Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán

C. Distribución Binomial

Objetivos de aprendizaje 1. Definir los resultados binomiales 2. Calcular la probabilidad de obtener X éxitos en N pruebas 3. Calcular probabilidades binomiales acumulativas 4. Encontrar la media y la desviación estándar de una distribución binomial Cuando lanzas una moneda al aire, hay dos posibles resultados: águila y sol. Cada resultado tiene una probabilidad fija, la misma en cada prueba. En el caso de las monedas, águila y sol tienen, cada una, la misma probabilidad de 1/2. Sin embargo, algunas veces se presentan situaciones en las que la moneda está “cargada”, así que águila y sol tienen diferentes probabilidades. En la presente sección consideraremos distribuciones de probabilidad para las que hay únicamente dos posibles resultados con probabilidades fijas que sumadas son igual a 1. Estas distribuciones son llamadas distribuciones binomiales. Un ejemplo sencillo: Los cuatro posibles resultados que podrían ocurrir si lanzas una moneda dos veces se muestran en la Tabla 1. Observa que los cuatro resultados son igualmente probables: cada uno tiene una probabilidad de ¼. Para darte cuenta de esto debes tener en mente que los volados son independientes (ninguno de ellos afecta al otro). Por lo tanto, la probabilidad de que caiga águila en el volado 1 y águila en el volado 2, es el producto de P(águila) y P(águila), que es igual a 1/2 x 1/2 = 1/4. El mismo cálculo es aplicable para la probabilidad de que caiga águila en el volado 1 y sol en el volado 2, 1/2 x 1/2 =1/4.

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Los cuatro resultados posibles pueden clasificarse en términos del número de águilas que 1 Águila Águila caigan. El número puede ser 2 Águila Sol dos (resultado 1), uno 3 Sol Águila (resultados 2 y 3) o cero 4 Sol Sol (resultado 4). Las Tabla 1. Cuatro posibles resultados probabilidades de estas posibilidades se muestran en la Tabla 2 y en la Figura 1. Como dos de los resultados representan el caso de que caiga sólo un águila en los dos volados, la probabilidad de este evento es igual a 1/4 + 1/4 = 1/2. En la Tabla 1 se muestra un resumen de los posibles resultados de estos lanzamientos. Resultado

Primer volado

Segundo Volado

Número de águilas

Probabilidad

0

1/4

1

1/2

2

1/4

Tabla 2. Probabilidades de obtener 0, 1, o 2 águilas.

La Figura 1, muestra una distribución de probabilidad discreta: Es decir, muestra la probabilidad para cada uno de los valores señalados en el eje de las X. Si definimos al resultado “un águila” como “un éxito”, la Figura 1 muestra la probabilidad de obtener 0, 1 y 2 éxitos, en dos experimentos (volados), donde la probabilidad de obtener “un éxito” es igual a 0.5 en Figura 1. Probabilidades de obtener 0, 1 cada prueba. La Figura 1, es un y 2 águilas ejemplo de una distribución binomial.

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La fórmula para las probabilidades binomiales La distribución binomial es la distribución de las probabilidades de cada uno de los éxitos posibles en N pruebas, para eventos independientes que tienen cada uno una probabilidad de π de ocurrir. Para el ejemplo de los volados, N = 2 y π = 0.5. La órmula f para la distribución binomial se muestra a continuación:

donde P(x) es la probabilidad de obtener x éxitos en N pruebas, N es el número de pruebas, y π es la probabilidad de éxito en una prueba dada. Aplicando esto al ejemplo del volado tenemos:

Si lanzas una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que caigan una o más águilas? Como la probabilidad de que caiga exactamente un águila es de 0.50 y la probabilidad de que caigan exactamente dos águilas es de 0.25, la probabilidad de que caigan una o más águilas es de 0.50 + 0.25 = 0.75. Ahora supón que la moneda está cargada y que la probabilidad de que caiga águila es de sólo 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila al menos una vez en dos volados? Si substituyes estos datos en nuestra fórmula general, debes obtener como resultado 0.64.

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Probabilidades acumuladas Si lanzamos una moneda al aire 12 veces, ¿Cuál es la probabilidad de que caigan de 0 a 3 águilas? Para hallar la respuesta hay que calcular la probabilidad de exactamente 0 águilas, exactamente 1 águila, exactamente 2 águilas, y exactamente 3 águilas. La probabilidad de que caigan de 0 a 3 águilas es entonces la suma de esas probabilidades. Las probabilidades son: 0.0002, 0.0029, 0.0161, y 0.0537. La suma de las probabilidades es 0.073. El cálculo de probabilidades binomiales acumulativas puede ser muy tedioso, por lo que para hacer más fácil el cálculo de estas probabilidades te proporcionamos una calculadora binomial: Binomial Calculator

Media y desviación estándar de la distribución binomial. Considera un experimento de volados en el que lanzas una moneda al aire 12 veces y registras el número de águilas que cayeron. Si realizas este experimento una y otra y otra vez, ¿cuál sería la media de águilas que caerían? En promedio, podrías esperar que la mitad de los volados dieran como resultado águila. Por lo tanto, el número medio de águilas sería 6. En general, la media de una distribución binomial con parámetros N (el número de pruebas) y π (la probabilidad de éxito para cada prueba) es: μ = Nπ donde μ es la media de la distribución binomial. La varianza de la distribución binomial es: σ2 = Nπ(1-π) donde σ2 es la varianza de la distribución binomial.

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Ahora regresemos al experimento de los volados con una moneda. La moneda fue lanzada 12 veces, así que N = 12. Una moneda tiene una probabilidad de 0.5 de dar como resultado águila. Por lo tanto, π = 0.5. La media y la desviación estándar pueden calcularse entonces como sigue: μ = Nπ= (12)(0.5) = 6 σ2 = Nπ(1-π)= (12)(0.5)(1.0 - 0.5) = 3.0. Naturalmente, la desviación estándar (σ) es la raíz cuadrada de la varianza (σ2).

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