Cálculo integral Parcial 2 - Guías 7

11

Farith Briceño - 2013

Cálculo integral - Guía 7

Funciones Transcendentes Objetivos a cubrir • • • •

Código : MAT-CI.7

Función logaritmo natural. Propiedades. Derivada e integración. Función exponencial natural. Propiedades. Derivada e integración. Función logaritmo y exponencial en base general. Propiedades. Derivada e integración. Funciones hiperbólicas. Identidades hiperbólicas. Ejercicios resueltos

Ejemplo 109 : Considere la expresión f (x) =

Z

x 1

1 dt. t

1. Obtenga el intervalo de definición para f (Dominio) 2. Hallar f (1). 3. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . 4. Hallar los valores extremos de f . 5. Estudiar la concavidad de f . 6. Esbozar una gráfica para f . Solución : 1. Observemos que el integrando no está definido en cero, por lo tanto esta integral no existe para ningún intervalo que incluya al cero, luego, el intervalo de definición es (0, 1). 2. Se tiene que f (1) =

Z

1

1 dt = 0 1 t | {z } "

Propiedad de la integral Z a f (x) dx = 0 a

3. Derivamos 1er Teorema Fundamental del Cálculo : integrando evaluado en el límite variable.

f 0 (x) =

d dx

✓Z

x 1

1 dt t

◆ # 1 = x

1 y observamos que, para todo x 2 (0, 1), se tiene que f 0 (x) = > 0, por lo tanto, la función f es x siempre creciente. 4. Por ser una función monótona creciente, no tiene valores extremos. 5. Se calcula la segunda derivada de f y se estudia su signo, derivamos ✓ ◆ d 1 1 00 f (x) = = , dx x x2 y para todo x 2 (0, 1), se tiene que f 00 (x) = hacia abajo. Última actualizacón: Julio 2013

1 < 0, por lo tanto, la función f siempre es concava x2

Farith J. Briceño N.

[email protected]

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Funciones Transcendentes

118

6. Un esbozo de la gráfica

F Ejemplo 110 : Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = ex , es f 0 (x) = ex . Demostración : Es conocido el teorema que establece: Teorema 1 : Si g es una función diferenciable inyectiva con inversa f = g entonces la función inversa es diferenciable en x y ⇥ 0 [f (x)] = g

1

⇤0 (x) =

1

y g

1

(f (x)) 6= 0,

1 . g 0 (f (x))

La función f (x) = ex es diferenciable, ya que es la función inversa de g (x) = ln x, la cual es una función diferenciable, además 1 0 0 [g (x)] = [ln x] = , x por lo tanto, 1 1 1 = = = ex , 1 1 g 0 (f (x)) f (x) ex luego, 0

[f (x)] =

g0

1 = ex . (f (x)) F

Ejemplo 111 : Determine el dominio de la función f (x) =

ln 1

x2 p x

ln (x + 5) x2

Solución : Tenemos que ln (·) tiene sentido si (·) > 0, por lo tanto,

p

(·) tiene sentido si (·)

• Para ln (x + 5), tenemos que x + 5 > 0 • Para ln 1

x2 , tenemos que 1

Última actualizacón: Julio 2013

=)

x2 > 0

=)

x> (1

5

=)

0,

1 tiene sentido si (·) 6= 0, (·)

x 2 ( 5, 1).

x) (1 + x) > 0.

Farith J. Briceño N.

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Funciones Transcendentes

119

Estudiamos el signo de la expresión

1

(1

( 1, 1)

( 1, 1)

+

+

x

1+x

+

x) (x + 1)

+

(1, 1) +

por lo tanto, • Para

p

x 2 ( 1, 1) x, tenemos que x

0

=)

x 2 [0, 1).

p 1 • Para p , observemos que resolver la no igualdad x x2 6= 0 es equivalente a resolver la igualdad 2 x x p x x2 = 0 y obtener los valores x que sean soluciones de la igualdad y dichos valores excluirlos del conjunto de definición. Resolvemos la igualdad p p p 2 2 x x2 = 0 =) x = x2 =) ( x) = x2 =) x = x4 =) x x4 = 0 x 1 luego, la función g (x) = p

x3 = 0

1 x

x2

=)

x) x2 + x + 1 = 0

x (1

tiene sentido si x 2 (0, 1)

Entonces, el dominio de f es \ \ \ Dom f = ( 5, 1) ( 1, 1) [0, 1) (0, 1) e 5

4

3

{1} = (0, 1)

1

x = 0 y x = 1,

{1}.

=)

AeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAu Ae AAAAAAAAAAAAAAAAAAe

2

=)

0

1

| {z } Dom f = (0, 1)

Dom f = (0, 1) .

2

F

Ejemplo 112 : Determine el dominio de la función f (x) = Solución : Tenemos que p 4 (·) tiene sentido si (·)

p 4

ln x 1 ex ln x

ln (·) tiene sentido si (·) > 0,

0,

1 tiene sentido si (·) 6= 0, (·)

por lo tanto, p • Para 4 ln x 1, resolvemos la desigualdad ln x 1 0 =) ln x 1, para despejar x aplicamos la función inversa de la función logaritmo natural, es decir, la función exponencial natural, por ser la función exponencial natural creciente, la desigualdad se mantiene, así eln x • Para ln x, tenemos que x > 0

=)

e1

=)

x

e

=)

x 2 [e, 1)

x 2 (0, 1).

1 , observemos que resolver la no igualdad ex ln x 6= 0 es equivalente a buscar los valores ex ln x de x donde la función exponencial natural y la función logaritmo natural sean iguales, y dichos valores excluirlos del conjunto de definición, pero es conocido que dichas funciones no tienen puntos en común, así, 1 que la expresión x tiene sentido para todo x en (0, 1). e ln x

• Para

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Funciones Transcendentes

120

Funciones exponencial y logaritmo natural Luego, el dominio de f es Dom f = [e, 1)

2

e

1

0

1

\

(0, 1) = [e, 1)

Au AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA e 3

2

|

4

5

{z Dom f = [e, 1)

}

F

Ejemplo 113 : Hallar el dominio de las siguientes funciones a.

f (x) = ln x2

x

6 + ln x3

x

b.

c.

f (x) = ln x2

x

6

ln x3

x

d.

f (x) = ln x2 x 6 x3 ✓ 2 ◆ x x 6 f (x) = ln x3 x

x

Solución : a. Puesto que, la función f es la suma de dos funciones logaritmo naturales, ln x2 x 6 y f2 (x) = ln x3 x , entonces, Dom f = Dom f1 • Para f1 : La función f1 tiene sentido si x2

x

6>0

\

f1 (x) =

Dom f2

=)

(x

3) (x + 2) > 0,

estudiamos el signo de la expresión ( 1, 2) x

( 2, 3)

3

+

x+2 (x

+

3) (x + 2)

+

por lo tanto, Dom f1 : ( 1, 2) • Para f2 : La función f2 tiene sentido si x3

x>0

Última actualizacón: Julio 2013

=)

(3, 1)

x x2

+ +

[

1 >0

Farith J. Briceño N.

(3, 1)

=)

x (x

1) (x + 1) > 0,

[email protected]

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Funciones Transcendentes

121

estudiamos el signo de la expresión, ( 1, 1)

( 1, 0)

x x

x (x

(0, 1)

(1, 1)

+

+

1

+

x+1

+

1) (x + 1)

+

por lo tanto,

[

Dom f2 : ( 1, 0)

+

+ +

(1, 1) .

Luego, el dominio de la función f , es ⇣ ⌘\⇣ ⌘ [ [ Dom f = ( 1, 2) (3, 1) ( 1, 0) (1, 1) = (3, 1) e

3

e AAAAAAAAAAAAAAAAAA e

2

1

e AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

0

1

2

3

b. Es conocida la propiedad de los logaritmos Propiedad I :

4

| {z } Dom f = (3, 1)

ln a + ln b = ln (ab) ,

así, que uno estaría tentado a sugerir que el dominio de esta función, f (x) = ln x2 x 6 x3 x es el mismo que el de la función de la parte a., f (x) = ln x2 x 6 + ln x3 x , pero esto no es necesariamente cierto, ya que la propiedad I es válida solo cuando los términos a y b sean positivos. Busquemos el domino de la función f (x) = ln x2 x 6 x3 x . La función f tiene sentido si, x2

x

6

x3

x >0

=)

x (x + 2) (x

3) (x

1) (x + 1) > 0.

( 2, 1)

( 1, 0)

(0, 1)

(1, 3)

(1, 1)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Estudiamos el signo de los factores, ( 1, 2) x+2 x+1 x

x2

x

6

x3

x

1

x

3

+

x

+

Luego, el dominio de la función f (x) = ln x2

+ x

Dom f : ( 2, 1)

6 [

x3

x

(0, 1)

[

+

es (1, 1) .

c. Como la función f es al diferencia de dos funciones logaritmo naturales, f1 (x) = ln x2 Última actualizacón: Julio 2013

x

6

y Farith J. Briceño N.

f2 (x) = ln x3

x , [email protected]

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Funciones Transcendentes

entonces, Dom f = Dom f1 por la parte a., se tiene que Dom f = e

3

⇣

( 1, 2)

2

[

(3, 1)

e AAAAAAAAAAAAAAAAAA e 1

\

⌘\⇣

122

Dom f2 ,

( 1, 0)

[

(1, 1)

⌘

= (3, 1)

e AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

0

1

2

3

4

| {z } Dom f = (3, 1)

d. Similarmente, a las funciones de la parte a. y b.. Es conocida la propiedad de los logaritmos ⇣a⌘ Propiedad II : ln a ln b = ln , b ✓ 2 ◆ x x 6 así, que uno estaría tentado a sugerir que el dominio de esta función, f (x) = ln es el mismo que x3 x el de la función de la parte c., f (x) = ln x2 x 6 ln x3 x , pero esto no es necesariamente cierto, ya que la propiedad solo cuando los términos a y b sean positivos. Busquemos el domino de la función ✓ 2 II es válida ◆ x x 6 . f (x) = ln x3 x La función f tiene sentido si x2 x 6 >0 x3 x

Condición 1 (Para ln (·)) : Condición 2

✓

Para

1 (·)

◆

x3

:

x 6= 0

Observemos que al resolver la condición 1, resolvemos indirectamente la condición 2, ya que, en la solución x2 x 6 de la condición 1 no están incluidos los valores que anulan al denominador, así, resolvemos > 0, x3 x factorizamos numerador y denominador • Para el numerador:

x2

x

6 = (x

Raíces : x =

3) (x + 2)

• Para el denominador: x3

así,

x = x x2

1 = x (x

x+2

Raíces : x = 0,

=)

(x 3) (x + 2) > 0. x (x 1) (x + 1)

x

3

(x 3)(x+2) x(x 1)(x+1)

Última actualizacón: Julio 2013

1,

x=1

( 1, 0)

(0, 1)

(1, 3)

(1, 1)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

x 1

x=

( 2, 1)

x+1

x

x=3

1) (x + 1)

x2 x 6 >0 x3 x Estudiamos el signo de los factores ( 1, 2)

2,

+ +

+ Farith J. Briceño N.

+ [email protected]

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Funciones Transcendentes

123

la solución de la desigualdad es

[ [ x 2 ( 2, 1) (0, 1) (1, 1) , ◆ ✓ 2 x x 6 que corresponde al dominio de la función f (x) = ln . x3 x Ejemplo 114 : Hallar el rango de la función

f (x) = e2x

F

2ex + 6.

2

Solución : Es conocido que, e2x = (ex ) , así, Completar cuadrado ✓ ◆ b 2 a (·) + b (·) + c = a (·) + +c 2a 2

f (x) = e2x

2ex + 6 = (ex )

2

1) + 5,

2

Buscamos el rango de la función de f (x) = (ex

1) + 5.

=)

Dom f : ( 1, 1)

# 2ex + 6 = (ex

2

b2 4a

10

=)

x>

1,

por lo tanto, Dom f2 : ( 1, 1) .

Luego, el dominio de la función f , es

Dom f = ( 1, 3)

de aquí,

f (x) = ln (3

x)

( 1, 1) = ( 1, 3) ,

ln (1 + x) = ln

✓

3 x 1+x

◆

= ln

✓

4 1+x

◆ 1 .

2

Buscamos el rango de la función de f (x) = (ex

1) + 5.

=)

Dom f : ( 1, 3)

\

10

=)

• La expresión ln (x + 4) tiene sentido si x + 4 > 0 • La expresión ln x2

2

=)

x>

=) 4

x 2 ( 1, 0). =)

x 2 ( 4, 1).

tiene sentido si x2

Última actualizacón: Julio 2013

x0

=)

⇣

x

p ⌘⇣ p ⌘ 2 x + 2 > 0,

Farith J. Briceño N.

[email protected]

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Funciones Transcendentes

entonces, p

x

p

1,

126

p p 2, 2

2

2

x esto implica que, x 2

x+ 2 p x+ 2

2

p

1,

+

+

+

S p

2

+

2, 1 .

Por lo que, el conjunto de definición de la desigualdad, Cdef , viene dado por ⌘o ⇣ \ \ n⇣ p ⌘ p ⌘ [ ⇣p Cdef = ( 1, 0) ( 4, 1) 1, 2 2, 1 = 4, 2 =) p

6

2, 1 +

p

p

p

p

Cdef =

e AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

5

4

3

2

2

1

0

2

1

2

3

⇣

p ⌘ 2 ,

4,

4

| {z } p Cdef = 4, 2 p Resolvemos la desigualdad para x 2 4, 2 , por las propiedades del logaritmo natural, tenemos, ln x2

2

ln (x + 4)  ln ( x)

ln x2

=)

2  ln ( x) + ln (x + 4) ln x2

=)

2  ln ( x (x + 4)) ,

aplicamos la función inversa del logaritmo natural, la función exponencial natural, por ser esta una función creciente la desigualdad se mantiene ln x2

2  ln ( x (x + 4))

eln(x

=)

2

2)

resolvemos esta última desigualdad x2

2

x (x + 4)

x2

=)

x2

2

4x

 eln(

x(x+4))

2x2 + 4x

=)

x+

p

2+1

esto implica que, x 2

x+

p

2+1

x

p

2

x ⇥ p

p 2

p

1,

p

1

2

1,

p

2

p

1

1, 1 +

+ 2

2

+

1

p

x (x + 4) ,

=) x2 + 2x 1  0 p p x+ 2+1 x 2 + 1  0,

+

2+1 1,

2

2

20 =)

entonces,

x2

=)

+

⇤ 1 .

Luego, la solución de la desigualdad ln x2 2 ln (x + 4)  ln ( x) viene dada por i ⇣ i h p \h p p p ⌘\h p p x 2 Cdef 2 1, 2 1 =) x 2 4, 2 2 1, 2 1 =) x 2 2 5

e

4

p

3

Cdef

Última actualizacón: Julio 2013

2

p

p

u AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA u 1

2

| {z ⇥ p = 2

2

1

} p 1, 2

Farith J. Briceño N.

0

2

1

1

1,

p ⌘ 2 .

2

F [email protected]

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Funciones Transcendentes

127

Ejemplo 119 : Hallar el conjunto solución de ln x

ln (x + 2) < ln (x

1)

Solución : En primer lugar, buscamos el conjunto de definición, el cual denotaremos por Cdef , de la desigualdad, para ello interceptamos los dominios de las expresiones involucradas La expresión ln x tiene sentido si x > 0

=)

x 2 (0, 1).

La expresión ln (x + 2) tiene sentido si x + 2 > 0

=)

x>

La expresión ln (x

=)

x>1

1) tiene sentido si x

así, Cdef = (0, 1) 6

5

\

4

( 2, 1)

\

1>0

(1, 1) = (1, 1)

2

x 2 ( 2, 1).

=) =)

x 2 (1, 1),

Cdef = (1, 1) ,

=)

eAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAeAAAAAAAAAAeAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

3

2

1

0

1

2

|

3

4

Cdef

5

6

{z = (1, 1)

7

por las propiedades del logaritmo natural, para todo x 2 (1, 1), tenemos, ✓ ◆ x ln x ln (x + 2) < ln (x 1) =) ln < ln (x x+2

8

}

1) ,

aplicamos la función inversa del logaritmo natural, la función exponencial natural, por ser esta una función creciente la desigualdad se mantiene ✓ ◆ x x x ln < ln (x 1) =) eln( x+2 ) < eln(x 1) =) < x 1, x+2 x+2 resolvemos esta última desigualdad x > si x 0 < ln a loga |x| = > > : ln ( x) si x < 0. ln a loga (·) =

Al derivar, para x

0

d d (f (x)) = (loga x) = dx dx

ln x ln a |{z}

!0

=

1 1 1 1 0 (ln x) = = . ln a ln a x x ln a

"

ln a es constante sale de la derivada

Para x < 0 d d (f (x)) = (loga ( x)) = dx dx

ln ( x) ln a |{z}

!0

"

=

ln a es constante sale de la derivada

Se tiene que

1 1 1 1 0 0 (ln ( x)) = ( x) = ln a | {z } ln a x ln a "

1 x

◆

( 1) =

1 . x ln a

Derivada: Regla de la cadena

8 > > <

1 x ln a d (loga |x|) = > dx 1 > : x ln a

de aquí,

✓

si x

0 ,

si x < 0.

d 1 (loga |x|) = dx x ln a F

Ejemplo 127 : Hallar la primera derivada de

f (x) = 3sen x .

Solución : En virtud que la función f es una función compuesta, derivamos usando la regla de la cadena 0

0

f 0 (x) = [3sen x ] = 3sen x ln 3 [sen x] = 3sen x ln 3 cos x. Luego,

F

f 0 (x) = 3sen x cos x ln 3.

Ejemplo 128 : Hallar la primera derivada de

f (x) = xsen x .

Solución : Observemos que la función f no es una función potencia ni tampoco una funci on exponencial, así, que para obtener su derivada aplicamos derivación logaritmica. Aplicamos logaritmo a ambos lados de la igualdad para obtener y = xsen x Última actualizacón: Julio 2013

=)

ln y = ln xsen x

=)

Farith J. Briceño N.

ln y = sen x ln x, [email protected]

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Funciones Transcendentes

132

derivamos implicítamente, 0

(ln y) = (sen x ln x)

0

1 0 y0 1 0 0 y = (sen x) ln x + sen x (ln x) =) = cos x ln x + sen x y y x h h sen x i sen x i =) y 0 = y cos x ln x + =) y 0 = xsen x cos x ln x + , x x

=)

ya que, y = xsen x , luego,

h sen x i f 0 (x) = xsen x cos x ln x + . x

F

Ejemplo 129 : Hallar la primera derivada de f (x) = (sen x)

ln x

+ 23

x

xlog3 (4x) .

Solución : Derivamos h x ln x f 0 (x) = (sen x) + 23

donde,

• Si y = (sen x)

ln x

xlog3 (4x)

i0

h i 0 h x i0 ln x = (sen x) + 23

h

i0 xlog3 (4x) ,

, aplicamos logaritmo a ambos lados de la igualdad para obtener y = (sen x)

ln x

=)

ln y = ln (sen x)

ln x

=)

ln y = ln x ln (sen x) ,

derivamos implicítamente, 0

(ln y) = (ln x ln (sen x))

0

=)

y0 1 1 = ln (sen x) + ln x cos x y x sen x

=) pero, y = (sen x)

ln x

1 0 0 0 y = (ln x) ln (sen x) + ln x (ln (sen x)) y =)

y0 = y



ln (sen x) + ln x cot x x

, luego  ⇣ ⌘0 ln x ln x ln (sen x) y 0 = (sen x) = (sen x) + ln x cot x x

x

• Sea z = 23 . observemos que esta es una composicón de funciones exponenciales de base 2 y 3, así, su derivada viene dada por ⇣ x ⌘0 x x z 0 = 23 = 23 ln 2 3x ln 3 = 23 3x ln 2 ln 3 • Sea w = xlog3 (4x) , aplicamos logaritmo natural a ambos lados y obtenemos ⇣ ⌘ w = xlog3 (4x) =) ln w = ln xlog3 (4x) =) ln w = log3 (4x) ln x, derivamos implicítamente, 0

(ln w) = (log3 (4x) ln x)

0

=)

1 0 0 0 w = (log3 (4x)) ln x + log3 (4x) (ln x) w  w0 1 1 ln x log3 (4x) = ln x + log3 (4x) =) w0 = w + w x ln 3 x x ln 3 x

=)

pero, w = xlog3 (4x) , luego  ⇣ ⌘0 ln x log3 (4x) w0 = xlog3 (4x) = xlog3 (4x) + x ln 3 x Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

133

Finalmente, 0

f (x) = (sen x)

ln x



x ln (sen x) + ln x cot x + 23 3x ln 2 ln 3 x

x

log3 (4x)



ln x log3 (4x) + x ln 3 x F

Ejemplo 130 : Calcular el siguiente límite, si existe,

lim sen

x!0

✓

◆

ln (cos 3x) . ex e x

Solución : Puesto que la función seno es una función continua, entonces ✓ ◆ ✓ ◆ ln (cos 3x) ln (cos 3x) lim sen = sen lim x , x!0 x!0 e ex e x e x 0 observemos que el límite argumento de la función seno es de la forma indeterminada , por lo tanto, aplicamos 0 la regla de L’Hospital 0

ln (cos 3x) L0 H (ln (cos 3x)) lim x = lim lim 0 = x!0 x x!0 e x!0 (ex e e x) luego, lim sen

x!0

✓

3 sen 3x cos 3x ex + e x

ln (cos 3x) ex e x

◆

= lim

x!0 (ex

= sen (0) = 0 F

5x 3 . x!1 2x + 4

Ejemplo 131 : Calcular el siguiente límite, si existe,

lim

Solución : Observemos que este límite es de la forma indeterminada 5x = ex ln 5 así,

3 sen 3x 0 = = 0, x + e ) cos 3x 2

1 . Es conocido que 1

2x = ex ln 2

y

5x 3 ex ln 5 3 = lim x ln 2 . x x!1 2 + 4 x!1 e +4 lim

Aplicamos la regla de L’Hospital 0

ex ln 5 3 ex ln 5 3 L0 H ex ln 5 ln 5 ln 5 = lim = lim x ln 2 = lim ex(ln 5 0 x ln 2 x!1 (ex ln 2 + 4) x!1 e x!1 e +4 ln 2 ln 2 x!1 lim

ln 2)

=1 F

Ejemplo 132 : Calcular el siguiente límite, si existe,

lim (ln t

ln (3t

t!1

1)).

Solución : Como ln t ! 1, cuando t ! 1, entonces, lim (ln t

t!1

ln (3t

1))

presenta una indeterminación de la forma 1

así,

1. Levantamos la indeterminación, es conocido que ⇣a⌘ Propiedad II : ln a ln b = ln , b ln t

Última actualizacón: Julio 2013

ln (3t

1) = ln

✓

t 3t

Farith J. Briceño N.

1

◆

, [email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

por lo que, el límite queda lim (ln t

ln (3t

✓

◆

t

, 3t 1 puesto que, la función logaritmo neperiano es una función continua, podemos introducir el límite dentro de la aplicación logaritmo neperiano y nos queda ✓ ◆ ✓ ◆ t t = ln lim , lim ln t!1 t!1 3t 3t 1 1 t!1

observemos que, el nuevo límite, lim

t!1

tiene

t

3t

1

0

1

= lim

t!1

por lo tanto,

t

lim

3t

t!1

de aquí, lim ln

t!1

Finalmente,

✓

t 3t

1

◆

= ln

✓

lim

t!1

1

t 3t

lim (ln t

1

◆

ln (3t

t!1

1 , aplicando la regla de L’Hospital se 1

[t] 1 1 lim = , 0 = t!1 3 3 [3t 1]

L0 H

3t

t!1

t!1

, es un límite de la forma

t

lim

1)) = lim ln

134

Ejemplo 133 : Calcular el siguiente límite, si existe,

1 , 3

=

= ln

✓ ◆ 1 = ln 1 3

1)) =

lim

n!1

✓

n X

✓

ln 1 +

1 k

◆

n X

k=1

✓

1 ln 1 + k

la cual es una suma telescópica, por lo que n X

(ln (k + 1)

◆

=

n X

(ln (k + 1)

F

◆

1 . k

se puede escribir como

✓ ◆ ✓ ◆ 1 k+1 ak = ln 1 + = ln = ln (k + 1) k k

así,

ln 3

ln 3.

k=1

Solución : Observemos que el término general ak = ln 1 +

ln 3 = 0

ln k,

ln k) ,

k=1

ln k) = ln (n + 1)

ln 1 = ln (n + 1) .

k=1

Luego,

lim

n!1

n X

k=1

✓

1 ln 1 + k

◆

= lim ln (1 + n) = 1. n!1

Ejemplo 134 : Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue 2 ⌘ e1/n ⇣ 2/n2 5/n2 10/n2 1 1/n2 lim e + 2e + 3e + · · · + ne n!1 n2 Solución : Tenemos que 2 ⌘ e1/n ⇣ 2/n2 5/n2 10/n2 1 1/n2 e + 2e + 3e + · · · + ne n2 2 e1/n ⇣ 2/n2 2 2 = e + 2e 5/n + 3e 10/n + · · · + ne n Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

F

1 1/n2

⌘1 n

[email protected]

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Funciones Transcendentes

=

✓

1 e n

1/n2

+

2 e n

4/n2

+

3 e n

135

9/n2

n e n

+ ··· +

1

✓

◆

1 n

◆ 1 2 3 n 1 (1)2 /n2 (2)2 /n2 (3)2 /n2 (n)2 /n2 = e + e + e + ··· + e n n n n n ✓✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ◆ ⇣n⌘ 1 2 3 1 (1/n)2 (2/n)2 (3/n)2 (n/n)2 = e + e + e + ··· + e n n n n n =

n ✓ ◆ X k

n

k=1

(k/n)2

e

1 . n

Consideramos la partición regular del intervalo [0, 1], de n subintervalos, entonces =

1

0 n

=

1 n

y la partición viene dada por x 0 = 0 < x1 = Sean f (x) = xe 2 e1/n ⇣ lim e n!1 n2

x2

2/n2

1 2 3 k n < x2 = < x3 = < · · · < xk = < · · · < xn = = 1, n n n n n

y x⇤k = xk =

k , así, n

5/n2

10/n2

+ 2e

+ 3e

+ · · · + ne

1 1/n2

= lim

n!1

donde

Z

1

xe

x2

n X

⌘

= lim

n!1

⇤

x⇤k exk

k=1

n ✓ ◆ X k

k=1

n

(k/n)2

e

1 n

n

X 1 = lim f (x⇤k ) n n!1

xk =

k=1

Z

1

xe

x2

dx,

0

dx se resuelve con el cambio de variable

0 Cálculo del

x2

u=

diferencial

!

du =

2x dx

du = x dx, 2

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Cambiamos el intervalo de integración 2

Si

x = 0,

entonces,

u=

(0) = 0

Si

x = 1,

entonces,

u=

(1) =

2

=) 1

u=0

=)

u=

1,

la integral queda

b

Z

1

xe 0

x

2

dx =

Z

1

eu 0

✓

du 2

◆

Primitiva evaluada en el límite superior

Propiedad de la integral definida: Z a Z b f (x) dx = f (x) dx

=

1 2

Z

a

1 0

# 1Z u e du = 2

0

1 eu du = 2 1 =

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

✓

1 1 2

0

eu 1

e

1

1 = 2

# z}|{ e0

1 2

1 e 2

=

Primitiva evaluada en el límite inferior

# ! z}|{ e 1 1

=

1

e 2

1

.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Luego,

Funciones Transcendentes

2 e1/n ⇣ e n!1 n2

lim

2/n2

+ 2e

5/n2

+ 3e

10/n2

136

1 1/n2

+ · · · + ne

Ejemplo 135 : Calcular la derivada de la siguiente función f (x) =

Z

8 ln x

⌘

=

1

e 2

1

. F

e2t dt. t2 + ln t

Solución : Observemos que la función f es la composición de las funciones Z 8 e2t g (x) = dt y h (x) = ln x, 2 x t + ln t

ya que,

(g h) (x) = g (h (x)) = g (ln x) =

Z

8

e2t dt = f (x) , t2 + ln t

ln x

por lo tanto, para obtener la derivada de f aplicamos la regla de la cadena 0

f 0 (x) = [g (h (x))] = g 0 (h (x)) h0 (x), | {z } | {z } " " Derivada de la función externa evaluada en la función interna

Derivada de la función interna

por otra parte, observe que el límite variable está en la cota inferior, así, Z 8 Z ln x e2t e2t f (x) = dt = dt. 2 t2 + ln t " ln x t + ln t 8 Z

Propiedad de la integral Z b f (x) dx = f (x) dx

a b

a

La propiedad aplicada a la integral es debido a que el Primer Teorema Fundamental del Cálculo exige que el límite variable se encuentre en la cota superior de la integral definida, así, Z ln x e2t f (x) = dt, t2 + ln t 8 derivamos respecto a x, Derivada de una función compuesta

z d f 0 (x) = dx

Z

# }|

ln x 8

2t

e dt t2 + ln t

!{

= "

2

e2 ln x

0

(ln x) = 2 (ln x) + ln (ln x) | {z } "

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

f 0 (x) =

✓ ◆ 1 x

Derivada de la función interna

= Luego,

eln x 2 ln x + ln (ln x)

x2 2 ln x + ln (ln x)

✓ ◆ 1 = x

x . ln2 x + ln (ln x)

x . ln x + ln (ln x) 2

F Última actualizacón: Julio 2013

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Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

Ejemplo 136 : Calcular la derivada de la siguiente función f (x) = Solución : Escribimos la función f como Z ex u Z a Z ex u 5 + u2 5u + u 2 5 + u2 f (x) = du = du + du = arctan u " sen x arctan u " sen x arctan u a Z

b a

Propiedad de la integral Z c Z b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx a

Z

c

137

Z

sen x ex

Z

5u + u 2 du. arctan u

sen x a

5u + u 2 du + arctan u

Z

ex a

5u + u2 du, arctan u

Propiedad de la integral Z b f (x) dx = f (x) dx

a b

a

donde a es una constante cualquiera que cumple con sen x  a  ex . Por lo tanto Z sen x u Z ex u 5 + u2 5 + u2 f (x) = du + du, arctan u arctan u a a derivamos respecto a x. "Z x e 5u + u2 0 f (x) = du arctan u a

Z

sen x a

5u + u 2 du arctan u

#0

= "

"Z

ex a

5u + u2 du arctan u

#0

Z

sen x a

0

5u + u2 du , arctan u

Derivada de una resta de funciones

donde Derivada de una función compuesta

z d dx

Z

e

x

a

# }| !{ x x x 2 5e + e2x ex 5u + u2 5e + (ex ) 5e + e2x x x 0 du = (e ) = e = , arctan u arctan (ex ) " arctan (ex ) | {z } arctan (ex ) " Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Derivada de la función interna

mientras que, Derivada de una función compuesta

# z ✓Z }| ◆{ 2 sen x u 5sen x + sen2 x cos x d 5 + u2 5sen x + (sen x) 5sen x + sen2 x 0 du = (sen x) = cos x = . dx arctan u arctan (sen x) arctan (sen x) " arctan (sen x) | {z } a " Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Derivada de la función interna

Por lo tanto, 0

f (x) =

"Z

ex a

5u + u 2 du arctan u

#0

Z

Luego,

sen x a

x

f 0 (x) =

5u + u2 du arctan u

5e + e2x ex arctan (ex )

0

x

=

5e + e2x ex arctan (ex )

5sen x + sen2 x cos x . arctan (sen x)

5sen x + sen2 x cos x . arctan (sen x) F

Última actualizacón: Julio 2013

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Funciones Transcendentes

Z

Ejemplo 137 : Integrar

p p log ( x) log3 ( 4 x) dx. log5 x

Solución : Es conocido que loga x = log

p

x =

p ln ( x) , ln 10

Puesto que,

138

p

ln x , para a > 0 y a 6= 1, por lo tanto, ln a p p ln ( 4 x) ln x log3 4 x = y log5 x = . ln 3 ln 5

x = x1/2

p 4

y

x = x1/4 ,

por la propiedad del logaritmo de una potencia, ln xy = y ln x, se tiene que ⇣ ⌘ 1 ⇣ ⌘ 1 p p ln x = ln x1/2 = ln x y ln 4 x = ln x1/4 = ln x, 2 4 así,

1 p p ln x p ln ( x) ln x ln ( 4 x) 4 2 log x = = = y log3 x = = ln 10 ln 10 2 ln 10 ln 3 p p Al sustituir las correspondientes expresiones de los términos log ( x), log3 ( 4 x) y se tiene ✓ ◆ 1 1 ln x ln x p p ln x log ( x) log3 ( 4 x) 2 ln 10 4 ln 3 = 2 ln 10 4 ln 3 = ln x ln x log5 x ln 5 ln 5 p

= es decir,

1 2 ln 10

1 ln 5

1 4 ln 3

= ln 5

✓ p p log ( x) log3 ( 4 x) 1 = ln 5 log5 x 2 ln 10

y la integral queda ✓ p p Z Z log ( x) log3 ( 4 x) 1 dx = ln 5 log5 x 2 ln 10

Luego,

Z

Ejemplo 138 : Integrar

Z

1 4 ln 3

◆

1 4 ln 3

dx = ln 5

✓ p p log ( x) log3 ( 4 x) 1 dx = ln 5 log5 x 2 ln 10

✓

1 ln x ln x 4 = . ln 3 4 ln 3 log5 x en el integrando

1 2 ln 10

1 4 ln 3

◆

,

◆

✓

◆Z 1 1 dx 2 ln 10 4 ln 3 ✓ ◆ 1 1 = ln 5 x + C. 2 ln 10 4 ln 3

1 4 ln 3

◆

x + C. F

x4 log4 x ln x p dx. ln ( 4 x)

p ln x 1 y ln ( 4 x) = ln x, entonces, la integral la podemos escribir como ln 4 4 ✓ 4 ◆ x ◆ Z 4 Z x4 ln x ln x Z ln x Z ✓ 4 1 x log4 x ln x x ln 4 ln 4 p dx = dx = dx = 4 1 dx 1 1 ln 4 ln ( 4 x) ln x ln x 4 4

Solución : Es conocido que log4 x =

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así,

Finalmente,

Funciones Transcendentes

Z

x4 log4 x ln x p dx = 4 ln ( 4 x) Z Z

Ejemplo 139 : Integrar

Luego

◆ x + C.

4x + C. F

x

dx.

a(·) = e(·) ln a , por lo tanto, ✓ ◆ 2x 2x/ ln 6 6 = exp ln 6 = exp (2x) = e2x , ln 6

es decir, Al integrar

◆ ✓ 1 x5 1 dx = 4 ln 4 5

x4 ln 4

x4 log4 x ln x 4x5 p dx = 4 5 ln 4 ln ( x)

62x/ ln 6 e

Solución : Es conocido que

Z ✓

139

62x/ ln 6 = e2x . Z

62x/ ln 6 e

x

dx =

Z

e2x e

Z

Ejemplo 140 : Integrar Solución : Se tiene que

Z

e

2x

e

x

dx =

62x/ ln 6 e

x

Z

e2x

de igual manera,

ex ex

por lo tanto, Z 2x Z e ex dx = ex 5

5

x

e e

5

(x 5)

e

5

ex dx = ex + C.

F

dx.

= e2x

= ex

Z

x

ex 5

(x 5)

dx =

dx = ex + C.

e2x ex e2x = x 5 x 5 e e por propiedades de la exponencial, se obtiene e2x = e2x ex 5

x

x+5

= ex+5 = ex e5 ,

= ex

dx =

ex ex 5

Z

x+5

5

= e5 ,

e (e

x

,

e2x = ex e5 , ex 5

es decir, ex

es decir,

1) dx = e

Z

5

(ex

ex

Ejemplo 141 : Integrar

Z Z

e

3x

e

e2x

2x

e2x ex dx == ex+5 ex 5

= e5 ,

1) dx = e5 (ex

= e5 ex Luego,

5

x + C1 )

xe5 + C = ex+5

xe5 + C.

xe5 + C. F

x

5e + 2 dx. +1

3ex

b

Solución : Es conocido que eab = (ea ) , así, 3

2

e3x e2x 5ex + 2 (ex ) (ex ) 5ex + 2 = 2 2x x e 3e + 1 (ex ) 3ex + 1

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Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

140

Observamos que la expresión del numerador se factoriza como (ex )

3

(ex )

⇣ 2 5ex + 2 = (ex + 2) (ex )

2

así, el integrando queda e y la integral se escribe

3x

2x

e 5e + 2 = e2x 3ex + 1

Z

Luego,

x

2 (ex )

e3x e2x 5ex + 2 dx = e2x 3ex + 1 Z

Z

Ejemplo 142 : Integrar

⇣ 2 (ex + 2) (ex ) Z

⌘ 3ex + 1 ,

3ex + 1

3ex

+1

⌘

= ex + 2

(ex + 2) dx = ex + 2x + C.

e3x e2x 5ex + 2 dx = ex + 2x + C. e2x 3ex + 1 F

1 ex dx. 1 e x

Solución : Por propiedad de la función exponencial, se tiene que e

x

1 , ex

=

entonces,

de aquí,

1 ex = 1 e x

1 ex ex 1 ex

=

es decir,

Al integrar

Z

1 ex dx = 1 e x

Luego,

Z Z

Ejemplo 143 : Integrar

1

dx e

3x

1

ex (1 ex

ex ) = 1

1 ex = 1 e x

ex .

x

Z

Z

e dx =

1 ex dx = 1 e x

e

x

1 ex 1 = , ex ex

=1

ex (ex 1) = ex 1

ex dx =

ex ,

ex + C.

ex + C. F

.

Solución : Tenemos que 1

1 e

3x

1

= 1

1 e3x

=

1 e3x 1 e3x

=

e3x e3x

1

=)

Z

dx 1 e

3x

=

Z

e3x dx . e3x 1

Se propone el siguiente cambio de variable u = e3x

1

Cálculo del diferencial

!

du = 3e3x dx

=)

du = e3x dx, 3

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

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Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

141

Entonces, la integral se transforma en Z Z 3x Z Z dx e dx 1 du 1 du 1 1 = = = = ln |u| + C = ln e3x 1 e 3x e3x 1 u 3 3 u 3 3 ya que, u = e3x

1. Luego,

Z

Z

Ejemplo 144 : Integrar

ex 1+e

dx e

1

3x

=

ex 1+e

x

1 + C. F

dx.

x

1 , se tiene que ea Z Z Z ex ex ex ex dx = dx = dx = dx. x 1 e +1 ex + 1 1+ x e ex

Solución : Por la propiedad de la exponencial, e Z

1 ln e3x 3

1 + C,

a

=

Se propone el siguiente cambio de variable u = ex + 1

ex = u

de aquí

Cálculo del

1

diferencial

du = ex dx,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral se transforma en Z Z Z Z ✓ ex ex u 1 ex dx = dx = du = 1 1+e x ex + 1 u

1 u

= ex + 1 Luego,

Z

Ejemplo 145 : Integrar

Z

dx 5

x

1

ex 1+e

x

dx = ex

◆

du = u

ln |u| + C

ln |ex + 1| + C = ex

ln |ex + 1| + C.

ln |ex + 1| + C. F

dx.

1 , se tiene que 5a Z Z Z Z x dx dx dx 5 dx = = = , 1 1 5x 5 x 1 1 5x 1 5x 5x

Solución : Por la propiedad de la exponencial, 5

como,

5x = ex ln 5 ,

se tiene

Z

se propone el cambio de variable u=1

ex ln 5

Cálculo del diferencial

!

a

5x dx = 1 5x

=

Z

du =

ex ln 5 dx , 1 ex ln 5

ex ln 5 ln 5 dx

=)

du = ex ln 5 dx, ln 5

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

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Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

Entonces, la integral queda Z x ln 5 Z e dx 1 du = = 1 ex ln 5 ln 5 u

puesto que,

Z

se concluye que

dx 5

x

1

=

1 ln |u| + C = ln 5 Z

5x dx = 1 5x

Z Z

Ejemplo 146 : Integrar

ex

dx 5

x

1

Z

1 ln 1 ln 5

ex ln 5 dx = 1 ex ln 5 1 ln |1 ln 5

=

142

ex ln 5 + C =

1 ln |1 ln 5

1 ln |1 ln 5

5x | + C.

