloca los siguientes números en la tabla según sean divisibles por 2, por 3 o por 5. (Un número puede ocupar varias casillas o, por el contrario, no estar en ninguna.) 24, 36, 45, 67, 89, 103, 167, 207, 594, 755, 1 036, 2 580, 3 003, 6 042, 10 004, 15 000 divisible por

2

divisible por

3

divisible por

5

14 Descompón en factores primos los siguientes números: a) 210 = ................................

b) 360 = ................................

c) 864 = ................................

d) 924 = ................................

e) 4 140 = ................................

f) 9 177 = ................................

15 Escribe si estos números son primos o compuestos: a) 37 8 .................................... b) 53 8 .................................... c) 81 8 .................................... d) 93 8 ..................................... e) 127 8 .................................... f) 363 8 ................................... 16 Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:

máx.c.d. 120 y 90 150 y 75 6, 8 y 10 8, 20 y 30 100, 150 y 210

mín.c.m.

UNIDAD 1 Fracciones y decimales Números enteros. Representación en la recta numérica. Operaciones.

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Los números enteros se representan sobre una recta, así:

–3

–2

–1

0

1

2



Esta representación supone el siguiente criterio de ordenación:



• Cualquier número negativo es menor que cualquier número natural.



• Si a y b son positivos y a < b, entonces –b < –a.

3

ACTIVIDADES

1 Representa en la recta numérica los siguientes números

–7 4 11 –2 0 5 –6





JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES



Para operar correctamente con números enteros, es fundamental respetar la jerarquía de las operaciones:



• 1.º Lo que haya dentro de los paréntesis.



• 2.º Potencias.



• 3.º Multiplicaciones y divisiones.



• 4.º Sumas y restas.

2 Calcula y completa. a) 6 – 15 + 13 – 21 – 9 = b) 7 + 12 – 19 – 6 + 11 – 9 = c) (–5) – (+13) + (–16) – (–8) + (+7) = d) (+14) + (–21) – (–18) – (+27) – (–11) = e) (6 – 9 + 7 – 11) – (8 – 10 + 13 – 16) = f) 4 · 8 – 5 · 3 + 6 · 4 – 7 · 6 – 3 · 6 =

g) 6 · (– 4 ) – 2 · (–8) + 5 · 3 – 9 · (–2) =

UNIDAD 1 Fracciones y decimales Números enteros. Representación en la recta numérica. Operaciones. 3 Calcula y completa. a) 3 · (2 – 7) – 5 · (3 – 6) + 2 · (8 – 15) + 4 · (11 – 9) = b) (4 – 6) · (8 – 3) – (5 – 9) · (1 – 7) + 18 = c) 3 · (5 – 9 + 2) – 8 · (3 – 6 – 2) + 4 · (5 – 12) = d) 20 – 2 · [10 – 3 · (6 – 9)] = e) 18 + 3 · (8 – 12) – 4 · [5 – 3 · (6 + 3 – 5 · 2)] = f) 21 – 8 · (10 – 4) + (8 – 11) · [5 + (3 – 6) · (8 – 2)] = g) 6 · [5 – 2 · (8 – 13)] – 5 · [9 – 3 · (6 – 10)] = h) (2 – 5) · [4 – 3 · (4 – 9)] – (2 – 7) · [15 – 2 · (9 – 4)] =

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UNIDAD 1 Fracciones y decimales Cómo fraccionar un todo en partes

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Las distintas fracciones en que se reparte una cantidad, un todo, deben sumar 1.



Veamos un ejemplo:



Arancha, Roberto y Pilar han sido premiados por su abuelo por ayudar en la huerta. Pero el premio se ha convertido, como puedes ver en la nota que les ha dejado, en un gran problema. Queridos nietos: Os regalo estos 11 melones. Repartidlos así: • A ti, Arancha, que eres la mayor, la mitad. • Para ti, Roberto, la cuarta parte. • Y tú, Pili, la más pequeña, quédate con la sexta parte.



¿Cómo es posible que el abuelo quiera que partan melones?¿Se habrá equivocado en algo?



Es razonable pensar en no trocear los melones. ¿Habrá alguna forma de hacerlo sin dejar de atender las condiciones que ha marcado el abuelo en su nota? ACTIVIDADES

1 Lee la nota del abuelo. ¿Cuántos melones le corresponden a cada nieto?

2 Ante la dificultad del reparto, piden ayuda a la abuela. ¡Fácil, dice ella, tomad un melón más y repartid! ¿A cuántos melones toca ahora cada uno?



