Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Escuela de Ingenieria / Facultad de F´ısica IEE1133/FIZ1433 Materiales El´ectricos Profesor: Roberto Rodriguez

Ayudant´ıa 5: Semiconductores intr´ınsecos. Joaqu´ın Arancibia: [email protected] Fabi´an C´adiz: [email protected]

1.

Masas efectivas

Contrariamente al electr´on libre de masa m0 , el electr´on de Bloch en un cristal puede ser descrito como una part´ıcula dotada de una masa efectiva que esconde la existencia del potencial cristalino. De hecho, un electr´on de Bloch reacciona a una perturbaci´on externa como una part´ıcula de masa efectiva y no m0 . Las ecuaciones de la din´amica semi-cl´asica de los electrones de Bloch hacen intervenir la masa efectiva en el t´ermino de aceleraci´on, y por otro lado, en estas ecuaciones el cristal no aparece expl´ıcitamente. En lo que sigue, vamos a situarnos en la vecindad de un extremo de la u ´ltima banda de valencia y de la primera banda de conducci´on. La masa efectiva es un tensor que se escribe para una banda dada: 

1 m

 = ij

1 ∂ 2 E(~k) ~2 ∂ki ∂kj

Cerca de un extremo de la banda situado en ~k0 , al orden m´as bajo en ∆k = ~k − ~k0 : 1 X ~2 ∆ki ∆kj E(~k) = E(~k0 ) + 2 i,j mij El tensor de masa efectiva es real y sim´etrico, y siempre es posible encontrar ejes principales ortogonales tales que:  1  0 0 m 1 1 =  0 m12 0  m 0 0 m13 En el caso de un cristal c´ ubico donde el extremo de la banda de conducci´on se sit´ ua en ~k0 = ~0, las superficies de energ´ıa constante son esferas y la masa efectiva mc del electr´on es entonces isotr´opica y positiva cerca del m´ınimo de la banda de conducci´on. En la vecindad del m´aximo en ~k0 = ~0 de la banda de valencia (supuesta esf´erica), la masa efectiva correspondiente es tambi´en isotr´opica pero negativa. Si Ec es la energ´ıa del m´ınimo de la banda de conducci´on, se tiene entonces: ~2 k 2 E(~k) = Ec + 2mc

y una relaci´on equivalente para la banda de valencia. Esto indica que en la vecindad de Ec los electrones se comportan como part´ıculas libres de masa mc . El caso del silicio es diferente. En efecto, hay seis bandas de conducci´on cuyos m´ınimos est´an situados a la energ´ıa Ec , y no se encuentran en ~k0 = ~0, pero corresponden a valores de ~k0 cercanos a las extremidades de la primera zona de Brillouin a lo largo de (1, 0, 0) y en direcciones equivalentes. Las superficies de energ´ıa constante en la vecindad del m´ınimo son, por razones de simetr´ıa, elipsoides de revoluci´on alrededor de cada una de estas direcciones.

Figura 1: Superficies de energ´ıa constante en la vecindad de los m´ınimos de las seis bandas de conducci´on del silicio. Consideremos estos m´ınimos, por ejemplo aquel situado en (0, 0, ~k0 ). En el triedro x, y, z que coincide con aquel constru´ıdo por los ejes principales de la elipsoide correspondiente, tenemos:  1  0 0 mc,T 1  1 0  = 0  mc,T mc 1 0 0 mc,L donde mc,L y mc,T son respectivamente llamadas masas efectivas longitudinal y transversal. En la vecindad del m´ınimo de la banda de conducci´on, podemos escribir:  2  2 kx + ky2 (kz − k0 )2 ~ E(~k) = Ec + + 2 mc,T mc,L la masa efectiva est´a relacionada con la curvatura de las bandas en la vecindad de sus extremos. En los semiconductores, hay t´ıpicamente dos bandas de valencia degeneradas en ~k0 = 0, pero de curvaturas diferentes y por lo tanto de masas efectivas diferentes. En la vecindad del m´aximo de estas dos bandas a la energ´ıa Ev , supondremos que las superficies de energ´ıa constante son esferas: las masas efectivas de valencia asociadas son entonces isotr´opicas. Una de estas bandas tiene una masa efectiva de valencia mayor que la otra. Esto nos lleva a definir una masa efectiva de valencia pesada mh,h para una de las bandas, y una masa efectiva de valencia ligera mh,l para la otra banda. Las masas efectivas son a menudo obtenidas a partir de experiencias de resonancia de ciclotr´on. Sus valores para el silicio y el arsenio de galio se presentan en la siguiente tabla: 2

mc mc,L mc,T mv,l GaAs 0,07 m0 - 0,082 m0 Si − m0 0,2 m0 0,16 m0

mv,L 0,5 m0 0,49 m0

Las masas efectivas de valencia pesadas mv,L y ligera mv,l son positivas y por lo tanto de signo opuesto a la masa efectiva de valencia electr´onica: son de hecho masas efectivas de agujeros pesados y ligeros.

