Asociación Española de Ingeniería Mecánica

XVIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

Atenuación de ruido en dispositivos de postratamiento de MCIA. Modelado analítico modal multidimensional F.D. Denia, J. Martínez-Casas, J. Albelda, F.J. Fuenmayor Centro de Investigación de Tecnología de Vehículos, Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales, Universidad Politécnica de Valencia, Camino de Vera, s/n, 46022 Valencia [email protected]

Resumen En este trabajo se presenta un modelo analítico modal multidimensional para el cálculo de la atenuación acústica en dispositivos de postratamiento de motores de combustión. El procedimiento propuesto combina el método de ajuste modal con la solución analítica de la ecuación de ondas en los conductos implicados. Por un lado, se hace uso de las funciones de Hankel esféricas y de Legendre para los conductos de sección variable con geometría cónica, y por otro se consideran las funciones de Bessel en los conductos de sección circular uniforme. Para la simulación del comportamiento acústico de la región asociada al convertidor catalítico se recurre a la utilización de dos técnicas: (1) Por un lado, se considera un fluido equivalente desde el punto de vista acústico, con comportamiento isótropo y homogéneo, y definido por la densidad y la velocidad del sonido efectivas. Estas dos propiedades, en general complejas, dependen fundamentalmente de la frecuencia, la resistividad y la porosidad del monolito cerámico. En este caso, los fenómenos de propagación de ondas pueden ser tridimensionales tanto en los conductos de entrada y salida, como en el propio monolito, motivo por el que la técnica asociada se denomina 3D/3D; (2) Por otro lado, se propone una técnica que consiste en la sustitución del convertidor catalítico por una matriz de transferencia que asume comportamiento acústico unidimensional en su interior. De esta forma, la solución del campo acústico puede ser tridimensional en los conductos de entrada y salida, pero no se permite la existencia de modos de orden superior en el monolito. Dicha técnica se denomina 3D/1D en el presente trabajo y es más consistente con las características fundamentalmente unidimensionales de los conductos capilares que integran el catalizador. Los resultados proporcionados por las dos técnicas analíticas propuestas se comparan entre sí, mostrando diferencias importantes. Además se lleva a cabo una comparación de los resultados analíticos con cálculos numéricos obtenidos mediante el método de elementos finitos, mostrando una concordancia excelente. Adicionalmente, se realiza un estudio paramétrico para analizar el efecto de ciertas variables de diseño relevantes (porosidad, resistividad y flujo medio) en la atenuación acústica del dispositivo de postratamiento.

INTRODUCCIÓN En las últimas décadas, y debido a las limitaciones existentes en lo referente a emisiones contaminantes, la utilización de dispositivos de postratamiento tales como catalizadores se ha convertido en una práctica necesaria en el diseño del sistema de escape de MCIA. Si bien el diseño de tales dispositivos se centra fundamentalmente en el control de emisiones nocivas, los aspectos acústicos juegan también un papel relevante y han de ser tenidos en cuenta. De esta manera, y desde un punto de vista global, en el desarrollo de herramientas de predicción del comportamiento acústico de la línea de escape completa ha de considerarse no sólo la atenuación de ruido debida a los silenciadores, sino también la influencia del convertidor catalítico. Por este motivo, en las publicaciones científicas sobre control de emisiones sonoras en motores pueden encontrarse diversas referencias asociadas al modelado acústico del catalizador. En primer lugar deben valorarse los fenómenos de propagación sonora en el interior del monolito, que está formado por miles de conductos capilares cuya sección transversal es de dimensiones muy reducidas (del orden de un milímetro cuadrado cada capilar). Especial relevancia tienen los fenómenos de interacción viscotérmica

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2

entre el aire y el conducto capilar. Una referencia obligada corresponde al trabajo de Kirchhoff [1], que presentó un modelo detallado para medio de propagación en reposo (sin flujo medio). Posteriormente, Zwikker y Kosten [2] obtuvieron soluciones relevantes para dicho modelo en el caso de capilares con sección transversal circular. De mayor interés práctico son las secciones rectangulares, tenidas en cuenta en los trabajos de Stinson [3] y Roh et al. [4]. La presencia de flujo medio fue tenida en cuenta por Dokumaci [5], que extendió el trabajo de Zwikker y Kosten [2] y obtuvo una solución analítica sencilla para considerar medio de propagación en movimiento en capilares circulares. Más tarde, el mismo autor presentó una solución analítica para conductos rectangulares de pequeñas dimensiones transversales, de nuevo en presencia de flujo medio [6]. Por otro lado, el desarrollo e implementación de herramientas de predicción del comportamiento sonoro del catalizador completo requiere adicionalmente modelos acústicos para los conductos de conexión de entrada y salida ubicados a ambos lados del monolito. Una primera posibilidad consiste en considerar los modelos tradicionales de onda plana [5,6], aunque presentan importantes limitaciones y sólo son aplicables en el rango de bajas frecuencias y para conductos de pequeñas dimensiones. Con vistas a tener mayor precisión en el análisis, es posible recurrir a modelos multidimensionales numéricos [7-9] y analíticos [10,11], estos últimos de menor coste computacional. En el rango de medias y altas frecuencias, cabe esperar que los campos acústicos sean tridimensionales en diversas configuraciones comerciales, y por tanto la utilización de modelos de onda plana puede dar lugar a errores importantes. Sin embargo, existen deficiencias importantes en la literatura en lo referente al modelado acústico multidimensional de catalizadores, sobre todo desde el punto de vista analítico. Cabe indicar la existencia de trabajos relevantes con un enfoque de tipo analítico, aplicados a conductos cónicos [10] y a silenciadores con conductos de sección variable cónica [11], que serán utilizados en el presente desarrollo. En este trabajo se desarrolla e implementa un modelo analítico multidimensional basado en la técnica de ajuste modal para la predicción del comportamiento acústico de catalizadores utilizados en el sistema de escape de vehículos. Para la predicción del comportamiento acústico del monolito cerámico se utilizan y comparan dos técnicas alternativas [9]: (1) Por un lado, la denominada 3D/3D, en la que se considera un medio de propagación equivalente [12] desde el punto de vista acústico, con comportamiento homogéneo e isótropo, definido por la densidad y la velocidad del sonido complejas. Estas dos propiedades dependen fundamentalmente de la frecuencia, la resistividad y la porosidad del monolito cerámico. Así pues, los fenómenos de propagación de ondas pueden ser tridimensionales tanto en los conductos de entrada y salida, como en el propio monolito; (2) Por otro lado, la técnica 3D/1D, que consiste en la sustitución del convertidor catalítico por una matriz de transferencia que asume comportamiento acústico unidimensional en su interior, e ignora cualquier posible interacción acústica entre capilares adyacentes. De esta forma, la solución del campo acústico puede ser tridimensional en los conductos de entrada y salida, pero sólo se permite la presencia de ondas planas en el monolito, lo cual es, a priori, más consistente con las características fundamentalmente unidimensionales de los conductos capilares que integran el catalizador. Los resultados proporcionados por las dos técnicas analíticas modales desarrolladas se validan mediante comparación con cálculos numéricos obtenidos mediante el método de elementos finitos [9]. Finalmente, se analiza la influencia de las variables de diseño más relevantes en las prestaciones de atenuación acústica del catalizador. MODELADO ANALÍTICO MODAL MULTIDIMENSIONAL En la Fig. (1) se muestra un esquema de catalizador asociado al modelo analítico 3D/3D, en el que la propagación es tridimensional en todos las regiones del dispositivo de postratamiento (A, B, C, D y E). Los conductos de entrada y salida quedan caracterizados, desde un punto de vista acústico, por la densidad del aire ρ0 y la velocidad del sonido c0. Como se ha indicado anteriormente, el monolito se representa mediante un fluido equivalente [12] con propiedades acústicas efectivas ρm y cm. La Fig. (2) muestra el esquema asociado al segundo modelo, 3D/1D, en el que se reemplaza el monolito por una matriz de transferencia de onda de plana. En este caso, existe la posibilidad de propagación multidimensional en los conductos de entrada y salida, pero no en el monolito. En éste se fuerza la existencia de ondas planas, que satisfacen las condiciones de entrada y salida impuestas por la matriz de transferencia Tm [8,9].

Atenuación de ruido en dispositivos de postratamiento de MCIA. Modelado analítico modal multidimensional 3

A θ1, 0 + n

r

2RA

Monolito

Bn(1)

δ1 r

z1 θ1

− n

A

C

+ n

z2

C

(2 )

Dn(2 ) θ 2, 0 En+ r δ2 r z3 θ 2 z4

2RC

− n

Bn LA

E

(1)

2RE

− n

Dn

LB

LC

LD

LE

Fig. 1. Esquema de catalizador, modelo 3D/3D. Monolito modelado como un material absorbente (fluido equivalente).

An+ θ1, 0 r

2RA

An−

T m T m =  11m  T21

(1)

Bn

T12m   T22m 

Dn( 2 ) θ 2, 0 En+ r δ2 r

δ1 r

z1 θ 1

z3 θ 2 z 4

z2

(2 )

Bn LA

E

(1)

2RE

− n

Dn

LB

LC

LD

LE

Fig. 2. Esquema de catalizador, modelo 3D/1D. Monolito reemplazado por una matriz de transferencia. La propagación del sonido satisface la ecuación de Helmholtz [12] ∇2 P + κ 2 P = 0

(1)

donde ∇2 es el operador laplaciano, P es la presión acústica y κ el número de onda de la región bajo estudio. Se tiene que k0 = ω c0 , κ = km = ω cm ,

aire, conductos A, B, D, E

(2)

monolito, conducto C

siendo k0 y km los números de onda del aire y el monolito, respectivamente, y ω la frecuencia angular. Para medio de propagación en reposo, es decir, en ausencia de flujo medio, los fenómenos acústicos en el seno de los conductos capilares del monolito pueden ser descritos considerando propiedades equivalentes ρm y cm dadas por [7,12]

(

ρm = ρ0 (1 + R φ Gc ( s ) ( jω ρ0 ) ) , cm = c0 (1 + R φ Gc ( s ) ( jω ρ0 ) ) ( γ − ( γ −1) F )

)

−

1 2

(3,4)

donde R es la resistividad al flujo, φ es la porosidad del monolito, Gc(s) es una función del número de onda tangencial s, γ es el cociente de calores específicos y F tiene como definición

(

F = 1 + R φ Gc

(

Pr s

)

( jPr ω ρ0 ) )

−1

(5)

siendo Pr el número de Prandtl. Para conductos circulares como el de entrada A (y el central C y el de salida E), la solución axisimétrica de la Ec. (1) puede escribirse como

(

PA ( r , z1 ) = ∑ An+ e ∞

n =0

− j k A , n z1

+ An− e

j k A , n z1

) J  αR

n

0

A

 r 

(6)

−1 es la unidad imaginaria, An+ y An− son las amplitudes modales (incógnitas) progresivas y regresivas, n es el número modal, (r, z1) son coordenadas cilíndricas, J0 es la función de Bessel de primera especie y orden cero, αn es la enésima raíz (o valor característico) asociado a la condición de conducto de pared rígida J′0 (α n ) = 0 y k A, n es el número de onda axial del modo n, dado por

donde j =

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k A, n = ± k02 − (α n RA )

4

2

(7)

Conocida la presión, la ecuación de Euler permite obtener la velocidad axial, por ejemplo en el conducto A, U A ( r , z1 ) =

α  1 ∞ z jk z − jk ∑ k A, n An+ e A, n 1 − An− e A, n 1 J0  Rn r  ρ0 ω n = 0  A 

(

)

(8)

Para el conducto cónico B (y también el D), la solución axisimétrica de la Ec. (1) puede expresarse como [10,11]

(

)

PB (δ1 ,θ1 ) = ∑ Bn(1) hν(1B), n ( k0 δ1 ) + Bn( 2) hν( 2B), n ( k0 δ1 ) gν B , n ( cos θ1 ) ∞

n=0

(9)

1 2 Bn( ) y Bn( ) son las amplitudes modales (incógnitas) de las ondas divergentes y convergentes, (δ1, θ1) son

1 2 coordenadas esféricas, hν( B), n y hν( B), n son las funciones de Hankel esféricas de primera y segunda especie, gν B , n es

la función de Legendre y νB,n es el enésimo valor, dependiente del semiángulo de apertura, asociado a la condición de conducto troncocónico de pared rígida [10] ∂ gν B ( cos θ1 ) ∂ cos θ1

=0

(10)

θ1 =θ1, 0

La Tabla (1) muestra algunos valores para diferentes ángulos. Tabla 1. Valores νB,n de un conducto cónico en función del semiángulo de apertura. θ1,0 (grados) 20 40 60

n=0 0.0 0.0 0.0

n=1 10.489 5.012 3.196

n=2 19.604 9.562 6.220

La aplicación posterior de la técnica de ajuste modal requiere la obtención previa de la velocidad acústica en la expansión troncocónica. En concreto se utiliza la componente axial, perpendicular a la sección transversal de las regiones A, C y E, dada por [11] U = U δ cos θ − U θ sen θ ; U δ = −

1 ∂P ; jω ρ0 ∂ δ

Uθ = −

1 1 ∂P jω ρ0 δ ∂ θ

(11-13)

Combinando las Ecs. (9) y (11)-(13), la velocidad axial en el conducto cónico B se puede expresar como U B ( δ1 ,θ1 ) = − 1 =− jω ρ0 −

 1  ∂ PB (δ1 , θ1 ) 1 ∂ PB (δ1 , θ1 ) cos θ1 − sen θ1   jω ρ0  ∂ δ1 δ1 ∂ θ1 

1 2  ∂ hν( B), n ( k0 δ1 ) ∂ hν( B), n ( k0 δ1 )  (1) ( 2)    gν ( cos θ1 ) cos θ1 Bn + Bn ∑  B, n ∂ δ1 ∂ δ1 n=0    

(14)

∞

 1 ∂ gν B , n ( cos θ1 ) (1) (1) 2 2 Bn hν B , n ( k0 δ1 ) + Bn( ) hν( B), n ( k0 δ1 ) sen θ1   δ1 ∂ θ1 

(

)

Técnica 3D/3D Las condiciones de continuidad del campo acústico en las interfases entre conductos pueden escribirse como PA ( r , z1 ) z = 0 = PB (δ1 , θ1 ) z = 0 , U A ( r , z1 ) z = 0 = U B (δ1 , θ1 ) z = 0 para 0 ≤ r ≤ RA 1

