UNIVERSIDAD VERACRUZANA ´ FACULTAD DE MATEMATICAS

C´ alculo de la Probabilidad de Ruina de una Empresa Aseguradora. TESIS Para aprobar Experiencia Recepcional Correspondiente al Plan de Estudios de la Licenciatura en Matem´ aticas P R E S E N T A:

Surya Nayeli Ram´ırez Hern´ andez DIRECTOR DE TESIS: ´ Dr. Jorge Alvarez Mena

CODIRECTOR DE TESIS: Dr. Rufino Raquiel L´ opez Mart´ınez

Abril del a˜ no 2013

Xalapa, Ver. M´exico

´Indice 1. Preliminares. 1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Conceptos b´ asicos de Probabilidad y Econom´ıa . . . . . . . . . . 2. Teor´ıa del Riesgo. 2.1. Introducci´ on. . . . . . . . . . 2.2. Modelo Individual de Riesgo. 2.2.1. F´ ormula de Pril. . . . 2.3. Modelo colectivo de riesgo . . 2.3.1. F´ ormula de Panjer. . .

4 5 5

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3. Probabilidad de ruina 3.1. Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modelo Cl´ asico de Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Probabilidad de ruina de una empresa aseguradora. 3.2.2. Desigualdad de Lundberg . . . . . . . . . . . . . . .

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26 27 27 29 34

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4. Simulaci´ on 4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Algoritmo para la probabilidad de ruina. . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Estimaci´ on de la probabilidad de ruina cuando Yi ∼ G(2, 1). 4.2.2. Estimaci´ on de la probabilidad de ruina cuando Yi ∼ exp(1). 4.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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39 40 41 41 45 47

Introducci´ on La Teor´ıa de Riesgo , particularmente, la Teor´ıa de la Ruina, son dos importantes ramas de la matem´ aticas actuariales, cuyo or´ıgen se remonta al siglo 17. Pero no nos vayamos tan lejos, basta con un siglo atr´as, al a˜ no 1903, cuando la Teor´ıa de la Ruina da un paso importante impulsado por el actuario Filip Lundberg, cimentando as´ı los principios teor´ıcos de lo que despu´es ser´ıa llamado modelo cl´ asico de riesgo Poisson compuesto. La idea b´ asica del trabajo de Lundberg, fue la descripci´on del reaseguro de riesgos colectivos y del proceso de poisson compuesto. De esa forma es como la teor´ıa de riesgo moderna encontraba sus bases. Ya en la d´ecada de los 30’, esta teor´ıa se ve´ıa favorablemente influenciada por Harald Cram´er, quien la detall´o matem´aticamente introduciendo en ella m´etodos de la teor´ıa actuarial referentes a la teor´ıa de riesgo colectivo. Cramer escribi´ o, despu´es de haber hecho su an´alisis sobre el tema, que la tesis de Lundberg ten´ıa una reputaci´on de ser imposible de entender, y adem´as dec´ıa al respecto: “one cannot help being struck by his ability to deal intuitively with concepts and methods that would have to wait another thirty years before being put on a rigorous foundation”[1]. En otras palabras, las ideas de este actuario estaban 30 a˜ nos adelantadas. El modelo cl´ asico de riesgo est´a hecho para modelar el fujo del capital de una empresa que se dedica espec´ıficamente a los seguros. En la actualidad hay muchas maneras de modelar el comportamiento de este capital, este trabajo est´ a basado principalmente en el modelo planteado por Lundberg, el cual puede resumirse en una resta entre los ingresos y los egresos de la empresa. Los ingresos se conforman por el capital inicial de la empresa y por la prima que la aseguradora recibe de cada cliente y los egresos lo conforman la suma de los reclamos que se hacen por el cobro del seguro que hacen los clientes en un intervalo de tiempo. Un suceso importante para la empresa se presenta cuando el capital es menor o igual a cero, lo que en teor´ıa del riesgo se denomina como ruina. Por consiguiente, el objetivo principal de este trabajo es calcular la probabilidad de ruina de una aseguradora a trav´es de los enfoques anal´ıtico y por simulaci´on. La tesis est´ a estructurada de la siguiente forma: en el primer cap´ıtulo, se hace un repaso de los conceptos b´asicos de probabilidad y econom´ıa que ser´an la base para el estudio posterior. En el segundo cap´ıtulo, se muestran dos maneras en que se puede calcular la suma de los reclamos que har´an los clientes por el cobro del seguro a trav´es de la f´ormula de Pril y la f´ormula de Panjer. En el tercer cap´ıtulo, se estudia al capital de la empresa por medio del modelo cl´asico

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de riesgo, obteni´endose una expresi´on general para la probabilidad de ruina que posteriormente se especializa al caso en el que las reclamaciones tiene distribuci´ on exponencial, tambi´en se presenta otra expresi´on para esta probabilidad para el caso en que los reclamos tienen distribuci´on gamma. Finalmente, en el cuarto cap´ıtulo, se hace uso de simulaci´on para calcular la ruina , se propone un c´ odigo para simular el proceso de los reclamos y estimar la probabilidad de ruina, los resultados se comparan con los obtenidos por medio de las expresiones anal´ıticas, con el fin de conocer su precisi´on.

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1.

4

Preliminares.

1.1.

Introducci´ on

Dec´ıa Augusto Comte que ...“todo estudio cient´ıfico que no tiene un fundamento matem´ atico es d´ebil en su base”. Pot tal hecho, la base para el estudio que se presenta est´ a formada por dos disciplinas, la probabilidad y la econom´ıa. Aunque ambas son muy amplias, en este cap´ıtulo u ´nicamente daremos algunas definiciones que son u ´tiles y necesarias para una mejor comprensi´on de los modelos que abordaremos m´ as adelante. Del ´ area de probabilidad, los conceptos principales en los que estamos interesados son: variable aleatoria, funci´on de distribuci´on, esperanza, esperanza condicional, proceso estoc´ astico y proceso de Poisson. Y los conceptos de econom´ıa est´ an enfocados al ´ ambito de los seguros, para ello definimos los t´erminos: empresa aseguradora, p´ oliza de seguro, reclamo, prima y riesgo.

1.2.

Conceptos b´ asicos de Probabilidad y Econom´ıa

Para iniciar con los conceptos de Probabilidad, consideremos que un experimento es un proceso el cual nos conduce a un resultado espec´ıfico. De esta forma mezclar dos componentes qu´ımicos, producir un impacto entre part´ıculas o ver cu´ anto da˜ no hace un proyectil impactado en una zona, son ejemplos de experimentos. Generalmente, consideramos que los experimentos se dividen en dos ramas, por un lado tenemos a todos aquellos experimentos que despu´es de definir las condiciones bajo las cuales se realizan, su resultado queda u ´nicamente determinado, a estos les llamamos experimentos deterministas. Por otro lado, est´an aquellos experimentos en los cuales, una vez definidas la condiciones bajo las cuales se realizan, a´ un si se hicieran varias repeticiones de ´el, se pueden obtener distintos resultados. Es as´ı como tenemos las siguiente definici´on. Definici´ on 1.1 (Experimento aleatorio). Un experimento aleatorio es un experimento con la propiedad de que, una vez que se definen las condiciones bajo las cuales se realiza, su resultado no queda u ´nicamente determinado. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son: a) Lanzar un dado y anotar el n´ umero que resulta en la cara superior; b) Lanzar dos dados y anotar el vector (x1 , x2 ) donde x1 y x2 representan el n´ umero de puntos en la cara superior del dado 1 y dado 2 respectivamente;

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c) En una urna con a bolas rojas, b bolas blancas y c bolas azules extraer 3 al azar y anotar el color de cada una; d) Medir el tiempo de vida de una l´ ampara que tomamos de cierta f´ abrica; Concerniente a los experimentos aleatorios destacamos las siguientes definiciones y ejemplos. Definici´ on 1.2 (Espacio muestral). El espacio muestral de un experimento aleatorio, que denotaremos por Ω, es el conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento. La colecci´ on de todos los subconjuntos de Ω se llama conjunto potencia de Ω y se denota 2Ω . Para ilustrar un poco analicemos algunos ejemplos. Ejemplo 2. Para el experimento aleatorio del ejemplo 1(b), el espacio muestral est´ a dado por: Ω = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)}. Ejemplo 3. En el experimento aleatorio del ejemplo 1(d), el tiempo de vida de una l´ ampara es un n´ umero real no negativo. As´ı nuestro espacio muestral es Ω = {x ∈ R : x ≥ 0} En este caso, Ω es un conjunto infinito no numerable. Ahora, si tenemos un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω, entonces es posible definir lo que ser´a una σ-´algebra para Ω. Definici´ on 1.3 (σ-´ algebra de Ω). Diremos que una colecci´ on F ⊂ 2Ω , es σ´ algebra de subconjuntos de Ω si ∅ ∈ F, Si A ∈ F entonces tambien (Ω \ A) ∈ F, Si Ai ∈ F para i = 1, 2, ..., entonces tambien (∪i Ai ) ∈ F. A cualquier subconjunto A de F le llamamos evento de Ω. Si F es una σ-´ algebra para Ω entonces al par (Ω, F) le llamamos espacio medible. Una vez definida la σ-´ algebra y el espacio medible es posible introducir el concepto de medida.

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Definici´ on 1.4 (Medida y espacio de medida). Una funci´ on g : F → [0, ∞] es una medida si g(∅) = 0 y para toda colecci´ on {Ai }∞ de eventos de Ω ajenos a i=1 pares se tiene ∞ ∞ [  X g Ai = g(Ai ). i=1

i=1

A la terna (Ω, F, g) le llamamos espacio de medida. Definici´ on 1.5 (Medida de probabilidad y espacio de probabilidad). Una medida P : F → [0, ∞] es medida de probabilidad si P (Ω) = 1. Si P es una medida de probabilidad sobre (Ω, F), al espacio medible (Ω, F, P ) le llamamos espacio de probabilidad. Muchas veces cuando realizamos un experimento aleatorio estamos interesados en una caracter´ıstica num´erica del experimento. Retomando al ejemplo 1(b) sobre el lanzamiento de dos dados, podr´ıamos estar interesados en la suma del n´ umero de puntos que resulte en cada dado. La caracter´ıstica que nos interesa puede representarse mediante una funci´on X : Ω → R donde X(x1 , x2 ) = x1 + x2 . Ya que el experimento es aleatorio y el valor de X depende del resultado del experimento, antes de realizar ´este, no es posible conocer su valor y por lo tanto carece de sentido preguntarse por el valor que tendr´a X. Una pregunta pertinente es: ¿Cu´al es la probabilidad de que dicha car´acter´ıstica num´erica tome uno de los valores de cierto conjunto B, es decir, la probabilidad del conjunto [X ∈ B]. Si para el experimento aleatorio hemos determinado el espacio de probabilidad (Ω, F, P ), podemos responder esta pregunta s´olo si el conjunto [X ∈ B] es elemento de la sigma-´algebra, es decir, si es un evento. Definici´ on 1.6 (Variable aleatoria). Una variable aleatoria X sobre el espacio de probabilidad (Ω, F, P ) es una funci´ on de Ω a R, con la siguiente propiedad ∀α ∈ R,

{ω ∈ Ω|X(ω) ≤ α} ∈ F.

Si X es una variable aleatoria definida sobre (Ω, F, P ), decimos que es discreta si el conjunto de valores de X es finito o infinito numerable. Decimos que X es continua si el conjunto de valores es un conjunto no numerable. Las variables aleatorias X y Y son independientes si para toda a, b, P {X ≤ a, Y ≤ b} = P {X ≤ a}P {Y ≤ b}. A continuaci´ on, definiremos algunos conceptos relacionados con variable aleatoria como: funci´ on de distribuci´on, funci´on de densidad, esperanza y varianza; ya que a trav´es de estos podemos conocer las probabilidades con que la variable aleatoria puede tomar sus diferentes valores, la probabilidad de que caiga dentro de una regi´ on espec´ıfica del espacio de posibilidades, la dispersi´on de sus datos y localizar el centro de masa para su distribuci´on de probabilidad.

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Definici´ on 1.7 (Funci´ on de distribuci´on). Una funci´ on de distribuci´ on para la variable aleatoria X, es una funci´ on FX : R → [0, 1] definida por FX (x) = P (X ≤ x),

−∞ < x < ∞.

La funci´ on de distribuci´ on FX tiene las siguientes propiedades (ver [2] pag.21): (i) 0 ≤ FX (x) ≤ 1 para todo x ∈ R. (ii) FX (x) ≤ FX (y) siempre que x ≤ y. (iii) limx→−∞ FX (x) = 0 y limx→∞ FX (x) = 1. (iv) FX es continua por la derecha. Ahora, supongamos que una funci´on F satisface las propiedades (i)-(iv). Entonces existe una variable aleatoria X tal que F = FX , es decir, F es su funci´ on de distribuci´ on. Ejemplo 4. Existen funciones particulares que cumplen con las propiedades de funci´ on de distribuci´ on, a continuaci´ on ejemplos de algunas de ellas. a) Distribuci´ on de Poisson. Sea λ es un n´ umero real positivo. Decimos que una variable aleatoria X tiene distribuci´ on de Poisson con par´ ametro λ, X ∼ P oi(λ), si su funci´ on de probabilidad est´ a dada por P (X = x) =

e−λ λx x!

y su funci´ on de distribuci´ on se define como sigue P (X ≤ x) =

x X e−λ λk

k!

k=0

La distribuci´ on Poisson expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado n´ umero de eventos durante cierto periodo de tiempo, x representa el n´ umero de ocurrencias del evento y λ es un par´ ametro que representa el n´ umero de veces que se espera que ocurra el fen´ omeno durante un intervalo dado. b) Distribuci´ on Gamma. Sean n y α n´ umeros reales positivos. Decimos que una variable aleatoria X tiene distribuci´ on Gamma con par´ ametros n y α, X ∼ G(n, α), si tiene como funci´ on de distribuci´ on la siguiente funci´ on. P (X ≤ x) =

1 n α Γ(n)

Z

x

u

un−1 e α du

0

Esta distribuci´ on se utiliza para modelar variables aletorias continuas con asimetr´ıa positiva, es decir, variables que presentan una mayor densidad 8

de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. El par´ ametro n sit´ ua la m´ axima intensidad de probabilidad es por ello que algunas veces le llamamos la forma de la distribuci´ on. El par´ ametro α determina el alcance de la asimetr´ıa desplazando la densidad de probabilidad en la cola de la derecha. Por u ´ltimo la funci´ on Gamma Γ(n) es responsable de la convergencia de la distribuci´ on. c) Distribuci´ on exponencial. Decimos que una variable aleatoria X tiene distribuci´ on exponencial con par´ ametro λ > 0, X ∼ exp(λ), si su funci´ on de distribuci´ on est´ a dada por la siguiente f´ ormula:  0 para x < 0 FX (x) = P (X ≤ x) = 1 − e−λx para x ≥ 0 Esta distribuci´ on describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que el tiempo que pueda transcurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf , no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada. Definici´ on 1.8 (Funci´ on de densidad). Una funci´ on f : R → R es una funci´ on de densidad si satisface (i) f( x) ≥ 0 para cualquier x ∈ R. R∞ (ii) −∞ f( x)dx = 1. De la propiedad (ii) obtenemos una funci´on de distribuci´on, y ya que, dada una funci´ on de distribuci´ on existe una varible aleatoria de la cual es distribuci´ on, ´esta funci´ on de densidad est´a definida para dicha variable aleatoria. Definici´ on 1.9 (Esperanza). Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad y X : Ω → R una variable aleatoria, definimos la esperanza por Z E(X) = XdP Ω

De manera particular, cuando la variable aleatoria X esP finita y cuyos pon sibles valores son x1 , ..., xn , tenemos que la esperanza de X es i=1 xi P [X = xi ]. F´ısicamente el valor esperado se interpreta como el centro de masa o centro de gravedad de la distribuci´ on de probabilidad. Deteni´endonos un poco en este concepto, generalmente, surgen algunas ideas err´ oneas alrededor de la esperanza o valor esperado, ya que el t´ermino “valor esperado”sugiere dos cosas, una que la esperanza coincide con alg´ un valor que

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toma la variable aleatoria X y otra, que es un valor que se espera obtener al realizar el experimento aleatorio. Para aclarar estas dos cosas pongamos un ejemplo sencillo. Consideremos el experimento aletario de lanzar un dado y la varible aleatoria X es el n´ umero de puntos en la cara superior del dado. Si calculamos su valor esperado, obtenemos: 1 1 1 1 1 1 E[X] = 1( ) + 2( ) + 3( ) + 4( ) + 5( ) + 6( ) = 3,5 6 6 6 6 6 6 Y este resultado, de ninguna manera es un valor que toma la variable aleatoria X y mucho menos un valor que esperamos obtener en la realizaci´on del experimento aleatorio. Por ello diremos que el valor esperado de X representa el promedio de los valores que toma la variable aleatoria cuando el experimento aleatorio se repite muchas veces. La esperanza de X no es entonces un valor que esperamos obtener para X, pero si el valor que esperamos obtener en promedio. Definici´ on 1.10 (Varianza). Sea X una variable aleatoria, cuyo valor esperado es µ = E(X). La varianza de X, denotada V (X), est´ a definida por V (X) = E((X − µ)2 ). La varianza de X es una carater´ıstica n´ umerica que proporciona una idea de la dispersi´ on de la variable respecto de su esperanza. Algunas veces le llamamos par´ ametro de dispersi´ on. Con las definiciones anteriores, podemos dar la esperanza y varianza de las variables aleatorias con las distribuciones del ejemplo 4. De forma correspondiente con los incisos: (a) Poisson: E[X] = V [X] = λ. (b) Gamma: E[X] =

n α

, V [X] =

n α2 .

(c) Exponencial: E[X] = λ1 , V [X] =

1 λ2 .

Definici´ on 1.11 (Esperanza condicional). Sean (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad, X una variable aleatoria con esperanza finita y G una sub-σ-´ algebra de F; es decir, G es una σ-´ algebra contenida en F. La esperanza condicional de X dado G es una variable aleatoria denotada por E(X|G) que cumple con las siguientes propiedades: 1. Es una variable aleatoria con respecto a la σ-´ algebra G. 2. Tiene esperanza finita. 3. Para cualquier evento G en G, E(E(X|G)1G ) = E(X1G ) 10

En la tercera propiedad, 1G es la funci´on indicadora del conjunto G sobre Ω que toma el valor 1 sobre G y 0 en el complemento de G. Podemos demostrar que esta variable existe y es u ´nica casi seguramente, lo cual significa que si existe otra variable aleatoria con las tres propiedades anteriores, entonces es igual a E(X|G) excepto en un subconjunto de un conjunto medible de medida cero. Proposici´ on 1. Las siguientes son algunas propiedades de la esperanza condicional:

(a) E(X|{∅, Ω}) = E(X). (b) E(1A |{∅, Ω}) = P (A). (c) E(E(X|G)) = E(X). En particular, E(P (A|Y )) = E(1A ) = P (A). (d) Teorema de convergencia mon´otona. Si 0 ≤ Xn % X, entonces E(Xn |G) % E(X|G) c.s. (e) Desigualdad de Jensen. Si ϕ es convexa, entonces ϕ(E(X|G)) ≤ E(ϕ(X)|G). (f ) Si X es independiente a G, entonces E(X|G) = X. Para finalizar la secci´ on de probabilidad daremos las siguientes definiciones que ser´ an utilizadas para definir el proceso cl´asico de riesgo. Definici´ on 1.12 (Proceso estoc´astico). Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad. Un proceso estoc´ astico es una colecci´ on de variables aleatorias {Xt : t ∈ T } definidas sobre el espacio de probabilidad, parametrizada por un conjunto T , llamado espacio parametral, y con valores en un conjunto S llamado espacio de estados. (ver [3] pag.1) Cuando tomamos como espacio parametral al conjunto discreto T = {0, 1, 2, ...} decimos que el proceso es a tiempo discreto, cuando tomamos al conjunto continuo T = [0, ∞) el proceso es a tiempo continuo. Los distintos tipos de procesos estoc´asticos provienen de tomar varias posibilidades para el espacio muestral Ω, el espacio de estados y principalmente a las relaciones de dependencia entre las variables aleatorias del proceso. Un ejemplo muy particular e importante de proceso estoc´astico es el que a continuaci´ on definimos.

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Definici´ on 1.13 (Proceso de Poisson). Sea T1 , T2 , ... una sucesi´ on de variables aleatorias independientes cada una con una distribuci´ on exponencial exp(λ). Un proceso de Poisson de par´ ametro (o intensidad) λ, es un proceso estoc´ astico a tiempo continuo {Nt : t ≥ 0} definido de la siguiente manera: Nt = max{n ≥ 1 : T1 + ... + Tn ≤ t}. (ver [3] pag.98) Postulamos que el proceso inicia en cero, para ello definimos max∅ = 0. Ya que el par´ ametro λ no cambia con el tiempo, dicimos que es homog´eneo en el tiempo, por ello a este proceso tambi´en se le llama proceso de Poisson homog´eneo. A continuaci´ on presentamos los conceptos del ´area de econom´ıa que son de nuestro inter´es y est´ an efocados hacia el an´alisis de los seguros. Definici´ on 1.14 (Aseguradora). Una compa˜ n´ıa aseguradora es la persona (jur´ıdica) que asume la obligaci´ on del pago de la indemnizaci´ on cuando ocurra el evento establecido en el acuerdo, se dedica a asumir riesgos ajenos a cambio de un pago. Dado que el seguro es un asunto que concierne a toda una comunidad, y que est´ a directamente ligado con su bienestar, las entidades que est´an interesadas en actuar como aseguradoras se les exige una serie de formalidades jur´ıdicas y econ´ omicas, obedeciendo ambas a la entidad que se quiera formar para proveer los seguros. Definici´ on 1.15 (P´ oliza de seguro). Es un contrato entre el asegurado y la aseguradora, en donde se obliga a la empresa a pagar una suma de dinero al asegurado, al verificarse la eventualidad prevista en el contrato. La vida de la aseguradora depende de varios aspectos, algunos de ellos son: los riesgos, los reclamos y las primas que a continuaci´on se explican con m´as detalle. Definici´ on 1.16 (Prima). Una prima es el pago que se hace a la aseguradora por una p´ oliza. Elementalmente, un reclamo es la cantidad monetaria que un cliente demandar´ a a una empresa aseguradora de acuerdo a lo que establece la p´oliza. Es necesario hacer una distinci´on entre reclamo y monto del reclamo, por una parte el monto del reclamo es la cantidad demandada por un asegurado cu´ ando el evento establecido en la p´oliza ha ocurrido. Por otra parte, el reclamo est´ a sujeto a la ocurrencia del evento y su valor se conoce hasta que el evento acurre. De acuerdo con la terminolog´ıa de la teor´ıa de la Probabilidad, un reclamo es una variable aleatoria y el monto de un reclamo es una realizaci´on de 12

dicha variable aleatoria. Ahora, si la aseguradora tiene Pnn clientes y denotamos al reclamo del i-´esimo cliente por Yi el reclamo total, i=1 Xi , se denomina riesgo de la aseguradora. En las definiciones anteriores deliberadamente hemos evitado involucrar el tiempo debido a que la manera de incluirlo depende del tipo de seguro y el modelo que se asuma como se mostrar´a en los siguientes cap´ıtulos.

13

2.

14

Teor´ıa del Riesgo.

2.1.

Introducci´ on.

En este cap´ıtulo presentamos tanto al modelo individual como al modelo colectivo de riesgo. La raz´ on de su menci´on es por que contienen la esencia del modelo cl´ asico de riesgo que despu´es usaremos para el c´alculo de la ruina. Una empresa aseguradora se especializa en la actividad econ´omica de producir un servicio de seguridad, enti´endase esto como cubrir econ´omicamente ciertos riesgos. As´ı, dicha empresa cuenta con una cantidad de clientes que en determinado momento realizan un reclamo igual al monto que ambas partes convinieron. Un reclamo est´a sujeto a la ocurrencia del evento fortuito establecido en la p´ oliza. De modo que, es del inter´es de la aseguradora saber cu´al ser´ a el monto total, o riesgo, por los reclamos que se hacen durante un periodo de tiempo determinado, con el fin de conocer si la aseguradora est´a preparada para cubrir dicha cantidad. Por tal motivo, la mayor´ıa de los modelos para compa˜ nias de seguros se clasifican de acuerdo a la manera de expresar el riesgo, el cual es una variable aleatoria. Las principales car´acter´ısticas de una variable aleatoria pueden obtenerse de su funci´on de distribuci´on, por ello el objetivo en este cap´ıtulo es encontrar una expresi´on para calcular la funci´on de distribuci´on del riesgo en los modelos individual y el colectivo. El modelo individual est´ a dise˜ nado para una aseguradora en donde se tiene una cantidad fija de p´ olizas que se pueden clasificar por ((cantidad asegurada)) y ((probabilidad de que hagan reclamo)) donde los asegurados pueden hacer un s´ olo reclamo. El modelo para el riesgo consiste en asignar una variable aleatoria al reclamo de cada cliente, es decir, modelar indivudualmente cada cliente y desp´ ues sumarlos. Este modelo corresponde al funcionamiento de los seguros de vida en donde los asegurados s´ olo hacen un reclamo y la probabilidad de que se haga un reclamo se obtiene de la taza de mortalidad de cada individuo. Por otro lado tenemos al modelo colectivo, en el cual la aseguradora tiene una cantidad de clientes los cuales son tratados de manera colectiva, es decir, como un todo, luego un n´ umero aleatorio de ellos har´an reclamos y cada uno puede hacer m´ as de una reclamaci´on. As´ı, el n´ umero de reclamaci´ones que hay en un intervalo de tiempo es una variable aleatoria. Adem´as, el reclamo que har´ an tambi´en es una varible aleatoria ya que oscila entre una rango de posibilidades que la aseguradora ofrece, por lo que el riesgo lo modelamos como la suma de un n´ umero aleatorio de reclamos. El modelo colectivo corresponde a un tipo m´as general de seguros, puede aplicarse por ejemplo a los seguros de autom´oviles en donde el asegurado puede hacer m´ as de una reclamaci´ on y la cantidad que se reclama var´ıa entre un intervalo de cantidades dependiendo de los t´erminos del contrato con la aseguradora.

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La presentaci´ on de los modelos esta inspirada en los art´ıculos Introducci´on a la teor´ıa del riesgo (ver [4] pags.9-17) e Individual risk model (ver [5] pags.184188) en los cuales podemos encontrar un an´alisis m´as completo.

2.2.

Modelo Individual de Riesgo.

Una aseguradora cuenta con una cartera con n p´olizas de seguro v´alidas por un a˜ no. Por cada p´ oliza habr´a a lo m´as una reclamaci´on en el a˜ no, las reclamaciones son independientes entre ellas. Sea pj , j ≤ n la probabilidad de que el j-´esimo asegurado no efectue ninguna reclamaci´on y qj la probabilidad de que observemos exactamente una reclamaci´on, as´ı pj + qj = 1. Definimos ahora la variable aleatoria Aj que toma el valor de 1 cuando hay una reclamaci´ on en la p´ oliza j y 0 cuando no la hay; es decir,  1 con probabilidad qj , Aj = 0 con probabiliadad pj . As´ı, Aj tiene una distribuci´on Bernoulli con par´ametro qj . Sea Cj > 0 la cantidad asegurada en la p´oliza j. Por lo tanto, el reclamo que se har´a a la empresa est´a dada por el producto Aj Cj como sigue  Cj si Aj = 1, Aj C j = 0 si Aj = 0 Las variables Aj y Cj , las suponemos independientes. Definici´ on 2.1. Llamamos riesgo a la variable aleatoria que representa el monto total de las reclamaciones, S=

n X

Aj Cj .

(1)

j=1

Luego, la variable S, es el monto total que enfrenta la compa˜ n´ıa para cubrir las reclamaciones durante el periodo completo del seguro. El modelo individual se resume en la ecuaci´on (1) junto con las car´acteristicas establecidas anteriormente. Le llamamos de esta forma porque lleva el registro de las probabilidades de reclamaci´on y monto de cada uno de los clientes de manera individual.

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Desde la perspectiva matem´atica y de seguro, el objetivo es analizar la variable aleatoria S determinando su funci´on de distribuci´on. Hablemos de algunas caracter´ısticas de S. Denotemos por Yj al producto Aj Cj , Fj la funci´ on de distribuci´on de Xj , Gj (x) la funci´on de distribuci´on de Cj y MX (t) como la funci´ on generadora de momentos de la variable aleatoria X. Proposici´ on 2.

1. Fj (y) = pj 1[0,∞) (y) + qj Gj (y).

2. MYj (t) = 1 + qj (MCj (t) − 1). Qn 3. MS (t) = j=1 [1 + qj (MCj (t) − 1]. Pn 4. E(S) = j=1 qj E(Cj ). Pn 5. V ar(S) = j=1 [qj V ar(Cj ) + qj pj E 2 (Cj )]. Demostraci´ on. 1. Para cualquier n´ umero real y, Fj (y)

= P [Yj ≤ y] = P [Aj Cj ≤ y] = P [Aj Cj ≤ y|Aj = 0]P [Aj = 0] + P [Aj Cj ≤ y|Aj = 1]P [Aj = 1] = pj 1[0,∞] (y) + qj Gj (y).

2. Al utilizar la definici´ on de la funci´on generadora de momentos tenemos MYj (t)

= E(etAj Cj ) = E(etAj Cj |Aj = 0)P (Aj = 0) + E(etAj Cj |Aj = 1)P (Aj = 1) = pj + E(etCj |Aj = 1)qj = 1 + qj (MCj (t) − 1).

3. Si usamos la independencia de las Yj Q MS (t) = M (t) Qj Yj = j [1 + qj (MCj (t)) − 1]. 4. Debido a la independencia de las variables P E(S) = E(Yj ) Pj = E(Aj )E(Cj ) Pj = j qj E(Cj ) 5. Primero, E(Aj Cj ) = qj E(Cj ) y E(A2j Cj2 ) = qj E(Cj2 ), as´ı V ar(Yj )

= = = =

E((Aj Cj )2 ) − (E(Aj Cj ))2 qj E(Cj2 ) − (qj E(Cj ))2 qj [V ar(Cj ) + E 2 (Cj )] − qj2 E 2 (Cj ) qj V ar(Cj ) + pj qj E 2 (Cj ). 17

Por lo tanto, V ar(S)

2.2.1.

P = V ar(Yj ) Pj 2 = j qj V ar(Cj ) + pj qj E (Cj ).

F´ ormula de Pril.

Dado que Xj son variables aleatorias independientes se puede usar la convoluci´ on para calcular la funci´on de distribuci´on F (x) de su suma. La convoluci´ on para dos variables aleatorias independientes X y Y es como sigue: Z

∞

FX+Y (S) = P [X + Y ≤ s] =

FY (s − x)dFX (x) =: (FX ∗ FY )(s) −∞

La funci´ on de distribuci´ on FX ∗ FY (·) la conocemos convoluci´on de las funciones de distribuci´ on FX (·) y FY (·). As´ı para la suma de las variables aleatorias independiente e identicamente distribuidas (iid) Xn con funci´on de distribuci´on F , la funci´on de distribuci´on es la n-´esima convoluci´ on F ∗ F ∗ ... ∗ F := F ∗n Este m´etodo se hace dif´ıcil por el n´ umero de convoluciones que debemos realizar, por lo que existen algunos otros m´etodos alternativos, un art´ıculo que aborda varios enfoques para este problema es “Convolutions of distributions”(Ver [5] pag.85). Para desarrollar la f´ ormula de Pril, denotamos por nij al n´ umero de p´olizas de seguro, con un monto de reclamaci´on Ci = i y con probabilidad qj de hacer un reclamo, es decir, las p´olizas clasificadas seg´ un el monto del reclamo y la probabilidad de hacer un reclamo. Denotamos por I el n´ umero de montos diferentes, y por J el n´ umero de probabilidades diferentes de hacer un reclamo, as´ı el n´ umero total de p´ olizas es n=

I X J X

nij

i=1 j=1

Para simplificar la notaci´on, la reclamaci´on iAj se denota por Yij de donde  i con probabilidad qj . Yij = 0 con probabilidad 1 − qj . Es as´ı como llegamos al siguiente teorema, donde se usar´a la siguiente notaci´ on: para n´ umeros reales x, y, bx/ic representa el m´aximo entero menor o igual que x y x ∧ y representa el m´aximo entre x y y.

18

Teorema 2.1 (Teorema de Pril). Sea nij el n´ umero de p´ olizas cuyos asegurados tienen tasa de mortalidad qj y suma asegurada i. Suponga que j = 1, 2, ..., J e i = 1, 2, ..., I. Entonces las probabilidades g(r) = P (S = r), est´ an dadas por Pr∧I Pbr/ic

g(r)

=

1 r

g(0)

=

QI

i=1

i=1

k=1

QJ

j=1

g(r − ik)h(i, k),r ≥ 1

(1 − qj )nij ,

en donde, J X

h(i, k) = i(−1)k−1

nij (

j=1

qj k ) 1 − qj

Demostraci´ on. Si suponemos que tenemos las condiciones mencionadas anteriormente entonces el monto total de las reclamaciones es S=

nij I X J X X

Yijk

i=1 j=1 k=1

Ahora, sea g(r) = P (S = r) para r = 0, 1, 2, .... La funci´on generadora de probabilidad del monto reclamado Yij por un asegurado con taza de mortalidad qj y suma asegurada i es Gij (t) = E(t

Yij

)=

∞ X

ti P [Yij = i] = (1 − qj ) + ti qj .

i=0

Por lo tanto, usando la hipotesis de independencia, la funci´on generadora de probabilidad de la cartera completa es

G(t) = E(tS )

=

∞ X

tr g(r)

r=0

=

∞ X

r

t P[

r=0

=

nij I X J X X

Yijk = r]

i=1 j=1 k=1

nij ∞ I Y J Y Y X

tr P [Yijk = r]

i=1 j=1 k=1r=0

=

I Y J Y

(1 − qj + ti qj )nij .

i=1 j=1

Al tomar logaritmo y despu´es derivando,

19

ln G(t)

=

I X J X

nij ln(1 − qj + qj ti )

i=1 j=1

d ln G(t) dt

I

=

J

G0 (t) X X iqj ti−1 = nij G(t) 1 − qj + qj ti i=1 j=1

Por consiguiente, tG0 (t)

= G(t)

I X J X

nij

i=1 j=1

= G(t)

I X J X

iqj ti 1 − qj + qj ti

nij i

qj ti −1 qj ti  1+ 1 − qj 1 − qj

nij i

∞  q ti k−1 qj ti X j (−1)k−1 , 1 − qj 1 − qj

i=1 j=1

= G(t)

J I X X i=1 j=1

k=1

hemos usado la expansi´ on (1 − x)−1 = que, tG0 (t) = G(t)

I X J X

nij i

i=1 j=1

P∞

k=0

∞ X

xk , v´alida para |x| < 1. Por lo

(−1)k−1

k=1

 q k j tik 1 − qj

Definimos ahora la funci´ on h(i, k) = i(−1)k−1

J X

nij

j=1

 q k j , 1 − qj

entonces la expresi´ on anterior puede escribirse como sigue tG0 (t) = G(t)

I X ∞ X

tik h(i, k).

i=1 k=1

Al sustituir las expresiones para G0 (t) y G(t) en sus correspondientes series de potencias obtenemos ∞ X r=1

rtr g(r) =

∞ X

tr g(r)

r=0

I X ∞ X

tik h(i, k).

i=1 k=1

r

Para r ≥ 1, el coeficiente de t en el lado izquierdo es rg(r), mientras que en el lado derecho es la suma de los t´erminos g(r − ik)h(i, k), para aquellos valores de i y k tales que 1 ≤ ik ≤ r. Al igualar estos coeficientes obtenemos

20

rg(r) =

r∧I br/ic X X

g(r − ik)h(i, k).

i=1 k=1

De esta forma, llegamos a la siguiente expresi´on, para r ≥ 1 g(r) =

r∧I br/ic 1XX g(r − ik)h(i, k). r i=1 k=1

como quer´ıamos demostrar. Por otro lado, como S = 0 s´olo cuando los asegurados no efectuan reclamaciones, para r = 0 tenemos g(0) =

J I Y Y

(1 − qj )nij

i=1 j=1

 Ejemplo 5. Una compa˜ n´ıa aseguradora tiene una cartera con 17 p´ olizas de seguros de vida v´ alidas por un a˜ no distribuidas tal como se muestra en la tabla, donde qj corresponde a la taza de mortalidad e i representa la suma asegurada. Calcular P (S = r), r = 0, 1, 2.... qj \ i 0.004 0.005 0.006

1 2 0 4

2 1 2 2

3 3 1 2

Utilizamos la f´ ormula de Pril cuando r = 0 y calculamos P (S = 0) = g(0).

g(0)

=

3 Y 3 Y

(1 − qj )nij

i=1 j=1

=

0,918310

Ahora, calculamos g(r) = P (S = r). Para ello, calculamos primero la funci´on h(i, k). h(1, k)

=

(−1)k−1 [2(4,016 × 10−3 )k + (5,025 × 10−3 )k + 3(6,036 × 10−3 )k ]

h(2, k)

=

2(−1)k−1 [2(5,025 × 10−3 )k + (6,036 × 10−3 )k ]

h(3, k)

=

3(−1)k−1 [4(4,016 × 10−3 )k + 2(5,025 × 10−3 )k + 2(6,036 × 10−3 )k ]

Ahora calculamos g(r) para r = 1, 2, 3. 21

g(1)

=

3 b1/ic 1XX g(1 − ik)h(i, k) = 0,02861 1 i=1 k=1

g(2)

g(3)

=

=

1 2

3 b2/ic X X

g(2 − ik)h(i, k) = 0,01506

i=1 k=1

3 b3/ic 1XX g(3 − ik)h(i, k) = 0,03552 3 i=1 k=1



2.3.

Modelo colectivo de riesgo

Para plantear este modelo, consideramos un periodo de tiempo fijo [0, T ]. Llamamos N a la variable aleatoria que denota el n´ umero de reclamaciones ocurridas en este intervalo de tiempo y por Y1 , ..., YN las reclamaciones. Suponemos que las variables aleatorias N, Y1 , ..., YN son independientes. M´as a´ un, supondremos que las reclamaciones son independientes e id´enticamente distribuidas. Definici´ on 2.2. El monto total de las reclamaciones o riesgo S, lo definimos como N X S= Yj j=1

La ecuaci´ on anterior resume al modelo colectivo para una p´oliza de seguros. A la funci´ on de distribuci´on de cada reclamaci´on Y la denotamos por G. Asumimos que G(0) = 0, lo que equivale a decir que Y es positiva. Adem´as µn = E(Y n ), particularmente, µ = µ1 = E(Y ). Una vez m´ as, el objetivo es encontrar la distribuci´on de probabilidad de S, la cual depende de las distribuciones de Y y N . A continuaci´ on, se tienen algunos resultados que se utilizan para calcular dicha distribuci´ on. Para el siguiente resultado, recordemos que la 0-convoluci´on de una funci´on de distribuci´ on G es  1 x ≥ 0, G∗0 (x) = 0 x < 0.

22

Proposici´ on 3. La funci´ on de distribuci´ on del riesgo S en el modelo colectivo es ∞ X F (x) = G∗n (x)P (N = n) n=0

Demostraci´ on.

F (x)

=

∞ X

P (S ≤ x|N = n)P (N = n)

n=0

=

P (S ≤ x|N = 0)P (N = 0) +

∞ X

P (Y1 + ... + Yn ≤ x)P (N = n)

n=1

=

G∗0 (x)P (N = 0) +

∞ X

G∗n (x)P (N = n)

n=1

=

∞ X

G∗n (x)P (N = n)

n=0

A continuaci´ on, algunas car´acter´ısticas num´ericas de S. Proposici´ on 4. El riesgo S en el modelo colectivo cumple las siguientes propiedades. 1. E(S) = E(N )E(Y ). 2. E(S 2 ) = E(N )E(Y 2 ) + E(N (N − 1))E 2 (Y ). 3. V ar(S) = V ar(N )E 2 (Y ) + V ar(Y )E(N ). 4. MS (t) = MN (ln(MY (t))). Demostraci´ on. 1. Primero condicionamos sobre el valor N y despu´es usamos la propiedad independencia. El resultado no cambia cuando N inicia en 0 o en 1. E(S)

=

∞ X

E(S|N = n)P (N = n)

n=0

=

=

=

∞ X

N X E( Yj |N = n)P (N = n)

n=0 j=1 ∞ n XX

E(Yj )P (N = n)

n=0 j=1 ∞ X

nE(Y )P (N = n)

n=0

=

E(N )E(Y ) 23

2. Similarmente, condicionando sobre el valor de N E(S 2 )

=

∞ X

E((

n=0

=

=

∞ X n=0 ∞ X

N X

Yj )2 |N = n)P (N = n)

j=1

E((

N X

Yj )2 )P (N = n)

j=1 n n X X [ E(Yj2 ) +

n=0 j=1

=

∞ X

n X

E(Yj Yk )]P (N = n)

j=1 k=1,k6=j

nE(Y 2 )P (N = n) +

n=0

∞ X

(n(n − 1))E 2 (Y )P (N = n)

n=2 2

= E(N )E(Y ) + E(N (N − 1))E 2 (Y )

(2)

3. Por las f´ ormulas anteriores V ar(S)

= E(S 2 ) − E 2 (S) = E(N )[E(Y 2 ) − E 2 (Y )] + E 2 (Y )[E(N 2 ) − E 2 (N )] = E(N )V ar(Y ) + E 2 (Y )V ar(N )

4. De manera an´ aloga a los dos primeros incisos MS (t)

= =

∞ X n=0 ∞ X

E(et(Y1 +...+YN ) |N = n)P (N = n) (MY (t))n P (N = n) = E[(MY (t))N ]

n=0

= E(eN ln(MY (t)) ) = MN (ln(MY (t))) 2.3.1.



F´ ormula de Panjer.

A continuaci´ on se derivar´a una f´ormula tambien recursiva que permite calcular la distribuci´ on S cuando los reclamos individuales se distribuyen en los enteros no negativos y el n´ umero de reclamos pertenece a la clase (a, b, 0) de distribuciones. Decimos que una distribuci´on de conteo pertenece a la clase (a, b, 0) de distribuciones si su funci´ on de probabilidad {pk }∞ k=0 puede ser calculada recursivamente por la f´ ormula  b pn−1 para n = 1, 2, 3, ..., pk = a + n 24

(3)

donde a y b son constantes. El t´ermino 0 en (a, b, 0) indica el hecho de que el valor inicial del c´ alculo recursivo p0 lo asumimos mayor que 0. Esta clase de distriuciones es importante ya que es posible obtener la distribuci´ on Poisson como (0, b, 0), es decir, cuando a = 0, la distribuci´on binomial como (a, b, 0) cuando a < 0, a 6= b y a+b > 0 y la distribuci´on binomial negativa como (a, b, 0) cuando 0 < a < 1, a 6= b y a + b > 0. (ver [8] pag.64) Proposici´ on 5. Bajo la notaci´ on e hipotesis anteriores, se cumplen las siguientes propiedades: Pk 1. E(Y1 | i=1 Yi = r) = kr , para k ≥ 1 Pr−1 ∗(k−1) 2. pk fr∗k = pk−1 i=1 (a + bi fi , para k ≥ 2 r )fr−i Ahora estamos listos para anunciar y demostrar la f´ormula de Panjer. Teorema 2.2. (F´ ormula de Panjer) Para el modelo de riesgo colectivo, bajo la hip´ otesis y notaci´ on enunciados anteriormente, la probabilidad gr = P (S = r) est´ a dada por r X

gr

=

g0

= p0

(a +

i=1

bi )fi gr−i , para r ≥ 1 r

Demostraci´ on. Para r ≥ 1, gr

= =

∞ X k=1 ∞ X

P (S = r|N = k)P (N = k) pk fr∗k

k=1

=

p1 fr +

∞ X

pk fr∗k

k=2

=

(a + b)p0 fr +

∞ X r−1 X

(a +

k=2 i=1

=

(a + b)p0 fr +

r−1 X

∞

(a +

i=1

=

(a + b)p0 fr +

r−1 X

=

i=1

(a +

X bi ∗(k−1) )fi pk−1 fr−i r k=2

a+

i−1 r X

bi ∗(k−1) )pk−1 fr−i fi r

bi )fi gr−i r

25

bi fi gr−i r 

3.

26

Probabilidad de ruina

3.1.

Introducci´ on.

El movimiento econ´ omico de una aseguradora no es completamente causa de los reclamos que hacen los clientes, lo que realiza la empresa es emitir un contrato de seguro, obteniendo financiamiento a trav´es del cobro de primas que constituyen las reservas a la espera de que se realice el pago por el da˜ no o p´erdida seg´ un el contrato. As´ı, el capital de la empresa lo podemos modelar y representar como la diferencia entre los ingresos y los egresos de la empresa. Los ingresos est´an constituidos por el capital inicial m´as la prima que se recibe por unidad de tiempo y los egresos son los reclamos que se deben cubrir conforme ocurran. Para conocer el capital en un instante de tiempo, sumamos el capital inicial con el monto de la prima y restamos la cantidad total de reclamos que hayan llegado hasta este instante de tiempo. Cuando el capital es menor o igual a cero decimos que la empresa esta en ruina. El objetivo de este cap´ıtulo es obtener una ecuaci´on general para la probabilidad de ruina. Una vez hecho esto, estudiaremos el caso cuando las reclamaciones tienen distribuci´ on exponencial, obteniendo una expresi´on anal´ıtica para la probabilidad de ruina. Tambi´en presentaremos la expresi´on anal´ıtica de la probabilidad de ruina cuando la distribuci´on de los reclamos es gamma como par´ ametro n = 2, con el fin de utilizarla en el siguiente cap´ıtulo. Por u ´ltimo presentamos la cota de Lundberg para la probabilidad de ruina. Para el desarrollo de este cap´ıtulo utilizaremos algunos art´ıculos, para el modelo y el desarrollo general de la probabilidad de ruina sin asumir una distribuci´ on para los reclamos, se revis´o An´ alisis y simulaci´ on de la probabilidad de ruina en el modelo cl´ asico de Cramer-Lundberg (ver [6] pag.2-3). En el desarrollo de expresiones anal´ıticas para la probabilidad de ruina cuando la distribuci´on de los reclamos es la exponencial o la gamma, se revis´o el art´ıculo Some results of ruin probability for classical risk process (ver [7] pag.136-139). Por u ´ltimo para la desigualdad de Lundberg, se us´o Insurance risk and ruin (ver [8] pag.133-135).

3.2.

Modelo Cl´ asico de Riesgo

Denotemos por {Yk }k∈N los reclamos que se hacen a una aseguradora y por {Tk }k∈N los tiempos en que hacen tales reclamos, de tal manera que, para cada k ∈ N, el reclamo Yk se realiza al tiempo Tk , y los reclamos est´an indizados de acuerdo al orden en que llegan, es decir, 0 < T1 < T2 < · · · . Por cada unidad de tiempo ingresa una prima constante que denotaremos por c. Ahora establecemos las hipotesis del modelo.

27

Hipotesis: (a) Yk es una variable aleatoria no negativa con E(Yk ) < ∞. (b) Las variables aleatorias Y1 , Y2 , ..., son i.i.d. (c) Los tiempos entre las llegadas de los reclamos, τk := Tk −Tk−1 , con T0 = 0 son variables aleatorias i.i.d. con distribuci´on exponencial de par´ametro λ. (d) El n´ umero de reclamos que ocurrieron hasta el tiempo t, lo definimos como N (t) = Sup{n ≥ 1 : Tn ≤ t} y su distribuci´on es por definici´on Poisson con par´ ametro λ. La siguiente figura muestra la din´amica de las llegadas de los reclamos a la aseguradora.

τ1- τ2-

τ3 -

τi -

0

T1 T2 c

?

1

T3 ...

?

2

Ti−1

?

?

3...

k

Ti

?

k + 1...

t ? n

Fig.1 Modelo cl´asico de riesgo.

As´ı, el modelo lo resumimos en la siguiente expresi´on. Definici´ on 3.1 (Proceso de super´avit). El proceso de riesgo {U (t)}t≥0 , tambi´en llamado proceso de super´ avit, lo definimos como sigue N (t)

U (t) = u + ct −

X

Yi ,

∀t≥0

i=1

en donde u ≥ 0 es el capital inicial, ct es el ingreso por concepto de prima en el periodo [0, t] con c > 0, Yj es el j-´esimo reclamo y N (t) es el n´ umero de reclamos que ocurren hasta el tiempo t. U (t) es la representaci´ on del balance de ingresos menos egresos de la compa˜ n´ıa aseguradora. Un ejemplo de su trayectoria lo muestra la fig.2.

28

Este tipo de trayectorias empiezan siempre en el capital inicial u, los intervalos en donde son continuas y crecientes corresponden a los periodos en donde no hay reclamaciones. La trayectoria crece de la forma ct y las discontinuidades son siempre hacia abajo, esto porque aparecen en el momento en que se hace una reclamaci´ on, la cual se supone se paga inmediatamente. El tama˜ no de un salto es el tama˜ no de la reclamaci´on dada por la variable Y . U (t)

u t Fig.2 Ejemplo del Super´avit. La variable U (t) es el capital de la aseguradora al tiempo t, el objetivo obvio es que el capital permanesca arriba de cierto nivel. Si se ajusta el capital inicial u podemos suponer que este nivel al que nos referimos es cero. Diremos que una empresa est´a en ruina cuando U (t) ≤ 0. La ruina es un evento relevante en donde la empresa est´a obligada a tomar decisiones de emergencia, por lo que este t´ermino no significa el fin de la empresa. Existen factores que ayudan a la compa˜ n´ıa en esta situaci´on, tales como tener una cantidad grande de p´ olizas o que la compa˜ n´ıa cuente con un reaseguro.

3.2.1.

Probabilidad de ruina de una empresa aseguradora.

Ahora estamos interesados en calcular la probabilidad de ruina en este modelo, para ello definamos el t´ermino tiempo de ruina dado por T = inf {t > 0 : U (t) < 0} y se define inf ∅ = ∞. As´ı, la probabilidad de ruina en el intervalo [0, t] es ψ(u, t) = P (T ≤ t|U0 = u) tambi´en llamada probabilidad de ruina de horizonte finito. Y la probabilidad de ruina con horizonte infinito, est´a definida por ψ(u) = l´ım ψ(u, t) = P (T < ∞) t→∞

A continuaci´ on daremos algunos resultados importantes acerca de esta probabilidad de ruina. Usaremos la notaci´on F para denotar la funci´on de distri-

29

buci´ on para cualquier reclamaci´on Y . Proposici´ on 6. Sea φ(u) = 1 − ψ(u), tambi´en llamada probabilidad de no ruina. Entonces

1. 2. 3.

" # Z u λ φ (u) = φ(u) − φ(u − y)dF (y) . c 0 0

λµ . c" # Z u Z ∞ λ ψ(u − y)(1 − F (y))dy . (1 − F (y))dy + ψ(u) = c 0 u ψ(0) =

Demostraci´ on. Empezaremos haciendo un an´alisis de la funci´on φ(u), condicionando sobre el momento y monto de la primera reclamaci´on. Utilizaremos tambi´en la regla de probabilidad total (ver [9] pag.27).

φ(u)

= P (”N o ruina en [0, ∞)”|U0 = u) Z ∞ Z u+ct = P (”N o ruina en [0, ∞)”|T1 = t, Y1 = y)dF (y)dFT1 (t) 0 0 Z ∞ Z u+ct = λe−λt P (”N o ruina en [t, ∞)”|T1 = t, Y1 = y)dF (y)dt 0 0 Z ∞ Z u+ct −λt = λe φ(u + ct − y)dF (y)dt. 0

0

Sea s(t) = u + ct. Entonces Z Z 1 ∞ −λ(s−u)/c s λe φ(s − y)dF (y)ds. φ(u) = c u 0 Al derivar la expresi´ on resultante se encuentra el primer inciso. Utilizamos la siguiente f´ ormula de derivaci´on d du

R η2 (u) η1 (u)

R η2 (u) η1 (u)

f (u, y)dy =

fu (u, y)dy − η10 (u)f (u, η1 (u)) + η20 (u)f (u, η2 (u))

obtenemos,

30

φ0 (u)

= = =

Z s Z ∞ λ d φ(s − y)dF (y)ds] e−λ(s−u)/c [ c du u 0 Z Z u Z λ ∞ λ −λ(s−u)/c s φ(s − y)dF (y)ds − φ(u − y)dF (y)] [ e c u c 0 0 Z u λ [φ(u) − φ(u − y)dF (y)] c 0

Si integramos esta ecuaci´on diferencial entre 0 y u, usando el Teorema Fundamental del Calculo, obtenemos φ(u) − φ(0)

= = = = = = =

Z Z uZ x λ u φ(x − y)dF (y)dx] [ φ(x)dx − c 0 0 0 Z Z uZ u λ u φ(x − y)dxdF (y)] [ φ(x)dx − c 0 0 y Z Z u Z u−y λ u [ φ(x)dx − φ(x)dxdF (y)] c 0 0 0 Z u Z u Z u−x λ [ φ(x)dx − φ(x)dF (y)dx] c 0 0 0 Z u λ φ(x)(1 − F (u − x))dx c 0 Z λ u φ(u − x)(1 − F (x))dx c 0 Z λ ∞ φ(u − x)(1 − F (x))1[0,u] (x)dx. c 0

(4)

Ahora, se hace tender u a infinito. En este caso, φ(u) tiende a uno. Adem´as el integrando que aparece en el lado derecho es una funci´on mon´otona creciente en u, cuyo l´ımite es la funci´ on integrable (1 − F (x)). Luego, por el Teorema de la Convergencia Mon´ otona se obtenemos Z λ ∞ λµ 1 − φ(0) = (1 − F (x))dx = . c 0 c Por lo tanto, λµ . c Luego obtenemos el segundo resultado. Y por la ecuaci´on (4) y la f´ormula anterior obtenemos lo que se quer´ıa demostrar ψ(0) = 1 − φ(0) =

ψ(u)

= =

Z u λ [µ − (1 − ψ(u − x))(1 − F (x))dx] c Z ∞ 0 Z u λ [ (1 − F (x))dx + ψ(u − x)(1 − F (x))dx]. c u 0 31



Teorema 3.1. Supongamos que Yi tiene distribuci´ on Gamma con funci´ on de densidad αn n−1 αx x e (5) Γ(n) donde α > 0 y n ≥ 1 es entero, entonces la probabilidad de no ruina, φ(u), es una soluci´ on de la siguiente ecuaci´ on diferencial: f (x) =

λ λ (D + α)n φ(u) + αn φ(u) = 0. c c d donde D es el operador diferencial du . D(D + α)n φ(u) −

Demostraci´ on. Por la Proposici´ on 6.1, tenemos Z λ λ u φ(u) − φ(u − y)dF (y), (6) c c 0 sustituyendo dF (y) = f (y)dy, se obtiene Z λ λ u αn n−1 −αy Dφ(u) = φ(u) − φ(u − y) y e dy. (7) c c 0 Γ(n) Ahora, hacemos el cambio de variable y = u − w Z λ λ u αn Dφ(u) = φ(u) − φ(w) (u − w)n−1 e−α(u−w) dw. (8) c c 0 Γ(n) Sean A(u; 0) = φ(u) y Z u αk A(u; k) = (u − w)k−1 e−α(u−w) dw (9) φ(w) Γ(k) 0 para 1 ≤ k ≤ n. Por (6), φ(w) es diferenciable. Sea h(w, ν) = φ(w)αeα(ν−w) . Entonces h(w, ν) y ∂h(w,ν) son continuas. Sea ∂ν Dφ(u) =

Z g(ξ(u), ν(u)) =

ξ(u)

φ(w)αe−α(ν(u)−w) dw, ξ(u) = u, ν(u) = u.

0

Podemos cambiar, el orden de diferenciaci´on e integraci´on, as´ı tenemos DA(u; 1)

= Dg(ξ, ν) ∂g dν ∂g dξ + = ∂ξ du ∂ν du = αφ(ξ)e

α(ν−ξ)

Z

ξ

−α

φ(w)αeα(ν−w) dw

0

Z = αφ(u) − α

u

φ(w)αe−α(u−w) dw

0

= αA(u; 0) − αA(u; 1). 32

(10)

Usamos este mismo m´etodo, para 2 ≤ k ≤ n, tenemos

DA(u; k)

=

=

Z u (k − 1) φ(w)(u − w)k−2 e−α(u−w) dw 0 Z u αk −α φ(w) (u − w)k−1 e−α(u−w) dw Γ(k) 0 αA(u; k − 1) − αA(u; k).

(11)

Luego, para 1 ≤ k ≤ n, tenemos D+α A(u; k) = A(u; k − 1). α Por lo tanto D+α α

!n A(u; n) = A(u; 0) = φ(u).

(12)

Ahora, de (8) y (9), tenemos Dφ(u) =

λ λ φ(u) − A(u; n). c c

(13)

De (10) y (11), tenemos D+α D α

!n φ(u)

D+α α

=

!n

=

λ c

D+α α

=

λ c

D+α α

Dφ(u) !n

λ φ(u) − c

!n φ(u) −

D+α α

!n A(u; n)

λ φ(u) c 

Corolario 1. Si el par´ ametro es n = 1 en la funci´ on de densidad de los reclamos,(5), entonces ψ(u) =

λ −(α−λ/c)u e αc

(14)

Demostraci´ on. La distribuci´ on exponencial es el caso particular de la distribuci´on Gamma cuando n = 1. Entonces en este caso, las reclamaci´ones Yi tienen distribuci´on exponencial con funci´ on de densidad f (x) = αe−αx 33

(15)

y con E(X) =

1 α.

Por el teorema anterior, si n = 1

D(D + α)φ(u) −

λα λ (D + α)φ(u) + φ(u) = 0 c c

(16)

Al simplificar, obtenemos

D2 φ(u) + (α −

λ )Dφ(u) c

=

0

D2 φ(u)

=

(

λ − α)Dφ(u) c

(17)

cuya soluci´ on es φ(u) = a + be−(α−λ/c)u , en donde a y b son constantes. Al usar las condiciones ψ(0) = λ/(αc) y ψ(∞) = 0, obtenemos a = 1 y b = −λ/(αc). Por lo tanto, ψ(u) =

λ −(α−λ/c)u e . αc

(18) 

Corolario 2. Si n=2, en la funci´ on (5), entonces ψ(u) = −

ν2 (ν1 + α)2 ν1 u ν1 (ν2 + α)2 ν2 u e − e (ν1 − ν2 )α2 (ν2 − ν1 )α2

(19)

donde,

ν1 ν2

3.2.2.

= =

λ − 2cα + λ − 2cα −

√ 2c √

λ2 + 4cαλ λ2 + 4cαλ

2c

Desigualdad de Lundberg

Esta secci´ on la dedicamos al estudio de un resultado conocido como la desigualdad de Lundberg el cual demuestra que ψ(u) est´a acotada por arriba por una funci´ on exponencial cuando se cumple que la funci´on generadora de momentos de Y1 existe. Esta cota la conocemos como la cota de Lundberg y es de utilidad para validar simulaciones del proceso de super´avit como veremos en el capitulo siguiente. Denotaremos al k-´esimo momento de Y1 por mk y a la funci´on generadora de momentos de Y por MY , cuando esta existe. En esta secci´on es necesaria una hip´ otesis adicional.

34

Hip´ otesis (a) c > λm1 , donde m1 es el primer momento de la reclamaci´on Y1 . (b) Los reclamos tienen funci´on generadora de momentos, MY . (c) Existes una cantidad γ, 0 < γ ≤ ∞, tal que MY (r) es finita para todo r 0, 0

Por lo cual g tiene un m´ınimo local en cada punto cr´ıtico. En resumen, g es decreciente en cero y g(0) = 0, por lo que la gr´afica de la funci´ on pasa por debajo del eje horizontal. Por otra parte, por el l´ımite (3.2.2) la gr´ afica vuelve a cruzar el eje horizontal, es decir, existe R > 0 tal que g(R) = 0. Debido a que la segunda derivada siempre es positiva, la funci´on no cambia de 35

c´ oncavidad, por lo tanto, R es el u ´nico n´ umero positivo que es cero de g. En la fig.3 mostramos el comportamiento t´ıpico de g. Supongamos Yi ∼ exp(α), entonces MY (r) =

α α−r

λ En este caso, g(r) = r( α−r − c) y los ceros de g son r = 0 y R = α − λc .

g(r) 6

R

- r

Fig.3 Ejemplo de coeficiente de ajuste. Teorema 3.2 (Desigualdad de Lundberg). Si ψ(u) es la probabilidad de ruina de una empresa aseguradora con capital inicial u, entonces ψ(u) ≤ e−Ru . Demostraci´ on. Primero denotemos la probabilidad de ruina en el n-´esimo reclamo o antes por ψn (u). Ya que ψ(u) = limn→∞ ψn (u)

(20)

se demostrar´ a que ψn (u) ≤ e−Ru para n = 1, 2, 3..., de lo cual se sigue que ψ(u) ≤ e−Ru , como se quiere demostrar. La demostraci´ on se har´ a por inducci´on. Verifiquemos para n = 1, es decir que la ruina ocurra en el primer reclamo. Si el primer reclamo Y1 = y llega en el tiempo T1 = t, entonces la ruina ocurre si y > u + ct, as´ı

36

ψ1 (u)

=

P (Y1 > u + cT1 ) Z ∞ = P (Y1 > u + ct|T1 = t)dFT1 (t) 0 Z ∞ P (Y1 > u + ct)dFT1 (t) = 0 Z ∞ Z ∞ f (y)dydt = λe−λt u+ct

0

Al multiplicar el integrando de la funci´on anterior por e−R(u+ct−y) ≥ 1 obtenemos Z

∞

λe−λt

ψ1 (u) ≤ 0

Z ≤ 0

f (y)e−R(u+ct−y) dydt

u+ct ∞

∞

λe Z

−λt

−Ru

Z

0 ∞

= e−Ru = e

∞

Z

f (y)dydt Z ∞

λe−λt−Rct

Z0 ∞

eRy f (y)dydt

0

λe

−t(λ+Rc)

MY (R)dt

0

= e−Ru , R∞ donde hemos usado que 0 λe−t(λ+Rc) MY (R)dt = 1. Hip´ otesis de inducci´ on: Para un natural n ≥ 1, se cumple ψn (u) ≤ e−Ru . Probemos que la desigualdad se cumple para ψn+1 (u). Supongamos que ocurre el primer reclamo Y1 = y en un tiempo t > 0. Luego, el evento {la ruina ocurre en el (n + 1) reclamo o antes} lo podemos expresar como uni´ on de eventos independientes, S {la ruina ocurre en el primer reclamo} {la ruina no ocurre en el primer reclamo y ocurre en alguno de los siguientes n reclamos}. El primer evento se cumple si y s´olo si y > u + ct. Para el segundo evento, observemos que si la ruina no ocurre en el primer reclamo, los siguientes eventos tienen la misma probabilidad: {la ruina ocurre entre el reclamo 2 y n + 1 con un capital inicial u} y {la ruina ocurre en los siguientes n reclamos con un capital inicial de u + c − y}.

37

Con esto podemos encontrar una f´ormula para ψn+1 (u) teniendo en cuenta que la distribuci´ on del tiempo en el primer reclamo es exponencial con par´ametro λ. El desarrollo es an´ alogo al caso en que n = 1. Z ψn+1 (u)

∞

λe−λt

= 0

Z

∞

λe−λt

+ 0

Z

∞

λe−λt

≤ 0

Z

λe−λt

0

Z ≤ 0

f (y)ψn (u + ct − y)dydt Z0 ∞ f (y)dydt Z

f (y)e−R(u+ct−y) dydt (usando hip. de inducci´on)

0 ∞

λe Z

−λt

= e−Ru = e

f (y)dydt u+ct Z u+ct

u+ct u+ct

∞

+

∞

Z

−Ru

∞

Z

f (y)e−R(u+ct−y) dydt Z ∞ ∞ λe−(λ+cR)t eRy f (y)dydt 0

Z0 ∞

0

λe

−(λ+cR)t

MY (R)dt.

0

y debido a que λ + cR = λMY (R), la integral es igual a 1 y por lo tanto ψn+1 (u) ≤ e−Ru Con lo cual el teorema queda demostrado.



38

4.

39

Simulaci´ on

4.1.

Introducci´ on

El uso de la simulaci´ on como parte de esta tesis da una visi´on a´ un m´as amplia de la estimaci´ on de la probabilidad de ruina, ya que permite observar el fen´ omeno, ver su comportamiento y registrar las caracter´ısticas de inter´es. Hasta donde sabemos, existen expresiones anal´ıticas para la probabilidad de ruina cuando la distribuci´ on de los reclamos tiene distribuci´on gamma, exponencial y binomial; para otros casos, la simulaci´on ofrece una alternativa para el c´ alculo de esta probabilidad. Sin embargo, tambi´en existen algunas desventajas al usar la simulaci´on. El algoritmo para simular la ruina de una empresa aseguradora recurre a la generaci´ on de n´ umeros aleatorios, es aqu´ı donde se identifican dos incovenientes. El primero, los generadores de n´ umeros aleatorios producen sucesiones de variables aleatorias distribuidas uniformemente sobre el intervalo [0, 1], sin embargo, esto no es verdad. Esto es porque, los n´ umeros generados tienen expansi´on binaria o decimal finita, por lo tanto son racionales y puede mostrarse que cualquier variable aleatoria continua distribuida uniformemente es irracional con probabilidad uno. Sin embargo, algunos autores (ver [10] pag.17) afirman que este problema queda superado si se cuenta con una computadora de al menos 32 bits de memoria. El segundo y m´ as importante inconveniente es que estos n´ umeros en realidad no son aleatorios debido a que los obtenemos mediante un procedimiento determin´ıstico. No obstante, existen generadores que hacen este trabajo muy preciso y que pasan la mayor´ıa de las pruebas estadisticas est´andar. Una forma de verificar que estos n´ umeros generados son consistentes con la distribuci´on correspondiente es, a trav´es de histogramas, diagramas de caja, Q-Q plots entre otros (ver [11] p´ ag 20-30). Estas herramientas visuales se usan para desechar una muestra cuando aportan evidencia irrefutable de que no provienen de la distribuci´ on. En estos casos se genera otra muestra y se procede con el an´alisis. Es importante mantener en mente dichas inconveniencias ya que pueden ser fuente de errores en la simulaci´on. Cuando se tiene una expresi´on anal´ıtica para la probabilidad de ruina es posible hacer una comparaci´on de los resultados que arroja la simulaci´ on con el valor exacto para medir la eficiencia del algoritmo, por desgracia, en la mayor´ıa de los casos no contamos con una expresi´on an´al´ıtica de la probabilidad de ruina y debemos recurrir a propiedades te´oricas como la cota de Lundberg para validar la simulaci´on. El t´ opico de esta secci´ on es la estimaci´on de la probabilidad de ruina a trav´es de la simulaci´ on del proceso de super´avit U (t) para una empresa aseguradora. El c´ odigo est´ a basado en el modelo cl´asico de riesgo en donde el tiempo de llegada de las reclamaciones tienen distribuci´on exponencial y consideramos dos casos para la distribuci´ on de las reclamaciones cuando tienen distribuci´on gamma y

40

cuando tienen distribuci´ on exponencial.

4.2.

Algoritmo para la probabilidad de ruina.

El algoritmo propuesto para calcular la probabilidad de ruina es el siguiente: 1. Generamos una muestra con distribuci´on exponencial de par´ametro λ que respresenta los tiempo de llegada entre cada reclamo. 2. Generamos una muestra con la distribuci´on correspondiente a la variable aleatoria que representa los montos de los reclamos. 3. Calculamos los ingresos que son igual al capital inicial m´as la multiplicaci´ on de la prima por la suma acumulada de los tiempos de llegada de los reclamos. 4. Calculamos los egresos que son igual a la suma acumulada de la muestra de los montos de los reclamos. 5. Restamos los ingresos menos los egresos y se encuentra la posici´on en que se obtuvo el primer valor menor o igual a cero (ya que esto implica que hubo ruina). Si no se encuentra ninguna cantidad menor o igual a cero se registra como no ruina. 6. Realizamos lo anterior un n´ umero grande de veces. 7. La probabilidad de ruina es igual al n´ umero de veces que se registr´o ruina entre el n´ umero total de realizaciones del algoritmo. De este mismo algoritmo se pueden obtener m´as datos como un promedio del monto con el que la empresa se va a la ruina o el promedio del tiempo de ruina. 4.2.1.

Estimaci´ on de la probabilidad de ruina cuando Yi ∼ G(2, 1).

Utilizamos el algoritmo anterior para calcular la probabilidad de ruina cuando los reclamos Yi tienen distribuci´on gamma con par´ametros n = 2 y α = 1. En la siguiente tabla c es el valor de la prima que ingresa a la aseguradora, e u el capital inicial, ψ(u) la estimaci´on de la probabilidad de ruina, ψ(u) es la probabilidad de ruina exacta y E es el error de la estimaci´on.

41

Para c = 2,1, 2,2 y 2,4

Las siguientes figuras muestran las graficas de la probabilidad de ruina e anal´ıtica ψ(u) y de la probabilidad de ruina estimada ψ(u) para diferentes valores de capital inicial u de acuerdo a los datos de la tabla anterior.

42

.

43

e , es la canEl super´ avit promedio antes de la ruina, que denotamos por U tidad monetaria que puede ser estimada a partir de la simulaci´on. Este monto es relevante pues si el capital de la empresa est´a muy cerca o por debajo de esta cantidad es muy probable que la empresa se vaya a la ruina, de esta forma cuando el capital baja a este nivel podemos tomar las medidas emergentes para evitar la ruina. En las siguientes gr´ aficas podemos observar el comportamiento del super´avit e . En estas las side la empresa despu´es de alcanzar por primera vez el nivel U mulaciones el capital inicial est´a fijo en 7 unidades monetarias. Una conjetura a la que hemos llegado es: despu´es de que el super´ avit alcanza e se llega a la ruina en un periodo de tiempo muy corto. El an´alisis de el nivel U esta conjetura se deja para estudios posteriores.

44

4.2.2.

Estimaci´ on de la probabilidad de ruina cuando Yi ∼ exp(1).

En la siguiente tabla se muestran los resultados para la probabilidad de ruie na estimada ψ(u) en el caso en que los reclamos tienen distribuci´on exponencial con par´ ametro λ = 1 y el monto de la prima est´a fijo en c = 2,1. Calculamor e ψ(u) para valores de capital inicial u entre 2.4 y 3.6. Tambi´en se muestra la figura correspondiente a estos valores. u 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

e ψ(u) 0.1354 0.1285 0.1219 0.1157 0.1098 0.1042 0.0989 0.0938 0.0890 0.0845 0.0822 0.0761 0.0722

Utilizaremos la desigualdad de Lundberg para constatar que los datos anteriores son consistentes. Al utilizar el resultado obtenido en la secci´on 3.2.1 para el coeficiente de ajuste, obtenemos para c = 2,1, 2,2, 2,4, R = 0,523809, 0,545454, 0,583333 respectivamente. Examinemos el caso c = 2,1 en que R = 0,523809, ya la cota de lundberg es e−Ru , encontramos que para u = 2,7 la probabilidad de ruina es menor que 0,25. Esto es, para un capital inicial mayor o igual a 2,7 unidades monetarias se asegura que la probabilidad de ruina es menor que dicha cantidad. ψ(u) ≤ e−(0,523809)×2,7 = 0,25 Desde la grafica se observa que para un capital inicial de 2,7 unidades monetarias la probabilidad de ruina ya es menor que 0,25.

45

Ahora que el c´ odigo ha sido validado, digamos ahora que quisieramos saber ¿Cu´ antas unidades monetarias debe tener la empresa aseguradora como capital inicial para que la probabilidad de ruina sea menor que cierto valor, por ejemplo, menor que 0,4?. Para ello usamos la cota de Lundberg, fijamos c = 2,4 y entonces R = 0,583333 tenemos

e

e−Ru

=

0,4

−(0,583333)×u

=

0,4

−(0,583333) × u = ln(0,4) −0,916290 u = −0,583333 u = 1,5707

Luego, para un capital inicial u ' 1,6 la probabilidad de ruina es menor a 0,4, aunque puede no ser el m´ınimo capital con el que se inicia. Otra pregunta que podemos hacer es ¿Qu´e valor debe tener la prima que se cobra a los asegurados para que la probabilidad de ruina no sea mayor a 0.4?. Seg´ un el resultado anterior con un capital mayor a 1,6 se asegura que la probabilidad es menor a 0,4, digamos que tenemos un capital inicial menor, por ejemplo, u = 0,8. Observamos en la siguiente gr´afica que para un monto de prima c > 1,8 la probabilidad de ruina se mantiene menor que 0,4.

46

4.3.

Conclusiones

El estudio de la variable S definida como el proceso de super´avit, bajo diferentes condiciones, es de una relevancia muy grande para el c´alculo de la probabilidad de ruina la cual es, a su vez, parte fundamental de la prosperidad de una empresa aseguradora. La f´ ormula de la probabilidad de ruina la podemos utilizar en la pr´actica con ´exito para algunas distribuciones particulares como las tratadas en el cap´ıtulo 4, no obstante, las situaciones en que puede verse implicada una aseguradora son m´ as complejas y no se cuenta con una expresi´on anal´ıtica para la probabilidad de ruina, debido a ello la simulaci´on es una herramienta primordial para el c´ alculo de la misma. A pesar de que la simulaci´on tiene inconvenientes, contribuye tambi´en en gran parte al estudio de la ruina. Debemos ser cuidadoso en el uso de la simulaci´ on ya que la generaci´ on de n´ umeros pseudoaleatorios es fuente de errores. El algoritmo propuesto para el c´alculo de la ruina result´o eficiente, adem´as mostr´ o ser u ´til para observar otras caracter´ısticas como el promedio del tiempo de ruina, un promedio del monto de las reclamaciones y el d´eficit con el que la empresa se fue a la ruina. Por u ´ltimo, el c´ alculo del super´avit promedio antes de la ruina puede resultar de mucha ayuda, debido a que permite a la empresa de tomar las medidas preventivas como el reaseguro o el incremento de capital, para disminuir la probabilidad de ruina. El modelo que alguna vez formaran Cramer y Lundberg sigue teniendo aplicaciones en la actualidad, este trabajo no es m´as que un vistazo de como la matem´ atica, espec´ıficamente la rama de la probabilidad es aplicada a un objeto de estudio de la econom´ıa como lo es la ruina.

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Referencias [1] Cram´er, H., Historical review of Filip Lundberg’s works on risk theory, Scandinavian Actuarial Journal (1969). [2] Wild, I., Measure, Integration and Probability, Matematics Department. [3] Rinc´ on, L., Introducci´ on a los procesos estoc´ asticos, Departamento de Matem´ aticas, Facultad de Ciencias UNAM. [4] Rinc´ on, L., Introducci´ on a la teor´ıa del riesgo, Departamento de Matem´aticas (2010). [5] Teugels, J. L.; Sund, B., Individual Risk Model, Encyclopedia of Actuarial Science. [6] Mart´ınez, A., An´ alisis y simulaci´ on de la probabilidad de ruina en el modelo cl´ asico de Cram´er-Lundberg, Tesis de Licenciatura, Facultad de ciencias UNAM (2007). [7] Yuanjiang, H.; Xucheng, L.; Zhang, J., Some Results of Ruin Probability for the Classical Risk Process, Journal of applied mathematics and decision sciences (2003). [8] Dickson, D. C., Insurance Risk and Ruin, International Series on Actuarial Science, Faculty of actuaries (2006). [9] B¨ uhlmann, H., Mathematical methods in risk theory; Springer (1996) [10] H¨ aggstrom, O., Finite Markov Chains and Algoritmic Applications London Mathematical Society [11] Faraway, J., Practical Regression and Anova using R, Julio, 2002.

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