2.

Agujeros

Un ajugero (de carga e > 0) puede ser interpretado como una banda de valencia llena a la cual se le ha quitado un electr´on de energ´ıa Ee . La energ´ıa Et del agujero es entonces: Et = Etot − Ec donde Etot es la energ´ıa total de la banda llena, que es entonces una constante irrelevante. En consecuencia, podemos escribir simplemente: Et = −Ec En este modelo, el vector de onda ~kt de un ajugero puede ser definido como el vector de onda total de los estados ocupados por los electrones. Si ~ke es el vector de onda del electr´on ausente, se tiene: ~ktot = ~kt + ~ke donde ~ktot es el vector de onda asociado a una banda llena. Pero ~ktot = ~0, ya que en raz´on de la simetr´ıa de la banda, a todo estado ocupado ~k le corresponde un estado ocupado −~k, con E~k = E−~k . En consecuencia, ~kt = −~ke . La corriente asociada a un agujero cumple: J~t = e~vt = −J~e = e~ve la velocidad ~vt del agujero es entonces igual a la velocidad ~ve que tendr´ıa el electr´on faltante en la banda de valencia. Si consideramos ahora un electr´on en la vecindad del m´aximo de la banda de valencia isotr´opica, su masa efectiva −mv es negativa (con mv > 0) a causa de la curvatura de la banda, y su energ´ıa se escribe: Ee = Ev −

~2 k 2 2mv

~ la fuerza que act´ Si se aplica un campo el´ectrico E, ua sobre el electr´on est´a dada por: −mv

d~v ~ = −eE dt

o bien:

d~v ~ = eE dt Esta expresi´on describe el movimiento de un electr´on de carga −e negativa y de masa efectiva −mv igualmente negativa. Sin embargo tambi´en puede ser vista como una carga positiva e en la banda de valencia con una masa efectiva mv positiva. La masa efectiva de un agujero es entonces el negativo de la masa efectiva del electr´on ausente. mv

3

3.

Semiconductores intr´ınsecos

Un semiconductor intr´ınseco es un semiconductro puro, es decir que tiene muy pocas impurezas. Si voluntariamente se introducen impurezas, se tiene entonces un semiconductor extr´ınseco ( o dopado). Esto es importante ya que se puede as´ı controlar en gran medida la densidad de portadores (electrones y huecos) capaces de transportar una corriente el´ectrica en un semiconductor.

3.1.

Electrones y agujeros libres

A T = 0 K, todas las ligazones covalentes de un cristal de Si, por ejemplo, son satisfechas. Si se aumenta la temperatura, electrones ser´an liberados de ciertas ligazones y poodr´an desplazarse ~ En t´erminos de libremente en el cristal, en particular bajo el efecto de un campo el´ectrico E. estructuras de bandas, a T = 0 K, la u ´ltima banda de valencia est´a llena y la primera banda de conducci´on est´a vac´ıa. Si la temperatura crece, electrones ser´an exitados t´ermicamente desde la banda de valencia hacia la banda de conducci´on. Estados de la banda de conducci´on ser´an entonces ocupados por electrones (a menudo llamados electrones libres) que, bajo la acci´on de un campo el´ectrico, dan origen a una corriente ya que existen niveles muy pr´oximos que est´an desocupados. La carga de un electr´on es −e, su spin es 1/2 y su masa efectiva mc es, en el caso de una banda isotr´opica en la vecindad de su m´ınimo Ec (situado t´ıpicamente en ~k = 0), definida por: 1 ∂ 2 E(~k) 1 = 2 >0 mc ~ ∂k 2 La energ´ıa de un electr´on en la banda de conducci´on est´a dada por: E = Ec +

~2 k 2 2mc

En el lugar donde una ligaz´on perdi´o un electr´on, hay el equivalente de un ion de Si+ , ya que falta un electr´on. Si ahora se aplica un campo el´ectrico, el lugar que ha sido vaciado por el electr´on puede ser ocupado por un electr´on proveniente de otra ligaz´on, que ha sido desplazado debido al efecto del campo el´ectrico. Esto es an´alogo al desplazamiento del ion de Si+ en el sentido del campo aplicado. Se puede considerar el movimiento de esta falta de electr´on como el desplazamiento de una carga positiva, llamada agujero. En otros t´erminos, cuando un electr´on es exitado hacia la banda de conducci´on, deja atr´as un agujero en la banda de valencia correspondiente a un estado vac´ıo, es decir un electr´on que falta. La carga de un agujero ( generalmente llamado agujero libre) es +e y puede transportar la corriente el´ectrica bajo la acci´on de un campo. Si se considera una banda de valencia isotr´opica cerca de su m´aximo Ev situado en ~k0 = ~0, la masa efectiva de un agujero est´a dada por: 1 ∂ 2E 1 =− 2 2 >0 mv ~ ∂k y la energ´ıa de un agujero es: E = −Ev +

4

~2 k 2 2mv

4.

Postulados de la mec´ anica cu´ antica Resumen

1. La descripci´on del estado de una part´ıcula en el espacio se logra por una funci´on de onda ψ(~x, t) donde su m´odulo cuadrado da la densidad de probabilidad de prescencia en el punto ~x al instante t. 2. La evoluci´on en el tiempo de la funci´on de onda de una part´ıcula colocada en un potencial V (r) se obtiene a partir de la ecuaci´on de Schr¨odinguer: i~

∂ ˆ x, t) ψ(~x, t) = Hψ(~ ∂t

ˆ o hamiltoniano del sistema, es: donde el observable energ´ıa H, 2 ˆ =−~ ∇ ~ 2 + V (r) H 2m

3. Para un sistema aislado en un potencial independiente del tiempo, los estados estacionarios son los estados propios de la energ´ıa, con una funci´on de onda de la forma: ψ(~x, t) = ψα (~x)e−iEα t/~ ´ donde ψα es una soluci´on normada ( R3 d3 x |ψα |2 = 1) de la ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo: ˆ α (~x) = Eα ψα (~x) Hψ La evoluci´on en el tiempo de toda funci´on de onda ψ(~x, t) se escribe inmediatamente una vez conocidas las soluciones estacionarias: ˆ ψ(~x, t) =

X

−iEα t/~

Cα e

ψα (~x), con Cα = R3

α

d3 x ψα∗ (~x)ψ(~x, t = 0)

4. El problema de un electr´on en un potencial peri´odico posee como soluciones estacionarias a las funciones de Bloch: ~ ψn,~k (~x) = un,~k (~x)eik·~x donde un,~k (~x) tiene la misma periodicidad que el potencial. Para n fijo, al variar ~k se obtiene una funci´on cuasi-cont´ınua En (~k), que constituye la n-´esima banda de energ´ıa. El espectro entonces est´a constitu´ıdo por bandas de energ´ıa permitidas y prohib´ıdas para el electr´on. Esto determina las propiedades de conducci´on el´ectrica de un cristal.

5

5.

Estad´ıstica de los electrones: funci´ on de Fermi-Dirac

Se muestra en f´ısica estad´ıstica que la probabilidad para que un estado de energ´ıa E sea ocupado por un electr´on (fermi´on) est´a dada por la funci´on de Fermi-Dirac f (E): f (E) =

1 1 + eβ(E−µ)

donde β = 1/kB T y µ es el potencial qu´ımico (tambi´en llamado eF ). La forma de f (E) se muestra en la figura siguiente:

Figura 2: Variaci´on de f (E) para T = 0 y T 6= 0 El potencial qu´ımico es la variaci´on de la energ´ıa libre de un sistema cuando se introduce una part´ıcula suplementaria a una temperatura dada. Si dos sistemas pueden intercambiar part´ıculas de la misma naturaleza, al equilibrio termodin´amico el potencial qu´ımico es id´entico para los dos sitemas. El sistema cuyo potencial qu´ımico es mayor cede part´ıculas al otro hasta que se igualan los potenciales qu´ımicos. Si se tiene un sistema de part´ıculas sin masa, µ = 0.

6.

