Estad´ıstica (1o de CC. Ambientales)

B. Barcel´o, P. Cifuentes, D. Gonz´alez 2016 Objetivos Adquirir las t´ecnicas y competencias b´asicas de los m´etodos estad´ısticos que sean adecuados para el estudio de los fen´omenos ambientales. Estos objetivos generales, se concretan en los siguientes puntos: 1. Introducci´ on de las t´ecnicas estad´ısticas b´ asicas necesarias para el an´ alisis estad´ıstico de los datos ambientales. 2. Comprensi´on de los estudios estad´ısticos e interpretaci´ on de los resultados obtenidos en un an´ alisis estad´ıstico. 3. Utilizaci´on de los elementos b´asicos de programas inform´ aticos de Estad´ıstica.

Programa 1. ESTAD´ISTICA DESCRIPTIVA 1.1. Res´ umenes gr´aficos y num´ericos de datos cualitativos y cuantitativos. 1.2. Medidas de asociaci´on entre variables: covarianza, correlaci´ on, recta de regresi´ on. Transformaciones. 1.3. An´alisis descriptivo completo de un conjunto de datos ambientales. ´ 2. MODELOS DE PROBABILIDAD Y TECNICAS DE MUESTREO 2.1. Variables aleatorias discretas y continuas. Media, mediana y varianza. 2.2. Modelos de probabilidad m´as importantes: Pruebas de Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal. Propiedades. 2.3. Poblaci´on y muestra. 2.4. Selecci´on de una muestra. Tipos de muestreo: aleatorio simple, estratificado, por conglomerados. 2.5. R´eplicas y pseudor´eplicas. ´ PUNTUAL Y POR INTERVALOS 3. ESTIMACION 3.1. Noci´on de estimador y propiedades deseables. 3.2. Criterios para obtener estimadores puntuales. 3.3. Noci´on de intervalo de confianza y m´etodo de construcci´ on. 3.4. Intervalos de confianza en poblaciones normales. Caso de datos emparejados. 3.5. Intervalos de confianza para proporciones. 3.6. Intervalos de confianza de nivel aproximado para muestras grandes. 3.7. Determinaci´on del m´ınimo tama˜ no muestral. ´ ´ 4. CONTRASTES DE HIPOTESIS PARAMETRICAS 4.1. Planteamiento del problema y formulaci´ on de hip´ otesis. Hip´ otesis nula y alternativa. 4.2. Metodolog´ıa para contrastar hip´otesis. Estad´ıstico del contraste. 4.3. Errores de tipo I y de tipo II.

4.4. Nivel de significaci´on y regi´on de rechazo. El p-valor. 4.5. Contrastes para proporciones y en poblaciones normales. 4.6. Relaci´on entre los intervalos de confianza y los contrastes de hip´ otesis. ´ ´ 5. CONTRASTES DE HIPOTESIS NO PARAMETRICAS 5.1. Diagn´ostico del modelo. Consecuencias de que no se cumplan las hip´ otesis sobre la distribuci´on, la independencia y la homogeneidad. 5.2. Contrastes chi-cuadrado de bondad de ajuste, independencia y homogeneidad. 5.3. Otros contrastes: test de Kolmogorov-Smirnov, Mann-Withney, Wilcoxon. 5.4. M´etodos gr´aficos de diagn´ostico: P-P plots y Q-Q plots.

BIBLIOGRAF´IA (los a˜ nos indican ediciones disponibles en la Biblioteca de Ciencias) 1. 2. 3. 4. 5. 6.

De la Horra, J. (1995, 2001, 2003). Estad´ıstica Aplicada. D´ıaz de Santos. McClave, J. T. & Sincich, T. (2011). Statistics. Pearson/Prentice Hall. Milton, S. (1987, 1994, 2001, 2007). Estad´ıstica para Biolog´ıa y Ciencias de la Salud. McGraw-Hill. Moore, D. S. (et al.) (1996, 2004, 2007, 2010, 2013). The basic practice of statistics. W. H. Freeman. Moore, D. S. (1998, 2005). Estad´ıstica Aplicada B´ asica. Editorial Antoni Bosch. Pe˜ na, D. (2001). Fundamentos de Estad´ıstica. Alianza Editorial.

Evaluaci´ on del curso Durante el curso se realizar´an las siguientes pruebas de evaluaci´ on. Dos controles intermedios Se realizar´an en la hora de clase. Fechas propuestas: jueves, 3 de marzo y jueves 14 de abril. Examen final Fecha fijada por la Junta de Facultad: lunes, 8 de mayo, por la ma˜ nana. Calificaci´ on final La calificaci´on final del curso en la convocatoria ordinaria se calcular´ a sumando un 15% de cada control intermedio y un 70% del la calificaci´on en el examen final. En la convocatoria extraordinaria, la calificaci´ on final ser´ a la obtenida en el examen extraordinario, fijado por la Junta de Facultad para el viernes 24 de junio. por la tarde.

Plan de trabajo Semanas 1–2

Contenidos Estad´ıstica descriptiva

3–5

Modelos de probabilidad—Muestreo

6–8

Estimaci´on puntual—Intervalos de confianza Contrastes de hip´otesis param´etricos

9–11 12–13 14

Contrates de hip´otesis no param´etricos Repaso

Observaciones Los d´ıas 4 y 11 de febrero la clase se impartir´ a en el aula de inform´ atica. Al finalizar el segundo tema se realizar´ a el primer control.

Al finalizar este cuarto tema se realizar´ a el segundo control. La clase de los d´ıas XX de abril y XX de mayo se impartir´ an en el aula de infrom´ atica.

2

´ s comunes Modelos de Probabilidad ma • X: Variable aleatoria.

• E(X): Esperanza (media) de X • V (X): Varianza de X

• F (x) = P (X ≤ x): Funci´ on de Distribuci´ on. • f (x): Funci´ on de densidad

1. Binomial: X ∼ B(n; p) con n ∈ N, 0 < p < 1 y q = 1 − p.   n • P (X = k) = pk q n−k , para k = 0, 1, 2, . . . , n. k • E(X) = n p,

V (X) = n p q.

2. Poisson: X ∼ P (λ) con λ > 0.

λk , para k = 0, 1, 2, . . . . k! V (X) = λ.

• P (X = k) = e−λ • E(X) = λ,

3. Geom´ etrica: X ∼ Geom(p); 0 < p < 1. • P (X = k) =, 1 • E(X) = , p

para k = 1, 2, 3, . . . .

V (X) =

1−p . p2

4. Uniforme: X ∼ U (a, b) con a < b, a, b ∈ R. 1 • f (x) = , si x ∈ (a, b). b−a x−a , si x ∈ (a, b). • F (x) = b−a • E(X) =

a+b , 2

V (X) =

(b − a)2 . 12

5. Exponencial: X ∼ exp(λ), con λ > 0. • f (x) = λ e−λx , x > 0.

• F (x) = 1 − e−λx , x > 0. • E(X) = 1/λ,

V (X) = 1/λ2 .

6. Normal: X ∼ N (µ, σ) con µ ∈ R y σ > 0. (x−µ)2 1 • f (x) = √ e− 2σ2 , x ∈ R. σ 2π • E(X) = µ,

V (X) = σ 2 .

7. χ2 de Pearson con n grados de libertad: X ∼ χ2n . xn/2−1 e−x/2 , x > 0. constante · 2n/2 • E(X) = n, V (X) = 2 n. • f (x) =

8. t de Student con n grados de libertad: X ∼ tn .  − n+1 2 ) 1 Γ( n+1 x2 2 • f (x) = √ . 1 + n nπ Γ( n2 ) n • E(X) = 0; V (X) = , (n > 2). n−2 3

9. F de Snedecor con m y n grados de libertad: X ∼ Fm,n  m  m −1  m Γ( m+n m − m+n 2 2 2 ) 1 + x x • f (x) = . n n Γ( m n n )Γ( ) 2 2 • E(X) =

n , (n > 2); n−2

V (X) =

2n2 (m + n − 2) , (n > 4). m(n − 2)2 (n − 4)

´ n Binomial Aproximaciones de una distribucio

• Aproximaci´on de una Binomial por una Normal Para n grande en relaci´on a p y q = 1 − p (np ≥ 10q y nq ≥ 10p):   p B(n, p) ≈ N µ = n p, σ = n p (1 − p) • Aproximaci´on de una Binomial por una Poisson Para n grande (n ≥ 30) y 0 < p < 0.1: B(n, p) ≈ P (λ = n p )

Estimadores (X1 , . . . , Xn ) muestra aleatoria simple (m.a.s.) de X. Media muestral:

n

X ¯= 1 X Xi , n i=1

Cuasi-varianza:

n

1 X ¯ 2 S = (Xi − X) n−1 2

i=1

4

¯ cuando X ∼ N (µ, σ) Distribuci´ on de X √ ¯ ∼ N (µ, σ/ n) Si X ∼ N (µ, σ) y (X1 , X2 , . . . , Xn ) es una m.a.s. de X, entonces X

Distribuci´ on de S 2 cuando X ∼ N (µ, σ) Si X ∼ N (µ, σ) y (X1 , X2 , . . . , Xn ) es una m.a.s. de X, entonces S2 ∼ χ2n−1 . σ 2 /(n − 1) ´ tesis Intervalos de Confianza y Contrastes de Hipo Intervalos de confianza m´ as usuales 1. X ∼ N (µ, σ)

   σ   ¯ ± zα/2 √   I= x n Intervalo de confianza 1 − α para µ:    s    I= x ¯ ± tn−1;α/2 √ n "

(n − 1)s2 (n − 1)s2 , Intervalo de confianza 1 − α para σ 2 : I = χ2n−1;α/2 χ2n−1;1−α/2

2. X ∼ B(1, p) (muestras grandes).

"

Intervalo de confianza 1 − α para p: I = x ¯ ± zα/2 3. X ∼ P (λ) (muestras grandes).

r

x ¯(1 − x ¯) n

"

r # x ¯ ¯ ± zα/2 Intervalo de confianza 1 − α para λ: I = x n

4. Dos poblaciones Normales independientes X ∼ N (µ1 , σ1 ), Y ∼ N (µ2 , σ2 ) independientes

(X1 , . . . , Xn1 ) m.a.s. de X; se calcula x ¯ y s21 . (Y1 , . . . , Yn2 ) m.a.s. de Y ; se calcula y¯ y s22 . s2p =

(n1 − 1) s21 + (n2 − 1) s22 n1 + n2 − 2

Intervalo de confianza 1 − α para µ1 − µ2 :

5

#

(σ conocida) (σ desconocida) #



I = x ¯ − y¯ ± zα/2

s

σ12 n1

+



σ22 n2

I= x ¯ − y¯ ± tn1 +n2 −2;α/2 sp

 

r

σ1 , σ2 conocidas

1 1 + n1 n2



σ1 , σ2 desconocidas, σ1 = σ2

El caso σ1 , σ2 desconocidas, σ1 6= σ2 es complicado Intervalo de confianza 1 − α para

σ12 /σ22 :

I=



s21 /s22

,

Fn1 −1;n2 −1;α/2

(s21 /s22 ) Fn2 −1;n1 −1;α/2



5. Comparaci´on de proporciones (muestras grandes e independientes) X ∼ B(1, p1 ), Y ∼ B(1, p2 ), independientes.

¯ y s21 . (X1 , . . . , Xn1 ) m.a.s. de X; se calcula x (Y1 , . . . , Yn2 ) m.a.s. de Y ; se calcula y¯ y s22 .



Intervalo de confianza 1 − α para p1 − p2 : I = x ¯ − y¯ ± zα/2

s



x ¯ (1 − x ¯) y¯ (1 − y¯)  + n1 n2

6. Datos emparejados X ∼ N(µ1 , σ1 ), Y ∼ N(µ2 , σ2 ). D = X − Y ∼ N (µ = µ1 − µ2 , σ), donde el c´alculo de σ supera el nivel de este curso. Contrastes de hip´ otesis m´ as usuales • α = nivel de significaci´on del contraste. • n = tama˜ no de la muestra. 1.- X ∼ N (µ, σ) H0 : µ = µ0 (σ conocida) H0 : µ = µ0 (σ desconocida) H0 : µ ≤ µ0 (σ conocida) H0 : µ ≤ µ0 (σ desconocida) H0 : µ ≥ µ0 (σ conocida) H0 : µ ≥ µ0 (σ desconocida) H0 : σ = σ 0 H0 : σ ≤ σ 0 H0 : σ ≥ σ 0

• H0 = hip´ otesis nula. • R = regi´ on cr´ıtica o de rechazo de H0 .

n o R = |¯ x − µ0 | > zα/2 √σn n o R = |¯ x − µ0 | > tn−1;α/2 √sn n o R= x ¯ − µ0 > zα √σn n o R= x ¯ − µ0 > tn−1;α √sn n o R= x ¯ − µ0 < z1−α √σn n o R= x ¯ − µ0 < tn−1;1−α √sn n h io 2 ∈ 2 2 R = n−1 s / χ , χ 2 n−1;1−α/2 n−1;α/2 σ0 n o R = n−1 s2 > χ2n−1;α σ02 n o 2 < χ2 R = n−1 s 2 n−1;1−α σ 0

6

2.- X ∼ B(1, p) (muestras grandes)   q p0 (1−p0 ) H0 : p = p0 R = |¯ x − p0 | > zα/2 n   q p0 (1−p0 ) H0 : p ≤ p0 R= x ¯ − p0 > zα n   q p0 (1−p0 ) H0 : p ≥ p0 R= x ¯ − p0 < z1−α n 3.- X ∼ P (λ) (muestras grandes) n o p H0 : λ = λ0 R = |¯ x − λ0 | > zα/2 λ0 /n n o p H0 : λ ≤ λ0 R= x ¯ − λ0 > zα λ0 /n n o p H0 : λ ≥ λ0 R= x ¯ − λ0 < z1−α λ0 /n 4.- Dos poblaciones Normales independientes (s2p calculado como en los intervalos de confianza)

H0 : µ1 = µ2 (σ1 , σ2 conocidas) H0 : µ1 = µ2 (σ1 = σ2 ) H0 : µ1 ≤ µ2 (σ1 , σ2 conocidas) H0 : µ1 ≤ µ2 (σ1 = σ2 ) H0 : µ1 ≥ µ2 (σ1 , σ2 conocidas) H0 : µ1 ≥ µ2 (σ1 = σ2 ) H0 : σ1 = σ2 H0 : σ1 ≤ σ2 H0 : σ1 ≥ σ2

R=



|¯ x − y¯| > zα/2

q

σ12 n1

+

σ22 n2



q o n R = |¯ x − y¯| > tn1 +n2 −2;α/2 sp n11 + n12   q 2 σ1 σ22 R= x ¯ − y¯ > zα n1 + n2 q o n R= x ¯ − y¯ > tn1 +n2 −2;α sp n11 + n12   q 2 σ1 σ22 ¯ − y¯ < z1−α n1 + n2 R= x q n o R= x ¯ − y¯ < tn1 +n2 −2;1−α sp n11 + n12    R = s21 /s22 ∈ / Fn1 −1;n2 −1;1−α/2 , Fn1 −1;n2 −1;α/2  R = s21 /s22 > Fn1 −1;n2 −1;α  R = s21 /s22 < Fn1 −1;n2 −1;1−α

5.- Comparaci´on de proporciones (muestras grandes e independientes)

X ∼ B(1, p1 ),

(X1 , . . . Xn1 ) m.a.s. de X

Y ∼ B(1, p2 ),

(Y1 , . . . Yn2 ) m.a.s. de Y

H0 : p1 = p2 H0 : p1 ≤ p2 H0 : p1 ≥ p2

R= R= R=







)

p¯ =

;

r  |¯ x − y¯| > zα/2 p¯ (1 − p¯) n11 +

1 n2



r  x ¯ − y¯ > zα p¯ (1 − p¯) n11 +

1 n2



1 n1

+

1 n2

x ¯ − y¯ < z1−α

r

p¯ (1 − p¯) 7



P



P + i yi n1 x ¯ + n2 y¯ = n1 + n2 n1 + n2

i xi

Contrastes χ2 • α = nivel de significaci´on del contraste. • n = tama˜ no de la muestra.

• H0 = hip´ otesis nula. • R = regi´ on cr´ıtica o de rechazo de H0 .

1. Contraste de la bondad del ajuste: Primer caso • H0 : La poblaci´on X sigue el modelo P indicado. • A1 , A2 , . . . , Ak : k clases de los posibles valores de X. • Oi = frecuencia observada en la clase Ai . • ei = n P (Ai ) = frecuencia esperada en la clase Ai , suponiendo que H0 es cierta. ) ( k k X (Oi − ei )2 X Oi2 = − n > χ2k−1; α R= ei ei i=1

i=1

2. Contraste de la bondad del ajuste: Segundo caso. • H0 : La poblaci´on X sigue alg´ un modelo Pθ de una cierta familia de distribuciones • r = n´ umero de los par´ametros desconocidos: θ = (θ1 , θ2 , . . . , θr ). • A1 , A2 , . . . , Ak : k clases de los posibles valores de X. • Oi = frecuencia observada en la clase Ai . • ei = n Pθˆ(Ai ) = frecuencia esperada en la clase Ai , suponiendo que H0 es cierta (y usando el estimador de m´axima verosimilitud θˆ del par´ ametro θ).

R=

( k X (Oi − ei )2 i=1

ei

=

k X O2 i

i=1

ei

− n > χ2k−1−r; α

)

3. Contraste de homogeneidad de poblaciones • H0 : Las p poblaciones X1 , X2 , . . . , Xp son homog´eneas • A1 , A2 , . . . , Ak : k clases de los posibles valores de X. • Oij = frecuencia observada en la clase Ai con la muestra j-´esima. P

P

)·( fila j -´ esima ) = frecuencia esperada en la clase • eij = nj Pˆ (Ai ) = ( columna i-´esima n Ai con la muestra j-´esima, si H0 es cierta.   p p k X k X 2 X  2 X Oij (Oij − eij ) R= = − n > χ2(k−1)(p−1); α   eij eij i=1 j=1

i=1 j=1

4. Contraste de independencia

• H0 : Las caracter´ısticas X e Y de la poblaci´ on son independientes. • A1 × B1 , . . . , Ai × Bj , . . . , Ak × Bp : k p clases de los posibles valores de X × Y . • Oij = frecuencia observada en la clase Ai × Bj . P

P

)·( fila j -´ esima ) = frecuencia esperada en la • eij = n Pˆ (Ai ) Pˆ (Bj ) = ( columna i-´esima n clase Ai × Bj suponiendo que H0 es cierta.   p p k X k X 2 X  2 X Oij (Oij − eij ) R= = − n > χ2(k−1)(p−1); α   eij eij i=1 j=1

i=1 j=1

8

EJERCICIOS hoja 1: estad´ıstica descriptiva 1. Interesa estudiar la variable X=((Tiempo de vida en d´ıas)) de una especie de insectos. En una muestra peque˜ na de 11 insectos, los resultados muestrales fueron: 20, 25, 13, 18, 32, 25, 20, 15, 28, 40, 27 Halla el tiempo medio de vida medio, el tiempo de vida mediano, la cuasi-varianza y la desviaci´ on t´ıpica muestral. 2. Con el fin de controlar la contaminaci´on de un r´ıo, todas las semanas se hace una medici´ on del nivel de ´acido u ´rico del agua. Las mediciones durante 9 semanas fueron: 13 10 7 5 12 7 9 5 5 Halla el nivel medio de ´acido u ´rico, el nivel mediano, la cuasi-varianza y la desviaci´ on t´ıpica. 3. En 1778, H. Cavendish realiz´o una serie de 29 experimentos, con una balanza de torsi´ on, con objeto de medir la densidad de la tierra. Sus resultados, tomando como unidad la densidad del agua, fueron: 5’50 5’57 5’42

5’61 5’53 5’47

4’88 5’62 5’63

4’07 5’29 5’34

5’26 5’44 5’46

5’55 5’34 5’30

5’36 5’79 5’75

5’29 5’10 5’86

5’58 5’27 5’85

5’65 5’39

a) Representa los datos por medio de un histograma. b) Representa los datos por medio de un diagrama de caja (boxplot). c) Halla la media y la desviaci´on t´ıpica. d) ¿Es la distribuci´on aproximadamente normal? 4.