PB (δ1 , θ1 ) z PC ( r , z2 ) z

2

2

=0

= LC

PD (δ 2 ,θ 2 ) z

1

4

= PC ( r , z2 ) z

= PD (δ 2 ,θ 2 ) z =0

2

1

=0

3 =0

= PE ( r , z4 ) z

4

, U B (δ1 , θ1 ) z

2

=0

, φ U C ( r , z2 ) z

=0

(15,16)

1

2

, U D (δ 2 , θ 2 ) z

= φ U C ( r , z2 ) z

= LC

4

=0

2 =0

= U D (δ 2 , θ 2 ) z = U E ( r , z4 ) z

4

3 =0

=0

para 0 ≤ r ≤ RC para 0 ≤ r ≤ RC para 0 ≤ r ≤ RE

(17,18) (19,20) (21,22)

Atenuación de ruido en dispositivos de postratamiento de MCIA. Modelado analítico modal multidimensional 5

Se introduce la siguiente nomenclatura para los modos acústicos de los conductos cónicos, con objeto de compactar las ecuaciones asociadas al procedimiento de ajuste modal Θ (X ,)n (δ i , θi ) = hν( X), n ( k0 δ i ) gν X , n ( cos θi ) j

Ξ(Xj,)n (δ i ,θi ) =

∂ hν( Xj ), n ( k0 δ i ) ∂ δi

(23)

j

gν X , n ( cos θi ) cos θi −

1 ∂ gν X , n ( cos θi ) ( j ) hν X , n ( k0 δ i ) sen θi δi ∂ θi

(24)

donde X = B, i = 1 hace referencia al cono divergente y X = D, i = 2 se refiere al convergente. Además, j = 1, 2 se 1 2 asocia con la funciones de Hankel esféricas hν( B), n y hν( B), n , respectivamente. Para la interfase A-B, las Ecs. (15) y (16) se multiplican por J 0 (α s r RA ) y se integran en la sección transversal del conducto A, lo cual proporciona

(A

+ s

(− jk

A, s

+ As− )

N RA α RA2 2 1 1 2 2 J 0 (α s ) = ∑ ∫ Bn( ) Θ(B ,)n (δ1 ,θ1 ) + Bn( ) Θ(B ,)n (δ1 ,θ1 ) J 0  s 0 2 n=0  RA

(

As+ + j k A, s As− )

)

 r  r dr 

(25)

N RA α  RA2 2 1 1 2 2 J 0 (α s ) = ∑ ∫ Bn( ) Ξ(B ,)n (δ1 ,θ1 ) + Bn( ) Ξ(B ,)n (δ1 ,θ1 ) J 0  s r  r dr 0 2 n=0  RA 

(

)

(26)

donde la relación entre coordenadas viene dada por

 r  RA LB , δ1 = Vert B21 + r 2 , θ1 = atan   RC − RA  Vert B1 

Vert B1 =

(27-29)

En el caso de la interfase B-C, las Ecs. (17) y (18) se multiplican por J 0 (α s r RC ) y se integran en la sección transversal del conducto C. Se obtiene

∑ ∫ ( B ( ) Θ( ) (δ ,θ ) + B ( ) Θ( ) (δ , θ ) ) J N

n=0

1 ρ0

RC

0

1 n

1 B, n

2

1

1

2 B,n

n

1

∑ ∫ ( B ( ) Ξ( ) ( δ , θ ) + B ( ) Ξ( ) ( δ , θ ) ) J N

RC

n=0

0

1 n

1 B,n

2

1

con Vert B 2 =

1

2 B, n

n

1

1

0

1

 αs   RC

0

 αs   RC

 R2 r  r dr = ( Cs+ + Cs− ) C J 02 (α s ) 2 

 R2 φ r  r dr = − j kC , s Cs+ + j kC , s Cs− C J 20 (α s ) ρm 2 

(

)

 r  RC LB = Vert B1 + LB , δ1 = Vert B2 2 + r 2 , θ1 = atan   RC − RA  Vert B 2 

Multiplicando las Ecs. (19) y (20) por J 0 (α s r RC ) e integrando en la interfase C-D

(C

+ s

e

− j kC , s LC

+ Cs− e

j kC , s LC

(

) R2 J 2 C

(α s ) = ∑ ∫ 0 N

2 0

RC

n=0

( D ( ) Θ( ) 1 n

1 D,n

)

1 ρ0

∑ ∫ ( D ( ) Ξ( ) ( δ N

n=0

RC

0

donde Vert D 2 =

1 n

1 D,n

2

α  ,θ 2 ) + Dn( 2) Ξ(D2,)n (δ 2 , θ 2 ) J 0  s r  r dr  RC 

)

 r  RC LD , δ 2 = Vert D2 2 + r 2 , θ 2 = atan   RC − RE  Vert D 2 

(31)

(32-34)

