Bloque III. Sistema de ecuaciones

Tema 3 Método de eliminación de Gauss-Jordan

Ejercicios resueltos III.3-1 Resolver los siguientes sistemas, utilizando el método de eliminación de Gauss: 2x  6 y  a)

z



x  2y  z  5x  7 y  4z  2x

 3y

7  1  9 

8  b ) 4 x  5 y  z  15  2x  4z  1  

 z  2  c) 3 x  3 y  z  2  z  0  x x

d)



y

2x x  2y  y  2z z

  

y z t  2t

 0  0    0  5 

 0  e ) x  2 y  3z  0  3 x  5 y  7 z  1  

z

2x  6 y 

z

x



y

Solución

a) 

x  2y  z  5x  7 y  4z 

7  2 6 1   x   7         1    1 2 1    y    1  9   5 7 4   z   9 

1 | 7 2 6  1 2 1 | 1  F  F 2 F   F2  F1   2 2 1    1 2 1 | 1 2 6 1 | 7     F  F 5 F  5 7 4 |   9 9  3 3 1   5 7 4 |

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA

Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan

Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 1

1  0 0 

2 1 | 2 3

1 0  0 1 0 0 

1  F  F / 2  1 2  2 2  9  0 1 F3  F3  3 F2 / 2    14  0 0

3 | 1 | 4

|

3/ 2 | 1 |

1

1  F  F  2 F  1 1 2 9/2   2 55 / 2  F3 11 F3

|

3/ 2 | 11 / 2 |

10  F  F  4 F  1 0 0 | 10   x  10  1 1 3   9 / 2    0 1 0 | 3    y  3 3 5  F2  F2  2 F3  0 0 1 | 5   z  5

b) 2x

 3y

8  2   4 x  5 y  z  15    4 2x 1   2  4z 

2  4  2

3 0 | 8  F  F 2 F  2 3 0 | 8  F  F 3 F  2 2 1  3 3 2 5 1 | 15    0 1 1 | 1   F F  F 0 4 | 1  3 3 1  0 3 4 | 7 

2 F3  F3 3 F2   0 0 

3 0   x   8       5 1    y    1 5  0 4   z   1 



17  x 3 0 | 8  2   1 1 | 1    y  3 0 1 | 4   z  4  

c) x  y  z  2   1 1 1   x   2         3 x  3 y  z  2   3 3 1    y    2  x  z  0   1 0 1   z   0 

 1 1 1 | 2  F  F 3 F  1   2 2 1 3 3 1 | 2   F 0 F3  F1  3 1 0  1 | 0  0

F2  F3



1  0 0 

1 1 0

1 |

0 1

2  F F  2 3 4 | 4   2 | 2 

1 | 2  x  1   2 | 2    y  0 4 | 4   z  1

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Ana Isabel Allueva Pinilla

1

Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan

– José Luis Alejandre Marco

MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 2

d)

2x  x  2 y  y 

 2   1  0  0 

2z z

y z

 t  2t

1 2

0 1

1 0

2 1

2 1 3 2

 0   2 1 0    0   1 2 1   0   0 1 2    5   0 0 1

0 | 0  1  F1  F2  0 | 0  2 1 | 0    0   0 2 | 5  

 1   0  0  0 

1 0

2 1

| 0  1  F2  F3  | 0  0 1 | 0    0   0 2 | 5  

 1   0  0  0 

2 1 0 0

1 2 4 1

0 1 3 2

 1   0  0   0

2

1

1

2 1 0

0 | 0  t  4  1 | 0   z  3  2 | 5  y  2  5 | 20   x  1

0 0

0 0

| | | |

0  1  F3  F4  0  0 0   0   0 5  

2 1

1 0

1 0

2 1

2 1

1 2

2 1 0 0

3 2 0 1 1 2 1 4

0  x  0      0  y  0   1   z   0       2   t   5  0 | 0  0 | 0  F2  F2 2 F1 1 | 0    2 | 5  0 | 0  1 | 0  F3  F3 3 F2 0 | 0   2 | 5  0 1 2 3

| | | |

0  0  F4  F4  4 F3 5   0 

e) x  y  z  0  1 1 1   x   0         x  2 y  3z  0    1 2 3    y    0  3 x  5 y  7 z  1   3 5 7   z   1   1 1 1 | 0  F  F  F  1 1 1 | 0  F  F 2 F  1 1 1 | 0    2 2 1  3 3 2  1 2 3 | 0 0 1 2 | 0    F  F 3 F    0 1 2 | 0 3 5 7 | 1 3 3 1 0 2 4 | 1 0 0 0 | 1        NO EXISTE SOLUCION

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA

Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan

Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 3

III.3-2 Estudiar y resolver cuando sea posible, los siguientes sistemas:  z  2  a ) 3 x  3 y  z  2 x  z  0 

b)

x



x

2 y 5 z

y

t

2u 

y 2 z  t 2 x 3 y 4 z 2t

4 u  u 

c)

x  2 y  3z  2x  z  x  y  2 y  4z

d)

x  y 3t  u  y 2 z  t x 4 x 2 y 6 z 3t 4 u 2 x 4 y 2 z 4 t 7u

3   1 9 

0 3   0 4 

   

3  1   3 4 

   

Solución

a)

x  y  z  2   1 1 1   x   2         3 x  3 y  z  2   3 3 1    y    2  x  z  0   1 0 1   z   0 

 1 1 1 | 2  F F 3 F   2 2 1 3 3 1 2 |   F 1 0  3 F3  F1 1 0 |  

1  0  0

1 0 1

1 | 2  4 | 4  2 | 2 

rango  A   3 Sistema    rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3  compatible  determinado  variables  3 x  y  z  2  x  1   z  1   y  0  y  2 z  2   z  1 2 y 5 z  t y 2 z  t 2 x 3 y 4 z 2t x

b)

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Ana Isabel Allueva Pinilla

2 u  4 u  u 

3   1 9 

Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan

– José Luis Alejandre Marco

MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 4

2 1   0 1  2 3 

1  0 2 

5 2 4

2

5

1 3

2 4

F3  F3  7 F2



 x 1 2   y   3     1 4    z    1    2 1   t   9  u  

1

2 | 3  F  F 2 F  1 2 5  3 3 1 1 4 | 1  0 1 2  0 7 14 2 1 | 9  

1

2 | 3   1 4 | 1  4 5 | 15 

2 | 3   1 2 5 1    0 1 2 1 4 | 1    0 0 0 11 33 | 22   

rango  A   3 Sistema   rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3  5  compatible  indeterminado  variables  5 x  2 y  5 z  t  2u  3 t  2  3u   y  2 z  t  4 u  1   y  2 z  u  1 t  3u  2   x  z  u  1

c)

x  2 y  3z  2x  z  x  y  2 y  4z  1   2  1  0 

2 0 1 2

2 1   0 2 0 3  0 4 

   

0  1  3   2  0   1  4   0

3 | 0 1  F2  F2 2 F1  1 | 3  0  0 | 0  F3  F3  F1  0   0 4 | 4   3 | 4 | 3 |

0  1  1 F  F  4 2 2 2 0 0   0   0 7 | 3  

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA

2 0 1 2 2 4 3 2

3   0   x   1     3   y  0     0    z    4   4 3 | 0  7 | 3  F4  F2 3 | 0   4 | 4 

2 3 | 0  1 2 | 2  F3  F3 3 F2 3 3 | 0  F4  F4  4 F2  4 7 | 3 

Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan

Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 5

1  0 0  0

2 3 | 0 1  F3  F4  1 2 | 2  0  0 0 3 | 6   0 1 | 5 0

2 3 | 0 1  F4  F4 3 F3  1 2 | 2  0  0 0 1 | 5   0 3 | 6 0

2 3 | 0  1 2 | 2  0 1 | 5  0 0 | 9 

rango  A   3  Sistema  rango  A | B   4  rango  A   rango  A | B    incompatible   3 variables 

d)

1  1 4  2 

y y

3t 2 z

4 x 2 y 6 z 2 x 4 y 2 z

3t 4 t

x x

1 1 2 4

0 2 6 2

3 1 3 4

1 0 4 7

u t 4 u 7 u

   

| 3  1 0 1  F2  F2  F1  | 1  2  0 2  | 3  F3  F3  4 F1  0 6 6  F  F 2 F   | 4 4 4 1 0 2 2

1 1  F3  F3  3 F2  0 2  0 F4  F4  F2  0  0 0

0 3 1 2 2 1 0 9 3 0 12 4

| | | |

1 1  F4  F4  F3 0 2   0 0  0 0 

0 2 0 0

| 3   | 2  | 3  | 0 

3 2 3 0

3  1   3 4 

1 1 1 0

3  1  1 1  F3  3 F3  2  0 2  9  F 1 F  0 0  4 4 4  12  0 0

3 2 15 10 0 2 0 0

1 1 0 5

| | | |

3   2 15   10 

3 1 | 3   2 1 | 2 3 1 | 3  3 1 | 3 

rango  A   3 Sistema   rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3  5  compatible  indeterminado  variables  5

7t  2 z  7  x  2 x  y  3t  u  3  2 z  5t  5   2 y  2 z  2 t  u  2    y  2 3t  u  3   u  3t  3   Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA

Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan

Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 6

III.3-3 Estudiar y resolver, cuando sea posible, los siguientes sistemas en función del valor de los parámetros:  2z  2  a ) 2 x  3 y  z  5 3 x  4 y  z  c  

x

0  z  2  0 y  az  b 

x  x 

x



1   ay  z  a   y  az  a 2 

ax  x

1

y 

b) x 

c)

y

y



z



Solución

a) x

 2z  2  1 1   2 x  3 y  z  5   2 3 3 x  4 y  z  c   3 4 

y

2  x  2      1    y    5  1   z   c 

1 1  2 3  3 4

2 | 2  F  F 2 F  1 1 2 | 2  F F F  1 1 2 | 2   2 2 1  3 3 2  1    0 1 5 | 1  1 | 5    0 1  5 | F  F 3 F 0 0 1 | c  3 3 1  0 1 5 | c  6  0 | c  7   rango  A   2  i ) Si c  7  rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   variables  3

Sistema  incompatible rango  A   2  ii ) Si c  7  rango  A | B   2  rango  A   rango  A | B   2  3  variables  3 Sistema x  y  2z  2    compatible y  5z  1 indeterminado  Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Ana Isabel Allueva Pinilla

  x  1  7z     y  5z  1

Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan

– José Luis Alejandre Marco

MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 7

b) 0  1 1   z  2  0   1 0   y  az  b  1 1

x 

y 

x  x 

1 1  0 1 1 1 

F3  F3  2 F2



1



0 | 1  F  F  F  1  2 2 1 1 | 2    0 F F F a | b  3 3 1  0 1  0 0 

1 1 2

0   x   1       1    y    2  a   z   b 

0 |

1  F  F  2 F  3 3 2 1 | 1   a | 1  b 

0 | 1  1  1 1 | 1   0 a  2 | 3  b 

rango  A   3  i ) Si a  2  rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3  variables  3

1  2a  b  x  a 2 x  y  1  Sistema   1a b  y  z  1   y   compatible  a2 determinado  a  2  z  3  b   3  b  z  a  2  ii ) Si a  2  rango  A   2

) Si b  3  rango  A | B   3 rango  A   2  Sistema rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B    incompatible  variables  3  ) Si b  3  rango  A | B   2 rango  A   2  rango  A | B   2  rango  A   rango  A | B   2  3  variables  3 Sistema x  y  1  x  z  2   compatible    y  z  1  y  z  1 indeterminado  Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA Ana Isabel Allueva Pinilla

Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan

– José Luis Alejandre Marco

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Ejercicios resueltos 8

1  a    ay  z  a    1  y  az  a 2   1

ax 

c)

x x

y



z



1

1  x  1       a 1  y    a  1 a   z   a 2 

 a 1 1 | 1  F  F  1 a 1 | a  F F aF   1 2  2 2 1 1 a 1 | a a 1 1 | 1      1 1 a | a2   1 1 a | a 2  F3  F3  F1     a 1 | a  F F  1 a 1 | a  F  F 1 a  F 1 2 2 3    3 3 2 2  2 0 1 a 1 a | 1 a 0 1 a a 1 | a a            0 1  a a 1 | a2  a   0 1  a2 1  a | 1  a2     

 2 a  1 a  a  2  0    1  a 1 | a a  2     a 1 a2  a | 0 1 a     2 a 1 0 a 2  a  2 | 1  a  1  a   1  a 2 1  a   0   0  a  1 i ) Si a  1, 2   rango  A   3 Sistema    rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3  compatible   determinado variables  3

rango  A   1  ii ) Si a  1  rango  A | B   1  rango  A   rango  A | B   1  3  variables  3

Sistema 1 1 1 | 1      compatible  0 0 0 | 0  x  y  z 1  x 1 y  z indeterminado 0 0 0 | 0    rango  A   2  iii ) Si a  2  rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   variables  3 1 Sistema    0 incompatible  0  Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA

2 3 0

1 | 2   3 | 6  0 | 3 

Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan

Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco

MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza

Ejercicios resueltos 9