TESIS DESARROLLO REGIONAL

CURVA DE LORENZ COEFICIENTE DE DESIGUALDAD

DE

GINI

DOCUMENTO AUXILIAR N° 1 DANIEL CAUAS - 15 JUN 2013

1

LA CURVA DE LORENZ

La curva de Lorenz (Conrado Lorenz 1905), es un recurso gráfico para el análisis de la desigualdad; que muestra la relación entre los grupos de la población y sus respectivas participaciones en una variable (como por ejemplo lo es el ingreso). La desigualdad queda expresada gráficamente por el espacio comprendido entre la curva resultante y la diagonal del gráfico, construida hipotéticamente bajo el supuesto de equidistribución; o sea, cuando los porcentajes de participación en la población y el bien fueran iguales para todos los grupo. Así, esta curva se construye llevando las frecuencias acumuladas de los porcentajes de la población al eje X y las frecuencias acumuladas de los porcentajes de la variable al eje Y, mostrando la relación efectivamente existente entre el porcentaje de receptores de ingreso y el porcentaje del ingreso total recibido por ellos durante un año. En la Gráfica i se ha trazado la curva de Lorenz usando para ello los datos de deciles contenidos en la siguiente tabla: Tabla N° 1 Deciles Acumulados) Participación porcentual (% P) en el ingreso total (%Q) 10.0%

1.8%

P

Q

0.100

0.018

20.0%

5.0%

0.200

0.050

30.0%

8.9%

0.300

0.089

40.0%

14.0%

0.400

0.140

50.0%

19.8%

0.500

0.198

60.0%

27.0%

0.600

0.270

70.0%

36.0%

0.700

0.360

80.0%

49.0%

0.800

0.490

90.0%

71.5%

0.900

0.715

100.0%

100.0%

1.000

1.000

P. 1

En el eje horizontal, se representa la proporción acumulada de casos; los receptores de ingreso, no en términos absolutos sino como porcentajes acumulados (P), de forma que en el punto 0.2 de la Gráfica i, tenemos el 20% más bajo (más pobre) de la población, en el punto 0.6 tenemos el 60% inferior de la población y al final del eje queda representado el 100% de la población. En el eje vertical, se representa la participación relativa acumulada en el total de la variable; la participación del ingreso total recibida por cada porcentaje de la población (Q). De esta forma, ambos ejes tienen la misma longitud. Si se traza una diagonal en 45° desde el origen hasta la esquina superior derecha, se grafica la línea de equidistribución. En cada punto de esta diagonal, el porcentaje de ingreso recibido (Q), es exactamente igual al porcentaje de receptores de ingreso (P); representando la llamada "igualdad perfecta" de la distribución del ingreso por tamaño. Gráfica i: La curva de Lorenz

1.0

1.0

(Proporción d ela variable) Q

0.9 0.8

0.8

0.7 0.6

0.6

H

0.5 0.4

0.4

0.3

E D

0.2 0.1

0.2

A

0.0

0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

(Proporción de casos) P Equidistribución

Curva de Lorenz

El punto A de la gráfica, señala que el 10% inferior de la población, recibe sólo el 1.8% del ingreso total. El punto D, señala que el 40% recibe el 14% del ingreso total. El Punto H señala que el 80% de la población recibe el 49% del ingreso total. Adviértase que en el punto medio E, el 50% de la población recibe en efecto sólo el 19.8% del ingreso total. Entre más se aleje la curva de Lorenz de la línea de equidistribución, mayor será el grado de desigualdad representado. En el caso extremo de la desigualad perfecta, una situación en que una persona reciba todo el ingreso nacional mientras que los demás nada, se representa por la coexistencia de la curva de Lorenz con el eje horizontal inferior y el eje vertical derecho (Gráfica ii:A). Por el contrario en una situación de mayor igualdad en la distribución del ingreso, la curva de Lorenz estará muy próxima a la línea de equidistribución (Gráfica ii:B)

P. 2

Gráfica ii:Tipos de distribución B: Distibución relativamente igual

A: Distribución relativamente desigual 1.0

0.9 0.8

0.8

0.7 0.6

0.6

0.5 0.4

0.4

0.3 0.2

0.2

0.1 0.0

0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

(Proporción de casos) P Equidistribución

2

Curva de Lorenz

1.0

1.0

(Proporción d ela variable) Q

(Proporción d ela variable) Q

1.0

0.9 0.8

0.8 0.7

0.6

0.6 0.5

0.4

0.4 0.3

0.2

0.2 0.1 0.0

0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

(Proporción de casos) P Equidistribución

Curva de Lorenz

EL COEFICIENTE DE GINI

El coeficiente Gini (Corrado Gini, 1912); es una medida resumida del grado relativo de la desigualdad. Su uso mas extenso es en mediciones de distribución del ingreso. Este índice cifra cuantitativamente el grado de desigualdad colectiva, representado por la curva de Lorenz, calculando la razón del "área" comprendida entre la línea de equidistribución y la curva de Lorenz comparada con el área total de la mitad del cuadrado en que se encuentra la curva. En la Gráfica iii ésta es la razón del área sombreada A al área total del triángulo BCD. Gráfica iii: Estimación del coeficiente de Gini

