Matemáticas para computación. Unidad I.- Lógica Matemática. Ejercicios: 1. Formaliza las siguientes proposiciones: a. No es cierto que no me guste bailar b. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción. c. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. d. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. e. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno. f. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. g. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar. h. Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no habría ningún problema. Pero si los hechos son bárbaros o no respetuosos con los seres vivientes o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo. 2.- Si llueve entonces iré al cine. Llueve. Por lo tanto, iré al cine. 3.- Si llueve entonces iré al cine. No llueve. Por lo tanto, no iré al cine. 4.- Para que valga la pena tomarlo, es suficiente que sea un excelente curso. O las calificaciones son justas o no vale la pena tomar el curso. Las calificaciones no son justas. Por lo tanto, no es un excelente curso. 5.- Si no me entusiasmo, entonces me quedare en casa. Voy al cine. Por tanto, me entusiasmo. 6.- La lógica es fácil o les gusta a los estudiantes. Si las matemáticas son difíciles entonces la lógica no es fácil. Por tanto, si a los estudiantes no les gusta la lógica, las matemáticas no son difíciles. 7.- Si trabajo, entonces no estudio. Estudio o repruebo el curso de lógica. Aprobé el curso de lógica; Por lo tanto, trabajo. 8.- Si asisto al colegio conversare con mis amigos. Luego: Si no voy al colegio entonces no conversare con mis amigos.

9.- Si me caigo de la bicicleta, me golpeare. Estoy golpeado. Por lo tanto, me caí de la bicicleta.

10.- Todos los monos andan. Todo objeto que anda se mueve. Pepe no e mueve Demostrar que Pepe no es un mono 11.- A todos los gatos les gusta el pescado. Todos los gatos comen todo lo que les gusta. Ziggy es un gato Demostrar que Ziggy come pescado 12.- Todo tiburón se come un atún. Todo pez grande y blanco es un tiburón. Algunos peces grandes blancos viven en aguas profundas. Todo atún comido por un pez que vive en aguas profundas es desgraciado. Deducir que algún atún es un desgraciado. 13.- Se supone que en la lobera hay lobos, que son carnívoros, y hombres, que pueden ser carnívoros o hervíboros. También se supone que los carnívoros no comen lechuga y que Tom, que está en la lobera, la come. Demostrar que Tom es un hombre.Se supone que en la lobera hay lobos, que son carnívoros, y hombres, que pueden ser carnívoros o hervíboros. También se supone que los carnívoros no comen lechuga y que Tom, que está en la lobera, la come. Demostrar que Tom es un hombre. 14.- Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de tiempo, entonces no realizaré mis sueños. He aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por lo tanto, no realizaré mis sueños. 15.- Si vamos a Asia, entonces llegaremos hasta la India. Si vamos a Asia entonces, si llegamos hasta la India visitaremos Varanasi. Si vamos a India entonces, si visitamos Varanasi podremos ver el Ganges. Por lo tanto, si vamos a Asia veremos el Ganges. 16. Después de comer Alba, Berta y Carla son tres amigas que cenan juntas cada día. Después de cenar piden o un té o un café. Sabemos que: * Cuando Alba pide café, Berta pide lo mismo que Carla. * Cuando Berta pide café, Alba pide lo que no ha pedido Carla. * Cuando Carla pide té, Alba pide lo mismo que Berta. ¿Cuál de las tres pide siempre lo mismo después de cenar?

17.- En

la Isla de los Caballeros y los Bribones

Seguimos de la mano de R. Smullyan y nos vamos a su Isla de los Caballeros y los Bribones donde cada habitante de la isla, como su propio nombre indica, o es un caballero o es un bribón, y la característica de estos peculiares personajes es: los caballeros siempre formulan enunciados verdaderos y los bribones siempre formulan enunciados falsos. Un hecho fundamental de esta isla, que debemos observar, es que ningún habitante puede decir que es un bribón, ya que un caballero nunca mentiría y diría que es un bribón, y un bribón nunca admitiría verazmente que es un bribón. De la misma forma, se tendría que ningún habitante de la isla podría decir que no es un caballero (observemos que es el mismo hecho puesto que, para un habitante de la isla, no ser un caballero es lo mismo que ser un bribón). La visita del empadronador Una vez, el señor McGregor, el empadronador, decidió visitar la isla para visitar solamente a los matrimonios. En tal visita, le surgieron los siguientes problemas que esperamos le ayuden a resolver. Problema (Y): McGregor llamó a una puerta; el marido la abrió a medias y le preguntó a McGergor qué deseaba. - Hago un censo - respondió McGregor -, y necesito información sobre usted y su esposa. ¿Cuál, si alguno lo es, es un caballero, y cuál, si alguno lo es, es un bribón? - ¡Ambos somos bribones! – dijo el marido enojado mientras cerraba la puerta de un golpe. ¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer? Problema (O): En la siguiente casa, McGregor le preguntó al marido: - ¿Ambos son bribones? – El marido respondió: - Por lo menos uno de nosotros lo es. ¿De qué clase es cada uno? Problema (Si - entonces): La siguiente casa que visitó McGregor resultó un mayor enigma. Un hombre algo introvertido abrió la puerta tímidamente. Cuando McGregor le pidió que dijera algo sobre sí mismo y su esposa, lo único que dijo el esposo fue: - Si soy un caballero, entonces también lo es mi esposa. McGregor se fue no muy complacido. - ¿Cómo puedo deducir algo sobre alguno de los dos a partir de una respuesta tan evasiva? – pensó. Estaba a punto de escribir "Marido y Mujer ambos desconocidos", cuando recordó súbitamente una vieja lección de sus días de estudiante universitario. Por supuesto que – se dio cuenta -, puedo determinar de qué clase son ambos. ¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer?

