SESIÓN 2.

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

Comenzamos con la definición de ecuación de segundo grado.

Ejemplos: Son ejemplos de ecuaciones de segundo grado, pues el mayor exponente al que aparece elevada la incógnita es dos.

3y-y2=0 3x2-48=0 9t2-6t+1=0

La ecuación puede ser completa:

Ejemplos:

ax2+bx+c=0 con

0,

0,

4x2-4x+1=0 0 x2-6x-16=0

o puede ser incompleta:

•



0,

0 del tipo

•



0,

0 del tipo

•



0,

0 del tipo

ax2+bx=0 ax2+c=0 ax2=0

-3x2-6x+12=0

Toda ecuación de segundo grado con una incógnita, tiene dos raíces que denotaremos x1 y x2

Podemos escribir en forma abreviada:

,

√

1

Como ejemplo resolveremos las siguientes ecuaciones:

Observemos que

5

a)



Las raíces son números reales y distintos.

6

0 5

,

2

√4 2

,

2

√ 16 2

2

4"

,

,

24



5 ,

√1 2

luego x1=3 y x2=2

Observemos que

√25 2

b)

2

5

0

20 Las raíces son números complejos conjugados.

2

luego x1=1+2i y

Observemos que

Las raíces son números reales e iguales (raíz doble).

x2=1-2i

c) 9

6

1

6

√36 2

,

6 ,

0 36

√0 2

luego x1=-3 y x2=-3

2

De los ejemplos anteriores resulta que, según el signo del discriminante ∆, tenemos:

Observemos que 5

en el ejemplo

6

0

Tenemos ∆=1

Observemos que 2

en el ejemplo

5

0

Si 4 distintas.

% 0, la ecuación tiene dos raíces reales y

Si 4 & 0, la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas.

tenemos ∆=-16

Observemos que en el ejemplo 9

4 0, la Si única solución real; raíz doble.

6

1

0

ecuación tiene una diremos que es una

tenemos ∆=0

Si las raíces de una ecuación cuadrática son x1 y x2, la ecuación puede factorizarse así: ∙(

)∙(

)

0

Ejemplo:

Observemos que

4

4

1

Si extraemos 4 factor común tenemos 5

en el ejemplo

6

0

4∙(

1/4)

0

tenemos ∆=1 se tiene que x=1/2 es raíz doble de la ecuación, es decir, se puede escribir 4(

1 ) 2

Retomaremos los ejemplos dados anteriormente con el fin de analizarlos.

Podemos escribir la ecuación como

2∙2

1 )( 2

A continuación daremos otra forma de resolución para las ecuaciones de segundo grado completas. A este procedimiento se lo llama completar cuadrados.

Observemos que

(2 )

1 ) + 4( 2

1

0

3

a) 4

4

1

0

El primer miembro de la igualdad es el desarrollo del cuadrado de binomio (2 resulta (2 Entonces (2

1)(2

1)

0

1)

1) ; luego

0

y

x1=1/2 y x2=1/2

Observemos que

El primer miembro de la igualdad no corresponde al desarrollo del cuadrado de un binomio. Pues si bien 16 es 42, el coeficiente de x debería ser el doble de 4, es decir 8 y no lo es. El coeficiente de x es 6, que lo podemos escribir como 2·3, es decir el doble de 3.

6

b)

16

0

Al procedimiento que aplicaremos para este caso se lo llama completar cuadrados

Ahora sumamos y restamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, esto es el cuadrado de 3.

(

6

9)

16

9

Asociando convenientemente

(

6

9)

25

0

(

3)

25

6

El paréntesis corresponde al desarrollo del cuadrado de un binomio.

3

3

16

9

9

0

5 ,- ., "/

0

8

5 ,- ., "/

2

Observemos que | Otro modo de resolver (

3)

25

es por medio de la definición de valor absoluto.

3| 3 3

√25 5 ; 5;

8 2

4

3

6

Observemos que

c)

Como el coeficiente de x2 no es 1 extraemos (-3) factor común.

( 3) 2 ( 2

12

2 4

4)

0 0

0

Luego para que la igualdad se cumpla, debe ser: (

1)

5

Completando cuadrados se obtiene 1 Luego, las soluciones son

√5

1

√5

Las ecuaciones incompletas también pueden resolverse directamente como mostramos a continuación: Ejemplo: En este caso a) 4

0

0 0

entonces las soluciones siempre son

0

0

0 b) 3

En este caso 0 y

48 48

3

0

y no hace falta utilizar la fórmula

En este caso es factor común y, por tanto, una raíz es cero

0 16

4

4

b) 3

0

(3 (3

) )

0 0

0 0

Ahora queremos resolver la ecuación

5

1 2

5

Observemos que

3 (45 )

5 2(

)

10

2

10

(

1)

Si la ecuación es cuadrática, pero no tiene la forma 2

0, se resuelven todas las operaciones indicadas para reducir a esa forma.

2

2

10

2

√6

1

9

2 Aplicando la fórmula ya vista, resulta:

1

9

"

0

0

0

√6

y

"

Ahora resolvemos algunos problemas cuyas soluciones involucran ecuaciones de segundo grado.

Ejemplo: Dada la ecuación ∆

8

12

4

0

queremos hallar los valores de c para que las dos raíces de la ecuación sean reales y distintas. ∆

( 12)

4 El valor del discriminante en este caso es ∆

∆

144

144

4

4

Para que las dos raíces sean reales y distintas, debe ocurrir que el discriminante sea mayor que cero. Luego 144

4 % 0, es decir

De este modo,

12

% 36 39

0 es un ejemplo del tipo de ecuación que se pide.

6

Ejemplo:

La suma del área de un cuadrado más su perímento es 60. ¿ Cuánto mide el lado del cuadrado?

Resolvemos la ecuación 4

60

0

Obtenemos que las raíces son 4

,

4

√256 2

16 2

Si llamamos x la longitud del lado del cuadrado, su área es x2 Y su perímetro es 4x. La suma del parea del cuadrado más su perímetro es 60, es decir, 4

60

Verificación: Las soluciones verifican la ecuación, pero únicamente 6

( 10)

4∙6

60

6

4 ∙ ( 10)

es solución pues la longitud no puede ser negativa.

60

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

1. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

j)

Resolver las siguientes ecuaciones: 0 2 0 4 9 0 11 0 8 16 0 3 4 28 ( 5)( 1) 5 0 4 7 0 ( 1) 9 4

:4

5

4

3

A continuación se propone resolver problemas en los cuales están involucrados ecuaciones de segundo grado. (; 2) 2. Dada la ecuación 8 10 0 hallar los valores de m para que las dos raíces sean iguales. 3. La suma de un número positivo y su cuadrado es 42. Hallar dicho número. 4. Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 380. 5. El producto de un número negativo por su tercera parte es 27. Calcular dicho número. 6. Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área es 405 cm2 y su perímetro 84 cm. 7

7. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en cm., tres números pares consecutivos. Hallar los valores de dichos lados. 8. Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcular la edad de Marcela. 9. Un poste de luz de 7 metros se rompe a una cierta altura del suelo y al doblarse, la punta libre del trozo roto cae a 3 m de la base del poste. ¿ A qué altura se rompió? AUTOEVALUACION. 1. Una solución de 2x2 – 6x + 3 = 0 es a) 0 b) 3/2

c) d) 2. a) b) c) d)

: √: :5√:

Una solución de ( x – 2 )2 + ( x + 1 )2 = x+7 5/2 -1/2 -2 -5/2

3. El conjunto solución de a) b) c) d)

4(4 4

)

: 4

0

3 4 1; 3 1; 4

4. La longitud de un terreno rectangular excede en 7 m a la del ancho. Si el área del terreno es 120m2, ¿cuáles son sus dimensiones? Si x representa la medida del mancho, entonces una ecuación que permite resolver el problema es:

a)

4(456)

=120

b) ( + 7) = 120 c) + ( + 7) = 120 d) 2 + 2( + 7) = 120 5. El largo de un rectángulo excede al ancho en 4 cm. Si cada dimensión se aumenta en 4 cm, entonces el área del rectángulo sería el doble de la original. ¿Cuál es la medida en centímetros del ancho del rectángulo original? a) b) c) d)

4 8 12 16

8

BIBLIOGRAFIA Dennis Zill – Jacqueline Dewar . Álgebra y Trigonometria. Segunda Edicion. Editorial Mcgraw-Hill Barnett Rich. Álgebra Elemental. Teoría y 2700 problemas resueltos. Shaum-Mcgraw-Hill Murray R. Spiegel. Álgebra Superior. Teoría y 1940 problemas resueltos. ShaumMcgraw-Hill Leithold. Matemáticas previas al cálculo. Tercera edición. Oxford, México, 2007.

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