Areas y perímetros de triángulos. • Teorema de Pitágoras. • Propiedades de las medidas de los lados de todo triángulo. • Area de un triángulo rectángulo y cualquiera. • Perímetro y semiperímetro de un triángulo cualquiera. • Formula de Herón. • Ejercicios en general de cálculo de áreas y perímetros en triángulos.

Teorema de Pitágoras : En todo triángulo rectángulo se cumple que "La suma de los cuadrados de las medidas de los catetos, es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa" luego: C a,b: catetos a b c: hipotenusa A

c

B

a2 + b2 = c2 Ejercicios: 1) Aplicar el teorema de Pitágoras en calcular la medida de "x" en:

(a)

T

(b)

C

13m.

8cm

6cm x

A

B

12m.

R

Catetos: 6 ; 8

Catetos: 12 ; x

Hipotenusa: x

Hipotenusa: 13

62 + 82 = x 2

122 + x 2 = 132

36 + 64 = x 2 100 = x 2 /

144 + x 2 = 169 x 2 = 169 − 144 x 2 = 25 /

100 = x 2

10 = x

x 2 = 25

x=5

x S

(c)

Z

15 plg.

(d)

17 plg.

C 6cm A

X Catetos: 15 ; x

x

Y

Hipotenusa: 17

152 + x 2 = 172

225 + x 2 = 289 x 2 = 289 − 225 x 2 = 64 / x 2 = 64

x=8

x

B

3 5cm

Catetos: 6 ; 3 5

Hipotenusa: x

6 2 + (3 5 )2

= x2

36 + 45 = x 2 81 = x 2 / 81 = x 2

9=x

2) Verifique si los siguientes tríos de medidas corresponden a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo: Las dos medidas menores corresponderían a la de los catetos y la medida mayor a la de la hipotenusa. (a) 8 , 12 y 16 cm.

Catetos: 8 ; 12

Hipotenusa: 16

? 82 + 122 = 162 64 + 144 208

256 ≠ 256

; no corresponden

(b) 4 , 6 , 2 13 mm.

Catetos: 4 ; 6

42 + 62

? = (2 13 )2

16 + 36

4·13 52

=

52 (c) 2 3 , 30 , 3 2 m.

Hipotenusa: 2 13

; si corresponden

Catetos: 2 3;3 2

Hipotenusa:

30

(2 3 )2 + (3 2 )2 = ( 30 )2

4·3 + 9·2

30

12 + 18 30

=

30

; si corresponden

Relaciones entre las medidas de los lados de un triángulo: En todo triángulo se debe cumplir que: i) La suma de las medidas de dos lados, debe ser siempre mayor que la medida del tercer lado. ii) La diferencia de las medidas de dos lados, debe ser siempre menor que la medida del tercer lado. Ejemplo: Sea ABC ; de lados de medida “a” , “b” , “c” con c > a > b ; luego:

Sea ABC ; de lados de medida “a” , “b” , “c” con c > a > b ; luego: C a

b

i) a + b > c

ii) a - b < c

a + c > b

c - a < b c - b < a

b + c > a A

c

B

Ejercicios: 1) Verifique si los siguientes tríos de medidas corresponden a las de los lados de un triángulo:

(a) 5 , 7 y 10 cm.

5 + 7 > 10 5 + 10 > 7 7 + 10 > 5

7 - 5 < 10 10 - 7 < 5 10 - 5 < 7

si corresponden (b) 3 , 7 y 18 mm.

3 + 7 = 10 y 10 no es mayor que 18. 18 - 3 = 15 y 15 no es menor que 7. no corresponden

(c) 5.25 , 8.5 , 12 m. 5.25 + 8.5 > 12 5.25 + 12 > 8.5 8.5 + 12 > 5.25 si corresponden

8.5 - 5.25 < 12 12 - 5.25 < 8.5 12 - 8.5 < 5.25

2) Si las medidas de dos lados de un triángulo son de 8 y 12cm. ¿Que medidas puede tomar el tercer lado obligadamente? Se tiene: 8cm, 12cm, con “x” medida del tercer lado: Por 1ª propiedad:

Por 2ª propiedad: 12 - 8 < x

8 + 12 > x 20 > x luego:

4 < x 4 < x < 20

El tercer lado puede tomar cualquier medida entre 4 y 20 cm.

Area de un triángulo: a) Rectángulo: Es igual al semiproducto de las medidas de sus catetos.

Ejemplo: Si a = 9cm y b = 16cm son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo, su área es: 8

A = 9·16 = 9·8 = 72cm2 2 1

2) Cualquiera: Es igual al semiproducto de la medida del lado por la medida de la altura correspondiente.

Ejemplo: Si c = 12cm es la medida del lado de un triángulo con hc = 8cm. medida de la altura correspondiente; luego su área es: 6

A = 12·8 = 6·8 = 48cm2 2 1

Perímetro de un triángulo: Queda determinado por la suma de las medidas de los lados de un triángulo; denotándose por 2S; luego:

Semiperímetro de un triángulo: Queda determinado por la semisuma de las medidas de los lados de un triángulo; denotándose por S; luego:

Formula de Herón: El área de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de sus lados "a" , "b" , "c" y de su semiperímetro “S” ; definiéndose:

Ejemplo: Si los lados de un triángulo miden a = 9cm ; b = 12cm ; c = 15cm; luego: Perímetro : 2S = 9 + 12 + 15 = 36 cm. Semiperímetro: S = 9 + 12 + 15 = 36 = 18 cm. 2 2

Al calcular el área de este triángulo por la formula de Herón; donde a = 9cm; b = 12cm; c = 15cm y S = 18 cm ; se tiene que:

A = 18 ⋅ (18 − 9) ⋅ (18 − 12) ⋅ (18 − 15 ) A =

18 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ 3

A =

9⋅2⋅9⋅3⋅2⋅3

A =

81 ⋅ 4 ⋅ 9

A =

9·2·3

A =

54 cm2

Ejercicios Complementarios: 1) Calcular el área y perímetro del en C. C 5cm

A

x =12cm

13cm

ABC; rectángulo x 2 + 52 = 132 x 2 + 25 = 169 x 2 = 169 − 25 x 2 = 144 /

B

x 2 = 144

x = 12 6

Area

ABC = 5·12 = 5 · 6 = 30 cm2 2 1

Perim.

ABC: 2S = 5 + 12 + 13 = 30 cm.

2) Si ABC isósceles de base AB con CD altura; entonces el área y perímetro de este triángulo es: C CD = hc = bγ = tc ⇒ D pto 1/2 de AB ⇒ AD = DB = 9cm x=15

15

A

h=12cm

9cm

D 18cm

En

92 + 122 = x 2 81 + 144 = x 2

225 = x 2/

9cm

B

225 = x 2 6

Area

BCD:

15 = x

ABC = 18·12 = 18 · 6 = 108 cm2 2 1

Perim.

ABC: 2S = 15 + 15 + 18 = 48 cm.

3) Si ABC equilátero lado 6cm; calcular su área y perímetro. Nota: Si el lado de un equilátero mide “a” ; la medida a 3 de la altura es h = 2 C 6cm

A

h= 3

6 3 = 3 3cm Si a = 6cm ⇒ h = 2

6cm 3

6cm

B 3

Area

6⋅3 3 ABC = = 3 ⋅ 3 3 = 9 3cm2 2 1

Perim.

ABC: 2S = 6 + 6 + 6 = 18 cm.

4) Calcular el área de la siguiente región achurada, si ABC es rectángulo en C y DE as altura del ADB. C 2 2 2 En ABC: x + 9 = 15 9cm

x 2 + 81 = 225

x =12cm

D

x 2 = 225 − 81 x 2 = 144 /

h=5cm

A

E

x 2 = 144

B

15cm

x = 12

Area achurada = A.

ABC - A.

ABD

6

9·12 2

-

=

54

-

=

54

-

=

1

15·5 2 75 2 37,5 = 16,5 cm2

5) El área y perímetro de la figura es: En

x2 +122 = 132 x2 = 169 - 144 x2 = 25 x=5

5cm=x

10cm=y Area Fig. = A.

AOB + A. 6

AOB:

COD

En

4

82 +62 = y2 64 + 36 = y2 100 = y2 10 = y

5 ⋅ 12 6⋅8 = + 21 21 = 30 + 24 = 54cm2

Perim. Fig.= P. AOB + P. COD = 5+12+13 + 6+8+10 = 54cm.

COD:

6) Si

ABC isósceles de base AB su área y perímetro es: Si

20cm

i) AC = BC = 20cm

h =16 12

ii) CD = bγ = hc = tc ⇒ D punto medio de AB

12 8

Area

ABC isósceles base AB ; luego:

24 ⋅ 16 ABC = 2

En C

CDB:

1

= 24·8 = 192cm2 Perim.

ABC = 20 + 20 + 24 = 64cm.

h

20cm

h2 +122 = 202 h2 = 400 - 144 h2 = 256 h = 16

D 12cm B

7) Si

ABC cualquiera; su área y perímetro es: 6

Area

13cm

14 ⋅ 12 ABC = 2 1

= 14·6

9cm 14cm En

ADC: C

x

12

A 5 D

52 + 122 = x2 25 + 144 = x2 169 = x2 13 = x

= 84cm2

En C 12 D

BDC:

Perim. 15

B y y2 +122 = 152 y2 = 225 - 144 y2 = 81 y=9

ABC = 13 + 14 + 15 = 42cm.

8) Si ABC equilátero; BC = BD; el área de región achurada es:

6cm

6cm

h=3 3

6cm

6cm

Si BD = BC con ABC equilátero ⇒ BD = BA = 6cm ⇒ ABC equilátero lado 6cm.

La altura del BDC es coincidente con la altura del ABC equilátero lado 6cm; luego h = 6 3 h= = 3 3 cm. 2 Area achurada = Area BDC 3 6⋅3 3 = 21

h=3 3

6cm

2 = 9 3 cm .

9 ) Si ABC isósceles de base AB=18cm y lado igual a 15cm. Si AD=DE=EB; el área y perímetro del DEC es: Si AB = 18cm con AD = DE = EB ⇒ 12 y

Sea M pie de la altura del ABC isósceles de base AB ⇒ M es punto medio de AB.

6 6

En C

h

3 3 M

AD = DE = EB = 6cm

⇒ M es punto medio de DE.

6

MBC:

15cm

M 9cm B

En

h2 +92 = 152 h2 = 225 - 81 h2 = 144 h = 12

MEC:

122 + 32 = y2 144 + 9 = y2 153 = y2 y

12

153 = y 9 ⋅ 17 = y

3

3 17 = y

3 17 12 3 17

6 6

Area

6 ⋅ 12 DEC = = 6 · 6 = 36cm2 2 1

Perímetro

DEC = 6 + 3 17 + 3 17 = 6 + 6 17 = 6(1 + 17 )cm.

10) Si ABC cualquiera; L, M, N puntos medios lados. ¿Qué parte del área del ABC es el área del LMN? Sea 2h

Si NM es mediana, mide la mitad del lado opuesto; luego NM = a

a h 2a 1

Area

La altura del LMN al ser bajada de la mediana mide la mitad de la altura del ABC; luego esta mide “h”

2a ⋅ 2h = 2ah ABC = 2 1

Area

ABC de base “2a” y de altura “2h”

a ⋅h LMN = 2

a ⋅h ¿Qué parte de 2ah es ? 2

a ⋅h ¿Qué parte de 2ah es ? 2 Se debe dividir la parte por el total: a ⋅h 1 1 1 2 = ah ⋅ 1 = ⋅ = 2ah 2 2ah 2 2 1

¿Qué parte del área del Es la cuarta parte.

1 4

ABC es el área del

LMN?

Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-57

1) B 3) B 5) A 7) C 9) C 11) D

2) 4) 6) 8) 10) 12)

C D B B C A

13) 15) 17) 19) 21)

A E D A C

14) E 16) B 18) C 20) B 22) C