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LÍMITES – Cálculo y representación 1. lim
x 3 - 2x 2
x2 +1 x2 +1 2. lim x→ 2 x - 2 x→ 1
3
x - 2x
3. lim
x → 0 x 2 + 2x 2
4. lim
x + 2x - 3
x→ 1 x
2
+x-2
5. lim (2 x + 4) 2
9. lim
x → +∞
10. lim
x → +∞
11. lim
x→ 3
12. lim
x → +∞
6. lim
x → +∞
7. lim
x → +∞
8. lim
x → +∞
3x -x 2 x 2 - 3x 2x
2
3x 3
x 4 + 2x - x x2 - 9 x +1 - 2 x 2 + 2x + x
2x + 3 - x x → +∞ 4x + 4
13. lim
x → -∞
2x + 1
x 2 + 2x - x
14.
4x + 3 2 x x → +∞ 4x + 4 lim
x+2 x→ 2 x + 3
15. lim
2
x2
1 x -2 3
2x 2 - x 16. lim x→ 2 x + 2
ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS – Cálculo y representación 1. y = x3 – 2x -1 x +1 2. y = 2 x +1 x +1 3. y = 2 x +x
2x 2 + 1 4. y = x +1 x4 +1 5. y = x2
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 – ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DOMINIO - Polinomio : D = R - Cocientes : D = R – {puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par : D = {Lo de dentro de la raíz ≥ 0} - Raíces de índice impar : D = R - Logaritmos : D = {Lo de dentro del logaritmo > 0} - Exponenciales : D = R - Trigonométricas : Seno y coseno D = R ; El resto se estudia como un cociente - Arcoseno y arcocoseno : D = {-1 ≤ Lo de dentro del arco ≤ 1} PUNTOS DE CORTE - Con el eje OX : y = 0 ⇒ x = x0 ⇒ P(x0,0) - Con el eje OY : x = 0 ⇒ y = y0 ⇒ P(0,y0) SIMETRÍA - Simétrica respecto del OY o par: f(-x) = f(x) - Simétrica respecto del Origen o impar : -f(-x) = f(x) - No simétrica SIGNO DE LA FUNCIÓN - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio ⇒ x = a, .... - Se resuelve la ecuación f(x) = 0 ⇒ x = x0, x = x1,..... - Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y sustituyendo en y = f(x) se obtiene el signo de la función ASÍNTOTAS - Asíntotas verticales: Puntos donde la función se va al infinito: y ⇒ ∞, x = a - Cocientes: Puntos que anulan el denominador - Logaritmos : Puntos que anulan lo de dentro del logaritmo - Aproximación a la asíntota : Calcular límites laterales - Asíntotas horizontales : Puntos donde la x se va al infinito : x ⇒ ∞, y = b - Cálculo : lim f ( x ) = b ⇒ y = b x →∞
-
-
Aproximación f(±100)
> b La función por encima de la asíntota < b La función por debajo de la asíntota
Asíntotas oblicuas -
f (x ) ; n = lim[f ( x ) − mx ] x →∞ x > 0 La función por encima de la asíntota Aproximación f(±100)–Asínt(±100) < 0 La función por debajo de la asíntota
Cálculo : y = mx + n; m = lim x →∞
MONOTONIA Y PUNTOS CRÍTICOS -
Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio ⇒ x = a, .... Se resuelve la ecuación f ’(x) = 0 ⇒ x = x0, x = x1,..... Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y sustituyendo en y = f ’(x) se obtiene el signo de la función Si f ‘(a) > 0 la función es creciente en dicho intervalo, y si es < 0 es decreciente. Máximo relativo : P(a,f(a)) : x = a es el punto del dominio donde la función pasa de creciente a decreciente. Mínimo relativo : P(a,f(a)) : x = a es el punto del dominio donde la función pasa de decreciente a creciente.
CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN -
Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio ⇒ x = a, .... Se resuelve la ecuación f ’’(x) = 0 ⇒ x = x0, x = x1,..... Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y sustituyendo en y = f ’’(x) se obtiene el signo de la función Si f ‘(a) > 0 la función es convexa en dicho intervalo, y si es < 0 es concava. Puntos de inflexión : P(a,f(a)) : x = a es el punto del dominio donde la función cambia la curvatura.
TABLA DE VALORES Dando valores a la “x” se calculan los correspondientes de la “y” sustituyendo en la función REPRESENTACIÓN GRÁFICA
11.2 – REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS F(x) = P(x) DOMINIO: D(f) = R PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: OX: y = 0 ⇒ x = x0 ⇒ P(x0,0) OY: x = 0 ⇒ y = y0 ⇒ Q(0,y0) RAMAS INFINITAS DE LA FUNCIÓN (No hay asíntotas) lim f ( x ) = ±∞ lim f ( x ) = ±∞ x →+∞
x →−∞
MONOTONÍA Y EXTREMOS CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA (Y tabla de valores)
11.3 – REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES F(x) = g(x) / h(x) DOMINIO: D(f) = R – {x / h(x) = 0} PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: OX: y = 0 ⇒ x = x0 ⇒ P(x0,0) OY: x = 0 ⇒ y = y0 ⇒ Q(0,y0) ASÍNTOTAS O RAMAS INFINITAS DE LA FUNCIÓN MONOTONÍA Y EXTREMOS CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA (Y tabla de valores)
11.4 – REPRESENTACIÓN DE OTRO TIPO DE FUNCIONES RAÍCES DOMINIO: Tenerlo en cuenta en el resto de apartados ASÍNTOTAS OBLICUAS: Hacer por separado en el más infinito y en el menos infinito. LOGARITMOS y = log (f(x)) DOMINIO: Tenerlo en cuenta en el resto de apartados ASÍNTOTAS HORIZANTALES: f(x) = 0 EXPONENCIALES y = af(x) ASÍNTOTAS: hacer por separado en el más infinito y en el menos infinito. TRIGONOMÉTRICAS DOMINIO: Tenerlo en cuenta en el resto de apartados PERIODICIDAD: - seno y coseno: 2π ó 360º - tangente: π ó 180º
Calcular los dominios de las siguientes funciones: a) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 8 + 3𝑥 2 − 6𝑥 + 5 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 𝑥 − 2 3
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +1 d) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥
e) 𝑔 𝑥 =
f)
𝑥 =
g) 𝑘 𝑥 =
𝑥+2 𝑥 2 +𝑥−2
1 𝑥−2
𝑥+2 3𝑥+1−𝑥
1
h) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥
i)
𝑓 𝑥 =
j)
𝑓 𝑥 =
k) 𝑔 𝑥 =
𝑥 3𝑥−2
𝑥 2 +5𝑥−2 tan 𝑥
𝑥−2 4𝑥
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Ejercicio 1: Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta: a) b) c) d)
DOMINIO Ejercicio 2: Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones: 1 x a) y = 2 b) y = 1 2x c) y = 2 d) y = 2x x 4 x 6 1 1 1 e) y = 2 f) y = g) y = 2 h) y = 6 3x x 4 x 2x x2 3 x 1 i) y = j) y = 3 2x 4 k) y = l) y = x 2 1 2 ( x 5) x m) y =
x2 x 3
n) y = log2 (x2 – 4)
ñ) y = tag x
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DADAS GRÁFICAMENTE Ejercicio 3 : Observando la gráfica de estas funciones, estudia sus propiedades a) b) c) d)
Ejercicio 4 : La siguiente gráfica muestra la altura que alcanza una pelota en función del tiempo, desde que se lanza verticalmente hasta que cae por primera vez al suelo. a ¿Cuál es el dominio? b Indica la altura máxima que alcanza y en qué momento. c ¿Durante cuánto tiempo la altura es superior a 300 m? d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función y explica su significado dentro del contexto del problema.
LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 – LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 – LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un punto lim f ( x ) = l
Se lee: El límite cuando x tiende a c de f(x) es l
x→c
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c Notas: - Que x se aproxima a “c” significa que toma valores muy cerca de “c” (Se puede acercar por la izquierda o por la derecha). - l puede ser +∞ ó -∞ y entonces x = c es una asíntota vertical.
Límites laterales de una función en un punto • Límite por la derecha: lim+ f ( x ) = l Se lee: El límite cuando x tiende a c por la derecha de f(x) es l x →c
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c por la derecha.
• Límite por la izquierda: lim− f ( x ) = l Se lee: El límite cuando x tiende a c por la izquierda de f(x) es l x →c
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c por la izquierda.
Existen del límite Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que existan los dos límites laterales y sean iguales.
11.1.2 – LÍMITES EN EL INFINITO lim f ( x ) = +∞
x → +∞
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es más infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores grandes positivos. (1º cuadrante)
lim f ( x ) = −∞
x → +∞
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es menos infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores grandes positivos. (4º cuadrante)
lim f ( x ) = l
x →+∞
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es l Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes positivos: y = l es una asíntota vertical.
lim f ( x ) = +∞
x → −∞
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es más infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores grandes negativos. (2º cuadrante)
lim f ( x ) = −∞
x → −∞
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es menos infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores grandes negativos. (3º cuadrante)
lim f ( x ) = l
x →−∞
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es l Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes negativos: y = l es una asíntota vertical.
11.1.3 – CÁLCULO DE LÍMITES 1 – Se sustituye la “x” por el valor al que tiende 5x a) lim x 2 b) lim x →3 x →2 x − 5 d) lim (sen x + 3) e) lim log10 x π x→ 4
c) lim 3x + 4 x →7
f) lim 2x 2 + 4x + 7 x →+∞
x→0 ,1
g) lim − 2 x 2 − 4 x + 7
h) lim 2x 2 − 4x + 7
i) lim − 2x 2 + 4x + 7
j) lim 2 x + x 3 − 3
k) lim 2x + x 3 − 3
l) lim
x → +∞
1 x → +∞ 3x x3 −1 ñ) lim x → −∞ − 5
x →−∞
x → +∞
x3 −1 x → +∞ − 5
1 x → −∞ x2 2 – Indeterminaciones: m) lim −
k 0
x →−∞
x → −∞
n) lim
Hallar límites laterales
2 x−2 −3 d) lim x →2 2 − x
a) lim
b) lim
x →2
0 0
x →2
e) lim x →2
−2 x−2 3x
c) lim x →2
f) lim
(x − 2 )2
x →2
3 2−x −3
(x − 2 )2
Factorizar y simplificar
x 2 − 5x + 6 x → 2 x 2 + 3x − 10
a) lim
x 3 − 5x 2 + 6 x x → 2 x 3 − 7 x 2 + 16 x − 12
b) lim
x 3 − 5x 2 + 6 x x →3 x 3 − 7 x 2 + 16 x − 12
c) lim
± ∞ Si grado del numerador > grado del denominado r (El signo depende de los coeficient es de la x de mayor grado del numerador y del denominado r) ∞ a Si grado del numerador = grado del denominado r (a y b son los coeficient es ∞ b de la x de mayor grado del numerador y del denominado r) Si grado del numerador < grado del denominado r 0
x 2 − 5x + 3 x →∞ 3x − 5 3x 2 − 5 x + 1 c) lim x →∞ 2x 2 − 5 a) lim
x2 + 3 x →∞ x3 x2 + 3 d) lim x →∞ − x 3 b) lim
∞ - ∞ Se hacen operaciones. Cuando aparecen radicales, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada. 1− 1− x 2x 1 a) lim − 2 b) lim x → 0 x →∞ x x x + 1
1 1∞ : Tipo número e : Aplicar : lim 1 + a f ( x ) x→ ∞
f (x)
=e ó
lim g ( x ).[f ( x )−1]
lim f ( x ) g( x ) = e x → a
x →a
3- En funciones definidas a trozos, en los puntos donde esté definida de distinta forma si me aproximo por valores más pequeños, que por valores más grandes, habrá que hacer límites laterales. 2 x − 5 si x < 3 a) Dada la función f(x) = Calcular su límite en los puntos 3,1, 7 - x + 7 si x ≥ 3
11. 2 – ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS -
Asíntotas verticales: x = c y → ∞
Cálculo: Puntos que anulan el denominador Puntos que anulan lo que está dentro del logaritmo − ∞ Por abajo Aproximación: Calcular los límites laterales + ∞ Por arriba - Asíntotas horizontales: x → ∞ y = b (Grado numerador ≤ Grado denominador) Cálculo: lim f ( x ) = b x →∞
< 0 Por debajo Aproximación: f(± 1000) – Asíntota > 0 Por encima - Asíntotas oblicuas: y = mx + n (Grado Numerador – Grado denominador = 1) m = lim
Cálculo:
x →∞
f (x ) x
; n = lim (f ( x ) − mx ) x →∞
< 0 Por debajo Aproximación: f(± 1000) – Asíntota(± 1000) > 0 Por encima
RAMAS INFINITAS
(Grado Numerador – Grado denominador ≥ 2)
Cálculo: lim f ( x ) = ±∞ x → ±∞
x 2 − 5x + 7 x−2 3x − 5 d) y = 2 x + 3x + 2
a) y =
x2 +1 x 2 − 2x x2 +1 e) y = 2 x − 2x b) y =
2x x + 2x x 3 − 5x 2 f) y = −x +3 c) y =
2
11.3 - CONTINUIDAD La idea de función continua es la de que “puede ser construida con un solo trazo”. Una función f(x) es continua en el punto x = a si lim f ( x ) = f (a ) x→ a
Todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta ahora, exceptuando las funciones a trozos), son continuas en todos los puntos de su dominio. Las funciones a trozos habrá que estudiarlas en los extremos de sus trozos que pertenezcan al dominio. Tipos de discontinuidades -
Discontinua inevitable de salto infinito: Si alguno de los límites laterales es infinito o no existe.
-
Discontinua inevitable de salto finito: Si los dos límites laterales son finitos pero distintos. El salto es la diferencia, en valor absoluto, de los límites laterales.
-
Discontinua evitable: Si los dos límites laterales son finitos e iguales, pero su valor no coincide con f(a) o no existe f(a)
x2 − 3 x+2 c) y = d) log x x x −3 3x − 4 si x < 3 3 si x ≠ 4 e) y = x + 2 f) y = g) y = x + 1 si x ≥ 3 1 si x = 4 x 2 − 5x + 1 si x ≤ 4 h) Calcular el valor de n para que la función f(x) = sea si x > 4 2x + n continua en todo R. x 3 − 2x + k si x ≠ 3 sea continua en R i) Calcular k para que y = si x = 3 7 a) y = x2 – 5
b) y =
1
CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES EJERCICIO 1 : Sobre la gráfica de f(x), halla : Y
a) lim f x
8
x
6
b) lim f x
4
x
2 8 6 4 2 2
2
4
6
c) lim f x
X
8
x 2
d) lim f x
4
x 2
6
e) lim f x x 0
Solución: a) lim f x 1 b) lim f x 1 c) lim f x x
x
x 2
d) lim f x
e) lim f x 1 x 0
x 2
EJERCICIO 2 : A partir de la gráfica de f(x), calcula: Y
a) lim f x
8
x
6
b) lim f x
4
x
2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
c) lim f x
X
x 1
d) lim f x
4
x 1
6
e) lim f x x 5
Solución: a) lim f x x
b) lim f x x
c) lim f x 2 x 1
d) lim f x 3 x 1
e) lim f x 0 x 5
EJERCICIO 3 : Representa gráficamente los siguientes resultados: a) lim f x b) lim g x x
Solución: a)
x
b)
EJERCICIO 4 : Representa los siguientes límites: lim f x
lim f x
x 2
x 2
Solución:
2
EJERCICIO 5 : Representa en cada caso los siguientes resultados: a) lim f x 2 b) lim g x x
Solución: a)
x
b)
2
2
o bien
2 EJERCICIO 6 : Representa gráficamente: a) lim f x 1 x
b) lim g x 0 x 1
Solución: a)
b) Por ejemplo: 1
1
1
o bien x 1 x 1 , sabemos que : lim y x 3 x 3 x 3 Representa gráficamente estos dos límites.
EJERCICIO 7 : Para la función f x
lim x 3
x 1 x 3
Solución: 3
CÁLCULO DE LÍMITES INMEDIATOS EJERCICIO 8 : Calcula los siguientes límites: x 3 4 a) lim 2 b) lim x 2 9 d) lim e) lim 6 3 x c) lim cos x x 3 x 2 x 3 x 3 x 0 2 x 2 x x 1 x 1 Solución: 4 4 4 2 a) lim 2 b) lim x 2 9 9 9 0 0 c) lim cos x cos 0 1 x 3 x 2 x 3 x 3 x 0 9 6 3 18 9 x 3 1 1 d) lim e) lim 6 3x 6 3 9 3 2 7 x 2 x x 1 4 2 1 x 1 EJERCICIO 9 : Calcula el límite de la función f x Solución: x4 x 1 1 1 lim x 1 3 2 3 2 6
x4 x en x 1 y en x 3. 3 2
x4 x 3 51 lim 27 x 3 2 2 2 3
EJERCICIO 10 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: 2x 2 2x 2 2x 2 a) lim 3 b) lim 3 c) lim 3 x 3 x 2 x 2 x x x 2 x 2 x x 1 x 2 x 2 x Solución: 2x 2 4 1 x 3 2 x 2 x 12 3 2x 2 b) lim 3 0 x x 2 x 2 x 2x 2 2 x 1 2 c) lim 3 lim lim x 1 x 2x 2 x x 1 x x 12 x 1 x x 1 a) lim
x 3
Hallemos los límites laterales: 2 2 lim ; lim x 1 x x 1 x 1 x x 1
1 1
2
3
3 EJERCICIO 11 : Resuelve los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: x 2 3x x 2 3x x 2 3x a) lim b) lim c) lim 2 2 2 x 1 2 x 12 x 18 x 2 x 12 x 18 x 3 2 x 12 x 18 Solución: x 2 3x 4 1 x 1 2 x 2 12 x 18 32 8
a) lim
x 2 3x 1 b) lim x 2 x 2 12 x 18 2 2 x 3x x x 3 x c) lim lim lim 2 x 3 2 x 2 12 x 18 x 3 x 3 2x 3 2x 3 Hallamos los límites laterales: x x lim ; lim x 3 2x 3 x 3 2x 3
1 3 2 1
1
EJERCICIO 12 : Halla los límites siguientes y representa gráficamente la información que obtengas: 2x 4 4x 3 2x 4 4 x 3 2x 4 4 x 3 a) lim 2 b) lim 2 c) lim 2 x 1 x 4 x 4 x x 4 x 4 x 2 x 4 x 4 Solución: 2x 4 4x 3 6 2 a) lim 2 x 1 x 4 x 4 9 3 2x 4 4 x 3 b) lim 2 x x 4 x 4 2x 4 4 x 3 2 x 3 x 2 2x 3 c) lim 2 lim lim x 2 x 4 x 4 x 2 x 22 x2 x 2 Hallamos los límites laterales: 2x 3 2x 3 lim ; lim x 2 x 2 x 2 x 2
1 2
1
1
EJERCICIO 13 : Halla los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: x2 x x2 x x2 x a) lim b) lim c) lim x 2 3 x 2 6 x 3 x 3 x 2 6 x 3 x 1 3 x 2 6 x 3 Solución: x2 x 6 2 a) lim x 2 3 x 2 6 x 3 27 9 2 x x 1 b) lim x 3 x 2 6 x 3 3 x2 x x x 1 x c) lim lim lim 2 x 1 3 x 2 6 x 3 x 1 x 1 3 x 1 3x 1 Hallamos los límites laterales: x x lim ; lim x 1 3x 1 x 1 3x 1 EJERCICIO 14 : Calcula los límites siguientes y representa gráficamente los resultados que x2 x 2 x2 x 2 x2 x 2 obtengas: a) lim 2 b) lim 2 c) lim 2 x 0 x 4 x 4 x x 4 x 4 x 2 x 4 x 4 Solución:
4 2
x x2 2 1 4 2 x 2 4x 4 2 x x 2 b) lim 2 1 x x 4 x 4 x 2x 1 lim x 1 x2 x 2 c) lim 2 lim x 2 x 4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 Hallamos los límites laterales: x 1 x 1 lim ; lim x2 x 2 x 2 x 2 a) lim
x 0
1 1
2
1
CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 15 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a) lim x 2 3 x 1
d)
g)
e)
2x 4 3x
lim x
x
4
lim
3 x 3
k)
f)
2x 4 3x
lim
x4 1
x
2x 1
x 1 x 3
1
Solución: a ) lim x 2 3 1 3 2 x 1
x 1 x 2 1
x2 lim 2x x 3
h)
x2 x
c) lim
x 2 x 2 2
x 2 x 2 4 x 4
lim
1
b) lim
x2 4
lim
x
j)
i)
2
lim
2x 1
x 1 x 2
x x x 1 lim
1
b) lim
x 2 x 2 2
c ) lim
x2 x
x 1 x
2
x x 1 x 1 x 1 x 1
lim
1 x 1 1 lim x 1 x 1 2 2 2
d) lim
x2 4
x 2 x 2 4 x 4
x 2x 2 lim x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2
lim
e)
Hallamos los límites laterales: x2 lim x 2 x 2 x2 lim x2 x 2
f)
lim
2 x 4 3x
x x 4 1
2
g)
lim
2 x 4 3x
x x 4 1
2
x2 lim 2x x 3
h)
lim
2x 1
x 1 x 2
0
5 i)
lim
2x 1
x 1 x 2
0
3
j) lim 3 x 3 x
x x x 1
k)
lim
EJERCICIO 16: Halla el límite cuando x de las siguientes funciones y representa gráficamen te la información que obtengas: a) f x
x x3 1 2 2
Solución: x x3 a) lim 1 x 2 2
b) f x
3x 2 2x 3 5
3x 2 2x 3 x 5
b) lim
EJERCICIO 17 : Calcula el límite cuando x y cuando x de la siguiente función y representa la información que obtengas:
f x
1 2x 2 4x 3
Solución: 1 2x 2 4 x x 3 lim
1 2x 2 4x x 3 lim
EJERCICIO 18 : Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos: 2 2 a) lim 4 x b) lim 4 x x
x
Solución: 2
a) lim 4 x x
2
b) lim 4 x x
EJERCICIO 19 : Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas: x x2 x x4 a) lim x b) lim x x 3 x 4 4 3 Solución: x x2 a) lim x x 3 4
x x4 b) lim x x 3 4
6 CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 20 : Calcula: a)
x
e)
i)
lím e x x 2 1 3x 2 2 x log x lím
x log x 2
lím
f)
x1
x 2
lím x 3 log x x
x 4 3x
lím
b)
j)
lím
x
3
c)
g)
lím 3x 2 x 9 1 x
lím 2 x x 2 x
d)
ex x x 1
h)
ln x 2 1 x x
lím
lím
x
x x 2 1
Solución: a) lím e x x 2 1 x
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia. x 4 3x x 4 3x b) lím lím x log x 2 x log x 2 Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo. 9 2 9 c) lím 3x x 1 lím x 2 x x d)
ex e x 0 lím 0 x x 1 x x 1 lím
3x 2 2 x log x Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. x 1 x 1 f) lím lím x 2 x x 2 x e)
g)
lím
lím 2 x x 2 x
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
ln x 2 1 ln x 2 1 lím 0 x x x x Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. h)
lím
i)
lím x 3 log x x
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos. j)
lím
3x 2
lím
x x 1
3x
x x
2
1
0 0
EJERCICIO 21 : Halla los límites: a)
e)
lím 5x 2 2x 3x x lím x
i)
3x 2
lím x
x 2 3x 1 x 6 2x
c)
lím x
3 2 x4 1 2x 4 1
d)
x2 1 x3 lím x x 2 x 2 1 3
f)
5x 2 3x 1
3x 2 x3 lím x x 1 x 2 1
Solución:
b)
j)
2x 5 1 lím x 2 3x 2x g) lím 3x 2 1 2x h) lím x x x x 4 2 lím x
2x 3 3x 2 1
7 5 x 2 x 3 x 5 x 2 x 3 x a) lím 5 x 2 2 x 3 x lím x x 2 5 x 2x 3 x 2
lím
5x 2 2x 9x 2
2
4 x 2 2x
lím
x
5 x 2 2 x 3 x x 5 x 2 2 x 3 x x 2 3x 1 x 2 3x 1 b) lím lím 0 x x x 6 2x x 6 2x
3 2 x 4 1
lím
c)
2x 4 1
x
3 2 x 4 1
lím
2
2x 4 1
x
2
2
x 2 1 ( x 2 1) ( x 2 1) x 3 (x 2) x3 x 4 1 x 4 2x 3 lím lím lím x x 2 x x 3 x 2 x 2 2 x 2 1 x ( x 2) ( x 2 1) 2x 3 1 lím 3 2 x x 2 x 2 x 2
d)
3x 2
lím
e)
3
5x 2 3x 1
x
5
3 5 5
2 2 x 3x 2 x x 3x 2 x 2 2 f) lím x 3x 2 x lím x 3x 2 x lím x x x x 2 3x 2 x lím
x 2 3x 4x 2
x
x 2 3x 2x
3x 2 3x
lím
x
x 2 3 x 2x
2 2 3x 1 2 x 3x 1 2 x 3x 2 1 4 x 2 2 g) lím 3x 1 2 x lím lím x x x 3x 2 1 2 x 3x 2 1 2 x lím
x
x2 1 3 x 2 1 2x 3
h)
lím x
i)
2x 5 1 x4 2
3
lím x
2x 5 1
0
x4 2
3x 2 ( x 2 1) x 3 (x 1) 3x 2 x3 3x 4 3x 2 x 4 x 3 lím lím lím x x 1 x 2 1 x x ( x 1) ( x 2 1) x 3 x x 2 1 2x 4 x 3 3x 2 x x 3 x 2 x 1
lím
j)
lím x
2x 3
2x 3
lím
3x 2 1
x
3x 2 1
2 3
2 3 3
EJERCICIO 22 : Calcula: a) lím 3 x 1
2x 3 3x 2 1
b) lím
3x 3 8 x 2 7 x 2
2x 4 2
x 0
2x x 1 d) lím 2 x 3 x 3 x 9
e) lím
c) lím
3x2 x 2
x 1 x 3 x 2 x 1
x1 1 2x 2 x 10
x 2 x 3 3x 2 4
Solución: a) lím 3 x 1
b) lím x 0
2 x 3 3x 2 1 3
2
lím 3
3x 8 x 7 x 2
2x 4 2 x 1 1
lím
x 1
2x 1 x 12 3x 2 x 12
2x 1 3 lím 3 3 3 x2 x 1
( 2x 4 2) ( 2x 4 2) ( x 1 1)
x 0 ( x 1 1) ( x 1 1) ( 2x 4 2)
lím
(2x 4 4) ( x 1 1)
x 0 (x 1 1) ( 2x 4 2)
8 lím
2x ( x 1 1)
x 0 x ( 2x 4 2)
2x 4 2
x 0
2
3x x 2
c) lím
2( x 1 1)
lím
x 1 x 3 x 2 x 1
4 1 4
x 13x 2 lím 3x 2 5 x 1 x 12 x 1 x 1 x 1x 1 (0)
lím
3x 2 ; x 1 x 1x 1
Hallamos los límites laterales: lím
3x 2 No existe x 1 x 1x 1 lím
2x x 2 2x 3 18 x 1 2 x x 1 x 3 2x x 2 4x 3 d) lím lím lím lím x 3 x 2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 (0)
x 2 2x 3 ; x 3 x 3x 3
Hallamos los límites laterales: lím e) lím
2x 2 x 10
x 2 x 3 3x 2 4
x 2 2x 3 No existe x 3 x 3x 3 lím
2x 5x 2 lím 2x 5 9 x 2 x 1x 22 x 2 x 1x 2 (0)
lím
2x 5 ; x 2 x 1x 2
Hallamos los límites laterales: lím
2x 5 No existe x 2 x 1x 2 lím
EJERCICIO 23 : Calcula los límites: 3x x 1
2x
x x 2
2x 4 a) lím x 1 x 2 x 6
2x 2 x 1 x 3 c) lím x 3 4x 4
3x 2 b) lím x 2 x 2 2x 4
3
1
x 2 3x 1 x d) lím x 0 5x 1
x 2 2 x 3 x 1 e) lím x1 x 1
Solución: 3x x 1
2 x 4 x 2 x 6 3x ( x 2 3x 2) (3x ) 2x 4 3x · lím lím lím 2 1 · 2 2 x 1 x x 6 x x 6 x 1 e x 1 x 1 e x 1 ( x x 6) ( x 1) e
2x 4 a) lím x 1 x 2 x 6 lím
e
x 1
3x ( x 2) ( x 1) ( x 2 x 6) ( x 1)
lím
e
x x 2
3x 2 b) lím x 2 x 2 2 x 4 lím
e
x 2
x ( x 3) ( x 2) ( x 2 2x 4) ( x 2)
x 1
3 x ( x 2 ) x 2 x 6
3 6 e
1 e2
3x 2 x 2 2 x 4 x ( x 2 5 x 6) x 3x 2 x · lím lím 2 lím 2 1 · 2 x 2 x 2 x 2 x 2x 4 ( x 2 x 4) ( x 2) x 2x 4 x 2 e x 2 e e lím
e
x 2
x ( x 3) ( x 2 2 x 4)
2 e4
1 e2
2x 2 x x 1 2 x 2 x 2 x 1 4 x 4 2 x 2 x 2 5x 3 2 x · lím 1 · lím 2 lím · 2x x 1 x 3 x 3 x 3 4x 4 4x 4 x 3 e x 3 e x 3 4 x 4 x 3 c) lím e x 3 4x 4 2
lím
e
x 3
2x 1x 32x lím 2 x 12x 42 21 4x 4x 3 e x 3 4x 4 e 16 e 8 3
x 2 3x 1 3
x 2 3x 15 x 1 3 · 5 x 1 x
lím 1 · lím x 2 3x 1 x e x 0 5x 1 x e x 0 d) lím x 0 5x 1 lím
lím
e x0
3x x 8 x 2 8 x 3 lím · x 0 x 5 x 1 5 x 1 x e
3x 8
e x 0 5 x 1 e 24
e) lím
1 x 2 2x 3 x 1
x 1 lím
e
x 1
x 1
x 2· x 1 x 1· x 1 e lím x 1
x 2 2x 3 1 x 2 2 x 3 x 1 1 x 2 3x 2 1 · lím 1 · lím lím · x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 e x 1 e x 1 x 1 x 1 e x 2 1 x 1 e 2
9 EJERCICIO 24 : Calcula estos límites: x
1 2x b) lím x 2x 5
2 3x 2 a) lím x 2 x 1
2x
2x 2 1
5x 2 3 c) lím x 4 5 x
x 1
1 e) lím 2 x x
2x 3
2x 1 i) lím x 3x 2
x2 1 g) lím x x 2 2
3x 2 2 f) lím x 2 3x 2
x2
j)
2x 2 lím x 3 2x
2x
4x 2 d) lím x 3x 5
x2 1
4x 2 7 h) lím x 3x 2 9x
x
x1
Solución: 2 3x a) lím x 2 x 1 1 2x b) lím x 2 x 5
x 2
x
2 3x 2 3 lím x 2 x 1 2
2 x 2 1
e 2x
1 2 x lím 1 · 2 x 2 1 2 x 5
x
e
1 2 x 2 x 5 2 lím · 2 x 1 2 x 5
x
lím
e
x
8 x 2 4 2 x5
e 0
5x 2 2 x 5 x 2 4 5 x 2 x 12 x 12 4 lím 1 · lím · lím 4 5x 3 e x 3 e x 1215x e 15 e 5
x 4 5x 5x 2 3 c) lím e x 4 5 x
4x 2 d) lím x 3x 5 e)
1 lím 2 x x
x 2 1
2 x 3
4x 2 lím x 3x 5
1 lím 2 x x
x 1
3x 2 f) lím x 2 3x 2
x 2 1
2 x 3
3x 2
2 0 3x 2 23x 2 x 1 · 2 3x 2 2
x 1
lím
e
x
2x 2 46x 2 e 0 1
x 2 1 x 2 1 x 2 2 6x · 2x lím 2 1 · 2 x lím lím 2 x x 2 2 x 2 e e e x x 2 e 0 1
2x
x
x
2 4x 2 7 lím 4 x 7 h) lím x 3x 2 9x x 3x 2 9x
2x 2 j) lím x 3 2 x
lím 1 · lím 2 x 2 3x 2 2 e x e
x2 1 g) lím x x 2 2
2x 1 i) lím x 3x 2
4 3
x2
2x 1 lím x 3x 2
x 1
x2
x
4 3
2 3
3 4
0
0
2 x 2 2 x 2 3 2 x 5 x 5 5 lím 1 · x 1 lím · x 1 lím x x 3 2 x 3 2 x 3 2 x e e e e 2 x
EJERCICIO 25 : Halla los límites: a)
2 2 x 3x x 1 x
d)
3x 2 lím x 4 3x
lím
g) lím
x2 x 6
x 2 x2 x 2
Solución:
b) lím
x3
x 3 x 3 5x 2 3x 9 5 3
x 1
e)
lím x
h) lím x 2 x x x
x 3x x2 2
c) lím
x3 x
x 1 x 2 2x 1
3x x 1 f) lím x 2 x 2 4 x 2
3x 2 3x 3 i) lím x x 1 x 2 1
1
x 3 x 1 j) lím x1 2x 2
10 x 3 x x 1 x 3 x x 1 a) lím x 2 3 x x 2 1 lím x x 2 2 x 3x x 1 2
x 2 3x x 2 1
lím
2
x 2 3x x 2 1
lím
2
2
3x 1
lím
x 2 3x x 2 1 x 2 3x x 2 1 x 2 3x x 2 1 3 x 3 lím x x x 2 x3 x3 1 1 b) lím 3 lím lím x 3 x 5 x 2 3 x 9 x 3 ( x 3 ) 2 ( x 1) x 3 ( x 3 ) ( x 1) (0) Hallamos los límites laterales: 1 1 lím ; lím Como son distintos No existe el límite ( x 3 ) ( x 1 ) ( x 3 ) ( x 1) x 3 x 3 x
x
x3 x
c) lím
lím
2
x 1 x 2x 1
x
x x 1 x 1 2
x1
x x 1 2 ( 0) x 1 x 1
lím
( x 1) Hallamos los límites laterales: x x 1 x x 1 lím ; lím x 1 x 1 x 1 x 1 Como son distintos No existe el límite 3x 2 d) lím x 4 3x
x 1
1
5 3
e)
x 3x
lím
x2 2
x
3x 2 1 3x 2 4 3x 6 x 6 lím 1 · x 1 e2 2 lím · x 1 lím x x 4 3 x e 4 3x 3x 4 e e e
5
lím
x
x 3 3x x2 2
x
3
x 5 lím 0 x x 2
lím
x2 2 6 (0) x2 4
3x 3x x 1 x 2 x 1 3x x 3x 2 x 2 lím f) lím lím 2 2 2 x 2 x2 x 4 x 2 x2 x 4 x 4 2 2 x 2 x 2 lím ; lím 2 x 2 x 2 x 4 x2 4 Hallamos los límites laterales: No existe el límite g) lím
x2 x 6
x2 x
2
x2
( x 2) ( x 3) x3 5 lím ( x 2 ) ( x 1 ) x 2 x 2 x 1 3
lím
2 2 x x .x x x x 2 2 h) lím x x x lím x x x lím x x x x2 x x lím
x
x2 x x2 2
lím
x
x 2
lím
x
x x 1 lím x x x 2 x 2
x x x x x x 2 3 3x 3x 2 x 1 3x 3 3x 3x 3 3x 2 3x 3 3x 2 i) lím lím lím lím 3 x x 1 x 2 1 x x x x 2 1 x 2 1 x 2 1 1 x 1 x 3 1 x 3 2 x 2 1 1 1 lím lím 1 · lím · lím x 1 x 1 x 3 x 1 x 1 ( 2 x 2) ( x 1) x 1 2 x 2 2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 j) lím 1 e e e e e 4 x 1 2 x 2
11 CONTINUIDAD EJERCICIO 26 : La siguiente gráfica corresponde a la función f x : Y 8 6 4
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6
Solución: En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que lim f x lim f x . x 1
x 1
En x 2 sí es continua. EJERCICIO 27 : A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad. Y 8 6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
4 6
Solución: En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical). EJERCICIO 28 : Dada la gráfica de f x : Y 8
a) ¿Es continua en x 1? b) ¿Y en x 2?
6 4 2 8 6 4 2 2
2
4
6
8
X
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
4 6
Solución: a) Sí es continua en x 1. b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una discontinuidad evitable. EJERCICIO 29 : Averigua si la siguiente función es continua en x 2: Solución: lim f x lim 2 x 4 x 2 x 2 lim f x lim x 2 4 Es continua en x 2 porque lim f x f 2. x 2 x 2 x 2 f 2 4
2 x f x x 2
si si
x 2 x 2
12 2
EJERCICIO 30 : Comprueba si la siguiente función es continua en x 0.
2 x 1 si f x x 2 si 2
x 0 x 0
Solución:
lim f x lim 2 x 2 1 1 x 0 x 2 lim f x lim 1 Es continua en x 0 porque lim f x f 0. x 0 x 0 x 0 2 f 0 1 x 0
2 x 1 si x 1 f x si x 1 k
EJERCICIO 31 : Halla el valor de k para que f x sea continua en x 1 : Solución: lim f x lim 2x 1 3 x 1 x 1 . lim f x En x 1: x 1 lim f x k k=3 x 1 f (1) 2.1 1 3 Solución: f continua en x = 1 si k = 3
EJERCICIO 32 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: 2 x 2 si x 0 2 x 2 x 1 si x 1 si x 1 a) f x b) f x c) f x 2 si x 0 2 x x 1 si x 1 x 1 si x 1 si 1 d) f x 2 1 x si
x2 si e) f x 2 2 x 1 si
x 0 x 0
x 2 si x 1 g) f x 3 x 1 si x 1 2 1 x 2 j) f x x 1
si si
2 x 2 h) f x 1
x 2 3 si x 2 f) f x si x 2 1
x2 x 2
si si
2 x 3 i) f x 2 x
x 0 x 0
si si
x 2 x 2
x 0 x 0
Solución: a) Continuidad: f continua en R – {0}
lim f x lim 2 x 2 2 x 0 x 0 . lim f x En x 0: x 0 lim f x lim 2x 0 f discontinua inevitable de salto finito(2) en x=0 x 0 x 0 2 f (0) 2 0 2
2 x 2 si x 0 Representación: f x si x 0 2 x Si x 0, es un trozo de parábola. (Vx = 0) Si x 0, es un trozo de recta.
X Y
- -
-2 -2
-1 1
0 2
+
0 0
1 2
Y
4 2
+ +
4 2
2 2 4
4
X
13 b) Continuidad f continua en R – {1}
lim f x lim 2x 2 2 x 1 x 1 lim f x En x 1: x 1 lim f x lim x 1 2 x 1 x 1 2 f (1) 2.1 2
. f continua en x = 1
Solución: f continua en todo R. Representación Si x 1, es un trozo de parábola. (Vx = 0)
Y
8
Si x 1, es un trozo de recta. X Y
- +
-2 8
-1 2
0 0
1 2
6 +
1 2
2 3
4 2
+ +
4 2 2
2
4
X
c) Continuidad f continua en R – {-1} lim f x lim x 1 0 x 1 x 1 lim f x 2 En x -1: x 1 lim f x lim x 1 0 x 1 x 1 f (1) 1 1 0
. f continua en x = -1
Solución: f continua en todo R. Representación: Si x 1, es un trozo de recta. Si x 1, X Y
- -
-2 -1
Y
4
es un trozo de parábola. (Vx = 0) -1 0
+
-1 0
0 -1
1 0
2 3
2 6 4 2
+ +
2
4
X
2 4 6
d) Continuidad f continua en R – {0} lim f x lim 1 1 x 0 x 0 lim f x 2 En x 0: x 0 lim f x lim 1 x 1 x 0 x 0 f (0) 1 1
. f continua en x = 0
Solución: f continua en todo R Representación: Si x 0, es un trozo de recta horizontal. Si x 0, X Y
- 1
-1 1
es un trozo de parábola. (Vx = 0) 0 1
0 1
+
1 0
2 -3
+ -
Y
4 2 6 4 2 2 4 6
2
4
X
14 e) Continuidad: f continua en R – {2} x2 2 lim f x lim 2 lim f x x 2 x 2 x 2 En x 2: lim f x lim 2x 1 5 x 2 x 2 2 f (2) 2 2 2 Representación: Si x 2, es un trozo de parábola. (Vx = 0) Si x 2, es un trozo de recta.
. f discontinua inevitable de salto finito(3) en x=2 Y
8 6 4 2 6 4 2 2
2
4
6
X
f) Continuidad: f continua en R – {2}
lim f x lim x 2 3 1 x 2 x 2 . lim f x En x 2: x 2 lim f x lim 1 1 f continua en x = 2 x2 x 2 2 f (2) 2 3 1 Solución: f continua en todo R.
Representación: Si x 2, es un trozo de parábola. (Vx = 0) Si x > 2, es un trozo de recta horizontal. X Y
- +
-2 1
-1 -2
0 -3
1 -2
2 1
+
2 1
3 1
+ 1
g) Continuidad f continua en R – {1}
lim f x lim x 2 1 x 1 x 1 lim f x En x 1: x 1 lim f x lim 3x 1 1 x 1 x 1 2 f (1) 12 1 Solución: f continua en todo R.
. f continua en x = 1
Representación: Si x 1, es un trozo de parábola. (Vx = 0) Si x > 1, es un trozo de recta. X Y
- +
-2 4
-1 1
0 0
1 1
+
1 1
2 + 5/2 +
h) Continuidad f continua en R – {0}
lim f x lim 2 x 2 2 x 0 . lim f x x 0 En x 0: x 0 f discontinua inevitable de salto finito(1) en x=0 lim f x lim 1 1 x 0 x 0 f (0) 2 0 2
15 Representación: Si x 0, es un trozo de parábola.(Vx = 0) Si x > 0, es un trozo de recta horizontal. X Y
- -
-2 -2
-1 1
+
0 2
2 1
3 1
+ 1
i) Continuidad f continua en R – {-2} lim f x lim 2x 3 1 x 2 x 2 . lim f x 2 En x -2: x 2 f discontinua inevitable de salto finito(5) en lim f x lim x 4 x 2 x 2 f (2) 2.(2) 3 1
x=-2 Representación Si x –2 es un trozo de recta. Si x > –2 es un trozo de parábola. (Vx = 0) X Y
- -
-3 -3
-2 -1
+
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
+ +
j) Continuidad f continua en R – {0}
lim f x lim 1 x 2 1 x 0 x 0 . lim f x En x 0: x 0 lim f x lim x 1 1 f continua en x = 0 x 0 x 0 2 f (0) 1 0 1 Solución: f continua en todo R Representación: Si x 0, es un trozo de parábola.(Vx = 0) Si x > 0, es un trozo de recta.
X Y
- -
-2 -3
-1 0
0 1
+
2 3
3 4
+ +
ASÍNTOTAS EJERCICIO 33 : Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su 1 comportamiento por la izquierda y por la derecha: f x x 3 Solución: x 3 0 x 3 Calculamos los límites laterales: 1 1 lim lim x 3 x 3 x 3 x 3
3
16 EJERCICIO 34 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y 1 a la derecha de x 3: lim 2 x 3 x 9 Solución:
1
lim
x 3
2
x 9
lim
x 3
1
x 3x 3
Calculamos los límites laterales: lim
x 3
1
1
lim
2
x 9
3
2
x 9
x 3
EJERCICIO 35 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda 2x 1 y por la derecha de x 0: lim 2 x 0 x 2x Solución:
lim
x 0
2x 1 2
2x 1 x x 2
lim
x 0
x 2x Calculamos los límites laterales: lim
x 0
2x 1 2
x 2x
lim
x 0
2x 1
x 2 2x
EJERCICIO 36 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda x 1 y por la derecha de x 2: lim x 2 x 2 2 Solución: x 1 x 1 x 1 lim lim lim 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2
EJERCICIO 37 : Dada la función f x
x 1 2
, calcula el límite de f ( x ) en x 2.
Representa
x 5x 6
la información que obtengas. x 1 x 1 x 5 x 6 x 2x 3 Calculamos los límites laterales:
Solución:
lim
x 2
2
x 1 x 2x 3
lim
x 2
x 1 2
2
x 5x 6
EJERCICIO 38 : Halla las asíntotas verticales de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas: 2x 1 1 a) f x 2 b) f x 2 x 1 x 2x 1 Solución: a) x 2 1 0 x 1 ; x 1. Posición de la curva respecto a ellas:
Las asíntotas verticales son x 1 y x 1.
17 2x 1 lim x 1 x 1x 1
lim
x 1
2x 1 x2 1
lim
2x 1
x2 1 2x 1 lim x 1 x 2 1 x 1
1
1
b) x 2 2 x 1 0 x 1 Solo tiene una asíntota vertical: x 1 Posición de la curva respecto a la asíntota: 1 1 2 x 2 x 1 x 12 1 1 1 lim lim x 1 x 12 x 1 x 12
EJERCICIO 39 : Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones y representa los resultados obtenidos: x3 x2 1 x 4 2x 3 x 3 a) f x 2x b) f x 3 x c) f x d) f x 3 2 1 x x2 Solución:
a)
b)
x3 x2 lim 2 x x 3 2 x3 x2 lim 2 x x 2 3 3
lim 3 x
x
lim
c)
x
lim
1 x 4 x2 1 x 4
x
x2
3
lim 3 x
x
2x 3 x x 1 x d) 2x 3 x lim x 1 x lim
EJERCICIO 40 : Halla las ramas infinitas, cuando x , de las siguientes funciones y representa la información que obtengas: a) f x x 2
b) f x x x 2
4
Solución:
b ) lim x x 2
4
a) lim x 2
x
x
EJERCICIO 41 : Halla las ramas infinitas, cuando x , de las siguientes funciones y representa los resultados que obtengas: a) f x x 1
b) f x x 2 x
3
Solución: 3
a) lim x 1 x
b) lim x 2 x x
18
EJERCICIO 42 : Calcular las asíntotas horizontales de estas funciones y representa los resultados que obtengas: x 1 2x 2 1 a) f x 2 b) f x x 1 2x 2 2 Solución: 2 2x 2 1 lim 2 x x 2 1 f (100) 2 a) A.V.y 2 2 f (100) 2 2x 1 lim 2 x x 2 1 x 1
0 x 2 x 2 f (100) 0 b) A.V.y 0 x 1 f (100) 0 lim 0 2 x 2 x 2 lim
2
EJERCICIO 43 : Las siguientes funciones tienen una asíntota oblicua. Hállala y sitúa las curvas respecto a ellas: x 2 2x 2x 3 a) f x b) f x 2 x 1 x 1 Solución: y = mx + n x 2 2x 2 m lim f (x ) lim x 1 lim x 2 x 1 2 x x x x x x x a) y x 1 2 2 x 2 2x x 2x x x x 1 n lim f (x ) mx lim 1.x lim lim 1 x 1 x x x 1 x x 1 1 x f (100) A sin t (100) Asíntota oblicua : y x 1 f (100) A sin t (100)
1 y=x+1 1
2x 3 2 f (x ) 2x 3 x 1 lim 2 m lim x lim 3 x x x x x x b) y 2x 3 3 3 n lim f (x ) mx lim 2x 2.x lim 2x 2x 2x lim 2x 0 x x x 2 1 x x 2 1 x 2 1 x
Asíntota oblicua: y 2 x f (100) A sin t (100) f (100) A sin t (100)
2 y=2x 1
19 EJERCICIO 44 : Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas: 2x 2 1 x 2 3x a) f x 2 b) f x x 1 x2 Solución: a) 2 Asíntotas verticales: Puntos que anulan el denominador: x – 1 = 0 x = 1 lim
2x 2 1
x 1 x 2 1 x =1 2x 2 1
lim
x 1 x 2 1
;
lim
x 1 x 2 1 x=1 2x 2 1
lim
x 1 x 2 1
lim
x
Asíntota horizontal:
lim x
b)
x2 1 2x 2 1 x2 1
2 2
f (100) 2 y=2 f (100) 2
2
Asíntota vertical: Puntos que anulan el denominador x = 0 x 0 x 3 lim 2 x 3x x x 3 x 3 x0 x lim lim lim x 3 x 0 x 2 x 0 x 2 x 0 x lim x0 x
Asíntota horizontal:
x
lim x
2x 2 1
;
Representación:
lim
2x 2 1
Representación:
x 2 3x x2 x 2 3x x2
1 1
f (100) 1 y=1 f (100) 1
LÍMITES – Cálculo y representación 1. lim
x 3 - 2x 2
x2 +1 x2 +1 2. lim x→ 2 x - 2 x→ 1
3
x - 2x
3. lim
x → 0 x 2 + 2x 2
4. lim
x + 2x - 3
x→ 1 x
2
+x-2
5. lim (2 x + 4) 2
9. lim
x → +∞
10. lim
x → +∞
11. lim
x→ 3
12. lim
x → +∞
6. lim
x → +∞
7. lim
x → +∞
8. lim
x → +∞
3x -x 2 x 2 - 3x 2x
2
3x 3
x 4 + 2x - x x2 - 9 x +1 - 2 x 2 + 2x + x
2x + 3 - x x → +∞ 4x + 4
13. lim
x → -∞
2x + 1
x 2 + 2x - x
14.
4x + 3 2 x x → +∞ 4x + 4 lim
x+2 x→ 2 x + 3
15. lim
2
x2
1 x -2 3
2x 2 - x 16. lim x→ 2 x + 2
ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS – Cálculo y representación 1. y = x3 – 2x -1 x +1 2. y = 2 x +1 x +1 3. y = 2 x +x
2x 2 + 1 4. y = x +1 x4 +1 5. y = x2