¡Lo mejor es que, después del reparto, la abuela se llevó su melón! Calcula 1 + 1 + 1 y podrás explicar 2 4 6 por qué.

UNIDAD 1 Fracciones y decimales Cómo fraccionar un todo en partes

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Veamos un par de ejemplos más:



• Una empresa tiene tres socios y dos de ellos poseen 2 del total cada uno. ¿Cuánto posee el tercero? 7



El tercero tendrá 3 , pues 2 + 2 + 4 y faltan 3 para llegar a 7 = 1. 7 7 7 7 7 7



• En el ejemplo de los melones, la paradoja se produce porque 1 + 1 + 1 = 11 . Falta 1 para completar 1. 2 4 6 12 12



Es decir, el abuelo no ha repartido todos los melones. Por eso al añadir uno la abuela, se puede hacer el reparto, y la abuela recupera su melón.

ACTIVIDADES

3 Un padre deja la mitad de su herencia para su hijo mayor; la tercera parte, para el mediano, y el resto, para el pequeño. ¿Cuánto le corresponde a este último?

4 Una empresa tiene cuatro socios. Dos de ellos poseen 1 y 2 del total. Los otros dos poseen partes iguales. 3 5



¿De qué fracción de la empresa es dueño cada uno de estos?

UNIDAD 1 Fracciones y decimales 2. Repasa las operaciones con números enteros

1 Calcula y completa. a) 6 – 15 + 13 – 21 – 9 = b) 7 + 12 – 19 – 6 + 11 – 9 = c) (–5) – (+13) + (–16) – (–8) + (+7) = d) (+14) + (–21) – (–18) – (+27) – (–11) = e) (6 – 9 + 7 – 11) – (8 – 10 + 13 – 16) = f) 4 · 8 – 5 · 3 + 6 · 4 – 7 · 6 – 3 · 6 = g) 6 · (– 4 ) – 2 · (–8) + 5 · 3 – 9 · (–2) =

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UNIDAD 1 Fracciones y decimales 3. Refuerza las operaciones con números enteros

1 Calcula y completa. a) 3 · (2 – 7) – 5 · (3 – 6) + 2 · (8 – 15) + 4 · (11 – 9) = b) (4 – 6) · (8 – 3) – (5 – 9) · (1 – 7) + 18 = c) 3 · (5 – 9 + 2) – 8 · (3 – 6 – 2) + 4 · (5 – 12) = d) 20 – 2 · [10 – 3 · (6 – 9)] = e) 18 + 3 · (8 – 12) – 4 · [5 – 3 · (6 + 3 – 5 · 2)] = f ) 21 – 8 · (10 – 4) + (8 – 11) · [5 + (3 – 6) · (8 – 2)] = g) 6 · [5 – 2 · (8 – 13)] – 5 · [9 – 3 · (6 – 10)] = h) (2 – 5) · [4 – 3 · (4 – 9)] – (2 – 7) · [15 – 2 · (9 – 4)] =

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UNIDAD 1 Fracciones y decimales 4. Repasa la simplificación de fracciones

1 Simplifica y completa con la fracción irreducible. a) 12 = 21

b) 15 = 40

c) 18 = 24

d) 28 = 35

e) 48 = 72

f ) 54 = 72

g) 84 = 96

h) 75 = 150

i) 208 = 240

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UNIDAD 1 Fracciones y decimales 5. Repasa la suma y la resta de fracciones

1 Completa las siguientes sumas y restas de fracciones. a) 2 + 1 – 1 = + – = 3 5 2 30 30 30 30 b) 3 + 7 – 5 = 27 + – 20 = = 4 12 9 36 36 c) 3 + 1 – 7 = 5 4 10

+

d) 5 – 1 + 3 – 5 = 6 3 24 8

–

–

=

20

+

–

=

24

=

2 Calcula y completa con la fracción irreducible. a) 2 – 3 – 5 = 3 4 6

b) 7 – 5 + 1 = 10 6 5

c) 7 + 5 – 2 = 9 6 3

d) 13 + 11 – 7 = 16 24 12

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UNIDAD 1 Fracciones y decimales 6. Refuerza la suma y la resta de fracciones

1 Completa con fracciones irreducibles. a) 5 – 7 – 1 11 22 2

(

c) 7 – 1 – 2 5 3

(

e)

)=

)=

( 54 – 12 ) – ( 25 + 101 ) =

b) 1 –

d)