 αs  RC

(δ 2 ,θ 2 ) + Dn( 2) Θ(D2,)n (δ 2 , θ2 ) ) J 0 

R2 φ − jk L jk L − j kC , s Cs+ e C , s C + j kC , s Cs− e C , s C C J 02 (α s ) ρm 2 =−

(30)

 r  r dr 

(35)

(36)

(37-39)

Finalmente, para la interfase D-E, las Ecs. (21) y (22) se multiplican por J 0 (α s r RE ) y se integran en la sección transversal del conducto E. Se obtiene en este caso

F.D. Denia et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (2010)

∑ ∫ ( D ( ) Θ( ) (δ N

n=0

−∑∫ N

n =0

RE 0

RE

1 n

0

( D ( ) Ξ( ) 1 n

1 D,n

1 D, n

2

α 2 2 , θ 2 ) + Dn( ) Θ(D ,)n (δ 2 ,θ 2 ) J 0  s  RE

)

 αs  RE

(δ 2 ,θ2 ) + Dn( 2) Ξ(D2,)n (δ 2 ,θ2 ) ) J 0 

con Vert D1 =

6

 R2 r  r dr = ( Es+ + Es− ) E J 20 (α s ) 2 

 R2 r  r dr = ( − j k E , s Es+ + j k E , s Es− ) E J 02 (α s ) 2 

 r  RE LD = Vert D 2 − LD , δ 2 = Vert D2 1 + r 2 , θ 2 = atan   RC − RE  Vert D1 

(40)

(41)

(42-44)

El sistema asociado a las Ecs. (25), (26), (30), (31), (35), (36), (40) y (41) puede ser resuelto tras realizar el truncado y aplicar las condiciones de contorno adecuadas [13]. Una vez conocidas las amplitudes modales, puede obtenerse la atenuación acústica del catalizador utilizando, por ejemplo, el índice de pérdidas de transmisión (TL) [13]. Técnica 3D/1D Como se muestra en la Fig. (2), en esta segunda alternativa de modelado el monolito cerámico se reemplaza por una matriz de transferencia. Dicha matriz establece una relación entre los campos acústicos de presión y velocidad a ambos lados del monolito, y viene dada por [9,12] cos ( km LC )  T11m T12m   =  m m   T21 T22   jφ sen ( km LC ) ( ρ m cm )

j ρ m cm sen ( km LC ) φ   cos ( k m LC ) 

(45)

Las condiciones previas asociadas a las Ecs. (15), (16), (21) y (22) siguen siendo válidas, y las Ecs. (17)-(20) se reemplazan por PB (δ1 , θ1 ) z

2

U B (δ1 ,θ1 ) z

=0

2

= T11m PD (δ 2 , θ 2 )

z3 = 0

+ T12m U D (δ 2 , θ 2 )

z3 = 0

= T21m PD (δ 2 ,θ 2 )

z3 = 0

+ T22m U D (δ 2 , θ 2 )

z3 = 0

=0

para 0 ≤ r ≤ RC

(46)

para 0 ≤ r ≤ RC

(47)

que acoplan los campos acústicos PB y UB aguas arriba con la presión y la velocidad, PD y UD, aguas abajo. La aplicación del procedimiento de ajuste modal a las Ecs. (46) y (47) requiere funciones de ponderación adecuadas. Como se verá posteriormente, en este trabajo se han obtenido resultados satisfactorios utilizando el modo transversal J 0 (α s r RC ) . Las integrales se escriben ahora como  αs  r  r dr   RC  α  Dn(1) Θ (D1), n (δ 2 , θ 2 ) + Dn( 2 ) Θ (D2,)n (δ 2 ,θ 2 ) J 0  s r  r dr  RC 

∑ ∫ ( B ( ) Θ ( ) (δ , θ ) + B ( ) Θ ( ) ( δ , θ ) ) J N

RC

n=0

1 n

0

= T11m ∑ ∫ N

n=0

+

1

2 B, n

n

1

1

0

)

α ,θ 2 ) + Dn( 2) Ξ(D2,)n (δ 2 ,θ 2 ) J 0  s  RC

∑ ∫ ( D ( ) Ξ( ) ( δ

1 jω ρ0

∑ ∫ ( B ( ) Ξ( ) ( δ , θ ) + B ( ) Ξ( ) ( δ , θ ) ) J

N

n=0

N

n=0

= T21m ∑ ∫ N

n=0

+

0

(

2

1

T12m jω ρ 0

y −

RC

1 B, n

T22m jω ρ0

RC 0

RC

1 n

0

RC

1 n

0

1 B,n

( D ( ) Θ( ) 1 n

1 D,n

1 D,n

2

1

n=0

RC

0

1 n

1

n

2 B,n

1

1

)

0

1 D,n

2

 αs  RC

 r  r dr 

α 2 2 , θ 2 ) + Dn( ) Ξ(D ,)n (δ 2 ,θ 2 ) J 0  s  RC

)

 r  r dr 

 αs  r  r dr   RC 

(δ 2 ,θ2 ) + Dn( 2) Θ(D2,)n (δ 2 ,θ 2 ) ) J 0 

∑ ∫ ( D ( ) Ξ( ) ( δ N

2

(48)

(49)

 r  r dr 

Finalmente se genera un sistema que comprende las Ecs. (48) y (49), en combinación con (25), (26), (40) y (41), estas últimas asociadas a las interfases A-B y D-E. A partir de la solución de dicho sistema se calcula el TL [13].