Este coeficiente se origina al establecer la distribución teórica que debería tener la variable si se repartiera por igual entre todas las unidades (norma democrática). Si la variable está distribuida equitativamente con respecto a la norma democrática, la proporción de la variable perteneciente a T

cada unidad ( qi ) debería ser igual a la proporción que cada observación representa dentro del

P. 3

total ( Pi ). Esto se refiere a que una determinada proporción de las unidades, le corresponderá la misma proporción de la variable (línea de equidistribución). De acuerdo a esto:

xiT q = ∑ xi T i

[1]

xiT, simbolízale valor que debiera poseer la i-ésima observación en el caso de repartición

perfectamente democrática de la variable, además:

∑x

T i

= ∑ xi

[2]

La idea central que orienta la construcción del índice de Gini, consiste en comparar dos distribuciones: a) la empírica y b) la que se deriva de la aplicación de la línea de equidistribución. Esta comparación se hace operativa a través de las desigualdades entre las frecuencias relativas acumuladas de la variable en ambas distribuciones.

2.1

CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE GINI PARA DATOS NO AGRUPADOS.

El cálculo del coeficiente de Gini presenta distintas formulaciones según sea si los datos con se cuenta están ordenados o no. Su valor mínimo es cero (0) y se alcanza siempre que para todo iPi = Qi , es decir, este coeficiente es nulo cuando la variable se distribuye "democráticamente" entre todas las unidades. Su valor máximo es uno (1) y se llega a él cuando Q1 = Q2 = Q3 = ...Qn−1 = 0 , es decir, G será igual a la unidad si el valor total de la variable le corresponde sólo a una de las observaciones. Esta variación puede interpretarse como "igualdad perfecta" (G=0), hasta "desigualdad perfecta" (G=1). Es así, que el coeficiente de Gini para países con distribuciones muy desiguales de su ingreso, se encuentra por lo general entre 0.50 y 0.70, mientras que en los países con distribuciones relativamente igualitarias, el coeficiente presenta valores entre 0.20 y 0.35. n −1

G=

∑ (P − Q ) i =1

i

i

n −1

∑P i =1

[1]

i

Dónde:

Pi : Frecuencia relativa acumulada de la variable. Qi : Frecuencia relativa acumulada de la población. n : Número de tramos en que se dividió la población.

La ecuación [1] muestra la fórmula para el cálculo del índice de Gini, para datos ordenados.

P. 4

G' =

2 (q1 + 2q2 + 3q3 + ... + nqn ) − n + 1 n n

[2]

n

G ' ' = 1 − ∑ ( Pi − Pi −1 ) ⋅ (Qi + Qi +1 )

[3]

i =1

G=

G=

G'  n − 1    n 

[4]

G' '  n − 1    n 

[5]

 n − 1 G' =  ⋅G  n 

[6]

P. 5

Ejemplo N° 1

 G=

pi

qi

Pi

Qi

Pi-Qi

0.20

0.05

0.20

0.05

0.15

0.20

0.05

0.40

0.10

0.30

0.20

0.05

0.60

0.15

0.45

0.20

0.05

0.80

0.20

0.60

0.20

0.80

-

-

-

1.00

1.00

2.00

1.50

1.50 = 0.75 2.00

1.0

1.0

(Proporción d ela variable) Q

0.9 0.8

0.8 0.7

0.6

0.6 0.5

0.4

0.4 0.3

0.2

0.2 0.1

0.0

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(Proporción de casos) P Equidistribución

Curva de Lorenz

P. 6

Ejemplo N° 2

 G=

pi

qi

Pi

Qi

Pi-Qi

0.100

0.018

0.100

0.018

0.082

0.100

0.032

0.200

0.050

0.150

0.100

0.039

0.300

0.089

0.211

0.100

0.051

0.400

0.140

0.260

0.100

0.058

0.500

0.198

0.302

0.100

0.072

0.600

0.270

0.330

0.100

0.090

0.700

0.360

0.340

0.100

0.130

0.800

0.490

0.310

0.100

0.225

0.900

0.715

0.185

0.100

0.285

-

-

-

1.000

1.000

4.500

2.170

2.17 = 0.48 4.50

1.0

1.0

(Proporción d ela variable) Q

0.9 0.8

0.8

0.7 0.6

0.6

0.5 0.4

0.4

0.3 0.2

0.2

0.1 0.0

0.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

(Proporción de casos) P Equidistribución

Curva de Lorenz

P. 7