( 13 – 12 ) =

( 13 + 16 ) – ( 14 – 121 ) =

f) 1 – 1 3

(

) – ( 34 – 16 ) =

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UNIDAD 1 Fracciones y decimales 7. Refuerza las operaciones combinadas de fracciones

1 Calcula y completa con una fracción irreducible. a) 5 · 7

( 25 + 1) =

c) 3 : 1 – 5 14 7

(

e)

=

)=

( 12 + 17 ) · ( 56 + 13 ) =

g) 1 – 7 : 10

) ( 23 – 15 ) =

(

b) 2 · 3

( 23 – 1) =

d)

( 23 – 14 ) : 56 =

f)

( 59 – 23 ) · ( 65 – 3) =

h)

( 73 – 2) : ( 34 – 13 ) =

2 Resuelve, simplifica y completa. 2 3 —–— 3 5 a) = 1 1–— 5

(

1 1 —–— 3 7 b) = 1 1 —+— 3 7

)

( (

3 1 2· —–— 4 5 c) = 3 8 (–3) · — – — 10 15

(

)

3 Completa con una fracción irreducible. a) (–2) · 1 – 1 – 1 2 3

(

b) 3 : 10

c)

) )

1 3 (–4) · — + — 2 5 d) = 3 1 (–11) · — – — 2 5

) – ( 25 – 103 ) : ( 15 – 13 ) =

( 13 – 35 + 12 ) + 5 · ( 37 – 23 ) =

( 25 – 12 ) + 35 · [ 127 – 53 · ( 14 – 15 )] =

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UNIDAD 1 Fracciones y decimales 8. Repasa el concepto de fracción como operador

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1 Calcula mentalmente y completa. a) 1 de 32 = 4

b) 3 de 24 = 4

c) 1 de 52 = 2

d) 2 de 20 = 5

e) 5 de 30 = 6

f ) 2 de 70 = 7

g) 3 de 21 = 7

h) 5 de 40 = 8

2 Calcula y completa. a) 2 de 117 = 9

b) 7 de 380 = 10

c) 7 de 132 = 11

d) 11 de 350 = 14

e) 5 de 1 428 = 21

f ) 15 de 1 540 = 22

g) 9 de 1 674 = 31

h) 19 de 2 080 = 32

3 Calcula mentalmente y completa. a) 1 de 2

= 13

b) 1 de 4

=8

c) 3 de 4

= 15

d) 1 de 3

=4

e) 2 de 3

= 14

f ) 2 de 5

= 12

g) 3 de 5

= 15

h) 3 de 7

= 30

4 Calcula y completa. a) 1 de 6

= 107

b) 3 de 4

= 210

c) 2 de 5

= 168

d) 3 de 7

= 132

e) 9 de 10

= 243

f ) 7 de 13

= 357

g) 8 de 15

= 344

h) 5 de 17

= 245

UNIDAD 1 Fracciones y decimales 9. Ayuda al razonamiento. Paso de decimal periódico puro a fracción

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PROCESO Vamos a pasar a forma fraccionaria el decimal periódico puro N = 2,X 18. • Multiplica el número N por 100 y réstale N.

100 N =

,

…

N=

,

…

N=

,

…

–

• Despeja N para expresarlo como una fracción.

99 N = 216 8 N =

• Simplifica la fracción que has obtenido.

N = 216 = 99

• Comprueba el resultado con la calculadora.

N = 24 = 24 : 11 = 2,18181818… 11

CONCLUSIÓN Para pasar un número decimal periódico puro a fracción, se procede así: • Se pone en el numerador la parte entera seguida del primer periodo, menos la parte entera.

X= N = 2,18

• Se pone en el denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo.

=

–

=

=

ACTIVIDADES

Completa y después comprueba con la calculadora. A = 1,X 6=

B = 3,X 4=

–

–

=

=

=

C = 2,X 45 =

D = 1,X 03 =

–

–

=

=

=

=

UNIDAD 1 Fracciones y decimales 10. Ayuda al razonamiento. Paso de decimal periódico mixto a fracción

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PROCESO Vamos a pasar a forma fraccionaria el decimal periódico mixto M = 1,2X 54. • Multiplica el número M primero por 1 000 y después por 10 y resta los resultados.

1 000 M =

,

…

10 M =

,

…

990 M =

,

…

–

• Despeja M para expresarlo como una fracción.

990 M = 1 242 8 M =

• Simplifica la fracción obtenida.

