Resumen: Tipos de movimientos rectilineos

Gymnázium Budějovická

Boletín de Problemas de Cinemática I. Resueltos Nota: Solo están resueltos los problemas numéricos los de teoría los hemos visto en clase.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): Recuerda las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme son:

x(t) = x 0 + v 0 ·t v(t) = v 0 = constante La primera de las ecuaciones nos da la posición del cuerpo (x) para cada instante de tiempo (en un sistema de referencia con solo una coordenada) y se suele llamar ecuación del movimiento. •

Si queremos saber la distancia recorrida entre dos instantes de tiempo:

∆s = ∆x = v 0 ·∆t = v 0 ·(t 2 - t1 ) •

Si queremos saber cuanto tiempo tarda el cuerpo en ir de una posición x1 a una x 2 :

∆t = (t 2 - t1 ) = •

x 2 − x1 v0

Si tenemos dos móviles que van a encontrarse, y queremos saber cuando y donde ocurrirá, tendremos resolver la ecuación que se obtiene al igualar sus posiciones (sus ecuaciones de movimiento). Si se encuentran es que están en el mismo punto (en la misma posición) luego:

x1 (t) = x 01 + v 01 ·t x 2 (t) = x 02 + v 02 ·t

⇒ x1 (t) = x 2 (t)

⇒ t=

v 2 − v1 x 01 - x 02

6. Un ciclista es capaz de moverse constantemente a 18 km/h. ¿A qué hora deberá partir de un lugar situado a 50 km de su casa, si quiere estar allí a las 5 de la tarde?

y Datos: Con el sistema de referencia elegido en el dibujo los datos x quedarían así: x0=0 x=50Km • v=18Km/h • Posición inicial: x0=0Km ∆s=50Km • Posición final: x=50Km , • Instante de tiempo final: t=17:00h • Intante de tiempo inicial: t0? Nota: No hace falta cambiar de unidades podemos trabajar con Km y h Resolución: conocemos todos los datos en la ecuación de movimiento

x(t) = x 0 + v 0 ·(t - t 0 ) ⇒ 50 = 0 + 18·(17 - t 0 ) ⇒ t 0 = 17 − El ciclista tiene que salir en el instante de tiempo:

50 = 17 − 2,78h = 14,22h 18

t 0 = 14,22h = 14h 13,2 min = 14h 13 min y 12s

Otra forma de hacerlo (parecida a la que usabais el año pasado) sería:

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Distancia recorrida: ∆s = 50 Km

∆s = v 0 ·∆t

⇒ ∆t =

∆s 50 = ≈ 2,78h = 2h y 46,8 min v 0 18

El ciclista tiene que salir 2horas y 46,8 minutos antes de las 17:00 esto es:

t 0 = 17h − (2h + 46,8 min) = 14h y 13,2 min

7. La velocidad de la luz es constante y tiene un valor cercano a los 300.000 km/s. La velocidad del sonido en al aire, en las condiciones habituales, es de unos 340 m/s. Sabiendo que la luz del sol tarda en llegar a la Tierra 8 minutos y 20 segundos ¿durante cuánto tiempo tendría que estar moviéndose el sonido para cubrir una distancia igual a la Sol- Tierra?

Datos:

Km 1000m = 3·10 8 m / s · s 1Km

•

v luz = 3·10 5

• •

vsonido=340m/s

∆t = 8 min + 20s = 500s

Resolución:

∆ssol −tierra = v luz ·∆t = 1,5·1011 m = 150000000Km ⇒ ∆tsonido =

∆s v sonido

=

1,5·1011 ≈ 4,41·108 s 340

∆tsonido ≈ 4,41·10 s ≈ 1,22·10 h ≈ 5106dias ≈ 14,14años 8

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8. Si la posición de un móvil en función del tiempo “x(t)” es x(t)= 5t + 1, (a esta expresión se le suele llamar ecuación de movimiento del móvil) se pide: a. Posición inicial y distancia recorrida en 10 segundos; b. ¿Cuándo estará el móvil situado a 10 m a la derecha del origen del sistema de referencia? c. ¿Cuándo estará situado el móvil a 10 m a la izquierda del punto de referencia? d. ¿Se cruzaría ese móvil con otro que circulara por su misma trayectoria y que tuviera de ecuación x2(t) = t + 7? En caso afirmativo, indica cuándo sucede eso y dónde.

Datos: •

x(t) = x 0 + v 0 ·t = 5t + 1

Resolución: a) x 0 = x(t = 0) = 5·0 + 1 = 1m , x(t = 10) = 5·10 + 1 = 51m , ∆s = x f − x 0 = 51 − 1 = 50m

x(t ) = 10 = 5·t + 1 ⇒ t =

9 = 1,8s 5 − 11 c) x=-10m ¿t? x(t ) = −10 = 5·t + 1 ⇒ t = = −2,2s 5 b) x=+10m ¿t?

