TEMA 2 1. DEMANDA AGREGADA (sin sector exterior) DA=Y = C
+I +G
DA=Y = C0 + cYd + I0 + G0 Componentes de la demanda agregada: C+I+G Consumo
C = C0
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IES “DIEGO GAITÁN” Departamento de Matemáticas
José Antonio Ortega Ortega
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:
ax2 + bx + c = 0, con
a≠0
1. Identificación de coeficientes: Al empezar con las ecuaciones de segundo grado, resulta complicado identificar los coeficientes a, b y c. Sin embargo, es muy fácil. Presta atención a los siguientes ejemplos. Ejemplos: 1) En las siguientes ecuaciones de segundo grado identifica los coeficientes a, b y c: a) 2x 2 + 3x + 1= 0 b) x 2 – 2x + 5 = 0 c) – 5x 2 + 4x – 2 = 0 d) – 2 x 2 + x – 4 = 0 e) x 2 – 9 = 0 f) x2 + 5x = 0
→ → → → → →
solución:
a=2 ;
b=3 ;
c = 1.
solución:
a=1 ;
b = – 2; c = 5 .
solución:
a =– 5 ;
b = 4 ; c = –2 .
solución:
a =– 2 ;
b=1
solución:
a=1 ;
b=0 ;
c= – 9 .
solución:
a=1 ;
b=5 ;
c= 0.
; c = –4.
Las ecuaciones como las a), b), c) y d), se dice que son completas porque ninguno de sus coeficientes es cero. Las ecuaciones como la e) y la f), se dice que son incompletas porque alguno de sus coeficientes es cero.
(Nota: el coeficiente 'a' nunca puede ser cero pues si lo fuera, la ecuación no sería de segundo grado)
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José Antonio Ortega Ortega
2.Tipos de ecuaciones de segundo grado: Una ecuación de segundo grado puede ser completa o incompleta. En el siguiente cuadro puede verse claramente la clasificación de ecuaciones de segundo grado. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ax 2bxc=0, con a≠0
Vamos a empezar por resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas. Los métodos de resolución son distintos según que sea b=0 ó c=0.
3.Resolución de la ecuación incompleta 3.1 La ecuación Para resolver:
ax2 + c = 0. 1º) despejamos x2 2º) tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros.
ax 2c=0 ax 2=−c x 2=
−c −c x=± a a
3.2 La ecuación ax2 + bx = 0. Para resolver: 1º) extraemos factor común 2º) igualamos a cero cada factor.
ax 2bx=0 x axb=0
{
x1= 0
PRIMERA SOLUCIÓN
−b axb=0 x 2= a
SEGUNDA SOLUCIÓN
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Veamos ahora casos concretos de resolución de ecuaciones de los dos tipos. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x – 4 = 0 2
→
x =4 2
→
x=± 4
→
{ {
x 1= 2 x 2=−2 x 1= 3
b) x 2 – 9 = 0
→
x2 = 9
→
x=± 9
→
c) x2 + 25 = 0
→
x 2 =– 25
→
x=±−25
→ NO HAY SOLUCIÓN.
d) 2x 2 – 32 = 0
→
2x 2 = 32
→
x 2 = 16 y por tanto
e) x – 3x = 0 2
f) x 2 + 5x = 0
g) 3x + 9x = 0 2
h) 2x + 7x = 0 2
→
→
→
→
x(x – 3) = 0
x(x+5) = 0
x(3x+9) = 0
x(2x+7) = 0
→
{
→
{
→
{
→
{
→
x 2=−3
x=± 16
→
{
x 1= 4 x 2=−4
x 1= 0 x−3=0 x 2=3
x 1= 0 x5=0 x 2=−5
x 1= 0 −9 3 x9=0 3 x=−9 x= =−3 3
x 1= 0 −7 2 x7=0 2 x=−7 x= =−3.5 2
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4.Resolución de la ecuación completa Para hallar el valor de x que satisface la igualdad, usamos una fórmula cuya justificación no vamos a ver. Nuestro interés es sólo comprobar que la fórmula funciona:
−b± b2−4 · a · c x= 2a
Esta fórmula parece complicada pero el uso nos hará ver que no lo es tanto.
Sobre la fórmula es preciso hacer algunas apreciaciones: 1º) En la fórmula aparece el término '– b'. Esto significa que se cambia el signo del coeficiente b. No cambiar este signo es uno de los errores más frecuentes al aplicar esta fórmula. 2º) En la fórmula aparece el símbolo '±'. Quizá sea la primera vez que ves este símbolo. Esto significa que se toman los dos valores de la raíz, el positivo y el negativo. En vez de escribir dos veces la misma expresión una con signo más y otra con signo menos, se escribe así para economizar. Para que lo veas más claro, escribiremos las dos soluciones:
−b b2−4 · a · c x 1= 2a
−b− b2−4 · a · c x 2= 2a
3º) Número de soluciones: Según que la expresión que está dentro de la raíz sea mayor que cero, igual a cero o menor que cero, se distinguen tres casos. La expresión de dentro de la raíz 'b2 – 4ac' se llama discriminante de la ecuación. Se suele representar por el símbolo 'Λ'. De esta forma, tenemos:
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Si b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones: x 1=
−b b2−4 · a · c 2a
x 2=
−b− b2−4 · a · c 2a
−b 2a
Si b2 – 4ac = 0, sólo hay una solución: x1 = x2=
Si Si b2 – 4ac < 0, no es posible calcular la raíz cuadrada b2−4 ac pues el radicando es negativo. Veamos ahora ejemplos de resolución de ecuaciones completas: Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x 2 – 4x + 3 = 0 SOL: