Banco de reactivos de Geometría y Trigonometría Compilación: Ochoa Cruz Rita Julio de 2006

1

Temario Matemáticas III

1.1 1.1.1

Geometría Euclidiana Trigonometría Plana

GEOMETRÍA EUCLIDIANA (PRIMERA PARTE) REPASO: ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS (2 horas)

1. Conjuntos y sus operaciones 2. Puntos, rectas, segmentos y rayos 3. De…nición de ángulo y triángulo 4. Tipos de ángulos y de triángulos. 1.1.2

UNIDAD I: CONSTRUCCIONES (12 horas)

1. Bisecar un ángulo dado 2. Copiar un segmento y un ángulo dado 3. Copiar un triángulo dado 4. Construcción de una paralela a una recta dada 5. Dividir un segmento en un número dado de segmentos congruentes. 6. Construir la mediatriz de un segmento 7. Construir el punto medio de un segmento dado 8. Construir una perpendicular a una recta que pase por un punto dado. 9. Puntos y líneas importantes en un triángulo (a) Medianas - Baricentro (b) Mediatrices - Circuncenro

1

(c) Alturas - Ortocentro (d) Bisectrices - Incentro (e) Circunscribir una circunferencia en un triangulo. (f) Inscribir una circunferencia en un triangulo 10. Recta de Euler 11. Circunferencia de los nueve puntos 12. Triángulo de Napoleón 1.1.3

UNIDAD II: DEMOSTRACIONES (12 horas)

1. Introducción a la demostración 2. Hipótesis y conclusión en teoremas. 3. Redacción de demostraciones sencillas 4. Congruencia y semejanza 5. Concepto de congruencia. 6. Congruencia de triangulos. Postulados 7. Demostraciones. 8. Concepto de semejanza 9. Semejanza de triangulos. Postulados 10. Demostraciones. 1.1.4

UNIDAD III: POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA (10 horas)

1. Paralelogramos, rombos, rectángulos y cuadrados 2. De…niciones y teoremas en polígonos regulares. 3. Áreas de regiones poligonales 4. De…niciones básicas en la circunferencia (rectas en la circunferencia) 5. Tipos de ángulos dentro de la circunferencia 6. Resultados en la circunferencia. (teoremas) 7. RESULTADOS ENTRE POLÍGONOS Y CIRCUNFERECIAS

2

1.2 1.2.1

TRIGONOMETRÍA (SEGUNDA PARTE) UNIDAD I: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (12 horas)

1. Repaso de semejanza en triángulos rectángulos 2. Razones trigonométricas 3. De…nición de funciones trigonométricas (circulo unitario y semejanza) 4. Grá…ca de funciones trigonométricas 5. Relaciones entre las funciones trigonométricas (identidades) 1.2.2

UNIDAD II: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS (14 horas)

1. TRIÁNGULO RECTÁNGULO (a) Angulos especiales en triangulos rectángulos y sus razones trigonometricas (b) Resolución de problemas utilizando razones trigonométricas. 2. TRIÁNGULO OBLICUANGULO (a) Resolución de problemas utilizando Ley de Senos (b) Resolución de problemas utilizando Ley de Cosenos 1.2.3

UNIDAD III: OTRAS APLICACIONES (8 horas)

1. Ecuaciones Trigonométricas 2. Ángulos dobles en funciones trigonométricas 3. Inversas de las funciones trigonométricas.

3

2

Geometría Euclidiana 1. Diga si son falsos o verdaderos los siguientes enunciados y justi…que su respuesta (a) Dos triángulos son semejantes y uno de los triángulos tienen medidas de 45o y 75o mientras que dos ángulos del otro miden 45o y 60o . (b) Dos triángulos son semejantes si se tiene que dos ángulos de uno de los triángulos tienen medidas de 50o y 70o , mientras que dos ángulos de otro tienen medidas de 50o y 60o . (c) Dos triángulos son semejantes si se tiene que dos ángulos de uno de los triángulos tienen medidas de 80o y 70o , mientras que dos ángulos de otro tienen medidas de 30o y 80o . (d) En un triángulo equilátero, el circuncentro, el ortocentro, el baricento, el incentro y el centro de la circunferencia de los nueve puntos están sobre el mismo punto. (e) En un triángulo isosceles el circuncentro, el ortocentro, el baricentro, el incentro y el centro de la circunferencia de los nueve puntos están sobre el mismo punto. (f) Si dos rectas son cortadas por una secante entonces los ángulos correspondientes son congruentes. (g) Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante entonces los ángulos alternos internos son congruentes. (h) Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno de ellos son congruentes con los tres lados correspondientes del otro. (i) Dos triángulos son congruentes si los tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos del otro. (j) Si en el triángulo DEF se tiene que \D = \E = \F entonces ese triángulo es isósceles.” (k) Un cuadrado es un rectángulo (l) Un rombo es un cuadrado (m) Un cuadrado es un rombo (n) Una mediana de un triángulo biseca a un ángulo del triángulo. (o) Una bisectríz de un triángulo biseca a un lado del triángulo. (p) Un diamétro de una circunferencia es una secante a la circunferencia. (q) Un radio es una cuerda de una circunferencia. 2. Es una proposición que exige demostración: a) Lema

b) Teorema

c) Axioma

d) Corolario

3. Elegir la opción correcta: (a)

i. Dos ángulos adyacentes son suplementarios ii. Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 360 iii. Toda secante forma con dos paralelos ángulo alternos diferentes a) Falso, falso, falso. c) Falso, verdadero, falso 4

b) Verdadero, falso, falso d) Verdadero, falso, verdadero.

4. Los triángulos acutángulos y obtusángulos se denominan también: a) Oblicuángulos

b) Semejantes

c) Escálenos

d) Isósceles

5. En dos triángulos iguales los elementos de los mismos que se corresponden en la igualdad se llama: a) Anfóteros

b) Simétricos

c) Thalesianos

d) Homólogos

6. La mediatriz de un segmento corta a este en un ángulo de: a)30

b) 45

c) 90

d) 0

7. Donde se cortan las mediatrices de un triángulo se llama: a) Incentro

b) Baricentro

c) Circunscentro

d) Ortocentro

8. En un triángulo rectángulo el ortocentro se localiza en: a) En el cruce de sus catetos c) Exteriormented)

c) Sobre la hipotenusa d) Dentro del triángulo

9. La recta de Euler no incluye al: a) Baricentro

b) Circuncentro

c) Incentro

d) Ortocentro

10. El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto se llama: a) cateto opuesto

b) cateto adyacente

c) hipotenusa

d) cateto

11. Un ángulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio es un: a) Grado centesimal

b) Ángulo del arco

c) Radian

d) Grado sexagesimal

12. Dos ángulos centrales son iguales si son: a) Adyacentes b) Iguales a la suma dividida por 1 radian

c) iguales los arcos d) Si contiene a dos radios

13. El punto de intersección de las tres alturas de un triángulo se llama: a) incentro

b) ortocentro

c) circuncentro

d) baricentro

14. El punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo se llama: a) incentro

b) ortocentro

c) circuncentro 5

d) baricentro

15. El punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo se llama: a) incentro

b) ortocentro

c) circuncentro

d) baricentro

16. Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios: a) ángulo central

b) ángulo inscrito

ángulo exterioc)

d) ángulo excéntrico

17. Es el triángulo que tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos: a)isósceles

b) escaleno

c) rectángulo

d) acutángulo

18. Los dos ángulos que sumados son igual a 180 : a) complementarios b) opuestos por el vértice

c) suplementarios d) alternos - externos

19. Al medir el contorno de una …gura geométrica obtenemos: a) área

b) perímetro

c) hipotenusa

d) lado

20. Al medir la super…cie de una …gura geométrica obtenemos: a) área

b) perímetro

c) hipotenusa

d) lado

21. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, el cuadrilátero debe ser un: a) rombo

b) cuadrado

c) paralelogramo

d) rectángulo

22. En el 4 ABC, AB = BC y el ángulo \B = 70 . ¿Cuál es la medida del \ A? a) 55

b) 70

c) 110

d) 60

23. Si las rectas horizontales de la grá…ca on paralelas, entonces la medida de los ángulos es: x - 34 x + 30

a) 88 y 92

b) 32 y 58

c) 122 y 58

d) 122 y 68

24. En la siguiente …gura tenemos un ángulo recto dividido en dos ángulos:

x 4x

a) 18 y 72

b)16 y 74

c) 14 y 76 6

d) 20 y 70

25. ¿Cuántos grados mide el ángulo BCD, si se sabe que el triángulo ABC es equilátero y el segmento CD es su altura? C

A

a) 45

B

D

b) 30

c) 60

d) 90

26. ¿Cuánto mide x en la siguiente …gura?

10

x 45° 5

a) 7.00

b)3.54

45° 3

c) 6.25

d) 5.83

27. TQRS es un paralelogramo. Si \T QS es igual a 40o y \T SQ es igual a 20o ¿cuántos grados mide \T SR? T

S

Q

a) 40

R

b) 20

c) 60

d) 120

28. Hallar el valor de los ángulos si < AOD = 23 x, < DOC = 62 x y < COB = 5x.

a) < AOD = 10, < DOC = 20 y < COB = 150 c) < AOD = 20, < DOC = 150 y < COB = 10

b) < AOD = 150, < DOC = 20 y < COB = 10 d) < AOD = 20, < DOC = 10 y < COB = 150

29. Hallar el valor de < ABC si AB ? AD, BC ? CD y < CDA = 150o

a) 90o .

b) 50o .

7

c) 30o

d) 35o .

30. Dada la …gura con < RP S = 60o , < SRP = 38o ; P S.k QT y P Q k ST . Calcule < QRT + < RQT .

a) 120

b) 98

c) 142.

d) 76

31. Si el < AOB = 80. Hallar el < ACB.

a) 180o .

b) 40o .

c) 280o

d) 80o

32. Si el ángulo AOB mide 72 , ¿cuánto mide el ángulo ACB? B

O A C

a) 36o .

b) 72o .

c) 40o

d) 144o

33. ¿Con cuáles de las siguientes longitudes no es posible construir un triángulo? a) 10, 8, 11

b) 6, 8, 10

c) 4, 4, 4

d) 10, 7, 3.

34. ¿Cuántas diagonales en total se pueden trazar en un polígono de 2000 lados? a) 1998000

b) 1997000

c) 1999000

d) 2001000

35. ¿De qué tamaño es el cordel que sujeta la caja?

10.2cm

SORPRESA

24.8 cm 37.5 cm

a)117.7 cm

b) 70.7 cm

c) 252.16 cm 8

d) 235.4 cm

36. Suponiendo que cada cuadrito representa 1 cm2 , el área de la siguiente …gura es igual a:

a) 18.5 cm2

b) 17.5 cm2

c) 22 cm2

d) no se puede calcular

37. ¿Cómo es el triángulo sombreado formado en un cubo según lo ilustra el dibujo?

a) isósceles

b) escaleno

c) rectángulo

d) equilátero

38. Si el radio de un círculo dado aumenta en 100%, el área aumenta: a) 100 %

b) 200 %

c) 300 %

d) 400 %

39. El número de triángulos isósceles con todos sus lados de longitudes enteras y perímetro igual a 13 cm, es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 40. Mientras el barco navega en la dirección AB, se observa el faro (F ) desde A. Después, cuando el ángulo visual se ha duplicado, la observación se hace desde B. La distancia, que recorre el barco de A a B se calcula por medio de la velocidad y el tiempo. De esta manera es posible encontrar la distancia del barco al faro. ¿Cómo es el triángulo ABF ? F

80°

40°

B

A

a) equilátero

b)escaleno

c) rectángulo

d) isósceles

41. Una persona que mide 1:75 m. proyecta una sombra de 0:50 m. sobre el piso ¿Cuál es la altura de un niño sí en ese mismo instante proyecta una sombra de 0:30 m?.D a) 1.05 m.

b) 1.02 m.

c) 0.98 m.

d) 1.15 m.

42. La razón entre las áreas de dos círculos es 9 a 4. ¿Cuál es la razón entre sus radios? a) 3 a 2

b) 9 a 4

9

c) 2 a 1

d)

a1

43. Un pedazo de cartulina en forma rectangular se enrolla para formar un tubo 32.5 cm de largo y 7.5 cm de diámetro. ¿Qué cantidad de cartulina se empleó para formar el tubo? a) 243.75 cm2

b) 765.8 cm2

c) 457.0 cm2

d) 914.1 cm2

44. Si AB // CD y AD // BC en la dibujo, ¿cuál de las siguientes a…rmaciones NO es verdadera? C

D

A

a) 4ACD = 4ACB.

B

b) 4ACD 6= 4ACB.

c) .

ACD =

CDA

d) .AC = DB

45. Si AB k CD y AD k BC en la grá…ca dada, ¿cuál de las siguientes a…rmaciones es verdadera?

a) 4ACD = 4ACB.

b) 4ACD 6= 4ACB.

c) .

ACD =

CDA

d) .AC = DB

46. Si el número de lados de un polígono convexo aumenta, la suma de las medidas de sus ángulos exteriores: a) aumenta

b) disminuye

c) es constante

d)no se sabe

47. Es la medida de cada ángulo interior de un octágono regular: a)

3

b)

3 2

c)

3 4

d)

2 3

48. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 135 ? a) 5

b) 8

c) 7

d) 10

49. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 140 ? a) 5

b) 10

c) 9

d) 8

50. El área, en cm2 , de un hexágono regular inscrito a una circunferencia de 5 cm de radio es p

a) 5 2 3

p

c) 152

b)30 10

3

d)

p 75 3 2

51. Determina el polígono regular cuya medida de uno de sus ángulos es de 140o a) Es un hexágono.

b) Es un heptágono.

c) Un octágono.

d) Es un nonágono.

52. El perímetro, en centímetros, con aproximación de dos decimales, de un octágono regular inscrito en un círculo de 12 cm de radio es p p p p p p a) 96 2 2 b) 12 2 2 c)96 2 2 d)144 2 2

53. ¿Cuál es el lado y la apotema de un hexágono regular inscrito en un círculo de 6 cm de radio? a) 6 y 3 cm.

b)6 y 5.19 cm.

c) 5.19 y 3 cm

d) 9 y 6 cm

54. La sombra de un monumento mide 10:6 m y la de una varialla vertical de 1m de altura, sutuada a su lado, en ese momento mide 40 cm. La altura del monumento es: a) 20 m.

b) 18 m.

c) 26:5 m.

d) 30 m

55. La …gura A es semejante a la …gura B mostrados en la …gura. Determinar las longitudes del lado b.

a) 17.00

b) 42.70

c) 47.17

d) 49.50

56. En la …gura se muestran dos torres, A de 30 m. de altura y B de 18 m. de altura, la separación entre ambas es de 42 m. Ambas tienen un re‡ector que les permite buscar a los presidiarios cuando se fugan. Si un presidiario es localizado en la línea que une las torres. ¿Qué distancia habrá de la torre B al punto donde fue localizado, para que los triángulos sean semejantes?

a)15.8 m

b) 18.0 m

c) 21.0 m

d) 26.2 m

57. Un triángulo tiene sus lados de longitud 12, 16 y 20 cm, respectivamente. El mayor lado de un triángulo semejante mide 15 cm.¿Qué longitud tienen los otro lados? a) 9 y 12 cm.

b) 6 y 8 cm.

c) 12 y 8 cm.

d) 9 y 18 cm.

58. Los lados de un triángulo son 4, 7 y 10 cm. El perímetro de un triángulo semejante es 31.5. ¿Qué longitud tienen los lados de este triángulo? a)6, 10.5 y 15 cm

b) 2.6, 4.6 y 6.6 cm 11

c) 7, 9, 15 cm

d) 10, 12, 9 cm

3

Trigonometría 1. La razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama: a) cosecante

b) tangente

c) seno

d) coseno

2. La razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama: a) cosecante

b) tangente

c) seno

d) coseno

3. La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama: a) cosecante

b) tangente

c) seno

d) coseno

4. La razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto se llama: a) cotangente

b) tangente

c) seno

d) coseno

5. La razón entre la hipotenusa el cateto adyacente se llama: a) cosecante

b) secante

c) seno

d) coseno

6. La razón entre la hipotenusa el cateto opuesto se llama: a) cosecante

b) secante

c) seno

d) coseno

7. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm., y uno de sus ángulos agudos mide 38 ¿Cuál es la longitud de cada cateto? a) 12 y 13 8. Si en el

b)15.39 y 12.3

c) 19.70 y 13.1

d) 15.39 y 19.70

ABC, ]A = 30 ; a = 15 y c = 10 entonces ] C = a) 27

b) 29 280

c) 19 280

d) 60

9. La diagonal mayor de un rombo mide 10 cm y la diagonal menor es igual al lado del rombo. ¿Cuánto mide el lado del rombo? p p p a) 10 3 b) 5 5 c) 10 d) 5 2 3 10. ¿Cuánto mide la diagonal según el dibujo? 4 3 12

a) 12

b) 12.4 12

c) 12.6

d) 13

11. Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edi…cio, de modo que del pie de la escalera al edi…cio hay 12 u. ¿a qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera si se forma un ángulo de 70o con el suelo? a) 11.27 u

b) 840 u

c) 4.1 u

d)32.96 u

12. Un astronauta ve desde su nave que la Tierra abarca un ángulo de 40o . ¿A qué altura se encuentra sobre la super…cie de la Tierra? El radio de la Tierra es de aproximadamente 6380 km. R

a)18653.87 km 13. Sabiendo que cos =

7 25

b) 1752891 km

7 25

d) 11148.91 km

y que tan < 0. ¿Cuál es el valor de sin ? a)

14. Sabiendo que sin =

c) 12273.87 km

24 25 .

b)

24 25 .

7 24 .

c)

7 24

d)

y que el cos < 0. ¿Cuál es el valor de la tan ? a)

24 25

15. Si el ángulo t es agudo y la cot t = a)

4 . 5

16. Si el ángulo t es agudo y la tan t = p 3 a) . 2

24 25

b) 3 4

7 24

c)

d)

7 24

calcula el valor de la csc t. b)

5 . 4

c)

4 . 5

d)

5 4

p

3 calcula el valor de la sin t. p 1 3 b) . c) . d) 2 2 2

17. Encontrar el valor exacto de la expresión 4 sin 45o + 2 cos 60o = p p p 2 a) 2 1. b) + 2. c) 6. d) 2 2 + 1 2 18. Encontrar el valor exacto de la expresión 5 sin 210 + 2 cos 60 = a)

3 . 2

b)

3 . 2

c)

2 . 3

d)

2 3

19. Encuentra el segundo miembro de sec2 x + csc2 x = a) sec2 x csc2 x.

c) sec2 x

b) 1.

13

csc2 x.

d)

1

20. El resultado de simpli…car la expresión sin4 x 2 cos2 x

a) 1

cos4 x es:

b) 1 + 2 cos2 x

c) 2

2 cos2 x

cos2 x

d) 1

21. La expresión.sin6 x + cos6 x es equivalente a : a) 1

sin2 x cos2 x

b) 1

3 sin2 x cos2 x

c) 1

3 sin x cos x

d) 1 + 3 sin2 x cos2 x

2

cos x 22. El resultado de simpli…car la expresión. 1+sin x es:

a) 1

sin x

b) cos x

1+senA 1 senA

23. La siguiente expresión

sec A tan A sec A+tan A

a) 2 + 4 tan2 A

d) 1 + sin2 x

c) 1 + cos x es equivalente a:

c) 2 tan2 A

b) 4 tan A sec A

d) 0

24. La gra…ca de la función y = 2 tan 3x tiene una asíntota en: a)

b)

3

c)

d) 2

6

25. Una solución de la ecuación 2 cos2 x + 2 cos x = 0 es: a) 0

b) 180

c) 360

26. ¿Qué ángulos satisfacen la siguiente ecuación sin x a)

1 4

27. Resuelve la ecuación

y

3 4

p

3 sin x

b)

1 4

y

5 4

c)

d) 30

sin x cot x = 0 1 4

y

3 4

d)

y2

3 cos x = 0. x 2 [0o ; 360o ]

a) 60o ; 120o ; 240o ; 300o ; 360o . 28. Una solución de la ecuación 2 cos2 x a) 60o .

b) 60o .

c) 60o ; 120o ; 240o .

d) 60o ; 240o

1 = 0 es: b) 180o .

c) 45o .

d) 90o

29. El extremo de un péndulo de 40 cm de longitud describe un arco de 5 cm. ¿Cuál es el ángulo de oscilación del péndulo? a) 0:125 .

b) 0:125 .

14

c) 12

d) 8

4

Problemas de planteamiento 1. En un circulo de 4.2 cm de radio, la cuerda AB mide 3.12 cm y la cuerda CD 6.8 cm de longitud. Calcular la distancia EF entre las dos cuerdas sabiendo que son paralelas. A

E

B D

C

F

2. En un corral de 20 m por lado, se amarra un borrego a cada esquina con una cuerda de 7 m ¿Cuál super…cie es mayor, la que es comida por los borregos o la restante? 3. Calcula b - a. x-1

x+1 a

b x

4. Considera un pentágono regular. Sobre el lado AB se traza el triángulo equilátero ABC. ¿Cuántos grados mide el ángulo CDB? 5. Un edi…cio rectangular (ABCD), se desea colocar una franja de tela a lo largo de la diagonal AC. En tal edi…cio se conoce que, los puntos ubicados a 2 m. del punto C sobre la base y a 5 cm del punto C sobre el lado CB se encuentra una barra que une a dichos puntos y es paralela a la diagonal DB. Calcular la longitud que debe tener la franja de tela.

6. En una torre de 30 m, se ha colocado una barra que soporta una lámpara a una altura de 20 m. Por razones de seguridad se tiene que colocar un cable CE, como lo indica la …gura. Calcular la longitud de dicho cable.