N = 1 242 = 990

• Comprueba el resultado con la calculadora.

N = 69 = 69 : 55 = 1,254545454… 55

CONCLUSIÓN Para pasar un número decimal periódico mixto a fracción, se procede así: • Se pone en el numerador la parte no periódica seguida del primer periodo, sin comas, menos la parte no periódica.

M = 1,2X 54 =

• Se pone en el denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras decimales no periódicas tenga el número inicial.

=

ACTIVIDADES

Completa y después comprueba con la calculadora. A = 0,00X 5= B = 1,0X 18 = C = 1,57X 2= D = 0,41X 26 =

= –

=

=

–

= –

=

=

=

–

=

=

UNIDAD 1 Fracciones y decimales 11. Refuerza el cálculo de porcentajes resolviendo problemas

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1 En un hotel de 175 habitaciones están ocupadas el 60%. ¿Cuántas habitaciones están ocupadas? Solución: 2 El 32% de los 25 alumnos de una clase participan en un torneo de ajedrez. ¿Cuántos alumnos participan en el torneo? Solución: 3 En un colegio de 750 alumnos han aprobado todas las materias 495. ¿Qué tanto por ciento de alumnos ha aprobado todo? Solución: 4 Un agente inmobiliario cobra una comisión del 1,5 % sobre el precio de un apartamento que se ha vendido por 100 500 €. ¿Cuánto cobra por esa venta? Solución: 5 De los 1 300 alumnos de un colegio, 156 estudia tercero de ESO. ¿Qué tanto por ciento representan los alumnos de tercero? Solución: 6 En un club deportivo hay 124 socios que juegan al baloncesto y representan el 25 % del total. Calcula cuántos socios tiene ese club. Solución: 7 En un hospital están ocupadas 405 camas de las 450 que tiene el centro. ¿Cuál es el porcentaje de camas ocupadas? Solución: 8 Tres hermanos compran un regalo a su madre. El mayor paga 13,20 € que representan el 40% del precio del regalo. ¿Cuál es el precio del regalo? Solución: 9 En un depósito de agua hemos echado 57,4 litros que representan el 82% de su capacidad. ¿Cuántos litros caben en el depósito? Solución: 10 La superficie cultivada de una comunidad es 357 ha, lo que representa el 38% de su extensión. ¿Cuál es la superficie de esa comunidad? Solución:

UNIDAD 1 Fracciones y decimales 12. Refuerza el cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales

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1 En un restaurante han subido el menú del día un 8%. ¿Cuál será el nuevo precio si costaba 7,5 €? Solución:

€

cént

2 Tengo que pagar 352 € por un mueble en el que me incluyen el cobro de un 10% por transporte. ¿Cuál será el precio del mueble prescindiendo del transporte? Solución: 3 ¿Cuál sera el precio de unos zapatos de 68 € si nos hacen un descuento del 40%? Solución:

€

cént

4 ¿Qué descuento me han hecho en una factura de 1 385 € si he pagado 1 135,7 €? Solución: 5 Una camiseta cuesta 21 € después de rebajarla un 30%. ¿Cuál era su precio antes de la rebaja? Solución: 6 El número de alumnos que juega al baloncesto ha pasado en un año de 110 a 145, mientras que el número de los que juegan al tenis ha pasado de 45 a 57. ¿En cuál de los dos deportes ha sido mayor el aumento porcentual? Solución: 7 El precio de un coche que hoy cuesta 39 200 € ha subido en el último año un 12%. ¿Cuánto costaba ese mismo coche hace un año? Solución: 8 La cantidad de agua que hay en un depósito es de 1 107 l después de haber utilizado el 18% de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del depósito? Solución:

UNIDAD 1 Fracciones y decimales 13. Refuerza, resolviendo problemas, el cálculo de interés compuesto

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1 Se depositan en un banco 15 500 € al 3% anual. ¿En cuánto se habrán convertido al cabo de un año? Solución:

2 Se colocan en un banco 8 250 € al 4% anual durante 10 meses. Si los intereses se suman al capital al final de cada mes, ¿qué cantidad se podrá retirar al final de esos 10 meses? Solución:

3 ¿En cuánto se convertirá un capital de 30 000 € colocado al 5% anual de interés compuesto durante 3 años? Solución:

4 Si deposito en un banco 3 500 € al 6% de interés anual, y los intereses se suman cada mes al capital durante 6 meses, ¿qué cantidad podré retirar transcurrido ese tiempo? Solución: