BACHILLERATO FÍSICA A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA

R. Artacho

Dpto. de Física y Química

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA

ÍNDICE 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Áreas y volúmenes de figuras geométricas Funciones trigonométricas Productos de vectores Desarrollo en serie de un binomio Cálculo diferencial Cálculo Integral

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A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 1 Áreas y volúmenes de figuras geométricas

L = 2r Círculo de radio r

A = r2

Figuras planas Cuadrado de lado a

A = a2

Triángulo

A = (base·altura)/2 A = 6a2

Cubo de lado a V = a3 A = 4r2 Esfera de radio r

Figuras espaciales

V = 4/3 r3 A = 2rl

Cilindro de radio r y longitud l

Abases = r2 V = r2l

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A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 2 Funciones trigonométricas 1,00 0,50

𝑠𝑒𝑛𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ; ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑜𝑠𝑐𝛼 =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

0,00 -0,50 -1,00 1,00 0,50

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 cos𝛼 = ; ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜

0,00 -0,50 -1,00

𝑡𝑔𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 𝑐𝑜𝑠𝛼

10,00

5,00 0,00

𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑛𝛼

-5,00 -10,00 4

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 2 Funciones trigonométricas 2.1. Funciones trigonométricas de ángulos pequeños

𝜃= s

𝑠 (á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝑟

 r

Si  es menor de 25º: 𝜃 ≅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≅ 𝑡𝑔 𝜃

Los valores del seno y la tangente de un ángulo pequeño coinciden con el del ángulo expresado en radianes

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A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 2 Funciones trigonométricas 2.2. Identidades trigonométricas de interés

𝑠𝑒𝑛 𝑎 ± 𝑏 = 𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 ± 𝑠𝑒𝑛𝑏 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ± 𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 ∓ 𝑠𝑒𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑎 + 𝑠𝑒𝑛𝑏 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑎 − 𝑠𝑒𝑛𝑏 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 2 2

𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 2𝑐𝑜𝑠

𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑐𝑜𝑠 2 2

𝑐𝑜𝑠𝑎 − 𝑐𝑜𝑠𝑏 = 2𝑠𝑒𝑛

𝑎+𝑏 𝑏−𝑎 𝑠𝑒𝑛 2 2

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A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores 3.1. Producto escalar El resultado de multiplicar escalarmente dos vectores es el número que se obtiene multiplicando sus módulos por el coseno del ángulo que forman: 𝑏

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒂 · 𝑷𝒓𝒐𝒚𝒂 𝒃

 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑎 𝑏

𝑎

Producto escalar en función de las componentes 𝑖∙𝑖=𝑗∙𝑗=𝑘∙𝑘 =1 𝑖∙𝑗=𝑗∙𝑖=𝑖∙𝑘 =𝑘·𝑖=𝑗·𝑘 =𝑘·𝑗 =0 𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘;

𝑏 = 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘

𝒂 · 𝒃 = (𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘) · 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘 = 𝒂𝒙 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 𝒃𝒚 + 𝒂𝒛 𝒃𝒛 7

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores EJERCICIO 1 Sean los vectores: 𝑎 = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘; 𝑏 = −𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 Calcular: a) El vector suma, 𝑎 + 𝑏. b) Un vector unitario en la dirección del vector 𝑎 + 𝑏. c) El producto escalar de los dos vectores. d) El ángulo que forman.

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A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores 3.2. Producto vectorial El resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores es un nuevo vector cuyos atributos son:  Módulo: 𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛼  Dirección: Perpendicular al plano que forman los dos vectores  Sentido: Que resulta de aplicar la “regla de la mano derecha” 𝑎×𝑏

𝜋

𝐵

𝐶

𝑏  𝑂

ℎ 𝑎

𝐴

𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑎ℎ = Á𝑟𝑒𝑎 (𝑂𝐴𝐶𝐵) Cualquier superficie puede representarse mediante un vector perpendicular a ella y cuyo módulo sea igual al área de la misma. 9

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores 3.2. Producto vectorial Producto vectorial en función de las componentes 𝑖×𝑖=𝑗×𝑗=𝑘×𝑘 =0

𝑗 𝑖

𝑘

𝑖 × 𝑗 = 𝑘;

𝑗 ∙ 𝑖 = −𝑘

𝑖 × 𝑘 = −𝑗;

𝑘∙𝑖=𝑗

𝑗 × 𝑘 = 𝑖;

𝑘 ∙ 𝑗 = −𝑖

𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘;

𝑏 = 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘

𝒂 × 𝒃 = (𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘) × 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘 = 𝒂𝒚 𝒃𝒛 − 𝒂𝒛 𝒃𝒚 𝒊 + 𝒂𝒛 𝒃𝒙 − 𝒂𝒙 𝒃𝒛 𝒋 + 𝒂𝒙 𝒃𝒚 − 𝒂𝒚 𝒃𝒙 𝒌 𝑖 𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥

𝑗 𝑎𝑦 𝑏𝑦

𝑘 𝑎𝑧 𝑏𝑧 10

A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores 3.3. Aplicaciones del producto vectorial Momento de un vector respecto de un punto Se define el momento de un vector 𝒂 aplicado a P, con respecto un punto O, como el producto vectorial entre el vector de posición, 𝒓 = 𝑶𝑷, y el propio vector 𝒂:

𝑀𝑎,𝑂

𝑎 900

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑟

𝑂

𝑀𝑎,𝑂 = 𝑟 × 𝑎

𝑟 = (𝑥 − 𝑥0 )𝑖 + (𝑦 − 𝑦0 )𝑗 + (𝑧 − 𝑧0 )𝑘

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A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores EJERCICIO 2 Sean los puntos A (2, 1, - 3), B (-2, -1, -2) y C (0, 3, -1). Calcular: a) El área del triángulo que forman los tres puntos. b) El ángulo que forman los vectores 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶. b) El momento del vector 𝐴𝐵, respecto del origen de coordenadas.

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A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 4 Desarrollo en serie de un binomio 𝑎+𝑏

𝑛

𝑛 𝑛−1 𝑛 𝑛 − 1 𝑛−2 2 𝑛 𝑛 − 1 (𝑛 − 2) 𝑛−3 3 𝑛! 𝑛−𝑛 𝑛 =𝑎 + 𝑎 𝑏+ 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + ⋯+ 𝑎 𝑏 1! 2! 3! 𝑛! 𝑛

𝑎+𝑏

2

= 𝑎2 +

2 2−1 2 2 − 1 2−2 2 𝑎 𝑏+ 𝑎 𝑏 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 1! 2!

1+𝑥

𝑛

𝑛𝑥 𝑛 𝑛 − 1 𝑥 2 = 1+ + +⋯ 1! 2!

Si x