Ï

Para evaluar la viabilidad de un proyecto de reforestaci´ on de una zona sometida a una fuerte actividad tur´ıstica, se analiza la composici´on en mg por cm3 de desechos org´ anicos del territorio. Los datos que se obtienen son: 10.87 19.32 10.96 15.34 16.71 4.57 22.05 22.71 5.53 23.31 12.65 4.08

9.01 23.18 25.90 23.34 5.48 26.45 21.18 22.44 11.42 11.89 13.89

22.50 25.15 27.66 22.81 8.25 23.58 18.85 15.89 5.58 23.95 23.82

12.35 15.49 9.74 17.86 20.57 19.27 8.38 24.20 3.15 19.30 16.91

17.39 20.30 18.65 30.72 4.57 9.79 15.01 24.75 14.06 12.22 28.09

31.05 2.38 9.31 32.60 2.30 3.03 18.12 28.08 5.83 21.45 15.73

17.19 13.55 24.60 8.96 32.56 19.40 4.24 19.73 19.42 9.84 12.53

16.74 9.33 17.41 32.71 7.92 23.92 3.39 13.22 21.13 4.78 16.52

20.33 22.72 24.86 15.86 4.84 22.45 7.17 17.69 18.32 38.63 9.48

Efectuar un estudio descriptivo como en el ejercicio anterior. 5. El ma´ız es un elemento importante en la alimantaci´ on animal. Sin embargo, este cereal carece de algunos amino´acidos que son esenciales. Un grupo de cient´ıficos desarroll´ o una nueva variedad que s´ı conten´ıa niveles apreciables de dichos amino´acidos. Para comprobar la utilidad de esta nueva variedad, se llev´ o a cabo el siguiente experimento: a un grupo de 20 pollos de 1 d´ıa se les suministr´ o un pienso que conten´ıa harina de ma´ız de la nueva variedad. A otro grupo de 20 pollos (grupo de control) se le aliment´ o con un pienso que s´ olo se diferenciaba del anterior en que no conten´ıa harina de la variedad mejorada de ma´ız. Los resultados que se obtuvieron sobre las ganancias de peso de los pollos (en gramos) al cabo de 21 d´ıas de alimentaci´ on fueron los siguientes: Variedad normal 380 321 366 356 283 349 402 462 356 410 329 399 350 384 316 272 345 455 360 431 Variedad mejorada 361 447 401 375 434 403 393 426 406 318 467 407 427 420 477 392 430 339 410 326 a) Para comparar las dos distribuciones, representa los dos diagramas de caja y bigotes en un mismo gr´afico. ¿Qu´e se puede observar en estos diagramas? b) ¿Cu´ales son las medias y desviaciones t´ıpicas de los datos de ambos grupos? ¿Qu´e diferencias hay entre ambos?

9

6. Las autoridades sanitarias de un municipio est´ an interesadas en evaluar la calidad del agua para consumo en t´erminos de colonias de bacterias tr´oficas en un acu´ıfero pr´ oximo a la ciudad. Se consideran dos zonas diferentes del acu´ıfero y se obtienen los siguientes resultados (n´ umero de colonias por 1000 mm de agua): zona 1 zona 2

194 204 158 156

199 199 161 198

191 202 143 161

202 230 174 188

215 193 220 139

214 194 156 147

197 209 156 116

Realiza un estudio comparativo de la calidad del agua en ambas zonas, utilizando res´ umenes num´ericos y diagramas de cajas. ¿Se observan diferencias entre ambas zonas? 7. Se quieren comparar dos m´etodos, A y B, para determinar el calor latente de fusi´ on del hielo. La siguiente tabla da los resultados obtenidos (en calor´ıas por gramo de masa para pasar de -0.72◦ C a 0◦ C) utilizando ambos m´etodos independientemente: M´etodo A M´etodo B

79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 80.02 79.94 79.98 79.97 79.97 80.03 79.95 79.97

a) Compara descriptivamante de los dos m´etodos. b) Si por un error al transcribir los datos, se modifica el primer dato de cada m´etodo y se escribe 799.8 y 800.2, ¿c´omo var´ıan la media y la mediana? 8. El tiempo de vida de ciertos insectos parece que se ve influido por el porcentaje de humedad del h´abitat en que se encuentran. Para estudiarlo, se toman muestras en 10 h´ abitats diferentes de las variables X=((Porcentaje medio de humedad)) e Y =‘((Tiempo medio de vida’)), y se obtienen un porcentaje medio de humedad del 59 % y un tiempo medio de vida 28’7 d´ıas. Adem´as: X

x2i = 35140;

X

yi2 = 8573;

X

xi yi = 17260

a) Expresa el tiempo medio de vida en funci´ on de la humedad mediante la recta de regresi´ on. Evalua el ajuste. b) ¿Cu´al ser´ıa el tiempo medio de vida estimado si la humedad es del 65 %? 9. Se quiere calibrar una nueva t´ecnica experimental indirecta para medir presiones en relaci´ on con un m´etodo est´andar directo. Para esto, se han realizado 9 tomas de presi´ on (en mm de Hg) por el m´etodo est´ andar directo (X) y por la nueva t´ecnica experimental indirecta (Y ). Los resultados obtenidos se resumen a continuaci´on: X

xi = 343

X

yi = 325

X

x2i = 17693

X

yi2 = 16367

X

xi yi = 16992

a) Calcula la recta de regresi´on de Y sobre X. Para una presi´ on de 55 mm de Hg, medida con el m´etodo est´andar, ¿qu´e presi´on cabr´ıa esperar con la nueva t´ecnica? b) ¿Qu´e podemos decir del ajuste de la recta de regresi´ on a nuestros datos? 10.

Ï El manat´ı de Florida (Trichechus manatus latirostris) es un mam´ıfero marino de gran tama˜no (hasta 4,5 m y 1 500 kg) que vive a lo largo de la costa de Florida. Cada a˜ no las lanchas motoras hieren o matan muchos ejemplares. A continuaci´on se presenta una tabla que da, anualmente, el n´ umero de licencias para motoras expedidas en Florida (expresado en miles de licencias) y el n´ umero de manat´ıes muertos en el periodo 1977— 1990. A˜ no Licencias Manat´ıes A˜ no Licencias Manat´ıes 1977 447 13 1984 559 34 1978 460 21 1985 585 33 1979 481 24 1986 614 33 1980 498 16 1987 645 39 1981 513 24 1988 675 43 1982 512 20 1989 711 50 1983 526 15 1990 719 47 a) Se quiere analizar la relaci´on entre el n´ umero de licencias expedidas anualmente en Florida y el n´ umero de manat´ıes muertos por lanchas motoras. ¿Cu´ al ser´ a la variable explicativa? Dibuja un diagrama de dispersi´on

10

con esos datos. ¿Qu´e indica el diagrama sobre la relaci´ on entre esas dos variables? ¿Est´ an las variables asociadas positiva o negativamente? b) Halla la recta de regresi´on para expresar el n´ umero de manat´ıes muertos en funci´ on del n´ umero de licencias. c) Describe la fuerza de la relaci´on. ¿Se puede predecir con precisi´ on el n´ umero de manat´ıes muertos cada a˜ no conociendo el n´ umero de licencias expedidas ese a˜ no? Si Florida decidiera congelar el n´ umero de licencias en 700 000, ¿cu´al ser´ıa la predicci´on del n´ umero medio de manat´ıes muertos por lanchas motoras? 11. Los buenos corredores dan m´as pasos por segundo a medida que aumentan la velocidad. He aqu´ı el promedio de pasos por segundo de un grupo de corredoras de ´elite a distintas velocidades. La velocidad se expresa en metros por segundo. Velocidad (m/s) 4, 83 5, 14 5, 33 5, 67 Pasos por segundo 3, 05 3, 12 3, 17 3, 25

6, 08 6, 42 3, 36 3, 46

6, 74 3, 55

a) Se quiere predecir el n´ umero de pasos por segundo a partir de la velocidad. En primer lugar, dibuja un diagrama de dispersi´on. b) Halla la recta de regresi´on del n´ umero de pasos por segundo con relaci´ on a la velocidad. c) Halla el coeficiente de correlaci´on lineal. hoja 2: probabilidad 1. Sea X una variable aleatoria cuantitativa cualquiera. Describe los siguientes sucesos: a) X vale a lo sumo 5. c) {X < 10}

c

e) {X > 15}c

b) X vale al menos 2. d) {X ≤ 10}c f) {X ≥ 15}c

2. Una urna contiene seis bolas rojas y cuatro negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. a) Si se sabe que la primera es roja, ¿cu´al es la probabilidad de que la segunda sea roja? b) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, ¿cu´ al es la probabilidad de que la primera haya sido roja? c) Halla la probabilidad de que la segunda bola sea roja. 3. Se sabe que, en cierta poblaci´on, el n´ umero de personas que padecen la enfermedad E es del 1 %. Se ha investigado una prueba diagn´ostica que ha resultado positiva en el 97 % de las personas que padecen la enfermedad E y en el 2 % de las personas sanas. Calcula la probabilidad de que a una persona la prueba le de resultado positivo. Calcula la probabilidad de que una persona que ha dado positivo est´e enferma. 4. Supongamos que se clasifica a los individuos de cierta especie animal en tres grupos A, B y C de distintas caracter´ısticas biol´ogicas. La probabilidad de que un individuo tomado al azar pertenezca al grupo A, B o C es respectivamente 1/2, 1/3 y 1/6. La probabilidad de que un individuo del grupo A, B o C contraiga cierta enfermedad S es respectivamente 1/10, 1/15 y 1/12. Calc´ ula la probabilidad de que: a) Un individuo contraiga la enfermedad S. b) Un individuo enfermo sea del grupo A. c) Un individuo sano sea del grupo A. 5. Durante la temporada de setas muchos aficionados a la micolog´ıa se dedican a su recolecta. En cierta regi´on se est´a realizando un estudio para identificar las setas comestibles y las setas t´ oxicas (algunas incluso mortales), para ello se ha dividido el terreno en 3 zonas. La proporci´ on de setas que hay en la primera zona es p, en la segunda es q y en la tercera es r. La probabilidad de que una seta sea comestible para cada una de las zonas es P , Q o R respectivamente. Calcula la probabilidad de que una seta t´ oxica no pertenezca a la primera zona. 6. Para averiguar el tama˜ no N de una poblaci´ on de lagartos se utiliza el m´etodo siguiente de captura-marcajerecaptura: Se capturan k lagartos, se les marca y se les reincorpora a su poblaci´ on. Un tiempo despu´es se realizan n avistamientos independientes y se observa el n´ umero de ellos que est´ an marcados. a) Plantea cu´ al es la variable aleatoria y cu´ al es su modelo de distribuci´ on. b) Si N = 1000, k = 550 y n = 6, halla la probabilidad de que entre los 6 reptiles: (i) al menos uno no est´e marcado; (ii) al menos uno s´ı est´e marcado; (iii) al menos dos est´en marcados y uno no lo est´e; (iv) ninguno est´e marcado si sabemos que al menos uno de ellos no lo est´ a.

11

7. El ((tiempo de vida activa en d´ıas)) de un plaguicida, X, viene representado por la funci´ on de densidad:  1 − x 500 si x > 0 500 e f (x) = 0 en el resto a) Calcula la mediana y la media del tiempo de vida activa. b) Determina la probabilidad de que el plaguicida tenga un periodo de duraci´ on entre 50 y 500. 8. La variable aleatoria X=((Tiempo transcurrido (en horas) hasta el fallo de una pieza)) tiene funci´ on de densidad  1 x − 15000 si x > 0 15000 e f (x) = 0 en el resto. Calcula el tiempo medio transcurrido hasta el fallo. 9. En el 2010 la Consejer´ıa de Sanidad registr´ o que el 0,04 % de la poblaci´ on que se vacun´ o de la Gripe A tuvo una reacci´on al´ergica a la vacuna. Halla la probabilidad de que en 5.000 individuos seleccionados al azar tengan reacci´on al´ergica: a) exactamente tres;

b) m´as de 2.

10. Una enfermedad rara es aquella que afecta a un peque˜ no n´ umero absoluto de personas o a una proporci´ on reducida de la poblaci´ on. Los diversos pa´ıses y regiones del mundo tienen definiciones legales diferentes. En Europa se considera rara a una enfermedad que afecta a menos de 1 de cada 2000 personas. ¿Cu´ al es la probabilidad de que haya m´as de tres afectados en un grupo de 10.000 europeos seleccionados aleatoriamente? ¿Cu´ al es el n´ umero medio de afectados en dicho grupo? 11. Sea Z una v.a. normal est´andar. Determina: a) P{Z > 1}

b) P{Z < −1}

c) P{1 < Z < 3}

d) P{−2 < Z < 1}

e) P{|Z| > 1,5}.

12. En 1969 se descubri´o que los faisanes de Montana (EE.UU) padec´ıan una apreciable contaminaci´ on por mercurio que pod´ıa deberse a que hab´ıan comido semillas de plantas que fueron tratadas durante su crecimiento con metilo de mercurio. Sea X el nivel de mercurio de un p´ ajaro en partes por mill´ on. Supongamos que X tiene distribuci´on normal con media 0.25 y desviaci´on t´ıpica 0.08. Calcular P {X ≤ 3}, P {X ≥ 0, 17}, P {0, 2 ≤ X ≤ 0, 4} y P {0, 01 ≤ X ≤ 0, 49}. ¿Hay alguna raz´on para suponer que la normalidad no es adecuada? 13. Se considera que la variable aleatoria ((kg de algod´ on recogidos por parcela)) sigue una distribuci´ on N (µ = 100; σ = 10). Hallar el porcentaje de parcelas en las que el n´ umero de kg recogidos ser´ a inferior a 115. 14. Se supone que el n´ umero de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria X con distribuci´on de Poisson de par´ametro λ = 0, 5. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en un mm3 de agua del estanque no haya ninguna bacteria?. b) En 40 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1 mm3 de agua en cada tubo). ¿Qu´e distribuci´on sigue la variable Y =“N´ umero de tubos de ensayo, entre los 40, que no contienen bacterias”? Calcular, aproximadamente, P (Y ≥ 20). 15. Un zo´ologo estudia una cierta especie de ratones de campo. Para ello captura ejemplares de una poblaci´on grande en la que la proporci´on de dicha especie es p. a) Si p = 0, 3, hallar la probabilidad de que en 6 ejemplares capturados haya al menos 2 de los que le interesan. b) Si p = 0, 04, calcular la probabilidad de que en 200 haya exactamente 3 de los que le interesan. c) Si p = 0, 4, calcular la probabilidad de que en 200 haya entre 75 y 100 de los que le interesan. 16. En una poblaci´on, la cantidad de plomo, X, presente en la sangre de una persona elegida al azar es una variable aleatoria con funci´on de densidad:  si 0 < x < 20  x/300 (50 − x)/1350 si 20 < x < 50 f (x) =  0 en el resto a) Cantidad media de plomo en la sangre de los individuos de la poblaci´ on.

b) Probabilidad de que en 40 personas elegidas al azar, haya entre 20 y 30 personas con una cantidad de plomo inferior a 20.

12

17. La capacidad de enrollar la lengua est´a controlada por una pareja de genes: el gen E que determina su enrollamiento y el gen e que lo impide. El gen E es dominante, de modo que una persona Ee ser´ a capaz de enrollar la lengua. En una ciudad grande se sabe que aproximadamente el 40 % no puede enrollar la lengua y el 60 % si puede. Si elegimos 200 personas al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que m´ as de 70 no puedan enrollar su lengua? 18. Un fabricante produce varillas y recipientes para insertar las varillas. Ambos tienen secciones circulares. Los di´ametros de las varillas siguen una N (µ = 1; σ = 0, 2); los di´ ametros de los recipientes siguen una N (µ = 1, 05; σ = 0, 15). Un ingeniero selecciona al azar una varilla y un recipiente. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la varilla pueda insertarse en el recipiente? 19. Sup´ongase que las estaturas, en pulgadas, de las mujeres de una cierta poblaci´ on siguen una distribuci´ on N (65, 1) y que las estaturas de los hombres siguen una distribuci´ on N (68, 2). Se selecciona al azar una mujer e, independientemente, se selecciona al azar un hombre. Determinar la probabi-lidad de que la mujer sea m´ as alta que el hombre. 20. Una l´ınea el´ectrica se aver´ıa cuando la tensi´ on sobrepasa la capacidad de la l´ınea. Si la tensi´ on es N (100; 20) y la capacidad es N (140; 10), calcular la probabilidad de aver´ıa. 21. Una m´aquina de envasado llena sacos de fertilizante de aproximadamente 30 Kg. La “cantidad de fertilizante por saco” sigue una distribuci´on N (µ = 30; σ = 1). a) Se desea que la cantidad de fertilizante por saco est´e entre 29 y 31 Kg. Calcular la probabilidad de que est´e dentro de esos l´ımites. b) Una empresa realiza un pedido de 80 de estos sacos de fertilizante. Calcular la probabilidad de que m´as de 50 est´en dentro de los l´ımites indicados. ´ n puntual & intervalos de confianza hoja 3: estimacio 1. Sea Z una v.a. normal tipificada: Z ∼ N (0, 1). Si zα denota el valor tal que P {Z > zα } = α, calcula: a) z0,025

b) z0,05

c) z0,95

d) z0,1 .

2. Sea X ∼ N (1, 2), calcular el valor C tal que P {X > C} = 0,96 (Observaci´ on: C 6= z0,96 ). 3. Para estudiar la proporci´on p de caballos afectados por la peste equina se les va a someter a una prueba. Se sabe que la prueba resulta positiva si el animal est´ a enfermo. Adem´ as, si el animal est´ a sano, hay una probabilidad 0,04 de que la prueba resulte positiva. a) Estudia la relaci´on entre la probabilidad p de que un caballo est´e enfermo y la probabilidad q de que la prueba resulte positiva. b) Si se realiz´ o la prueba a 500 caballos y result´ o positiva en 95 casos, calcula una estimaci´ on de p utilizando el resultado del apartado (a)). 4. Un test para detectar si el agua presenta cierto tipo de contaminaci´ on resulta positivo con probabilidad 0,99 si el agua est´a realmente contaminada (sensibilidad del test). Si el agua no est´ a contaminada, resulta negativo con probabilidad 0,97 (especificidad del test). La sensibilidad y la especificidad se conocen debido a que se tiene mucha experiencia en el uso de la prueba. a) ¿Qu´e relaci´on existe entre la probabilidad de que el test d´e positivo y la de que el agua est´e contaminada? b) Se aplica el test a muestras de agua de 15 lagos y resulta positivo en 2 de las muestras. Utiliza la relaci´on del apartado (a)) para estimar el porcentaje de lagos contaminados. 5. Unos laboratorios desarrollan una prueba sencilla para detectar la gripe aviar. La prueba tiene una fiabilidad muy aceptable: proporciona un 4 % de falsos positivos (prueba positiva cuando el ave est´ a sana) y un 0 % de falsos negativos (prueba negativa cuando el ave est´ a enferma). En una granja av´ıcola, se detecta un brote de gripe aviar. Mediante la utilizaci´ on de la prueba sencilla que se ha descrito anteriormente, se quiere estimar la incidencia de la enfermedad en esa granja. Para esto, se seleccionan al azar 100 pollos, se les efect´ ua la prueba y se obtienen 20 casos positivos. Estima la proporci´ on de pollos enfermos en la granja, explicando todo el proceso seguido.

13

6. Se sabe que el nivel de tensi´on sangu´ınea diast´ olica (mm Hg) en una poblaci´ on sigue una distribuci´on normal de media µ = 87 y desviaci´on t´ıpica σ = 7,5. Un individuo se clasifica como pre-hipertenso cuando su tensi´on est´a entre 80 y 89 mm Hg. Se seleccionan aleatoriamente cuatro individuos de la poblaci´ on y se promedian sus presiones sangu´ıneas diast´olicas. Calcula la probabilidad que el promedio est´e entre los l´ımites que indican pre-hipertensi´on. 7. Con los datos del experimento de Cavendish de 1778 (ejercicio 1.3) y suponiendo normalidad, a) Obtener estimaciones insesgadas para la media y la varianza de la densidad. b) Obtener un intervalo de confianza de nivel 0.95 para la media. ¿Cu´ al es el error m´ aximo? c) Determinar cu´antas mediciones deber´ıa realizar Cavendish para reducir el error del apartado anterior al menos a la mitad. 8. En una explotaci´on minera, las rocas excavadas se someten a un an´ alisis qu´ımico para determinar su contenido porcentual de cadmio. Se puede suponer que este contenido es una variable con distribuci´ on normal de media µ y varianza σ 2 . Despu´es de analizar 25 rocas se obtiene un contenido porcentual medio de 9,77 con una cuasidesviaci´ on t´ıpica de 3,164. (a) Construye un intervalo de confianza de nivel 95 % para el contenido porcentual medio de cadmio en la mina. (b) Construye un intervalo de confianza de nivel 95 % para σ. 9. Se estudia la proporci´on p de individuos al´ergicos al polen de las acacias en una determinada poblaci´ on. En 200 individuos tomados al azar se observaron 8 al´ergicos. Calcula un intervalo de confianza del 95 % para p. 10. Un equipo de investigadores quiere estimar la proporci´ on p de vacas que sufren el mal de las vacas locas en una gran explotaci´on ganadera, mediante un intervalo con un error m´ aximo de 0,015 y nivel de confianza 0,95. ¿A cu´antas vacas deben analizar para alcanzar aproximadamente este objetivo, sabiendo que en un peque˜ no sondeo orientativo (muestra piloto) result´o que el 15 % de las vacas estaban afectadas por la enfermedad? 11. Con los datos del ejercicio 1.5 y suponiendo normalidad e igualdad de varianzas, obtener un intervalo de confianza (al 95 %) para estimar la diferencia entre las ganancias medias de peso de los pollos con las dos variedades de pienso. 12. Se desea estimar la proporci´on p de ´anades en la poblaci´ on de un parque natural que presenta altos niveles de contaminaci´on por metales pesados. Para ello se realiza un sondeo preliminar con 50 ejemplares, de los cuales 9 resultaron tener altos niveles de contaminaci´ on. a) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0,95, para p a partir de los resultados. b) ¿Qu´e tama˜ no muestral deber´ıa utilizarse en un nuevo sondeo para estimar p con un error m´ aximo de 2,5 puntos porcentuales y un nivel de confianza de 0,92? 13. En una poblaci´on, el consumo de agua anual por individuo es una variable aleatoria con distribuci´ on normal de media µ y desviaci´on t´ıpica σ = 7,5. ¿Qu´e tama˜ no muestral hace falta para obtener un intervalo de confianza para µ con un margen de error ±2 y un nivel de confianza de 0,90? 14. Un estudio sobre cicatrizaci´on en tritones di´ o los siguientes resultados (velocidad de cicatrizaci´ on en µm/h) 25

13

44

45

57

42 50 36 35 38 43 31 26 48 P P 2 Informaci´on resumida: xi = 533 xi = 22023.

a) Asumiendo Normalidad, calcula un intervalo de confianza del 95 % para la media de la velocidad de cicatrizaci´on. b) ¿Cu´antos tritones habr´ıa que muestrear para estimar la media con una confianza del 95 % y un error inferior a 2 unidades. c) Representa los datos por medio de un diagrama de barras y de un boxplot. ¿Qu´e puedes decir sobre la hip´otesis de normalidad? 15. La concentraci´on media, X, de un determinado contaminante en la atm´ osfera es de 8 ppm (partes por mill´on). Un d´ıa se hacen mediciones en 10 puntos de una ciudad (alejados unos de otros), obteni´endose los resultados que se resumen a continuaci´on: 10 10 X X xi = 85,2 x2i = 773,82 i=1

i=1

14

Suponiendo normalidad, calcula intervalos de confianza al nivel 0,95 para la concentraci´ on media y para la varianza del contaminante. Contin´ ua en el ejercicio 4.1. 16. Se admite que el n´ umero de microorganismos en una muestra de 1 mm c´ ubico de agua de un r´ıo sigue una distribuci´on de Poisson de par´ametro λ. En 40 muestras se han detectado, en total, 833 microorganismos. Calcula un estimador puntual y un intervalo de confianza al 90 % para λ. 17. Se quiere estudiar la influencia de la hipertensi´ on de los padres sobre la presi´ on sangu´ınea de los hijos. Para ello se seleccionan dos grupos de ni˜ nos, unos con padres de presi´ on sangu´ınea normal (grupo 1) y otros con uno de sus padres hipertenso (grupo 2), obteni´endose las siguientes presiones sist´ olicas: Grupo 1 Grupo 2 Indicaci´on:

P

xi = 972,

Suponiendo normalidad,

104 100

P

88 102

yi = 1058,

100 96

98 106

102 110

92 110

P (xi − x ¯)2 = 201,6,

96 120

100 112

96 112

96 90

P (yi − y¯)2 = 707,4

a) ¿podemos afirmar que la presi´on media es mayor en los ni˜ nos con padres hipertensos? (se supone que las varianzas en las dos poblaciones de ni˜ nos son iguales). b) Al nivel 90 % ¿es correcto suponer varianzas iguales? 18. En un estudio sobre el estado de la salud dental en una ciudad, se tom´ o una muestra elegida al azar de 280 varones entre 35 y 44 a˜ nos, y se cont´o el n´ umero de piezas dentarias de cada individuo. Tras la revisi´ on pertinente, los dentistas informaron que hab´ıa 70 individuos con 28 o m´ as dientes. a) Realiza una estimaci´on por intervalos de confianza de la proporci´ on de individuos de esta ciudad con 28 dientes o m´as, con un nivel de confianza 0.95. b) Utilizando los datos anteriores como muestra piloto, calcula cu´ al ser´ıa el tama˜ no muestral necesario para efectuar la anterior estimaci´on con un error inferior a 0,01 (al mismo nivel de confianza). 19. La producci´on de trigo (en Tm/Ha) por parcela en cierta regi´ on sigue una distribuci´ on Normal. Se escogen 8 parcelas al azar y se obtienen las siguientes producciones: 11,04 Indicaci´on:

P

xi = 82,14,

11,13 P

9,04

10,60

11,26

8,78

9,51

10,78

x2i = 850,3646.

a) Halla un intervalo de confianza del 99 % para la media de la producci´ on por parcela. b) ¿Cu´al debe ser el n´ umero de parcelas observadas para estimar la media con un error menor que 0,3 y un nivel de confianza del 99 %? ´ tesis parame ´tricos hoja 4: contrastes de hipo 1. Con los datos del ejercicio 3.15 y suponiendo normalidad, ¿resulta aceptable, al nivel de significaci´ on α = 0,05, que el grado de contaminaci´on medio es el habitual? 2. Se analiza un env´ıo de botellas sobre las que se afirma que contienen 100 cl. de agua. Examinada una muestra de 5 botellas se obtiene que la media es de 95 cl. y la cuasivarianza es s2 = 1,1. Al nivel de significaci´on 5 %, ¿existe evidencia emp´ırica para afirmar que la cantidad media de agua no es de 100 cl.? 3. Un soci´ologo afirma que el 40 % de los universitarios han viajado al extranjero al menos una vez. En una muestra de 100 universitarios, se observa que 36 han salido del pa´ıs en alguna ocasi´ on. Contrastar la hip´ otesis del soci´ologo para un nivel de significaci´on del 10 %. 4. La concentraci´on media de di´oxido de carbono en el aire a una determinada altura es habitualmente de unas 355 ppm (partes por mill´on). Se sospecha que esta concentraci´ on es mayor en la capa de aire m´ as pr´ oxima a la superficie. Para contrastar esta hip´otesis se analiza el aire en 20 puntos pr´ oximos al suelo elegidos aleatoriamente. Se obtiene una media muestral de 580 ppm y una desviaci´ on t´ıpica muestral muestral de 180 ppm. ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia estad´ıstica, al nivel 0,01, a favor de la hip´ otesis de que la concentraci´ on es mayor cerca del suelo? Indica razonadamente si el p-valor es mayor o menor que 0,01.

15

5. Un fabricante de materiales para insonorizaci´ on produce dos tipos A y B. De los 1000 primeros lotes vendidos, 560 fueron del tipo A. ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia estad´ıstica (al nivel de significaci´on 0.01) para concluir que los consumidores prefieren mayoritariamente el tipo A? 6. Con los datos del ejercicio 1.7, ¿se puede afirmar, a un nivel de significaci´ on del 10 %, que existen diferencias significativas entre los resultados medios proporcionados por los dos m´etodos? 7. Con los datos del ejercicio 1.5, continuado en el ejercicio 3.11, y suponiendo normalidad e igualdad de varianzas, ¿se puede considerar que hay suficiente evidencia estad´ıstica para afirmar que la ganancia media de peso es mayor con la variedad mejorada? Da una respuesta con un nivel de significaci´ on 0,10. Al nivel de significaci´on 0,10 ¿era razonable aceptar la hip´ otesis de igualdad de varianzas? 8. Se desea comparar la proporci´on de viviendas con calefacci´ on en Extremadura y en Galicia. Se hace un muestreo en las dos comunidades con los siguientes resultados: Extremadura: De 500 viviendas elegidas al azar, 300 disponen de calefacci´ on. Galicia: De 1000 viviendas elegidas al azar, 680 disponen de calefacci´ on. ¿Hay suficiente evidencia estad´ıstica para concluir, con un nivel de significaci´ on del 5 %, que es menor la proporci´on de viviendas con calefacci´on en Extremadura que en Galicia? 9. Se van a probar dos medicamentos, A y B, contra una enfermedad. Para esto se tratan 100 ratones enfermos con el medicamento A y otros 100 con el medicamento B. El n´ umero medio de horas que sobreviven con A es x ¯ = 1 200 y el n´ umero medio con B es y¯ = 1 400. Suponiendo normalidad en ambos casos y sabiendo que: X X (xi − x ¯)2 = 900 000 (yi − y¯)2 = 950 000 a) ¿Se puede aceptar igualdad de varianzas con α = 0,10?

b) ¿Es m´as efectivo el medicamento B? Plantea el contraste adecuado al nivel de significaci´ on 0,05. 10. Con objeto de estudiar si el n´ umero de pulsaciones por minuto en hombres (X) puede considerarse menor que en mujeres (Y ), se toman muestras de 16 hombres y 16 mujeres, obteni´endose los siguientes resultados: X X X X xi = 1 248 x2i = 97 570 yi = 1 288 yi2 = 103 846 ¿Qu´e se puede decir al respecto?

11. Una compa˜ n´ıa americana de distribuci´on de gasolina quiere probar el rendimiento de un nuevo combustible. Para esto hace pruebas con 8 modelos de coches diferentes en una autopista. El n´ umero de millas recorridas por gal´on de gasolina con cada coche con el antiguo combustible y con el nuevo combustible se da a continuaci´on: Coche 1 2 3 4 5 6 7 8 Antiguo combustible 58 52 50 50 50 49 44 42 Nuevo combustible 60 55 52 51 48 50 42 46 Suponiendo normalidad, ¿se puede concluir que el nuevo combustible proporciona un mejor rendimiento? Dar una respuesta con un nivel de significaci´on de 0,05. Cambia la variable de estudio de ((millas por gal´ on)) a ((litros de consumo por cada 100 km)). Suponiendo de nuevo normalidad realiza el mismo contraste. ¿Qu´e se puede decir de la hi´otesis de normalidad en ambos casos? 12. Con el objeto de estudiar la efectividad de un agente diur´etico, se eligieron al azar 11 pacientes, aplicando a 6 de ellos dicho f´armaco y un placebo a los restantes. La variable observada en esta experiencia fue la concentraci´on de sodio en la orina a las 24 horas, la cual dio los resultados siguientes: Diur´etico Placebo

20.4 1.2

62.5 6.9

61.3 38.7

44.2 20.4

11.1 17.2

23.7

Se supone que las concentraciones de sodio, en ambos casos, tienen una distribuci´ on N (µ1 , σ) y N (µ2 , σ) respectivamente. Contrasta, a un nivel de significaci´ on del 5 %, si existe diferencia en el efecto medio al usar el agente diur´etico.

16

13. Se desea estudiar si la utilizaci´on de tratamientos para reducir el nivel de colesterol reduce tambi´en el riesgo de sufrir infartos. Para ello, 2 051 hombres de mediana edad recibieron un tratamiento para reducir el nivel de colesterol a base de gemfibrozil mientras que un grupo de control de 2 030 hombres recibi´ o un placebo. Durante los cinco a˜ nos siguientes, 56 hombres del grupo de gemfibrozil y 84 del grupo del placebo sufrieron infartos. (a) ¿Existe evidencia emp´ırica, al nivel α = 0,05 de que el gemfibrozil es eficaz para reducir el riesgo de sufrir infartos? (b)Determina razonadamente si el p-valor del contraste es mayor o menor que 0,05. 14. Algunos estudios parecen sugerir que tomar cada d´ıa una aspirina puede tener efectos beneficiosos para la salud. En un amplio estudio sobre 22 071 personas sanas de m´ as de 40 a˜ nos, se administr´ o una aspirina diaria durante cierto periodo de tiempo a 11 037 personas mientras que el resto recibi´ o un placebo. En la siguiente tabla aparece el n´ umero de personas que sufrieron infartos y embolias para cada grupo: Infartos Embolias

Grupo aspirina 139 98

Grupo placebo 239 119

(a) ¿Aportan estos datos suficiente evidencia emp´ırica al nivel α = 0,05 de que tomar una aspirina es beneficioso para evitar sufrir embolias? (b) Calcula un intervalo de confianza de nivel 0,95 para la la diferencia de proporciones de individuos que sufren un infarto entre los que han tomado y no han tomado aspirinas. 15. Una compa˜ n´ıa petrol´ıfera est´a considerando la posibilidad de introducir un nuevo aditivo en su gasolina, esperando incrementar el kilometraje medio por litro. Los ingenieros del grupo de investigaci´ on prueban 10 coches con la gasolina habitual y otros 10 coches con la gasolina con el nuevo aditivo. El resumen de los resultados es: ((Kilometraje medio sin aditivo))= 14,2 km/l

s21 = 3,24

((Kilometraje medio con aditivo))= 15,4 km/l

s22 = 5,76

a) ¿Se puede considerar probado que el nuevo aditivo aumenta el kilometraje medio por litro? Plantea el modelo correspondiente (suponiendo normalidad e igualdad de varianzas) al nivel de significaci´ on 0,05. b) Con los datos disponibles, ¿era razonable trabajar con la hip´ otesis de igualdad de varianzas en el apartado anterior? Da una respuesta razonada con un nivel de significaci´ on de 0,10. 16. Se quieren comparar dos m´etodos r´apidos para estimar la concentraci´ on de una hormona en una soluci´on. Se preparan en el laboratorio 10 dosis de la hormona y se mide la concentraci´ on de cada una con los dos m´etodos. Se obtienen los siguientes resultados: Dosis M´etodo A M´etodo B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10,7 11,2 15,3 14,9 13,9 15,0 15,6 15,7 14,3 10,8 11,1 11,4 15,0 15,1 14,3 15,4 15,4 16,0 14,3 11,2

Al nivel de significaci´on 0,05, contrasta si los dos m´etodos proporcionan, en media, las mismas estimaciones. 17. El contenido medio habitual de ars´enico en un parque nacional es de 9 ppm. Se cree que u ´ltimamente este contenido medio ha podido aumentar. Para estudiar este posible aumento de la contaminaci´ on, se toma una muestra del contenido de ars´enico en 20 puntos diferentes del parque. Se obtiene una media muestral de 10 ppm, y una cuasi-varianza de 2,1 ppm. ¿Son los datos lo suficientemente concluyentes como para poder afirmar que, efectivamente, ha habido una contaminaci´on, es decir, que el contenido medio en la actualidad es superior al habitual de 9 p.p.m.? Da una respuesta, al nivel de significaci´on 0,05, suponiendo normalidad en los datos. ¿Es el p-valor de estos datos superior o inferior a 0,05? Da una respuesta razonada sin hacer c´ alculos adicionales. 18. Se desea estudiar la efectividad de un insecticida ecol´ ogico contra los ´ afidos en los cultivos de patata. Para ello, se tratan por un lado 40 plantas con el insecticida, obteni´endose una media de 15 ´ afidos por planta con una cuasi-varianza de 9,1. Por otro lado, sobre un grupo de control de 30 plantas que no reciben tratamiento, se obtiene una media de 18,3 ´afidos por planta con una cuasi-varianza de 10,5. a) Suponiendo normalidad e igualdad de varianzas, ¿se puede concluir que el insecticida es eficaz? Es decir, ¿se puede concluir que el n´ umero medio de ´afidos por planta es menor cuando se utiliza el insecticida ecol´ ogico? Da una respuesta razonada con un nivel de significaci´ on de 0,10. b) ¿Era aceptable asumir la igualdad de varianzas? Da una respuesta razonada al nivel de significaci´ on 0,10.

17

19. En otro lugar, se lleva a cabo otro estudio diferente con el insecticida ecol´ ogico del ejercicio anterior. En este nuevo estudio, queremos comparar proporciones de plantas afectadas. Por un lado, se tratan 100 plantas con el insecticida y se comprueba que 10 de ellas tienen ´ afidos. Por otro lado, se tiene un grupo de control de otras 100 plantas diferentes que no reciben tratamiento y se comprueba que 15 de ellas tienen ´afidos. ¿Podemos concluir, al nivel de significaci´on 0,05, que la proporci´ on de plantas con ´ afidos es menor cuando son tratadas con el insecticida? 20. La producci´on de trigo (en T/ha) que se obtiene un a˜ no en 5 parcelas es la siguiente: 11,04

15,13

9,04

20,60

31,26

Se quiere estudiar la efectividad de un nuevo fertilizante. Para ello, se observa la producci´ on de trigo que se obtiene al a˜ no siguiente, usando el nuevo fertilizante. Los resultados en las mismas 5 parcelas son los siguientes: 12,08

17,28

10,82

18,90

32,03

Se puede afirmar que el nuevo fertilizante aumenta la producci´ on media? Responde razonadamente, al nivel de significaci´on 0,01. Haz una cr´ıtica razonada del dise˜ no. 21. El nivel cer´aunico de un lugar es el n´ umero de d´ıas al cabo del a˜ no en los que hay tormenta (se considera d´ıa con tormenta a aquel en el que al menos se oye un trueno). En cierta comarca, se conoce por datos hist´oricos que el nivel cer´aunico sigue una distribuci´on de Poisson con una media (λ) de 20 d´ıas. Sin embargo, se piensa que u ´ltimamente su nivel cer´ aunico ha aumentado, como consecuencia del cambio clim´atico. En un seguimiento de los u ´ltimos 50 a˜ nos, se ha obtenido que el n´ umero medio de d´ıas al a˜ no con tormenta ha sido de 22. ¿Se puede afirmar que efectivamente se ha producido un aumento del nivel cer´ aunico? Da una respuesta razonada, al nivel de significaci´on del 5 %. ´ tesis no parame ´tricos hoja 5: contrastes de hipo 1. Estamos interesados en comprobar la perfecci´ on de un dado c´ ubico: un dado normal de 6 caras. Para esto realizamos 300 lanzamientos del dado anotando los puntos obtenidos en cada lanzamiento. A la vista de los resultados obtenidos, y con un nivel de significaci´ on del 5 % ¿hay razones para rechazar que el dado sea perfecto? Puntuaci´on del dado (X) 1 Frecuencias 43

2 3 49 56

4 45

5 6 66 41

2. Se quiere comprobar que un programa de ordenador genera observaciones de una distribuci´ on N (0; 1). Para ello se obtiene una muestra aleatoria de 450 observaciones mediante dicho programa, que proporciona los siguientes resultados: Valor x de la observaci´on x < −2 −2 < x < −1 −1 < x < 0 0 < x < 1 1 < x < 2 2 < x N´ umero de observaciones 30 80 140 110 60 30 ¿Se puede aceptar, al nivel α = 0,01, que el programa funciona correctamente? 3. Con los datos del experimento de Cavendish (ejercicios 1.3 y 3.7), ¿se puede aceptar, al nivel de significaci´on 0,05, que la densidad de la tierra se ajusta a una distribuci´ on normal? 4. Para estudiar si el grupo sangu´ıneo de los individuos se relaciona con la predisposici´ on a padecer diabetes, se seleccionan al azar 400 sujetos de los que se determina el grupo sangu´ıneo y el nivel de glucosa en sangre en id´enticas condiciones experimentales. Clasificada la segunda medida en niveles bajo, medio y alto, se obtiene: 0 A B AB Total

Bajo 137 42 19 14 212

Medio 86 23 17 7 133

Alto 35 11 7 2 55

Total 258 76 43 23 400

Comprueba si existe independencia entre el grupo sangu´ıneo y el nivel de glucosa al nivel de significaci´on 0,05.