Densidad de estados

Se define D(E) de forma que D(E)dE es el n´ umero de estados cu´anticos permitidos en un ~2 ~ 2 k , rango de energ´ıa entre E y E + dE. Para una part´ıcula con relaci´on de dispersi´on E(~k) = 2m y considerando la degeneraci´on de spin, se tiene: √ V 2m3/2 √ D(E) = E 3D π 2 ~3 D(E) =

4πΩm h2

6

2D

7.

Constantes y propiedades el´ ectricas de distintos materiales. Resistividad en ohm-metros, medidos a 1 atm y a 20o C: Material Resistividad Material Resistividad Conductor Semi-Conductores Plata 1, 59 × 10−8 Agua Salada 4, 4 × 10−2 Cobre 1, 68 × 10−8 Germanio 4, 6 × 10−1 Oro 2, 21 × 10−8 Diamante 2,7 Aluminio 2, 65 × 10−8 Silicio 2, 5 × 103 Hierro 9, 61 × 10−8 Aislantes −7 Mercurio 9, 58 × 10 Agua pura 2, 5 × 105 −6 Nicromo 1, 00 × 10 Madera 108 − 1011 Manganeso 1, 44 × 10−6 Vidrio 1010 − 1014 Grafito 1, 4 × 10−5 Cuarzo ∼ 1016 Susceptibilidades magn´eticas a 1 atm y 20o C: Material Susceptibilidad Material Susceptibilidad Diamagnetico Paramagnetico −4 Bismuto −1, 6 × 10 Ox´ıgeno 1, 9 × 10−6 −5 Oro −3, 4 × 10 Sodio 8, 5 × 10−6 Plata −2, 4 × 10−5 Aluminio 2, 1 × 10−5 Cobre −9, 7 × 10−6 Tungsteno 7, 8 × 10−5 Agua −9, 0 × 10−6 Platinio 2, 8 × 10−4 −8 o CO2 −1, 2 × 10 Ox´ıgeno l´ıquido (-200 C) 3, 9 × 10−3 Hidr´ogeno −2, 2 × 10−9 Gadolinio 4, 8 × 10−1 Constantes diel´ectricas, a 1 atm y 20 o C: Material Constante Diel´ectrica Material Constante Diel´ectrica Vac´ıo 1 Benceno 2,28 Helio 1,000065 Diamante 5,7 Neon 1,00013 Sal 5,9 Hidr´ogeno 1,00025 Silicio 11,8 Arg´on 1,00052 Metanol 33 Aire(seco) 1,00054 Agua 80,1 o Nitr´ogeno 1,00055 Hielo(30 C) 99 Vapor de agua (100o C) 1,00587 KT aN bO3 34 000

7

Gaps de diferentes semiconductores a 300 K. Cristal Eg (eV) Cristal Eg (eV) Diamante 5,33 PbS 0,34 Si 1,12 (1,17 a 4 K) PbSe 0,27 Ge 0,67 PbTe 0,30 InSb 0,23 CdS 2,42 InAs 0,33 CdSe 1,74 InP 1,25 CdTe 1,8 GaAs 1,43 (1,52 a 4 K) ZnO 3,2 AlSb 1,6 ZnS 3,6 GaP 2,25 ZnSe 2,60 SiC 3 AgCl 3,2 Te 0,33 AgI 2,8 ZnSb 0,56 Cu2 O 2,1 GaSb 0,78 TiO2 3 Masas efectivas de algunos semiconductores. mc mc,L mc,T mv,l GaAs 0,07 m0 - 0,082 m0 Si − m0 0,2 m0 0,16 m0

8.

mv,L 0,5 m0 0,49 m0

Algunas unidades y constantes fundamentales Unidades ˚ = 10−10 m (∼ tama˜ ˚ Angstrom 1A no de un ´atomo) Fermi 1f m = 10−15 m (∼ tama˜ no de un n´ ucleo) −19 ElectronVolt 1eV = 1, 60218 10 J Constantes Fundamentales Constante de Planck h = 6, 6261 10−34 Js Cte. Planck h-barra ~ = h/2π = 1, 054 10−34 Js Velocidad de la luz c = 299 792 458 m/s Permeabilidad del vac´ıo µ0 = 4π 10−7 y 0 µo c2 = 1 Constante de Boltzmann kB = 1, 38 10−23 JK −1 N´ umero de Avogadro NA = 6, 0221 1023 Carga del electr´on qe = −1, 602 10−19 C Masa del electr´on me = 9, 1094 10−31 kg Masa del prot´on mp = 1, 672 10−27 kg

8

8.0.1.

Problema 1

Para estudiar la emisi´on de electrones producida por un filamento de tungsteno, esquematizamos el metal como un potencial de caja. Este potencial, supuesto nulo al interior no es infinito al exterior como hemos hecho normalmente, sino que tiene un valor constante V que es considerado como el potencial de extracci´on de un electr´on de momentum nulo. Pocos electrones se escapan ya que β(V − µ)  1 1. Muestre que para los electrones libres de energ´ıa superior a la de la barrera de potencial, de fermi se reduce al factor conocido como ((Factor de Boltzmann)) i h el  factor p2 exp −β 2m − µ 2. Calcule el n´ umero de electrones por unidad de volumen de momentum p~ (con precisi´on d3 p~), cuya componente x: px , normal a una superficie unitaria, que golpean por un intervalo dt. √ 3. Suponemos que s´olo los electrones cuyo momentum es px > 2mV abandonan el metal. Se propagan en seguida seg´ un las leyes de la mec´anica cl´asica. Delante del filamento de tungsteno, llevado a un potencial negativo, se encuentra un a´nodo positivo. Considerando que los electrones son constantemente repuestos, el metal permanece neutro. Calcule la densidad de corriente emitida en funci´on de la temperatura. 4. Aplicaci´on num´erica: calcule la corriente emitida por una punta de superficie 0, 3 × 0, 3 mm2 de tungsteno, para la cual V − µ = 4, 5 eV cuando ´esta es llevada a 3000 K. 8.0.2.

Soluci´ on

1. Tenemos el factor de fermi: 1 1 = β(E−µ) β(E−µ) 1+e e (1 + e−β(E−mu) ) = e−β(E−µ) (1 + e−β(E−µ) + . . .) = e−β(E−µ) + O((e−β(E−µ) )2 ) Como E  V : 

=e

−β



p2 −µ 2m

2. Recordamos la relaci´on vista en la ayudant´ıa anterior para el n´ umero de estados en un volumen V con vectores k (precisi´on d3 k): Dp =

4πk 2 dk d3 k/8 = 8π 3 /V π 3 /V

Y adem´as la relaci´on: k = p/~. Luego la relaci´on anterior se reduce a: Dp =

V d3 p = V d3 p/h3 8π 3 ~3

En seguida, recordamos que el n´ umero de electrones ser´a entonces dNp = f (p)Dp . As´ı, el n´ umero de electrones (considerando el spin, agregamos un 2), por unidad de volumen de momentum p (a p + d3 p): 9

=2

d3 p~ (µ−p2 /2m)/kB T e h3

As´ı, el n´ umero de electrones que golpean un elemento de superficie unitaria en un tiempo dt ser´a:

px d3 p~ 2 dt 2 3 e(µ−p /2m)/kB T m h 3. La densidad de corriente ser´a entonces: ˆ∞ j =e· √

ˆ∞ dpx

2mV

ˆ∞ dpy

0

dpz

px 2 (µ−p2 /2m)/kB T e m h3

0

El c´alculo nos lleva a concluir que: j=

4πmekb2 2 −(V −µ)/kB T T e h3

Que est´a en buen acuerdo con la ley de Richardson vista en clases. 4. Para T= 3000 K se obtuvo I=15 mA. T=2000 K , I =0,8 µA.

10

8.0.3.

Problema 2

Densidad de estados en el silicio 2 2

k . 1. Considere un cristal de volumen V descrito por una banda de dispersi´on: E = Ec + ~2m Escriba su densida de estados en funci´on de E y la masa efectiva m, considerando la degeneraci´on de spin.

2. El silicio presenta 6 valles anisotr´opicos equivalentes (el´ıpticos) en las direcciones kx , ky , kz del espacio ~k. Llamamos mL a la masa efectiva longitudinal y mT a la masa efectiva transversal. Muestre, primeramente para un valle, y luego para el conjunto de los 6, que la expresi´on encontrada en 1. sigue siendo v´alida si se utiliza una masa de densidad de estados efectiva de conducci´on mdc , que se debe precisar.