Atenuación de ruido en dispositivos de postratamiento de MCIA. Modelado analítico modal multidimensional 7

RESULTADOS Y DISCUSIÓN Comparación de técnicas y validación con resultados de elementos finitos En primer lugar se lleva a cabo una comparación de los resultados proporcionados por las técnicas analíticas 3D/3D y 3D/1D. Además, dichos resultados se validan mediante comparación con cálculos obtenidos mediante el método de elementos finitos [9]. La geometría seleccionada queda definida por los siguientes valores: LA = LE = 0.1 m, LB = LD = 0.03 m, LC = 0.135 m, RA = RE = 0.0268 m y RC = 0.0886 m, de manera que los semiángulos de apertura son θ1,0 = θ2,0 = 64.106º. Para el monolito, se asume que los conductos capilares tienen sección transversal cuadrada [7,12], con una resistividad R = 500 rayl/m y una porosidad φ = 0.8. En los cálculos analíticos se utilizan 4 modos, y las mallas de elementos finitos, tanto para el caso 3D/3D como para el 3D/1D, están formadas por elementos cuadriláteros cuadráticos axisimétricos de 8 nodos, con un tamaño uniforme de valor 0.0025 m aproximadamente. Los resultados se muestran en la Fig. (3), que incluye adicionalmente predicciones basadas en un modelo de onda plana [7]. Como puede observarse, las predicciones analíticas multidimensionales 3D/3D y 3D/1D son prácticamente idénticas a las homólogas basadas en elementos finitos, lo cual proporciona una adecuada validación de los desarrollos analíticos presentados en las secciones previas. Las predicciones basadas en onda plana y las multidimensionales 3D/3D presentan gran similitud a bajas frecuencias, por debajo de 1000 Hz. Las simulaciones 3D/1D, sin embargo, exhiben importantes discrepancias en comparación con los resultados del modelo de onda plana y la técnica 3D/3D para frecuencias superiores a 400 Hz. La atenuación del modelo 3D/3D es relativamente uniforme, mientras que la asociada a la técnica 3D/1D muestra picos repetitivos de gran atenuación, que también se han encontrado en las medidas experimentales llevadas a cabo por el grupo investigador en trabajos previos [9] para catalizadores con sección transversal oval. 30

TL (dB)

20

10

0

0

800

1600

2400

3200

Frecuencia (Hz)

Fig. 3. TL de catalizador: , 3D/1D, analítico; + + +, 3D/1D, MEF; , 3D/3D analítico; + + +, 3D/3D, MEF; , onda plana [7]. Influencia de la porosidad La Fig. (4) muestra la influencia de la porosidad del monolito en el TL, para los valores φ = 0.7, 0.8 y 0.9. El resto de dimensiones y propiedades se mantiene igual que en el caso de la figura anterior. Puede observarse que, tanto para el modelo 3D/1D como para el 3D/3D, una reducción de la porosidad origina una disminución de la atenuación a baja frecuencia (primera cúpula de atenuación). Este resultado es consistente con las predicciones de estudios previos [7,9], pero se opone a los resultados de otras referencias [5,6]. Esta aparente contradicción se justifica dado que en los trabajos [7,9] se asume que los cambios en la porosidad no tienen efecto en la resistividad, lo cual no es posible salvo que algún parámetro adicional asociado con el monolito también se modifique. Un análisis más detallado [4,14] muestra una dependencia entre R y φ, dada por R = 8 µ q2 sf / (lp φ), donde q, sf y lp son, respectivamente, la tortuosidad, el factor de forma y el semiancho del conducto capilar. Para frecuencias superiores a 800 Hz aproximadamente, por encima de la primera cúpula de atenuación, la técnica 3D/3D predice que la influencia de la porosidad mantiene la tendencia indicada anteriormente, es decir, menores porosidades dan lugar a menores atenuaciones. Sin embargo, la técnica 3D/1D lleva a predicciones que discrepan respecto a lo anterior, con un mayor TL asociado a menor porosidad cuando la frecuencia aumenta.

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8

30

TL (dB)

20

10

0

0

800

1600

2400

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Frecuencia (Hz)

Fig. 4. TL de catalizador, cálculo analítico: , φ = 0.7, 3D/1D; - - - -, φ = 0.7, 3D/3D; , φ = 0.8, 3D/1D; - - - -, φ = 0.8, 3D/3D; , φ = 0.9, 3D/1D; - - - -, φ = 0.9, 3D/3D. Efecto de la resistividad La Fig. (5) muestra los resultados del modelo analítico modal multidimensional para tres valores de resistividad dados por R = 500 rayl/m, 750 rayl/m y 1000 rayl/m, y una porosidad φ = 0.8. En comparación con la influencia de la porosidad, ahora la atenuación del catalizador presenta una tendencia más regular, dado que mayores resistividades proporcionan mayores índices de pérdidas de transmisión para ambos modelos, excepto en pequeños intervalos de frecuencia cercanos a los picos de atenuación en el caso de la técnica 3D/1D. A baja frecuencia, la influencia de la resistividad es menor y las discrepancias entre los modelos 3D/3D y 3D/1D son despreciables. 30

TL (dB)

20

10

0

0

800

1600

2400

3200

Frecuencia (Hz)

Fig. 5. TL de catalizador, cálculo analítico: , R = 500 rayl/m, 3D/1D; - - - -, R = 500 rayl/m, 3D/3D; , R = 750 rayl/m, 3D/1D; - - - -, R = 750 rayl/m, 3D/3D; , R = 1000 rayl/m, 3D/1D; - - - -, R = 1000 rayl/m, 3D/3D. Flujo medio Dada la evidencia experimental existente respecto a las predicciones más realistas del modelo 3D/1D en catalizadores de sección transversal oval [9], en esta sección se utiliza dicho modelo para evaluar el impacto de la presencia de flujo medio en la atenuación acústica. Para ello, la matriz de transferencia definida por la Ec. (45), cuyos cuatro polos quedan incluidos en las Ecs. (46)-(49), se reemplaza por Tm = Tcon Tmon Texp , con

Atenuación de ruido en dispositivos de postratamiento de MCIA. Modelado analítico modal multidimensional 9

−  + j K + k0 LC + h − e j K k0 LC  −h e  e j K + k0 LC e j K − k0 LC ( h − − h + ) Tmon =   h + h − eiK −k0 LC − e j K + k0 LC   ρ c e j K + k0 LC e j K − k0 LC h − − h + ( )  0 0

(

1  Tcon =  2 1  2

ρ0 c0  2   ρ0 c0  −  2 

 − h−  + −  (h − h ) Texp =  +  h  ( h+ − h− ) 

−1

S S   φ (1 + φ M ) − φ (1 − φ M )     1 − φ M   1+ φ M

ρ 0 c0  ( h+ − h− )   − ρ0 c0  ( h+ − h− ) 

+

k0 LC

− e jK

−

k0 LC

) 

− h+ )    − j K + k0 LC + j K − k0 LC h e −h e  + − e j K k0 LC e j K k0 LC ( h − − h + )  e jK

)

−1

(

ρ 0 c0 e j K +

k0 LC

 S ( h + Mg )   1 + e + + Mh +  +

+

−1

 S ( h + + Mg + ) S ( h − + Mg − )    + +  1 + e − + Mh −   1 + e + Mh

−1

e jK

−

k0 LC

(h

−

(50)

 − h−  + − S ( h − + Mg − )   ( h − h )  + 1 + e − + Mh −   h  ( h+ − h− ) 

ρ0 c0  ( h + − h− )  (51)  − ρ 0 c0  ( h + − h− ) 

1 S S   φ (1 + φ M ) − φ (1 − φ M )   2   1  1+ φ M 1 − φ M    2

ρ0 c0  2  (52)  ρ0 c0  −  2 

siendo M el número de Mach en los capilares, cuya área total es S. En las ecuaciones previas, Tmon representa la matriz de cuatro polos del monolito y Tcon y Texp denotan las matrices de transferencia en las interfases B-C y CD, en presencia de flujo medio. Debe tenerse en cuenta que las expresiones utilizadas como soluciones de la ecuación de ondas (6), (8), (9) y (14), también se ven alteradas debido al flujo. Puede encontrarse información adicional en los trabajos de Dokumaci [5,6]. De cualquier manera, la presencia de dicho flujo en las regiones de entrada y salida tiene una influencia despreciable en el TL, al menos para los valores habituales de número de Mach [5,6]. De este modo, desde un punto de vista práctico no es necesario considerar el efecto convectivo en las regiones A, B, D y E, y basta con reemplazar la Ec. (45) por las Ecs. (50)-(52). Los resultados se muestran en la Fig. (6), para M = 0.1, 0.15 y 0.2, considerando capilares de sección circular [5] y cuadrada [6]. El efecto convectivo del flujo medio produce un desplazamiento de las curvas de atenuación hacia la izquierda a medida que aumenta el número de Mach, tal y como cabe esperar. A bajas frecuencias se detectan niveles de atenuación demasiado altos para el caso de capilares cuadrados. De cualquier modo, la caracterización de los capilares en presencia de flujo medio tiene asociada una complejidad considerable y los modelos existentes distan mucho de estar consolidados [5,6], de manera que este campo de investigación se considera abierto en la actualidad. 30

TL (dB)

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10

0

0

800

1600

2400

3200

Frecuencia (Hz)

Fig. 6. TL de catalizador, cálculo analítico 3D/1D: , M = 0.2, capilar cuadrado; - - - -, M = 0.2, capilar circular; , M = 0.15, capilar cuadrado; - - - -, M = 0.15, capilar circular; , M = 0.1, capilar cuadrado; - - - -, M = 0.1, capilar circular.

F.D. Denia et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (2010)

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CONCLUSIONES En este trabajo se ha presentado un modelo analítico modal multidimensional para la caracterización acústica de catalizadores. Dicho modelo permite considerar la presencia de modos de orden superior en geometrías axisimétricas formadas por conductos circulares y cónicos y monolito circular. El procedimiento propuesto combina el método de ajuste modal con las funciones de Hankel esféricas y de Legendre para los conductos cónicos y las funciones de Bessel en las regiones cilíndricas. El comportamiento acústico del monolito se ha enfocado mediante dos alternativas: (1) Modelo 3D/3D, asociado a un fluido equivalente con comportamiento isótropo y homogéneo, el cual permite la presencia de modos de orden superior tanto en los conductos de entrada y salida como en el propio monolito; (2) Modelo 3D/1D, en el que se sustituye el convertidor catalítico por una matriz de transferencia de tipo unidimensional. Por tanto, el campo acústico puede ser tridimensional en los conductos de entrada y salida, pero no se permite la existencia de modos de orden superior en el monolito. Esta técnica es especialmente interesante, ya que resultados previos han establecido que dicha aproximación es más consistente con las características acústicas reales de los conductos capilares que integran el monolito. Se ha llevado a cabo una comparación satisfactoria de los resultados analíticos de ambas técnicas con cálculos numéricos obtenidos mediante el método de elementos finitos, lo cual ha permitido validar las herramientas desarrolladas. Los resultados de ambas alternativas, 3D/3D y 3D/1D, se han comparado entre sí, mostrando diferencias importantes. Adicionalmente, se ha analizado el efecto de la porosidad, la resistividad y el flujo medio en la atenuación acústica del dispositivo de postratamiento. AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido llevado a cabo con el apoyo del Ministerio de Ciencia e Innovación, dentro del proyecto con referencia DPI2007-62635. REFERENCIAS [1] G. Kirchhoff, Ueber den einfluss der wärmeleitung in einem gase auf die schallbewegung, Annalen der Physik und Chemie, 134 (1868), 177–193. [2] C. Zwikker, C. W. Kosten, Sound Absorbing Materials, Elsevier (1949). [3] M. R. Stinson, The propagation of plane sound waves in narrow and wide circular tubes, and generalization to uniform tubes of arbitrary cross-sectional shape, Journal of the Acoustical Society of America, 89 (1991), 550–558. [4] H. S. Roh, W. P. Arnott, J. M. Sabatier, R. Raspet, Measurement and calculation of acoustic propagation constants in arrays of small air-filled rectangular tubes, Journal of the Acoustical Society of America, 89 (1991), 2617–2624. [5] E. Dokumaci, Sound transmission in narrow pipes with superimposed uniform mean flow and acoustic modelling of automobile catalytic converters, Journal of Sound and Vibration, 182 (1995), 799–808. [6] E. Dokumaci, On transmission of sound in circular and rectangular narrow pipes with superimposed mean flow, Journal of Sound and Vibration, 210 (1998), 375–389. [7] A. Selamet, V. Easwaran, J. M. Novak, R. A. Kach, Wave attenuation in catalytic converters: reactive versus dissipative effects, Journal of the Acoustical Society of America, 103 (1998), 935–943. [8] T. W. Wu, C. Y. R. Cheng, Boundary element analysis of reactive mufflers and packed silencers with catalyst converters, Electronic Journal of Boundary Elements, 1 (2003), 218–235. [9] F. D. Denia, A. G. Antebas, R. Kirby, F. J. Fuenmayor, Multidimensional acoustic modelling of catalytic converters, 16th International Congress on Sound and Vibration, Cracovia, Polonia (2009). [10] M. Willatzen, The influence of a liquid flow on sound fields confined by conical walls, Journal of Sound and Vibration, 248 (2001), 847-863. [11] F. D. Denia, F. J. Fuenmayor, J. Carballeira, Three-dimensional analysis of mufflers with conical ducts. Analytical, numerical and experimental Studies, Internoise 2003, 32nd International Congress and Exposition on Noise Control Engineering, Jeju, Corea (2003). [12] J. F. Allard, Propagation of Sound in Porous Media, Elsevier (1993). [13] F. D. Denia, A. Selamet, F. J. Fuenmayor, R. Kirby, Acoustic attenuation performance of perforated dissipative mufflers with empty inlet/outlet extensions, Journal of Sound and Vibration, 302 (2007), 1000– 10017. [14] K. Attenborough, Acoustical characteristics of rigid fibrous absorbents and granular materials, Journal of the Acoustical Society of America, 73 (1983), 785–799.