5x | + C,

5x | + C. F

p

ex 1 dx. ex + 3

Solución : Se propone el siguiente cambio de variable u2 = e x

Cálculo del

e x = u2 + 1

de aquí

1

diferencial

2u du = ex dx,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral se transforma en Z xp x Z e e 1 dx = ex + 3

de aquí,

Z

u2 du = 2 u +4

Z

Z ✓

u2 + 4 4 du = u2 + 4

donde,

Z

mientras que,

Z

p Z 2 2u u2 u du du = 2 u2 + 4 u2 + 4

◆ u2 + 4 4 du u2 + 4 u2 + 4 ◆ Z ✓ Z 4 = 1 du = du u2 + 4

du = u + C1 =

4 du = 2 u +4

Z

4

✓

4 2

u +1 4

p

ex

u 2

Cálculo del diferencial

!

◆ du =

dz =

u2

4 du, +4

1 + C1 , Z

para resolver la nueva integral se propone el cambio de variable z=

Z

1 du 2

1 ⇣ u ⌘2 2

=)

du, +1

du = 2 dz,

con este nuevo cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Se tiene Z Z Z 4 1 1 du = dz = 2 arctan z + C2 du = 2 ⇣ ⌘ 2 2 2 u u +4 z +1 +1 2 ✓p x ⇣u⌘ e = 2 arctan + C2 = 2 arctan 2 2 Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

1

◆

+ C2 .

[email protected]

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Funciones Transcendentes

Entonces ✓Z Z xp x Z 2 e e 1 u du dx = 2 = 2 du ex + 3 u2 + 4 =2

✓

p

Luego

ex

1 + C1 Z

Z

Ejemplo 147 : Integrar

ex

2 arctan

Z

✓p

4 du 2 u +4 ex 2

p

p ex 1 dx = 2 ex x e +3

1

◆

1

◆

+ C2

◆

143

p = 2 ex

4 arctan

✓p

1

ex 2

1

◆

4 arctan

✓p

ex 2

1

◆

+ C.

+C F

t

(2e + 1) dt . et 4e t + 1

1 , se tiene que ea Z Z Z Z Z (2et + 1) dt (2et + 1) dt (2et + 1) dt (2et + 1) et dt = = = = 4 et 4e t + 1 e2t 4 + et e2t 4 + et et +1 t e et

Solución : Por la propiedad de la exponencial, e

a

=

2e2t + et dt . e2t 4 + et

Se propone el siguiente cambio de variable u = e2t

Cálculo del

4 + et

diferencial

du = 2e2t + et dt,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral se transforma en Z Z 2e2t + et dt du = = ln |u| + C = ln e2t 2t t e 4+e u Luego,

Ejemplo 148 : Integrar

Z Z

(2et + 1) dt = ln e2t et 4e t + 1

4 + et + C.

4 + et + C. F

ln x dx . x

Solución : Se propone el siguiente cambio de variable Cálculo del

u = ln x

diferencial

!

du =

dx , x

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral se transforma en Z Z ln x u2 1 dx = u du = + C = ln2 x + C. x 2 2 Luego,

Última actualizacón: Julio 2013

Z

ln x 1 dx = ln2 x + C. x 2 F Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

Z

Ejemplo 149 : Integrar

144

ln (3x) p dx. x ln ( 3 x)

p Solución : Por las propiedades del logaritmo natural, se puede escribir las expresiones ln (3x) y ln ( 3 x) como p 1 ln (3x) = ln 3 + ln x y ln 3 x = ln x 3 con lo que, la integral queda Z Z Z Z ln (3x) ln (3x) ln 3 + ln x 3 (ln 3 + ln x) p dx = dx = dx = dx. x ln x x ln x x ln ( 3 x) x ln x1/3 3 Se propone el siguiente cambio de variable Cálculo del

u = ln x

diferencial

!

du =

1 dx, x

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral se transforma en ◆ Z Z Z Z Z ✓ ln (3x) 3 (ln 3 + ln x) 3 (ln 3 + u) ln 3 + u ln 3 u p dx = dx = du = 3 du = 3 + du x ln x u u u u x ln ( 3 x) ◆ ✓Z ◆ Z ✓ Z ln 3 ln 3 =3 + 1 du = 3 du + du = 3 ln 3 ln |u| + 3u + C = ln 27 ln |ln x| + 3 ln x + C. u u Luego,

Z Z

Ejemplo 150 : Integrar Solución : Se tiene Z

ln (3x) p dx = ln 27 ln |ln x| + 3 ln x + C. x ln ( 3 x) F

sec x dx.

sec x dx =

Z

sec x

sec x + tan x dx = sec x + tan x

Z

sec2 x + sec x tan x dx, sec x + tan x

se propone el cambio de variable Cálculo del

u = sec x + tan x

diferencial

du = sec x tan x + sec2 x dx,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, Z

sec x dx =

Luego,

Última actualizacón: Julio 2013

Z

sec2 x + sec x tan x dx = sec x + tan x Z

Z

du = ln |u| + C = ln |sec x + tan x| + C. u

sec x dx = ln |sec x + tan x| + C. F Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

Z

Ejemplo 151 : Integrar

p

ex

dx.

e2x

4

145

b

Solución : Por la propiedad de la exponencial eab = (ea ) , se tiene que el integrando se puede escribir f (x) = p

ex

=q

e2x

4

por otra parte, q 4

ex (ex )

2

=s

ex

=v u 2 u 4 (ex ) t4 1 4

4

así, la integral se escribe Z

p

e

x

e2x

4

dx =

Z

ex (ex ) 4

2

ex (ex )

4

2

e dx ✓ x ◆2 = e 1 2

(ex ) 4

1

Z

x

s

ex

!= s 2

,

2

2

= s 2

1

ex ✓

ex 2

◆2 ,

ex dx s 2✓ ◆ 2 ex 1 2

se propone el siguiente cambio de variable u=

ex 2

Cálculo del diferencial

!

du =

ex dx, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral se transforma en Z

p

ex 4

e2x

dx =

Z

ex ✓ x◆ Z dx du e 2 s p + C. = arcsen u + C = arcsen ✓ x ◆2 = 2 2 1 u e 1 2

Luego,

Z Z

Ejemplo 152 : Integrar

p

ex 4

e2x

dx = arcsen

✓

ex 2

◆

+ C.

+

3 4

F

ex (ex 2) dx. e2x ex + 1

Solución : Al completar cuadrado e la integral queda

Z

2x

x

e +1=

ex (ex 2) dx = e2x ex + 1

Se propone el siguiente cambio de variable u = ex

Última actualizacón: Julio 2013

1 2

de aquí

ex = u +

1 2

✓ Z

e

1 2

x

✓

◆2

ex (ex 1 2

ex

◆2

2) 3 4

+

Cálculo del diferencial

Farith J. Briceño N.

!

dx.

2u du = ex dx,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

146

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral se transforma en ✓ ◆ 1 Z Z u+ Z u 3 Z 2 ex (ex 2) u du 2 2 du = dx = du = 3 3 3 e2x ex + 1 u2 + u2 + u2 + 4 4 4 sean I1 =

Z

u du 3 u2 + 4

y

I2 =

Z

3 2

du u2

3 + 4

Z

du u2 +

3 4

,

,

así, • Para I1 =

Z

u du , se propone el cambio de variable 3 u2 + 4 z = u2 +

Cálculo del

3 4

diferencial

!

dz = 2u du

1 dz = u du, 2

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces Z

u du = 3 u2 + 4

Z 1 dz Z 1 dz 1 1 3 2 = = ln |z| + C1 = ln u2 + + C1 . z 2 z 2 2 4

Por lo tanto, I1 =

• Para I2 =

Z

du u2 +

3 4

Z

u du 1 3 = ln u2 + + C1 . 3 2 4 u2 + 4

. Se expresa la integral como Z

du 3 u2 + 4

=

Z

3 4

✓

du 4 2 u +1 3

◆=

4 3

Z

✓

du ◆2

2u p 3

. +1

Se propone el siguiente cambio de variable Cálculo del

2u z=p 3

diferencial

!

2 dz = p du 3

=)

p

3 dz = du, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

✓

du ◆2

2u p 3

= +1

Última actualizacón: Julio 2013

Z

p

3 p Z p p ✓ ◆ dz 3 dz 3 3 2u 2 = = arctan z + C2 = arctan p + C2 , z2 + 1 2 z2 + 1 2 2 3

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

se tiene que Z

Funciones Transcendentes

du u2 +

3 4

=

4 3

Z

por lo tanto,

✓

du ◆2

=

2u p 3

+1

I2 =

147

p p ✓ ◆ ✓ ◆ 4 3 2u 2 3 2u arctan p + C2 = arctan p + C2 , 3 2 3 3 3

p ✓ ◆ 2 3 2u = arctan p + C2 . 3 3 3 u2 + 4

Z

du

Así, Z

ex (ex 2) dx = e2x ex + 1

=

3 2 du = I 1 3 2 u + 4

Z u

p

3 1 ln u2 + 2 4

3 arctan

✓

2u p 3

3 1 3 I2 = ln u2 + 2 2 4

p ✓ ◆ 3 2 3 2u arctan p +C 2 3 3

◆

◆2

+C =

Luego,

Z

ex (ex 2) 1 dx = ln e2x e2x ex + 1 2

Ejemplo 153 : Calcular la siguiente integral Solución : Se propone el cambio de variable p

ex

1 2

ex

+

◆1 0 ✓ 1 x 2 e B p 2 C C + C, p 3 arctan B @ A 3

3 4

1 , 2

ya que, u = ex

u=

1 ln 2

✓

1

=)

Z

p

ex + 1

ln 2

p

ex

3 arctan

2ex 1 p 3

◆

+ C. F

1 dx.

0

ex du = p x 2 e

Cálculo del

e x = u2 + 1

✓

diferencial

!

1

dx

2u du = dx, u2 + 1

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Cambiamos el intervalo de integración

la integral queda Z ln 2 p ex

Si

x = 0,

Si

x = ln 2,

1 dx =

0

Z

entonces,

1 0

entonces,

2u du u 2 =2 u +1 =2

Z

1 0

p

e0

u=

p

u=

Z

1 0

1= eln 2

Última actualizacón: Julio 2013

# }| { arctan (1))

1=

1=

u2 + 1 1 du = 2 2 u +1

z ((1)

1

u2 du = 2 u2 + 1

Primitiva evaluada en el límite superior

=2

p

p

Z

Z

2

1 0

1 0

p

0

1=

=) p

1

u=0 =)

u = 1,

u2 + 1 1 du u2 + 1

✓

1

1 2 u +1

◆

du = 2

✓

1

u

arctan u 0

Primitiva evaluada en el límite inferior

z ((0)

Farith J. Briceño N.

! # h }| { = 2 1 arctan (0))

⇡i =2 4

⇡ . 2

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

Luego,

Z Z

Ejemplo 154 : Calcular

ln 5

p

ex

ex

0

ln 2

p

ex

148

⇡ . 2

1 dx = 2

0

F

ex 1 dx. +3

Solución : Se propone el cambio de variable u2 = e x

1

Cálculo del

e x = u2 + 1

=)

diferencial

2u du = ex dx,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Cambiamos el intervalo de integración Si

x = 0,

Si

x = ln 2,

la integral queda

Z

entonces,

ln 5

u2 = e 0

entonces, ex

0

u2 = eln 5

p

Z

ex 1 dx = x e +3

observemos que Z 2 2 Z 2 2 Z 2✓ 2 u + 4 4 du u du u +4 = = 2 2 u +4 u2 + 4 0 u +4 0 0 donde y

2 0

4 du = u2 + 4

Se propone el cambio de variable u=z=

u 2

Z

2 0

4

2 0

✓

1=0

1=5

=)

1=4

u=0 =)

u = 2,

p Z 2 2 2u u2 u du du = 2 2+4 u2 + 4 u 0

4 2 u +4 Z

Z

1=1

◆

du =

Z

2 0

✓

4 2 u +4

1

◆

du =

Z

4

du 0

Z

4 0

4 du u2 + 4

2

du = 2 0

4 2

u +1 4

◆ du =

Z

2 0

Cálculo del diferencial

!

1 ⇣ u ⌘2 2

dz =

du. +1

1 du, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Cambiamos el intervalo de integración si u = 0 entonces z =

0 2

=)

z=0

si u = 2 entonces z =

2 2

=)

z=1

entonces, la integral se transforma en Z 2 Z 2 Z 1 4 1 1 1 du = du = 2 dz = ⇡. ⇣ u ⌘2 2+4 2+1 u z 2 0 0 0 +1 2 Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

Así

Z

Luego

2 0

Z

Ejemplo 155 : Integrar

Z

u2 du = u2 + 4

ln 5

ex

0

Z

2 0

✓

4 2 u +4

1

p

✓ ex 1 dx = 2 2 ex + 3

◆

149

du = 2

1 ⇡. 2

◆

⇡.

1 ⇡ 2

=4

F

sen (2x) + cos x dx. sen2 x + sen x 2

Solución : Es conocido que sen (2x) = 2 sen x cos x, así, la integral se expresa como Z

sen (2x) + cos x dx = sen2 x + sen x 2

Z

2 sen x cos x + cos x dx. sen2 x + sen x 2

Se propone el cambio de variable u = sen2 x + sen x

Cálculo del

2

diferencial

!

du = (2 sen x cos x + cos x) dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z sen (2x) + cos x 2 sen x cos x + cos x du dx = dx = = ln |u| + C = ln sen2 x + sen x sen2 x + sen x 2 sen2 x + sen x 2 u Luego,

Z

Ejemplo 156 : Integrar

Z

p

sen (2x) + cos x dx = ln sen2 x + sen x sen2 x + sen x 2

2 + C.

2 + C. F

dx p . x+ 4x

Solución : Se propone el cambio de variable x = t4

Cálculo del diferencial

!

dx = 4t3 dt

=)

du = t3 dt, 4

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z 3 Z Z 2 dx 1 t3 dt 1 t dt 1 t3 dt 1 t dt p p p p = = = = . 4 4 4 t2 + t 4 t (t + 1) 4 t+1 x+ 4x t 4 + t4 Manipulando algebraicamente al integrando obtenemos t2 t2 1 + 1 t2 1 1 (t = = + = t+1 t+1 t+1 t+1

Última actualizacón: Julio 2013

1) (t + 1) 1 + =t t+1 t+1

Farith J. Briceño N.

1+

1 , t+1

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

así,

Z

donde

mientras que, para

Z

t2 dt = t+1 Z

Z ✓

t dt =

t

1+

1 t+1

◆

t2 + C1 2

Z

dt =

Z

dt , se propone el cambio de variable t+1 Cálculo del

u=t+1

diferencial

Z

t dt

y

!

150

dt +

Z

dt , t+1

dt = t + C2 ,

du = dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

dt = t+1

Por lo tanto,

como t = Z

p 4

Z

x, tenemos

dx 1 p p = 4 x+ 4x

Z

 t2 dt 1 t2 = t+1 4 2

Z

du = ln |u| + C3 = ln |t + 1| + C3 . u

t2 dt t2 = t+1 2

t + ln |t + 1| + C,

" p 2 1 ( 4 x) t + ln |t + 1| + C = 4 2 =

Luego,

Ejemplo 157 : Demuestre que

Z

p

p 4

x + ln

p

x 8

p 4

x+1

#

+C

p 4

p x 1 + ln | 4 x + 1| + C. 4 4

p 4

p dx x p = 8 x+ 4x

p x 1 + ln 4 x + 1 + C. 4 4 F

ep (q

p) < eq

ep < eq (q

p), si p < q.

Demostración : Consideremos la función f (x) = ex definida en el intervalo cerrado [p, q]. Puesto que, la función f es continua en todo su dominio y en particular en el intervalo [p, q] y es diferenciable en el intervalo abierto (p, q), entonces el Teorema del valor medio para derivada garantiza que existe un valor c 2 (p, q), tal que eq ep eq ep = f 0 (c) =) = ec , q p q p ya que, f 0 (x) = ex . Por otra parte, como c 2 (p, q), entonces

p 0, si x 2

✓

1 ,1 2

◆

x

◆

y (x 1) x 1 vendrá dado por el signo de la expresión 2x 1, de aquí,

positivas, por lo tanto, el signo de f 00

00

✓

()

1>0

x>

{1}, luego, f < 0, si x 2 00

✓

✓

4

son siempre

1 , 2

1 1, 2

◆

◆ ✓ ◆ 1 1 ,1 {1}. Concava hacia abajo : 1, . 2 2 ✓ ✓ ◆◆ ✓ ✓ 1 ◆◆ ✓ ◆ 1 1 1 1 1 2 Punto de inflexión : ,f = , exp 1 = , . 2 2 2 2 e 1 2

Concava hacia arriba :

10.

12. Comportamiento asintótico : Asíntota horizontal : ✓ ◆ ✓ ◆ x x lim exp = exp lim , x!1 x!1 x x 1 1

el límite se puede introducir en la función exponencial natural por ser esta una función continua, observemos que el nuevo límite, x 1 lim tiene una indeterminación de la forma , x!1 x 1 1 así, que podemos aplicar la regla de L’Hospital para calcular el límite lim

x

x!1

x

[x]

L0 H

= lim

1

x!1

entonces lim exp

x!1

de forma análoga,

✓

lim exp

x! 1

por lo tanto, f tiene asíntota horizontal en y = e.

[x

0

1] x

x

✓

1

◆

x x

0

1

= lim

x!1

1 = 1, 1

= e,

◆

=e

Asíntota vertical : Existen un candidato, x = 1 Para x = 1, como la función exponencial es continua, se tiene ✓ ◆ ✓ ◆ x x lim f (x) = lim exp = exp lim , x!1 x!1 x!1 x x 1 1 donde, lim

x!1

x x

Indefinido,

1

así, lim

lim

x!1

x x

1

= lim

x!1

1 x

1

x

% &

x!1

lim

x!1+

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

1 x

1 1

x

1

x=

1

x = 1. [email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

entonces,

lim exp

x!1

✓

x x

1

◆

= exp

✓

lim

x!1

1 x

1

x

◆

exp

✓

exp

✓

% &

luego, x = 1 es asíntota vertical de f por la derecha.

157

1

lim

x

x!1

1 1

lim

x

x!1+

1

◆

=e

◆

= e1 = 1,

x

x

1

=0

Asíntota oblicua : Tenemos que ⇣ ⌘ exp x x 1 f (x) m = lim = lim = 0, x!1 x!1 x x ya que, el numerador tiende a e, cuando x ! 1, mientras que, el denominador tiende a infinito cuando x ! 1, por lo tanto, m = 0, así, f no tiene asíntota oblicua, como era de esperarse, ya que, la función tiene asíntota horizontal en el +1 y en 1. Un razonamiento análogo para cuando x ! 1. Grafica de f

Grafica de f (x) = exp

Ejemplo 168 : Graficar la función f (x) = 3 1. 4. 7. 10.

Dominio Valor(es) mínimo(s) Concavidad hacia arriba Asíntota horizontal

2. 5. 8. 11.

✓

x x

1

◆

. F

|csch (ln x) + 2x|, hallando

Punto de corte con los ejes Intervalo(s) de decrecimiento Concavidad hacia abajo Asíntota vertical

3. 6. 9. 12.

Valor(es) máximo(s) Intervalo(s) de crecimiento Puntos de inflexión Asíntota oblicua

Solución : Consideremos la función g (x) = csch (ln x) + 2x =

1 + 2x senh (ln x)

1. Dominio : La función g tiene sentido cuando Condición 1

(dada por el ln (·)) : x > 0

Condición 2

(dada por la csch (·)) : senh (ln x) 6= 0

x 2 (0, 1)

=)

=)

x2R

{ 1, 0, 1} ,

Resolvemos la condición 2, se tiene que senh (ln x) = Última actualizacón: Julio 2013

eln x

e 2

ln x

=

x

eln x 2

1

=

x

x 2

1

=

Farith J. Briceño N.

1 x

x 2

=

x2 1 2x

con x 6= 0, [email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

158

por lo tanto, senh (ln x) 6= 0

x2 1 2x

()

así, el dominio de g es (0, 1)

con x 6= 0

()

y

x 6= ±1

x 6= 0,

{1}, además 2x

g (x) = csch (ln x) + 2x =

x2

1

+ 2x =

2x3 x2

=)

1

g (x) =

2x3 x2

1

2. Puntos de cortes con los ejes : Eje x :

2x3 x2

1

x = 0, pero 0 2 / Dom g, por lo tanto, no hay punto de corte con el eje x.

()

=0

Eje y : Como 0 2 / Dom g, no hay punto de corte con el eje y. 3.

6. Monotonía : La derivada de g (x) = 0

g (x) =



0

2x3 x2

1

=2



0

x3 x2

1

2x3

, es x2 1 ⇥ 3 ⇤0 2 x x =2

⇥ x3 x2

1 (x2

1)

⇤0 1

2

=

2x2 x2

3

2

(x + 1) (x

1)

2

Estudiamos el signo de g 0 (0, 1)

x

p

3

x+

p

3

x2 1)

2

(x + 1)

2

(x

1,

p

3

7.

3, 1

Creciente en :

+

p

+

+

+

Decreciente en :

+

+

+

Valor mínimo :

+

+

+

+

+

+

g0 g

p

+ &

&

%

"

g

p

2 3 = p

3, 1 . 0,

p p 3

2

p

3, g

3

{1} .

3 p

3

+2

= p

p

p 3, 3 3 .

p 3 =3 3

1

#

Valor máximo :N otiene.

9. Concavidad : La segunda derivada viene dada por " #0 2x2 x2 3 4x x2 + 3 00 00 g (x) = =) g (x) = 2 2 3 3 (x + 1) (x 1) (x + 1) (x 1)

Estudiamos el signo de g 00 (0, 1) 4x

+

x2 + 3

+

1)

3

(x + 1)

3

(x

g

+

00

g

Última actualizacón: Julio 2013

(1, 1) + +

Concava hacia arriba : (1, 1) .

+

Concava hacia abajo : (0, 1) .

+

Punto de inflexión : No tiene.

+ _

^ Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

10.

Funciones Transcendentes

159

12. Comportamiento asintótico :

Asíntota horizontal : 2x3

lim g (x) = lim

x!1 x2

x!1

1

=1

no hay asíntota horizontal.

=)

Observemos que no se estudia el comportamiento de la función g para cuando x ! de la función es (0, 1) {1}.

1, ya que, el dominio

Asíntota vertical : Existen dos candidatos, x = 0 y x = 1 Para x = 0, por la derecha. lim+ g (x) = lim+

x!0

x!0

2x3 x2

1

=0

por lo tanto, x = 0 no es asíntota vertical. Para x = 1 lim g (x) = lim

2x3

x!1 x2

x!1

Indefinido,

1

así, lim

lim

x!1

2x3 x2

1

= lim

x!1

2x3 % 1) x + 1 &

1 (x

x!1

lim

x!1+

1

2x3 = 1) x + 1

1

2x3 = 1. 1) x + 1

(x

(x

1

luego, x = 1 es asíntota vertical. Asíntota oblicua : Tenemos que 2x3 3 2 g (x) 1 = lim 2x = 2, = lim x x!1 x x!1 x!1 x3 x x

m = lim mientras que, lim (g (x)

x!1

mx) = lim

x!1

luego, la recta y = 2x es una asíntota oblicua. Grafica de g :

✓

2x3 x2

1

2x

◆

= lim

x!1

✓

2x x2

1

◆

= 0,

g (x) = csch (ln x) + 2x.

Grafica de la función g (x) = csch (ln x) + 2x. La grafica de f se obtiene a partir de esta grafica de la siguiente manera Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

160

Grafica de f : Reflejando la grafica de g respecto al eje x y trasladando tres unidades verticalmente, tenemos que f (x) = 3 |csch (ln x) + 2x|

Grafica de la función f (x) = 3

|csch (ln x) + 2x|.

F Ejercicios

Z

1. Considere la expresión f (x) =

x 1

1 dt. t

(a) Obtenga el intervalo de definición para f (Dominio) (b) Hallar f (1). (c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f . (d) Hallar los valores extremos de f . (e) Estudiar la concavidad de f . (f) Esbozar una gráfica para f . 2. Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = ex , es f 0 (x) = ex . 3. Resuelva las siguientes ecuaciones 1.

ex+1 = 2 x+1

5.

2

9.

2.

e

3x+1 = 81

10.

ln2 x

13.

e2 ln t = 4

14.

eln(x

17.

et

=1

18.

8

21.

4x+6 = 64

22.

64

4t

23x+1 = 5

29.

4x

32.

log2 (x + 1) + log2 (3x

4

x

=2

Última actualizacón: Julio 2013

=1 =9

4=0

2

+1)

= 10

ln3 x = 0

eln(x

25.

26.

1)

ln(x4 7)

6.

3

=5

73x(x

ln2 x = 0 4

+1)

= 17

3.

ln (x

7.

ln

✓

11.

4.

ln (x + 1)

◆

8.

ln

1 + ln x2 = 0

12.

ln x + ln (x + 2) = ln x2 + 4

15.

⇣ 2 ln ex

16.

ln (2x + 1) = ln x2

19.

e3 ln x = 8

23.

3 + ln x4 = 0

27.

30. 32x+1 = 53x 5) = log2 (5x

1

2

1) = 2

t+1 t2 + 1

⇣

ln e13 31.

3) + 2

7

t

⌘

⌘ 2

=0

=9 20.

=4

log3 (x

1)

33. e2x

Farith J. Briceño N.

2

p

ln x2

ln (x + 3) = ln 2

x + 1 + ln

2

24.

ln2 x

28.

5|x

p

x

1=0

14

ln (x + 4) = ln ( x) 3 ln x + 2 = 0

1|+|3 x|

= 25

log3 (x + 2) = 2 7x+3

=1

34. 23x+1 = 32

x

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

161

4. Hallar y graficar el conjunto solución en cada caso 1.

3x+1

5.

73x(x

9.

2| x

13.

e

17.

5t

21.

ln (x

24.

3t

p

81 1)

1

2.

2x

6.

2|

>4

10.

t2 t

>1

14. 8

2

2

4

11

>

3t2

2

27.

ln x

30.

ln x2

33.

4 2|x

1 25

18.

x

< 26

3.

ln x2

ln x < 0

6 + ln x3 > 0

7.

ex+3

e

ln x4  ln x

11.

ln3 x < 0 1

ex

2

+x

15.

>0

2) + ln (x + 3) < ln (x 5) ⇣ 2 ⌘ 1 < 25. ln et +16 9

2  ln (4x  16

34.

8

f (x) = ln (x

1)

4.

g (x) = 2x + ln x

7.

h (x) =

10.

ln (x g (x) = p x2

13.

h (x) = (2

5.

ln x x 5 ln (x 1)

e

1) 9 ex )

p

1

g (x) =

19.

f (t) = e

22.

h (x) = ln (3x 2) p 2 x3 f (x) = ln x 3 p x g (x) = 2 + ln x

25. 28. 31. 34.

x ln( t)

x2 +2x

4

1|+|3 t|

|x|

ln (t

p

1 ex2 +x p ln x 1 f (x) = x e ln x g (x) =

1

8.

f (x) =

11.

f (x) =

14.

h (t) = ln 9

17.

f (x) =

20.

f (t) =

23.

f (x) = e

ex

3

|

p

ln x2 + 1

12.

ln (2x + 1) ✓ ◆ 2 exp x 3

8

29.

32.

ln x

✓ ◆t 3 1 2

14

exp ( x)

0

ln (3 + 4x) 3x

ln (x + 2) < ln (x

35. 23x+1 < 32

2)

3.

4

6.

x

p ln (x + 3) 1 ✓ ◆ x 2 f (x) = ln x+3 p ex+1 1 f (x) = p 1 ln (x + 1) p

p 3

1

1 ex2 +x

18.

f (x) = ln

✓

1

1 e t2

21.

g (x) = eln(x

x2 +5x+6

24.

l (t) = e

26.

ln 4 x2 f (x) = p x e 1

27.

ln (5 h (t) = p 4

29.

f (t) = ln 2

30.

f (x) =

ln 8 x x ln (ln x) 32. g (x) = p 33. ln (x 2) ln x p p p ln ( x) e x 2 8 t3 h (x) = 35. f (t) = ln |x + 2| 1 ln (2t 3)

1)

h (x) =

g (t) = ln

Farith J. Briceño N.

ln x2

1

15.

t2

ln 2

4t

t2

p

ln x

1)  ln (t + 3) + ln t

g (x) =

2t

0

ln 2x < ln x2

12.

1

1

ln x2 + 6x

x ln x

f (x) =

Última actualizacón: Julio 2013

8.

23.

9.

1

ln (x + 3)

20.

1

> 25

2 ln t

x2 +x

16.

p

| 2

28.

ln t3 + 2t2 + t

2.

2 x2

4.

16.

1) < 0

26. 2 ln (t

5. Determine el dominio de la función 1.

0

2

ln (t

22. 103x

31. 5|t

5)

x

et(t+6) e3+4t ✓ ◆x 1 1 < 27 3

19.

ln (x + 4)  ln ( x)

2

|x+2| 1|

2

p

e

p

x2 +5x+6

t2

3

x x2

5 x

2

2 ◆

x 6)

t2 +2t 3

et ) t 1

e x 5x ln2 x 3 ln x + 2 p 3x ln x 5 p f (x) = 7 2x p 4 ln x 1 36. f (x) = x e ln x

2

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

37.

f (t) =

p

Funciones Transcendentes

e t2 t

1

38. g (x) =

pp

h (x) =

43. 46.

f (x) = ln x2

48.

x

+ ln x2 x4 16

x

44. g (x) = e 47. f (x) =

6 + ln x3

x

p

1

39. g (x) = p

✓ p ◆ 2 x 41. f (x) = exp p 4 x2 x

ln x 1 2 +2x x e e3x+6 p f (x) = ln 1 x+3 s ex+1 1 g (x) = 1 ln (x + 1)

40.

e

162

x

p

ln x3

1 s

2|3x| |x+1| x e ln x

4

3

x2

49. f (x) = ln

e3 3

x

ln (x + 2)

ex+1 42. h (x) = p 1 ln (x + 1) p 45. h (x) = ln (4 + x) 1

p ex + ln x 4x x3 x

x3

6

✓

x

◆

x2 x 6 f (x) = ln x2 x 6 ln x3 x 51. f (x) = ln x3 x ⇣ ⌘ ln x x 5 ln x ln (x 5) ln (4 3x) f (x) = 53. f (x) = 54. f (x) = ln (4 3x) ln (4 3x) ln x x 5 s ✓ r ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ x x2 1 x f (x) = ln + arcsen 56. f (x) = 2x arccos log x 2 5x + 6 4 x 1 p ln 1 x2 ln (x + 5) ln (x2 + 6x) ln (3 + 4x) p f (x) = 58. f (x) = 2 x x 8 ln3 x p p 4 p ln (2x + 1) ln (x + 3) 3x+1 81 2 p g (x) = ln x 4 60. f (x) = 2 61. f (x) = 3 3 ln x ln x 3 ln x + 2 e 8

50. 52.

55.

57. 59.

6. Hallar el rango de las siguientes funciones 1.

f (x) = ln (2

4.

f (x) =

x)

ex + 5 ex

ln x

f (x) = e2x

2.

5. f (x) =

4ex

3

ex

2ex + 6

+7

3.

6. f (x) = ln (3

f (x) = 4x x)

2x+1 + 6

ln (1 + x)

7. Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = ax , con a > 0 y a 6= 1, es f 0 (x) = ax ln a. 8. Demuestre que la primera derivada de la función f (x) = loga x, con a > 0 y a 6= 1, es f 0 (x) =

1 . x ln a

1 . x

9. Demuestre que si f (x) = ln |x|, entonces f 0 (x) =

10. Demuestre que si f (x) = loga |x|, entonces f 0 (x) =

1 , con a > 0 y a 6= 1. x ln a

11. Hallar la primera derivada de las siguientes funciones 1.

f (x) = e2x

5.

f (x) =

3

2.

sen (ln x) 3x2 32

x

f (x) =

11.

f (x) = eln

14.

f (x) = log2 (3x

Última actualizacón: Julio 2013

6. f (x) =

ln (x + 4x ) x+1

8.

2

f (x) = ln (2x

x ln x+3

5)

p

3)

3.

f (x) = 3sen x

p ln x + ln ( x) s

ln (ex sec (ex ⇣x ⌘ 12. f (x) = ln x + 4 e

log3 (5

9. f (x) =

ex )

7. f (x) = e 2) 2)

p

x

+

p

ex

10. f (x) = ln (4x

2x + 1)

13. f (x) = log5 (csc x) ln (ex

15. f (x) = sen

Farith J. Briceño N.

f (x) = etan x ln (sen x)

4.

✓

x ex ln x

◆

cos

✓

log4 x x2 5sen(3x)

5x )

◆

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

163

12. Hallar la primera derivada de las siguientes funciones usando derivación logarítmica f (x) = x3x

1. 5.

f (x) = 5x

2.

f (x) = x

3 ln x

p 3

x

6. f (x) =

p e t t5 + 2

9.

f (t) =

12.

3tan x xcos x tan x p f (x) = x3 e2x sen 2x

15.

f (t) =

4

(t + 1) (t2 + 3)

4

(t + 1) (t (t

5)

3)

3.

p

sec (xx )

p

x

p 5

tet csc t

7. f (t) =

13. f (x) =

3

+ t2 + 1

p

x sen x

x3 (cos x)

sen t

!ln t

8. f (x) =

x sen x (x 2)

ex

t2

2

ln x

x 1

2x+3

5

p x4 5 sen x ln x 11. f (x) = x e cos (ln x)

4

e

f (x) = ln x2

4.

x3 + 1 sen2 x p 10. f (x) = 3 x

2

8

f (x) = (sen x)

14. f (t) =

cot x

16. f (x) = x4

3t 7 (sen t) p ln 2t cos t

2

tan x

+ (tan x)

! t4

x4 2

! p p ex t4 + 4 t3 1 t2 + 1 (ln x) ln x 4 x p f (t) = + ln 18. f (x) = 3x e t+1 sen2 t ex 4 3 x2 ! p ✓ ◆ x e4x 3 x4 x5 ln (cos x 1) sec x x p f (x) = ln (3 ) 20. f (x) = exp ln (cos 3x) x6 sen x ln (4 csc x) ✓ ◆ 5x3 x ln x f (x) = xsen x 22. f (x) = ln +x 23. f (x) = (sen x) + 23 xlog3 (4x) x4 + 6 r

17.

19. 21.

13. Calcular los siguientes límites, si existen sen x x!1 e2x

1.

lim

2.

x2 + x x!1 ex lim

x

5.

lim

x!1

9.

5 3 2x + 4

6.

lim (ln (x + 1)

ln (x

x!1

12. 15. 18.

lim ln x2

x!1

sen x e3x 1

x

1))

16.

x!1

loga (x + h) lim h!0 h

loga x

lim lim

a

x+h

lim2

u!e

13.

e2x + 6ex x!0 ex 1 lim

lim ln x2 + e

lim (ln t

t!1

x!0

11.

7

14.

ln (3t

1))

x4 cos x + sen x x!1 1 + ex lim

lim

ln x 1 + ln2 x ln x

x!1

ln (x + h) h!0 h 32x+1 3x+2 + 6 20. lim x!0 3x+1 3

x

17.

x! 1

lim+

ln2 u 4 ln u + 4 ln2 u 4

x

h!0

10.

19.

4.

a 8. h ✓ ◆ ln (cos 3x) lim sen x!0 ex e x

7.

ln 2x2 + 5

2

lim ln x2 + e

lim

x!0

ex+h ex h!0 h

3.

ln x 1 + ln2 x

lim

x

21. 23.

ln x ln (3x 2) + 3e x sen x 3 cos x + 4 22. lim x!1 ln (2x3 + x 2) ln (x 2x2 + 3x3 ) 3 + 4x ✓ ◆ ✓ ◆ n n n X X X 1 k lim ln 1 + 24. lim ln 25. lim e k n!1 n!1 n!1 k k+2 lim

x!1

k=1

k=1

14. Dado que

lim

x!1

calcular, si existen, los siguientes límites ✓ 1/x 1. lim (1 + x) 2. lim 1 x!1

x!0

5.

lim

x!1

✓

2 1+ x

Última actualizacón: Julio 2013

◆x

6.

lim

x!1

⇣

1 x

✓

◆x

a ⌘x 1+ x

e

k 1

k=1

1 1+ x

3. 7.

◆x

= e,

lim

x!1

lim

x!1

Farith J. Briceño N.

✓ ✓

1

5 x

◆x

3x 3x + 5

◆x

4. 8.

lim

x!1

lim

x!1

✓ ✓

3 1+ x

◆x

ax2 ax2 + 5

◆x 2

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

164

15. Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue ⌘ 3 ⇣ 6/n 12/n 18/n 24/n 2 lim e + e + e + e + · · · + e n!1 ne2 16. Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue 2 e1/n ⇣ e n!1 n2

2/n2

lim

5/n2

+ 2e

10/n2

+ 3e

+ · · · + ne

1 1/n2

⌘

17. Escriba como una integral definida el siguiente límite y luego evalue ✓ ◆ ln (n + 1) ln n ln (n + 2) ln n ln (n + 3) ln n ln (2) lim + + + ··· + n!1 n+1 n+2 n+3 2n 18. Demuestre que f (x) =

x ex

ln (1

1

e

x

) es una función decreciente para x > 0.

19. Derive implicitamente, dy/dx, las siguientes curvas 2

x

1.

3e + xy = 40 + e

5.

x4

9.

3x + xy

12.

ex

16.

e

6x = y4 ln y

2

p

y2

1

2

y x = 20

+y 2

+ 2y = x2

x

ex ln y + ln (3

2

2

2.

x y + y = ln (xy)

6.

e

10.

(3y

13.

p

x

+e

p

y

=e

2

2

1) = 4(x+2)

tan (x2y ) = 2x ex ey r

2y ) = 2x

p

17.

3.

e3xy ex =1 x+y

4.

ex = y 2

7.

sen xy 2 =1 2y

8.

5exy = 2y

11.

y 3 + ey

log3 x 5x

20. Deduzca la ecuación de la recta tangente a la curva (x

1

x ln x2 y + x2 y 2 = y

ln (ex + y) = exy log2 y 2x3

14.

2y

log5 y = y4 3y

18.

15. p

x ln y

ln y = cos exy ln x p

y ln x = exy

2

y) = exy en el punto P (1, 0).

21. Demuestre que las funciones f y g son funciones inversas entre sí, 1.

f (x) = ln (x

y

1)

g (x) = ex + 1

2.

f (x) =

3x + 3 3x 3

x

y

x

g (x) =

1 log3 2

✓

1+x x 1

◆

ax 1 para a fija, a > 0, a 6= 1. Demuestre que f tiene inversa y encuentre una ax + 1 1 fórmula para y = f (x).

22. Considere f (x) =

23. Para las funciones dadas a continuación 1.

f (x) =

5.

f (x) =

ex

e

x

2 ex

2 +e

x

f (x) =

ex + e 2

x

2.

f (x) =

ex + e ex e

x

6.

3.

f (x) =

ex e ex + e

x x

4.

f (x) =

2 ex

e

x

Hallar a.

Dominio de f

b.

Puntos de cortes

c.

Crecimiento

d.

Decrecimiento

e.

Valor(es) extremo(s)

f.

Concavidad

g.

Punto(s) de inflexión

h.

Asíntota horizontal

i.

Asíntota vertical

j.

Asíntota Oblicua

k.

Grafica de la función f

l.

Existencia función inversa

m.

Dominio de f

n.

Función inversa, si existe

o.

Grafica de la función f

Última actualizacón: Julio 2013

1

Farith J. Briceño N.

1

[email protected]

x

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

165

24. La ecuación ex = 1 + x evidentemente tiene una raíz, x = 0. Demostrar que esta ecuación no puede tener otra raíz real. 25. Demuestre que ep (q p) < eq ep < eq (q p), si p < q. x 26. Demuestre que  ln (1 + x)  x, para x 0. 1+x 27. Demuestre que:

ln (x) < x si x > 0

1.

2. ex > 1 + x, si x 6= 0

3. ex > ex si x > 1.

28. Calcule el c para el cual se tiene que ln0 (c) es igual a la pendiente de la recta que pasa por (1, 0) y (e, 1). 29. Determine monotonía, valores extremos, concavidad y puntos de inflexión de la función 1.

h (x) = x

ln x

2.

g (x) =

p 1 + ln x x

30. Graficar las siguientes funciones haciendo el analisis correspondiente x

1.

f (x) = 2

5.

f (x) = 3x

3

2. 1

12.

3.

◆ x2 f (x) = exp 2x + 1 ✓ 2 ◆ x +1 f (x) = log5 x2 2

10. f (t) =

x2

f (x) = e1

f (x) = log2 x2 + 1 ✓ ◆ x ln x 7. f (x) = exp 8. f (x) = x 1 ln x 2

2)2

6. f (x) = e(x

✓

9.

x

f (x) = x2

2

11. f (x) = x log2 x2 + 1

et

ln t

13. f (x) = e1/x

4.

14. f (x) = e1/x

31. Hallar una función f , tal que se cumpla la siguiente igualdad Z Z 1. f (x) dx = ex + C 2. f (x) dx = ln |x| + C 4. 6. 8. 10. 13.

Z Z Z Z Z

x

f (x) dx = 3 + C

5.

f (x) dx = ax + C

7.

f (t) dt = arcsen 2t + C

Z

4x + x 4 +C 7

11.

f (x) dx = ln |sen x| + C

14.

f (x) dx =

Z

Z

Z

f (x) dx = loga |sen x| + C, f (t) dt =

t2 + 5 t +C 4

f (x) dx = ln

y a 6= 1.

con a > 0

f (x) dx = loga |ax| + C,

9.

f (x) dx = ln |3x| + C

con a > 0

f (x) dx = loga |x| + C,

Z

Z

3.

2

y a 6= 1.

con a > 0

12.

Z

y a 6= 1.

f (x) dx = ln |sec x| + C

x+1 +C x 2

32. Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (0, 2) y cuya pendiente en cada punto es ex 2. d2 y 1 = dx2 4x3/2

33. Encuentre una función y = f (x), tal que, y pase por el punto (1, 1).

1 , f tenga un punto estacionario en x = 4 x2

34. Calcular las siguientes integrales 1.

6.

Z Z

e3 dx

2.

dx ex+1

7.

Última actualizacón: Julio 2013

Z

Z

e99 ln x dx 5x ln 5 dx

3.

8.

Z

Z

e7 ln x

1

dx

t log3 t p dt ln t

Farith J. Briceño N.

4.

9.

⇣ ⌘ Z ln 7et4 t6

Z

1 ex dx 1 e x

dt

Z

1 + e3t dt et Z p 3 1 + ln x 10. dx x 5.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

11.

15.

20. 24.

29.

33.

37.

42.

Z Z Z Z Z Z

dx 32 x

16.

sen (4x) dx cos (4x) + 4

21.

2

xex dx

34.

Z

e2x dx p x e +1

38.

Z

e t p dt t

p

50.

58.

Z

ex dx 1+e x

61.

Z

x7 dx x4 1

78. 82. 86.

Z

et dt

Z

3x

3t

dt

3x

t t

dt

39.

e2x+2 51. dx 52. ex Z Z log3 x dx dx 55. x x ln x ln (ln x)

Z

62.

Z

dx x log5 x

66.

Z

Z

Z

Z

Z

Z

dt

Z

Z

e2x

3x2 dx x

dx 5

18.

dt t ln4 (3t)

1

Z p 3

Z

23. mt

ae

32.

36. Z

40.

Z

dx

ln (sen (2t)) dt tan (2t)

x

cot (ax) dx ln (sen (ax))

Z

27.

dt

Z

Z

Z

19.

dx p ex

5e2x dx p 1 e2x Z ln x dx 28. x

cos ln 4t2 dt t 2

(sen x + cos x) dx sen x

sen (2x) dx e sen2 x

41.

Z

t2 1

3 dt t

Z ln x (2et + 1) dt dx 45. x et 4e t + 1 p Z Z sec2 t 1 dx p 48. dt 49. 3 x ln5 x ln (sec t) + 4

44.

p Z arctan (2x) ln (ax) ln x dx 53. dx 2 1 + 4x csc x Z Z dx 56. 57. cot t dt x ln x ln (ln x) ln (ln (ln x)) x

earctan x + x ln x2 + 1 dx 1 + x2

Z

sen (cos (ex )) sen (ex ) dx e x sec2 (cos (ex )) ⇣ ⌘ Z 5 Z sen3 2 + ln (1 t)2 x dx 63. 64. dt x2 3 1 t Z 4 Z p 3 x log4 x ln x x dx p p 67. dx 68. 4 ln ( x) 2 3x

x

ex 5e dx x dx x2 + 1

cos3 x dx 70. 3 sen x sen3 x + 5 Z p Z x dx x3 dx p 74. a2 x2 x+3

3ex ex

x3 4

Z

14.

a dx a x

p p log ( x) log3 ( 4 x) dx log5 x

Z

59.

Z

31.

35.

166

p tan t p dt t

Z

22.

26.

t

e3x e2x 5ex + 2 dx e2x 3ex + 1

Z

47.

62t/ ln 6 e

17.

dx et

dx 1 e e 7

Z

xn logn x p dx ln ( x)

5x

Z

Z

43.

7t dt

Z p

13.

4x Z p 2 30. e

dx x ln (x4 )

et dt 2 et

73.

Z

25.

2t2 + t dt t+1

Z

69.

tan x dx

1 sen t dt t + cos t

Z p

65.

Z

12.

46.

54.

Funciones Transcendentes

Z

e2x dx 5 + ex 75.

Z

71.

60.

Z

dx x log4 x log4 (log4 x)

sec x dx

76.

Z

csc x dx s

72.

77.

Z

Z p 3

et dt

2

t 5t dt

p ln x + x2 + 1 dx 79. 80. 81. dx 2x 1 + x2 Z Z 2x Z Z 2 e ex ln x + ln 3 sen (2x) + cos x xe x dx 83. dx 84. dx 85. dx x 5 e x ln (3x) sen2 x + sen x 2 Z Z Z sen (2x) dx sen x cos x 87. e cos (2x) dx 88. asen x cos x cos (2x) dx sen2 x 2 sen x + 2 Z

7x

3

x

Última actualizacón: Julio 2013

Z

7x dx 7x + 5

Z

dx x 7 +5

Farith J. Briceño N.

Z

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Z

89.

Z

92.

Funciones Transcendentes

dx q p (1 + x2 ) ln x + 1 + x2 p

dx p x+ 4x

93.

Z

ln (3x) p dx x ln ( 3 x) Z xp x e e 1 dx ex + 3

96.

100.

Z

103.

Z

107.

Z

Z

90.

1

2

t 2

t3

Z

97.

101.

104.

e2x dx 2x e ex + 1

108.

Z

Z

f (x) =

2 x2

Z

x dx 2x2 2x + 1 Z

3x x2

log t p 2 dt t+6

5.

1 dx

Z

102. Z

105.

ex (ex 2) dx e2x ex + 1

109.

p Z

ln 5

e2t 5 dt ln t 1 r Z ax

Z

dx ex 1

1

t2

36. Encuentre el área de la región acotada por y =

e2x + e 2

2x

37. Encuentre el área de la región acotada por y =

e2x e e2x + e

2x

e2x

2x

2x

e 2

1

ex 1 dx ex + 3

81

p

16

dt p 4

t

Z

99.

t3

ex dx p 4 e2x

106.

Z

p

dx ax 1

2x + 3 dx (x + 2) (x + 1)

0

dt

p

(2et + 1) dt et 4e t + 1

3. t

ex

0

x

sen(ln x)

38. Encuentre el área de la región acotada por y =

91.

e4

1 dx 4x + 5

x3 + x dx 4 x 4x2 + 5

f (x) =

Z

dx p 95. x ln x e Z (x 2) dx 98. x2 2x + 2

94.

x

4.

ex

0

dt

35. Calcular la derivada de las siguientes funciones Z 8 Z 1. f (x) = ln et + 1 dt 2. f (x) = x

p

0

x3 dx 4 x 4x2 + 5

Z

ln 2

167

f (x) =

6.

f (x) =

Z Z

8 ln x

t2

sen x ex

, y = 0, x =

ln 5 y x = ln 5.

, y = 0, x =

8 y x = 8.

e2t dt + ln t 5u + u2 du arctan u

, y = 0, y x = ln 2.

39. Demuestre las siguientes identidades 1.

senh ( x) =

senh x

4.

cosh x

6.

cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y

8.

tanh (x + y) =

10.

cosh (2x) = cosh2 x + senh2 x

senh x = e

⇣x⌘

cosh ( x) = cosh x

5.

senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y

tanh x + tanh y 1 + tanh x tanh y

cosh x + 1 2

12.

cosh

15.

senh (↵) senh ( ) =

16.

2

=

r

x

9. 11.

13.

3.

coth2 x

1 = csch2 x

senh (2x) = 2 senh x cosh x

senh

⇣x⌘ 2

tanh (ln x) = )

senh (↵) cosh ( ) =

senh (↵ + ) + senh (↵ 2

)

17.

cosh (↵) cosh ( ) =

cosh (↵ + ) + cosh (↵ 2

)

18.

(cosh x + senh x) = cosh (nx) + senh (nx) ,

Última actualizacón: Julio 2013

cosh (↵ + )

7.

cosh (↵

n

cosh x + senh x = ex

2.

=±

r

x2 1 x2 + 1

cosh x 2

1

14.

1 + tanh x = e2x 1 tanh x

2

donde n es cualquier número real.

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

168

3 , encuentre los valores de las otras funciones hiperbólicas en x. 4 4 41. Si tanh x = , encuentre los valores de las otras funciones hiperbólicas en x. 5 40. Si senh x =

42. Utilice las definiciones de las funciones hiperbólicas para encontrar los siguientes límites 1. 6.

lim tanh x

2.

lim coth x

7.

x!1

x!1

lim tanh x

3.

lim coth x

8.

x! 1 x!0+

lim senh x

4.

lim coth x

9.

x!1

x!0

lim senh x

5.

x! 1

lim sech x

x!1

lim csch x

x! 1

43. Demostrar que 1.

d senh x = cosh x dx

2.

d cosh x = senh x dx

3.

d tanh x = sech2 x dx

4.

d csch x = dx

5.

d sech x = dx

6.

d coth x = dx

csch x coth x

sech x tanh x

csch2 x

44. Demostrar que la función seno hiperbólico es continua y creciente en todo su dominio. 45. Demostrar que la función tangente hiperbólico es continua y creciente en todo su dominio. 46. Demostrar que la función coseno hiperbólico es continua en todo su dominio, pero no es monótona en todo su dominio. Encontrar los intervalos en los cuales es creciente y los intervalos en los cuales es decreciente. 47. Hallar las funciones inversas, si existen, de 1.

f (x) = senh x

2.

f (x) = cosh x

5.

f (x) = sech x

6.

f (x) = coth x

3.

f (x) = tanh x

4.

f (x) = csch x

48. Demostrar que 1.

d senh dx

4.

d csch dx

1

1

x= p x=

1 1 + x2

|x|

p

1 x2 + 1

2.

d cosh dx

5.

d sech dx

1

1

x= p x=

1 x2

1

1 x 1 x2 p

3.

d tanh dx

6.

d coth dx

1

1

x=

1 x2

1 1

x=

1

x2

49. Hallar la primera derivada de las siguientes funciones 1.

f (x) = ex senh x

2.

f (x) = tanh (3x)

3.

f (x) = cosh4 x

4.

f (x) = cosh x4

5.

f (x) = ecoth x

6.

f (x) = x2 sech x

7.

f (t) = ln (senh t)

8.

f (t) = tanh (et )

9.

f (x) = cos (senh x)

10.

f (x) = xcosh x

11.

f (x) = cosh

12.

13.

f (x) = ex cosh x ⇣x⌘ f (x) = tanh 1 a ✓ ◆ 1 f (x) = coth x

14.

f (x) = x ln (senh 4x)

17.

f (x) = csch

1

x4

18.

20.

f (x) = coth

1

p

21.

f (x) = etanh x cosh (cosh x) p f (x) = x tanh 1 x + ln 1 x2 ⇣x⌘ p f (x) = x senh 1 9 + x2 3 ✓ ◆ 4x + 1 f (x) = tanh 5

f (x) =

16. 19.

1

x2

x2 + 1

22.

f (x) = ln senh x3

23.

25.

f (t) = ln (tanh t)

26.

p x senh 1 ( x) p f (x) = sech 1 1 x2

28.

f (x) = xsenh(

29.

f (x) = (cosh x)

Última actualizacón: Julio 2013

p

x)

p

tanh x

Farith J. Briceño N.

15.

24.

f (x) = tanh

1

senh x5

27.

f (x) = senh

1

tanh x2

30.

f (x) = ln (coth (3x)

csch (3x))

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

169

50. Determine en qué punto de la curva y = cosh x la tangente tiene pendiente 1. 51. Si x = ln (sec ✓ + tan ✓), demuestre que sec ✓ = cosh x. 52. Demostrar que una catenaria es cóncava hacia arriba en cada punto. 53. Calcular las siguientes integrales Z Z 2 1. sech t dt 2. senh (2x) dx 6. 10. 14. 17. 21.

Z Z Z Z Z

2

tanh (3x) dx

7.

senh4 x cosh x dx p

t senh

11.

x cosh (2 ln x) dx

tanh (ln x) dx

Z

18.

p senh5 ( x) p dx x

15. Z

Z

2

Z

3. t

2

tanh x dx

dt

8.

sech4 (3x) dx Z

Z

Z

12.

19.

Z

1

cosh4 (7x) dx Z p 3

16.

cosh2 x dx

1

Z

senh x dx 1 + cosh x p Z senh ( x) p 9. dx x Z 2 13. senh3 x dx

coth t dt

x senh (ln x) dx

tanh x ln (cosh x) dx

csch2 x dx tanh x

4.

Z

5.

0

cosh (ln x) senh (ln x) dx x Z 1 2x + senh x 20. dx 1 + x2 1

54. Resolver las siguientes integrales usando el ejercicio 48 Z Z Z Z Z dx dx dx dx dx p p p p 1. 2. 3. 4. 5. 2 2 2 2 1 x 1+x x 1 |x| x + 1 x 1 x2 Z Z Z 3 Z Z 12 dx dx dx dx dx p p p 6. 7. 8. 9. 10. 2 2 2 4 x2 1 x2 4+x x 1 x 5 2x 2 0 Z Z Z Z dx dx dx cos x dx p p p p 11. 12. 13. 14. 2 x 6 x x x+7 3x 1 9 + 2 sen2 x 55. Calcular

senh x x!1 ex lim

⇣x⌘ 56. Encontrar el área de la región limitada por la catenaria y = a cosh , el eje y, el eje x y la recta x = x1 , a donde x1 > 0. 57. Calcular el área bajo la gráfica de y = cosh x en el intervalo [ 1, 1]. 58. Obtenga el área de la región comprendida entre la gráfica de y = senh x y el eje x en [ 1, 1]. 59. Determine el área de la región limitada por las gráficas de y = cosh x, y = x, x =

1 y x = 3.

60. Considere la función f (x) = ln x, para 0 < x < e. Definimos la función impar y periódica, de período 2e. (a) Construya su gráfico. ✓ ◆ 1 + 4e2 (b) Calcular f . e

61. Representar las funciones dadas como composición de funciones básicas e indique en que orden se debe realizar la composición 1)2

1.

f (x) = 1 + e(x

4.

f (x) = e2 cos(ln x)

Última actualizacón: Julio 2013

1

2.

f (x) = p

5.

⇣ ⇣ 2 ⌘⌘ f (x) = senh cos 4x

4x

4

Farith J. Briceño N.

3.

f (x) = ln sen2 (ex )

6.

✓ f (x) = log3 1

5 ln (53x )

◆

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

170

62. Resolver las siguientes ecuaciones coth2 x + csch2 x = 2

1.

sech2 x

2.

tanh2 x = 0

3.

coth x = 3

63. Hallar el dominio de la siguiente función ✓

f (x) = log7 64. Graficar la función f (x) = 3

1 2

◆ 3x .

1

sech

|csch (ln x) + 2x|. Respuestas: Ejercicios

1.a.

(0, 1) ;

1.c. Monótona creciente;

1.b. 0;

1.f.

;

2 y 2;

3.6. 3.14.

3.29.

3/4

y e ; 3.23. e ⇣ p ⌘ log4 1 + 2 ; 3.30.

4.9.

( 1,

4.3.

e ,1 ;

4.25.

[ 2, 1) ;

4.29.

[ 2, 0] [ [2, 1) ;

4.35. 5.6.

⇣

1,

( 1,

2 ln 3 ln 2 ln 24

;

( 1,

3] [ [ 2, 1) ;

5.16.

( 1,

1] [ (0, 1) ;

5.21.

( 1,

2) [ (3, 1) ;

5.26.

(0, 2) ;

5.27.

5.31.

(2, 8) [0, 1] ;

5.42.

( 1, e

5.48.

(3, 1) ;

5.53. ?;

5.49. 5.54.

2

5.59.

0, e

6.4.

(1, 1) ;

5.43.

{2} ;

( 2,

[ e2 , 1 ;

5.39.

5.55.

[3, 1) 6.6. R;

(ln (sen x)) etan x sec2 x + etan x cot x;

11.8.

1 x+1

(ln 2 ln 3) 2x 32

x

Última actualizacón: Julio 2013

1 x+4x

((ln 4) 4x + 1)

⌘

cos(ln x)

1 (x+1)2

[e

⇣

⇣p

2] ;

;

x

⌘ 2, 1 ;

1,

2,

⇥

9,

⇤

11.2.

2} ;

5.5.

( 2,

5.30. 5.35.

[e, 1) ; [0, 1)

;

1) ;

( 1,

6.2.

[5, 1) ;

{e} ;

⇣

0,

e, e2 ; 5.36.

( 1, 0) [ (1, 2] ;

( 1, e

5.58.

6.1. R;

{0, 2} ;

(0, 1)

3 2,2

(0, 2) ;

(2, 1) ;

4.34.

5.25.

5.47.

1) [ (0, 1) [ (3, 1) ;

(0, 1) ;

2 2x 3 ;

3] [ [1, 1) ;

5.41.

5.46.

5.51. 5.57.

(0, 1) ;

4.8.

;

5.20. R

1] ;

( 1,

n p o ± 2 ;

[3, 1) ;

4.1.

;

1 3

(0, 1) ;

( 1,

{3} ;

4, 1) ;

[1, 3] ;

( 1, 0) [ (1, 1) ;

4.13.

4.33.

5.4.

5.24.

2x2 sen(ln x) ln 3 ; 2 3x x

32

3 2

1;

3;

i hp ⌘ 2 [ 6, 1 [ {0} ;

10

5.19.

(2, 1) ; 3

3.28.

1) ; 5.10. (3, 1) ; 5.11. ⇣ ⌘ p ⌘ ⇣p 5.15. 1, 11 [ 11, 1 ;

[1, 1)

(3, 1) ;

5.61.

1,

{ e

1]

5.40.

( 1,

11.1. 2e2x 11.5.

( 1,

3.34.

3.21.

4.18. ( 1, 0) ; 4.19. ⇣ p ⌘ ⇣ p ⌘ 2, 1 [ 1, 2 ;

4.24. p

5.29. R

;

5.45.

5.50. 5.56.

e2 ;

2

2 ;

(1, 1) ;

(2, 6] ;

11.4.

⇣

2, e

5.44.

3

;

3] [ [ 2, 1) ;

e

5.34.

1) [ (0, 1) [ (3, 1) ; 5.60.

(3, 1) ;

(0, 1)

± 3;

2 ln 3 ln 2 ; ln 24

log2 5

3.13. 2;

( 1, e

{±3} ;

( 1,

5.23.

5.33. ?;

2) ;

5.9.

3) [ (3, 1) ;

3, 1) ;

[e

(0, 1) [ (5, 1) ;

5.18.

5.28.

(1, 1) ;

( 1, 0) ;

6.5.

{ 1, 0} ;

{ 1} ;

{0} ;

⌘

4.32.

5.3.

5.14. R

{ln 2} ;

;

⇣

4.28.

[ 1, 0] ;

5.8. R

2 3,1

( 1,

41+5 ,1 2

( 1, 1) [ (3, 1) ;

5.2.

(5, 1) ;

[ 3,

4.23.

3.27.

2

e

3.5.

3.12. 2; p 2 1;

,1 ; 4.7. ⇣p i 4.12. 14, 5 ;

4.6.

4.17. ⇣p

y 3;

1 2

;

3.20.

± 2;

3.26.

3) [ (1, 1) ;

p ⌘ 2 ;

1,

3.19. 2;

;

3.4. ?;

1/2

3.11. e

3.33.

[0, 1] ;

( 1,

2

1

3.32. 7;

4.5.

4.31.

(1, 1) ;

5.22.

(1, 1)

5.38.

h p

i 2, 3 ;

5.17. R

3.18. e ; log2 5 3

3.25.

( 1, 1) [ (2, 1) ;

5.13. R

5.32.

1) ;

⇣p

( 1, 0]

± 2;

[1, 2] [ (3, 1) ;

4.16.

4.27.

5.7.

5.12.

5.37.

4.11.

5.1.

3) [ (2, 1) ;

{3} ;

[0, 1] ;

4.22.

4.30.

⌘

3, 1) ;

y e2 ; 2

3.31. ?;

[e

4.4.

2

1.e. Concava hacia abajo;

e y e + 1;

3.3. 1

3.10. e

3.24. e y e ;

(1, 1) ;

4.26.

3.9. 3;

3.17. 0 y

( 1, 4) ;

4.21. ?;

[1, 1) ;

2;

ln 15 3 ln 5 2 ln 3 ;

4.10.

4.15.

3.2. 0 y 1;

1;

2

;

(0, 1) ;

2) [ (2, 1) ;

2

ln 2

p

3.8.

3.16. 5;

8

( 2, 3) ;

4.20.

± 4;

3.15.

8

4.2.

4.14.

3.7. 0 y 1;

± 3;

3.22. e

3.1.

1.d. No tiene valores extremos;

⇥

1,

5.52.

i p 3 2 ;

[e, 1) ; 3 2

⇤

;

( 1, 0) ;

6) ; 6.3.

[5, 1) ;

11.3. 3sen x ln 3 cos x; 11.6.

2x

1 p ln x

+

1 2x ;

11.7.

1 2

p

ex +

p e px ; 2 x

⌘ ln (x + 4x ) ;

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

11.9.

2

p

1 2) cos(ex

ln(ex 2x

11.11. eln

ln x+3

ln 3 3x ln 2 3x 5

11.14.

Funciones Transcendentes

⇣

2)

2 x

ex ln (ex 1 x

ln x

;

12.1. f 0 (x) = 3x3x (ln x + 1) ; 12.4. f 0 (x) = ln x2 12.6. f 0 (x) =

1 x 2x

✓

2 ln ln x2

⇣

5

⇣

12x2 x3 +1

12.12. f (x) =

x xcos x tan x 3tanp x3 e2x sen 2x

12.13. f 0 (x) =

p e x sen x ln x x3 (cos x)x 1 cot x

0

12.14. f 0 (t) =

✓

12.15. f 0 (t) =

(t+1)4 (t 5)3 (t 3)8

0

12.16. f (x) = x 12.17. f 0 (t) =

q

4

2

t2 +1 t+1

12.18. f 0 (x) = 3x4

12.20. f 0 (x) = exp 12.21. x

⇣

p

ex

⇣

ln 2;

13.20.

1;

14.3. e 16.

R1 0

5

xe

19.3. y 0 = 19.7. y 0 =

x



19.14. y 0 = 19.15. y 0 = 19.17. y 0 = 19.18. y 0 =

⇣ ⇣

⇣

yexy

1

13.6.

ey

e

(cos x

1 x

+

1)

x(1+2y)

⇣

ln y x ln2 x

⌘⇣

x4

+

p

y x

(0, 0) ;

2

⇣

1

ex 2y ln 2 ;

sen x 1) ln(cos x

10x+4x3 5x2 +x4 +6

⌘⇣p

x y

+ x sen exy

ln px 2 y

23.1.c. R;

23.1.f. Concava hacia arriba: (0, 1) ,

1 5

1 x ln x

cot x +

1+

tan(ln x) x

2t sen t t2 +1

⌘

1 1 ln(2t)+ln cos t 2

⌘

;

1 t

tan t

◆◆

;

;

4x ln (tan x) + x4

⇣

ex ln (ln x) +

sec2 x tan x

2

ex x ln x

⌘

;

1 x 2 3 x2

1+

⌘⇣

x;

⌘

xlog3 (4x)

1

xexy

1



; y(5x

;

23.1.d. ?;

+

cot x ln(4 csc x)

ln 3;

⌘

;

5/3

;

1;

19.1. y 0 =

13.18.

5/a

;

3ex +y ; 2 2yey x

19.16. y 0 = 1 3y ) ln 5

20. 3y

y

13.11. 0;

13.19. 0;

14.1. e; R2

19.6. y 0 =

2 2xy x ln y 3x ln 3 ⇣ ⌘ 2 1 x 1 xy x

13.2. 0;

13.10. 0; 1 x ln a ;

1

e

19.2. y 0 =

2x

dx =

1 4 2e

⇣

2x2 y

y 1

x(x2 y+2y 2

p p y p e x x

p

y

1 2e ⌘

1)

2

;

;

;

;

19.10. y 0 =

;

1

14.2. e

4(x+2) ln 4 ; 2(3y 1)3y ln 3

2x ex (1+ln 2) 2x ey ln 2 2y sec2 (x2y ) ; x2y sec2 (x2y ) ln 2+2x ey

ln(ex +y ) 1 (log2 y 2x3 )2 y ln 2

✓

13.1. 0;

; 15.

4x3 y ln2 y 6y ln y ; 4y 4 ln2 y 6x

19.13. y 0 =

1

13.25. e

14.8. e

19.9. y 0 =

;

13.9. 0; 1 x;

13.17.

13.24.

⌘

ln x log3 (4x) + ; x ln 3 x

13.8.

1 1 x log2 y 2x3 e +y

8y 7 + ⌘

;

p cot x p 2 x

1 x

4x3 ; x4 +6

19.5. y 0 =

◆✓

1)

13.16. 1;

5yexy 1 ln 2 5xexy

6x2 ln(ex +y ) (log2 y 2x3 )2

log5 y) ln 5 3y )2

⌘ + ln t cot t ; ⌘ 4t ; t2 +3

4 t+1

+

⌘ x cot x ;

cot 2x ;

3

x (ln x)e p 4 ex 3 x2

ln2 2;

1 2

19.12. y 0 =

1 y ln x

4 x

p

+

ln x;

ln(sen t) t

+

1 5t4 2 t5 +2

⇣

1

ln(sen x) p 2 x

⌘

cos t ln t2 + 1 +

14.7. e

R 2 ln x dx = 1 x

;

1+

⇣

x

(2 ln 3) t + 2t ln (sen t) + t2 cot t

13.23. 1;

2y

2 5

ln t +

p x4 5 sen x ln x ex cos(ln x) 3 x

13.7. ax ln a;

14.6. e ;

19.8. y 0 =

p

(2+3x cos(3x)) log4 x ; x3 5sen(3x)

x

1 3;

2y

2 5t

⇣

t5 +2

(t+1)4 (t2 +3)2

!

13.15. 1;

19.4. y 0 = ;

◆ln t ⇣

5x ) ;

1 ln 4

2 cot t;

a

17.

5x (log3 x (5x

Última actualizacón: Julio 2013

p t

+ (tan x)

12x3 ex 3x4 ex

ln x

13.22. 0;

;

;

1 3y ) ln 3

23.1.b.

+

12.22. f 0 (x) =

;

14.5. e ;

⌘

ln y p 2 x

p

2

y sen exy +

x(5x

⌘

1 3t2 2 t3 1

ln(cos x 1) p x sen x ln(4 csc x)

1 ex x log2 y 2x3 e +y

yexy

+

⌘

4x3 tan x x4 2

✓

+ t4

sen t

x

⇣ ⇣ ⌘ ⌘ y(y+1) 2 ln x2 y+x2 y 2 +2

✓

4t3 t4 +4

13.14. 0;

2xy cos(xy 2 )

y(y+1)(3y 2

◆

log4 x x2 5sen(3x)

2x ln 2) ;

⌘ ln (cos x) + x tan x + cot x ;

3 x

+ t2 + 1

2 +

tet csc t

ln (sen x) x + ln x cot x + 23 3x ln 2 ln 3 x

1 2e

⇣

⌘

✓p 5

sec2 x tan x

+

⌘

12.5. f 0 (x) = 30x3 ln x

;

(3sec x )x ln (3sec x )x (ln x + 1 + tan x) ; ⌘ ⇣

ln 3 ln 3 ln 2 ;

y 2 cos xy 2

19.11. y 0 =

23.1.a. R;

1 2

3

4

+

1 x ln x

2 7 2 3t (sen t)t p ln( 2t cos t)

t

ln 3x4 ex p 2x ln x

13.5. 0;

2 3ye3xy +2xex 3xe3xy 1

2y ln 2

⌘

cos x x

sen x ln x +

8 5

⇣

ln x

14.4. e ;

1

t

◆

+ sen

ln (ex

cot x ln 5

12.3. f 0 (x) = (sen x)

12.11. f 0 (x) =

;

x cos x +

3

+

sec x ln x

13.13. 8;

dx =

✓

1 1 2 t+1

3

x2

4t3 ln

2

⇤ sen x

cos x ln x +

13.21.

;

p

ln(cos x 1) p x sen x ln(4 csc x)

13.4. 0;

13.12.

⇣

+

sen px 2 x

3 tan 3x ln(cos 3x)

+

12.23. f 0 (x) = (sen x)ln x 13.3. ex ;

4 t+1

t t2 +1

2x3 3 x4

12.19. f 0 (x) = 4

⇥ sen x

tan x

ln 3 · sec x

⇣

⌘

x e ln x

⇣

(4x ln 4

1 2x +1

4x

ex 5x ln 5 ex 5x

⌘ x

(lnx + 3) ;

12.9. f 0 (t) = 1 3x

⇣

1) cos

12.7. f 0 (t) =

+ 2 cot x 2

◆ t4 ✓

2 7 2 3t (sen t)t p ln( 2t cos t)

⇣

⇣

2/3

11.10.

log5 (csc x)

2x+3 2x ln(x2 5) x2 5

+

p

⌘4 x3 +1 sen2 x p 3x

11.13.

p 3x 1 3x

sec (xx ) tan (xx ) (ln x + 1) ; ⇣ ⌘ sen x 1 1 12.8. f 0 (x) = ex 1 x (x 2) x + cot x x 2 ; 12.10. f 0 (x) =

;

⌘ 2) ;

cos (ex

(ln x + x ln x

12.2. f 0 (x) =

2x+3

5

ex ln2 x

11.15.

ex ex 2

2) +

1 x x+4ex

11.12.

ex ; (ln 3)(5 ex )

+

2) sen (ex

171

p

e px 2 x

2x ln 2

3y (log3 x (5x

◆

+ ex ln y ln y

log5 y) ln y 3y )2

2x + 2 = 0;

xexy

⌘

1

1

; ◆⇣

2y ln 2 3 2y

xex ln y y

⌘

1

;

;

22. f

1

(x) = loga

⇣

x+1 1 x

⌘

;

23.1.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;

Concava hacia abajo: ( 1, 0) ;

23.1.g.

Farith J. Briceño N.

(0, 0) ;

23.1.h. No tiene;

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

23.1.i. No tiene;

23.1.n. f

23.2.c.

1

Funciones Transcendentes

23.1.j. No tiene;

23.2.d.

23.2.j. No tiene;

23.3.b.

1

(0, 0) ;

Concava hacia abajo: ?;

23.2.k.

⌘ 1 ,

23.3.c. R;

con x

1 si x !

1,

23.3.n. f

1

(x) =

23.4.b. No tiene;

1 2

ln

1+x 1 x,

con

23.4.c. ?;

1 < x < 1;

23.4.d. R

23.4.f. Concavidad hacia arriba: (0, 1) ,

23.4.i. x = 0;

23.4.j. No tiene;

Última actualizacón: Julio 2013

23.2.m.

23.3.i. No tiene;

23.3.m.

23.2.i. No tiene;

23.3.a. R;

Valor mínimo: No tiene;

23.3.g.

(0, 0) ;

23.3.j. No tiene;

( 1, 1) ;

23.3.o.

{0} ;

(0, 1) ;

[1, 1) ;

;

Concavidad hacia abajo: (0, 1) ;

23.3.l. Si tiene;

;

23.2.l. Si tiene;

23.3.e. Valor máximo: No tiene,

y = 1 si x ! 1;

23.3.k.

23.2.h. No tiene;

23.2.o.

23.3.d. ?;

23.3.f. Concavidad hacia arriba: ( 1, 0) , 23.3.h. y =

1;

23.2.b.

Valor mínimo: (0, 1) ;

23.2.g. No tiene;

;

⇣ p (x) = ln x + x2

23.2.a. R;

;

23.2.e. Valor máximo: No tiene,

23.1.m. R;

23.1.l. Si tiene;

;

23.1.o.

( 1, 0) ;

23.2.f. Concava hacia arriba: R,

23.2.n. f

23.1.k.

⇣ ⌘ p (x) = ln x + x2 + 1 ;

(0, 1) ;

172

;

23.4.a. R

{0} ;

23.4.e. Valor máximo: No tiene, Valor mínimo: No tiene;

Concavidad hacia abajo: ( 1, 0) ;

23.4.k.

23.4.g. No tiene;

;

Farith J. Briceño N.

23.4.l. Si tiene;

23.4.h. y = 0;

23.4.m. R

{0} ;

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

23.4.n. f

1

(x) = ln

✓

1 x

Funciones Transcendentes

p

+

1+x2 |x|

◆

, con x 6= 0;

173

23.4.o.

23.5.a. R;

;

( 1, 0) ; 23.5.d. (0, 1) ; 23.5.e. Valor máximo: (0, 1) , Valor mínimo: No tiene; ⇣ ⇣p ⌘⌘ ⇣ ⇣p ⌘ ⌘ ⇣ ⇣p ⌘ ⇣p ⌘⌘ 23.5.f. Concavidad hacia arriba: 1, ln 2 1 [ ln 2 + 1 , 1 , Concavidad hacia abajo: ln 2 1 , ln 2+1 ; 23.5.b.

(0, 1) ;

23.5.g.

⇣

ln

⇣p

23.5.c.

2

⌘ 1 ,

p

2 2

⌘

⇣

,

ln

23.5.k.

23.5.n. f

⇣p

⌘ 2+1 ,

;

1

(x) = ln

✓

1+

p

x2

1 x

◆

23.6.c. ?;

23.6.b. No tiene;

1 si x !

1,

(x) =

1 2

ln

1+x x 1,

29.1. Crecimiento: (1, 1) ,

;

23.5.i. No tiene;

23.5.h. y = 0;

23.5.l. Si tiene;

23.6.d. R

;

1

⌘

23.5.m.

(0, 1] ;

23.6.e. Valor máximo: No tiene,

23.6.i. x = 0;

23.6.l. Si tiene;

23.6.m.

{0} ;

Valor mínimo: No tiene;

23.6.g. No tiene;

23.6.j. No tiene;

( 1,

23.6.o.

Decrecimiento: (0, 1) ,

23.6.a. R

;

Concavidad hacia abajo: ( 1, 0) ;

con |x| > 1;

23.5.j. No tiene;

23.5.o.

{0} ;

y = 1 si x ! 1;

23.6.k.

23.6.n. f

2 2

, con 0 < x  1;

23.6.f. Concavidad hacia arriba: (0, 1) , 23.6.h. y =

p

1) [ (1, 1) ;

;

Valor máximo: (1, 1) ,

28. c = e

Valor mínimo: No tiene,

1;

Concava hacia arriba: (0, 1) ,

Concava hacia abajo: Nunca, Valor máximo: No tiene,

Punto de inflexión:

4,

1 4

Punto de inflexión: No tiene; 29.2. Crecimiento: (2, 1) , Decrecimiento: (0, 2) , ⇣ ⌘ 2 Valor mínimo: 2, 1+ln , Concava hacia arriba: (0, 4) , Concava hacia abajo: (4, 1) , 2

+ ln 2 ;

Última actualizacón: Julio 2013

30.1.

30.2.

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Funciones Transcendentes

30.3.

30.4.

30.5.

30.6.

30.7.

30.8.

30.9.

30.10.

30.12.

31.2. f (x) =

31.6. f (x) = ax ln a; 1 2t

31.11. f (t) = 32. y = e

x

34.4.

ln 7 5t5

34.9.

x

34.14.

+

2x

+ C;

34.30. 34.32.

1 2

2

e

a| + C;

sen ln 4t

x

2

8 3

x+2

34.55.

2

t

2e p

e

2 7 1 4

34.33.

ln

1 5x

ln 3

+ C;

1 2

ln 10

34.52.

ln |ln (ln x)| + C;

34.59. earctan x +

1 4

3 4 5x 2

1 8

+ C;

2

mt

e

+ C;

t 7/2

+ C;

2 3

ln 4x + 1

34.56.

1 3

3 2

34.60.

ln x + C;

ln e

3x

(ln (sec t) +

2 4) 3

34.57.

cos3 (cos (ex )) + C;

t2 2

1|

34.49.

34.53.

34.61.

Farith J. Briceño N.

+ C;

5 x 4

1 ln 4

1 2

ln 5

+ C;

1)

ln x4

ln2 (sen 2t) + C;

+ C; p

t

+ C;

+ C; 34.50. 34.54.

34.58. e 1 4

+ C;

4| + C;

1t 2 2 ln 7 7

x

+

+ C;

t + C;

34.42. 2e

ln a cos x + C;

1 4 4x

p

2xn+1 (n+1) ln n

t + C;

ln |sen t| + C;

+ C;

t + ln |t + 1| + C;

7t et (ln 7

1 4 ln4 x

1

34.13. e + C;

34.35.

34.46.

t2 ln 3 t

16 ln |x

34.38.

4 + C;

+ C;

+ C;

1 3 3x

2

1 + C;

2 ex + 1 + C;

ln et + e2t

ln 3

;

1 8 8x e

34.8.

3 x 4

1

34.29. t 1 2 2x

4x 1 3

+ C;

34.21.

ln 4

2)

34.3.

34.17. 2 ln tan

34.25.

2

34.41. 2 ln |t

3 (arctan 2x) 2

1 3

1 2

+ C;

3 (x+1)(x

ln |sec x| + C;

+ C;

4x3 +4x ln 4 ; 7

31.10. f (x) =

+ C;

1 5x ln 5 ln2 5

34.12.

1 2e 2 t

p

3 1) 2

+ C;

ln |ln (ln (ln x))| + C;

+ C;

34.31.

(ex +

34.7.

100 1 100 x

ln |4 + cos 4x| + C;

1 x2 2e

34.34. x +

34.45.

34.48.

1 4

cot x ln a ;

31.14. f (x) =

34.2.

+ C;

34.16.

34.28.

+ C;

ln |ln x| + C;

ln4/3 x + C;

1

x 1 9 ln 3 3

34.24.

34.40. e

2

x

34.20.

sen2 x

ln2 x2 + 1 + C;

Última actualizacón: Julio 2013

34.11.

34.37.

1 + C; 34.44.

34.6. e

+ C;

a me

t 3/2

34.1. xe + C;

1 x ln a ;

31.5. f (x) =

31.9. f (x) =

31.13. f (x) = cot x;

x;

e2x + C;

5 1

;

3

+ C;

x/2

t ln 2 22t

1

ln |t + cos t| + C;

34.15.

cot x| + 2 sen x + C;

1 ln 5

ln 5 ln 3 ln 10

34.51. e

(ln x + 1)

34.27.

+ C;

34.43. ex + 2x + C; 34.47.

e 2/3

34.23.

t 5/2

ln |csc x

34.39.

3 4

34.19.

3x + C;

31.8. f (t) = p2

p

1 2t 2e

34.5.

34.10.

a ln |x 8 5

1 x ln a ;

31.4. f (x) = 3x ln 3;

1 x;

31.3. f (x) =

31.12. f (x) = tan x;

ln |ln (sen (ax))| + C;

34.22. ex

30.14.

33. y = ln |x|

+ C;

1 3 ln3 (3t)

34.26.

ln 5;

3;

1 t

1 x;

31.7. f (x) =

1 t 45

e + C; 1 a

34.18.

34.36.

30.11.

30.13.

31.1. f (x) = ex ;

174

ln et

1 ln2 x 2 ln 3

2 + C;

+ C;

x

ln (e + 1) + C; 1 + C;

34.62.

ex 1 ln 5 5

+ C;

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

34.63.

3 2 2x

34.66.

1 2

34.69.

1 3

1 4 4x

+

ln x2

9 2

+

Funciones Transcendentes

2

ln x + 1 + C; 3

ln sen x p

34.73. 18 ln

3 sen x

5 + C;

ln |csc x

cot x| + C;

34.80.

1 5x

ln

34.84.

ln |x| + C;

+

1 5 ln 7

sen 2x 2

p 1 2

34.97.

1 4

34.100. 2 ex

1

34.105. 2 arctan 1 2

34.108.

p

1 4

2 +

ex

ln e2x

x + 1 + C;

35.6. f 0 (x) =

5sen x +sen2 x arctan(sen x)

9 16 ;

sech x =

40.

42.7. 1;

1

47.5. f

(x) =

1 2

5 ln (e + 5) + C;

+ C;

1 6 ln 2 ;

34.94. 2;

✓

1+

x 2ep

⌘

1 3

con x2

+ C;

3 5,

ln 2

|x|+6

csch x =

x 3

49.21. f 0 (x) =

4 5x

sech2

p +

1

47.6. f

1 x

+

(x) =

1 2

ln

49.10. f (x) = x

senh2 (x5 )

p

x

⇣

senh x

53.4.

ln |senh x| + C;

53.8.

x3 6

53.21.

2 5

54.4. 54.8.

+ C;

x

cosh x

x

53.5.

+

ln x cosh p 2 x

1 224

p

x

⌘

;

sech2 t tanh t ;

ln |1 + cosh x| + C; p

x + C;

senh (28x) + C;

csch

x + C;

arccosh 3

54.5.

arccosh 2;

Última actualizacón: Julio 2013

sech 54.9.

1

x + C; p

5 5

1 2

coth x =

5 3;

+ C;

4 + C;

ex + 1 +

p

3 3

ax ax a2x 1

32

ln e

x 2ep

1 3

⌘

+ C; e2x 5 ln x ;

35.2. f 0 (x) =

ln (ex + 1) ; q

⇣

arctan

r

ln a

+1

ln 2 +

41.

cosh x =

1 2

sen(ln x) cos(ln x) ; x sen2 (ln x) 1

ln e32 + 1 ;

5 3,

4 3,

senh x =

1+x2 |x|

1+x x 1,

◆

con x 6= 0;

,

con

49.1. f 0 (x) = ex (cosh x + senh x) ;

|x| > 1;

t

cosh x x

49.5. f 0 (x) =

2

e

t

; 0

49.11. f (x) = p 2x 4

;

ecoth x csch2 x;

x

1

;

49.16. f 0 (x) =

x;

1 x2

csch2

1 x

a

x2

49.17. f 0 (x) =

;

49.20. f 0 (x) =

;

49.23. f 0 (x) =

49.26. f 0 (x) =

a2

1 1 x2

2

p1 x+1

+

2

1 p

x

p1

arcsenh

x

49.27. f 0 (x) =

;

x2 +1

p

x

p4

x8 +1

;

;

x ;

⇣ ⌘ 2x sech2 x2 q ; tanh2 (x2 )+1

49.29. f 0 (x) = (cosh x)tanh x sech2 x ln (cosh x) + tanh2 x ;

p ⌘ 50. x = ln 1 + 2 ; ⇣

53.1.

53.10. 53.13.

1 2

1 5

tanh x + C; 1 3

53.6. x

cosh4/3 (ln x) + C; 53.17. x 2 arctan x + C; p p 3 p 2 cosh5 x cosh x + cosh x + C; 3 1

1 x 2e

49.13. f 0 (x) = ex (cosh x + senh x) ; 1

49.19. f 0 (x) =

;

p

ln x senh x +

49.22. f 0 (x) = 3x2 coth x3 ;

53.9. 2 cosh

senh (14x) +

x

ln e2x

37. A =

⇡;

4x2 + 5 + C;

49.8. f (t) = e sech

49.15. f (x) = tanh x2 +9

ln x4

0

0

49.25. f 0 (t) =

;

p

+ p

;

49.30. f 0 (x) = 3 csch (3x) ;

3 4

xe5 + C;

34.96. 3 ln x + 3 ln |ln x| ln 3 + C;

49.4. f 0 (x) = 4x3 senh x4 ;

49.7. f (t) = coth t; 0

x2 +9

1 5

⇣ ⌘ cosh x5

1

49.28. f 0 (x) = xsenh

53.16.

ln (7x + 5) + C;

42.3. 1; 42.4. 1; 42.5. 1; 42.6. 1; ⌘ ⇣ ⌘ p 1 x2 + 1 ; 47.2. f (x) = ln x + x2 1 , con x 1;

✓

(x) = ln

0

x sech x tanh x;

49.18. f 0 (x) = arcsenh

1 28

1

34.83. ex+5

+ C;

4;

35.5. f 0 (x) =

4 3,

p

(x) = ln x + 1

1 2

;

1; ⇣

1 4

2 +

312 25 ;

49.3. f 0 (x) = 4 cosh3 x senh x;

49.14. f (x) = ln (senh 4x) + 4x coth (4x) ;

+

+ C;

34.72. 3e 3 t + C;

1 ln 7

34.79.

x2

35.1. f 0 (x) =

⇣ ⌘ log2 x2

42.2. 1

47.4. f

0

3x 8

4 ln 2

34.107.

49.12. f 0 (x) = etanh x sech2 x cosh (cosh x) + senh x senh (cosh x) ;

53.12.

+ C;

1 2e

34.82.

ln 3;

2x

4 5,

sech x =

47.1. f

con 0 < x  1;

,

49.9. f (x) = cosh x senh (senh x) ;

x 2

ln 2

3

x

ln |sec t + tan t| + C;

34.75.

7 x 2

1

arctan x2

34.109.

42.1. 1;

1;

0

49.24. f 0 (x) = 5x4

a2 + C;

ln 7

+ 2

ln 4 ln |ln (log4 x)| + C;

34.95.

1 + C;

36. A =

1 < x < 1;

◆

ax

p x 2x 2x +6

tanh x =

2

49.6. f (x) = 2x sech x

arctan

5 4;

42.9.

1 x

0

5 4,

coth x =

p

⇣

2 ln a

3 2

34.104.

p

x 5e +e2x ex ; arctan(ex )

cosh x =

1+x 1 x,

ln

3 arctan

49.2. f 0 (x) = 3 sech2 (3x) ;

4 5

ln x2

x

p 3

2

34.71.

a2 2

1 2 2x

9 2

ln |ln x| ln 5 + C;

34.65. 2

34.86. 2 arctan (sen x 1) + ln sen2 x 2 sen x + 2 + C; ⇣ ⌘ p 1 34.89. 2 ln1/2 x + x2 + 1 + C; 34.90. 2 34.91. 4 2 ⇡;

4x2 + 5 + C;

cos x

1;

(x) = ln

x

x

p 3

2 + C;

35.4. f 0 (x) =

3 4,

csch x =

42.8.

1

47.3. f

24 ln 2

+ C; 34.78. + ⌘ p 3 ⇣ ln 2 x + x2 + 1 + C;

34.93.

34.106.

p

ex + 1

x ; ln2 x+ln(ln x)

3 5,

ln x4

1 + C;

35.3. f 0 (x) =

38. A =

x

p 3

1 4

1) +

arctan x2

34.103.

ln

36

p 3

t)2 + C;

ln 2x2 2x + 1 + C; 34.98. arctan (1 x) + 12 ln x2 2x + 2 + C; 34.99. arcsen ⇣ x ⌘ 4 arctan e 2 1 + C; 34.101. 5 arctan (x 2) + 32 ln x2 4x + 5 + C; 34.102. ln e2t + et

arctan (2x p

p 4

cos3 2 + ln (1

1 6

1 6x ln 6

2 3

34.81.

sen(2x) 1 2 ln a a

34.68.

34.74.

ln sen2 x + sen x

34.88.

+

4

+ 5 + C;

+ C;

t2 1 2 ln 5 5

34.77.

34.85.

+ C; p 4x

x 8

34.92.

1 7x

4x + C;

34.70. e 2

t)2

cos 2 + ln (1

x

p p 12 x + x+3

x+3

1 2

34.64.

4 x5 5 ln 4

34.67.

34.76.

34.87. e

3 + C;

175

tanh (3x) + C;

5

senh x + C;

cosh3 2 3

53.18.

54.6. tanh ✓q ◆ 2 sech 1 + C; 5x

1

53.11.

cosh 2 +

54.1.

1 2

2 3;

1

x + C;

+ C;

54.10.

54.7. 1 2

ln 3;

Farith J. Briceño N.

1 2

cosh (2x) + C; 1 4

53.7. 1 3

senh x 1 9

tanh (3x)

53.14.

coth x + C;

senh x 2

53.2.

x8p 1 7 x

54.2. senh 54.11.

cosh 1

x 2

p

x

+ C;

tanh (3x) + C; 53.15.

senh(2) ; 2 1

2

3

+ C;

53.19. 1 +

ln |cosh x| + C;

53.3.

2

x + C;

ln2 (cosh x) + C;

53.20. 0; 54.3.

tanh

1

x + C;

+ C;

3 cosh 3

1

⇣p

⌘ 3x + C;

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

54.12.

p

6 3

sech

56. A = a2 senh

1

Funciones Transcendentes

px 6

x1 a

;

+ C;

54.13.

2 p 7

csch

57. A = 2 senh 1;

1

px 7

+ C;

54.14.

58. A = 0;

176

p

2 2

senh

1

⇣p

2 3

⌘ sen x + C;

59. A = senh 3 + senh 1

4;

55.

1 2;

563. ;

Bibliografía 1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall. 2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico [email protected] indicando donde se encuentra(n) dicho(s) error(es). MUCHAS GRACIAS.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 7.

Última actualizacón: Julio 2013

Funciones Transcendentes

Farith J. Briceño N.

177

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8

Método de integración: Integración por partes Objetivos a cubrir

Código : MAT-CI.8

• Método de integración: Integración por partes. Z

Ejemplo 169 : Integre

Ejercicios resueltos

x sen x dx.

Solución : Integramos por partes con Al derivar

u=x

!

Al integrar

dv = sen x dx

du = dx v=

!

cos x

La integral se transforma en Integración por partes Z uv v du

Z

z

x sen x dx = x (

Por lo tanto,

Ejemplo 170 : Integre

# }| Z

cos x)

Z Z

{

(

cos x) dx =

x sen x dx =

x cos x +

Z

cos x dx =

x cos x + sen x + C.

x cos x + sen x + C. F

z ez dz.

Solución : Integramos por partes con Al derivar

u=z

!

Al integrar

dv = ez dz

du = dz v = ez

!

La integral se transforma en Integración por partes Z uv v du

Z

Por lo tanto,

Ejemplo 171 : Integre

Z

z

z ez dz = z ez Z

# }| Z

{

ez dz = z ez

z ez dz = z ez

ez + C.

ez + C. F

arcsen x dx.

Solución : Integramos por partes con u = arcsen x dv = dx

Última actualizacón: Julio 2013

Al derivar

!

Al integrar

!

Farith J. Briceño N.

du = p

1 1

x2

dx

v=x

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

179

La integral se transforma en Integración por partes Z uv v du

Z

# }| Z

z

arcsen x dx = x arcsen x

{ dx x p = x arcsen x 1 x2

donde, para obtener la familia de primitiva de la función f (x) = p Cálculo del

x2

z=1

diferencial

!

dz =

x 1

x2

2x dx

Z

x dx p , 1 x2

, se propone el cambio de variable

=)

dz = x dx, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

x dx p = 1 x2

dz p2 z

Z

1 2

=

es decir,

Por lo tanto, Z arcsen x dx = x arcsen x Finalmente

Ejemplo 172 : Integre

dz p = z

Z Z

1 2

Z

x dx p = 1 x2

1

1/2

z

p

1 z 2 +1 + C1 = 2 1 +1 2 p = z + C1 =

dz =

1

1

1 z2 + C1 2 1 2 p 1 x2 + C1 ,

x2 + C 1 .

⇣

x dx p = x arcsen x 1 x2 Z

Z

Z

arcsen x dx = x arcsen x +

p 1

⌘ p x2 + C1 = x arcsen x + 1

p 1

x2 + C.

x2 + C.

F

ln x dx.

Solución : Integramos por partes con Al derivar

u = ln x

!

Al integrar

dv = dx

du =

1 dx x

v=x

!

La integral se transforma en Integración por partes Z uv v du

Z Última actualizacón: Julio 2013

z

ln x dx = x ln x

# }|Z

{ dx x = x ln x x

Z

Farith J. Briceño N.

dx = x ln x

x + C., [email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

Por lo tanto,

Z

Ejemplo 173 : Integre

Z

ln x dx = x ln x

180

x + C. F

x3 ln x dx.

Solución : Integramos por partes con Al derivar

u = ln x

Al integrar

dv = x3 dx La integral se transforma en Z x4 x3 ln x dx = ln x 4 Por lo tanto,

Z Z

Ejemplo 174 : Integre

Z

!

v=

!

x4 1 x4 dx = ln x 4 x 4 x3 ln x dx =

du =

x4 ln x 4

1 4

Z

1 dx x

x4 4

x3 dx =

x4 ln x 4

x4 + C. 16

x4 + C. 16 F

x2 cos x dx.

Solución : Integramos por partes con Al derivar

u = x2

Al integrar

dv = cos x dx La integral se transforma en Z x2 cos x dx = x2 sen x

!

Z

du = 2x dx v = sen x

!

2x sen x dx = x2 sen x

2

Z

x sen x dx | {z } "

Ver Ejemplo 169

Z

Resolvemos la nueva integral

x sen x dx, integramos otra vez por partes con u=x

dv = sen x dx y obtenemos Z entonces,

x sen x dx = Z

x cos x

x2 cos x dx = x2 sen x

así, la familia de primitivas es

Última actualizacón: Julio 2013

Z

Z

Al derivar

!

Al integrar

cos x dx =

du = dx v=

!

x cos x +

Z

cos x

cos x dx =

x cos x + sen x + C1 ,

2 ( x cos x + sen x + C1 ) = x2 sen x + 2x cos x

x2 cos x dx = x2 sen x + 2x cos x

2 sen x + C,

2 sen x + C. F

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Ejemplo 175 : Integre

Método de integración: Integración por partes

Z

e

p

x

181

dx.

Solución : Se propone el cambio de variable p=

p

Cálculo del

x

diferencial

1 dp = p 2 x

!

=)

2p dp = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda

Z

e

p

x

Z

dx =

2p ep dp = 2

Z

p ep dp | {z } "

Ver Ejemplo 170

integramos por partes con Al derivar

u=p

Al integrar

dv = ep dp la integral se transforma,

como p =

p

Z

x, se tiene Z

es decir,

e

p

x

p ep dp = p ep

dx = 2

⇣p

Z

Ejemplo 176 : Integre

Z

e

xe

p

!

x

p

x

Z e

v = ep

!

ep dp = p ep

p

dx = 2e

du = dp

x

p

ep + C 1 ,

⌘ p + C1 = 2e x x

p

x

p

x

1 + C,

1 + C. F

2

x3 ex dx.

Solución : Se propone el cambio de variable p = x2

Cálculo del diferencial

!

dp = 2x dx

=)

dp = x dx, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z Z 2 2 dp 1 x3 ex dx = x2 ex x dx = p ep = p ep dp 2 2 | {z } "

Ver Ejemplo 170

integramos por partes con u=p dv = ep dp

Última actualizacón: Julio 2013

Al derivar

!

Al integrar

!

Farith J. Briceño N.

du = dp v = ep [email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

entonces,

Z

como p = x2 , se tiene

Z

es decir,

Ejemplo 177 : Integre

ep dp = p ep

1 ⇣ 2 x2 x e 2

2

x3 ex dx = Z

Z

Z

p ep dp = p ep

ex

2

182

ep + C1

⌘

+ C,

2

3 x2

x e

ex dx = 2

x2

1 + C. F

x arcsen x p dx. 1 x2

Solución : Integramos por partes con Al derivar

u = arcsen x dv = p entonces, Z

x arcsen x p dx = 1 x2

p 1

x x2

1

x2

Al integrar

dx

Z

arcsen x =

Por lo tanto,

Ejemplo 178 : Integre

Z Z

!

p

p 1

v=

1 x2

1 p 1

dx 1 x2 Z 2 x arcsen x + dx =

1

dx

x2

x2 p

p 1

x arcsen x p dx = 1 x2

!

du = p

p

1

x2 arcsen x + x + C.

x2 arcsen x + x + C. F

sen (bx) ln (senn (bx) cosm (bx)) dx.

Solución : Por propiedades de ln ( ), tenemos ln (senn (bx) cosm (bx)) = ln (senn (bx)) + ln (cosm (bx)) = n ln (sen (bx)) + m ln (cos (bx)) así, Z

sen (bx) ln (senn (bx) cosm (bx)) dx =

Z

sen (bx) (n ln (sen (bx)) + m ln (cos (bx))) dx

=n donde,

Z

Z

sen (bx) ln (sen (bx)) dx + m

Z

sen (bx) ln (cos (bx)) dx,

sen (bx) ln (sen (bx)) dx la resolvemos integrando por partes, con u = ln (sen (bx)) dv = sen (bx) dx

Última actualizacón: Julio 2013

Al derivar

!

Al integrar

!

Farith J. Briceño N.

du = b v=

cos (bx) dx sen (bx)

cos (bx) b

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

183

luego, Z

Z

cos (bx) ln (sen (bx)) b

sen (bx) ln (sen (bx)) dx =

cos (bx) cos (bx) b dx b sen (bx)

= calculamos la integral,

Z

cos (bx) ln (sen (bx)) b

Z

cos2 (bx) dx sen (bx)

cos2 (bx) dx, por la identidad trigonométrica básica, sen (bx) sen2 (·) + cos2 (·) = 1

y podemos escribir la integral como Z Z Z ✓ cos2 (bx) 1 sen2 (bx) 1 dx = dx = sen (bx) sen (bx) sen (bx) Z 1 = dx sen (bx) Cálculo del diferencial

!

sen2 (·)

◆ Z ✓ sen2 (bx) 1 dx = sen (bx) sen (bx) Z Z sen (bx) dx = csc (bx) dx

se propone el cambio de variable, para ambas integrales z = bx

cos2 (·) = 1

se tiene

dz = b dx

sen (bx) Z

◆

dx

sen (bx) dx,

dz = dx, b

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Así, Z

csc (bx) dx

Z

1 b

sen (bx) dx =

Z

csc z dz

1 b

Z

sen z dz = =

con lo que, Z

cos (bx) ln (sen (bx)) b

sen (bx) ln (sen (bx)) dx = Z

Calculamos la segunda integral integrales p = cos (bx)

1 ln |csc z b

1 ln |csc (bx) b

1 ln |csc (bx) b

cot z| +

1 cos z + C1 b

cot (bx)| +

cot (bx)|

1 cos (bx) + C1 , b

1 cos (bx) + C1 . b

sen (bx) ln (cos (bx)) dx, se propone el cambio de variable, para ambas

Cálculo del diferencial

!

dp =

b sen (bx) dx

=)

dp = sen (bx) dx, b

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda

Z

sen (bx) ln (cos (bx)) dx =

la cual se resuelve por integración por partes, con u = ln p dv = dp

Última actualizacón: Julio 2013

Al derivar

!

Al integrar

!

Farith J. Briceño N.

1 b

Z

ln p dp

du =

1 dp p

v=p [email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

entonces,

Z

así, Z

Método de integración: Integración por partes

ln p dp = p ln p

sen (bx) ln (cos (bx)) dx =

Z

1 b

Z

1 dp = p ln p p

p

Z

ln p dp =

dp = p ln p

p (ln p b

184

p + C2 = p (ln p

1) + C3 =

1) + C2 ,

cos (bx) (ln (cos (bx)) b

1) + C3 .

Tenemos, Z Z Z sen (bx) ln (senn (bx) cosm (bx)) dx = n sen (bx) ln (sen (bx)) dx + m sen (bx) ln (cos (bx)) dx 

=n

1 cos (bx) ln (sen (bx)) b

n = b



1 1 ln |csc (bx) cot (bx)| cos (bx) b b  cos (bx) +m (ln (cos (bx)) 1) + C b ln |csc (bx)

cos (bx) ln (sen (bx))

cot (bx)|

cos (bx)

m cos (bx) (ln (cos (bx)) + 1) + C. b Luego  Z n cos (bx) ln (sen (bx)) sen (bx) ln (senn (bx) cosm (bx)) dx = b

ln |csc (bx)

cot (bx)|

cos (bx)

m cos (bx) (ln (cos (bx)) + 1) + C. b F Ejemplo 179 : Integre

Z

sen2 x dx.

Solución : Observemos que

Z

Integramos por partes, con

2

sen x dx =

Z

sen x sen x dx.

Al derivar

u = sen x

!

Al integrar

dv = sen x dx

!

du = cos x dx v=

cos x.

La integral se transforma en cos2 x = 1

Z

sen2 x dx =

Última actualizacón: Julio 2013

sen x cos x

Z

cos x cos x dx = Z

=

sen x cos x +

=

sen x cos x + x

1

sen2 x dx =

Z

sen2 x dx + C1 ,

Farith J. Briceño N.

sen2 x

# Z z }| { sen x cos x + cos2 x dx sen x cos x +

Z

dx

Z

sen2 x dx

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

es decir,

despejamos

Z

Z

sen2 x dx =

Z

sen x cos x + x

185

sen2 x dx + C1 ,

sen2 x dx, Z

sen2 x dx =

sen x cos x + x =)

Z

=)

2

=)

Z

=) Por lo tanto,

Z

Ejemplo 180 : Integre

Z

Z

Z

sen2 x dx + C1 2

sen x dx + Z

Z

sen2 x dx =

sen2 x dx =

sen x cos x + x + C1

sen x cos x + x + C1

sen2 x dx =

1 ( sen x cos x + x + C1 ) 2

sen2 x dx =

1 x sen x cos x + + C. 2 2

sen2 x dx =

1 x sen x cos x + + C. 2 2 F

csc3 x dx.

Solución : Escribimos la integral como Z Z csc3 x dx = csc2 x csc x dx.

Integramos por partes, con

u = csc x dv = csc2 x dx La integral se transforma en Z csc3 x dx = csc x ( cot x) es conocido que

Z

Al derivar

!

Al integrar

du = v=

!

( cot x) ( csc x cot x) dx =

cot2 x = csc2 x

csc x cot x dx cot x,

csc x cot x

Z

csc x cot2 x dx,

1,

así, cot2 x = csc2 x

Z

3

csc x dx =

csc x cot x

=

csc x cot x

=

csc x cot x

Última actualizacón: Julio 2013

Z

Z Z

1

# z }| { csc x cot2 x dx = csc3 x

csc x cot x

csc x dx =

csc3 x dx + ln |csc x

Z

csc x cot x

csc x csc2 x Z

1 dx

csc3 x dx +

Z

csc x dx

cot x| + C1 ,

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

es decir,

Método de integración: Integración por partes

Z

de aquí,

csc3 x dx =

2 con lo que,

Z Z

Ejemplo 181 : Integre

Z

Z

csc x cot x

csc3 x dx =

csc3 x dx + ln |csc x

csc x cot x + ln |csc x

cot x| + C1 ,

cot x| + C1 ,

1 1 csc x cot x + ln |csc x 2 2

csc3 x dx =

186

cot x| + C. F

sec5 (ax) dx.

Solución : Escribimos la integral como Z Z 5 sec (ax) dx = sec3 (ax) sec2 (ax) dx.

Integramos por partes, con

u = sec3 (ax)

Al derivar

dv = sec2 (ax) dx

Al integrar

La integral se transforma en Z 1 sec5 (ax) dx = sec3 (ax) tan (ax) a

Z

du = 3a sec3 (ax) tan (ax) dx

!

v=

!

1 tan (ax) , a

1 tan (ax) 3a sec3 (ax) tan (ax) dx a tan2 (ax) = sec2 (ax)

1 = sec3 (ax) tan (ax) a

es decir,

despejamos Z

Z

Z

sec5 (ax) dx =

3

1 = sec3 (ax) tan (ax) a

3

=

1 sec3 (ax) tan (ax) a

3

=

1 sec3 (ax) tan (ax) a

3

1 sec3 (ax) tan (ax) a

3

Z

Z Z Z Z

1

# z }| { 2 sec (ax) tan (ax) dx 3

sec3 (ax) sec2 (ax) sec5 (ax)

sec3 (ax) dx

sec5 (ax) dx + 3

sec5 (ax) dx + 3

Z

1 dx

Z

sec3 (ax) dx,

sec3 (ax) dx,

sec5 (ax) dx

Z Z 1 3 5 sec (ax) dx = sec (ax) tan (ax) 3 sec (ax) dx + 3 sec3 (ax) dx a Z Z Z 1 =) sec5 (ax) dx + 3 sec5 (ax) dx = sec3 (ax) tan (ax) + 3 sec3 (ax) dx a Z Z 1 5 3 =) 4 sec (ax) dx = sec (ax) tan (ax) + 3 sec3 (ax) dx a Z Z 1 3 =) sec5 (ax) dx = sec3 (ax) tan (ax) + sec3 (ax) dx, 4a 4 5

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

187

para resolver la integral de la secante cúbica aplicamos el método de integración por partes. Escribimos la integral como Z Z 3 sec (ax) dx = sec2 (ax) sec (ax) dx, integramos por partes, con

Al derivar

u = sec (ax)

!

Al integrar

dv = sec2 (ax) dx La integral se transforma en Z 1 sec3 (ax) dx = sec (ax) tan (ax) a

Z

!

du = a sec (ax) tan (ax) dx v=

1 tan (ax) . a

1 tan (ax) a sec (ax) tan (ax) dx a tan2 (ax) = sec2 (ax)

1 = sec (ax) tan (ax) a =

1 sec (ax) tan (ax) a

1 = sec (ax) tan (ax) a

es decir,

despejamos

Z

Z

Z

1 sec (ax) tan (ax) a

=

1 sec (ax) tan (ax) a

1 sec (ax) dx = sec (ax) tan (ax) a 3

Z

Z Z Z Z

# z }| { sec (ax) tan2 (ax) dx sec (ax) sec2 (ax) sec3 (ax)

1 dx

sec (ax) dx

sec3 (ax) dx +

Z

sec (ax) dx

sec3 (ax) dx + ln |sec (ax) + tan (ax)| + C2 ,

sec3 (ax) dx + ln |sec (ax) + tan (ax)| + C2 ,

sec3 (ax) dx sec3 (ax) dx +

de aquí,

con lo que,

=

Z

1

Z

sec3 (ax) dx =

2

Z

Z

sec3 (ax) dx =

sec3 (ax) dx =

1 sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)| + C2 , a

1 sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)| + C2 , a

1 1 sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)| + C1 . 2a 2

Luego, Z Z 1 3 sec5 (ax) dx = sec3 (ax) tan (ax) + sec3 (ax) dx 4a 4  1 3 1 1 3 = sec (ax) tan (ax) + sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)| + C1 4a 4 2a 2 = Última actualizacón: Julio 2013

1 3 3 sec3 (ax) tan (ax) + sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)| + C. 4a 8a 8 Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

188

Finalmente Z 1 3 3 sec5 (ax) dx = sec3 (ax) tan (ax) + sec (ax) tan (ax) + ln |sec (ax) + tan (ax)| + C. 4a 8a 8 Z

Ejemplo 182 : Integre

F

x arcsen x dx.

Solución : Integramos por partes, con Al derivar

u = arcsen x

Al integrar

dv = x dx entonces,

Z

Z

Resolvemos la integral Z

p

Z

x2 x arcsen x dx = arcsen x 2

x2 dx = 1 x2

Z

p

donde

Z

e integramos por partes, con

Z

u=

Z p 1

es decir,

Luego, Z

p

Z

p

1 x2 1 p dx = 2 1 x

1 x2

1

1 x2 p dx = 1 x2 p

Z

p

1

Z p 1 Z

1 x2 p dx 1 x2

x2 x2 )

(1

Al derivar

Z

x p

x2 dx = x

Z

p

x2 , 2 Z

p

x2 dx 1 x2

1 x2 1 p p 2 1 x 1 x2 Z 1 x2 p = dx 1 x2

x2

1

p

x2

1

Z p dx = 1 du = p

◆

dx Z

p

1 1

x2

dx,

dx = x

x2 +

dx =

x2 dx

x x2

1

dx

v = x,

!

x

1 1

Z ✓

!

Al integrar

x2

1/2

=x

Última actualizacón: Julio 2013

dx

dx = arcsen x + C1 , 1

x2

1

x2 dx = x

x2 dx = 1 x2

x2

1

x2 1 x2 1 p dx = arcsen x + 2 2 1 x 2 2

dv = dx así,

v=

!

1

x2 dx 1 x2

x2 + 1 1 p dx = 1 x2

mientras que,

du = p

!

Z

Z p p

1

Farith J. Briceño N.

p

p 1

x2 +

Z

p

x2 dx, 1 x2

x2 dx 1 x2

x2 dx

1 x2

+

Z

p

arcsen x + C2 x2 dx 1 x2

arcsen x + C2 , [email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

con lo que,

despejamos

Z

Z

Método de integración: Integración por partes

Z

p p

p

x2 dx, 1 x2

p x2 dx = x 1 1 x2

p x2 dx = x 1 1 x2 =)

=)

=)

Z

x2 +

Z

p

x2 dx 1 x2

arcsen x + C2 ,

x2 dx arcsen x + C2 1 x2 Z Z p x2 x2 p p dx dx = x 1 x2 arcsen x + C2 1 x2 1 x2 Z p x2 2 p dx = x 1 x2 arcsen x + C2 1 x2 Z x2 1 p 1 p dx = x 1 x2 arcsen x + C1 . 2 2 1 x2

x2 +

p

Así, se tiene que ✓ Z Z x2 1 x2 x2 1 1 p p x arcsen x dx = arcsen x + dx = arcsen x + x 1 2 2 2 2 2 1 x2 Luego,

Z

x arcsen x dx =

Z

Ejemplo 183 : Integre

189

x2 x p arcsen x + 1 2 4

x2

x2

◆ 1 arcsen x + C1 . 2

1 arcsen x + C. 4 F

cos (3x) sen (5x) dx.

Solución : Integramos por partes, con Al derivar

u = sen (5x)

Al integrar

dv = cos (3x) dx la integral queda Z

cos (3x) sen (5x) dx =

para resolver la integral

Z

v=

1 sen (3x) , 3

Z

1 sen (3x) 5 cos (5x) dx 3 Z 1 5 = sen (5x) sen (3x) sen (3x) cos (5x) dx 3 3

sen (3x) cos (5x) dx, integramos, de nuevo, por partes con Al derivar

y obtenemos sen (3x) cos (5x) dx = cos (5x)

!

Al integrar

dv = sen (3x) dx ✓

= Última actualizacón: Julio 2013

du = 5 cos (5x) dx

!

1 sen (5x) sen (3x) 3

u = cos (5x)

Z

!

du = v=

!

◆ 1 cos (3x) ( 5 sen (5x)) dx 3 Z 1 5 cos (5x) cos (3x) cos (3x) sen (5x) dx, 3 3

1 cos (3x) 3

◆

5 sen (5x) dx 1 cos (3x) , 3

Z ✓

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

entonces, Z

Método de integración: Integración por partes

cos (3x) sen (5x) dx =

5 3

1 sen (5x) sen (3x) 3

5 3

✓

Z

sen (3x) cos (5x) dx

◆ Z 1 5 cos (5x) cos (3x) cos (3x) sen (5x) dx 3 3 Z 1 5 25 = sen (5x) sen (3x) + cos (5x) cos (3x) + cos (3x) sen (5x) dx, 3 9 9 =

es decir,

1 sen (5x) sen (3x) 3

190

Z

Z 1 5 25 cos (3x) sen (5x) dx = sen (5x) sen (3x) + cos (5x) cos (3x) + cos (3x) sen (5x) dx, 3 9 9 Z despejando cos (3x) sen (5x) dx Z Z 5 25 1 cos (3x) sen (5x) dx = sen (5x) sen (3x) + cos (5x) cos (3x) + cos (3x) sen (5x) dx 3 9 9 Z Z 25 1 5 =) cos (3x) sen (5x) dx cos (3x) sen (5x) dx = sen (5x) sen (3x) + cos (5x) cos (3x) + C1 9 3 9 ✓ ◆Z 25 1 5 =) 1 cos (3x) sen (5x) dx = sen (5x) sen (3x) + cos (5x) cos (3x) + C1 9 3 9 Z 16 1 5 =) cos (3x) sen (5x) dx = sen (5x) sen (3x) + cos (5x) cos (3x) + C1 9 3 9 Z 3 5 =) cos (3x) sen (5x) dx = sen (5x) sen (3x) cos (5x) cos (3x) + C. 16 16 Luego, Z 3 5 cos (3x) sen (5x) dx = sen (5x) sen (3x) cos (5x) cos (3x) + C. 16 16 F Z ⇣x⌘ Ejemplo 184 : Integre sen sen (4x) dx. 2 Solución : Integramos por partes, con ⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 Al derivar ! u = sen du = cos dx 2 2 2 dv = sen (4x) dx la integral queda Z ⇣x⌘ ⇣x⌘ ✓ sen sen (4x) dx = sen 2 2

Al integrar

1 cos (4x) 4

◆

= para resolver la integral

Z

cos (4x) cos u = cos

⇣x⌘

⇣x⌘ 2

dv = cos (4x) dx

Última actualizacón: Julio 2013

2

! Z ✓

v=

1 cos (4x) , 4

⇣ x ⌘◆ 1 cos dx 2 2 Z ⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 1 sen cos (4x) + cos (4x) cos dx 4 2 8 2 1 cos (4x) 4

◆✓

dx, integramos, de nuevo, por partes con Al derivar

!

Al integrar

!

Farith J. Briceño N.

du = v=

⇣x⌘ 1 sen dx 2 2

1 sen (4x) , 4

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

191

y obtenemos Z

⇣x⌘

cos (4x) cos

2

⇣x⌘ 1 dx = cos sen (4x) 4 2 =

entonces, Z

sen

⇣x⌘ 2

sen

despejando Z

2

Z

✓

⇣x⌘ 1 1 cos sen (4x) + 4 2 8

Z

⇣x⌘ 1 sen 2 2

◆

sen (4x) sen

dx ⇣x⌘ 2

dx,

Z ⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 1 sen cos (4x) + cos (4x) cos dx 4 2 8 2 ✓ ◆ Z ⇣x⌘ ⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 1 1 1 sen cos (4x) + cos sen (4x) + sen (4x) sen dx 4 2 8 4 2 8 2 Z ⇣x⌘ ⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 1 1 sen cos (4x) + cos sen (4x) + sen (4x) sen dx, 4 2 32 2 64 2

=

⇣x⌘

1 sen (4x) 4

sen (4x) dx = =

es decir, Z

Z

Z ⇣x⌘ ⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 1 1 sen cos (4x) + cos sen (4x) + sen (4x) sen dx, 4 2 32 2 64 2

sen (4x) dx =

sen

⇣x⌘ 2

sen (4x) dx

Z ⇣x⌘ ⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 1 1 sen cos (4x) + cos sen (4x) + sen (4x) sen dx 2 4 2 32 2 64 2 Z Z ⇣x⌘ ⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 1 =) sen sen (4x) dx sen (4x) sen dx = sen cos (4x) 2 64 2 4 2

sen

⇣x⌘

sen (4x) dx =

⇣x⌘ 1 cos sen (4x) + C1 32 2 ⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 1 sen cos (4x) + cos sen (4x) + C1 4 2 32 2 +

✓

=)

1 64

1

◆Z

63 =) 64

Z

=) Luego,

Z

sen

⇣x⌘

Ejemplo 185 : Integre

2

Z

sen sen Z

⇣x⌘

sen (4x) dx =

2

⇣x⌘ 2

sen

⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 1 sen cos (4x) + cos sen (4x) + C1 4 2 32 2

sen (4x) dx =

⇣x⌘ 2

sen (4x) dx =

sen (4x) dx =

⇣x⌘ ⇣x⌘ 16 2 sen cos (4x) + cos sen (4x) + C. 63 2 63 2

⇣x⌘ ⇣x⌘ 16 2 sen cos (4x) + cos sen (4x) + C. 63 2 63 2

F

x cos x sen x dx.

Solución : Integramos por partes, con u=x dv = cos x sen x dx

Última actualizacón: Julio 2013

Al derivar

!

Al integrar

!

Farith J. Briceño N.

du = dx v=

sen2 x , 2

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

la integral se transforma en Z sen2 x x cos x sen x dx = x 2

Z

sen2 x x sen2 x dx = 2 2

192

Z

1 2

sen2 x dx, | {z } "

Ver Ejemplo 179

para obtener la integral de la función f (x) = sen2 x escribimos la integral como Z Z sen2 x dx = sen x sen x dx, e integramos por partes, con

Al derivar

u = sen x

!

Al integrar

dv = sen x dx

du = cos x dx v=

!

cos x.

La integral se transforma en cos2 x = 1

Z

2

sen x dx = = =

es decir, Z

despejamos Z

sen x cos x

# Z z }| { sen x cos x + cos2 x dx

cos x cos x dx = Z

1

sen2 x dx =

sen x cos x + x

Z

sen2 x dx + C2 ,

Z

sen x cos x + x

sen x cos x +

sen2 x dx =

sen x cos x +

Z

Z

dx

Z

sen2 x dx

sen2 x dx + C2 ,

sen2 x dx,

2

sen x dx = =)

Z

=)

2

=)

Z

Por lo tanto, entonces, Z

Z

sen2 x

sen x cos x + x sen2 x dx + Z

Z

x cos x sen x dx =

sen2 x dx + C2

sen2 x dx =

sen2 x dx =

sen2 x dx =

Z

sen x cos x + x + C2

sen x cos x + x + C2

=)

Z

sen2 x dx =

1 x sen x cos x + + C1 . 2 2 Z

x sen2 x 2

sen2 x dx =

1 2

Z

1 x sen x cos x + + C1 , 2 2

sen2 x dx =

x sen2 x 2

1 2

 =

Última actualizacón: Julio 2013

1 ( sen x cos x + x + C2 ) 2

Farith J. Briceño N.

1 x sen x cos x + + C1 2 2 x sen2 x sen x cos x + 2 4

x + C. 4

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

Finalmente,

Z Z

Ejemplo 186 : Integre

x cos x sen x dx =

x sen2 x sen x cos x + 2 4

193

x + C. 4 F

ex cos x dx.

Solución : Integramos por partes, con Al derivar

u = ex

Al integrar

dv = cos x dx la integral se transforma en Z

para resolver

Z

du = ex dx

!

v = sen x,

! Z

ex cos x dx = ex sen x

ex sen x dx,

ex sen x dx, integramos por partes, con Al derivar

u = ex

Al integrar

dv = sen x dx y obtenemos que Z

ex sen x dx = ex (

Z

cos x)

ex (

du = ex dx

!

v=

!

cos x,

ex cos x +

cos x) dx =

Z

ex cos x dx,

así, Z

e

x

cos x dx = e

x

Z

sen x

e

x

sen x dx = e

x

sen x

✓

e

x

cos x +

Z

e

x

cos x dx

= ex sen x + ex cos x es decir,

despejando Z

Z

Z

ex cos x dx = ex sen x + ex cos x

Z

Z

◆ ex cos x dx,

ex cos x dx,

ex cos x dx Z

ex cos x dx = ex sen x + ex cos x =)

Z

e

x

cos x dx +

=)

2

Z

Z

ex cos x dx

ex cos x dx = ex sen x + ex cos x + C1

ex cos x dx = ex sen x + ex cos x + C1 =)

Z

ex cos x dx = =)

Última actualizacón: Julio 2013

Z

1 x (e sen x + ex cos x + C1 ) 2

ex cos x dx =

Farith J. Briceño N.

1 x 1 e sen x + ex cos x + C. 2 2 [email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

Luego

Z Z

Ejemplo 187 : Integre

ex cos x dx =

194

1 x 1 e sen x + ex cos x + C. 2 2 F

ax sen (bx) dx, con a > 0 y a 6= 1.

Solución : Integramos por partes, con Al derivar

u = ax

Al integrar

dv = sen (bx) dx la integral se transforma en ✓ Z ax sen (bx) dx = ax

1 cos (bx) b

◆

Z ✓

du = ax ln a dx

!

1 cos (bx) b

para resolver

Z

Z

ax sen (bx) dx =

dv = cos (bx) dx y obtenemos que ✓ ◆ Z 1 ax cos (bx) dx = ax sen (bx) b

Z

1 x ln a a cos (bx) + b b

Al derivar

Z

ax cos (bx) dx,

ax cos (bx) dx,

Al integrar

Z ✓

de aquí,

Z

a

x

du = ax ln a dx

!

v=

!

1 sen (bx) b =

1 cos (bx) dx = ax sen (bx) b

◆

1 sen (bx) , b

(ax ln a) dx

1 x a sen (bx) b ln a b

Z

ln a b

Z

ax sen (bx) dx,

ax sen (bx) dx,

Z 1 x ln a a cos (bx) + ax cos (bx) dx b b ✓ ◆ Z 1 x ln a 1 x ln a x a cos (bx) + a sen (bx) a sen (bx) dx b b b b

ax sen (bx) dx = =

= es decir,

(ax ln a) dx

ax cos (bx) dx, integramos por partes, con u = ax

por lo tanto, Z

◆

1 x ln a a cos (bx) + b b

= es decir,

1 cos (bx) , b

v=

!

Z

ax sen (bx) dx =

Última actualizacón: Julio 2013

1 x ln a a cos (bx) + 2 ax sen (bx) b b

1 x ln a a cos (bx) + 2 ax sen (bx) b b Farith J. Briceño N.

ln2 a b2

ln2 a b2

Z

Z

ax sen (bx) dx,

ax sen (bx) dx, [email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

despejamos Z

Z

Método de integración: Integración por partes

195

ax sen (bx) dx

Z

=)

=)

ln2 a b2

1 x ln a a cos (bx) + 2 ax sen (bx) b b

ax sen (bx) dx =

ax sen (bx) dx + ✓

ln2 a 1+ 2 b

◆Z

ln2 a b2

Z

ax sen (bx) dx =

ax sen (bx) dx =

Z

ax sen (bx) dx 1 x ln a a cos (bx) + 2 ax sen (bx) + C1 b b

1 x ln a a cos (bx) + 2 ax sen (bx) + C1 b b

Z b2 + ln2 a 1 x ln a ax sen (bx) dx = a cos (bx) + 2 ax sen (bx) + C1 2 b b b ✓ ◆ Z b2 1 x ln a x x =) a sen (bx) dx = 2 a cos (bx) + 2 a sen (bx) + C1 b b b + ln2 a Z b ln a =) ax sen (bx) dx = ax cos (bx) + 2 ax sen (bx) + C. b2 + ln2 a b + ln2 a

=)

Luego,

Z

b ln a ax cos (bx) + 2 ax sen (bx) + C. b2 + ln2 a b + ln2 a

ax sen (bx) dx = Z

Ejemplo 188 : Integre

F ⇣ p ⌘ ln x 1 + x2 dx.

Solución : Integramos por partes, con u = ln x

p

Al derivar

1 + x2

Al integrar

dv = dx la integral se transforma en Z ⇣ p ⌘ ⇣ p ⌘ ln x 1 + x2 dx = x ln x 1 + x2

Z

donde,

Z

2x2 + 1 dx = 1 + x2

Z

Z

1

por lo tanto, Z ⇣ p ⌘ ⇣ p ⌘ ln x 1 + x2 dx = x ln x 1 + x2 Luego,

Z

Última actualizacón: Julio 2013

x

!

du =

2x2 + 1 dx x (1 + x2 )

v = x,

⇣ p ⌘ 2x2 + 1 dx = x ln x 1 + x2 2 x (1 + x )

Z

2x2 + 1 dx, 1 + x2

◆ Z ✓ 2 2x2 + 2 1 2x + 2 1 dx = dx = dx 1 + x2 1 + x2 1 + x2 ! ◆ Z ✓ 2 x2 + 1 1 1 dx = 2 dx = 2x arctan x + C1 , 1 + x2 1 + x2 1 + x2

2x2 + 1 + 1 1 + x2 =

!

Z

Z

⇣ p ⌘ 2x2 + 1 2 dx = x ln x 1 + x (2x arctan x) + C 1 + x2 p = x ln x 1 + x2 2x + arctan x + C.

⇣ p ⌘ ⇣ p ⌘ ln x 1 + x2 dx = x ln x 1 + x2 Farith J. Briceño N.

2x + arctan x + C. F [email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

Z

Ejemplo 189 : Integre

196

⇡

x2 cos x dx. 0

Solución : Integramos por partes, con Al derivar

u = x2

!

Al integrar

dv = cos x dx

du = 2x dx v = sen x,

!

la integral se transforma en Primitiva evaluada en el límite superior

Z

⇡

x2 cos x dx = 0

✓

Z

⇡

x2 sen x 0

Primitiva evaluada en el límite inferior

# z }| {! 2 (⇡) sen (⇡)

⇡

2x sen x dx = 0

# z }| {! 2 (0) sen (0)

Z

⇡

2x sen x dx, 0

como sen (⇡) = sen (0) = 0, entonces

para resolver la nueva integral

Z

Z

⇡ 2

x cos x dx = 0

2

Z

⇡

x sen x dx. 0

⇡

x sen x dx, integramos por partes, con 0 Al derivar

u=x

!

Al integrar

dv = sen x dx

du = dx v=

!

cos x

La integral se transforma en Primitiva evaluada en el límite superior

Z

⇡

x sen x dx = 0

como cos (⇡) =

✓

Z

⇡

x cos x 0

⇡

cos x dx = 0

1 y cos (0) = 1, entonces Z ⇡ x sen x dx = (⇡) ( 1)

✓z

# }| {◆ (⇡) cos (⇡)

( (0) (1)) +

0

de aquí,

Z

⇡

x2 cos x dx = 0

Resolvemos la integral

Z

⇡

2

Z

⇡

x sen x dx = 0

Z

✓ Z 2 ⇡+

Última actualizacón: Julio 2013

✓z

# }| {◆ Z (0) cos (0) +

⇡

cos x dx = ⇡ + 0 ⇡

cos x dx 0

◆

=

Z

⇡

cos x dx, 0

⇡

cos x dx, 0

2⇡

2

Z

⇡

cos x dx. 0

cos x dx, 0 Primitiva evaluada en el límite superior

Z

Primitiva evaluada en el límite inferior

⇡

cos x dx = 0

✓

⇡

sen x 0

# z }| { = sen (⇡)

Primitiva evaluada en el límite inferior

# z }| { sen (0) = 0,

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

de aquí,

Luego,

Z

Método de integración: Integración por partes

⇡

x2 cos x dx =

2

0

Z

⇡

x sen x dx =

Ejemplo 190 : Integre

e

2

0

Z Z

2⇡

Z

197

⇡

cos x dx =

2⇡

2 (0) =

2⇡.

0

⇡

x2 cos x dx =

2⇡.

0

F

x ln3 x dx.

1

Solución : Integramos por partes, con Al derivar

u = ln3 x

!

Al integrar

dv = x dx

3 ln2 x dx x

du = v=

!

x2 , 2

la integral se transforma en Primitiva evaluada en el límite superior

Z

e

x ln3 x dx =

1

✓

x2 ln3 x 2

Z

e 1

e 1

3

# 0z }| {1 2 2 3 2 x 3 ln x B (e) ln (e) C dx = @ A 2 x 2

e2 (ln e) (1) (ln 1) 2 2 Z e2 3 e = x ln2 x dx, 2 2 1

3

3 2

=

es decir,

para resolver la nueva integral

Z

e

Primitiva evaluada en el límite inferior

Z

e

x ln3 x dx =

1

Z

e

# }| {1 3 B (1) ln (1) C @ A 2 0z

x ln2 x dx =

1

e2 2

3 2

Z

e

2

e2 (1) 2

3

(1) (0) 2

Z

3 2 3

e

x ln2 x dx

1

3 2

Z

e

x ln2 x dx

1

x ln2 x dx,

1

x ln2 x dx, integramos por partes, con

1 Al derivar

u = ln2 x

!

Al integrar

dv = x dx

du = v=

!

2 ln x dx x

x2 2

La integral se transforma en Primitiva evaluada en el límite superior

Z

e 1

x ln2 x dx =

✓

e2 (ln e) = 2

x2 ln2 x 2

2

Última actualizacón: Julio 2013

e 1

Z

(1) (ln 1) 2

2

e 1

# 0z }| {1 2 2 2 x 2 ln x B (e) ln (e) C dx = @ A 2 x 2 Z

e

1

e2 (1) x ln x dx = 2

2

(1) (0) 2

Farith J. Briceño N.

Primitiva evaluada en el límite inferior

# }| {1 2 B (1) ln (1) C @ A 2 0z

2

Z

2

e

1

Z

e2 x ln x dx = 2

e

x ln x dx 1

Z

e

x ln x dx, 1

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

es decir, Z

para resolver la nueva integral

Z

e

e

x ln2 x dx =

1

Z

e2 2

198

e

x ln x dx, 1

x ln x dx, integramos por partes, con 1 Al derivar

u = ln x

!

Al integrar

dv = x dx

du = v=

!

1 dx x

x2 2

La integral se transforma en Primitiva evaluada en el límite superior

Z

e

x ln x dx = 1

✓

Z

e

x2 ln x 2

1

e 1

Primitiva evaluada en el límite inferior

# 0z }| {1 2 2 x 1 B (e) ln (e) C dx = @ A 2 x 2

# }| {1 2 B (1) ln (1) C @ A 2 0z

1 2

Z

Primitiva evaluada en el límite superior

=

=

e2 (1) 2 e2 2

(1) (0) 2 1 2

✓

e2 2

1 2

1 2 ◆

=

es decir,

e 1

e

x dx = 1

e2 2

e2 x ln x dx = 2 3

3 2

Z

e 1

Ejemplo 191 : Integre

x ln x dx = 1

e2 x ln x dx = 2

Z Z

1 2

e

3 2

2

Luego,

e2 2

✓

2 e

x 2

# 1 00z}|{ 2

e2 2

= 1

1 BB (e) C @@ A 2 2

e2 1 e2 1 + = + , 4 4 4 4 Z

así, Z

Z

e

✓

e2 2

e

x dx 1

Primitiva evaluada en el límite inferior

# 11 0z}|{ 2 B (1) CC @ AA 2

e2 1 + , 4 4

Z

◆

Z e2 3e2 3 e x ln x dx = + x ln x dx 2 4 2 1 1 ✓ ◆ e2 3 e2 1 e2 3e2 3 e2 3 = + + = + + = + . 4 2 4 4 4 8 8 8 8

x ln3 x dx =

1

e

e2 3 + . 8 8 F

3

sec (arcsen x) p dx. 1 x2

Solución : Se propone el cambio de variable z = arcsen x

Cálculo del diferencial

!

dz = p

1 1

x2

dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

Entonces, la integral queda,

Z

Escribimos la integral como

sec3 (arcsen x) p dx = 1 x2 Z

Integramos por partes, con

3

sec z dz =

por la identidad trigonométrica

Z

Z

Z

sec3 z dz = sec z tan z

Z

= sec z tan z es decir, de aquí,

Z

con lo que,

3

sec z dz +

Z

Z

Z

sec z sec2 z

sec z dz = sec z tan z Z

Z

sec z tan2 z dz,

tan2 z = sec2 z

sec z tan2 z dz = sec z tan z

sec z dz = sec z tan z Z

v = tan z.

!

se tiene que

3

2

du = sec z tan z dz

tan z sec z tan z dz = sec z tan z

tan2 z + 1 = sec2 z, así,

!

Al integrar

dv = sec2 z dz

sec3 z dz.

sec2 z sec z dz.

Al derivar

u = sec z

La integral se transforma en Z sec3 z dz = sec z tan z

Z

Z

199

Z

1,

1 dz

sec3 z dz + ln |sec z + tan z| + C,

sec3 z dz + ln |sec z + tan z| + C,

sec3 z dz = sec z tan z + ln |sec z + tan z| + C,

sec3 z dz =

1 1 sec z tan z + ln |sec z + tan z| + C, 2 2

como z = arcsen x, se tiene que Z sec3 (arcsen x) 1 1 p dx = sec (arcsen x) tan (arcsen x) + ln |sec (arcsen x) + tan (arcsen x)| + C. 2 2 1 x2 Observemos que:

• El término sec (arcsen x) tan (arcsen x) de la familia de primitiva, se puede escribir como, sec (arcsen x) tan (arcsen x) =

1 sen (arcsen x) sen (arcsen x) = , cos (arcsen x) cos (arcsen x) cos2 (arcsen x)

por la identidad trigonométrica sen2 (·) + cos2 (·) = 1,

se tiene que

se tiene, sec (arcsen x) tan (arcsen x) =

1

cos2 (·) = 1

sen2 (·) ,

sen (arcsen x) x = sen2 (arcsen x) 1 + x2

• El argumento de la expresión logaritmo natural, sec (arcsen x) + tan (arcsen x), se puede escribir sec (arcsen x) + tan (arcsen x) =

Última actualizacón: Julio 2013

1 sen (arcsen x) + . cos (arcsen x) cos (arcsen x)

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

Por otra parte, es conocido que cos (arcsen x) = así, sec (arcsen x) + tan (arcsen x) = p

1 x2

1

p

200

x2 ,

1

+p

x 1

1+x =p = x2 1 x2

r

x+1 . 1 x

Por lo tanto, r Z sec3 (arcsen x) x 1 x+1 x 1 x+1 p dx = + ln +C = + ln + C. 2) 2) 2 2 (1 + x 2 1 x 2 (1 + x 4 1 x 1 x Finalmente,

Z

sec3 (arcsen x) x 1 x+1 p dx = + ln + C. 2 2 2 (1 + x ) 4 1 x 1 x F

Ejemplo 192 : Demostrar la fórmula de reducción Z x x2 + a 2 n x2 + a2 dx = 2n + 1

n

+

2na2 2n + 1

Z

n 1

x2 + a2

dx,

1 . 2

con n 6=

Demostración : Integramos por partes, con u = x2 + a 2

Al derivar

n

Al integrar

dv = dx entonces, Z

x2 + a2

n

= x x2 + a2 2

=x x +a

2

=x x +a

x2 + a 2

n

dx = x x2 + a2

=)

Z

=)

(1 + 2n)

Última actualizacón: Julio 2013

2

x +a Z

n

n

2n 2n

n

2n

2 n

2n

2n Z

Z

Z

⇥

2

x +a x2 + a2

n

Z

2

n

n 1

x2 + a2

a2

2

n

dx

⇤

2 n

n 1

x2 + a 2

2

x +a

2 n 1

dx + 2na2

dx + 2na2

x +a

dx

dx

a2

x2 + a2

x2 + a2

dx + 2n

x2 + a2

x2 + a2

✓Z Z

n 1

x2 x2 + a2

Z

n 1

v = x,

!

x 2nx x2 + a2 2n

2 n

= x x2 + a2 Z

n

2 n

= x x2 + a2

así,

Z

n

dx = x x2 + a2

du = 2nx x2 + a2

!

Z

Z

n 1

x2 + a2

x2 + a2 2

n

Farith J. Briceño N.

+ 2na2

dx Z

dx

dx = x x + a

dx = x x2 + a2

dx

Z

n 1

2 n

a

2

2

x +a

n 1

2 n 1

dx

◆

dx

dx

+ 2na

x2 + a2

2

Z

n 1

x2 + a 2

n 1

dx

dx [email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

despejando

con n 6=

Z

1 . 2

2

x +a

2 n

n

x x2 + a 2 dx = 1 + 2n

2na2 + 1 + 2n

Z

201

n 1

x2 + a2

dx, F

Ejemplo 193 : Demuestre que Z xn dx p = 1 x2

x

n 1

p 1

x2

+ (n

Demostración : Escribimos la integral como Z Z xn dx p = xn 1 x2

1)

1

p

Z

xn

x x2

1

2

p

x2 dx.

1

dx

Integramos por partes, con u = xn dv = p

x x2

1

La integral se transforma en Z xn dx p = xn 1 x2

1

Al derivar

1

Al integrar

dx

⇣ p

1

x2

xn

= entonces,

Z

xn dx p = 1 x2

x

n 1

p

!

Z ⇣ p

⌘

x2

1

⌘ x2 (n

1

p

1

du = (n 1) xn p v= 1 x2 .

!

1) xn

x2 + (n

1

+ (n

1)

Z

xn

1)

2

2

Z

p

2

dx

dx

xn

p

2

x2 dx,

1

x2 dx.

1

F Ejercicios

1. Calcular las siguientes integrales Z Z x 1. xex dx 2. dx 3. ex Z Z 2 x 6. xe2x dx 7. dx 8. e3x Z Z 11. ln x dx 12. arctan x dx 15. 19. 23. 27.

Z Z Z Z

p

x ln x dx

16.

cos2 x dx

20.

sec3 ✓ d✓

24.

2

x ln x dx

Última actualizacón: Julio 2013

28.

Z

Z

Z

Z

Z Z

dx

4.

x2 3x dx

9.

Z

13.

x arctan x dx

ln x p dx x

21. 25. 29.

Z

Z Z

Z

Z

Z

5.

x2 sen x dx

10.

e

Z

14.

x arcsen x dx

x5 cos x3 dx

cos (2x) dx

18. Z

22.

Farith J. Briceño N.

30.

Z

t cos t dt t3 sen t dt

4x ln (2x) dx

sen (3x) cos (5x) dx 5x

Z

x sen x dx

arcsen x dx

17.

✓ cos (3✓) d✓ ex sen x dx

x

x2

Z

t2 + 5t + 6 cos (2t) dt

26. Z

2

x3 ex dx

cos

Z

⇣x⌘ 2

x sen x cos x dx cos

⇣x⌘ 3

dx

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

31. 35. 39. 43. 47. 51. 55. 59. 63. 67. 71. 75. 79. 83.

Z

Método de integración: Integración por partes

z 2 e3z dz

Z

x dx sen2 x

Z

Z

36.

2

ln x dx

Z

40.

sen (ln x) dx

Z

5 x2

x e

Z

dx

t3 et dt

Z

56.

2

sec ✓ d✓

x 5 dx

Z

Z

ln x dx p 1 x

p

x

1 x 1+x

◆

dx

Z

dx

y2

Z

76.

Z

sen

Z

53.

2

dx

Z

84.

arccos z dz

x arctan (3x) dx

Z

Z

x2 cos (3x) dx

66.

x ex 2

Z

sec (ax + b) dx

81. Z

5

Z

e

t3 arctan (2t) dt

91.

Z

x ln x dx p 1 x2

92.

Z

sen (2x) ln sen4 x cos5 x dx

97. 99. 102. 105.

Z

cos (2x) ln (sen x + cos x) dx

Z Z Z

sen x ln sen4 x cos5 x dx e

x ln3 x dx

1

103.

Z

98. 100.

⇡

x2 cos x dx 0

sen (bx) ln (senn (bx) cosm (bx)) dx

Última actualizacón: Julio 2013

Z

89.

sen (2x) ln sen5 x dx Z

Z

cos x ln sen

2

Z

cos t ln (sen t) dt

Z

x cos2 x sen x dx 2

74. Z

Z

82. 86.

x arcsen x p dx 1 x2 93.

sen2 x dx ex

(arcsen x) dx

cos (3✓) d✓

sen (2t) ln cos t dt

Z

Z

✓

Z

Z

78.

7

88.

95.

70.

(x + 1) Z 73. sec3 (ax + b) dx

xe2x dx p 1 e2x

sen (2ax) ln (tan (ax)) dx

dx

Z

58. 62.

Z

Z

3x cos x dx

Z

dx

5x sen (5x) dx

46.

cos2 (ln x) dx

87.

94.

38.

Z

x

⇣ p ⌘ ln x 1 + x2 dx

cos x cos2 (3x) dx

Z

Z

85.

2x + 5 e

Z

42.

x cos x dx sen2 x

x2

Z ln (ln x) dx 50. x2 2x + 3 ln x dx x Z Z 2 x tan2 (2x) dx 54. x (arctan x) dx

77.

(x + 2) Z 80. x sen2 x dx

2

Z

65. 69.

Z

34.

sen (bx) dx

61.

t sen (4t) dt x2 ex

ax

57.

x dx

x dx cos3 (x2 )

Z

45.

49.

p

e

dy

x2 dx

1

eat cos (bt) dt

37.

41.

y3 e

Z

33.

ln2 t dt t2

Z

Z

z cos (2z) dz

Z

✓

dt

p arcsen ✓ p d✓ 1 ✓ Z 60. x tan 1 x dx

72.

x

t/2

Z

68.

x3 ln x dx

Z

Z

64.

5

Z

e

Z p

52.

(ln x) dx

Z

Z

44.

x csc2 x dx

Z

t2 e

x ln

48.

ln x dx x3

Z

Z

32.

202

Z

90.

x2 sen (2x) dx ln x dx 2

(ln x + 1) Z x ax dx

sen (2t) sen (4t) dt Z

◆ cos1/2 x dx sen1/3 x Z ⇣ x⌘ sen x ln cot dx 2

sen (2x) ln 96.

x arcsen x q dx 3 (1 x2 )

✓

x cos3 x dx

Z arcsen4 t ln arcsen3 t p dt 101. csc3 x dx 1 t2 Z 104. cos (bx) ln (senn (bx) cosm (bx)) dx

106.

Z

Farith J. Briceño N.

x3 ex (x + 3)

2

dx

107.

Z

✓ sec2 ✓ d✓ [email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

108. 112. 116. 119. 122. 124.

Z Z Z

Z

Método de integración: Integración por partes

x senh2 x2

dx

eat senh (bt) dt

109. Z

113.

⇣ ⌘ e2x arctan ex/2 dx x arctan

p

x dx

senh

p

x dx

eat cosh (bt) dt Z

117. Z

120.

p

p 3

x ln

Z

110.

Z

114. p

x arctan

cosh2 x dx

111.

1

x5 cosh x3 dx

x dx

p

1

Z

118.

x dx

121.

115.

Z

Z

3t senh 3t dt p 3

x ln2 x dx

sen (2x) arctan (sen x + ⇡) dx Z

cos (2x) ecos x

sen x

dx

◆ Z cos4 x + cos2 x p sen (2x) ln dx 123. cos (2x) ln (cos x sen x) dx sen x Z Z Z ⇣p ⌘ ⇣p ⌘ ⇣p ⌘ 3 ⇡ sen (3t) ln cos t dt 125. cos (3t) ln csc t dt 126. sen (6t) ln sen t dt Z

✓

Z

203

sen4 x

2. Demostrar la fórmula de reducción Z 1 cosn x dx = cosn n

1

n

x sen x +

1 n

con n 2 N.

3. Demostrar la fórmula de reducción Z senn x dx =

1 senn n

1

x cos x +

n

Z

1 n

con n 2 N.

4. Demostrar la fórmula de reducción Z n n (ln x) dx = x (ln x) 5. Demuestre que

Z

xn dx p = 1 x2

6. Demostrar la fórmula de reducción

Z

xn

1

p 1

n

Z

x2 + (n

xn ex dx = xn ex

7. Demostrar la fórmula de reducción Z x x2 + a2 n x2 + a2 dx = 2n + 1 1 . 2 8. Demostrar la fórmula de reducción Z tan x secn secn x dx = n 1

n

n

+

Z

(ln x) Z

1)

Z

cosn

xn

senn

n 1

xn

2

2

x dx,

2

x dx,

dx. p 1

x2 dx.

1 x

e dx.

2na2 2n + 1

Z

x2 + a2

n 1

dx,

con n 6=

2

x

n n

2 1

Z

secn

2

x dx,

n + n

2 1

Z

cscn

2

x dx,

+

con n 6= 1, n 2 N.

9. Demostrar la fórmula de reducción Z cot x cscn cscn x dx = 1 n

2

x

con n 6= 1, n 2 N.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Método de integración: Integración por partes

204

Respuestas: Ejercicios

1.1. 1.5.

1) ex + C;

(x

1.2.

cos t + t sen t + C;

1.6.

1.15.

2 3

1.18.

1 x2 2e

1.21.

1 3

x2

cos x

1.23.

1 2

1.26.

2 1 2 x sen

1.29.

e5x 29

3

+

1 3 3x 1 2

sec ✓ tan ✓ + x+

1 4

sen x

3

cos x sen x

t/2

x cot x + ln |sen x| + C; 5x

ln2 5+25 eax a2 +b2

y2

1

1.50.

1 2 2x

1.53.

x 2

1 10

1.67. 1.69.

ex x+1

1.72.

1 16

1.74.

1 4

1.77.

1 4a

1.79.

1 4

1.87.

+ C; x +

1 5

x ln a

1 2z

1 ln2 a

1 2

1

3 8

1.51.

+ C;

+ C;

+ C;

1.62.

+

x 3

cos

1 2 2t

+ C;

ln |cos t| + C; p 1 e2x + 12 ln p

3 8a

6t

1.49. 2

6

3t + t

3x ln2 3+1

1 2 4x

1 3

2 27

1 2

m+n b

arcsen x p 1 x2

1 4

Última actualizacón: Julio 2013

x2 3

sec x

2

1.71.

1 2

1.101.

1 b

3 8a

3 16

p

x2 + C;

1

cos (3x) cos (5x) + C;

1 3z 3e

1.31.

p

2 9

2 3z

x

+ z 2 + C;

e + C; 2

1 2

1.60.

(4 ln x

+ 1)

x4 16

ln sec x

arcsen x + C; 1 2

+

x2 2

+ ln x

1 2x2

+ C;

arctan x + C;

2 ln x + 2 + C; sen x 3

1.66.

1 4

1 2

x2 +

x 2

arctan x

sen (3x) + C; tan x

+ C;

cos (ln x)) + C;

1.55.

1.63. x ln2 x

2

1 9

1 + C;

1 2 x (sen (ln x)

2

1 9

+ tan x

sen3 x 2

x 3

cos3 x + C;

+ C;

+ C;

ln |sec (ax + b) + tan (ax + b)| + C;

1 4 x sen (2x) + C; p 1 x+1 p + C; 1 x 1 1 6

1 64

1.93.

1 2

1.91. cos2 x

1 2

ln x)

p

1

+ C;

cos 3✓) + C; z 2 + C;

csc x cot x +

1 2

cot x| + 9 cos x

ln |csc x

ln (senn (bx) cosm (bx)) sen (bx)

Farith J. Briceño N.

m b

1 3

x2 + ln sen2 x

1 2

1

p

1 x

x2

+ C;

ln |sen x| + C;

+ C;

(sen x + cos x)2 ln (sen x + cos x)

1.99. 4 ln |csc x 1 2

x ln x+1

arctan (2t) + C;

ln |cos x| + 1 2

1.95. 5 sen x ln |sen x|

1 4 4t

(1

1 2

2

1.97.

e ✓ 10

(3 sen 3✓ p 1.84. z arccos z 1

arctan (2t) +

x2 + C;

ln 1

1.81.

1.78.

cos (2t) sen (4t) + C;

t3 24

t 32

ln |cos x| + C;

+ C;

sen (bx) +

2 ln

1.88.

ln |cos (ax)| + C;

1 5

cos (2x)

ln x)

x 2 ln cos x + 2 sen2 x + C; 2 2 ln cot 2 ⇣ ⌘ cos3 x sen x ln sen2 x 1 3 ln |sec x tan x| + C;

1.104.

+ C;

sen (2t) + C;

1) ln x + C; p 1.52. 12 x 1

t

1) sen t + C;

sen (3x) +

sen (2t) cos (4t) +

+ C;

1.90.

1) + 5 cos2 x

1 8

x (2

1.86.

x2 arcsen x + x + C;

arcsen5 x ln |arcsen x|

⌘

(sen x + (ln 3) cos x) + C;

(ln (ln x)

3

1 2

(ln (sen t)

sec (ax + b) tan (ax + b) +

e2x 1 e2x +1

1

sen (ax) ln |tan (ax)| +

1 4x

arcsen x +

sec (ax + b) tan (ax + b) + ln |sec (ax + b) + tan (ax + b)| + C; ⇣ ⌘ x x 1 x 2 ex cos (2x) + C; 1.75. 5 + C; 1.76. xex ex ln 5 x+2 + C; ln2 5 1.73.

1 2 2x

1 a

x2 ln 3

1 2a

1.96.

2⇡;

x 2

sen

1.46.

1 2a

1.94.

1.103.

+

2

2 9 x cos (3x)

1.65.

sen (2z) + C; 1.80. ⌘ p + C; 1.83. 2 1

2

3 4

sen (3✓) + C; 5 2 t sen (2t)

x cot x + ln |sen x| + C;

1.59.

1 a

1.100.

1 3✓

+

1) + C;

5 1.25. 16 sen (3x) sen (5x) + p 1.28. 2 x (ln x 2) + C;

cot x| + C;

3 8

sec ✓ tan ✓ +

1.92. 2 sen2 x (2 ln |sen x|

1.98.

1 4

arcsen x

2 ln x + 2 + C; 1.40. 2e x ⇣ p ⌘ 2x + x ln x x2 + 1 + C; 1.43.

ln |sec ✓ + tan ✓| + C; 1.68. p 2 1.70. x arcsen x 2x + 2 1 x arcsen x + C;

cos (2z) + ⇣

1

18 5

+

1 2 2x

2x ln2 3

1) x2 + C;

p

x2 +1 2

1 2

tan (ax + b) sec3 (ax + b) +

p

sen

arctan x

ln x + C;

1 5 x sen (2 ln x)

+

cos (2x) +

1.89.

cos

+ C; x 3

2 + 2 ln t + ln2 t + C;

1 t

1 3 3x

sen (2x)

1 2 x sen (2x)

x)

1 3

x csc x + ln |csc x

1.48. 2

sen (4t)

(1

x 2

cos x) + C;

1.11. x (ln x

1.39. x ln2 x

1.42.

1.45.

1 4 t cos (4t)

p

1.30.

sen (2t) +

1 2 t cos (2t)

ln x

+ C;

(2 ln x + 2 ln 2

1.17.

cos (3✓) +

2

+ C;

1.85. 7 cos t

12 5

1.14.

1 9

(sen x

1 3 3x

x2 2

tan ✓ sec ✓ +

2

1.24.

5 cos (5x)) + C;

+ 3x

ex 2

x2 + C;

arctan x + C;

11 4

3x

e

x cos x + C; ⇣ 1.8. 3x ln23 3

t3 cos t + 3t2 sen t + C;

1.20.

cos (2t) +

1.27.

p p 2 x cos x + C;

x 3

1 4

x2

cos (2x)

p

1.64. 2 sen

x

1.22.

b cos (bx)) + C;

1 10 x cos (2 ln x)

+

5 4

1 2 3x

sen x

ln |sec (2x)| + C; 1.54. arctan x x arctan x + ln x + 1 + C; ⇣p ⌘ 3 1 ✓ arcsen ✓ + C; 1.57. 12 sen x + 35 cos x sen (6x) 70 sen x cos (6x) + C;

2 1

x

1 2x

+ C;

+

1.4.

at

1 4

p

1.56. 2 ✓

e

1 3 9x

3x

p

1.82. a

1 4 2x

tan (2x)

1.58. e

1 2x

2 9x

+

+ C;

1.33. a2e+b2 (a cos (bt) + b sen (bt)) + C; 1.34. e x x2 + 5 + C; ⇣ 2 ⌘ ⇣ ⌘ 1 x 2 x 1 1 2 1 1.36. x + C; 1.37. 13 x3 arctan 3x 2 2 ln 1+x 18 x + 162 ln x +

1 + y 2 + C;

x2 +

1.47.

1.61.

((ln 5) sen (5x)

(a sen (bx)

1 2e

1.44.

cos x sen x +

+ C;

8 + 4t + t2 + C;

1.35.

1.41.

+

(5 cos (2x) + sen (2x)) + C;

2e

1 2 2x

1 2x

ln |sec ✓ + tan ✓| + C; 1 4x

2 27

1.7.

arctan x

+ C;

1.32.

1.38.

1 2

1 2

1.19.

+ C;

2 x ln2 2

(1 + x ln 2)

6 sen t p 1.13. x arcsen x + 1

1.16.

1 + C;

1.3.

1.10. 6t cos t

ln x + 1 + C;

1) x3/2 + C;

(ln x

+ C;

e2x 4

1)

2

1 2

1.12. x arctan x

(2x

x2 cos x + C;

1.9. 2 cos x + 2x sen x

x

(x + 1) e

1

+ C;

5 cos x ln sen4 x cos5 x + C;

cot x| + C; ln

1 2

sen(bx) cos(bx)

1.102.

e2 8

+

3 8;

+ C;

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

1.105.

m+n b

1.110.

senh 2 2

1.113.

eat b2 a2

1.116.

1 2

1.120. 1.122.

+ 1;

2

sen x

1.126.

sen4 x

1 8

4 3

x2 4

senh 2x2

(3 cosh (3t)

n b

x3 3

2

⇡ + 1 arctan (sen x + ⇡) p 1 2

x 6

x

+

3 sen2 x 2

2

sen2 x

4 9

1+

sen6 x +

1.123. 4 9 3 2

cos(bx) sen(bx)

2

cos x sen2 x

1.121.

senh x

3

1.117.

1 2 cos x 3

(1

ln (cos x + C;

4 sen4 x +

1.106. x2 ex

+ C;

eat a 2 b2

1.112. 1 3

cosh x

3 4/3 16 x 2

3

ln2 x

3 2

+ C;

1.119.

sen x)

1

sen(2x) 2

⇡ sen x 2

4 9

sen x

p

(a senh (bt) 1.115.

ln x + 1 2

9 8

x

x 3 ex x+3

2xex + 2ex

2 senh

+ C;

cos x + sen x) ecos x

1.125. 8 3

205

p p 1.109. 2 x cosh x

+ C;

sen x + ⇡ ln 1 + (sen x + ⇡)

ln |x + 1| + C;

+ C;

cos x ln (cos x) 3 4

1 6

1

ln

(ln 3) senh (3t)) + C;

a cosh (bt)) + C; 1.114. ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ ex 1 arctan ex/2 + 12 1 ex/2 + C; 3

ln (sen x) 1

3t 9 ln2 3

1.111.

arctan

1.124.

1.108.

(b senh (bt)

e2x

x3/2 3

ln (senn (bx) cosm (bx)) cos (bx) +

ln |sec ✓| + C;

1.107. ✓ tan ✓

1.118.

1 b

cos (bx)

Método de integración: Integración por partes

+ C;

x + C;

b cosh (bt)) + C;

3 4x

4/3

ln2 x

3 2

ln x +

9 8

+ C;

+ C; 2

1 arctan

p

x +

p

x 2

1

x 3

+ C;

+ C;

+ C; sen2 x

1+ 1

4 3

sen2 x ln (sen x) + C;

sen6 x ln (sen x) + C;

Bibliografía 1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall. 2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico [email protected] indicando donde se encuentra(n) dicho(s) error(es). MUCHAS GRACIAS.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 8.

Última actualizacón: Julio 2013

Método de integración: Integración por partes

Farith J. Briceño N.

206

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas Objetivos a cubrir

Código : MAT-CI.9

• Integración : Integrales trigonométricas. Z

Ejemplo 194 : Integre

Ejercicios resueltos

sen x cos x dx.

Solución : Se observa que en el integrando aparece la función seno y su correspondiente derivada, la función coseno, así, es natural proponer el cambio de variable Cálculo del

u = sen x

diferencial

!

du = cos x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = sen x

Z

Integral de una potencia. Integral de tabla.

zZ }| { # z }| { u2 1 1 2 sen x cos x dx} = u du = + C = (sen x) + C = sen2 x + C. | {z 2 2 2 | {z } " Diferencial du = cos x dx

Luego,

Z

Z

Ejemplo 195 : Integre

Z

n

u du =

un+1 +C n+1

con

sen x cos x dx =

n=1

1 sen2 x + C. 2 F

sen4 x cos x dx.

Solución : Se observa que en el integrando aparece la función seno y su correspondiente derivada, la función coseno, así, es natural proponer el cambio de variable Cálculo del

u = sen x

diferencial

!

du = cos x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = sen x

Z

Integral de una potencia. Integral de tabla.

zZ }| { Z ⇣ # ⌘4 z }| { u5 1 1 5 4 sen x cos x dx = sen x cos x dx = u du = + C = (sen x) + C = sen5 x + C. | {z } 5 5 5 | {z } " 4

Diferencial du = cos x dx

Última actualizacón: Julio 2013

Z

n

u du =

un+1 +C n+1

Farith J. Briceño N.

con

n=4

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Luego,

Z Z

Ejemplo 196 : Integre

sen4 x cos x dx =

208

1 sen5 x + C. 5 F

cos x p dx. 3 sen2 x

Solución : Se observa que en el integrando aparece la función seno y su correspondiente derivada, la función coseno, así, es natural proponer el cambio de variable Cálculo del

u = sen x

diferencial

!

du = cos x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial du = cos x dx

Z

cos x p dx = 3 sen2 x

Z

cos x dx = sen2/3 x

Z

Integral de una potencia. Integral de tabla.

# z }| { zZ }| { Z cos x dx du u1/3 2/3 = u du = + C = 3u1/3 + C ⇣ ⌘2/3 = 2/3 1 u | {z } sen | {z x} 3 Z " n+1 u n u du =

Cambio u = sen x

n+1

+C

con

n=4

= 3 (sen x) Luego,

Z

Ejemplo 197 : Integre

Z

1/3

p + C = 3 3 sen x + C.

p cos x p dx = 3 3 sen x + C. 3 sen2 x F

cos7 x sen x dx.

Solución : Se observa que en el integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, es natural proponer el cambio de variable Cálculo del

u = cos x

diferencial

!

du =

sen x dx

=)

du = sen x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Z

7

cos x sen x dx =

Z ⇣

cos | {zx} "

Cambio u = cos x

Última actualizacón: Julio 2013

⌘7

sen x dx} = | {z "

Z

Diferencial du = sen x dx

7

u (

#

Integral de una potencia. Integral de tabla.

du) = Z

n

u du =

Farith J. Briceño N.

zZ }| { u7 du = | {z } un+1 +C n+1

u8 +C = 8 con

1 cos8 x + C. 8

n=4

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Luego,

Z

Ejemplo 198 : Integre

Z

p

209

1 cos8 x + C. 8

cos7 x sen x dx =

F

cos x sen x dx.

Solución : Se observa que en el integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, es natural proponer el cambio de variable Cálculo del

u = cos x

diferencial

!

du =

sen x dx

=)

du = sen x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Diferencial du = sen x dx

Z

q

# z }| { Z p # cos u ( du) = | {zx} sen x dx = "

Z Z

Cambio u = cos x

p

Integral de una potencia. Integral de tabla.

z Z

u du =

n

u du =

|

u

un+1 +C n+1

}|

{

1/2

con

Z

Ejemplo 199 : Integre

Z

p

2 3/2 u +C 3

n=4

= Luego,

u3/2 +C = 3 2

du = {z }

2 3/2 (cos x) + C. = 3

2 cos3/2 x + C. 3

2 cos3/2 x + C. 3

cos x sen x dx =

F

sen x cos x dx.