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7. La sombra de un monumento mide 10:6 m y la de una varialla vertical de 1m de altura, situada a su lado, en ese momento mide 40 cm. La altura del monumento es 8. Dos niños se encuentran a 6 metros de distancia uno del otro en la orilla de una fuente circular. Los ángulos formados entre la línea recta que une a los niños y las líneas que van de cada niño al centro de la fuente son de 35 . Encuentra el radio de la fuente.. 9. Desde lo alto de un alcantilado de 50m sobre el nivel del agua, el ángulo de depresión con que se localiza un barco es de 30 : ¿A que distancia del alcantilado se encuentra el barco? 10. Viendo la pirámide de Keops, en Egipto, se forma un triángulo isósceles, uno de cuyos lados iguales mide 188 m. El ángulo superior mide76o y el izquierdo mide 52o . Encuentra la longitud de la base y la altura de la pirámide. 11. De las pirámides de Egipto, la de Micerino es la más pequeña. Si nos paramos frente a ella, vemos un triángulo isósceles cuya base mide 108 metros y uno de los lados restantes mide 85:27 metros. Encuentra la altura de la pirámide y los ángulosde la base. 12. Una vía de ferrocarril se ha elevado 2 m en una longitud de 1800 m. ¿Qué ángulo forma con la horizontal? 13. La escalera de un camion de bomberos puede extenderse hasta una longitud máxima de 68 pies cuando se levante un ángulo máximo de 70o . La base de la escalera se colocó en el camión a 7 pies sobre el suelo. ¿Qué altura sobre el suelo podrá alcanzar la escalera? 14. En un puente peatonal que cruza una calle se ha colocado una lámpara con el …n de alumbrarla. El puente mide 4.5 metros de altura. El rayo de luz hacia cada una de las aceras forma ángulos que miden y , respectivamente. ¿Cuál es el ancho de la calle? 15. Tres circunferencias cuyos radios respectivos miden 1, 2 y 3 metros de diametros son tangentes exteriores entre si. ¿que ángulos forman al unirse los centros de las circunferencias? 16. Para medir el ancho del cráter de un volcán, desde un helicóptero se observa que, suspendido éste en el aire, se forma un ángulo de 42o entre el helicóptero y los puntos del cráter entre los que se quiere medir la distancia. Si el helicóptero se encuentra a una distancia de 22 m de uno de los puntos y a 35 del otro, ¿cuál es el ancho del cráter? 17. La distancia entre Pachuca y Querétaro es de 226 Km y la distancia entre Pachuca y el Distrito Federal es de 94 Km. Supongamos que podemos ir de un sitio a otro, en línea recta, y que las distancias han sido tomadas en esas condiciones. Si el ángulo formado por las líneas que unen a Querétaro con el Distrito Federal y a éste con Pachuca mide 57 , ¿Cuál es la distancia del Distrito Federal a Querétaro? 18. En un cierto día la distancia de un punto T en la Tierra a un punto S en el Sol es de 9:2 107 millas y la distancia de un punto M en Marte al punto S en el Sol es de 1:4 108 millas. Si el ángulo entre los segmentos T S y M S es de 60 ¿Cuál es la distancia entre la Tierra y Marte ese día? 19. Un automovilista viaja en una carretera plana hacia una montaña distante. En un punto A el ángulo de elevación entre el punto y la cima de la montaña es de 45o y 60 km adelante del punto el ángulo de elevación cambia de 45o a 60o . Encuentra la altura de la montaña. 16

20. El minutero de un reloj mide 9 centimetros y el horario mide 6 centimetros ¿qué distancia hay entre los extremos de las agujas a las 2 de la tarde? ¿que distancia hay entre los extremos a las 5 de la mañana. 21. Una catedral se encuentra sobre una colina , cuando se observa la parte superior del campanario desde la base de la colina, el ángulo de elevación es de 48 ; Cuando se ve a una distancia de 200 pies desde la base de la colina , es de 41 . La colina se eleva en un ángulo de 32 . Calcular la altura de la catedral

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Construcciones

Las construcciones indicadas en los siguientes problemas deben hacerse con regla y compás unicamente. 1. Utilizando unicamente regla y compás, construir un triángulo con un ángulo de 105o cuyos lados que conformen dicho ángulo midan 6 y 8 cm. Construya sobre este triángulo su circunferencia inscrita y su circunsferencia circunscrita. 2. Utilizando unicamente regla y compás, construir un triángulo con un ángulo de 105o cuyos lados que conformen dicho ángulo midan 6 y 8 cm. Construya sobre este triángulo el circuncentro, el ortocentro y el baricentro, una esto tres puntos para construir la recta de Euler. 3. Utilizando unicamente regla y compás, construir un triángulo con un ángulo de 120o cuyos lados que conformen dicho ángulo midan 6 y 8 cm. Construya la circunferencia de los nueve puntos. 4. Utilizando unicamente regla y compás, construir un triángulo con un ángulo de 120o cuyos lados que conformen dicho ángulo midan 6 y 8 cm. Construya el triángulo de Napoleón. Bibliografía: Niles, Trigonometría Plana, Limusa Noriega Moise - Downs. Geometría Moderna, Addison - Wesley Iberomericana Material seleccionado por los docentes: Antonio Cortés Rita Ochoa Cruz Francisco Arreola Víctor Larios Osorio Juventino Suárez Lopez Ellis Peñaloza Soberanes Héctor de la Rosa Arrieta

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