18.- El diploma Después de laboriosos años, un estudiante de Informática llega al fin de sus estudios y a la entrega de diplomas. Se encuentra de pronto ante cuatro puertas cerradas. Se oye una voz gutural: "Tu diploma se encuentra detrás de una de estas puertas; tienes que adivinar cuál es, si te equivocas tendrás que volver a empezar la carrera. Tienes, sin embargo, tus posibilidades: en cada puerta figuran dos afirmaciones, y de las ocho afirmaciones que figuran en total, tres solamente son verdadera, las otras cinco son con seguridad falsas". 1. Sobre la puerta de ébano se puede leer: a. El diploma está detrás de esta puerta. b. El diploma está detrás de la puerta de caoba. 2. Sobre la puerta de caoba: a. El diploma no está detrás de la puerta de roble. b. El diploma está detrás de la puerta de ébano o de la de cerezo. 3. Sobre la puerta de cerezo dice: a. El diploma no está ni detrás de la puerta de ébano ni detrás de la de roble. b. El diploma está detrás de la puerta de caoba o detrás de la de ébano. 4. Y sobre la puerta de roble se puede leer: a. El diploma no está detrás de la puerta de cerezo. b. El diploma está detrás de la puerta de caoba.

19.- Los amores de los colaboradores del inspector Lafrite Para los dos colaboradores Lafrite, Relbou y Gremai, es el momento de distensión nocturna, en el restaurante. Surge la discusión acerca de las relaciones femeninas y de los sentimientos de cada uno. Relbou: "Te diré dos cosas: en primer lugar, amo a Béatrice o a Hélène; en segundo lugar, si amo a Béatrice, amo a Hélène. Y entonces, ¿puedes decirme si amo a Béatrice, si amo a Hélène? Gremai: "¡…!" ¿Pueden ayudar al inspector a conocer un poco de la vida privada de su colega? Algunos días más tarde, encontramos a nuestros dos inspectores conversando sobre al mismo asunto. Evidentemente olvidaron lo esencial que se había dicho entonces. Gremai: "¿Es cierto que si amas a Béatrice amas también a Hélène?" Relbou: "Si es cierto, entonces amo también a Béatrice". Gremai: "¡…!" ¿Qué pensar de los amores de Relbou? Relbou: "Modificaré la respuesta que te acabo de dar, agregando: si es falso, no amo a Béatrice". Gremai: "Entonces, ¡vamos! Ya veo; ¡estás cercado!" ¿Qué descubrió Gremai?

20.- El inspector Lafrite interroga a los sospechosos Tres sospechosos fueron arrestados después del robo de una rica mansión de París, son: Bradacié, Piedplat y Nécassé. Estos tres personajes son bien conocidos por Lafrite, por el carácter muy aleatorio de la verdad de sus afirmaciones. Bradacié: "Piedplat es culpable y Nécassé es inocente". Piedplat: "Si Bradacié es culpable, Nécassé también". Nécassé: "Soy inocente pero uno por lo menos de los otros dos es culpable". Lafrite debe hacer frente a varias posibilidades; es lo que hace antes de acostarse, escuchando la novena sinfonía de Beethoven. a. ¿Es posible que estos tres bandidos hayan dicho la verdad? Entonces, ¿quién sería culpable?… b. ¡Podrían haber mentido los tres, supongo!… c. Si supongo que todos son inocentes, ¿quién mintió?… y si los supongo a todos culpables, ¿quién mintió? d. ¿Es posible que no haya más que un falso testimonio? Y en ese caso, ¿quién mintió y quién es culpable? e. …Y guardo lo mejor para el final… después de esto dormiré como un lirón: supongo que el inocente dice la verdad y que el culpable miente… ¿Quién es entonces inocente, quién culpable?…" ¿Pueden ayudar al inspector a responder estas preguntas?

21.- El inspector Gadget interroga a tres sospechosos de asesinato, que hacen las siguientes declaraciones:




Sánchez: “Yo no fui, y Pérez tampoco” Pérez: “Sánchez no fue, lo hizo García” García: “Yo no lo hice, fue Sánchez”

El comisario se entera por un confidente que uno de ellos ha dicho la verdad, otro ha mentido completamente y otro ha mentido sólo en una de las afirmaciones y esto le basta para detener al culpable. ¿Has averiguado cuál es?

22.- (A Λ B ) -> C, A Λ C' .·. B' 23.- (A V B) -> D Λ F, D' .·. F' -> B' 24.- M Λ N ->, R' V S, S', N .·. M'