18

5. Para estudiar el n´ umero de ejemplares de cierta especie en peligro de extinci´ on que viven en un bosque, se divide el mapa del bosque en nueve zonas y se cuenta el n´ umero de ejemplares de cada zona. Se observa que 60 ejemplares viven en el bosque repartidos en las 9 zonas de la siguiente forma: 8 5 6

7 9 4

3 11 7

Mediante un contraste de hip´otesis, analiza si estos datos aportan evidencia emp´ırica de que los animales tienen tendencia a ocupar unas zonas del bosque m´ as que otras. 6. Se desea estudiar el n´ umero de accidentes por d´ıa que se producen en cierto regimiento. Para ello se toman al azar los partes de 200 d´ıas dentro de los u ´ltimos 5 a˜ nos, encontrando los siguientes resultados: N´ umero de accidentes/d´ıa N´ umero de d´ıas

0 58

1 75

2 44

3 18

4 3

5 1

6 1

a) ¿Se puede aceptar, con nivel de confianza del 90 %, que el n´ umero de accidentes por d´ıa sigue una distribuci´on de Poisson? b) Suponiendo que el n´ umero de accidentes por d´ıa sigue una Poisson(λ), ¿hay suficiente evidencia estad´ıstica (tomar nivel de significaci´on α = 0,05) de que el verdadero valor medio λ del n´ umero de accidentes por d´ıa es menor que 1,35? El p-valor, ¿es mayor o es menor que 0,05? 7. Se desea evaluar la efectividad de una nueva vacuna antigripal. Para ello se decide suministrar dicha vacuna, de manera voluntaria y gratuita, a una peque˜ na comunidad. La vacuna se administra en dos dosis, separadas por un per´ıodo de dos semanas, de forma que algunas personas han recibido una sola dosis, otras han recibido las dos y otras personas no han recibido ninguna. La siguiente tabla indica los resultados que se registraron durante la siguiente primavera en 1000 habitantes de la comunidad elegidos al azar. Gripe No gripe

No vacunados 24 289

Una dosis 9 100

Dos dosis 13 565

¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia estad´ıstica (al nivel de significaci´ on 0,05) para indicar una dependencia entre la clasificaci´on respecto a la vacuna y la protecci´ on frente a la gripe? 8. Se quiere comparar la biodiversidad de dos montes cercanos. Para ello se sigue el procedimiento siguiente. En uno de los montes se eligen al azar 50 zonas, de 4 m2 cada una, se recuenta el n´ umero de especies vegetales diferentes que hay en cada una y se observa que: en 20 zonas hab´ıa menos de 6 especies; en 17 zonas hab´ıa entre 6 y 8 especies; y en 13 zonas hab´ıa m´as de 8 especies. En el otro monte se hace el mismo recuento en 40 zonas elegidas con las mismas caracter´ısticas y se observa que: en 12 zonas hab´ıa menos de 6 especies diferentes; en 20 zonas hab´ıa entre 6 y 8 especies diferentes; y en 8 zonas hab´ıa m´as de 8 especies diferentes. ¿Son similares los dos montes en lo que se refiere a su biodiversidad? Haz el contraste correspondiente con un nivel de significaci´on del 0,10. 9. Se han clasificado 1000 individuos de una poblaci´ on seg´ un su sexo y seg´ un fueran normales o dalt´ onicos.

Normal Dalt´onicos

Masculino 442 38

Femenino 514 6

Seg´ un un modelo gen´etico, las probabilidades deber´ıan ser: 1 2

p

1 2

q

1 2

p2 + pq 1 2

q2

donde q = 1 − p = proporci´on de genes defectuosos en la poblaci´ on.

A partir de la muestra se ha estimado que q = 0,087. ¿Concuerdan los datos con el modelo?

19

10. Se estudia la distribuci´on de los grupos sangu´ıneos O, A, B, AB en dos comunidades. Se obtienen los resultados siguientes. O Comunidad 1 121 Comunidad 2 118

A 120 95

B AB 79 33 121 30

a) ¿Se puede considerar que son homog´eneas ambas comunidades? b) Consideremos ahora s´olo los datos de la comunidad 1. El modelo te´ orico asigna las siguientes probabilidades a cada uno de los grupos: O r2

A p2 + 2pr

B q 2 + 2qr

AB 2pq

(p + q + r = 1)

A partir de los datos de la muestra se han obtenido las siguientes estimaciones de los par´ ametros: pˆ = 0, 2465 y qˆ = 0, 1732. Obtener las frecuencias esperadas seg´ un el modelo te´ orico y contrastar la hip´ otesis de que los datos se ajustan a ´el. 11. Se ha desarrollado un modelo te´orico para las diferentes clases de una variedad de moscas. Este modelo indica que la mosca puede ser de tipo L con probabilidad p2 , de tipo M con probabilidad q 2 y de tipo N con probabilidad 2pq (p + q = 1). Para confirmar el modelo experimentalmente se toma una muestra de 100 moscas, y se obtienen 10, 50 y 40 moscas de los tipos L, M y N, respectivamente. ¿Se ajustan los datos al modelo te´orico, al nivel de significaci´ on 0,05? 12. Un Ayuntamiento decide poner 4 contenedores para reciclar papel en una zona de la ciudad con la idea de que sean utilizados por la misma cantidad de personas (aproximadamente). Para ver si esto es cierto, hace una encuesta en la zona a 300 personas, pregunt´ andoles que contenedor utilizan. Los resultados obtenidos son los siguientes: El contenedor 2 es utilizado por 70 personas El contenedor 1 es utilizado por 80 personas El contenedor 3 es utilizado por 85 personas El contenedor 4 es utilizado por 65 personas a) Como consecuencia de estos resultados, ¿resulta aceptable que los 4 contenedores tienen el mismo nivel de utilizaci´on? Da una respuesta razonada, con un nivel de significaci´ on de 0,10. b) El p-valor del contraste anterior, ¿es inferior o superior a 0,10? Dar una respuesta razonada. 13. Se han clasificado los alumnos de un curso seg´ un su grupo sangu´ıneo y su Rh con los resultados siguientes. Rh/ Grupo + -

A 48 16

B 32 6

AB 12 5

0 40 12

a) ¿Son las variables ((Rh)) y ((grupo sangu´ıneo)) independientes? Da una respuesta razonada al nivel de significaci´on 0,05. b) El p-valor de los datos ¿es inferior o superior a 0,05? Da una respuesta razonada. 14. En una ciudad existen 4 puntos limpios para recogida de residuos: A, B, C y D. Por la forma en que est´an repartidos en la poblaci´on, se piensa que las proporciones o probabilidades de uso de estos 4 puntos limpios siguen el modelo: P (A) = p

P (B) =

1 −p 2

P (C) =

1 −p 2

P (D) = p.

Se extrae una muestra aleatoria de 120 hogares y se obtienen las siguientes frecuencias: Punto limpio Oi

A 18

B 32

C 41

D 29

a) ¿Se ajustan bien los datos al modelo propuesto? Da una respuesta al nivel de significaci´ on α = 0,05, (se ha estimado pˆ = 0, 20). b) Decide razonadamente si el p-valor es inferior o superior a 0,05.

20

TABLAS ESTAD´ISTICAS

´Indice 1. Distribuci´ on Binomial

22

2. Distribuci´ on de Poisson

24

3. Distribuci´ on Normal

25

4. Distribuci´ on t de Student

26

5. Distribuci´ on χ2

27

6. Distribuci´ on F

28

´ n Binomial B(n, p) Distribucio n=5 0 1 2 3 4 5

0.01 0.95099 0.99902 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000

0.05 0.77378 0.97741 0.99884 0.99997 1.00000 1.00000

0.1 0.59049 0.91854 0.99144 0.99954 0.99999 1.00000

0.15 0.44371 0.83521 0.97339 0.99777 0.99992 1.00000

p 0.2 0.32768 0.73728 0.94208 0.99328 0.99968 1.00000

0.25 0.23730 0.63281 0.89648 0.98438 0.99902 1.00000

0.3 0.16807 0.52822 0.83692 0.96922 0.99757 1.00000

0.4 0.07776 0.33696 0.68256 0.91296 0.98976 1.00000

0.5 0.03125 0.18750 0.50000 0.81250 0.96875 1.00000

n=6 0 1 2 3 4 5 6

0.01 0.94148 0.99854 0.99998 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.05 0.73509 0.96723 0.99777 0.99991 1.00000 1.00000 1.00000

0.1 0.53144 0.88574 0.98415 0.99873 0.99995 1.00000 1.00000

0.15 0.37715 0.77648 0.95266 0.99411 0.99960 0.99999 1.00000

0.2 0.26214 0.65536 0.90112 0.98304 0.99840 0.99994 1.00000

0.25 0.17798 0.53394 0.83057 0.96240 0.99536 0.99976 1.00000

0.3 0.11765 0.42017 0.74431 0.92953 0.98906 0.99927 1.00000

0.4 0.04666 0.23328 0.54432 0.82080 0.95904 0.99590 1.00000

0.5 0.01562 0.10938 0.34375 0.65625 0.89062 0.98438 1.00000

n=7 0 1 2 3 4 5 6 7

0.01 0.93207 0.99797 0.99997 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.05 0.69834 0.95562 0.99624 0.99981 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000

0.1 0.47830 0.85031 0.97431 0.99727 0.99982 0.99999 1.00000 1.00000

0.15 0.32058 0.71658 0.92623 0.98790 0.99878 0.99993 1.00000 1.00000

0.2 0.20972 0.57672 0.85197 0.96666 0.99533 0.99963 0.99999 1.00000

0.25 0.13348 0.44495 0.75641 0.92944 0.98712 0.99866 0.99994 1.00000

0.3 0.08235 0.32942 0.64707 0.87396 0.97120 0.99621 0.99978 1.00000

0.4 0.02799 0.15863 0.41990 0.71021 0.90374 0.98116 0.99836 1.00000

0.5 0.00781 0.06250 0.22656 0.50000 0.77344 0.93750 0.99219 1.00000

n=8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.01 0.92274 0.99731 0.99995 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.05 0.66342 0.94276 0.99421 0.99963 0.99998 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.1 0.43047 0.81310 0.96191 0.99498 0.99957 0.99998 1.00000 1.00000 1.00000

0.15 0.27249 0.65718 0.89479 0.97865 0.99715 0.99976 0.99999 1.00000 1.00000

0.2 0.16777 0.50332 0.79692 0.94372 0.98959 0.99877 0.99992 1.00000 1.00000

0.25 0.10011 0.36708 0.67854 0.88618 0.97270 0.99577 0.99962 0.99998 1.00000

0.3 0.05765 0.25530 0.55177 0.80590 0.94203 0.98871 0.99871 0.99993 1.00000

0.4 0.01680 0.10638 0.31539 0.59409 0.82633 0.95019 0.99148 0.99934 1.00000

0.5 0.00391 0.03516 0.14453 0.36328 0.63672 0.85547 0.96484 0.99609 1.00000

n=9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.01 0.91352 0.99656 0.99992 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.05 0.63025 0.92879 0.99164 0.99936 0.99997 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.1 0.38742 0.77484 0.94703 0.99167 0.99911 0.99994 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.15 0.23162 0.59948 0.85915 0.96607 0.99437 0.99937 0.99995 1.00000 1.00000 1.00000

0.2 0.13422 0.43621 0.73820 0.91436 0.98042 0.99693 0.99969 0.99998 1.00000 1.00000

0.25 0.07508 0.30034 0.60068 0.83427 0.95107 0.99001 0.99866 0.99989 1.00000 1.00000

0.3 0.04035 0.19600 0.46283 0.72966 0.90119 0.97471 0.99571 0.99957 0.99998 1.00000

0.4 0.01008 0.07054 0.23179 0.48261 0.73343 0.90065 0.97497 0.99620 0.99974 1.00000

0.5 0.00195 0.01953 0.08984 0.25391 0.50000 0.74609 0.91016 0.98047 0.99805 1.00000

n = 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.01 0.90438 0.99573 0.99989 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.05 0.59874 0.91386 0.98850 0.99897 0.99994 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.1 0.34868 0.73610 0.92981 0.98720 0.99837 0.99985 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.15 0.19687 0.54430 0.82020 0.95003 0.99013 0.99862 0.99987 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000

0.2 0.10737 0.37581 0.67780 0.87913 0.96721 0.99363 0.99914 0.99992 1.00000 1.00000 1.00000

0.25 0.05631 0.24403 0.52559 0.77588 0.92187 0.98027 0.99649 0.99958 0.99997 1.00000 1.00000

0.3 0.02825 0.14931 0.38278 0.64961 0.84973 0.95265 0.98941 0.99841 0.99986 0.99999 1.00000

0.4 0.00605 0.04636 0.16729 0.38228 0.63310 0.83376 0.94524 0.98771 0.99832 0.99990 1.00000

0.5 0.00098 0.01074 0.05469 0.17188 0.37695 0.62305 0.82812 0.94531 0.98926 0.99902 1.00000

22

1

n = 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0.01 0.86006 0.99037 0.99958 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.05 0.46329 0.82905 0.96380 0.99453 0.99939 0.99995 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.1 0.20589 0.54904 0.81594 0.94444 0.98728 0.99775 0.99969 0.99997 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.15 0.08735 0.31859 0.60423 0.82266 0.93829 0.98319 0.99639 0.99939 0.99992 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.2 0.03518 0.16713 0.39802 0.64816 0.83577 0.93895 0.98194 0.99576 0.99922 0.99989 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.25 0.01336 0.08018 0.23609 0.46129 0.68649 0.85163 0.94338 0.98270 0.99581 0.99921 0.99988 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.3 0.00475 0.03527 0.12683 0.29687 0.51549 0.72162 0.86886 0.94999 0.98476 0.99635 0.99933 0.99991 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000

0.4 0.00047 0.00517 0.02711 0.09050 0.21728 0.40322 0.60981 0.78690 0.90495 0.96617 0.99065 0.99807 0.99972 0.99997 1.00000 1.00000

0.5 0.00003 0.00049 0.00369 0.01758 0.05923 0.15088 0.30362 0.50000 0.69638 0.84912 0.94077 0.98242 0.99631 0.99951 0.99997 1.00000

n = 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.01 0.81791 0.98314 0.99900 0.99996 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.05 0.35849 0.73584 0.92452 0.98410 0.99743 0.99967 0.99997 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.1 0.12158 0.39175 0.67693 0.86705 0.95683 0.98875 0.99761 0.99958 0.99994 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.15 0.03876 0.17556 0.40490 0.64773 0.82985 0.93269 0.97806 0.99408 0.99867 0.99975 0.99996 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.2 0.01153 0.06918 0.20608 0.41145 0.62965 0.80421 0.91331 0.96786 0.99002 0.99741 0.99944 0.99990 0.99998 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.25 0.00317 0.02431 0.09126 0.22516 0.41484 0.61717 0.78578 0.89819 0.95907 0.98614 0.99606 0.99906 0.99982 0.99997 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.3 0.00080 0.00764 0.03548 0.10709 0.23751 0.41637 0.60801 0.77227 0.88667 0.95204 0.98286 0.99486 0.99872 0.99974 0.99996 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.4 0.00004 0.00052 0.00361 0.01596 0.05095 0.12560 0.25001 0.41589 0.59560 0.75534 0.87248 0.94347 0.97897 0.99353 0.99839 0.99968 0.99995 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000

0.5 0.00000 0.00002 0.00020 0.00129 0.00591 0.02069 0.05766 0.13159 0.25172 0.41190 0.58810 0.74828 0.86841 0.94234 0.97931 0.99409 0.99871 0.99980 0.99998 1.00000 1.00000

n = 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.01 0.77782 0.97424 0.99805 0.99989 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.05 0.27739 0.64238 0.87289 0.96591 0.99284 0.99879 0.99983 0.99998 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.1 0.07179 0.27121 0.53709 0.76359 0.90201 0.96660 0.99052 0.99774 0.99954 0.99992 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.15 0.01720 0.09307 0.25374 0.47112 0.68211 0.83848 0.93047 0.97453 0.99203 0.99786 0.99951 0.99990 0.99998 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.2 0.00378 0.02739 0.09823 0.23399 0.42067 0.61669 0.78004 0.89088 0.95323 0.98267 0.99445 0.99846 0.99963 0.99992 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.25 0.00075 0.00702 0.03211 0.09621 0.21374 0.37828 0.56110 0.72651 0.85056 0.92867 0.97033 0.98927 0.99663 0.99908 0.99979 0.99996 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.3 0.00013 0.00157 0.00896 0.03324 0.09047 0.19349 0.34065 0.51185 0.67693 0.81056 0.90220 0.95575 0.98253 0.99401 0.99822 0.99955 0.99990 0.99998 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.4 0.00000 0.00005 0.00043 0.00237 0.00947 0.02936 0.07357 0.15355 0.27353 0.42462 0.58577 0.73228 0.84623 0.92220 0.96561 0.98683 0.99567 0.99879 0.99972 0.99995 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

0.5 0.00000 0.00000 0.00001 0.00008 0.00046 0.00204 0.00732 0.02164 0.05388 0.11476 0.21218 0.34502 0.50000 0.65498 0.78782 0.88524 0.94612 0.97836 0.99268 0.99796 0.99954 0.99992 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000

23

2

´ n de Poisson Distribucio k λ 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,20 4,40 4,60 4,80 5,00 5,20 5,40 5,60 5,80 6,00 6,20 6,40 6,60 6,80 7,00 7,20 7,40 7,60 7,80 8,00

0 0,980 0,961 0,942 0,923 0,905 0,861 0,819 0,779 0,741 0,705 0,670 0,638 0,607 0,577 0,549 0,522 0,497 0,472 0,449 0,427 0,407 0,387 0,368 0,333 0,301 0,273 0,247 0,223 0,202 0,183 0,165 0,150 0,135 0,111 0,091 0,074 0,061 0,050 0,041 0,033 0,027 0,022 0,018 0,015 0,012 0,010 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000

1 0,020 0,038 0,057 0,074 0,090 0,129 0,164 0,195 0,222 0,247 0,268 0,287 0,303 0,317 0,329 0,339 0,348 0,354 0,359 0,363 0,366 0,367 0,368 0,366 0,361 0,354 0,345 0,335 0,323 0,311 0,298 0,284 0,271 0,244 0,218 0,193 0,170 0,149 0,130 0,113 0,098 0,085 0,073 0,063 0,054 0,046 0,040 0,034 0,029 0,024 0,021 0,018 0,015 0,013 0,011 0,009 0,008 0,006 0,005 0,005 0,004 0,003 0,003

2 0,000 0,001 0,002 0,003 0,005 0,010 0,016 0,024 0,033 0,043 0,054 0,065 0,076 0,087 0,099 0,110 0,122 0,133 0,144 0,154 0,165 0,175 0,184 0,201 0,217 0,230 0,242 0,251 0,258 0,264 0,268 0,270 0,271 0,268 0,261 0,251 0,238 0,224 0,209 0,193 0,177 0,162 0,147 0,132 0,119 0,106 0,095 0,084 0,075 0,066 0,058 0,051 0,045 0,039 0,034 0,030 0,026 0,022 0,019 0,017 0,014 0,012 0,011

3 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,002 0,003 0,005 0,007 0,010 0,013 0,016 0,020 0,024 0,028 0,033 0,038 0,044 0,049 0,055 0,061 0,074 0,087 0,100 0,113 0,126 0,138 0,150 0,161 0,171 0,180 0,197 0,209 0,218 0,222 0,224 0,223 0,219 0,212 0,205 0,195 0,185 0,174 0,163 0,152 0,140 0,129 0,119 0,108 0,098 0,089 0,081 0,073 0,065 0,058 0,052 0,046 0,041 0,037 0,032 0,029

4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,008 0,009 0,011 0,013 0,015 0,020 0,026 0,032 0,039 0,047 0,055 0,064 0,072 0,081 0,090 0,108 0,125 0,141 0,156 0,168 0,178 0,186 0,191 0,194 0,195 0,194 0,192 0,188 0,182 0,175 0,168 0,160 0,152 0,143 0,134 0,125 0,116 0,108 0,099 0,091 0,084 0,076 0,070 0,063 0,057

5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,002 0,003 0,004 0,006 0,008 0,011 0,014 0,018 0,022 0,026 0,031 0,036 0,048 0,060 0,074 0,087 0,101 0,114 0,126 0,138 0,148 0,156 0,163 0,169 0,173 0,175 0,175 0,175 0,173 0,170 0,166 0,161 0,155 0,149 0,142 0,135 0,128 0,120 0,113 0,106 0,099 0,092

6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,008 0,010 0,012 0,017 0,024 0,032 0,041 0,050 0,061 0,072 0,083 0,094 0,104 0,114 0,124 0,132 0,140 0,146 0,151 0,156 0,158 0,160 0,161 0,160 0,159 0,156 0,153 0,149 0,144 0,139 0,134 0,128 0,122

7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,003 0,003 0,005 0,008 0,012 0,016 0,022 0,028 0,035 0,042 0,051 0,060 0,069 0,078 0,087 0,096 0,104 0,113 0,120 0,127 0,133 0,138 0,142 0,145 0,147 0,149 0,149 0,149 0,147 0,145 0,143 0,140

8 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,002 0,004 0,006 0,008 0,011 0,015 0,019 0,024 0,030 0,036 0,043 0,050 0,058 0,065 0,073 0,081 0,089 0,096 0,103 0,110 0,116 0,121 0,126 0,130 0,134 0,136 0,138 0,139 0,140

9 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,003 0,004 0,006 0,008 0,010 0,013 0,017 0,021 0,026 0,031 0,036 0,042 0,049 0,055 0,062 0,069 0,076 0,082 0,089 0,095 0,101 0,107 0,112 0,117 0,121 0,124

10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,007 0,009 0,012 0,015 0,018 0,022 0,026 0,031 0,036 0,041 0,047 0,053 0,059 0,065 0,071 0,077 0,083 0,089 0,094 0,099

11 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,008 0,010 0,013 0,016 0,019 0,023 0,026 0,031 0,035 0,040 0,045 0,050 0,056 0,061 0,067 0,072

12 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,002 0,003 0,003 0,005 0,006 0,007 0,009 0,011 0,014 0,016 0,019 0,023 0,026 0,030 0,034 0,039 0,043 0,048

13 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,004 0,005 0,007 0,008 0,010 0,012 0,014 0,017 0,020 0,023 0,026 0,030

14 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,009 0,010 0,012 0,015 0,017

15 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,003 0,004 0,005 0,006 0,008 0,009

Built with Gnumeric Spreadsheet 1.12.9, typeset with LaTeX at Depto. Matem´ aticas, UAM

24

´ n Normal Distribucio

α

zα

SAGE 4.7.1

Ejemplos: si Z tiene distribuci´on N(0, 1), 1. P (Z > 0.43) = 0.33360; 2. P (Z > 3.4) = 3.37 · 10−4 = 0.000337 ·

zα 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

zα 3 4

0.00 0.50000 0.46017 0.42074 0.38209 0.34458 0.30854 0.27425 0.24196 0.21186 0.18406 0.15866 0.13567 0.11507 0.09680 0.08076 0.06681 0.05480 0.04457 0.03593 0.02872 0.02275 0.01786 0.01390 0.01072 0.00820 0.00621 0.00466 0.00347 0.00256 0.00187

0.01 0.49601 0.45620 0.41683 0.37828 0.34090 0.30503 0.27093 0.23885 0.20897 0.18141 0.15625 0.13350 0.11314 0.09510 0.07927 0.06552 0.05370 0.04363 0.03515 0.02807 0.02222 0.01743 0.01355 0.01044 0.00798 0.00604 0.00453 0.00336 0.00248 0.00181

0.02 0.49202 0.45224 0.41294 0.37448 0.33724 0.30153 0.26763 0.23576 0.20611 0.17879 0.15386 0.13136 0.11123 0.09342 0.07780 0.06426 0.05262 0.04272 0.03438 0.02743 0.02169 0.01700 0.01321 0.01017 0.00776 0.00587 0.00440 0.00326 0.00240 0.00175

0.03 0.48803 0.44828 0.40905 0.37070 0.33360 0.29806 0.26435 0.23270 0.20327 0.17619 0.15151 0.12924 0.10935 0.09176 0.07636 0.06301 0.05155 0.04182 0.03362 0.02680 0.02118 0.01659 0.01287 0.00990 0.00755 0.00570 0.00427 0.00317 0.00233 0.00169

0.04 0.48405 0.44433 0.40517 0.36693 0.32997 0.29460 0.26109 0.22965 0.20045 0.17361 0.14917 0.12714 0.10749 0.09012 0.07493 0.06178 0.05050 0.04093 0.03288 0.02619 0.02068 0.01618 0.01255 0.00964 0.00734 0.00554 0.00415 0.00307 0.00226 0.00164

0.05 0.48006 0.44038 0.40129 0.36317 0.32636 0.29116 0.25785 0.22663 0.19766 0.17106 0.14686 0.12507 0.10565 0.08851 0.07353 0.06057 0.04947 0.04006 0.03216 0.02559 0.02018 0.01578 0.01222 0.00939 0.00714 0.00539 0.00402 0.00298 0.00219 0.00159

0.06 0.47608 0.43644 0.39743 0.35942 0.32276 0.28774 0.25463 0.22363 0.19489 0.16853 0.14457 0.12302 0.10383 0.08691 0.07215 0.05938 0.04846 0.03920 0.03144 0.02500 0.01970 0.01539 0.01191 0.00914 0.00695 0.00523 0.00391 0.00289 0.00212 0.00154

0.07 0.47210 0.43251 0.39358 0.35569 0.31918 0.28434 0.25143 0.22065 0.19215 0.16602 0.14231 0.12100 0.10204 0.08534 0.07078 0.05821 0.04746 0.03836 0.03074 0.02442 0.01923 0.01500 0.01160 0.00889 0.00676 0.00508 0.00379 0.00280 0.00205 0.00149

0.08 0.46812 0.42858 0.38974 0.35197 0.31561 0.28096 0.24825 0.21770 0.18943 0.16354 0.14007 0.11900 0.10027 0.08379 0.06944 0.05705 0.04648 0.03754 0.03005 0.02385 0.01876 0.01463 0.01130 0.00866 0.00657 0.00494 0.00368 0.00272 0.00199 0.00144

0.09 0.46414 0.42465 0.38591 0.34827 0.31207 0.27760 0.24510 0.21476 0.18673 0.16109 0.13786 0.11702 0.09853 0.08226 0.06811 0.05592 0.04551 0.03673 0.02938 0.02330 0.01831 0.01426 0.01101 0.00842 0.00639 0.00480 0.00357 0.00264 0.00193 0.00139

0.0 1.35e-03 3.17e-05

0.1 9.68e-04 2.07e-05

0.2 6.87e-04 1.33e-05

0.3 4.83e-04 8.54e-06

0.4 3.37e-04 5.41e-06

0.5 2.33e-04 3.40e-06

0.6 1.59e-04 2.11e-06

0.7 1.08e-04 1.30e-06

0.8 7.23e-05 7.93e-07

0.9 4.81e-05 4.79e-07

Built with Gnumeric Spreadsheet 1.10.1, typeset with LaTeX at Depto. Matem´ aticas, UAM

25

´ n t de Student Distribucio

t

α

Ejemplo: para n = 25 y α = 0.05, t25;0.05 = 1.708, significa que P (T > 1.708) = 0.05 .

α n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 75 100 125 150 ∞

0.25 1.000 0.816 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700 0.697 0.695 0.694 0.692 0.691 0.690 0.689 0.688 0.688 0.687 0.684 0.683 0.682 0.681 0.680 0.679 0.678 0.677 0.676 0.676 0.674

0.2 1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.876 0.873 0.870 0.868 0.866 0.865 0.863 0.862 0.861 0.860 0.856 0.854 0.852 0.851 0.850 0.849 0.846 0.845 0.845 0.844 0.842

0.15 1.963 1.386 1.250 1.190 1.156 1.134 1.119 1.108 1.100 1.093 1.088 1.083 1.079 1.076 1.074 1.071 1.069 1.067 1.066 1.064 1.058 1.055 1.052 1.050 1.049 1.047 1.044 1.042 1.041 1.040 1.036

0.1 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.316 1.310 1.306 1.303 1.301 1.299 1.293 1.290 1.288 1.287 1.282

0.05 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.708 1.697 1.690 1.684 1.679 1.676 1.665 1.660 1.657 1.655 1.645

0.025 12.71 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.060 2.042 2.030 2.021 2.014 2.009 1.992 1.984 1.979 1.976 1.960

0.01 31.82 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.485 2.457 2.438 2.423 2.412 2.403 2.377 2.364 2.357 2.351 2.326

0.008 39.780 7.811 4.930 4.010 3.573 3.320 3.157 3.043 2.958 2.894 2.843 2.801 2.767 2.739 2.714 2.693 2.675 2.658 2.644 2.631 2.584 2.553 2.532 2.516 2.503 2.494 2.465 2.451 2.442 2.437 2.409

26

0.005 63.66 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.787 2.750 2.724 2.704 2.690 2.678 2.643 2.626 2.616 2.609 2.576

0.004 79.573 11.113 6.322 4.908 4.262 3.898 3.667 3.507 3.390 3.301 3.231 3.175 3.128 3.089 3.056 3.028 3.003 2.982 2.962 2.945 2.882 2.841 2.813 2.792 2.776 2.763 2.725 2.706 2.695 2.688 2.652

0.0025 127.321 14.089 7.453 5.598 4.773 4.317 4.029 3.833 3.690 3.581 3.497 3.428 3.372 3.326 3.286 3.252 3.222 3.197 3.174 3.153 3.078 3.030 2.996 2.971 2.952 2.937 2.892 2.871 2.858 2.849 2.807

0.0017 187.239 17.106 8.517 6.221 5.224 4.679 4.339 4.108 3.941 3.815 3.717 3.638 3.573 3.520 3.474 3.435 3.401 3.371 3.345 3.322 3.236 3.181 3.143 3.115 3.093 3.076 3.025 3.001 2.986 2.977 2.929

0.0010 318.3 22.33 10.21 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.450 3.385 3.340 3.307 3.281 3.261 3.202 3.174 3.157 3.145 3.090

0.0005 636.6 31.60 12.92 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850 3.725 3.646 3.591 3.551 3.520 3.496 3.425 3.390 3.370 3.357 3.291

´ n χ2 Distribucio

α χα

SAGE 4.7.1

Ejemplo: para n = 10 y α = 0.05, χ210;0.05 = 18.307, significa que P (χ210 > 18.307) = 0.05 · n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 90 100 110 120 150 200

α 0.9975 9.82e-06 5.01e-03 4.49e-02 0.1449 0.3075 0.5266 0.7945 1.104 1.450 1.827 2.232 2.661 3.112 3.582 4.070 4.573 5.092 5.623 6.167 6.723 7.289 7.865 8.450 9.044 9.646 10.26 10.87 11.50 12.13 12.76 16.03 19.42 22.90 26.46 30.10 33.79 37.54 41.33 45.17 49.04 56.89 64.86 72.92 81.07 105.9 148.4

0.995 3.93e-05 1.00e-02 7.17e-02 0.2070 0.4117 0.6757 0.9893 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.260 9.886 10.52 11.16 11.81 12.46 13.12 13.79 17.19 20.71 24.31 27.99 31.73 35.53 39.38 43.28 47.21 51.17 59.20 67.33 75.55 83.85 109.1 152.2

0.99 1.57e-04 2.01e-02 0.1148 0.2971 0.5543 0.8721 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.408 7.015 7.633 8.260 8.897 9.542 10.20 10.86 11.52 12.20 12.88 13.56 14.26 14.95 18.51 22.16 25.90 29.71 33.57 37.48 41.44 45.44 49.48 53.54 61.75 70.06 78.46 86.92 112.7 156.4

0.975 9.82e-04 5.06e-02 0.2158 0.4844 0.8312 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.28 10.98 11.69 12.40 13.12 13.84 14.57 15.31 16.05 16.79 20.57 24.43 28.37 32.36 36.40 40.48 44.60 48.76 52.94 57.15 65.65 74.22 82.87 91.57 118.0 162.7

0.95 3.93e-03 0.1026 0.3518 0.7107 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.672 9.390 10.12 10.85 11.59 12.34 13.09 13.85 14.61 15.38 16.15 16.93 17.71 18.49 22.47 26.51 30.61 34.76 38.96 43.19 47.45 51.74 56.05 60.39 69.13 77.93 86.79 95.70 122.7 168.3

0.9 1.58e-02 0.2107 0.5844 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.042 7.790 8.547 9.312 10.09 10.86 11.65 12.44 13.24 14.04 14.85 15.66 16.47 17.29 18.11 18.94 19.77 20.60 24.80 29.05 33.35 37.69 42.06 46.46 50.88 55.33 59.79 64.28 73.29 82.36 91.47 100.6 128.3 174.8

0.75 0.1015 0.5754 1.213 1.923 2.675 3.455 4.255 5.071 5.899 6.737 7.584 8.438 9.299 10.17 11.04 11.91 12.79 13.68 14.56 15.45 16.34 17.24 18.14 19.04 19.94 20.84 21.75 22.66 23.57 24.48 29.05 33.66 38.29 42.94 47.61 52.29 56.99 61.70 66.42 71.14 80.62 90.13 99.67 109.2 138.0 186.2

0.5 0.4549 1.386 2.366 3.357 4.351 5.348 6.346 7.344 8.343 9.342 10.341 11.340 12.340 13.34 14.34 15.34 16.34 17.34 18.34 19.34 20.34 21.34 22.34 23.34 24.34 25.34 26.34 27.34 28.34 29.34 34.34 39.34 44.34 49.33 54.33 59.33 64.33 69.33 74.33 79.33 89.33 99.33 109.3 119.3 149.3 199.3

0.25 1.323 2.773 4.108 5.385 6.626 7.841 9.037 10.22 11.39 12.55 13.70 14.85 15.98 17.12 18.25 19.37 20.49 21.60 22.72 23.83 24.93 26.04 27.14 28.24 29.34 30.43 31.53 32.62 33.71 34.80 40.22 45.62 50.98 56.33 61.66 66.98 72.28 77.58 82.86 88.13 98.65 109.1 119.6 130.1 161.3 213.1

0.1 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.64 12.02 13.36 14.68 15.99 17.28 18.55 19.81 21.06 22.31 23.54 24.77 25.99 27.20 28.41 29.62 30.81 32.01 33.20 34.38 35.56 36.74 37.92 39.09 40.26 46.06 51.81 57.51 63.17 68.80 74.40 79.97 85.53 91.06 96.58 107.6 118.5 129.4 140.2 172.6 226.0

0.05 3.841 5.991 7.815 9.488 11.07 12.59 14.07 15.51 16.92 18.31 19.68 21.03 22.36 23.68 25.00 26.30 27.59 28.87 30.14 31.41 32.67 33.92 35.17 36.42 37.65 38.89 40.11 41.34 42.56 43.77 49.80 55.76 61.66 67.50 73.31 79.08 84.82 90.53 96.22 101.9 113.1 124.3 135.5 146.6 179.6 234.0

0.025 5.024 7.378 9.348 11.14 12.83 14.45 16.01 17.53 19.02 20.48 21.92 23.34 24.74 26.12 27.49 28.85 30.19 31.53 32.85 34.17 35.48 36.78 38.08 39.36 40.65 41.92 43.19 44.46 45.72 46.98 53.20 59.34 65.41 71.42 77.38 83.30 89.18 95.02 100.8 106.6 118.1 129.6 140.9 152.2 185.8 241.1

0.01 6.635 9.210 11.34 13.28 15.09 16.81 18.48 20.09 21.67 23.21 24.72 26.22 27.69 29.14 30.58 32.00 33.41 34.81 36.19 37.57 38.93 40.29 41.64 42.98 44.31 45.64 46.96 48.28 49.59 50.89 57.34 63.69 69.96 76.15 82.29 88.38 94.42 100.4 106.4 112.3 124.1 135.8 147.4 159.0 193.2 249.4

0.005 7.879 10.60 12.84 14.86 16.75 18.55 20.28 21.95 23.59 25.19 26.76 28.30 29.82 31.32 32.80 34.27 35.72 37.16 38.58 40.00 41.40 42.80 44.18 45.56 46.93 48.29 49.64 50.99 52.34 53.67 60.27 66.77 73.17 79.49 85.75 91.95 98.11 104.2 110.3 116.3 128.3 140.2 151.9 163.6 198.4 255.3

0.0025 9.141 11.98 14.32 16.42 18.39 20.25 22.04 23.77 25.46 27.11 28.73 30.32 31.88 33.43 34.95 36.46 37.95 39.42 40.88 42.34 43.78 45.20 46.62 48.03 49.44 50.83 52.22 53.59 54.97 56.33 63.08 69.70 76.22 82.66 89.03 95.34 101.6 107.8 114.0 120.1 132.3 144.3 156.2 168.1 203.2 260.7

Built with Gnumeric Spreadsheet 1.10.1, typeset with LaTeX at Depto. Matem´ aticas, UAM

27

´n F Distribucio α = 0.01

α Fn1 ,n2 ;α

SAGE 4.7.1

Ejemplo: para n1 = 5, n2 = 10 y α = 0.01, F5,10;0.01 = 5.636, significa que P (F5,10 > 5.636) = 0.01 ·

n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 80 100 125 150 175 200 300 400 500 750 1000

n1 1 4052 98.50 34.12 21.20 16.26 13.75 12.25 11.26 10.56 10.04 9.646 9.330 9.074 8.862 8.683 8.531 8.400 8.285 8.185 8.096 8.017 7.945 7.881 7.823 7.770 7.721 7.677 7.636 7.598 7.562 7.419 7.314 7.234 7.171 7.077 7.011 6.963 6.895 6.842 6.807 6.782 6.763 6.720 6.699 6.686 6.669 6.660

2 5000 99.00 30.82 18.00 13.27 10.92 9.547 8.649 8.022 7.559 7.206 6.927 6.701 6.515 6.359 6.226 6.112 6.013 5.926 5.849 5.780 5.719 5.664 5.614 5.568 5.526 5.488 5.453 5.420 5.390 5.268 5.179 5.110 5.057 4.977 4.922 4.881 4.824 4.779 4.749 4.729 4.713 4.677 4.659 4.648 4.634 4.626

3 5403 99.17 29.46 16.69 12.06 9.780 8.451 7.591 6.992 6.552 6.217 5.953 5.739 5.564 5.417 5.292 5.185 5.092 5.010 4.938 4.874 4.817 4.765 4.718 4.675 4.637 4.601 4.568 4.538 4.510 4.396 4.313 4.249 4.199 4.126 4.074 4.036 3.984 3.942 3.915 3.895 3.881 3.848 3.831 3.821 3.808 3.801

4 5625 99.25 28.71 15.98 11.39 9.148 7.847 7.006 6.422 5.994 5.668 5.412 5.205 5.035 4.893 4.773 4.669 4.579 4.500 4.431 4.369 4.313 4.264 4.218 4.177 4.140 4.106 4.074 4.045 4.018 3.908 3.828 3.767 3.720 3.649 3.600 3.563 3.513 3.473 3.447 3.428 3.414 3.382 3.366 3.357 3.344 3.338

5 5764 99.30 28.24 15.52 10.97 8.746 7.460 6.632 6.057 5.636 5.316 5.064 4.862 4.695 4.556 4.437 4.336 4.248 4.171 4.103 4.042 3.988 3.939 3.895 3.855 3.818 3.785 3.754 3.725 3.699 3.592 3.514 3.454 3.408 3.339 3.291 3.255 3.206 3.167 3.142 3.123 3.110 3.079 3.063 3.054 3.042 3.036

6 5859 99.33 27.91 15.21 10.67 8.466 7.191 6.371 5.802 5.386 5.069 4.821 4.620 4.456 4.318 4.202 4.102 4.015 3.939 3.871 3.812 3.758 3.710 3.667 3.627 3.591 3.558 3.528 3.499 3.473 3.368 3.291 3.232 3.186 3.119 3.071 3.036 2.988 2.950 2.924 2.907 2.893 2.862 2.847 2.838 2.826 2.820

7 5928 99.36 27.67 14.98 10.46 8.260 6.993 6.178 5.613 5.200 4.886 4.640 4.441 4.278 4.142 4.026 3.927 3.841 3.765 3.699 3.640 3.587 3.539 3.496 3.457 3.421 3.388 3.358 3.330 3.304 3.200 3.124 3.066 3.020 2.953 2.906 2.871 2.823 2.786 2.761 2.743 2.730 2.699 2.684 2.675 2.663 2.657

8 5981 99.37 27.49 14.80 10.29 8.102 6.840 6.029 5.467 5.057 4.744 4.499 4.302 4.140 4.004 3.890 3.791 3.705 3.631 3.564 3.506 3.453 3.406 3.363 3.324 3.288 3.256 3.226 3.198 3.173 3.069 2.993 2.935 2.890 2.823 2.777 2.742 2.694 2.657 2.632 2.614 2.601 2.571 2.556 2.547 2.535 2.529

28

9 6022 99.39 27.35 14.66 10.16 7.976 6.719 5.911 5.351 4.942 4.632 4.388 4.191 4.030 3.895 3.780 3.682 3.597 3.523 3.457 3.398 3.346 3.299 3.256 3.217 3.182 3.149 3.120 3.092 3.067 2.963 2.888 2.830 2.785 2.718 2.672 2.637 2.590 2.552 2.528 2.510 2.497 2.467 2.452 2.443 2.431 2.425

10 6056 99.40 27.23 14.55 10.051 7.874 6.620 5.814 5.257 4.849 4.539 4.296 4.100 3.939 3.805 3.691 3.593 3.508 3.434 3.368 3.310 3.258 3.211 3.168 3.129 3.094 3.062 3.032 3.005 2.979 2.876 2.801 2.743 2.698 2.632 2.585 2.551 2.503 2.466 2.441 2.424 2.411 2.380 2.365 2.356 2.345 2.339

12 6106 99.42 27.05 14.37 9.888 7.718 6.469 5.667 5.111 4.706 4.397 4.155 3.960 3.800 3.666 3.553 3.455 3.371 3.297 3.231 3.173 3.121 3.074 3.032 2.993 2.958 2.926 2.896 2.868 2.843 2.740 2.665 2.608 2.562 2.496 2.450 2.415 2.368 2.330 2.305 2.288 2.275 2.244 2.229 2.220 2.208 2.203

15 6157 99.43 26.87 14.20 9.722 7.559 6.314 5.515 4.962 4.558 4.251 4.010 3.815 3.656 3.522 3.409 3.312 3.227 3.153 3.088 3.030 2.978 2.931 2.889 2.850 2.815 2.783 2.753 2.726 2.700 2.597 2.522 2.464 2.419 2.352 2.306 2.271 2.223 2.185 2.160 2.143 2.129 2.099 2.084 2.075 2.063 2.056

16 6170 99.44 26.83 14.15 9.680 7.519 6.275 5.477 4.924 4.520 4.213 3.972 3.778 3.619 3.485 3.372 3.275 3.190 3.116 3.051 2.993 2.941 2.894 2.852 2.813 2.778 2.746 2.716 2.689 2.663 2.560 2.484 2.427 2.382 2.315 2.268 2.233 2.185 2.147 2.122 2.105 2.091 2.061 2.045 2.036 2.024 2.018

18 6192 99.44 26.75 14.08 9.610 7.451 6.209 5.412 4.860 4.457 4.150 3.909 3.716 3.556 3.423 3.310 3.212 3.128 3.054 2.989 2.931 2.879 2.832 2.789 2.751 2.715 2.683 2.653 2.626 2.600 2.497 2.421 2.363 2.318 2.251 2.204 2.169 2.120 2.082 2.057 2.039 2.026 1.995 1.979 1.970 1.958 1.952

20 6209 99.45 26.69 14.02 9.553 7.396 6.155 5.359 4.808 4.405 4.099 3.858 3.665 3.505 3.372 3.259 3.162 3.077 3.003 2.938 2.880 2.827 2.781 2.738 2.699 2.664 2.632 2.602 2.574 2.549 2.445 2.369 2.311 2.265 2.198 2.150 2.115 2.067 2.028 2.003 1.985 1.971 1.940 1.925 1.915 1.903 1.897

24 6235 99.46 26.60 13.93 9.466 7.313 6.074 5.279 4.729 4.327 4.021 3.780 3.587 3.427 3.294 3.181 3.084 2.999 2.925 2.859 2.801 2.749 2.702 2.659 2.620 2.585 2.552 2.522 2.495 2.469 2.364 2.288 2.230 2.183 2.115 2.067 2.032 1.983 1.944 1.918 1.899 1.886 1.854 1.838 1.829 1.816 1.810

´n F Distribucio α = 0.01 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 80 100 125 150 175 200 300 400 500 750 1000

n1 25 6240 99.46 26.58 13.91 9.449 7.296 6.058 5.263 4.713 4.311 4.005 3.765 3.571 3.412 3.278 3.165 3.068 2.983 2.909 2.843 2.785 2.733 2.686 2.643 2.604 2.569 2.536 2.506 2.478 2.453 2.348 2.271 2.213 2.167 2.098 2.050 2.015 1.965 1.926 1.900 1.882 1.868 1.836 1.820 1.810 1.798 1.791

30 6261 99.47 26.50 13.84 9.379 7.229 5.992 5.198 4.649 4.247 3.941 3.701 3.507 3.348 3.214 3.101 3.003 2.919 2.844 2.778 2.720 2.667 2.620 2.577 2.538 2.503 2.470 2.440 2.412 2.386 2.281 2.203 2.144 2.098 2.028 1.980 1.944 1.893 1.853 1.827 1.808 1.794 1.761 1.745 1.735 1.722 1.716

35 6276 99.47 26.45 13.79 9.329 7.180 5.944 5.151 4.602 4.200 3.895 3.654 3.461 3.301 3.167 3.054 2.956 2.871 2.797 2.731 2.672 2.620 2.572 2.529 2.490 2.454 2.421 2.391 2.363 2.337 2.231 2.153 2.093 2.046 1.976 1.927 1.890 1.839 1.799 1.772 1.753 1.738 1.705 1.688 1.678 1.665 1.658

40 6287 99.47 26.41 13.75 9.291 7.143 5.908 5.116 4.567 4.165 3.860 3.619 3.425 3.266 3.132 3.018 2.920 2.835 2.761 2.695 2.636 2.583 2.535 2.492 2.453 2.417 2.384 2.354 2.325 2.299 2.193 2.114 2.054 2.007 1.936 1.886 1.849 1.797 1.756 1.729 1.709 1.694 1.660 1.643 1.633 1.620 1.613

45 6296 99.48 26.38 13.71 9.262 7.115 5.880 5.088 4.539 4.138 3.832 3.592 3.398 3.238 3.104 2.990 2.892 2.807 2.732 2.666 2.607 2.554 2.506 2.463 2.424 2.388 2.354 2.324 2.296 2.269 2.162 2.083 2.023 1.975 1.904 1.853 1.816 1.763 1.721 1.694 1.674 1.659 1.624 1.607 1.596 1.582 1.576

50 6303 99.48 26.35 13.69 9.238 7.091 5.858 5.065 4.517 4.115 3.810 3.569 3.375 3.215 3.081 2.967 2.869 2.784 2.709 2.643 2.584 2.531 2.483 2.440 2.400 2.364 2.330 2.300 2.271 2.245 2.137 2.058 1.997 1.949 1.877 1.826 1.788 1.735 1.693 1.665 1.645 1.629 1.594 1.576 1.566 1.552 1.544

60 6313 99.48 26.32 13.65 9.202 7.057 5.824 5.032 4.483 4.082 3.776 3.535 3.341 3.181 3.047 2.933 2.835 2.749 2.674 2.608 2.548 2.495 2.447 2.403 2.364 2.327 2.294 2.263 2.234 2.208 2.099 2.019 1.958 1.909 1.836 1.785 1.746 1.692 1.648 1.620 1.599 1.583 1.547 1.528 1.517 1.503 1.495

70 6321 99.48 26.29 13.63 9.176 7.032 5.799 5.007 4.459 4.058 3.752 3.511 3.317 3.157 3.022 2.908 2.810 2.724 2.649 2.582 2.523 2.469 2.421 2.377 2.337 2.301 2.267 2.236 2.207 2.181 2.072 1.991 1.929 1.880 1.806 1.754 1.714 1.659 1.615 1.586 1.564 1.548 1.511 1.492 1.481 1.465 1.458

80 6326 99.49 26.27 13.61 9.157 7.013 5.781 4.989 4.441 4.039 3.734 3.493 3.298 3.138 3.004 2.889 2.791 2.705 2.630 2.563 2.503 2.450 2.401 2.357 2.317 2.281 2.247 2.216 2.187 2.160 2.050 1.969 1.907 1.857 1.783 1.730 1.690 1.634 1.589 1.559 1.538 1.521 1.483 1.463 1.452 1.436 1.428

90 6331 99.49 26.25 13.59 9.142 6.998 5.766 4.975 4.426 4.025 3.719 3.478 3.284 3.124 2.989 2.875 2.776 2.690 2.614 2.548 2.488 2.434 2.386 2.342 2.302 2.265 2.231 2.200 2.171 2.144 2.034 1.952 1.889 1.839 1.764 1.711 1.671 1.614 1.569 1.538 1.516 1.499 1.460 1.440 1.428 1.412 1.404

100 6334 99.49 26.24 13.58 9.130 6.987 5.755 4.963 4.415 4.014 3.708 3.467 3.272 3.112 2.977 2.863 2.764 2.678 2.602 2.535 2.475 2.422 2.373 2.329 2.289 2.252 2.218 2.187 2.158 2.131 2.020 1.938 1.875 1.825 1.749 1.695 1.655 1.598 1.551 1.520 1.498 1.481 1.441 1.421 1.408 1.392 1.383

150 6345 99.49 26.20 13.54 9.094 6.951 5.720 4.929 4.380 3.979 3.673 3.432 3.237 3.076 2.942 2.827 2.728 2.641 2.565 2.498 2.438 2.384 2.335 2.291 2.250 2.213 2.179 2.147 2.118 2.091 1.979 1.896 1.831 1.780 1.703 1.647 1.605 1.546 1.498 1.465 1.441 1.423 1.380 1.358 1.344 1.326 1.317

200 6350 99.49 26.18 13.52 9.075 6.934 5.702 4.911 4.363 3.962 3.656 3.414 3.219 3.059 2.923 2.808 2.709 2.623 2.547 2.479 2.419 2.365 2.316 2.271 2.230 2.193 2.159 2.127 2.097 2.070 1.957 1.874 1.809 1.757 1.678 1.622 1.579 1.518 1.469 1.435 1.410 1.391 1.346 1.322 1.308 1.288 1.278

300 6355 99.50 26.16 13.50 9.057 6.916 5.685 4.894 4.346 3.944 3.638 3.397 3.202 3.040 2.905 2.790 2.691 2.604 2.528 2.460 2.400 2.345 2.296 2.251 2.210 2.173 2.138 2.106 2.077 2.049 1.936 1.851 1.786 1.733 1.653 1.596 1.552 1.490 1.438 1.403 1.377 1.357 1.309 1.284 1.268 1.246 1.235

500 6360 99.50 26.15 13.49 9.042 6.902 5.671 4.880 4.332 3.930 3.624 3.382 3.187 3.026 2.891 2.775 2.676 2.589 2.512 2.445 2.384 2.329 2.280 2.235 2.194 2.156 2.122 2.090 2.060 2.032 1.918 1.833 1.767 1.713 1.633 1.574 1.530 1.466 1.412 1.376 1.349 1.328 1.276 1.249 1.232 1.207 1.195

1000 6363 99.50 26.14 13.47 9.031 6.891 5.660 4.869 4.321 3.920 3.613 3.372 3.176 3.015 2.880 2.764 2.664 2.577 2.501 2.433 2.372 2.317 2.268 2.223 2.182 2.144 2.109 2.077 2.047 2.019 1.905 1.819 1.752 1.698 1.617 1.558 1.512 1.447 1.392 1.354 1.326 1.304 1.249 1.220 1.201 1.173 1.159

Built with Gnumeric Spreadsheet 1.10.1, typeset with LaTeX at Depto. Matem´ aticas, UAM

29

´n F Distribucio α = 0,025

α Fn1 ,n2 ;α

SAGE 4.7.1

Ejemplo: para n1 = 5, n2 = 10 y α = 0,025, F5,10;0,025 = 4,236 significa que P (F5,10 > 4,236) = 0,025.

n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 80 100 125 150 175 200 300 400 500 750 1000

n1 1 647,8 38,51 17,44 12,22 10,01 8,813 8,073 7,571 7,209 6,937 6,724 6,554 6,414 6,298 6,200 6,115 6,042 5,978 5,922 5,871 5,827 5,786 5,750 5,717 5,686 5,659 5,633 5,610 5,588 5,568 5,485 5,424 5,377 5,340 5,286 5,247 5,218 5,179 5,147 5,126 5,111 5,100 5,075 5,062 5,054 5,044 5,039

2 799,5 39,00 16,04 10,65 8,434 7,260 6,542 6,059 5,715 5,456 5,256 5,096 4,965 4,857 4,765 4,687 4,619 4,560 4,508 4,461 4,420 4,383 4,349 4,319 4,291 4,265 4,242 4,221 4,201 4,182 4,106 4,051 4,009 3,975 3,925 3,890 3,864 3,828 3,800 3,781 3,768 3,758 3,735 3,723 3,716 3,707 3,703

3 864,2 39,17 15,44 9,979 7,764 6,599 5,890 5,416 5,078 4,826 4,630 4,474 4,347 4,242 4,153 4,077 4,011 3,954 3,903 3,859 3,819 3,783 3,750 3,721 3,694 3,670 3,647 3,626 3,607 3,589 3,517 3,463 3,422 3,390 3,343 3,309 3,284 3,250 3,222 3,204 3,192 3,182 3,160 3,149 3,142 3,134 3,129

4 899,6 39,25 15,10 9,605 7,388 6,227 5,523 5,053 4,718 4,468 4,275 4,121 3,996 3,892 3,804 3,729 3,665 3,608 3,559 3,515 3,475 3,440 3,408 3,379 3,353 3,329 3,307 3,286 3,267 3,250 3,179 3,126 3,086 3,054 3,008 2,975 2,950 2,917 2,890 2,872 2,860 2,850 2,829 2,818 2,811 2,803 2,799

5 921,8 39,30 14,88 9,364 7,146 5,988 5,285 4,817 4,484 4,236 4,044 3,891 3,767 3,663 3,576 3,502 3,438 3,382 3,333 3,289 3,250 3,215 3,183 3,155 3,129 3,105 3,083 3,063 3,044 3,026 2,956 2,904 2,864 2,833 2,786 2,754 2,730 2,696 2,670 2,652 2,640 2,630 2,609 2,598 2,592 2,583 2,579

6 937,1 39,33 14,73 9,197 6,978 5,820 5,119 4,652 4,320 4,072 3,881 3,728 3,604 3,501 3,415 3,341 3,277 3,221 3,172 3,128 3,090 3,055 3,023 2,995 2,969 2,945 2,923 2,903 2,884 2,867 2,796 2,744 2,705 2,674 2,627 2,595 2,571 2,537 2,511 2,494 2,481 2,472 2,451 2,440 2,434 2,425 2,421

7 948,2 39,36 14,62 9,074 6,853 5,695 4,995 4,529 4,197 3,950 3,759 3,607 3,483 3,380 3,293 3,219 3,156 3,100 3,051 3,007 2,969 2,934 2,902 2,874 2,848 2,824 2,802 2,782 2,763 2,746 2,676 2,624 2,584 2,553 2,507 2,474 2,450 2,417 2,390 2,373 2,361 2,351 2,330 2,319 2,313 2,304 2,300

8 956,7 39,37 14,54 8,980 6,757 5,600 4,899 4,433 4,102 3,855 3,664 3,512 3,388 3,285 3,199 3,125 3,061 3,005 2,956 2,913 2,874 2,839 2,808 2,779 2,753 2,729 2,707 2,687 2,669 2,651 2,581 2,529 2,489 2,458 2,412 2,379 2,355 2,321 2,295 2,278 2,265 2,256 2,234 2,224 2,217 2,209 2,204

30

9 963,3 39,39 14,47 8,905 6,681 5,523 4,823 4,357 4,026 3,779 3,588 3,436 3,312 3,209 3,123 3,049 2,985 2,929 2,880 2,837 2,798 2,763 2,731 2,703 2,677 2,653 2,631 2,611 2,592 2,575 2,504 2,452 2,412 2,381 2,334 2,302 2,277 2,244 2,217 2,200 2,187 2,178 2,156 2,146 2,139 2,131 2,126

10 968,6 39,40 14,42 8,844 6,619 5,461 4,761 4,295 3,964 3,717 3,526 3,374 3,250 3,147 3,060 2,986 2,922 2,866 2,817 2,774 2,735 2,700 2,668 2,640 2,613 2,590 2,568 2,547 2,529 2,511 2,440 2,388 2,348 2,317 2,270 2,237 2,213 2,179 2,153 2,135 2,122 2,113 2,091 2,080 2,074 2,065 2,061

12 976,7 39,41 14,34 8,751 6,525 5,366 4,666 4,200 3,868 3,621 3,430 3,277 3,153 3,050 2,963 2,889 2,825 2,769 2,720 2,676 2,637 2,602 2,570 2,541 2,515 2,491 2,469 2,448 2,430 2,412 2,341 2,288 2,248 2,216 2,169 2,136 2,111 2,077 2,050 2,032 2,020 2,010 1,988 1,977 1,971 1,962 1,958

15 984,9 39,43 14,25 8,657 6,428 5,269 4,568 4,101 3,769 3,522 3,330 3,177 3,053 2,949 2,862 2,788 2,723 2,667 2,617 2,573 2,534 2,498 2,466 2,437 2,411 2,387 2,364 2,344 2,325 2,307 2,235 2,182 2,141 2,109 2,061 2,028 2,003 1,968 1,940 1,922 1,909 1,900 1,877 1,866 1,859 1,850 1,846

16 986,9 39,44 14,23 8,633 6,403 5,244 4,543 4,076 3,744 3,496 3,304 3,152 3,027 2,923 2,836 2,761 2,697 2,640 2,591 2,547 2,507 2,472 2,440 2,411 2,384 2,360 2,337 2,317 2,298 2,280 2,207 2,154 2,113 2,081 2,033 1,999 1,974 1,939 1,911 1,893 1,880 1,870 1,848 1,836 1,830 1,821 1,816