3. Calcule la masa efectiva de densidad de estados de valencia mdv en prescencia de dos bandas de valencia de agujeros pesados y ligeros, degeneradas en ~k = 0, de masas mhh y mlh . 4. Aplicaci´on num´erica: para el silicio mL = 0,98 m0 , mT = 0,19 m0 , mhh = 0,49 m0 y mlh = 0,16 m0 , donde m0 es la masa del electr´on libre. Calcule mdc y mdv en funci´on de m0 8.0.4.

Soluci´ on

1. El c´alculo de la densidad estados tridimensional fue calculado en la ayudant´ıa anterior, obteniendo: D(E) =

(2m)3/2 V √ E 2π 2 ~3

E≥0

Si ahora se tiene una relaci´on de dispersi´on E = Ec + equivalente, de forma que: D(E) =

(2m)3/2 V p E − Ec 2π 2 ~3

11

~2 k 2 , 2m

el c´alculo es absolutamente

E ≥ Ec

2. Considere un valle localizado en la direcci´on kz en torno al m´ınimo ~k0 = (0, 0, k0 ), la relaci´on de dispersi´on es: E = Ec +

~2 ~2 (kx2 + ky2 ) + (kz − k0 )2 2mc,T 2mc,L

escrito de otra forma: E = Ec + x2 + y 2 + z 2 con: ~2 kx2 x = 2mc,T 2

~2 ky2 y = 2mc,T 2

z2 =

~2 (kz − k0 )2 2mc,T

de forma que: √ 2dx √ dkx = mc,T ~

√ dky =

2dy √ mc,T ~

√ dkz =

2dz √ mc,L ~

El n´ umero de estados cu´anticos tal que ki esta entre ki + dki es: dki Li π donde Li es el largo del cristal en la direcci´on i. Luego: dNi =

V dkx dky dkz π3 es el n´ umero de estados cuyo vector de onda est´a entre (kx , ky , kz ) y (kx +dkx , ky +dky , kz + dkz ). Equivalentemente: dN =

dN =

V

1/2

~3 π 3

23/2 mc,T mc,L dxdydz

es el n´ umero de estados entre (x, y, z) y (x + dx, y + dy, z + dz). En coordenadas esf´ericas, 2 r = x2 + y 2 + z 2 : dN = es el n´ umero de estados con

1 V 3/2 1/2 2 mc,T mc,L 4πr2 dr 3 3 8~ π

p x2 + y 2 + z 2 entre r y r + dr. Finalmente:

r2 = E − Ec ,

r=

p E − Ec , 2rdr = dE

Luego, considerando el spin: p V √ 1/2 2m m E − Ec dE c,T c,L ~3 π 2 es el n´ umero de estados entre E y E + dE en la banda de conducci´on, en el m´ınimo cerca de (0, 0, k0 ). Como existen 6 m´ınimos absolutamente equivalentes, el n´ umero total de estados en la banda de conducci´on con energia entre E y dE ser´a: dN =

12

p V √ 1/2 2 6m m E − Ec dE = D(E)dE c,T c,L ~3 π 2 De aqu´ı se ve entonces que si definimos la masa efectiva de densidad de estados de conducci´on: dN =

3/2

1/2

mcd = 6mc,T mc,L

La expresi´on simple para la densidad de estados 3D sigue siendo v´alida: D(E) =

V √ 3/2 p 2mdc E − Ec E ≥ Ec ~3 π 2

3. Se tienen dos bandas de valencia cuyos m´ınimos coinciden en ~k = 0. El n´ umero de estados de valencia con energ´ıa entre E y E + dE es entonces la suma de los estados disponibles en cada banda: dN =

V √ 3/2 p V √ 3/2 p 2m E − EdE + 2mlh Ev − EdE v hh ~3 π 2 ~3 π 2

La densidad de estados es entonces: D(E) =

V √ 3/2 p 2mdv Ev − E E ≤ Ev ~3 π 2

con una masa efectiva de densidad de estados de valencia: 3/2

3/2

3/2

mdv = mhh + mlh 4. Tenemos: 3/2

mdc = 6 × 0,19 m0 ×

p 0,9m0

 p 2/3 mdc = 6 × 0,19 0,9 m0 = 0,33 m0

mdv = 0,493/2 + 0,163/2

13


2/3

m0 = 0,55 m0

8.0.5.

