1

Los números reales

1.1. Los números reales

Números reales: ⺢ Racionales: ⺡

El conjunto de los números reales está formado por los números racionales y los irracionales. Se representa por la letra ⺢

1/2

° Enteros ° Naturales ⺞: 0, 1, 2, 3, … ° § Racionales § ⺪ ¢ Negativos: … – 3, – 2, – 1 £ § ¢ Reales § ⺡ § Fraccionarios: – 3 , – 1 , 2 , 7 , … ⺢ ¢ § £ 4 3 6 2 § 3 § Irracionales: π, e, f, √2 , √5 , … £

)

– 54

– 7/3 – 23/47

Irracionales √2

√3

3

√5 3

7,12345678… f

√7 π

a) Para que escriba directamente las fracciones impropias: MODE (DISP) 1 (d/c) 2 b) Para que utilice la coma como notación decimal: MODE (DISP) 1 䉴 (Comma) 2

Æ

1.2. Factorial de un número El factorial de un número natural es el producto de dicho número por todos los números naturales menores que él hasta el uno. Se representa por n! n! = n · (n – 1) · (n – 2) ··· 3 · 2 · 1 Ejemplo 0! = 1

– 1/3

Configura la calculadora

( 1 ab/c 6 + 3 ab/c 4 ) Ô 3 ab/c 2 = 11 – 18

Calcula el factorial de 5: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

37

–7

e

1 + 3 : 3 = 2 + 9 · 2 = 11 · 2 = 22 = 11 6 4 2 12 3 12 3 36 18

Casos particulares:

5

4/13

Operaciones con fracciones

– 3/7 –3

Naturales: ⺞ 1 2 0

1/7

Los números racionales son los números enteros, los decimales exactos y periódicos. Los números irracionales son números decimales no exactos, ni periódicos.

(

–2

–1 4/5

– 2/3

Enteros: ⺪

5 x! =

120 Aconsejamos la calculadora Casio fx-82MS

1! = 1

1.3. Número combinatorio

()

()

m m m! El número combinatorio — se lee m sobre p, y se define por la fórmula: — = ————— p p p!(m – p)! En la práctica, un número combinatorio se calcula de la siguiente manera: a) En el numerador se multiplican p factores, empezando en m y disminuyendo de uno en uno. b) En el denominador se calcula el factorial de p Ejemplo

()

8 = 8 · 7 · 6 = 56 3 3·2·1

8

8 nCr 3 = 56

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© Grupo Editorial Bruño, SL. Ampliación de Matemáticas de 4º ESO. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez

Propiedades de los números combinatorios

()(

m m a) — = ——— p m–p

)

()(

)(

m m–1 m–1 b) — = ——— + ——— p p p–1

)

1.4. Sucesiones de números reales Una sucesión de números reales es un conjunto de números reales ordenado. El término general de una sucesión se representa por an Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor que el anterior. Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor que el anterior. Una sucesión es monótona cuando es creciente o decreciente. Una sucesión está acotada superiormente cuando existe un número real K que es mayor o igual que todos sus términos. Una sucesión está acotada inferiormente cuando existe un número real k que es menor o igual que todos sus términos. Ejemplo Calcula los 10 primeros términos de la sucesión an = 2n + 3. ¿Es creciente o decreciente? 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 Es creciente.

Límite de una sucesión El límite de una sucesión es el valor al que se aproxima la sucesión cuando n toma valores muy grandes. Se representa por lím an y se lee “límite de a sub n cuando n tiende a más infinito”. El límite puede ser un @ n 8 +@

número real, o bien más o menos infinito. Ejemplo Mediante la calculadora halla los términos de lugar 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = 3n – 1 . A la vista del n+2 resultado obtenido halla intuitivamente lím 3n – 1 n 8 +@ n + 2 a10 = 2,41667; a100 = 2,93137; a1 000 = 2,99301. A la vista de los resultados obtenidos, el límite pedido es 3

1.5. El número e El número e viene definido por el siguiente límite. Es un número irracional. 1 n e = lím 1 + — = 2,71828182… n 8 +@ n

( )

( )

La sucesión an = 1 + 1 n Ejemplo

n

es monótona creciente y está acotada superiormente por 3; por tanto, tiene límite.

( )

Mediante la calculadora halla el término de lugar 1 000 000 de la sucesión an = 1 + 1 n a1 000 000 = 2,718280469; vemos que tiene 6 dígitos exactos. 1. LOS NÚMEROS REALES

n

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1. LOS NÚMEROS REALES Paso a paso 1

Calcula:

3

(

)

1 + 3 : 3 6 4 2

Solución: a) Elige b) Para escribir cada línea de comentario, elige Comentar (Ctrl + T). Escribe en un solo bloque el número y el título del tema, el nombre de los dos alumnos y Paso a paso. Para pasar de una línea a la siguiente, sin cambiar de bloque, pulsa [Intro]

4

2

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico: 24 11 Solución: a) Escribe: precisión(15) b) En la fracción, después del 24 va un punto para que dé el resultado como decimal.

()

Calcula 8 3 Solución: En

5

c) Haz clic en Calcular para crear nuevo bloque. d) Elige Comentar y escribe: Ejercicio 1 e) Pulsa [Intro] para cambiar de línea dentro del mismo bloque. f ) Para elegir un tamaño de paréntesis que se ajuste a su contenido, en elige Paréntesis, y para escribir la fracción, elige Fracción g) Haz clic en Calcular

Calcula el factorial de 5 Solución:

elige

Halla los 10 primeros términos de la sucesión: an = 2n + 3 ¿Qué es: creciente o decreciente? Solución: Escribe la función aplicar_función, Apunta a está en

6

Mediante Wiris halla los términos de lugar 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = 3n – 1 . A la n+2 vista del resultado obtenido, halla intuitivamente lím 3n – 1 n 8 +@ n + 2 Solución: Después de la sucesión escribe la lista [10, 100, 1 000]

7

Calcula el siguiente límite:

( )

1+ 1 n 8 +@ n ¿Qué número se obtiene? lím

Solución: En elige to positivo está en

10

Combinaciones

n

Límite. El

Infini-

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Linux/Windows Plantea el siguiente problemas y resuélvelo con ayuda de Wiris: 9 8

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del número e y clasifícalo como racional o irracional: Solución: En

elige

Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: 12 = 12 x–2 x+2

( )( )

Solución: Planteamiento: x + 2 = 12 – (x – 2) En elige escribe la ecuación.

Número decimal e

10

y

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

Así funciona Menú edición Comentar (Ctrl+T)

Menú análisis Límite

Menú combinatoria Combinaciones

Menú operaciones Paréntesis

Fracción

Menú símbolos Apunta a

Infinito positivo

Número e

Número decimal PI

Número decimal e Número PI

Notación decimal en Wiris Wiris utiliza como notación decimal el punto (.), en vez de la coma (,). En Wiris, para obtener un resultado con decimales, es suficiente con añadir a uno de los números de la operación un punto de decimal al final. Wiris utiliza la función precisión(n) para indicar el número de cifras significativas con las que deseamos trabajar. El mayor valor que puede tomar n es 15. Esta función solo tiene efecto dentro del bloque en la que está definida. Devuelve el número de cifras significativas que había anteriormente; por defecto son 5 El número π y el número e En se elige Número decimal PI si se quiere la expresión decimal o Número PI si no se quiere la expresión decimal. De la misma forma, se elige Número decimal e, o bien Número e Términos de una sucesión Se emplea la función aplicar_función, que calcula los términos de una sucesión dada por una fórmula.

1. LOS NÚMEROS REALES

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Linux/Windows Practica con Wiris 2 7 3 5 · – : = 3 4 8 4

( )

4 9 5 – · = 3 4 6

11

Calcula:

13

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:

12

Calcula:

67 = 12 14

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico: 284 = 3

15

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del número áureo o de oro y clasifícalo como racional o irracional: Ä 1 + √5 = 3

16

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional o irracional: π =

17

Calcula: 6! =

18

Calcula: 8! =

19

Calcula:

()

20

Calcula:

21

Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = n2 + 3. ¿Es creciente o decreciente?

22

Halla los 10 primeros términos de la sucesión an =

23

Halla

7 = 5

6n – 3 = n 8 +@ 2n + 5 lím

24

()

12 = 6

(–n)n . ¿Es creciente o decreciente? n

Halla

n2 = n 8 +@ n + 1 lím

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 25

Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad:

( )( ) 9 9 = x–5 x–2

Planteamiento: 26

12

Solución: x =

Resuelve la ecuación x2 – x – 1 = 0. La solución positiva ¿qué número real es?

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Ejercicios y problemas Practica con bolígrafo y papel 11

Calcula:

2 7 3 5 · – : = 3 4 8 4

12

Calcula:

4 9 5 – · = 3 4 6

13

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico:

( )

67 = 12

14

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como periódico: 284 = 3

15

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del número áureo o de oro y clasifícalo como racional o irracional: Ä 1 + √5 = 3

1. LOS NÚMEROS REALES

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Ejercicios y problemas 16

Halla la expresión decimal con 15 dígitos del siguiente número y clasifícalo como racional o irracional: π=

14

17

Calcula: 6! =

18

Calcula: 8! =

19

Calcula:

()

20

Calcula:

()

21

Halla los 10 primeros términos de la sucesión an = n2 + 3. ¿Es creciente o decreciente?

22

Halla los 10 primeros términos de la sucesión an =

7 = 5

12 = 6

(–n)n . ¿Es creciente o decreciente? n

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23

6n – 3 Halla los términos 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = . A la vista de los resultados obteni2n +5 dos, halla el siguiente límite: a10 = a100 = a1 000 = 6n – 3 = n 8 +@ 2n + 5 lím

24

n2 Halla los términos 10, 100 y 1 000 de la sucesión an = . A la vista de los resultados obtenin+1 dos, halla el siguiente límite: a10 = a100 = a1 000 = n2 = n 8 +@ n + 1 lím

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 25

Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad:

( )( ) 9 9 = x–5 x–2

26

Resuelve la ecuación x2 – x – 1 = 0. La solución positiva ¿qué número real es?

1. LOS NÚMEROS REALES

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