18 990,3 39,44 14,20 8,592 6,362 5,202 4,501 4,034 3,701 3,453 3,261 3,108 2,983 2,879 2,792 2,717 2,652 2,596 2,546 2,501 2,462 2,426 2,394 2,365 2,338 2,314 2,291 2,270 2,251 2,233 2,160 2,107 2,066 2,033 1,985 1,950 1,925 1,890 1,862 1,843 1,830 1,820 1,797 1,786 1,779 1,770 1,765

20 993,1 39,45 14,17 8,560 6,329 5,168 4,467 3,999 3,667 3,419 3,226 3,073 2,948 2,844 2,756 2,681 2,616 2,559 2,509 2,464 2,425 2,389 2,357 2,327 2,300 2,276 2,253 2,232 2,213 2,195 2,122 2,068 2,026 1,993 1,944 1,910 1,884 1,849 1,820 1,801 1,788 1,778 1,755 1,743 1,736 1,727 1,722

24 997,2 39,46 14,12 8,511 6,278 5,117 4,415 3,947 3,614 3,365 3,173 3,019 2,893 2,789 2,701 2,625 2,560 2,503 2,452 2,408 2,368 2,331 2,299 2,269 2,242 2,217 2,195 2,174 2,154 2,136 2,062 2,007 1,965 1,931 1,882 1,847 1,820 1,784 1,755 1,736 1,722 1,712 1,688 1,676 1,669 1,659 1,654

´n F Distribucio α = 0,025 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 80 100 125 150 175 200 300 400 500 750 1000

n1 25 998,1 39,46 14,12 8,501 6,268 5,107 4,405 3,937 3,604 3,355 3,162 3,008 2,882 2,778 2,689 2,614 2,548 2,491 2,441 2,396 2,356 2,320 2,287 2,257 2,230 2,205 2,183 2,161 2,142 2,124 2,049 1,994 1,952 1,919 1,869 1,833 1,807 1,770 1,741 1,722 1,708 1,698 1,674 1,662 1,655 1,645 1,640

30 1001 39,46 14,08 8,461 6,227 5,065 4,362 3,894 3,560 3,311 3,118 2,963 2,837 2,732 2,644 2,568 2,502 2,445 2,394 2,349 2,308 2,272 2,239 2,209 2,182 2,157 2,133 2,112 2,092 2,074 1,999 1,943 1,900 1,866 1,815 1,779 1,752 1,715 1,685 1,665 1,651 1,640 1,616 1,603 1,596 1,586 1,581

35 1004 39,47 14,06 8,433 6,197 5,035 4,332 3,863 3,529 3,279 3,086 2,931 2,805 2,699 2,610 2,534 2,468 2,410 2,359 2,314 2,273 2,237 2,204 2,173 2,146 2,120 2,097 2,076 2,056 2,037 1,961 1,905 1,861 1,827 1,775 1,739 1,711 1,673 1,642 1,622 1,608 1,597 1,571 1,558 1,551 1,541 1,535

40 1006 39,47 14,04 8,411 6,175 5,012 4,309 3,840 3,505 3,255 3,061 2,906 2,780 2,674 2,585 2,509 2,442 2,384 2,333 2,287 2,246 2,210 2,176 2,146 2,118 2,093 2,069 2,048 2,028 2,009 1,932 1,875 1,831 1,796 1,744 1,707 1,679 1,640 1,609 1,588 1,573 1,562 1,536 1,523 1,515 1,505 1,499

45 1007 39,48 14,02 8,394 6,158 4,995 4,291 3,821 3,487 3,237 3,042 2,887 2,760 2,654 2,565 2,488 2,422 2,364 2,312 2,266 2,225 2,188 2,155 2,124 2,096 2,071 2,047 2,025 2,005 1,986 1,909 1,852 1,807 1,772 1,719 1,681 1,653 1,614 1,582 1,561 1,546 1,534 1,507 1,494 1,486 1,475 1,470

50 1008 39,48 14,01 8,381 6,144 4,980 4,276 3,807 3,472 3,221 3,027 2,871 2,744 2,638 2,549 2,472 2,405 2,347 2,295 2,249 2,208 2,171 2,137 2,107 2,079 2,053 2,029 2,007 1,987 1,968 1,890 1,832 1,788 1,752 1,699 1,660 1,632 1,592 1,559 1,538 1,522 1,511 1,484 1,470 1,462 1,451 1,445

60 1010 39,48 13,99 8,360 6,123 4,959 4,254 3,784 3,449 3,198 3,004 2,848 2,720 2,614 2,524 2,447 2,380 2,321 2,270 2,223 2,182 2,145 2,111 2,080 2,052 2,026 2,002 1,980 1,959 1,940 1,861 1,803 1,757 1,721 1,667 1,628 1,599 1,558 1,524 1,502 1,486 1,474 1,446 1,432 1,423 1,412 1,406

70 1011 39,48 13,98 8,346 6,107 4,943 4,239 3,768 3,433 3,182 2,987 2,831 2,703 2,597 2,506 2,429 2,362 2,303 2,251 2,205 2,163 2,125 2,091 2,060 2,032 2,006 1,982 1,959 1,939 1,920 1,840 1,781 1,735 1,698 1,643 1,604 1,574 1,532 1,498 1,475 1,459 1,447 1,417 1,403 1,394 1,382 1,376

80 1012 39,49 13,97 8,335 6,096 4,932 4,227 3,756 3,421 3,169 2,974 2,818 2,690 2,583 2,493 2,415 2,348 2,289 2,237 2,190 2,148 2,111 2,077 2,045 2,017 1,991 1,966 1,944 1,923 1,904 1,824 1,764 1,718 1,681 1,625 1,585 1,555 1,512 1,478 1,454 1,437 1,425 1,395 1,380 1,370 1,358 1,352

90 1013 39,49 13,96 8,326 6,087 4,923 4,218 3,747 3,411 3,160 2,964 2,808 2,680 2,573 2,482 2,405 2,337 2,278 2,226 2,179 2,137 2,099 2,065 2,034 2,005 1,979 1,954 1,932 1,911 1,892 1,811 1,751 1,705 1,667 1,611 1,570 1,540 1,496 1,461 1,437 1,420 1,407 1,377 1,361 1,351 1,339 1,332

100 1013 39,49 13,96 8,319 6,080 4,915 4,210 3,739 3,403 3,152 2,956 2,800 2,671 2,565 2,474 2,396 2,329 2,269 2,217 2,170 2,128 2,090 2,056 2,024 1,996 1,969 1,945 1,922 1,901 1,882 1,801 1,741 1,694 1,656 1,599 1,558 1,527 1,483 1,448 1,423 1,406 1,393 1,361 1,345 1,336 1,322 1,316

150 1015 39,49 13,94 8,299 6,059 4,893 4,188 3,716 3,380 3,128 2,932 2,775 2,647 2,539 2,448 2,370 2,302 2,242 2,190 2,142 2,100 2,062 2,027 1,995 1,966 1,940 1,915 1,892 1,871 1,851 1,769 1,708 1,660 1,621 1,563 1,520 1,488 1,442 1,405 1,379 1,360 1,346 1,312 1,294 1,284 1,269 1,262

200 1016 39,49 13,93 8,289 6,048 4,882 4,176 3,705 3,368 3,116 2,920 2,763 2,634 2,526 2,435 2,357 2,289 2,229 2,176 2,128 2,086 2,047 2,013 1,981 1,952 1,925 1,900 1,877 1,855 1,835 1,753 1,691 1,642 1,603 1,543 1,500 1,467 1,420 1,381 1,355 1,335 1,320 1,285 1,266 1,254 1,239 1,230

300 1017 39,49 13,92 8,278 6,037 4,871 4,165 3,693 3,357 3,104 2,908 2,750 2,621 2,513 2,422 2,343 2,275 2,215 2,162 2,114 2,072 2,033 1,998 1,966 1,936 1,909 1,884 1,861 1,840 1,819 1,736 1,673 1,624 1,584 1,524 1,480 1,446 1,397 1,357 1,329 1,309 1,293 1,255 1,234 1,222 1,204 1,195

500 1017 39,50 13,91 8,270 6,028 4,862 4,156 3,684 3,347 3,094 2,898 2,740 2,611 2,503 2,411 2,333 2,264 2,204 2,150 2,103 2,060 2,021 1,986 1,954 1,924 1,897 1,872 1,848 1,827 1,806 1,722 1,659 1,609 1,569 1,507 1,463 1,428 1,378 1,336 1,307 1,286 1,269 1,228 1,206 1,192 1,172 1,162

1000 1018 39,50 13,91 8,264 6,022 4,856 4,149 3,677 3,340 3,087 2,890 2,733 2,603 2,495 2,403 2,324 2,256 2,195 2,142 2,094 2,051 2,012 1,977 1,945 1,915 1,888 1,862 1,839 1,817 1,797 1,712 1,648 1,598 1,557 1,495 1,449 1,414 1,363 1,320 1,290 1,267 1,250 1,206 1,182 1,166 1,144 1,132

Built with Gnumeric Spreadsheet 1.12.9, typeset with LaTeX at Depto. Matem´ aticas, UAM

31

´n F Distribucio α = 0.05

α Fn1 ,n2 ;α

SAGE 4.7.1

Ejemplo: para n1 = 5, n2 = 10 y α = 0.05, F5,10;0.05 = 3.326, significa que P (F5,10 > 3.326) = 0.05 ·

n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 80 100 125 150 175 200 300 400 500 750 1000

n1 1 161.4 18.51 10.13 7.709 6.608 5.987 5.591 5.318 5.117 4.965 4.844 4.747 4.667 4.600 4.543 4.494 4.451 4.414 4.381 4.351 4.325 4.301 4.279 4.260 4.242 4.225 4.210 4.196 4.183 4.171 4.121 4.085 4.057 4.034 4.001 3.978 3.960 3.936 3.917 3.904 3.895 3.888 3.873 3.865 3.860 3.854 3.851

2 199.5 19.00 9.552 6.944 5.786 5.143 4.737 4.459 4.256 4.103 3.982 3.885 3.806 3.739 3.682 3.634 3.592 3.555 3.522 3.493 3.467 3.443 3.422 3.403 3.385 3.369 3.354 3.340 3.328 3.316 3.267 3.232 3.204 3.183 3.150 3.128 3.111 3.087 3.069 3.056 3.048 3.041 3.026 3.018 3.014 3.008 3.005

3 215.7 19.16 9.277 6.591 5.409 4.757 4.347 4.066 3.863 3.708 3.587 3.490 3.411 3.344 3.287 3.239 3.197 3.160 3.127 3.098 3.072 3.049 3.028 3.009 2.991 2.975 2.960 2.947 2.934 2.922 2.874 2.839 2.812 2.790 2.758 2.736 2.719 2.696 2.677 2.665 2.656 2.650 2.635 2.627 2.623 2.617 2.614

4 224.6 19.25 9.117 6.388 5.192 4.534 4.120 3.838 3.633 3.478 3.357 3.259 3.179 3.112 3.056 3.007 2.965 2.928 2.895 2.866 2.840 2.817 2.796 2.776 2.759 2.743 2.728 2.714 2.701 2.690 2.641 2.606 2.579 2.557 2.525 2.503 2.486 2.463 2.444 2.432 2.423 2.417 2.402 2.394 2.390 2.384 2.381

5 230.2 19.30 9.013 6.256 5.050 4.387 3.972 3.687 3.482 3.326 3.204 3.106 3.025 2.958 2.901 2.852 2.810 2.773 2.740 2.711 2.685 2.661 2.640 2.621 2.603 2.587 2.572 2.558 2.545 2.534 2.485 2.449 2.422 2.400 2.368 2.346 2.329 2.305 2.287 2.274 2.266 2.259 2.244 2.237 2.232 2.226 2.223

6 234.0 19.33 8.941 6.163 4.950 4.284 3.866 3.581 3.374 3.217 3.095 2.996 2.915 2.848 2.790 2.741 2.699 2.661 2.628 2.599 2.573 2.549 2.528 2.508 2.490 2.474 2.459 2.445 2.432 2.421 2.372 2.336 2.308 2.286 2.254 2.231 2.214 2.191 2.172 2.160 2.151 2.144 2.129 2.121 2.117 2.111 2.108

7 236.8 19.35 8.887 6.094 4.876 4.207 3.787 3.500 3.293 3.135 3.012 2.913 2.832 2.764 2.707 2.657 2.614 2.577 2.544 2.514 2.488 2.464 2.442 2.423 2.405 2.388 2.373 2.359 2.346 2.334 2.285 2.249 2.221 2.199 2.167 2.143 2.126 2.103 2.084 2.071 2.062 2.056 2.040 2.032 2.028 2.022 2.019

8 238.9 19.37 8.845 6.041 4.818 4.147 3.726 3.438 3.230 3.072 2.948 2.849 2.767 2.699 2.641 2.591 2.548 2.510 2.477 2.447 2.420 2.397 2.375 2.355 2.337 2.321 2.305 2.291 2.278 2.266 2.217 2.180 2.152 2.130 2.097 2.074 2.056 2.032 2.013 2.001 1.992 1.985 1.969 1.962 1.957 1.951 1.948

32

9 240.5 19.38 8.812 5.999 4.772 4.099 3.677 3.388 3.179 3.020 2.896 2.796 2.714 2.646 2.588 2.538 2.494 2.456 2.423 2.393 2.366 2.342 2.320 2.300 2.282 2.265 2.250 2.236 2.223 2.211 2.161 2.124 2.096 2.073 2.040 2.017 1.999 1.975 1.956 1.943 1.934 1.927 1.911 1.903 1.899 1.892 1.889

10 241.9 19.40 8.786 5.964 4.735 4.060 3.637 3.347 3.137 2.978 2.854 2.753 2.671 2.602 2.544 2.494 2.450 2.412 2.378 2.348 2.321 2.297 2.275 2.255 2.236 2.220 2.204 2.190 2.177 2.165 2.114 2.077 2.049 2.026 1.993 1.969 1.951 1.927 1.907 1.894 1.885 1.878 1.862 1.854 1.850 1.843 1.840

12 243.9 19.41 8.745 5.912 4.678 4.000 3.575 3.284 3.073 2.913 2.788 2.687 2.604 2.534 2.475 2.425 2.381 2.342 2.308 2.278 2.250 2.226 2.204 2.183 2.165 2.148 2.132 2.118 2.104 2.092 2.041 2.003 1.974 1.952 1.917 1.893 1.875 1.850 1.830 1.817 1.808 1.801 1.785 1.776 1.772 1.765 1.762

15 245.9 19.43 8.703 5.858 4.619 3.938 3.511 3.218 3.006 2.845 2.719 2.617 2.533 2.463 2.403 2.352 2.308 2.269 2.234 2.203 2.176 2.151 2.128 2.108 2.089 2.072 2.056 2.041 2.027 2.015 1.963 1.924 1.895 1.871 1.836 1.812 1.793 1.768 1.747 1.734 1.724 1.717 1.700 1.691 1.686 1.680 1.676

16 246.5 19.43 8.692 5.844 4.604 3.922 3.494 3.202 2.989 2.828 2.701 2.599 2.515 2.445 2.385 2.333 2.289 2.250 2.215 2.184 2.156 2.131 2.109 2.088 2.069 2.052 2.036 2.021 2.007 1.995 1.942 1.904 1.874 1.850 1.815 1.790 1.772 1.746 1.725 1.711 1.702 1.694 1.677 1.669 1.664 1.657 1.654

18 247.3 19.44 8.675 5.821 4.579 3.896 3.467 3.173 2.960 2.798 2.671 2.568 2.484 2.413 2.353 2.302 2.257 2.217 2.182 2.151 2.123 2.098 2.075 2.054 2.035 2.018 2.002 1.987 1.973 1.960 1.907 1.868 1.838 1.814 1.778 1.753 1.734 1.708 1.687 1.673 1.663 1.656 1.638 1.630 1.625 1.618 1.614

20 248.0 19.45 8.660 5.803 4.558 3.874 3.445 3.150 2.936 2.774 2.646 2.544 2.459 2.388 2.328 2.276 2.230 2.191 2.155 2.124 2.096 2.071 2.048 2.027 2.007 1.990 1.974 1.959 1.945 1.932 1.878 1.839 1.808 1.784 1.748 1.722 1.703 1.676 1.655 1.641 1.631 1.623 1.606 1.597 1.592 1.585 1.581

24 249.1 19.45 8.639 5.774 4.527 3.841 3.410 3.115 2.900 2.737 2.609 2.505 2.420 2.349 2.288 2.235 2.190 2.150 2.114 2.082 2.054 2.028 2.005 1.984 1.964 1.946 1.930 1.915 1.901 1.887 1.833 1.793 1.762 1.737 1.700 1.674 1.654 1.627 1.605 1.590 1.580 1.572 1.554 1.545 1.539 1.532 1.528

´n F Distribucio α = 0.05 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 80 100 125 150 175 200 300 400 500 750 1000

n1 25 249.3 19.46 8.634 5.769 4.521 3.835 3.404 3.108 2.893 2.730 2.601 2.498 2.412 2.341 2.280 2.227 2.181 2.141 2.106 2.074 2.045 2.020 1.996 1.975 1.955 1.938 1.921 1.906 1.891 1.878 1.824 1.783 1.752 1.727 1.690 1.664 1.644 1.616 1.594 1.580 1.569 1.561 1.543 1.534 1.528 1.521 1.517

30 250.1 19.46 8.617 5.746 4.496 3.808 3.376 3.079 2.864 2.700 2.570 2.466 2.380 2.308 2.247 2.194 2.148 2.107 2.071 2.039 2.010 1.984 1.961 1.939 1.919 1.901 1.884 1.869 1.854 1.841 1.786 1.744 1.713 1.687 1.649 1.622 1.602 1.573 1.551 1.535 1.525 1.516 1.497 1.488 1.482 1.474 1.471

35 250.7 19.47 8.604 5.729 4.478 3.789 3.356 3.059 2.842 2.678 2.548 2.443 2.357 2.284 2.223 2.169 2.123 2.082 2.046 2.013 1.984 1.958 1.934 1.912 1.892 1.874 1.857 1.841 1.827 1.813 1.757 1.715 1.683 1.657 1.618 1.591 1.570 1.541 1.517 1.502 1.491 1.482 1.463 1.453 1.447 1.439 1.435

40 251.1 19.47 8.594 5.717 4.464 3.774 3.340 3.043 2.826 2.661 2.531 2.426 2.339 2.266 2.204 2.151 2.104 2.063 2.026 1.994 1.965 1.938 1.914 1.892 1.872 1.853 1.836 1.820 1.806 1.792 1.735 1.693 1.660 1.634 1.594 1.566 1.545 1.515 1.491 1.475 1.464 1.455 1.435 1.425 1.419 1.410 1.406

45 251.5 19.47 8.587 5.707 4.453 3.763 3.328 3.030 2.813 2.648 2.517 2.412 2.325 2.252 2.190 2.136 2.089 2.048 2.011 1.978 1.949 1.922 1.898 1.876 1.855 1.837 1.819 1.803 1.789 1.775 1.718 1.675 1.642 1.615 1.575 1.546 1.525 1.494 1.470 1.454 1.442 1.433 1.412 1.402 1.396 1.387 1.383

50 251.8 19.48 8.581 5.699 4.444 3.754 3.319 3.020 2.803 2.637 2.507 2.401 2.314 2.241 2.178 2.124 2.077 2.035 1.999 1.966 1.936 1.909 1.885 1.863 1.842 1.823 1.806 1.790 1.775 1.761 1.703 1.660 1.626 1.599 1.559 1.530 1.508 1.477 1.452 1.436 1.424 1.415 1.393 1.383 1.376 1.368 1.363