¿Qué significa un tiempo negativo? Que el instante en que eso ha ocurrido es anterior a nuestro tiempo inicial, ocurrió antes de que nosotros empezáramos a “estudiar” ese movimiento. 9. Calcula el espacio recorrido en 12 segundos por un objeto móvil que tiene la siguiente ecuación de movimiento y(t) = 2t – 5.

Datos: •

∆t = 12s

¿ ∆s ?

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∆s = ∆x = x 2 − x1 = ( x 0 + v 0 ·t 2 ) − ( x 0 + v 0 ·t 1 ) = v 0 ·(t 2 - t 1 ) = v 0 ·∆t ∆s = ∆x = x 2 − x1 = (−5 + 2·t 2 ) − (−5 + 2·t 1 ) = 2·(t 2 - t 1 ) = 2·∆t = 2·12 = 24 s Evidentemente todo este “rollo” solo se pone una vez para que los veáis, sería suficiente con decir:

∆s = 2·∆t = 2·12 = 24 s

“la velocidad es 2m/s por lo tanto:

10. Un vehículo tiene la siguiente ecuación de movimiento: x(t)= 12 – 4t ¿Qué distancia recorrerá entre los segundos 3 y 9 que está en circulación? ¿Y entre los instantes 2 y 10?

Datos: • •

t 1 = 3s t 2 = 9s

¿ ∆s ?

∆s = ∆x = y 2 − y1 = (12 − 4·t 2 ) − (12 − 4·t 1 ) = −4·(t 2 - t 1 ) = -4·(9 − 3) = −24m No tiene mucho sentido hablar de una distancia negativa, si tiene sentido en cambio hablar de posiciones negativas, por este motivo habría que tomar el “valor absoluto” de este cáculo Evidentemente todo este “rollo” solo se pone una vez para que los veáis, sería suficiente con decir:

∆s = 4·∆t = 4·6 = 24s

“la velocidad es 4m/s por lo tanto:

NOTA importante: Estos ejercicios pueden parecer un poco tontos. Pero veremos que en el MRUA las distancias recorridas entre, por ejemplo, los instantes de tiempo 3s y 6s no será la misma que la distancia recorrida entre los instantes de tiempo 5s y 8s. Aunque en ambos casos el intervalo de tiempo es el mismo 3s. 11. En el instante de comenzar el estudio de un movimiento, un objeto se encontraba a 4m a la izquierda de un punto elegido como referencia (como origen del sistema de referencia) y moviéndose con una rapidez constante de 12 km/h hacia la derecha de ese mismo punto. Encontrar la ecuación de su movimiento (la posición x en función del tiempo) y hacer una gráfica (a) posición-tiempo y (b) celeridad-tiempo para ese móvil. ¿Qué distancia recorrerá ese vehículo entre los instantes 4s y 9s? ¿Llegará a pasar por el punto de referencia elegido?

Datos:

Km 1000m 1h 12 v 0 = +12 · · = m / s ≈ 3,33m / s h 1Km 3600s 3,6 x 0 = −4m

v0=12Km/h x=-4m

Resolución: Ecuación del movimiento: x(t) = x 0 + v 0 ·t = −4 + 3,33·t

y x

x=0 x0=-4m

Gráficas: v(t) (m/s)

x(t) (m)

v0=3,33m/s x0=-4m

1,20s

t (s)

t (s)

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12. Dos automóviles salen al mismo tiempo de dos ciudades A y B, separadas 192 km por una carretera recta. El primero sale de A hacia B con una celeridad (módulo de la velocidad) de 75 km/h. El segundo sale de B hacia A con 85 km/h. a. Haz un esquema (dibujito) con la situación y sitúa el origen del sistema de referencia en una de las dos ciudades (A por ejemplo) b. ¿en qué punto e instante se encuentran?; c. representa en una gráfica s-t el movimiento de los dos vehículos.

y

v1

v2

x01=0Km

x02=192Km

x

Datos: Con el sistema de referencia elegido los datos quedarían: • v1 = +75 Km / h , x 01 = 0 Km •

v 2 = −85 Km / h , x 02 = 192 Km

Resolución: Primero tenemos que escribir las ecuaciones de movimiento (la posición de cada coche en función del tiempo) respecto del sistema de referencia elegido. Si los coches se encuentran, es que sus posiciones son las mismas en ese instante:

x1(t) = 0 + 75·t x 2 (t) = 192 − 85·t

⇒

x1(t) = x 2 (t)

⇒ 75t = 192 − 85t ⇒ t =

192 = 1,2h 75 + 85

Y la posición o punto en el que se encuentra se obtiene sustituyendo este tiempo en cualquiera de las dos ecuaciones de movimiento (obviamente tiene que obtenerse el mismo resultado con cualquiera de las dos): Gráficas:

x1(t = 0,833 ) = 0 + 75·1,2 = 90 Km x 2 (t) = 192 − 85·1,2 = 90 Km

x(t)(km) x02=192km

x1

x=90km

x2 t=1,2h

t (s)

13. Dos ciudades están separadas una distancia recta de 60 km. Por una de ellas sale pasa un vehículo con una celeridad constante de 40 km/h alejándose de las dos ciudades. Justo en el mismo instante, por la otra ciudad pasa otro vehículo a 70 km/h alejándose de las dos ciudades. ¿Qué distancia separará a ambos vehículos 8 minutos después? ¿Cuándo la distancia que separa a ambos será de 210 km?

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14. En un safari fotográfico un osado turista se aleja 25 m del autobús para sacar unas fotos. A 320 m del autobus (en la misma línea autobús-turista), una hambrienta leona lo ve e inicia su persecución a 90 km/h, mientras que el intrépido y asustado turista regresa a toda prisa al autobús a 13 km/h. Admitiendo que las celeridades de ambos seres fueran constantes desde el principio, ¿almuerza turista la leona?

y

x

25m 320m

Datos: Con el sistema de referencia elegido los datos quedarían: • v1 = −13Km / h = −3,6m / s , x01 = 25m •

v2 = −90 Km / h = −25m / s ,

x02 = 320m

Resolución: Primero tenemos que escribir las ecuaciones de movimiento (la posición de cada móvil en función del tiempo) respecto del sistema de referencia elegido y después estudiaremos donde y cuando se encontrarían (imponiendo que sus posiciones son iguales):

x1(t) = 25 − 3,6·t x2(t) = 320 − 25·t

⇒

x1(t) = x2(t)

⇒

25 − 3,6t = 320 − 25t ⇒ t =

295 ≈ 13,79s 21,4

La posición en la que se encontrarían el turista y la leona la podemos encontrar sustituyendo este valor de t en cualquiera de las ecuaciones de posición. Si la posición donde se encuentran es positiva significará que esto ocurrirá a la derecha del autobús y que por tanto la leona habrá tenido tiempo para alcanzar al turista almorzará turista. Si, en cambio, la posición es negativa significa que la leona tendría que correr hasta pasar el autobús (a la izq de éste) para alcanzarlo y por lo tanto no cenará puesto que el turista llegará antes al autobus:

x1(t = 13,8s) = 25 − 3,6·13,79 ≈ −24,64m x2 (t = 13,8s) = 320 − 25·13,79 ≈ −24,75m (la diferencia en los resultados se debe a que solo hemos cogido dos decimales) Otra opción para hacer el problema sería averiguar cuanto tiempo necesita el turista y la leona para llegar al autobús y compararlos. Esto lo podríamos hacer de la siguiente manera:

x1(t) = 0 ? 25 − 3,6·t1 = 0 ⇒ t1 = 6,94s x2(t) = 0 ? 320 − 25·t2 = 0 ⇒ t2 = 12,8s

(el turista llega antes)

15. Por cierta ciudad pasa un motorista con una rapidez constante de 80 km/h. Diez minutos más tarde, por la misma ciudad pasa un auto con una rapidez constante de 110 km/h en persecución del motorista. Usando las ecuaciones del movimiento determinar cuándo y dónde lo alcanza. (esta hecho en la presentación) t=10minutos

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16. CUESTIONES: (Justifica tus respuestas.) a. En un movimiento rectilíneo ¿Dependerá el signo de la velocidad de dónde situemos el punto de referencia?;

No, el signo de la velocidad depende de su sentido no de donde este situado el origen del sistema de referencia.

b. ¿Dependerá la distancia o espacio recorrido de dónde situemos el punto de referencia?; No, la distancia recorrida solo tiene que ver con el valor de la celeridad y el tiempo que transcurre, independientemente de la situación del sistema de referencia c. ¿Dependerá el tiempo medido en un movimiento de dónde situemos el punto de referencia?

Tampoco, esta pregunta es un poco tonta y casi se explica por si misma

d. ¿Dependerá la posición de un móvil de dónde situemos el punto de referencia?

Si, la posición de un móvil es algo relativo y se fija siempre respecto de un punto que elegimos como origen del sistema, por lo tanto el valor de la posición claro que depende de donde situemos este punto.

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