Solución : En el ejemplo 194 se resuelve esta integral con el cambio de variable Cálculo del

u = sen x y la familia de primitivas viene dada por Z

diferencial

!

sen x cos x dx =

du = cos x dx,

1 sen2 x + C. 2

En esta ocasión se resuelve la integral de la siguiente manera Se observa que en el integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, es natural proponer el cambio de variable u = cos x

Cálculo del diferencial

!

du =

sen x dx

=)

du = sen x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

210

Entonces, la integral queda Cambio u = cos x

Z

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

# Z # z }| { cos x sen x dx = u ( du) = | {z } " Z

Diferencial du = sen x dx

n

u du =

Luego,

Z

Ejemplo 200 : Integre

Z

Integral de una potencia. Integral de tabla.

zZ }| { u du = | {z }

un+1 +C n+1

u2 +C = 2

con

1 2 (cos x) + C = 2

1 cos2 x + C. 2

n=1

1 cos2 x + C. 2

sen x cos x dx =

F

sen3 x cos2 x dx.

Solución : Se observa que en los ejemplos del 194 al 199, se desea encontrar la familia de primitivas de funciones trigonométricas, senos y cosenos, elevadas a una potencia multiplicada por la derivada de dicha función trigonométrica, es decir, las integrales resueltas presentan la siguiente estructura Z Z senn x cos x dx ó cosm x sen x dx en cuyos casos se propuso los cambios de variables ó

u = sen x

u = cos x

respectivamente, dichos cambios transforman a las integrales dadas en integrales más sencillas de resolver, en integrales de potencias. En este ejemplo el integrando está formado por funciones trigonométricas, senos y cosenos, elevadas, ambas, a una potencia. la idea para obtener la familia de primitivas es re-escribir el integrando de tal forma que cumpla con la estructura de las integrales de los ejemplos del 194 al 199. Se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término seno.

Z

# Z sen3 x cos2 x dx = sen2 x cos2 x sen x dx, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será sen x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cos x, así, cabe la pregunta Z Z 2 2 sen3 x cos2 x dx = sen | {z x} cos x sen x dx, "

¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica sen2 x + cos2 x = 1,

Última actualizacón: Julio 2013

entonces Farith J. Briceño N.

sen2 x = 1

cos2 x, [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

por lo que,

Z

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

sen3 x cos2 x dx =

Z

2 2 sen | {z x} cos x sen x dx = "

sen2 x = 1

Z

1

211

cos2 x cos2 x sen x dx.

cos2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = cos x

diferencial

!

du =

sen x dx

=)

du = sen x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial du = sen x dx

Cambio u = cos x

Z

1

2

2

cos x cos x sen x dx =

Z ✓

# Z ⇣z }|.{⌘2 ◆ ⇣& z }| {⌘2 z }| { cos x cos x sen x dx =

1

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

1

# u2 u2 ( du)

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

Z

u

2

u

4

z }| { Z z }| { Z 2 u du + u4 du = | {z } | {z }

du = "

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

Luego,

Ejemplo 201 : Integre

Z Z

Z

n

u du =

un+1 +C n+1

sen3 x cos2 x dx =

con

u3 u5 + +C = 3 5

cos3 x cos5 x + + C. 3 5

n=2 y n=4

cos3 x cos5 x + + C. 3 5 F

sen5 x dx.

Solución : Se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término seno.

Z

# Z 5 sen x dx = sen4 x sen x dx, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será sen x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cos x, así, cabe la pregunta Z Z 5 4 sen x dx = sen | {z x} sen x dx, "

¿Qué hacer con este término?

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

212

por la identidad trigonométrica básica sen2 x + cos2 x = 1, por lo que,

Z

sen5 x dx =

Z

sen2 x = 1

entonces Z ⇣

sen4 x sen x dx =

2 sen | {z x} "

⌘2

sen2 x = 1

sen x dx =

Z

cos2 x,

2

cos2 x

1

sen x dx.

cos2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = cos x

diferencial

!

du =

sen x dx

=)

du = sen x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial du = sen x dx

Cambio u = cos x

Z

5

sen x dx =

Z

1

cos x

Z

Z

=

2

2

u2

1

sen x dx =

Z ✓

# # ⌘ ◆2 z }| ⇣z }| { Z { 2 cos x sen x dx =

1

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx 2

du =

Z

1

Z

# 2u2 + u4 du =

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

1

u2

2

# ( du)

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

du +

Z # 2u2 du

Z

u4 du

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

n

z }| { z }| { Z Z du +2 u2 du | {z } | {z }

u du =

un+1 +C n+1

Luego,

Ejemplo 202 : Integre

Z Z

con

z }| { Z u4 du = | {z }

n = 0,

sen5 x dx =

u+2

u3 3

u5 +C = 5

cos x +

2 cos3 x 3

cos5 x + C. 5

n=2 y n=4

cos x +

2 cos3 x 3

cos5 x + C. 5 F

sen4 x cos3 x dx.

Solución : Se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término coseno.

Z

Z # 3 sen x cos x dx = sen4 x cos2 x cos x dx, " 4

Futuro diferencial.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

213

si el diferencial de la nueva integral será cos x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es sen x, así, cabe la pregunta Z Z 2 sen4 x cos3 x dx = sen4 x cos | {z x} cos x dx, "

¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica sen2 x + cos2 x = 1, por lo que,

Z

4

3

sen x cos x dx =

Z

cos2 x = 1

entonces 4

2

sen x cos | {z x} cos x dx = " cos2 x = 1

Z

sen4 x 1

sen2 x,

sen2 x cos x dx.

sen2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = sen x

diferencial

!

du = cos x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = sen x

Z

4

sen x 1

Diferencial du = cos x dx

Cambio u = sen x

Z ⇣ # ⌘4 ✓ z }| { sen x cos x dx = sen x 1 2

# # ⌘ ◆ z }| ⇣z }| { Z { 2 sen x cos x dx = u4 1

u2 du

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

Z

u

4

u

6

zZ }| { du = u4 du " | {z }

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

Luego,

Ejemplo 203 : Integre

Z Z p 3

Z

n

zZ }| { u5 u6 du = 5 | {z }

u du =

sen4 x cos3 x dx =

un+1 +C n+1

sen5 x 5

con

u7 sen5 x +C = 7 5

sen7 x + C. 7

n=4 y n=6

sen7 x + C. 7 F

sen2 x cos5 x dx.

Solución : Se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término coseno.

Z p 3

sen2

Z p # 3 5 x cos x dx = sen2 x cos4 x cos x dx, "

Futuro diferencial.

Última actualizacón: Julio 2013

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[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

214

si el diferencial de la nueva integral será cos x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es sen x, así, cabe la pregunta Z p Z p 3 3 4 sen2 x cos5 x dx = sen2 x cos | {z x} cos x dx, "

¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica sen2 x + cos2 x = 1, por lo que, Z p 3

sen2

4

x cos x cos x dx =

Z p 3

cos2 x = 1

entonces

sen2

x

⇣

2

⌘2

cos | {z x} "

cos2 x = 1

cos x dx =

Z p 3

sen2 x,

sen2 x 1

sen2 x

2

cos x dx.

sen2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = sen x

diferencial

!

du = cos x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z p Z p 3 3 sen2 x cos4 x cos x dx = sen2 x 1 Cambio u = sen x

=

2

cos x dx =

sen2/3 x 1

# # ⌘ ◆2 z }| ⇣z }| { Z { 2 sen x cos x dx = u2/3 1 + u2

u2/3 + 2u8/3 + u14/3

⌘

sen2 x

2

cos x dx

# du =

Z

2

du =

Z

u2/3 1 + 2u2 + u4

du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

Z ⇣

Z

Diferencial du = cos x dx

Cambio u = sen x

Z ⇣ # ⌘2/3 ✓ z }| { = sen x 1 Z

sen2 x

u2/3 du +

Z # Z 2u8/3 du + u14/3 du

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

n

zZ |

u du =

=

u

. }| {

2/3

# }|

zZ

8/3

con

n=

{

zZ

& }|

14/3

{

du +2 u du + u du = {z } | {z } | {z }

un+1 +C n+1

2 , 3

n=

u5/3 u11/3 u17/3 +2 + +C 5 11 17 3 3 3

8 14 y n= 3 3

3 5/3 6 3 3 6 3 u + u11/3 + u17/3 + C = sen5/3 x + sen11/3 x + sen17/3 x + C. 5 11 17 5 11 17

Última actualizacón: Julio 2013

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Cálculo integral - Guía 9.

Luego,

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Z p 3

Ejemplo 204 : Integre

sen2 x cos5 x dx =

Z

215

3 6 3 sen5/3 x + sen11/3 x + sen17/3 x + C. 5 11 17 F

sen5 x cos7 x dx.

Solución : Se tiene que ambos términos, seno y coseno, presentan potencias impares, así, se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término seno.

Z

# Z sen5 x cos7 x dx = sen4 x cos7 x sen x dx, "

Futuro diferencial.

ó también como Potencia impar. Tomar un término coseno.

Z

Z # 7 sen x cos x dx = sen5 x cos6 x cos x dx, " 5

Futuro diferencial.

Cabe la pregunta ¿Cuál de las dos formas de reescribir la integral se usa? Inicialmente, cualquiera de las dos formas se puede utilizar, pero para los cálculos de la familia de primitivas se aconseja utilizar la de menor potencia, en este caso la expresión sen5 x. Se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término seno.

Z

# Z sen5 x cos7 x dx = sen4 x cos7 x sen x dx, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será sen x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cos x, así, cabe la pregunta Z Z 5 7 4 7 sen x cos x dx = sen | {z x} cos x sen x dx, "

¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica sen2 x + cos2 x = 1,

entonces

sen2 x = 1

por lo que, Z Z Z ⇣ Z ⌘2 2 7 sen5 x cos7 x dx = sen4 x cos7 x sen x dx = sen x cos x sen x dx = | {z } " sen2 x = 1

Última actualizacón: Julio 2013

cos2 x,

1

cos2 x

2

cos7 x sen x dx.

cos2 x

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

216

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = cos x

diferencial

!

du =

sen x dx

=)

du = sen x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Z

Entonces, la integral queda Z Z 5 7 4 7 sen x cos x dx = sen x cos x sen x dx =

Diferencial du = sen x dx

Cambio u = cos x

=

Z ✓

Z

=

# ◆ & Z ⇣z }|. {⌘2 2 ⇣z }| {⌘7 z }| { cos x cos x sen x dx =

1

Z 2

1

2u + u

4

2

cos2 x

1

cos7 x sen x dx

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

1

u

2 2

7

#

u ( du) =

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

Z

u

& }|

{

7

u du =

7

9

2u + u

11

# du =

Z

1

u2

2

u7 du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Z

Z # u du + 2u9 du 7

Z

u11 du

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

n

. # zZ }| { zZ }| { u7 du +2 u9 du | {z } | {z }

u du =

un+1 +C n+1

Luego,

Ejemplo 205 : Integre

con

Z Z

n = 7,

zZ

u11 du = | {z }

u8 u10 + 8 5

u12 +C = 12

cos8 x cos10 x + 8 5

sen12 x + C. 12

n = 9 y n = 11

sen5 x cos7 x dx =

cos8 x cos10 x + 8 5

sen12 x + C. 12 F

sen9 x cos3 x dx.

Solución : Se tiene que ambos términos, seno y coseno, presentan potencias impares, así, se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término seno.

Z

# Z sen9 x cos3 x dx = sen8 x cos3 x sen x dx, "

Futuro diferencial.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

217

ó también como Potencia impar. Tomar un término coseno.

Z

Z # sen9 x cos3 x dx = sen9 x cos2 x cos x dx, "

Futuro diferencial.

Cabe la pregunta ¿Cuál de las dos formas de reescribir la integral se usa? Inicialmente, cualquiera de las dos formas se puede utilizar, pero para los cálculos de la familia de primitivas se aconseja utilizar la de menor potencia, en este caso la expresión cos3 x. Se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término coseno.

Z

Z # sen9 x cos3 x dx = sen9 x cos2 x cos x dx, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será cos x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es sen x, así, cabe la pregunta Z Z 9 3 2 sen x cos x dx = sen9 x cos | {z x} cos x dx, "

¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica sen2 x + cos2 x = 1, por lo que,

Z

sen9 x cos3 x dx ==

Z

cos2 x = 1

entonces

2 sen9 x cos | {z x} cos x dx = " cos2 x = 1

Z

sen9 x 1

sen2 x,

sen2 x cos x dx.

sen2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, se propone el cambio de variable u = sen x

Cálculo del diferencial

!

du = cos x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = sen x

Z

sen9 x cos3 x dx =

Última actualizacón: Julio 2013

Z

sen9 x 1

Z ⇣ # ⌘9 ✓ z }| { 2 sen x cos x dx = sen x 1 Farith J. Briceño N.

Cambio u = sen x

Diferencial du = cos x dx

# # ⌘ ◆ z }| ⇣z }| { { 2 sen x cos x dx [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

218

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

=

=

Z

u

Z

(f (x) + g (x)) dx =

9

1

u

du =

Z

u

9

u

11

z }| { Z du = u9 du " | {z }

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

1 sen10 x 10

Luego,

Z Z

Ejemplo 206 : Integre

2

Z

z Z

}|

{

u10 u du = 10 | {z }

n

u du =

11

un+1 +C n+1

con

u12 +C 12 n = 9 y n = 11

1 sen12 x + C. 12

sen9 x cos3 x dx =

1 sen10 x 10

1 sen12 x + C. 12 F

cos2 x dx.

Solución : En este ejemplo el integrando tiene potencia par, en el ejemplo 69 se obtuvo la familia de primitivas de la función f (x) = sen2 x, por medio de la identidad trigonmétrica

y el cambio de variable u = 2x, la cual es Z

sen2 x =

1

sen2 x dx =

x 2

cos (2x) 2

sen (2x) + C, 4

para obtener la familia de primitivas de la función f (x) = cos2 x se procede de la misma manera. La identidad trigonométrica cos2 x =

1 + cos (2x) 2

permite reescribir la integral como Z Z Z Z Z 1 + cos (2x) 1 1 1 cos2 x dx = dx = (1 + cos (2x)) dx = dx + cos (2x) dx, 2 2 2 " 2 " Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Z

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediata Z dx = x + C1 , mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable u = 2x

Cálculo del diferencial

!

du = 2 dx

=)

du = dx, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

219

Entonces, la integral queda Diferencial du = dx 2

Cambio u = 2x

# # Z z}|{ z}|{ Z du 1 1 1 cos (2x) dx = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (2x) + C2 . 2 2 2 2 "

Z

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Luego,

Z Z

Ejemplo 207 : Integre

cos2 x dx =

 1 sen (2x) x sen (2x) x+ +C = + + C. 2 2 2 4

F

cos2 x sen2 x dx.

Solución : En virtud que las potencias de las expresiones seno y coseno son pares, se tiene, por las identidades trigonométricas 1 + cos (2x) 1 cos (2x) cos2 x = , sen2 x = . 2 2 que la integral se puede expresar como Producto notable (a + b) (a

Z

2

2

cos x sen x dx =

Z ✓

1 + cos (2x) 2

◆✓

1

cos (2x) 2

◆

b) = a2

# }| Z z (1 + cos (2x)) (1 dx = 4 "

b2

{ cos (2x))

dx

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

=

1 4

Z ✓

1 |

◆ Z Z 1 1 1 cos2 (2x) dx = sen2 (2x) dx = {z } 4 | {z } 4 " "

Identidad trigonométrica sen2 (·) + cos2 (·) = 1 de aquí,

sen2 (2x) = 1

1 = " 8

Z

✓Z

dx

cos2 (2x)

Z

cos (4x) dx

Identidad trigonométrica 1 cos 2 (·) sen2 (·) = 2

◆

=

1 8

Z

dx

1 8

Z

cos (4x) 1 1 dx = 2 4 2 "

Z

(1

cos (4x)) dx

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

cos (4x) dx.

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

Se calcula las integrales. La primera integral es sencilla Z dx = x + C1 . Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

220

Para la segunda integral, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = 4x

diferencial

!

du = 4 dx

=)

du = dx, 4

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial du = dx 4

Cambio u = 4x

Z

# # Z z}|{ z}|{ Z du 1 1 1 cos (4x) dx = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (4x) + C2 . 4 4 4 4 " Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Luego,

es decir,

Z

cos2 x sen2 x dx = Z Z

Ejemplo 208 : Integre

1 (x + C1 ) 8

1 8

✓

1 sen (4x) + C2 4

cos2 x sen2 x dx =

x 8

◆

=

x 8

1 sen (4x) + C, 32

1 sen (4x) + C. 32 F

cos2 (3x) sen4 (3x) dx.

Solución : Puesto que, las potencias de las expresiones seno y coseno son pares se usa las identidades trigonométricas 1 + cos (2 (·)) 1 cos (2 (·)) cos2 (·) = , sen2 (·) = . 2 2 de aquí, 1 + cos (6x) 1 cos (6x) cos2 (3x) = , sen2 (3x) = . 2 2 Tenemos, ✓ ◆2 ◆✓ ◆2 Z Z Z ✓ 1 + cos (6x) 1 cos (6x) cos2 (3x) sen4 (3x) dx = cos2 (3x) sen2 (3x) dx = dx | {z } | {z } 2 2 " " Identidad trigonométrica 1 + cos (2 (·)) cos2 (·) = 2

Identidad trigonométrica 1 cos (2 (·)) sen2 (·) = 2

Producto notable (a + b) (a

=

Z

1 + cos (6x) (1 2

2

cos (6x)) dx = 4

b) = a2

# }| Z z (1 + cos (6x)) (1

b2

{ cos (6x)) (1 8 "

cos (6x))

dx

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

=

1 8

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Z ✓

◆ cos2 (6x) (1 {z } "

1 |

cos (6x)) dx =

1 8

Z

sen2 (6x) (1

221

cos (6x)) dx

Identidad trigonométrica sen2 (·) + cos2 (·) = 1 de aquí,

1 = 8

Z

sen2 (2x) = 1

cos2 (2x)

1 sen (6x) cos (6x) dx = " 8

2

2

sen (6x)

Z

=

1 8

Z

sen2 (6x) dx

1 8

Z

✓Z

Z

2

sen (6x) dx

2

sen (6x) cos (6x) dx

◆

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

(f (x) + g (x)) dx =

sen2 (6x) cos (6x) dx,

Se resuelven las integrales. Para hallar la familia de primitivas de la función f (x) = sen2 (6x) la primera integral se usa, nuevamente la identidad trigonométrica sen2 (·) = así,

Z

2

sen (6x) dx =

Z

1

1

cos (2 (·)) 2

sen2 (6x) =

=)

cos (12x) 1 dx = 2 2 "

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

donde,

Z

Z

1 cos (12x)) dx = " 2

(1 Z

1 Z

cos (12x) 2 dx

1 2

Z

cos (12x) dx,

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

(f (x) + g (x)) dx =

dx = x + C1 ,

mientras que, para la otra integral se propone el cambio de variable u = 12x

Cálculo del diferencial

!

du = 12 dx

=)

du = dx, 12

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Se obtiene Cambio u = 12x

Z

Diferencial du = dx 12

# # Z z }| { z}|{ Z du 1 1 1 cos (12x) dx = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (12x) + C2 . 12 12 12 12 " Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

así,

Z

1 sen (6x) dx = (x + C1 ) 2 2

Última actualizacón: Julio 2013

1 2

✓

1 sen (12x) + C2 12

Farith J. Briceño N.

◆

=

x 2

1 sen (12x) + C3 . 24 [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

222

Por otra parte, para obtener la familia de primitivas de y = sen2 (6x) cos (6x), se propone el cambio de variable Cálculo del

u = sen (6x)

diferencial

!

du = 6 cos (6x) dx

du = cos (6x) dx, 6

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial du = cos (6x) dx 6

Cambio u = sen (6x)

Z

Integral de una potencia. Integral de tabla.

# # ◆2 zZ }| { Z ✓z }| { z }| { Z 1 1 u3 2 du sen (6x) cos (6x) dx = sen (6x) cos (6x) dx = u = u2 du = + C4 6 6 6 3 | {z } " 2

Z

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

n

u du =

= con lo que,

Z

Por lo tanto, Z

sen2 (6x) cos (6x) dx =

cos2 (3x) sen4 (3x) dx =

Luego,

Z

1 8

✓

x 2

Ejemplo 209 : Integre

Z

x 16

con

n=2

1 3 1 u + C4 = sen3 (6x) + C4 , 18 18

1 sen3 (6x) + C4 . 18

1 sen (12x) + C3 24

cos2 (3x) sen4 (3x) dx =

un+1 +C n+1

◆

1 sen (12x) 192

1 8

✓

◆ 1 sen3 (6x) + C4 . 18

1 sen3 (6x) + C. 144 F

tan6 x sec2 x dx.

Solución : Se observa que la derivada de la función y = tan x está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable u = tan x

Cálculo del diferencial

du = sec2 x dx,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = tan x

Z

Diferencial du = sec2 x dx

Integral de una potencia. Integral de tabla.

# # ◆6 z }| Z ✓z }| { zZ }| { u7 { tan7 x 2 tan x sec x dx = tan x sec x dx = u6 du = +C = + C. 7 7 | {z } 6

2

Z

Última actualizacón: Julio 2013

n

u du =

un+1 +C n+1

Farith J. Briceño N.

con

n=6

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Luego,

Z Z

Ejemplo 210 : Integre

tan6 x sec2 x dx =

223

tan7 x + C. 7 F

tan1/2 x sec4 x dx.

Solución : Como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como Potencia par. Tomar un término sec2 x.

Z

tan

1/2

#

4

x sec x dx =

Z

tan1/2 x sec2 x sec2 x dx, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será sec2 x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tan x, así, cabe la pregunta Z Z 2 2 tan1/2 x sec4 x dx = tan1/2 x sec | {z x} sec x dx, "

¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica se tiene,

Z

tan1/2 x sec2 x sec2 x dx =

tan2 x + 1 = sec2 x, Z

2 2 tan1/2 x sec | {z x} sec x dx = "

Z

tan1/2 x tan2 x + 1 sec2 x dx.

tan2 x + 1 = sec2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secante al cuadrado, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = tan x

diferencial

du = sec2 x dx,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = tan x

Z

tan1/2 x sec4 x dx =

Z

Diferencial

Cambio u = tan x

# ◆1/2 Z ✓z }| { 1/2 2 2 tan x tan x + 1 sec x dx = tan x

du = sec2 x dx

# ! # ◆2 ✓z }| z }| { { tan x + 1 sec2 x dx

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

=

Z

u

1/2

2

u + 1 du = Z

Última actualizacón: Julio 2013

Z ⇣

u

5/2

+u

1/2

⌘

du = "

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

(f (x) + g (x)) dx =

Farith J. Briceño N.

zZ |

Z

u

}|

5/2

{z n

{

zZ

}|

1/2

{

du + u du } | {z }

u du =

un+1 +C n+1

con

n=

5 1 y n= 2 2

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

= Luego,

Z

Ejemplo 211 : Integre

Z

224

u7/2 u3/2 2 2 2 2 + + C = u7/2 + u3/2 + C = tan7/2 x + tan3/2 x + C. 7 3 7 3 7 3 2 2 tan1/2 x sec4 x dx =

2 2 tan7/2 x + tan3/2 x + C. 7 3 F

tan4 (ax) sec6 (ax) dx.

Solución : Como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como Potencia par. Tomar un término sec2 (ax).

Z

Z # 6 tan (ax) sec (ax) dx = tan4 (ax) sec4 (ax) sec2 (ax) dx, " 4

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será sec2 (ax) dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tan (ax), así, cabe la pregunta Z Z 4 6 tan (ax) sec (ax) dx = tan4 (ax) sec4 (ax) sec2 (ax) dx, | {z } " ¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica tan2 (·) + 1 = sec2 (·) ,

tan2 (ax) + 1 = sec2 (ax) ,

se tiene

por lo que, Z

Z

tan4 (ax) sec4 (ax) sec2 (ax) dx =

tan4 (ax)

✓

◆2 sec2 (ax) sec2 (ax) dx | {z } "

tan2 (ax) + 1 = sec2 (ax)

=

Z

tan4 (ax) tan2 (ax) + 1

2

sec2 (ax) dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secante al cuadrado, así, se propone el cambio de variable u = tan (ax)

Cálculo del diferencial

!

du = a sec2 (ax) dx

=)

du = sec2 (ax) dx, a

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z tan4 (ax) sec4 (ax) sec2 (ax) dx = tan4 (ax) tan2 (ax) + 1 Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

2

sec2 (ax) dx

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Cambio u = tan (ax)

1 = a

Z

Diferencial du = sec2 (ax) dx a

Cambio u = tan (ax)

# # ◆ !2 ✓z }| z }| { Z { 2 2 tan (ax) + 1 sec (ax) dx = u4 u2 + 1

# ◆ Z ✓z }| { 4 = tan (ax)

Linealidad de la integral Z Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

u

1 u + 2u + 1 du = a

4

4

225

2

Z

8

6

u + 2u + u

# 1 du = a

4

2

du 1 = a a "

Z

u4 u2 + 1

2

du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

✓Z

8

u du +

Z

6

2u du + "

Z

4

u du

◆

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

# & 0z }|. { zZ }| { Z z }| {1 ✓ ◆ Z 1@ 1 u9 2u7 u5 u9 2u7 u5 8 6 4 A = u du +2 u du + u du = + + +C = + + +C a a 9 7 5 9a 7a 5a | {z } | {z } | {z } Z

= Luego,

n

u du =

un+1 +C n+1

con

n = 8,

n=6 y n=4

tan9 (ax) 2 tan7 (ax) tan5 (ax) + + + C. 9a 7a 5a Z

tan4 (ax) sec6 (ax) dx =

Ejemplo 212 : Integre

Z

tan9 (ax) 2 tan7 (ax) tan5 (ax) + + + C. 9a 7a 5a F

sec6 (b

ax) dx.

Solución : Se propone el cambio de variable u=b

ax

Cálculo del diferencial

!

y la integral queda ✓ ◆ ✓ Z Z 6 6 sec b ax |{z} dx = sec u | {z } " " Cambio u = b ax

du =

du a

◆

Diferencial du = dx a

=

Z

a dx

6

sec u

=) ! 1 du = a |{z} "

du = dx, a

1 a

Z

sec6 u du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como Potencia par. Tomar un término sec2 u.

Z

Z # 6 sec u du = sec4 u sec2 u du, "

Futuro diferencial.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

226

si el diferencial de la nueva integral será sec2 u du, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tan u, así, cabe la pregunta ¿Qué hacer con este término?

Z

por la identidad trigonométrica básica

# Z z }| { sec u du = sec4 u sec2 u du, 6

tan2 u + 1 = sec2 u,

se tiene, tan2 u + 1 = sec2 u

Z

sec6 u du =

Z

sec4 u sec2 u du =

# ! Z z }| { 2 sec2 u sec2 u du =

Z

tan2 u + 1

2

sec2 u du.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secante al cuadrado, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

z = tan u

diferencial

dz = sec2 u du,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio z = tan u

Z

6

sec u du =

Z

=

Z

2

sec u

Z

2

2

sec u du =

Z

2

tan u + 1

2

sec u du =

2

dz =

Z

# z 4 + 2z 2 + 1 dz =

Z

# !2 # ◆2 ✓z }| z }| { { 2 tan u + 1 sec u du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Linealidad de la integral Z Z (f (u) + g (u)) du = f (u) du + g (u) du

z2 + 1

Z

2

Diferencial dz = sec2 u du

z 4 dz +

Z # Z 2z 2 dz + dz

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

. # & zZ }| { zZ }| { zZ }| { z5 z3 1 2 = z 4 dz +2 z 2 dz + dz = +2 + z + C1 = tan5 u + tan3 u + tan u + C1 , 5 3 5 3 | {z } | {z } | {z }

Z

n

z dz =

así,

Última actualizacón: Julio 2013

z n+1 +C n+1

Z

con

n = 4,

sec6 u du =

n=2 y n=0

1 2 tan5 u + tan3 u + tan u + C1 , 5 3 Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

por lo que, Z sec6 (b

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

1 a

ax) dx =

Z

 1 1 2 tan5 u + tan3 u + tan u + C1 a 5 3

sec6 u du =

1 tan5 u 5a

= como u = b

ax, se tiene Z sec6 (b ax) dx =

Ejemplo 213 : Integre

Z

227

1 tan5 (b 5a

ax)

2 tan3 (b 3a

2 tan3 u 3a 1 tan (b a

ax)

1 tan u + C, a

ax) + C. F

tan4 (4x) dx

Solución : Como no hay término secante y la potencia de la tangente es par, se escribe la integral como Z Z 4 tan (4x) dx = tan2 (4x) tan2 (4x) dx,

por la identidad trigonométrica

tan2 (·) + 1 = sec2 (·) ,

tan2 (·) = sec2 (·)

se tiene que

1,

así, tan2 (4x) = sec2 (4x)

Z

tan4 (4x) dx =

Z

=

Z

1

# Z z }| { 2 2 tan (4x) tan (4x) dx = tan2 (4x) sec2 (4x) 2

2

tan (4x) sec (4x) Z

2

tan (4x) dx = "

Z

1 dx

2

2

tan (4x) sec (4x) dx

Z

tan2 (4x) dx.

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

(f (x) + g (x)) dx =

Se resuelven cada una de las nuevas integrales. Para la primera integral, se observa que la derivada de la función f (x) = tan (4x), salvo una constante, está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable u = tan (4x)

Cálculo del diferencial

!

du = 4 sec2 (4x) dx

=)

du = sec2 (4x) dx, 4

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = tan (4x)

Z

Diferencial du = sec2 (4x) dx 4

Integral de una potencia. Integral de tabla.

# # ◆ zZ }| { Z ✓z }| }| { Z { 2z 1 1 u3 tan3 (4x) 2 2 du tan (4x) sec (4x) dx = tan (4x) sec (4x) dx = u = u2 du = + C1 = + C1 , 4 4 4 3 12 | {z } " 2

2

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

Z

n

u du =

un+1 +C n+1

con

n=2

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

es decir,

Z

tan2 (4x) sec2 (4x) dx =

228

tan3 (4x) + C1 . 12

Para la segunda integral, se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonométrica tan2 (·) + 1 = sec2 (·) , y se escribe la integral como Z Z 2 tan (4x) dx =

Para obtener

Z

tan2 (·) = sec2 (·)

se tiene que

2

sec (4x)

1 dx = "

Z

Z

2

sec (4x) dx

1,

dx,

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

Z

(f (x) + g (x)) dx =

sec2 (4x) dx, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = 4x

diferencial

!

du = 4 dx

=)

du = dx, 4

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial du = dx 4

Cambio u = 4x

Z

# Z Z z}|{ # du 1 1 1 sec (4x) dx = sec2 u = sec2 u du = tan u + C2 = tan (4x) + C2 , 4 4 4 4 " 2

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

es decir,

Z

Por otra parte, con lo que, Luego,

Z

Ejemplo 214 : Integre

2

tan (4x) dx = Z Z

sec2 (4x) dx =

Z

Z

1 tan (4x) + C2 . 4

dx = x + C3 , Z

2

sec (4x) dx

tan4 (4x) dx =

1 tan3 (4x) 12

dx =

1 tan (4x) 4

x + C4 .

1 tan (4x) + x + C. 4 F

tan5 x sec2 x dx.

Solución : Se observa que la derivada de la función y = tan x está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable u = tan x

Cálculo del diferencial

!

du = sec2 x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

229

Entonces, la integral queda Diferencial

Cambio u = tan x

Z

Integral de una potencia. Integral de tabla.

du = sec2 x dx

# # ◆5 z }| Z ✓z }| { zZ }| { u6 { tan6 x tan5 x sec2 x dx = tan x sec2 x dx = u5 du = +C = + C. 6 6 | {z } Z

Luego,

Z

n

u du =

tan5 x sec2 x dx =

un+1 +C n+1

con

n=5

tan6 x + C. 6

Otra manera de obtener la familia de primitiva de la función f (x) = tan5 x sec2 x, en virtud que la potencia de la tangente es impar, es escribir la integral como Potencia impar. Tomar un término tan x sec x.

Z

Z # 5 2 tan x sec x dx = tan4 x sec x tan x sec x dx "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será tan x sec x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es sec x, así, cabe la pregunta ¿Qué hacer con este término?

Z por la identidad trigonométrica

# Z z }| { tan5 x sec2 x dx = tan4 x sec x tan x sec x dx,

tan2 x + 1 = sec2 x,

tan2 x = sec2 x

se tiene que

1,

así, tan2 x = sec2 x

Z

5

2

tan x sec x dx =

Z

1

# ! Z z }| { 2 tan2 x sec x tan x sec x dx =

sec2 x

1

2

sec x tan x sec x dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función secante y su correspondiente derivada, la función tangente por secante, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = sec x

diferencial

!

du = tan x sec x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z tan5 x sec2 x dx = tan2 x Última actualizacón: Julio 2013

2

sec x tan x sec x dx =

Z

sec2 x

Farith J. Briceño N.

1

2

sec x tan x sec x dx [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Cambio u = sec x

=

1

◆2

# # }| { Z z }| { z sec x tan x sec x dx =

Z

# 2u3 + u du =

u5

u5 du

Z

Luego,

u6 6

u4 u2 sec6 x + +C = 2 2 6 Z

Ejemplo 215 : Integre

Z

2

1

u du =

Z

u4

2u2 + 1 u du

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

2u3 du + "

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

=

u2

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

Z

Z

Diferencial du = tan x sec x dx

Cambio u = sec x

Z ✓⇣ # ⌘ 2 z }| { = sec x

230

Z

zZ }| { zZ }| { zZ }| { u du = u5 du 2 u3 du + u du | {z } | {z } | {z }

Z

n

u du =

un+1 +C n+1

con

n = 5,

n=3 y n=1

sec4 x sec2 x + + C. 2 2

tan5 x sec2 x dx =

sec6 x 6

sec4 x sec2 x + + C. 2 2 F

tan3 x sec1/2 x dx.

Solución : Como la potencia de la tangente es impar, entonces se debe tomar un término tan x sec x y transformamos los demás términos en secante, pero observemos que el término sec x que se necesita no aparece, así, multiplicamos y dividimos, el integrando, por sec x y obtenemos Z Z Z 1 tan3 x sec1/2 x dx = tan3 x sec1/2 x sec x dx = tan3 x sec 1/2 x sec x dx, sec x así, se tiene

Potencia impar. Tomar un término tan x sec x.

Z

Z # tan3 x sec1/2 x dx = tan2 x sec

1/2

x tan x sec x dx "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será tan x sec x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es sec x, así, cabe la pregunta ¿Qué hacer con este término?

Z

3

tan x sec

1/2

por la identidad trigonométrica

# Z z }| { x dx = tan2 x sec

tan2 x + 1 = sec2 x,

1/2

x tan x sec x dx,

tan2 x = sec2 x

se tiene que

1,

así, tan2 x = sec2 x

Z

3

tan x sec

1/2

1

# Z z }| { x dx = tan2 x sec

Última actualizacón: Julio 2013

1/2

x tan x sec x dx = Farith J. Briceño N.

Z

sec2 x

1 sec

1/2

x tan x sec x dx. [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

231

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función secante y su correspondiente derivada, la función tangente por secante, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = sec x

diferencial

!

du = tan x sec x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z 3 1/2 tan x sec x dx = tan2 x sec Cambio u = sec x

1/2

x tan x sec x dx =

◆⇣ # ⌘ z }| { 1 sec x

sec2 x

1/2

# z }| { Z tan x sec x dx =

u

= Z

n

u du =

|

u

}|

3/2

{

du {z }

un+1 +C n+1

Luego,

Ejemplo 216 : Integre

zZ

u

|

con

{

2 du = u5/2 5 {z }

n=

Z Z

}|

1/2

2

1 u

Z

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

zZ

1 sec

2 y n= 3

1/2

x tan x sec x dx

Diferencial du = tan x sec x dx

Cambio u = sec x

Z ✓⇣ # ⌘ 2 z }| { = sec x

Z

1/2

du =

Z ⇣

u3/2

|

u {z

1/2

⌘

du }

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

2u1/2 + C =

2 sec5/2 x 5

2 sec5/2 x 5

2 sec1/2 x + C.

2 sec1/2 x + C.

1 2

tan3 x sec1/2 x dx =

F

tan5 x dx.

Solución : Como la potencia de la tangente es impar, entonces transformamos los demás términos en secante, pero observemos que el así, multiplicamos y dividimos, el integrando, por sec x y obtenemos Z Z Z 1 5 5 tan x dx = tan x sec x dx = sec x

se debe tomar un término tan x sec x y término sec x que se necesita no aparece, tan5 x sec x dx, sec x

así, se tiene Potencia impar. Tomar un término tan x sec x.

Z

# Z tan4 x 5 tan x dx = tan x sec x dx sec x "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será tan x sec x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es sec x, así, cabe la pregunta Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

232

¿Qué hacer con este término?

# Z z }|4 { tan x tan5 x dx = tan x sec x dx, sec x

Z

por la identidad trigonométrica

tan2 x + 1 = sec2 x,

tan2 x = sec2 x

se tiene que

1,

así, tan2 x = sec2 x

Z

tan5 x dx =

Z

tan4 x tan x sec x dx = sec x

1

# ! z }| { 2 tan2 x

Z

sec x

tan x sec x dx =

Z

2

sec2 x 1 sec x

tan x sec x dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función secante y su correspondiente derivada, la función tangente por secante, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = sec x

diferencial

!

du = tan x sec x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z tan4 x tan5 x dx = tan x sec x dx = sec x Cambio u = sec x

=

sec2 x 1 sec x

2

tan x sec x dx

Diferencial du = tan x sec x dx

✓⇣ # ⌘ z }| { 2 Z sec x

1

sec | {zx} "

◆2

# z }| { tan x sec x dx

=

Z

u2

1

2

u

du =

Z

u4

2u2 + 1 du u

Cambio u = sec x

= "

Z ✓

u4 u

2u2 1 + u u

Propiedades de los racionales a+b a b = + c c c

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

Z

n

u du =

◆

Z

du =

Z ✓

u

3

Última actualizacón: Julio 2013

con

◆

du = "

Z

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

3

u du

Z

2u du + "

Z

1 du u

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Logaritmo natural.

zZ }| { zZ }| { zZ }| { du u4 3 = u du 2 u du + = u 4 | {z } | {z } un+1 +C n+1

1 2u + u

2

u2 sec4 x + ln |u| + C = 2 4

sec2 x + ln |sec x| + C.

n=3 y n=1

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Luego,

Z

Ejemplo 217 : Integre

Z

tan5 x dx =

sec4 x 4

233

sec2 x + ln |sec x| + C. F

cot4 x csc2 x dx.

Solución : Se observa que la derivada de la función y = cot x está presente en el integrando, salvo una constante, eso sugiere el cambio de variable Cálculo del

u = cot x

diferencial

!

csc2 x dx

du =

du = csc2 x dx,

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial

Cambio u = cot x

Z

Integral de una potencia. Integral de tabla.

du = csc2 x dx

# # ◆4 z }| Z ✓z }| { Z { 4 2 2 cot x csc x dx = cot x csc x dx = u4 (

"

du) =

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Luego,

Z

Ejemplo 218 : Integre

Z

cot4 x csc2 x dx =

Z

z }| { Z u4 du = | {z } n

u du =

u5 +C = 5

un+1 +C n+1

con

cot5 x + C. 5

n=4

cot5 x + C. 5 F

cot7 x csc2 x dx.

Solución : Se observa que la derivada de la función y = cot x está presente en el integrando, salvo una constante, eso sugiere el cambio de variable Cálculo del

u = cot x

diferencial

!

csc2 x dx

du =

du = csc2 x dx,

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = cot x

Z

Diferencial

# # ◆7 z }| Z ✓z }| { Z { 2 cot x csc x dx = cot x csc x dx = u7 ( 7

Integral de una potencia. Integral de tabla.

du = csc2 x dx

2

Última actualizacón: Julio 2013

"

du) =

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Farith J. Briceño N.

Z

zZ }| { u7 du = | {z } n

u du =

u8 +C = 8

un+1 +C n+1

con

cot8 x + C. 8

n=7

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Luego,

Z

Ejemplo 219 : Integre

Z

234

cot8 x + C. 8

cot7 x csc2 x dx =

F

cot6 x csc6 x dx.

Solución : Como la potencia de la cosecante es par, la integral se escribe como Potencia par. Tomar un término csc2 x.

Z

Z # cot6 x csc6 x dx = cot6 x csc4 x csc2 x dx, "

Futuro diferencial, salvo una constante negativa.

si el diferencial de la nueva integral será csc2 x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cot x, así, cabe la pregunta Z Z 6 6 4 2 cot x csc x dx = cot6 x csc | {z x} csc x dx, "

¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica por lo que, Z

cot6 x csc4 x csc2 x dx =

Z

1 + cot2 x = csc2 x,

cot6 x

⇣

Z ⌘2 2 2 csc x csc x dx = cot6 x 1 + cot2 x | {z } "

2

csc2 x dx.

1 + cot2 x = csc2 x

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cotangente y su correspondiente derivada, la función cosecante al cuadrado, salvo una constante negativa, así, se propone el cambio de variable u = cot x

Cálculo del diferencial

!

du =

csc2 x dx

du = csc2 x dx,

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z cot6 x csc4 x csc2 x dx = cot6 x 1 + cot2 x Cambio u = cot x

# ◆6 Z ✓z }| { = cot x

Última actualizacón: Julio 2013

Cambio u = cot x

2

csc2 x dx

Diferencial du = csc2 x dx

# # ◆2 !2 z }| ✓z }| { Z { 2 1 + cot x csc x dx = u6

1 + u2

2

(

"

du) =

Z

u6

1 + u2

2

du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

=

Z

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Z

u6

1 + 2u2 + u4

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

Z

du =

# du =

u6 + 2u8 + u10

235

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

✓Z

u6 du +

◆ Z # Z 2u8 du + u10 du

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

=

# & 0z }|. { zZ }| { zZ }| {1 Z @ u6 du +2 u8 du + u10 duA = | {z } | {z } | {z }

n

u du =

un+1 +C n+1

cot7 x 7

n = 6,

2 cot9 x 9

Luego,

Z

Ejemplo 220 : Integre

con

Z

✓

u7 2u9 u11 + + 7 9 11

◆

+C =

u7 7

2u9 9

u11 +C 11

n = 8 y n = 10

cot11 x + C. 11

cot6 x csc6 x dx =

cot7 x 7

2 cot9 x 9

cot11 x + C. 11 F

cot3 x csc8 x dx.

Solución : Como la potencia de la cosecante es par, la integral se escribe como Potencia par. Tomar un término csc2 x.

Z

Z # cot3 x csc8 x dx = cot3 x csc6 x csc2 x dx, "

Futuro diferencial, salvo una constante negativa.

si el diferencial de la nueva integral será csc2 x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cot x, así, cabe la pregunta Z Z 6 2 cot3 x csc8 x dx = cot3 x csc | {z x} csc x dx, "

¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica por lo que, Z

cot3 x csc6 x csc2 x dx =

Z

1 + cot2 x = csc2 x,

cot3 x

⇣

Z ⌘2 3 2 csc x csc x dx = cot3 x 1 + cot2 x | {z } "

3

csc2 x dx.

1 + cot2 x = csc2 x

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

236

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cotangente y su correspondiente derivada, la función cosecante al cuadrado, salvo una constante negativa, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = cot x

diferencial

!

csc2 x dx

du =

du = csc2 x dx,

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = cot x

Z

3

6

2

cot x csc x csc x dx =

Z

3

3

2

cot x 1 + cot x

Diferencial

Cambio u = cot x

du = csc2 x dx

# # ◆2 !3 z }| ✓z }| { { 2 1 + cot x csc x dx

# ◆3 Z ✓z }| { csc x dx = cot x 2

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

=

=

Z

u3

Z

Z

3

1 + u2

(

#

du) =

Z

3

5

7

u + 3u + 3u + u

9

Luego,

✓Z

# du =

3

Z

du =

u3

u5 5

n

u du =

u6 2 Z

un+1 +C n+1

3u8 8

con

1 + 3u2 + 3u4 + u6

du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

◆ Z # Z # Z 5 7 9 u du + 3u du + 3u du + u du 3

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

0z }| { zZ }| { zZ }| { zZ }| {1 Z @ u3 du + 3 u5 du + 3 u7 du + u9 duA = | {z } | {z } | {z } | {z } Z

=

1 + u2

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

=

u3

n = 3,

u10 +C = 10

cot3 x csc8 x dx =

n = 5,

u4 u6 u8 u10 +3 +3 + 4 6 8 10

◆

+C

n=7 y n=9

cot5 x 5 cot5 x 5

✓

cot6 x 2 cot6 x 2

3 cot8 x 8 3 cot8 x 8

cot10 x + C. 10 cot10 x + C. 10

Otra manera de obtener la familia de primitiva de la función f (x) = cot3 x csc8 x, es, en virtud que la potencia de la cotangente es impar, escribir la integral como Potencia impar. Tomar un término cot x csc x.

Z

Z # 3 8 cot x csc x dx = cot2 x csc7 x cot x csc x dx "

Futuro diferencial.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

237

si el diferencial de la nueva integral será cot x csc x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable que se debe proponer es csc x, así, cabe la pregunta ¿Qué hacer con este término?

Z por la identidad trigonométrica

# Z z }| { cot3 x csc8 x dx = cot2 x csc7 x cot x csc x dx,

1 + cot2 x = csc2 x,

cot2 x = csc2 x

se tiene que

1,

así, cot2 x = csc2 x

Z

1

# Z z }| Z { cot x csc x dx = cot2 x csc7 x cot x csc x dx = 3

8

csc2 x

1 csc7 x cot x csc x dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo una constante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = csc x

diferencial

!

du =

cot x csc x dx

=)

du = cot x csc x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Z

Entonces, la integral queda Z Z cot3 x csc8 x dx = cot2 x csc7 x cot x csc x dx = Cambio u = csc x

Z ✓⇣ # ⌘ 2 z }| { = csc x

Z

Cambio u = csc x

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

=

u9

Luego,

Última actualizacón: Julio 2013

u7

# du =

u

2

7

1 u (

"

du) =

Z

u2

1 u7 du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

0z }| { Z @ u9 du | {z }

zZ }| {1 u7 duA = | {z }

Z

u du =

Z

cot3 x csc8 x dx =

n

1 csc7 x cot x csc x dx

Diferencial du = cot x csc x dx

# ◆⇣ # ⌘ z }| { Z z }| { 7 1 csc x cot x csc x dx =

(f (x) + g (x)) dx =

Z

csc2 x

un+1 +C n+1

con

n = 9,

u10 u8 + +C = 10 8

csc10 x csc8 x + + C. 10 8

y n=7

csc10 x csc8 x + + C. 10 8 F

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Z

Ejemplo 221 : Integre

238

cot9 x csc6 x dx.

Solución : Puesto que, la potencia de la cotangente es impar, se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término cot x csc x.

Z

Z # cot9 x csc6 x dx = cot8 x csc5 x cot x csc x dx "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será cot x csc x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable que se debe proponer es csc x, así, cabe la pregunta ¿Qué hacer con este término?

Z por la identidad trigonométrica

# Z z }| { cot9 x csc6 x dx = cot8 x csc5 x cot x csc x dx,

1 + cot2 x = csc2 x,

cot2 x = csc2 x

se tiene que

1,

así, tan2 x = sec2 x

Z

cot9 x csc6 x dx =

1

# ! Z z }| { 4 2 5 cot x csc x cot x csc x dx =

Z

csc2 x

1

4

csc5 x cot x csc x dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo una constante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = csc x

diferencial

!

du =

cot x csc x dx

=)

du = cot x csc x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z cot9 x csc6 x dx = cot2 x Cambio u = csc x

Z ✓⇣ # ⌘ 2 z }| { = csc x

=

Z

u8

Última actualizacón: Julio 2013

4

csc5 x cot x csc x dx =

Cambio u = csc x

Z

csc2 x

4

csc5 x cot x csc x dx

Diferencial du = cot x csc x dx

# ◆4 ⇣ # ⌘ z }| { Z z }| { 5 1 csc x cot x csc x dx =

4u6 + 6u4

1

4u2 + 1 u5 du =

Z

u2

1

4

u5 (

"

Z

u2

4u7 + u5

du

du) =

1

4

u5 du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

u13

Farith J. Briceño N.

4u11 + 6u9

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Z

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

✓Z

# =

u

13

Z

du

4u "

11

du +

Z

Z

9

6u du "

7

4u du + "

Z

5

u du

239

◆

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

# 0z }| { Z 13 @ u du | {z } -

=

Z

Luego,

n

. zZ }| { 4 u11 du + 6 u9 du | {z } | {z } " " zZ

u du =

un+1 +C n+1

=

✓

=

csc14 x csc12 x + 14 3

Z

u14 14

4

# }|

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

con

u12 u10 +6 12 10

cot9 x csc6 x dx =

{

4

n = 13,

u8 u6 + 8 6

n = 11,

◆

3 csc8 x csc10 x + 5 2 csc14 x csc12 x + 14 3

# & zZ }| { zZ }| {1 4 u7 du + u5 duA | {z } | {z } " %

n = 9,

+C =

n=7 y n=5

u14 u12 + 14 3

3

u10 u8 + 5 2

u6 +C 6

csc6 x + C. 6 3 csc8 x csc10 x + 5 2

csc6 x + C. 6 F

Ejemplo 222 : Integre

Z

cot5 x csc5 x dx.

Solución : Como la potencia de la cotangente es impar, se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término cot x csc x.

Z

Z # cot5 x csc5 x dx = cot4 x csc4 x cot x csc x dx "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será cot x csc x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable que se debe proponer es csc x, así, cabe la pregunta ¿Qué hacer con este término?

Z por la identidad trigonométrica

# Z z }| { cot5 x csc5 x dx = cot4 x csc4 x cot x csc x dx,

1 + cot2 x = csc2 x,

Última actualizacón: Julio 2013

se tiene que

Farith J. Briceño N.

cot2 x = csc2 x

1,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

240

así, cot2 x = csc2 x

Z

5

5

cot x csc x dx =

1

# ! Z z }| { 2 cot2 x csc4 x cot x csc x dx =

Z

csc2 x

1

2

csc4 x cot x csc x dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo una constante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = csc x

diferencial

!

du =

cot x csc x dx

=)

du = cot x csc x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Z

Entonces, la integral queda Z 5 5 cot x csc x dx = cot2 x

2

Cambio u = csc x

Z

u4

csc x cot x csc x dx =

Z

csc2 x

# ◆2 ⇣ # ⌘ z }| { Z z }| { 4 1 csc x cot x csc x dx =

Z

2u2 + 1 u4 du = Z

2

1

csc4 x cot x csc x dx

Diferencial du = cot x csc x dx

Cambio u = csc x

Z ✓⇣ # ⌘ 2 z }| { = csc x

=

4

u8

2u6 + u4

u

2

1

2

4

u (

"

Z

du) =

u2

1

2

u4 du

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

✓Z

du = "

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

u8 du

Z

2u6 du + "

Z

u4 du

◆

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

(f (x) + g (x)) dx =

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

=

0z }|. { Z @ u8 du | {z } n

u du =

un+1 +C n+1

u9 2u7 + 9 7

Luego,

Ejemplo 223 : Integre

# & zZ }| { zZ }| {1 2 u6 du + u4 duA = | {z } | {z }

u5 +C = 5 Z

Z

con

✓

u9 9

2

u7 u5 + 7 5

◆

+C

n=6 y n=4

n = 8,

csc9 x 2 csc7 x + 9 7

cot5 x csc5 x dx =

csc5 x + C. 5

csc9 x 2 csc7 x + 9 7

csc5 x + C. 5 F

cot5 x csc1/5 x dx.

Solución : Como la potencia de la cotangente es impar, entonces se debe tomar un término cot x csc x y transformar los demás términos en cosecante, pero se observa que el término csc x que se necesita no aparece, así, Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

241

se multiplica y se divide, el integrando, por csc x y se obtiene Z Z Z 1 5 1/5 5 1/5 cot x csc x dx = cot x csc x csc x dx = cot5 x csc csc x

4/5

x csc x dx,

de aquí, Potencia impar. Tomar un término cot x csc x.

Z

Z # 5 1/5 cot x csc x dx = cot4 x csc

4/5

x cot x csc x dx " Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será cot x csc x dx, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable que se debe proponer es csc x, así, cabe la pregunta ¿Qué hacer con este término?

Z

5

cot x csc

1/5

por la identidad trigonométrica

# Z z }| { x dx = cot4 x csc

1 + cot2 x = csc2 x,

4/5

x cot x csc x dx,

cot2 x = csc2 x

se tiene que

1,

así, cot2 x = csc2 x

Z

5

cot x csc

1/5

x dx =

1

# ! z }| { 2 cot2 x csc

Z

4/5

x cot x csc x dx =

Z

csc2 x

1

2

csc

4/5

x cot x csc x dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo una constante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = csc x

diferencial

!

du =

cot x csc x dx

=)

du = cot x csc x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = csc x

Z

5

cot x csc

1/5

x dx =

Z

4

cot x csc

4/5

Diferencial du = cot x csc x dx

Cambio u = csc x

Z ✓⇣ # ⌘ 2 z }| { x cot x csc x dx = csc x

◆2 ⇣ # ⌘ z }| { 1 csc x

4/5

# z }| { cot x csc x dx

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

=

Z

u2

Última actualizacón: Julio 2013

1

2

u

4/5

(

#

du) =

Z

u2

1

2

u

4/5

Farith J. Briceño N.

du =

Z

u4

2u2 + 1 u

4/5

du

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Z ⇣

=

Z

u

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

16/5

2u

6/5

4/5

+u

⌘

# du =

✓Z

& }|

{

u

242

16/5

Z # Z 6/5 2u du + u

du

4/5

du

◆

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

n

zZ

# }|

con

n=

{

zZ

u16/5 du 2 u6/5 du + u 4/5 du = | {z } | {z } | {z }

u du =

= Luego,

. }| {

zZ

Z

un+1 +C n+1

5 21/5 u 21

16 , 5

Ejemplo 224 : Integre

6 y n= 5

2

5 csc21/5 x 21

u11/5 u1/5 + +C 11 1 5 5

4 5

10 11/5 5 u + 5u1/5 + C = csc21/5 x 11 21

cot5 x csc1/5 x dx = Z

n=

u21/5 21 5

10 csc11/5 x + 5 csc1/5 x + C. 11

10 csc11/5 x + 5 csc1/5 x + C. 11 F

cot3

⇣x⌘ 2

dx.

Solución : Se propone el cambio de variable u=

Cálculo del

x 2

diferencial

!

du =

1 dx 2

=)

2 du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio x u= 2

Z

cot3

Diferencial 2 du = dx

#⌘ # Z Z ⇣x dx = cot3 u (2 du) = 2 cot3 u du 2 " Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Como la potencia de la cotangente es impar, entonces se debe tomar un término cot u csc u y transformar los demás términos en cosecante, pero se observa que el término csc u que se necesita no aparece en el integrando, así, se multiplica y se divide, dicho integrando, por csc u y se obtiene Z Z Z 1 1 cot3 u du = cot3 u csc u du = cot2 u (csc u) cot u csc u du, csc u 1

se debe ser cuidadoso con el término (csc u) , que aparece en la última integral de la igualdad anterior, ya que, dicho término representa el inverso multiplicativo de la función f (u) = csc u y no su función inversa. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

243

Así, se tiene Potencia impar. Tomar un término cot u csc u.

Z

Z # cot3 u du = cot2 u (csc u)

1

cot u csc u du "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será cot u csc u du, salvo una constante negativa, entonces el cambio de variable que se debe proponer es csc u, así, cabe la pregunta ¿Qué hacer con este término?

# Z z }| { cot3 u du = cot2 u (csc u)

Z por la identidad trigonométrica

1 + cot2 u = csc2 u,

1

cot u csc u du,

cot2 u = csc2 u

se tiene que

1,

así, cot2 u = csc2 u

Z

1

# Z z }| { cot3 u du = cot2 u (csc u)

1

cot u csc u du =

Z

csc2 u

1

1 (csc u)

cot u csc u du.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cosecante y su correspondiente derivada salvo una constante negativa, la función cotangente por cosecante, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

z = csc u

diferencial

!

dz =

cot u csc u du

=)

dz = cot u csc u du,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio z = csc u

Z

3

cot u du =

Z

2

cot u (csc u)

1

Z ✓⇣ # ⌘ 2 z }| { cot u csc u du = csc u

◆ ⇣ # ⌘ z }| { 1 csc u

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

=

Z

z2

1 z

1

(

#

Z

dz) = Z

=

✓

z2 2

Última actualizacón: Julio 2013

◆ ln |z| + C =

z2

Diferencial dz = cot u csc u du

Cambio z = csc u

# z }| { cot u csc u du

1

Integral de una potencia. Integral de tabla.

1 z

1

dz =

Z

z

z

1

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

(f (x) + g (x)) dx =

z2 + ln |z| + C = 2

dz = % Z

n

0z }| { Z @ z dz | {z }

z dz =

Logaritmo natural.

zZ

z n+1 +C n+1

}|

z

con

1

{1 dz A n=1

csc2 u + ln |csc u| + C, 2

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

por lo que,

como, u =

Luego,

x , se tiene 2  Z ⇣x⌘ cot3 dx = 2 2 Z Z

Ejemplo 225 : Integre

Z

cot3 u du =

csc2 u + ln |csc u| + C, 2

⇣x⌘ ⇣x⌘ 1 csc2 + ln csc 2 2 2 cot3

⇣x⌘ 2

csc2

dx =

244

⇣x⌘ 2

⇣x⌘

+C =

csc2

+ 2 ln csc

⇣x⌘ 2

2

+ 2 ln csc

⇣x⌘ 2

+ C.

+ C. F

cot6 (3x) dx.

Solución : Como no hay término cosecante y la potencia de la cotangente es par, se escribe la integral como Z Z 6 cot (3x) dx = cot4 (3x) cot2 (3x) dx, por la identidad trigonométrica 1 + cot2 (·) = csc2 (·) ,

cot2 (·) = csc2 (·)

se tiene que

1,

así, cot2 (3x) = csc2 (3x)

Z

cot6 (3x) dx =

=

Z

Z

1

# Z z }| { 4 2 cot (3x) cot (3x) dx = cot4 (3x) csc2 (3x) cot4 (3x) csc2 (3x)

cot4 (3x) dx = " Z

Z

1 dx

cot4 (3x) csc2 (3x) dx

Z

cot4 (3x) dx.

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

(f (x) + g (x)) dx =

Se resuelven cada una de las nuevas integrales. Para la primera integral, se observa que la derivada de la función f (x) = cot (3x), salvo una constante, está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable u = cot (3x)

Cálculo del diferencial

!

du =

3 csc2 (3x) dx

du = csc2 (3x) dx, 3

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda

Cambio u = cot (3x)

Z

Diferencial du = csc2 (3x) dx 3

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

# # ◆4 ✓ Z ✓z }| z }| { Z { 4 2 2 cot (3x) csc (3x) dx = cot (3x) csc (3x) dx = u4

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

du 3

◆

=

Z

# z✓ }| ◆{ 1 u4 du 3 [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

245

Integral de una potencia. Integral de tabla.

= Z

es decir,

Para la segunda integral,

Z

Z

1 3

n

u du =

z }| { Z u4 du = | {z } un+1 +C n+1

cot5 (3x) + C1 , 15

1 u5 + C1 = 3 5

con

n=4

cot5 (3x) + C1 . 15

cot4 (3x) csc2 (3x) dx =

cot4 (3x) dx. se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonométrica

1 + cot2 (·) = csc2 (·) ,

cot2 (·) = csc2 (·)

se tiene que

1,

y se escribe la integral como cot2 (3x) = csc2 (3x)

Z

4

cot (3x) dx = =

Z

Z

# Z z }| { 2 cot (3x) cot (3x) dx = cot2 (3x) csc2 (3x) 2

2

2

2

cot (3x) csc (3x)

cot (3x) dx = "

Z

Para obtener

Z

1

Z

1 dx

2

2

cot (3x) csc (3x) dx

Z

cot2 (3x) dx.

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

cot2 (3x) csc2 (3x) dx, se observa que la derivada de la función f (x) = cot (3x), salvo una

constante, está presente en el integrando, eso sugiere el cambio de variable u = cot (3x)

Cálculo del diferencial

!

du =

3 csc2 (3x) dx

du = csc2 (3x) dx, 3

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda

Cambio u = cot (3x)

Z

Diferencial du = csc2 (3x) dx 3

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

# # ◆2 ✓ Z ✓z }| z }| { Z { 2 2 2 2 cot (3x) csc (3x) dx = cot (3x) csc (3x) dx = u

du 3

◆

=

Z

# z✓ }| ◆{ 1 u2 du 3

Integral de una potencia. Integral de tabla.

= Z

Última actualizacón: Julio 2013

n

1 3

u du =

zZ }| { u2 du = | {z } un+1 +C n+1

Farith J. Briceño N.

con

1 u3 + C1 = 3 3

cot3 (3x) + C2 , 9

n=2

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

es decir,

Z

246

cot3 (3x) + C2 . 9

cot2 (3x) csc2 (3x) dx =

Para obtener la familia de primitiva de la función f (x) = cot2 (3x), se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonométrica 1 + cot2 (·) = csc2 (·) , y se escribe la integral como Z Z cot2 (3x) dx =

csc2 (3x) Z

Para la expresión

Z

cot2 (·) = csc2 (·)

se tiene que

1 dx = "

Z

csc2 (3x) dx

Z

1,

dx,

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

csc2 (3x) dx, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = 3x

diferencial

!

du = 3 dx

du = dx, 3

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial du = dx 3

Cambio u = 3x

Z

# # Z z}|{ z}|{ Z du 1 csc (3x) dx = csc2 u = csc2 u du = 3 3 " 2

1 cot u + C3 = 3

1 cot (3x) + C3 , 3

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

es decir,

Z

Por otra parte,

Z

con lo que,

así, Z

cot4 (3x) dx =

csc2 (3x) dx =

Z Z

2

cot (3x) dx =

Z

2

dx = x + C4 ,

csc (3x) dx

cot2 (3x) csc2 (3x) dx

Z

1 cot (3x) + C3 . 3

Z

dx =

cot2 (3x) dx =

1 cot (3x) 3 cot3 (3x) 9 =

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

x + C5 . ✓

1 cot (3x) 3

◆ x + C6

cot3 (3x) 1 + cot (3x) + x + C6 . 9 3 [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Entonces, Z Z 6 cot (3x) dx = cot4 (3x) csc2 (3x) dx =

cot5 (3x) 15

✓

Z

cot4 (3x) dx ◆ cot3 (3x) 1 + cot (3x) + x + C 9 3 cot5 (3x) cot3 (3x) + 15 9

= Luego,

Z

Ejemplo 226 : Integre

cot5 (3x) cot3 (3x) + 15 9

cot6 (3x) dx =

247

cot (3x) 3

cot (3x) 3

x + C.

x + C. F

Z

sec4 x tan x p dx. 4 tan2 x

Solución : Se propone el cambio de variable u2 = 4

Cálculo del

tan2 x

diferencial

2u du = 2 tan x sec2 x dx

!

u du = tan x sec2 x dx,

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Como u2 = 4 entonces

sec2 x = tan2 x + 1

Z

sec4 x tan x p dx = 4 tan2 x =

Z

4

p =5 4

=

✓

5

Z

Z

4

tan2 x

u2 + 1 p u du = u2

sec2 x tan x dx =

Z

Z

Z

u2

5 u

u du =

u2

# z }| { tan2 x +1 p sec2 x tan x dx 4 tan2 x u2

5

du = 5u

u3 +C 3

⌘3 p p 1 ⇣p 1 4 tan2 x + C = 5 4 tan2 x 4 tan2 x 4 tan2 x + C 3 3 ◆ ✓ ◆ p p 4 1 11 1 + tan2 x 4 tan2 x + C = + tan2 x 4 tan2 x + C. 3 3 3 3 tan2 x

Luego,

Ejemplo 227 : Integre

p

# z }| { sec2 x

tan2 x,

tan2 x = 4

Z Z

sec4 x tan x p dx = 4 tan2 x

1

✓

11 1 + tan2 x 3 3

◆ p

4

tan2 x + C. F

dx . cos x

Solución : Al aplicar la conjugada trigonométrica, se tiene Z Z Z Z Z dx 1 (1 + cos x) 1 + cos x 1 + cos x dx cos x = dx = dx = dx = + dx, 1 cos x (1 cos x) (1 + cos x) 1 cos2 x sen2 x sen2 x sen2 x

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

donde,

Z

dx = sen2 x

mientras que, para resolver la segunda integral,

Z

csc2 x dx =

Z

cot x + C1 ,

cos x dx, se propone el cambio de variable sen2 x

Cálculo del

u = sen x

248

diferencial

!

du = cos x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda

Z

como u = sen x, se tiene que

cos x dx = sen2 x

Z

Por lo tanto,

cos x dx = sen2 x Z

Ejemplo 228 : Integre

Z

Z

du = u2

u

2

du =

1 + C2 = sen x

dx = cos x

1

Z

cot x

1 + C2 , u

csc x + C2 .

csc x + C. F

dx . sen x cos2 x

Solución : Es conocido que

sen2 x + cos2 x = 1

se escribe la integral como Z Z Z Z Z Z dx sen2 x + cos2 x sen2 x cos2 x sen x dx = dx = dx + dx = dx + . sen x cos2 x sen x cos2 x sen x cos2 x sen x cos2 x cos2 x sen x Para la primera integral se propone el cambio de variable Cálculo del

u = cos x

diferencial

!

du =

sen x dx

=)

du = sen x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z sen x dx = cos2 x

es decir,

mientras que,

Luego,

Última actualizacón: Julio 2013

Z

du = u2 Z

1 dx = sen x Z

Z

u

2

du =

1 1 + C1 = + C1 = sec x + C1 , u cos x

sen x dx = sec x + C1 , cos2 x Z

csc x dx = ln |csc x

dx = sec x + ln |csc x sen x cos2 x

cot x| + C2 .

cot x| + C. F

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Z

Ejemplo 229 : Integre

249

sen (mx) sen (nx) dx con m 6= n.

Solución : Es conocido que cos (m + n) x = cos (mx) cos (nx)

sen (mx) sen (mx)

y cos (m entonces

( 1)

(

n) x = cos (mx) cos (nx) + sen (mx) sen (mx) ,

cos (m + n) x = cos (mx) cos (nx) cos (m

n) x = cos (mx) cos (nx) + sen (mx) sen (mx)

cos (m n) x de aquí, se obtiene la identidad trigonométrica

cos (m + n) x = 2 sen (mx) sen (mx)

sen (mx) sen (mx) = por lo que Z Z cos (m sen (mx) sen (nx) dx = 1 = 2

sen (mx) sen (mx)

cos (m

n) x

cos (m + n) x 2

Z 1 dx = (cos (m n) x 2 2 ◆ Z Z 1 cos (m + n) x dx = cos (m n) x dx 2

n) x

cos (m + n) x

✓Z

cos (m

n) x dx

Z

cos (m

n) x dx, se propone el cambio de variable

Para la integral

u = (m

n) x

(2)

,

Cálculo del diferencial

!

du = (m

n) dx

=)

cos (m + n) x) dx 1 2

Z

cos (m + n) x dx

du = dx, m n

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z cos (m n) x dx = cos u Para la integral

Z

du 1 = m n m n

Z

cos u du =

1 m

n

sen u + C1 =

sen (m n) x + C1 . m n

cos (m + n) x dx, se propone el cambio de variable

u = (m + n) x

Cálculo del diferencial

!

du = (m + n) dx

=)

du = dx, m+n

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z cos (m + n) x dx = cos u

du 1 = m+n m+n

Finalmente, Z Z 1 sen (mx) sen (nx) dx = cos (m 2 =

1 2

✓

sen (m n) x + C1 m n

Última actualizacón: Julio 2013

n) x dx ◆

1 2

✓

Z

cos u du =

1 2

Z

1 sen (m + n) x sen u + C2 = + C2 . m+n m+n

cos (m + n) x dx

sen (m + n) x + C2 m+n

Farith J. Briceño N.

◆

=

sen (m 2 (m

n) x n)

sen (m + n) x + C. 2 (m + n)

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Luego,

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Z

sen (mx) sen (nx) dx =

n) x n)

sen (m + n) x + C. 2 (m + n) F

Z

Ejemplo 230 : Integre

sen (m 2 (m

250

sen

⇣x⌘

sen (4x) dx.

2

Solución : En el ejemplo 184 se obtuvo la familia de primitivas de la integral por medio del método de integración por partes Z ⇣x⌘ ⇣x⌘ ⇣x⌘ 16 2 sen sen (4x) dx = sen cos (4x) + cos sen (4x) + C. 2 63 2 63 2 Ahora resolvemos la integral usando la identidad trigonométrica dada en la ecuación (2) sen (mx) sen (mx) = con m =

1 y n = 4, así, 2 ✓ ✓ ⇣x⌘ 1 1 sen sen (4x) = cos 2 2 2

◆ 4 x

cos (m

n) x

cos (m + n) x 2

cos

✓

,

◆ ◆ ✓ ✓ ◆ 1 1 7x +4 x = cos 2 2 2

cos

✓

9x 2

◆◆

,

como la función coseno es una función par, entonces sen

⇣x⌘ 2

1 sen (4x) = 2

La integral se escribe ✓ ✓ ◆ Z Z ⇣x⌘ 1 7x sen sen (4x) dx = cos 2 2 2 =

Para la integral

Z

cos

u=

1 2

✓

✓Z

7x 2

◆

cos

✓

7x 2

◆

dx

cos Z

cos

✓

cos

9x 2

✓

✓

7x 2

◆◆

9x 2

◆

◆

cos

1 dx = 2

dx

◆

=

✓

9x 2

Z ✓

1 2

Z

◆◆

cos

cos

.

✓

✓

◆

cos

◆

1 2

7x 2

7x 2

dx

✓

9x 2

Z

◆◆

cos

dx

✓

9x 2

◆

dx

dx, se propone el cambio de variable Cálculo del

7x 2

✓

diferencial

!

du =

7 dx 2

=)

2 du = dx, 7

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda ✓ ◆ ✓ ◆ Z Z Z 7x 2 du 2 2 2 7x cos dx = cos u = cos u du = sen u + C1 = sen + C1 . 2 7 7 7 7 2 Para la integral

Z

cos

u=

Última actualizacón: Julio 2013

✓

9x 2

9x 2

◆

dx, se propone el cambio de variable Cálculo del diferencial

!

du =

9 dx 2

Farith J. Briceño N.

=)

2 du = dx, 9 [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

251

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda ✓ ◆ ✓ ◆ Z Z Z 2 du 2 2 2 9x 9x cos dx = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen + C2 . 2 9 9 9 9 2 Finalmente, ✓ ◆ Z Z ⇣x⌘ 1 7x sen sen (4x) dx = cos dx 2 2 2 =

1 2

✓

2 sen 7

Luego,

Ejemplo 231 : Integre

✓

7x 2

◆

+ C1

◆

1 2

1 2

✓

2 sen 9

Z

sen

Z

cos2 (5x) cos3 (2x) dx.

⇣x⌘ 2

Z

sen (4x) dx =

cos ✓

1 sen 7

✓

9x 2 ✓

9x 2

◆

7x 2

◆

dx

+ C2 ◆

◆

=

1 sen 7

1 sen 9

✓

9x 2

✓

◆

7x 2

◆

1 sen 9

✓

9x 2

◆

+ C.

+ C. F

Solución : Escribimos la integral como Z Z Z 2 cos2 (5x) cos3 (2x) dx = cos2 (5x) cos2 (2x) cos (2x) dx = (cos (5x) cos (2x)) cos (2x) dx Es conocido que

cos x cos y =

cos (x + y) + cos (x 2

y)

,

por lo tanto, cos (mx) cos (nx) =

cos (mx + nx) + cos (mx 2

nx)

=

cos ((m + n) x) + cos ((m 2

n) x)

,

así Identidad trigonométrica cos (mx) cos (nx) =

cos ((m + n) x) + cos ((m 2

n) x)

con m = 5 y n = 2

# ✓z ✓ ◆2 2 }| {◆2 cos (7x) + cos (3x) (cos (7x) + cos (3x)) cos (5x) cos (2x) cos (2x) = cos (2x) = cos (2x) 2 4 Identidad trigonométrica cos (mx) cos (nx) =

cos ((m + n) x) + cos ((m 2

n) x)

con m = 7 y n = 3

1 = 4

✓

# ◆ z }| { 2 cos (7x) +2 cos (7x) cos (3x) + cos (3x) cos (2x) | {z } | {z } " " 2

Identidad trigonométrica

Identidad trigonométrica

1 + cos (2ax) cos (ax) = 2

cos2 (ax) =

2

con a = 7

Última actualizacón: Julio 2013

1 + cos (2ax) 2

con a = 3

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 9.

=

=

=

=

=

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

252

◆ 1 + cos (14x) cos (10x) + cos (4x) 1 + cos (6x) +2 + cos (2x) 2 2 2 ✓ ◆ 1 1 cos (14x) 1 cos (6x) + + cos (10x) + cos (4x) + + cos (2x) 4 2 2 2 2 ✓ ◆ 1 cos (14x) cos (6x) 1+ + cos (10x) + cos (4x) + cos (2x) 4 2 2 ✓ ◆ 1 cos (14x) cos (6x) 1+ + cos (10x) + cos (4x) + cos (2x) 4 2 2 ✓ ◆ 1 cos (14x) cos (6x) 1+ + cos (10x) + cos (4x) + cos (2x) 4 2 2 1 4

✓

Identidad trigonométrica

Identidad trigonométrica

cos ((m + n) x) + cos ((m 2

cos (mx) cos (nx) =

n) x)

cos (mx) cos (nx) =

con m = 14 y n = 2

1 = 4

✓

# # }| { }| {◆ 1z 1z cos (2x) + cos (14x) cos (2x) + cos (10x) cos (2x) + cos (4x) cos (2x) + cos (6x) cos (2x) | {z } | {z } 2 2 " "

cos ((m + n) x) + cos ((m cos (mx) cos (nx) = 2

Identidad trigonométrica

n) x)

cos (mx) cos (nx) =

con m = 10 y n = 2

✓

n) x)

con m = 6 y n = 2

Identidad trigonométrica

1 = 4

cos ((m + n) x) + cos ((m 2

cos (2x) +

cos ((m + n) x) + cos ((m 2

n) x)

con m = 4 y n = 2

1 cos (16x) + cos (12x) cos (12x) + cos (8x) cos (6x) + cos (2x) + + 2 2 2 2 1 cos (8x) + cos (4x) + 2 2

=

1 cos (16x) + cos (12x) cos (12x) + cos (8x) cos (6x) + cos (2x) cos (2x) + + + 4 16 8 8 +

=

cos (8x) + cos (4x) 16

cos (2x) cos (16x) cos (12x) cos (12x) cos (8x) cos (6x) cos (2x) cos (8x) + + + + + + + 4 16 16 8 8 8 8 16 +

=

◆

cos (4x) 16

3 1 3 1 3 1 cos (2x) + cos (16x) + cos (12x) + cos (6x) + cos (8x) + cos (4x) , 8 16 16 8 16 16

es decir, 2

(cos (5x) cos (2x)) cos (2x) =

3 1 3 1 3 1 cos (2x) + cos (16x) + cos (12x) + cos (6x) + cos (8x) + cos (4x) . 8 16 16 8 16 16

Integrando ◆ Z Z ✓ 3 cos (16x) 3 cos (6x) 3 cos (4x) cos2 (5x) cos3 (2x) dx = cos (2x) + + cos (12x) + + cos (8x) + dx 8 16 16 8 16 16 Última actualizacón: Julio 2013

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=

Z

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

3 cos (2x) dx + 8

Z

cos (16x) dx + 16

Z

3 cos (12x) dx + 16 +

=

3 8

Z

cos (2x) dx +

1 16

Z

cos (16x) dx +

3 16

Z

Z

Z

cos (6x) dx 8

3 cos (8x) dx + 16

cos (12x) dx +

+

3 16

253

Z

1 8

Z

Z

cos (4x) dx 16

cos (6x) dx

cos (8x) dx +

1 16

Z

cos (4x) dx

Resolvemos cada una de las integrales. Z • Para la integral cos (2x) dx, se propone el cambio de variable u = 2x

Cálculo del diferencial

!

du = 2 dx

=)

du = dx, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (2x) dx = cos u = cos u du = sen u + C1 = sen (2x) + C1 . 2 2 2 2 • Para la integral

Z

cos (16x) dx, se propone el cambio de variable

u = 16x

Cálculo del diferencial

!

du = 16 dx

=)

du = dx, 16

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (16x) dx = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (16x) + C2 . 16 16 16 16 • Para la integral

Z

cos (12x) dx, se propone el cambio de variable

u = 12x

Cálculo del diferencial

!

du = 12 dx

=)

du = dx, 12

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (12x) dx = cos u = cos u du = sen u + C3 = sen (12x) + C3 . 12 12 12 12

Última actualizacón: Julio 2013

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• Para la integral

Z

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

254

cos (6x) dx, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = 6x

diferencial

!

du = 6 dx

=)

du = dx, 6

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (6x) dx = cos u = cos u du = sen u + C4 = sen (6x) + C4 . 6 6 6 6 • Para la integral

Z

cos (8x) dx, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = 8x

diferencial

!

du = 8 dx

=)

du = dx, 8

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (8x) dx = cos u = cos u du = sen u + C5 = sen (8x) + C5 . 8 8 8 8 • Para la integral

Z

cos (4x) dx, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = 4x

diferencial

!

du = 4 dx

=)

du = dx, 4

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (4x) dx = cos u = cos u du = sen u + C6 = sen (4x) + C6 . 4 4 4 4 Por lo tanto, Z Z Z Z Z 3 1 3 1 cos2 (5x) cos3 (2x) dx = cos (2x) dx + cos (16x) dx + cos (12x) dx + cos (6x) dx 8 16 16 8

3 = 8

✓

1 sen (2x) + C1 2 +

=

◆

1 8

1 + 16

✓

✓

1 sen (16x) + C2 16

1 sen (6x) + C4 6

◆

+

3 16

◆

✓

+

3 16

3 + 16

✓

Z

cos (8x) dx +

1 16

1 sen (12x) + C3 12

1 sen (8x) + C5 8

◆

+

1 16

✓

◆

Z

cos (4x) dx

1 sen (4x) + C6 4

◆

3 1 1 1 3 1 sen (2x) + sen (16x) + sen (12x) + sen (6x) + sen (8x) + sen (4x) + C. 16 256 64 48 128 64

Última actualizacón: Julio 2013

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Cálculo integral - Guía 9.

donde C =

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

255

3 1 3 1 3 1 C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 . 8 16 16 8 16 16

Luego, Z 3 1 1 1 3 cos2 (5x) cos3 (2x) dx = sen (2x) + sen (16x) + sen (12x) + sen (6x) + sen (8x) 16 256 64 48 128 +

F

Z

Ejemplo 232 : Integre

sec3 x dx.

Solución : Escribimos la integral como Z

sec3 x dx =

Integramos por partes, con

Z

por la identidad trigonométrica

Z

sec x dx = sec x tan x

es decir,

despejamos Z

Z

Z

du = sec x tan x dx v = tan x.

!

sec x tan x dx = sec x tan x sec3 x dx +

Z

Z

sec x sec2 x

sec x dx = sec x tan x

sec3 x dx = sec x tan x

Z

Z

sec x tan2 x dx,

tan2 x = sec2 x

se tiene que

2

Z

= sec x tan x

!

tan x sec x tan x dx = sec x tan x

tan2 x + 1 = sec2 x,

3

sec2 x sec x dx.