60 252.2 19.48 8.572 5.688 4.431 3.740 3.304 3.005 2.787 2.621 2.490 2.384 2.297 2.223 2.160 2.106 2.058 2.017 1.980 1.946 1.916 1.889 1.865 1.842 1.822 1.803 1.785 1.769 1.754 1.740 1.681 1.637 1.603 1.576 1.534 1.505 1.482 1.450 1.425 1.407 1.395 1.386 1.363 1.352 1.345 1.336 1.332

70 252.5 19.48 8.566 5.679 4.422 3.730 3.294 2.994 2.776 2.610 2.478 2.372 2.284 2.210 2.147 2.093 2.045 2.003 1.966 1.932 1.902 1.875 1.850 1.828 1.807 1.788 1.770 1.754 1.738 1.724 1.665 1.621 1.586 1.558 1.516 1.486 1.463 1.430 1.404 1.386 1.373 1.364 1.341 1.329 1.322 1.313 1.308

80 252.7 19.48 8.561 5.673 4.415 3.722 3.286 2.986 2.768 2.601 2.469 2.363 2.275 2.201 2.137 2.083 2.035 1.993 1.955 1.922 1.891 1.864 1.839 1.816 1.796 1.776 1.758 1.742 1.726 1.712 1.652 1.608 1.573 1.544 1.502 1.471 1.448 1.415 1.388 1.369 1.356 1.346 1.323 1.311 1.303 1.294 1.289

90 252.9 19.48 8.557 5.668 4.409 3.716 3.280 2.980 2.761 2.594 2.462 2.356 2.267 2.193 2.130 2.075 2.027 1.985 1.947 1.913 1.883 1.856 1.830 1.808 1.787 1.767 1.749 1.733 1.717 1.703 1.643 1.597 1.562 1.534 1.491 1.459 1.436 1.402 1.375 1.356 1.342 1.332 1.308 1.296 1.288 1.278 1.273

100 253.0 19.49 8.554 5.664 4.405 3.712 3.275 2.975 2.756 2.588 2.457 2.350 2.261 2.187 2.123 2.068 2.020 1.978 1.940 1.907 1.876 1.849 1.823 1.800 1.779 1.760 1.742 1.725 1.710 1.695 1.635 1.589 1.554 1.525 1.481 1.450 1.426 1.392 1.364 1.345 1.331 1.321 1.296 1.283 1.275 1.265 1.260

150 253.5 19.49 8.545 5.652 4.392 3.698 3.260 2.959 2.739 2.572 2.439 2.332 2.243 2.169 2.105 2.049 2.001 1.958 1.920 1.886 1.855 1.827 1.802 1.779 1.757 1.738 1.719 1.702 1.686 1.672 1.610 1.564 1.527 1.498 1.453 1.420 1.395 1.359 1.330 1.309 1.294 1.283 1.256 1.242 1.233 1.222 1.216

200 253.7 19.49 8.540 5.646 4.385 3.690 3.252 2.951 2.731 2.563 2.431 2.323 2.234 2.159 2.095 2.039 1.991 1.948 1.910 1.875 1.845 1.817 1.791 1.768 1.746 1.726 1.708 1.691 1.675 1.660 1.598 1.551 1.513 1.484 1.438 1.404 1.379 1.342 1.311 1.290 1.274 1.263 1.234 1.219 1.210 1.197 1.190

300 253.9 19.49 8.536 5.640 4.378 3.683 3.245 2.943 2.723 2.555 2.422 2.314 2.225 2.150 2.085 2.030 1.981 1.938 1.899 1.865 1.834 1.806 1.780 1.756 1.735 1.714 1.696 1.679 1.663 1.647 1.585 1.537 1.499 1.469 1.422 1.388 1.361 1.323 1.291 1.269 1.253 1.240 1.210 1.193 1.183 1.169 1.161

500 254.1 19.49 8.532 5.635 4.373 3.678 3.239 2.937 2.717 2.548 2.415 2.307 2.218 2.142 2.078 2.022 1.973 1.929 1.891 1.856 1.825 1.797 1.771 1.747 1.725 1.705 1.686 1.669 1.653 1.637 1.574 1.526 1.488 1.457 1.409 1.374 1.347 1.308 1.275 1.252 1.234 1.221 1.188 1.170 1.159 1.143 1.134

1000 254.2 19.49 8.529 5.632 4.369 3.673 3.234 2.932 2.712 2.543 2.410 2.302 2.212 2.136 2.072 2.016 1.967 1.923 1.884 1.850 1.818 1.790 1.764 1.740 1.718 1.698 1.679 1.662 1.645 1.630 1.566 1.517 1.479 1.448 1.399 1.364 1.336 1.296 1.262 1.238 1.220 1.205 1.170 1.150 1.138 1.120 1.110

Built with Gnumeric Spreadsheet 1.10.1, typeset with LaTeX at Depto. Matem´ aticas, UAM

33

´n F Distribucio α = 0.10

α Fn1 ,n2 ;α

SAGE 4.7.1

Ejemplo: para n1 = 5, n2 = 10 y α = 0.10, F5,10;0.1 = 2.522, significa que P (F5,10 > 2.522) = 0.1 ·

n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 80 100 125 150 175 200 300 400 500 750 1000

n1 1 39.86 8.526 5.538 4.545 4.060 3.776 3.589 3.458 3.360 3.285 3.225 3.177 3.136 3.102 3.073 3.048 3.026 3.007 2.990 2.975 2.961 2.949 2.937 2.927 2.918 2.909 2.901 2.894 2.887 2.881 2.855 2.835 2.820 2.809 2.791 2.779 2.769 2.756 2.746 2.739 2.734 2.731 2.722 2.718 2.716 2.712 2.711

2 49.50 9.000 5.462 4.325 3.780 3.463 3.257 3.113 3.006 2.924 2.860 2.807 2.763 2.726 2.695 2.668 2.645 2.624 2.606 2.589 2.575 2.561 2.549 2.538 2.528 2.519 2.511 2.503 2.495 2.489 2.461 2.440 2.425 2.412 2.393 2.380 2.370 2.356 2.346 2.338 2.333 2.329 2.320 2.316 2.313 2.310 2.308

3 53.59 9.162 5.391 4.191 3.619 3.289 3.074 2.924 2.813 2.728 2.660 2.606 2.560 2.522 2.490 2.462 2.437 2.416 2.397 2.380 2.365 2.351 2.339 2.327 2.317 2.307 2.299 2.291 2.283 2.276 2.247 2.226 2.210 2.197 2.177 2.164 2.154 2.139 2.128 2.121 2.115 2.111 2.102 2.098 2.095 2.091 2.089

4 55.83 9.243 5.343 4.107 3.520 3.181 2.961 2.806 2.693 2.605 2.536 2.480 2.434 2.395 2.361 2.333 2.308 2.286 2.266 2.249 2.233 2.219 2.207 2.195 2.184 2.174 2.165 2.157 2.149 2.142 2.113 2.091 2.074 2.061 2.041 2.027 2.016 2.002 1.990 1.983 1.977 1.973 1.964 1.959 1.956 1.952 1.950

5 57.24 9.293 5.309 4.051 3.453 3.108 2.883 2.726 2.611 2.522 2.451 2.394 2.347 2.307 2.273 2.244 2.218 2.196 2.176 2.158 2.142 2.128 2.115 2.103 2.092 2.082 2.073 2.064 2.057 2.049 2.019 1.997 1.980 1.966 1.946 1.931 1.921 1.906 1.894 1.886 1.880 1.876 1.867 1.862 1.859 1.855 1.853

6 58.20 9.326 5.285 4.010 3.405 3.055 2.827 2.668 2.551 2.461 2.389 2.331 2.283 2.243 2.208 2.178 2.152 2.130 2.109 2.091 2.075 2.060 2.047 2.035 2.024 2.014 2.005 1.996 1.988 1.980 1.950 1.927 1.909 1.895 1.875 1.860 1.849 1.834 1.822 1.814 1.808 1.804 1.794 1.789 1.786 1.782 1.780

7 58.91 9.349 5.266 3.979 3.368 3.014 2.785 2.624 2.505 2.414 2.342 2.283 2.234 2.193 2.158 2.128 2.102 2.079 2.058 2.040 2.023 2.008 1.995 1.983 1.971 1.961 1.952 1.943 1.935 1.927 1.896 1.873 1.855 1.840 1.819 1.804 1.793 1.778 1.765 1.757 1.751 1.747 1.737 1.732 1.729 1.725 1.723

8 59.44 9.367 5.252 3.955 3.339 2.983 2.752 2.589 2.469 2.377 2.304 2.245 2.195 2.154 2.119 2.088 2.061 2.038 2.017 1.999 1.982 1.967 1.953 1.941 1.929 1.919 1.909 1.900 1.892 1.884 1.852 1.829 1.811 1.796 1.775 1.760 1.748 1.732 1.720 1.712 1.706 1.701 1.691 1.686 1.683 1.678 1.676

34

9 59.86 9.381 5.240 3.936 3.316 2.958 2.725 2.561 2.440 2.347 2.274 2.214 2.164 2.122 2.086 2.055 2.028 2.005 1.984 1.965 1.948 1.933 1.919 1.906 1.895 1.884 1.874 1.865 1.857 1.849 1.817 1.793 1.774 1.760 1.738 1.723 1.711 1.695 1.682 1.674 1.668 1.663 1.652 1.647 1.644 1.640 1.638

10 60.19 9.392 5.230 3.920 3.297 2.937 2.703 2.538 2.416 2.323 2.248 2.188 2.138 2.095 2.059 2.028 2.001 1.977 1.956 1.937 1.920 1.904 1.890 1.877 1.866 1.855 1.845 1.836 1.827 1.819 1.787 1.763 1.744 1.729 1.707 1.691 1.680 1.663 1.650 1.642 1.635 1.631 1.620 1.615 1.612 1.607 1.605

12 60.71 9.408 5.216 3.896 3.268 2.905 2.668 2.502 2.379 2.284 2.209 2.147 2.097 2.054 2.017 1.985 1.958 1.933 1.912 1.892 1.875 1.859 1.845 1.832 1.820 1.809 1.799 1.790 1.781 1.773 1.739 1.715 1.695 1.680 1.657 1.641 1.629 1.612 1.599 1.590 1.584 1.579 1.568 1.562 1.559 1.555 1.552

15 61.22 9.425 5.200 3.870 3.238 2.871 2.632 2.464 2.340 2.244 2.167 2.105 2.053 2.010 1.972 1.940 1.912 1.887 1.865 1.845 1.827 1.811 1.796 1.783 1.771 1.760 1.749 1.740 1.731 1.722 1.688 1.662 1.643 1.627 1.603 1.587 1.574 1.557 1.543 1.533 1.527 1.522 1.510 1.504 1.501 1.496 1.494

16 61.35 9.429 5.196 3.864 3.230 2.863 2.623 2.455 2.329 2.233 2.156 2.094 2.042 1.998 1.961 1.928 1.900 1.875 1.852 1.833 1.815 1.798 1.784 1.770 1.758 1.747 1.736 1.726 1.717 1.709 1.674 1.649 1.629 1.613 1.589 1.572 1.559 1.542 1.528 1.518 1.512 1.507 1.495 1.489 1.485 1.481 1.478

18 61.57 9.436 5.190 3.853 3.217 2.848 2.607 2.438 2.312 2.215 2.138 2.075 2.023 1.978 1.941 1.908 1.879 1.854 1.831 1.811 1.793 1.777 1.762 1.748 1.736 1.724 1.714 1.704 1.695 1.686 1.651 1.625 1.605 1.588 1.564 1.547 1.534 1.516 1.502 1.492 1.485 1.480 1.468 1.462 1.458 1.453 1.451

20 61.74 9.441 5.184 3.844 3.207 2.836 2.595 2.425 2.298 2.201 2.123 2.060 2.007 1.962 1.924 1.891 1.862 1.837 1.814 1.794 1.776 1.759 1.744 1.730 1.718 1.706 1.695 1.685 1.676 1.667 1.632 1.605 1.585 1.568 1.543 1.526 1.513 1.494 1.480 1.470 1.463 1.458 1.445 1.439 1.435 1.430 1.428

24 62.00 9.450 5.176 3.831 3.191 2.818 2.575 2.404 2.277 2.178 2.100 2.036 1.983 1.938 1.899 1.866 1.836 1.810 1.787 1.767 1.748 1.731 1.716 1.702 1.689 1.677 1.666 1.656 1.647 1.638 1.601 1.574 1.553 1.536 1.511 1.493 1.479 1.460 1.445 1.434 1.427 1.422 1.409 1.402 1.399 1.393 1.391

´n F Distribucio α = 0.10 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 60 70 80 100 125 150 175 200 300 400 500 750 1000

n1 25 62.05 9.451 5.175 3.828 3.187 2.815 2.571 2.400 2.272 2.174 2.095 2.031 1.978 1.933 1.894 1.860 1.831 1.805 1.782 1.761 1.742 1.726 1.710 1.696 1.683 1.671 1.660 1.650 1.640 1.632 1.595 1.568 1.546 1.529 1.504 1.486 1.472 1.453 1.437 1.427 1.420 1.414 1.401 1.395 1.391 1.386 1.383

30 62.26 9.458 5.168 3.817 3.174 2.800 2.555 2.383 2.255 2.155 2.076 2.011 1.958 1.912 1.873 1.839 1.809 1.783 1.759 1.738 1.719 1.702 1.686 1.672 1.659 1.647 1.636 1.625 1.616 1.606 1.569 1.541 1.519 1.502 1.476 1.457 1.443 1.423 1.407 1.396 1.388 1.383 1.369 1.362 1.358 1.353 1.350

35 62.42 9.463 5.163 3.810 3.165 2.789 2.544 2.371 2.242 2.142 2.062 1.997 1.943 1.897 1.857 1.823 1.793 1.766 1.743 1.721 1.702 1.685 1.669 1.654 1.641 1.629 1.617 1.607 1.597 1.588 1.550 1.521 1.499 1.481 1.454 1.435 1.420 1.400 1.383 1.372 1.364 1.358 1.344 1.337 1.333 1.327 1.325

40 62.53 9.466 5.160 3.804 3.157 2.781 2.535 2.361 2.232 2.132 2.052 1.986 1.931 1.885 1.845 1.811 1.781 1.754 1.730 1.708 1.689 1.671 1.655 1.641 1.627 1.615 1.603 1.592 1.583 1.573 1.535 1.506 1.483 1.465 1.437 1.418 1.403 1.382 1.365 1.353 1.345 1.339 1.325 1.317 1.313 1.307 1.304

45 62.62 9.469 5.157 3.799 3.152 2.775 2.528 2.354 2.224 2.124 2.043 1.977 1.923 1.876 1.836 1.801 1.771 1.744 1.720 1.698 1.678 1.661 1.645 1.630 1.616 1.604 1.592 1.581 1.571 1.562 1.523 1.493 1.470 1.452 1.424 1.404 1.388 1.367 1.350 1.338 1.330 1.323 1.308 1.301 1.296 1.290 1.287

50 62.69 9.471 5.155 3.795 3.147 2.770 2.523 2.348 2.218 2.117 2.036 1.970 1.915 1.869 1.828 1.793 1.763 1.736 1.711 1.690 1.670 1.652 1.636 1.621 1.607 1.594 1.583 1.572 1.562 1.552 1.513 1.483 1.460 1.441 1.413 1.392 1.377 1.355 1.337 1.325 1.317 1.310 1.295 1.287 1.282 1.276 1.273

60 62.79 9.475 5.151 3.790 3.140 2.762 2.514 2.339 2.208 2.107 2.026 1.960 1.904 1.857 1.817 1.782 1.751 1.723 1.699 1.677 1.657 1.639 1.622 1.607 1.593 1.581 1.569 1.558 1.547 1.538 1.497 1.467 1.443 1.424 1.395 1.374 1.358 1.336 1.317 1.305 1.296 1.289 1.273 1.265 1.260 1.253 1.250

70 62.87 9.477 5.149 3.786 3.135 2.756 2.508 2.333 2.202 2.100 2.019 1.952 1.896 1.849 1.808 1.773 1.742 1.714 1.690 1.667 1.647 1.629 1.613 1.597 1.583 1.570 1.558 1.547 1.537 1.527 1.486 1.455 1.431 1.412 1.382 1.361 1.344 1.321 1.302 1.289 1.280 1.273 1.256 1.248 1.243 1.236 1.232

80 62.93 9.479 5.147 3.782 3.132 2.752 2.504 2.328 2.196 2.095 2.013 1.946 1.890 1.843 1.802 1.766 1.735 1.707 1.683 1.660 1.640 1.622 1.605 1.590 1.576 1.562 1.550 1.539 1.529 1.519 1.478 1.447 1.422 1.402 1.372 1.350 1.334 1.310 1.291 1.277 1.268 1.261 1.243 1.235 1.229 1.222 1.218

90 62.97 9.480 5.145 3.780 3.129 2.749 2.500 2.324 2.192 2.090 2.009 1.942 1.886 1.838 1.797 1.761 1.730 1.702 1.677 1.655 1.634 1.616 1.599 1.584 1.569 1.556 1.544 1.533 1.522 1.512 1.471 1.439 1.415 1.395 1.364 1.342 1.325 1.301 1.281 1.268 1.258 1.250 1.233 1.223 1.218 1.210 1.207

100 63.01 9.481 5.144 3.778 3.126 2.746 2.497 2.321 2.189 2.087 2.005 1.938 1.882 1.834 1.793 1.757 1.726 1.698 1.673 1.650 1.630 1.611 1.594 1.579 1.565 1.551 1.539 1.528 1.517 1.507 1.465 1.434 1.409 1.388 1.358 1.335 1.318 1.293 1.273 1.259 1.249 1.242 1.224 1.214 1.209 1.201 1.197

150 63.11 9.485 5.141 3.772 3.119 2.738 2.488 2.312 2.179 2.077 1.994 1.927 1.870 1.822 1.781 1.744 1.713 1.684 1.659 1.636 1.616 1.597 1.580 1.564 1.549 1.536 1.523 1.512 1.501 1.491 1.448 1.416 1.390 1.369 1.337 1.314 1.296 1.270 1.248 1.233 1.223 1.214 1.194 1.184 1.178 1.169 1.164

200 63.17 9.486 5.139 3.769 3.116 2.734 2.484 2.307 2.174 2.071 1.989 1.921 1.864 1.816 1.774 1.738 1.706 1.678 1.652 1.629 1.608 1.590 1.572 1.556 1.542 1.528 1.515 1.504 1.493 1.482 1.439 1.406 1.380 1.359 1.326 1.302 1.284 1.257 1.235 1.219 1.208 1.199 1.178 1.167 1.160 1.150 1.145

300 63.22 9.488 5.137 3.767 3.112 2.730 2.480 2.302 2.169 2.066 1.983 1.915 1.858 1.810 1.768 1.731 1.699 1.671 1.645 1.622 1.601 1.582 1.565 1.549 1.534 1.520 1.507 1.495 1.484 1.474 1.430 1.397 1.370 1.349 1.315 1.291 1.271 1.244 1.220 1.204 1.192 1.183 1.160 1.147 1.140 1.129 1.124

500 63.26 9.489 5.136 3.764 3.109 2.727 2.476 2.298 2.165 2.062 1.979 1.911 1.853 1.805 1.763 1.726 1.694 1.665 1.639 1.616 1.595 1.576 1.558 1.542 1.527 1.514 1.501 1.489 1.478 1.467 1.423 1.389 1.362 1.340 1.306 1.281 1.261 1.232 1.208 1.191 1.178 1.168 1.144 1.130 1.122 1.109 1.103

1000 63.30 9.490 5.135 3.762 3.107 2.725 2.473 2.295 2.162 2.059 1.975 1.907 1.850 1.801 1.759 1.722 1.690 1.661 1.635 1.612 1.591 1.571 1.554 1.538 1.523 1.509 1.496 1.484 1.472 1.462 1.417 1.383 1.356 1.333 1.299 1.273 1.253 1.223 1.198 1.181 1.167 1.157 1.130 1.115 1.106 1.092 1.084

Built with Gnumeric Spreadsheet 1.10.1, typeset with LaTeX at Depto. Matem´ aticas, UAM

35