Problema 3

Densidad de portadores 1. Determine la relaci´on entre la densidad de portadores n (en la banda de conducci´on), p (en la banda de valencia) y la posici´on del nivel de fermi EF respecto a las bandas de conducci´on y valencia de energ´ıas Ec y Ev . Muestre que estas relaciones hacen intervenir a las densidades de estados efectivas Nc y Nv . Utilice: √ ˆ ∞ √ −u π du ue = 2 0 2. Aplicaci´on num´erica: calcule Nc y Nv a T = 300 K para el silicio. 3. Muestre la relaci´on np = n2i , donde ni es la densidad intr´ınseca de portadores del material semiconductor, que puede ser expresada en funci´on de Eg y KT . 4. Calcule ni para el silicio a temperatura ambiente (Eg = 1,12 eV ) 5. Determine la posici´on de nivel de Fermi en la estructura de bandas en funci´on de Nc y Nv . Muestre que en general est´a cerca de la mitad de la banda prohib´ıdia. 8.0.6.

Soluci´ on

Densidad de portadores 1. El n´ umero medio de electrones en la banda de conducci´on a temperatura T est´a dado por: ˆ

∞

N=

dE Dc (E)f (E) Ec

donde Dc (E) es la densidad de estados en la banda de conducci´on, y f (E) la distribuci´on de Fermi-Dirac:

N=

V

√

3/2

2mdc π 2 ~3

ˆ

√

∞

dE Ec

E − Ec 1 + e(E−EF )/kT

Suponiendo que E − EF >> kT para todo E en la banda de conducci´on (decimos que el semiconductor es no-denegenerado, lo que se cumple generalmente en la pr´actica):

N=

V

√ 3/2 ˆ ∞ p 2mdc dE E − Ec e−(E−EF )/kT π 2 ~3 Ec

Haciendo el cambio de variable u = (E − Ec )/kT , dE = kT du: N=

V

√

2(kT mdc )3/2 (EF −Ec )/KT e π 2 ~3

Esto se puede reescribir como (N/V = n): 14

ˆ |0

∞

√ du ue−u {z } √ π/2

n = Nc (T )e−(Ec −EF )/kT con Nc la densidad de estados de conducci´on efectiva (notar que depende de la temperatura):  Nc =

2mdc kT π~2

3/2

V 4

Para la densidad de agujeros, el c´alculo es an´alogo (se supone (EF − Ev ) >> KT ) y se obtiene: p = Nv (T )e−(EF −Ev )/kT con:  Nc =

2mdv kT π~2

3/2

V 4

2. Para el Silicio a temperatura ambiente (T = 300 K), se obtiene: Nc ∼ 2,6 × 1019 cm−3 Nv ∼ 1019 cm−3 3. Tenemos: np = n2i = Nc Nv e−Eg /kT con Eg = Ec − Ev el gap del semiconductor. Finalmente: ni =

p Nc Nv e−Eg /2kT

Notar que en un semiconductor intr´ınseco (sin impurezas), se tiene necesariamente: n = p = ni por ello a ni se le llama densidad de portadores intr´ınseca. 4. Para el Si, Eg = 1,12 eV y se tiene: ni = 1,1 × 1010 cm−3 A comparar con 8,48 × 1022 cm−3 para el cobre. La concentraci´on de a´tomos en un cristal de Si es del orden de 1022 cm−3 , entonces la agitaci´on t´ermica es un proceso muy ineficaz que solo es capaz de generar corrientes el´ectricas despreciables e inutilizables. En cambio, como veremos m´as adelante, si al Si se le agregan impurezas de un cierto tipo, el n´ umero de portadores en la banda de conducci´on puede ser incrementado dram´aticamente a temperatura ambiente.

15

5. Se tiene: n = ni luego: Nc e−(Ec −EF )/kT =

ln

p Nc Nv e−Eg /2kT

p Ec − EF (Ec − Ev ) Nc /Nv − =− kT 2kT kT ln (Nc /Nv ) + 2EF = Ec + Ev

Finalmente: Ec + Ev kT − ln EF (T ) = 2 2



Nc Nv



Se ve que a T = 0, el nivel de fermi se encuentra justo en la mitad de la banda prohib´ıda, Eg /2 = (Ec + Ev )/2. Notar que a temperatura ambiente, la desviaci´on es peque˜ na : k × 300 EF = Eg /2 − ln(2,6) ∼ Eg /2. | {z } | 2 {z } 0,6 eV

∼13 meV

16