Al integrar

dv = sec2 x dx La integral se transforma en Z sec3 x dx = sec x tan x

Z

Al derivar

u = sec x

así, Z

1 sen (4x) + C. 64

Z

1,

1 dx

sec3 x dx + ln |sec x + tan x| + C1 ,

sec3 x dx + ln |sec x + tan x| + C1 ,

sec3 x dx

sec3 x dx = sec x tan x =)

Z

Z

sec3 x dx + ln |sec x + tan x| + C1

sec3 x dx + =)

Z

sec3 x dx = sec x tan x + ln |sec x + tan x| + C1 2

Z

sec3 x dx = sec x tan x + ln |sec x + tan x| + C1 =)

Luego,

Última actualizacón: Julio 2013

Z

sec3 x dx =

Z

sec3 x dx =

1 1 sec x tan x + ln |sec x + tan x| + C. 2 2

1 1 sec x tan x + ln |sec x + tan x| + C. 2 2 F Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

Z

Ejemplo 233 : Calcular

256

⇡/4

x2 tan x3

sec2 x3

dx.

⇡/4

Solución : En virtud que el intervalo de integración es un intervalo simétrico, es conveniente estudiar la simetría del integrando, es decir, conocer si la función f (x) = x2 tan x3

sec2 x3

es una función par o impar. Función par

Función impar

( x)2 = x2

( x)3 =

Función impar tan ( x) = tan x

x3

# . z }| { z }| {! 2 3 f ( x) = ( x) tan ( x) sec2

Función par sec ( x) = sec x

& # # ! z }| {! z }| { z }| { 2 3 3 3 2 ( x) = x tan x sec x =

x2 tan x3 sec2 x3 =

f (x) ,

por lo tanto, el integrando es una función impar, por lo que podemos concluir que Z ⇡/4 x2 tan x3 sec2 x3 dx = 0. ⇡/4

Ejemplo 234 : Integre

Z

F senh3 x

p

cosh x dx.

Solución : Se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término seno hiperbólico.

Z

Z # p p senh3 x cosh x dx = senh2 x cosh x senh x dx, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será senh x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cosh x, así, cabe la pregunta Z Z p p 3 2 senh x cosh x dx = senh | {z x} cosh x senh x dx, " ¿Qué hacer con este término?

por la identidad hiperbólica básica cosh2 x por lo que, Z

3

senh x

p

senh2 x = 1,

cosh x dx =

Z

senh2 x = cosh2 x

entonces

2

senh | {z x} "

p

senh2 x = cosh2 x

cosh x senh x dx =

Z

cosh2 x

1

p

1,

cosh x senh x dx.

1

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno hiperbólico y su correspondiente derivada, la función seno hiperbólico, así, se propone el cambio de variable u = cosh x

Última actualizacón: Julio 2013

Cálculo del diferencial

!

Farith J. Briceño N.

du = senh x dx,

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Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

257

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = cosh x

Z

2

cosh x

p

1

cosh x senh x dx =

Cambio u = cosh x

# ◆2 ✓z }| { cosh x

Z

!✓

1

Diferencial du = senh x dx

# # z }| {◆1/2 z }| { Z cosh x senh x dx =

u2

1 u1/2 du

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

=

Z ⇣

u

5/2

u

1/2

⌘

du = "

Linealidad de la integral Z Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

=

2 cosh7/2 x 7

Luego,

Z

Ejemplo 235 : Integre

Z

zZ |

u Z

}|

{

5/2

du {z } n

u du =

zZ

u

|

}|

{

1/2

du = {z }

un+1 +C n+1

con

u7/2 7 2 n=

u3/2 2u7/2 +C = 3 7 2

2u3/2 +C 3

5 3 y n= 2 2

2 cosh3/2 x + C. 3

senh3 x

p

cosh x dx =

2 cosh7/2 x 7

2 cosh3/2 x + C. 3 F

senh4 x cosh3 x dx.

Solución : Se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término coseno hiperbólico.

Z

Z # senh4 x cosh3 x dx = senh4 x cosh2 x cosh x dx, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será cosh x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es senh x, así, cabe la pregunta Z Z 2 senh4 x cosh3 x dx = senh4 x cosh | {z x} cosh x dx, " ¿Qué hacer con este término?

por la identidad hiperbólica básica cosh2 x por lo que,

Z

4

3

senh2 x = 1,

senh x cosh x dx =

Z

cosh2 x = 1 + senh2 x,

entonces

4

2

senh x cosh | {z x} cosh x dx = "

Z

senh4 x 1 + senh2 x senh x dx.

cosh2 x = 1 + senh2 x

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

258

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función seno hiperbólico y su correspondiente derivada, la función coseno hiperbólico, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = senh x

diferencial

!

du = cosh x dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = senh x

Z

# ◆4 Z ✓z }| { senh x 1 + senh x cosh x dx = senh x 4

2

Cambio u = senh x

Diferencial du = cosh x dx

# # ◆2 ! ✓z }| { z }| { Z 1 + senh x cosh x dx = u4 1 + u2 du

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

Z

4

u +u

6

zZ }| { zZ }| { u5 u7 senh5 x senh7 x du = u4 du + u6 du = + +C = + + C. 5 7 5 7 " | {z } | {z }

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

Luego,

Z Z

Ejemplo 236 : Integre

tanh

Z

n

u du =

senh4 x cosh3 x dx =

un+1 +C n+1

con

n=4 y n=6

senh5 x senh7 x + + C. 5 7 F

2/3

x sech6 x dx.

Solución : Se escribe la integral como Potencia par. Tomar un término sech2 x.

Z

tanh

2/3

Z # 6 x sech x dx = tanh

2/3

x sech4 x sech2 x dx, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será sech2 x dx, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tanh x, así, cabe la pregunta Z Z 2/3 6 4 2 tanh x sech x dx = tanh 2/3 x sech | {z x} sech x dx, " ¿Qué hacer con este término?

por la identidad hiperbólica básica 1 Última actualizacón: Julio 2013

tanh2 x = sech2 x, Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 9.

se tiene, Z

tanh

2/3

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

x sech6 x dx =

Z

2/3

tanh

Z

x sech4 x sech2 x dx =

tanh

2/3

Z

2/3

tanh

2

tanh2 x

x 1

⇣

x

⌘2 2 sech x sech2 x dx | {z } "

tanh2 x = sech2 x

1

=

259

sech2 x dx.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente hiperbólica y su correspondiente derivada, la función secante hiperbólica al cuadrado, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = tanh x

diferencial

du = sech2 x dx,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = tanh x

Z

tanh

2/3

x 1

# ◆ Z ✓z }| { tanh x sech x dx = tanh x 2

=

Z

u

2/3

1

1

Linealidad de la integral Z Z (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

u

2

du =

Z ⇣

u

2/3

u Z

= Luego,

Ejemplo 237 : Integre

Z Z

u1/3 1 3

tanh

u7/3 + C = 3u1/3 7 3 2/3

du = sech2 x dx

# # ◆2 ! z }| ✓z }| { { 2 tanh x sech x dx

2/3

2

Z

Diferencial

Cambio u = tanh x

4/3

n

⌘

# du =

u du =

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

zZ

u

|

un+1 +C n+1

}|

2/3

{z

3u7/3 + C = 3 tanh1/3 x 7

x sech6 x dx = 3 tanh1/3 x

con

{

du }

zZ

n=

|

u

}|

4/3

{z

{

du }

2 4 y n= 3 3

3 tanh7/3 x + C. 7

3 tanh7/3 x + C. 7 F

coth5 t csch4 t dt.

Solución : Se escribe la integral como Potencia par. Tomar un término csch2 t.

Z

Z # 4 coth t csch t dt = coth5 t csch2 t csch2 t dt, " 5

Futuro diferencial.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

260

si el diferencial de la nueva integral será csch2 t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es coth t, así, cabe la pregunta Z Z 2 2 coth5 t csch4 t dt = coth5 t csch | {z }t csch t dt, " ¿Qué hacer con este término?

por la identidad hiperbólica básica se tiene,

Z

coth5 t csch4 t dt =

coth2 t Z

1 = csch2 t,

2 2 coth5 t csch | {z }t csch t dt = " coth2 t

Z

coth5 t coth2 t

1 csch2 t dt.

1 = csch2 t

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función cotangente hiperbólica y su correspondiente derivada, la función cosecante hiperbólica al cuadrado, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = coth t

diferencial

du = csch2 t dt,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial

Cambio u = coth t

Z

5

2

coth t coth t

Z ✓z }|.{◆5 1 csch t dt = coth t 2

du = csch2 t dt

✓z&}| {◆2 coth t

1

!

# z }| { Z csch2 t dt = u5 u2

1 du

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

Z

u

7

u

zZ }| { du = u7 du " | {z }

5

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

(f (x) + g (x)) dx =

Luego,

Z

Ejemplo 238 : Integre

Z

ln 2 0

Z

n

u du =

coth5 t csch4 t dt =

zZ }| { u8 u5 du = 8 | {z }

un+1 +C n+1

coth8 t 8

con

u6 coth8 t +C = 6 8 n=2 y n=4

coth6 t + C. 6 F

senh (2x) senh (3x) dx. cosh x

Solución : Buscamos la familia de primitiva de la función f (x) = identidad hiperbólica senh (2x) = 2 senh x cosh x, así,

Z

senh (2x) senh (3x) dx = cosh x

Última actualizacón: Julio 2013

coth6 t + C. 6

Z

senh (2x) senh (3x) , es conocida la cosh x

2 senh x cosh x senh (3x) dx = 2 cosh x Farith J. Briceño N.

Z

senh x senh (3x) dx

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Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

261

por otra parte, es conocido que cosh (↵ + ) = cosh (↵) cosh ( ) + senh (↵) senh ( ) y cosh (↵ entonces

( 1)

(

) = cosh (↵) cosh ( )

cosh (↵

senh (↵) senh ( ) ,

) = cosh (↵) cosh ( )

senh (↵) senh ( )

cosh (↵ + ) = cosh (↵) cosh ( ) + senh (↵) senh ( ) cosh (↵ + )

cosh (↵

) = 2 senh (↵) senh ( )

de aquí, se obtiene la identidad hiperbólica senh (↵) senh ( ) = de aquí, senh (mx) senh (mx) =

cosh (↵ + )

cosh (↵

)

2

cosh ((m + n) x)

cosh ((m 2

(3)

, n) x)

,

así, Identidad hiperbólica senh (mx) senh (mx) =

cosh ((m + n) x)

cosh ((m

n) x) Función par cosh ( 2x) = cosh (2x)

2

con m = 1 y n = 3

# Z z Z }| { cosh (4x) senh x senh (3x) dx =

# Z ✓ z }| {◆ cosh ( 2x) 1 dx = cosh (4x) cosh (2x) dx 2 2 ✓Z ◆ Z Z Z 1 1 1 = cosh (4x) dx cosh (2x) dx = cosh (4x) dx cosh (2x) dx 2 2 2

Resolvemos cada una de las integrales Z • Para la integral cosh (4x) dx, se propone el cambio de variable u = 4x

Cálculo del diferencial

!

du = 4 dx

=)

du = dx, 4

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cosh (4x) dx = cosh u = cosh u du = senh u + C1 = senh (4x) + C1 . 4 4 4 4 • Para la integral

Z

cosh (2x) dx, se propone el cambio de variable

u = 2x

Cálculo del diferencial

!

du = 2 dx

=)

du = dx, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

262

Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cosh (2x) dx = cosh u = cosh u du = senh u + C2 = senh (2x) + C2 . 2 2 2 2 Por lo tanto, ✓ Z Z Z senh (2x) senh (3x) 1 dx = 2 senh x senh (3x) dx = 2 cosh (4x) dx cosh x 2

donde C = C1

=

Z

=

1 senh (4x) 4

Z

cosh (4x) dx

cosh (2x) dx =

✓

1 senh (4x) + C1 4

◆

✓

Z

1 2

cosh (2x) dx

1 senh (2x) + C2 2

◆

◆

1 senh (2x) + C. 2

C2 .

Luego,

Z

senh (2x) senh (3x) 1 dx = senh (4x) cosh x 4

1 senh (2x) + C. 2

Por el Teorema Fundamental del Cálculo obtenemos la integral definida dada Z

ln 2 0

senh (2x) senh (3x) dx = cosh x

donde, senh (4 (ln 2)) 1 = 4 4 senh (2 (ln 2)) 1 = 2 2 senh (4 (0)) 1 = 4 4 senh (2 (0)) 1 = 2 2 entonces

✓ ✓ Z

✓ ✓

✓

ln 2

senh (4x) senh (2x) 4 2 0 ✓ ◆ senh (4 (ln 2)) senh (2 (ln 2)) = 4 2

e4 ln 2

e

4 ln 2

2 e2 ln 2

e

2 ln 2

2

e4(0)

e

4(0)

e

2(0)

2 e2(0) 2 ln 2

0

◆ ◆

◆ ◆

1 = 8 1 = 4

1 = 8 1 = 4

✓ ✓

✓ ✓

e

ln 24

e

ln 22

1 eln 24 1 eln 22

e

0

1 e0

e

0

1 e0

◆ ◆

1 = 8 1 = 4

senh (2x) senh (3x) 255 dx = cosh x 128

✓ ✓

◆ ◆

✓

senh (4 (0)) 4

1 = 8 1 = 4

1

1 1

1

1 1

◆ ◆

✓ ✓

4

1 24

2

1 22

2

2

senh (2 (0)) 2

◆ ◆

=

255 128

=

15 16

◆

,

=0

= 0,

15 135 = . 16 128 F Ejercicios

Calcular las siguientes integrales trigonométricas Z Z 1. sen x cos x dx 2. sen2 x cos x dx 5.

Z

2

cos x sen x dx

Última actualizacón: Julio 2013

6.

Z

cos x p dx 3 sen2 x

3. 7.

Z

Z

p 7

sen x cos x dx

cos x sen x dx

Farith J. Briceño N.

4. 8.

Z

Z

p

sen4 x cos x dx cos x sen x dx [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

9. 13. 17. 21. 25. 29. 33. 38.

Z

Z Z Z Z Z Z Z

p 3

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

cos x sen x dx 6

Z

10.

sen2 x cos3 x dx

5

sen (2x) cos (2x) dx cos4

⇣x⌘

sen5

2

2

⇣x⌘ 2

dx

2

sen x cos x dx 2

14. 18. Z p 3

22.

4

cos (3x) sen (3x) dx tan6 x sec2 x dx 2

cot x dx

Z

34.

54. 58. 62. 66. 70. 74. 78. 82. 86.

Z

2

3

cos x dx

Z

sen2 Z

Z

x cos x dx

35.

Z Z Z Z Z Z Z Z Z

4

4

Z

sen ✓ cos ✓ d✓

51.

cot1/2 t sec2 t dt

55.

Z

Z

31.

sec t dt Z

(tan x + cot x) dx sen (3y) cos y dy sec (b

67.

75.

dt cos6 t

Z

79.

Última actualizacón: Julio 2013

4

sen ✓ cos ✓ d✓

Z

Z

dx sen4 x

Z

Z

Z

20.

2

sen x cos x dx Z

28.

Z

csc t dt

37.

cot3 x csc4 x dx

Z

sen3 t dt

Z

cos2 x dx Z

cos4 x dx

sen5 x cos7 x dx 32.

4

cos3 x p dx sen x

24.

tan4 t sec2 t dt

41.

2

sec6 x dx tan6 x

dx sen x cos2 x

sec2 x dx cot x

cos2 x dx sen6 x Z

Z

57.

dx 1 sen x

Z

53.

Z

Z

Z

tan2 x dx

cot4 x dx tan3 (3x) dx

sen5 (2t) cos4 (2t) dt Z

65.

Z

Z

Z 84.

88.

cos

4

⇣! ⌘

cot7 x dx Z

Z

sen

2

2

81.

cos4 (2t) dt tan5 x sec3 x dx

Farith J. Briceño N.

⇣!⌘ 2

Z

tan5 x sec2 x dx

cos2 x tan3 x dx

Z

61.

cot4 ✓ csc4 ✓ d✓

76. 80.

Z

cos (2t) dt 68. 69. cos t sen t Z 2 72. (1 sen (2x)) dx

cos6 t dt

cot x csc x dx

83. 87.

60.

sen (5x) dx Z

Z

56.

4

71. 4

52.

64.

cot7 x csc2 x dx

sen9 x cos3 x dx tan2 (5t) dt

4

Z

sen7 (3x) cos2 (3x) dx dt sen t cos t

5

Z

63.

ax) dx

Z

16.

sen2 x dx

4

36.

40.

Z

cot x dx

4

cos2 ✓ d✓ sen4 ✓ Z 59. cos7 t dt

2

6

Z

Z

27.

tan5 x sec x dx

3

19.

Z

12.

sen x cos x dx

23.

tan2 x sec2 x dx

tan t dt

4

cos x dx

5

Z

Z

15.

tan x dx

4

39.

p

sen3 x

sen3 x cos2 x dx

Z cos5 x 42. tan x sec x dx 43. sen x dx 44. dx 45. cos3 ✓ sen 2 ✓ d✓ sen3 x Z Z Z Z p 46. tan4 (ax) sec6 (ax) dx 47. sen4 x dx 48. tan5 x dx 49. sen5 x 3 cos x dx 50.

1/2

Z p 5

30.

tan3 x sec6 x dx

Z

26.

Z

Z

11.

263

cos x cos Z

2

dx

sen1/2 t cos3 t dt 73.

d!

⇣x⌘

Z

77.

cot6 (3x) dx Z

csc3 x dx tan x

cos x cos (2x) cos (3x) dx

85.

Z

tan3 x sec1/2 x dx

89.

Z

sen (3t) sen t dt [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

90.

94.

97. 101.

105. 108. 111. 115. 119. 122. 125.

128. 131. 134. 136. 139. 142.

145. 148. 151.

Z Z Z

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

1

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

dt cos (2t)

Z

91.

cos6 (3x) dx

sen (!t) sen (!t + ) dt x sen3 x2 t sen

2

t

dx

2

Z

98.

dt

102.

cot4 (2t) dt

cos5 x sen5 x dx

6

6

cot x csc x dx tan5 t sec tan

3/2

3/2

116.

t dt

120.

6

t sec t dt

123.

cot3 x csc8 x dx

Z

126.

cot Z

3

⇣x⌘

⇣x⌘ 2

Z

Z

132.

135.

cos (mx) cos (nx) dx

m 6= n

137.

tanh t sech

t dt

coth3 t csch4 t dt

senh

3

⇣x⌘ a

cosh

5

143. ⇣x⌘

sec4 (arcsen x) p dx 1 x2 3x tan5 (3x ) dx

Última actualizacón: Julio 2013

140.

a

Z

dx

152.

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

124. 127.

118.

sen Z

Z

⇣x⌘

138.

9

Z

6

cot x csc x dx

sen3 x cos4 x dx

x cot4 ln 1 x2 cos2 (arcsen x)

150. dx

Farith J. Briceño N.

Z

153.

p

Z

p 3

dt t cos2 t

✓

2x 3

◆

dx

dx 1 cos x cosh x dx

cosh x dx

sen3 (ex ) 5e

cot7 x csc Z

Z

senh3 x

senh5 x

147.

sen4

cot5 x csc1/5 x dx

senh4 x cosh3 x dx

144.

Z

cot3 t csc4 t dt

m 6= n

tanh5 x sech3 x dx

cos

3

sen (mx) cos (nx) dx

141.

sec4 (7x) dx

cos y cos (4y) dy

Z

Z

Z

b) dt

cot5 x sen3 x dx

130. 133.

sech x tanh x dx

Z

114.

tan t sec t dt

dx

2

cos (at + b) cos (at

6

121.

3

146.

149.

Z

sen4 x cos3 x dx

m 6= n

3/2

⇣x⌘

Z

tan4 (4x) dx

tan3 x sec3 x dx

sen (mx) sen (nx) dx

5

Z

117.

cos5

sen x sen (2x) sen (3x) dx

110.

sen (4y) cos (5y) dy

129.

tan3 (3y) sec3 (3y) dy

dx

2

sen3

cos4 (ln x) sen3 (ln x) dx x

113.

Z

107.

cos (3x) cos (4x) dx

Z

Z

93.

Z 1 + tan2 x dx 100. cot x csc3 x dx sec2 x p Z Z sen5 ( x) p 103. dx 104. tan2 x sec4 x dx x

sen6 t cos2 t dt Z

p cos2 ( x) p dx x ✓ ◆ Z ⇣x⌘ 5x 96. sen cos dx 2 2

✓ sec2 ✓ d✓

Z

99.

tan6 (2x) dx

Z

112.

3

⇣ ⇡⌘ sen x + cos x dx 6

cot6 (4w) dw Z

tan

p p sen4 ( x) cos4 ( x) p dx x Z 109. sen (5x) sen (2x) dx Z

106.

tan t sec3 t dt

Z

95.

Z

92.

264

1/6

p 3 cos (ex ) x

dx

x dx

cot5 x csc5 x dx [email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

Z

154.

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

sen2 (2x) cos3 (3x) dx

Z p 3

Z

155.

sen2 (2x) sen3 (3x) dx

265

Z

sen2 (3x) cos3 (4x) dx

168.

Z p 3 tanh2 t sech4 t dt

156.

Z p Z 4 cot3 (log x) csc4 (log x) 157. 158. dx 159. sec3 x dx x Z Z Z ⇣x⌘ sec3 (arctan x) 5 4 160. sen sen (4x) dx 161. coth t csch t dt 162. dx 2 1 + x2 Z Z 5x sec2 (5x ) dx 163. 164. tan t sen2 (ln (cos t)) cos6 (ln (cos t)) dt sen4 (tan (5x )) cos5 (tan (5x )) Z

165.

Z

175.

1 2

x tan x

1 8

179.

csc x dx Z

✓

cos3

Z

177. Z

180.

ln 2 0

p 3

⇡/2

sen4 x cos x dx

⇡/2

m 6= n

senh (mx) cosh (nx) dx

Z

senh (2x) senh (3x) dx cosh x

cosh (3x) cosh (5x) cosh (x) dx

senh (2x) cosh (7x) senh (3x) dx Respuestas: Ejercicios

2 5

18.

2 7

cos

22.

3 5

sen5/3 x +

24.

3 8x

7/2

1 3

2.

2 3

x

5/2

cos

32.

tan x

1 32

1 3

cot t 2 3

33. 3

cot t + C;

sec3 x +

1 5

3 17

cos t

cot x 37.

sec5 x + C;

2 2 42. tan7/2 x + tan3/2 x + C; 7 3 csc x + C;

46.

1 4

+

17.

cos10 x 5

4 7

sen12 x 12

x + C;

1 64

1 192

29. 1 3

tan t +

cot x + cot x + x + C; 1 4

40. 43.

tan9 (ax) 9a

2 3

3

cot4 x

cos x

+

1 6

cos x

2 tan7 (ax) 7a

+

38.

1 4

35.

tan x +

cos x + C; + C;

1 576

1 6

44. 47.

9

x 2

1 3

5 7

tan x +

3 8x

2

sen x 1 4

1 2

7/5

1 3

tan t + 6

cos5 x 5

sen x + C; cos3 x 3

+ C;

3

sen x + C;

1 8x

1 32

sen (4x) + C;

sen (6x) + C;

tan

tan2 (3x) 1 2

1 3

p 3

+ C;

21.

1 192

6. 3

11.

sen (18x) + C;

30.

4

41.

+ C; sen x

cos

sen (4x) +

+ C;

5

tan5 (ax) 5a

2 9

cos3 x + C;

sen (2x) + C;

1 64

tan7 x 7

14.

x 2

sen (12x) +

cot6 x + C; 1 5

+

cos 1 4

5

tan3 t + C;

3

1 3

2 5 1 2x

sen5 x 5

(2x) + C;

sen (2x)

sen (6x)

+ C;

34. t

x 2

20.

1 16 x

1 192

sen

7

11

1 3

5.

sen3 x 3

10.

1 22

cos

sen (2x) + C;

1 16 x

25.

sen5 x + C;

cos4/3 x + C;

sen (2x) +

23.

1 5

4.

9

cos t + C; 1 2x

sen17/3 x + C;

cos8 x 8

1 9

sen (2x)

3

19.

3 4

9. 7

sen (4x) + C;

28.

x + C;

1 3

x + C;

sen11/3 x +

sen (2x) +

1 14

13.

16.

3/2

sen3/2 x + C;

2 3

3.

cos3/2 x + C;

2 3

x + C;

+ C;

6 11

ln |cos x| + C;

sen3 x + C;

8.

sen

27.

sen x

dx

5

184.

15.

45.

Z

m 6= n

sen7 x 7

sec x

x

3

cosh (mx) cosh (nx) dx

sen5 x 5

39.

0

182.

12. 2 sen x

36.

sec

2

◆ 2x cos2 (2x) dx 3 Z 174. cos2 (5x) cos3 (2x) dx

Z

171.

sen (2x) sen (3x) dx cos x

m 6= n

p

1 4

⇡/4

senh (mx) senh (nx) dx

cos8 x + C;

+

Z

176.

⇡/4

sen2 x + C;

7.

3

csc3 x dx

cos2 (5x) cos4 (3x) dx

⇡/4

Z

185.

Z

173.

⇡/4

Z

183.

x sech6 x dx

2

Z

167.

senh x sec7 (cosh x) dx

tan3 x sec4 x dx

Z

181.

Z

170.

sec5 x dx

⇡/4

Z

178.

2/3

tanh

Z

166.

cosh3 x dx senh2 x

Z

172.

1.

sec4 x tan x p dx 4 tan2 x

Z

169.

tan2 (log2 x) sec6 (log2 x) dx x

26.

x + C;

ln |sec x| + C; 31.

1 5

tan5 t + C;

tan3 t + C;

1 8

tan8 x + C;

1 3

ln |sec (3x)| + C;

csc2 x

sen (2x) +

1 32

2 ln |sen x| + C; sen (4x) + C;

4

48.

sec x 4

sec2 x + ln |sec x| + C;

Última actualizacón: Julio 2013

49.

3 5

cos10/3 x

3 4

cos4/3 x

3 16

cos16/3 x + C;

Farith J. Briceño N.

50.

✓ 16

1 64

sen (4✓) +

1 48

sen3 (2✓) + C;

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

51.

3 128 ✓

59.

1 4

62. 65.

sen

1 2x

67.

3 8x

1 20

70.

1 5

72.

3 2x

76.

1 16 !

80.

1 3

+

1 32

1 8

sen x + csc x

1 5

tan (5t)

89.

1 4

sen (2t)

1 4x

98.

cot5 (4w) +

104. 107.

1 24

sec x + ln |csc x

87.

p

sen (2x) +

5

3

1 8

+

1 2

tan (2x) +

1 2

tan x + C; 1 16

cos (6x)

105. 1 8

cos (4x)

w + C;

3

sen(2b) 3

3

110.

cos (2b) sen (at + b)

112.

5 128 t

114.

1 7

tan (7x) +

117.

1 6

sec6 t + C;

120.

1 2

sen x +

1 14

sen (7x) + C;

121.

1 3

sen3 x

123.

1 2

cos y

1 18

cos (9y) + C;

124.

1 6

sen (3y) +

126.

1 4

129.

sec5 x 5

133.

5 21

1 64

cos

8

1 128

sen (2t) 1 21

1 3

6

x 2

135.

1 2(m+n)

137.

1 5

5

senh x +

140.

1 3

3

sech x + C;

143.

2 5

5

1 3

145.

a 8

147.

3 50

150.

18 23

152.

1 6

cot3 ln 1

154.

1 8

sen (3x)

155.

3 112

156.

3 32

157.

⇣

sech x

a 6

cosh

x

sen (4x) tan

11/3

csc

11/6

x2 3 16

1 2

sen x

1 8 3 32

+ C;

x

1 80

sen (5x) 1 80

sen (2x)

1 96

159.

1 2

sec x tan x +

162.

x 2

sec (arctan x) +

3 17

tan

csc

3 112

5 128

ln (cos t) +

1 64

35/6

1 2

3 16

sen (6x)

3 160

ln 1

Última actualizacón: Julio 2013

1 128

x

3 5

cosh csc

160.

3 ln 5

10/3

10

2 3

1 4

x+

151.

x2 + C; 1 72 1 72

1 208

sen (9x)

1 208

cos (9x)

1 7

sen

163.

1 9

1 4 ln 5

csc (tan (5x ))

sen (4 ln (cos t))

1 192

sen

sen 2t2 + C;

1 14

sen (7x) + C;

t + C;

1/2

coth t 3 4

4/3

cosh

cos (ln x) + C; sen5 x 5

132.

2 5

+ C;

n) x) + C;

1 2(m n)

t

sen7 x 7

sen ((m

sech

5/2

n) x) + C;

t + C;

coth t + C; x + C;

csc6 x 6

+ C; 1 7

149. 2

x

sec (3 ) +

+

+ C;

6

1 6

csc8 x 2

cot10 x 10

5

sen ((m

1/2

+ C;

tan7/2 t + C;

2 7

3 cot8 x 8

1 5

1 2(m n)

t+

x 2

2 csc7 x 7

cos7 x 1 4

1 5

4

cos5 x + C;

x

sec (3 ) + C;

csc5 x 5

+ C;

sen (13x) + C; cos (13x) + C;

1 96

7x 2

3/2

2 tan

t + 4 sech

csc9 x 9

1 8

sen (3x)

+ 2 ln csc

sec (3y) + C;

ln |sec (3 )|

153.

1 6

x 2

3

x

1 ln 3

1 2 4t

101.

cot6 x 2

4

x+

cos x2 + C;

tan (4x) + x + C;

2

sec

cos (ln x)

3/2

sen (18x) + C;

x + C; p p 1 sen 4 x + 512 sen 8 x + C;

sen ((m + n) x) +

sech

sen (12x) ⌘ 5/3 tan (log2 x) ln 2 + C;

ln |x + sec (arctan x)| + C;

sen (2 ln (cos t))

2 3

142.

csc12 x 3

sen (10x) + 3 5

1 2(m+n)

x + C;

16/3

x + C;

cos x +

(log2 x) +

+

sec (3y)

139.

csc

7

1 9

1 576

p

5

1 4

sec3 (arcsen x) + sec (arcsen x) + C;

sen (7x) +

x x + 8 35 ln 5 ln |sec (tan (5 )) + tan (tan (5 ))|

164.

1 3

128.

sen (12x) +

109.

tan3/2 t

sen ((m + n) x) +

3 5

cosh

csc14 x 14

148. 6 35

cosh

3 16

144.

ln |sec x + tan x| + C; 1 2

x

3/2

1 7

5

136.

2 3

cos (5x)

17/3

1 2(m+n)

csc x + C;

x2

cot ln 1

131.

n) x) + C;

146.

6 p 6 csc x

cos (3x)

(log2 x) + 1 2

+ C;

1 15

cos

tan3 (4x)

cot5 x 5

125.

x + C;

sec t + C;

4 sec1/2 t 4 3

1 64

3 8

1 64

116.

122.

cos x + C;

cot x

sech x + C;

x a

1 2

7/2

cos4/3 (ex ) + C;

3 20 18 11

6

cosh

sec5/2 t

2 5

sen

+ C;

sen (!t) + C;

2

2 5

x

x

12

3

1 3

1 12

sen

1 12

2

cos10 x + C;

+ C;

sen (5y) + C;

134.

cos ((m

1 10

2 sen x + C;

1 3x

cos

7

1 7

sech x

2 7

1 10

106.

3 p x 64

113.

cot11 x 11

119.

csc x

cot6 t 6

138. 141.

3

cos (7x)

6 11

1 2(m n)

senh x + C;

cos10/3 (ex ) csc

130.

7

x a

23/6

127. cot4 t 4

cos ((m + n) x)

sech x

cosh

+ C;

3 2

2 cot9 x 9

sen 2!

2 cos

79. 10

+ C;

2 sec1/2 x + C;

csc3 x + C;

1 3

cot8 x 8

sec7 x + C;

1 7

sen (6x) +

p

111.

sen (8t) + C;

cot3 t + C;

csc11/5 x + 5 csc1/5 x + C;

10 11

1 7

1 3

cos6 x

1 6

tan t + C; 1 10

cot5 x 5

75.

5

82.

cos 3x

100.

sen (6t) + C;

ln |tan t| + C;

sec5/2 x

2 5

+

1 24

97.

sen (at + b) + C;

cot7 x 7

2 cot t

cos (3x) + C;

cos8 x

5 64

+

sen (2t!) cos

3

1 1024

sen (6t)

115.

tan t

+ C;

csc21/5 x

8

sen (4t) +

tan (7x) + C;

cos

sec3 x 3

1 192

3

118.

x 2

sen (at + b) +

5 16 x

1 192

sen (4t) +

1 5

tan t +

sec5 x +

2 5

cot (2t) + t + C; 1 4

108.

3

85.

sec3 x

cot x + C; cos9 (2t) + C;

1 18

sen7/2 t + C;

3 64

sen (2x) + C;

91.

1 4!

tan x

74.

sen (8t) + C;

1 2t

58.

3

1 6

1 3

+ C;

ax) + C; 2 7

x + C;

99. x + C; p 103. 43 cos3 x 1 2

cot (2t) +

cos (2x) + C;

cos(2b) 3

1 6

tan (b

2 3

p 54. 2 tan t + C;

sec2 x 2

cot7 ✓ + C;

1 7

sen (2t) +

tan t +

cot (2t) + C;

2x + C;

1 6

1 64

88.

94.

15 64

+

sen (4x)

sen (4t) +

cos (2x)

cos (4w)

tan (2x)

78.

cot x| + C;

1 4

96.

1 4

3

5

1 5

tan x +

sen x + C;

cot3 (4w)

1 12

1 6

tan (2x)

2

3 2

1 16

sen (2x) +

3 8t

1 sen (4t) + C; 90. 2 csc (2t) p p 1 cot ✓ + C; 93. x + 2 sen 2 x + C;

1 20

1 3

+

84.

+

5 16 t

266

cos5 (2t)

sen3/2 t

2 3

cot(3x) 3

csc x + C;

1 8

+

102.

81.

1 4

cot3 (3x) 9

3

1 3

77. 1 4x

cot5 x + C;

1 5

cot5 (3x) 15

1 a

69.

71.

+

1 10

cot5 ✓

1 5

ax)

cos t + C;

cos (3x) + C;

73.

csc x + C;

sen t

cos7 (2t)

64.

tan3 (b

2 3a

sec4 x 2

ln |cos x| + C; 1 7

61.

9

1 27

cos (3x) +

sen ! + C;

t + C;

1 8

1 10

7

1 7

5

cot x

68.

+ C;

ax)

2

1 2

92.

sen (20x) + C;

3

1 24

tan5 (b

1 5a

66.

cos2 x

cot3 x + C;

1 3

cot x

sec6 x 6

53.

1 2

57.

sen x+1 cos x

60.

63.

sen (4x) + C;

1 5

1 5

sen7 t + C;

+ C;

cos (3x)

2

86.

1 7

1 160

sen (2!) +

cot3 x

cot5 ✓ + C;

3

1 9

+ cos (2x)

2 3

3 2x

sen (10x) +

cos (3x)

cot3 ✓

cos (4y) + C;

sen

5

83.

95.

1 8

cos (2y)

52.

1 3

sen5 t

3 5

tan2 x + C;

1 2

sen (8✓) + C;

56.

sen3 t +

sen t

1 1024

sen (4✓) +

cot3 ✓ + C;

1 3

55.

1 128

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

1 288

9x 2

sen (18x) + C; ⇣ 15/4 4 158. (log x) + 15 cot

+ C;

161.

coth8 t 8

sec3 (tan (5x )) tan (tan (5x )) + 1 3 ln 5

11 8 ln 5

4 7

⌘ cot7/4 (log x) ln 10 + C;

coth6 t 6

+ C;

sec (tan (5x )) tan (tan (5x ))

csc3 (tan (5x )) + C;

sen (6 ln (cos t))

Farith J. Briceño N.

1 1024

sen (8 ln (cos t)) + C;

[email protected]

Cálculo integral - Guía 9.

11 3

165. 1 2

167.

+

1 3

p

tan2 x

cot x csc x +

Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

1 2

tan2 x + C;

4

ln |csc x

cot x| + C;

tan (cosh x) sec5 (cosh x) +

170.

1 6

171.

3 32

173.

3 16 x

174.

3 16

177.

135 128 ;

181.

1 2(m+n)

183.

1 2(m+n)

185.

1 48

sen (2x) + +

1 64

1 96

sen (6x) +

sen (2x) +

sen (2x) +

1 64

1 32

9 16

1 48

2 3x

sen

1 24

senh ((m + n) x) senh ((m + n) x) +

1 2(m n)

senh (12x)

senh (6x)

9 160

1 32

sen

sen (6x) + 3 128

tanh

10 3 x

3 160

5/3

3 8

+

15 48

1 64

9 224

senh (8x) +

3 11

sen

tanh

1 192

14 3 x

cot x csc x +

11/3

3 8

ln |sec x + tan x| + C;

t + C;

169.

3 8

1 256

ln |csc x

15 48

1 128

sen (16x) +

sen (16x) + C; cot x| + C;

182.

1 2(m+n)

184.

1 36

senh x

senh (9x) +

1 704

3 7

180.

tanh7/3 x + C;

sen (22x) + C;

175. 0;

cosh ((m + n) x) + 1 28

csch x + C;

ln |sec (cosh x) + tan (cosh x)| + C;

172. 3 tanh1/3 x

+ C;

sen (12x) +

sen (12x) +

n) x) + C; 1 8

tan x sec x +

tan (cosh x) sec (cosh x) +

senh ((m + n) x) + C; senh ((m

3 8

t

sen (10x) +

sen (8x) +

cot x csc3 x

1 2(m n)

1 24

3 5

168.

+

sen (6x) + 1 4

179.

tan x sec3 x +

tan (cosh x) sec3 (cosh x) +

sen (4x) +

sen (4x) +

178. 0;

5 24

1 4

166.

267

176.

1 2;

6 7; 1 2(m n)

senh (7x) +

1 12

cosh ((m + n) x) + C;

senh (3x) +

1 4

senh x + C;

senh (2x) + C;

Bibliografía 1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall. 2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico [email protected] indicando donde se encuentra(n) dicho(s) error(es). MUCHAS GRACIAS.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Método de integración: Algunas integrales trigonométricas

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Cálculo integral - Guía 10

Método de integración: Sustitución trigonométrica Objetivos a cubrir

Código : MAT-CI.10

• Método de integración: Sustitución trigonométrica. Ejemplo 239 : Integre

Z

p

Ejercicios resueltos

dx . 5 x2

Solución : En la guía 3, ejercicio 8 se obtuvo la familia de primitiva de la función f (x) = p

medio de un cambio de variable,

Cálculo del

x u= p 5

diferencial

!

1 du = p dx 5

=)

dx =

p

1 5

x2

por

5 du,

Entonces, la integral queda Diferencial p dx = 5 du

Z

p

dx 1 =p 2 5 5 x

Z

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Integral de tabla. Primitiva : arcoseno.

# # . z}|{ z }| { ✓ ◆ Z p Z dx 1 5 du du x v p p = = arcsen u + C = arcsen p + C. 0 12 = p5 u 5 1 u2 1 u2 u x u t1 @ p A 5 |{z} " Cambio x u= p 5

Luego,

Z

dx p = arcsen 5 x2

✓

x p 5

◆

+ C.

En esta guía se obtiene la familia de primitiva de la función f por medio de un cambio trigonométrico, se hace el cambio trigonométrico x=

p

Cálculo del

5 sen t

diferencial

!

dx =

p

5 cos t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial p 5 cos t dt

dx =

Z

# z}|{ p Z dx 5 cos t dt p q = p 5 x2 5 5 sen t "

Cambio p 5 sen t

x=

Última actualizacón: Julio 2013

2

=

Z

p p Z Z p 5 cos t dt 5 cos t dt 5 cos t dt q r p = = 2 2 5 cos2 t 5 5 sen t 5 1 sen t | {z } | {z } p " Factor común 5

Farith J. Briceño N.

1

sen2 t = cos2 t

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Método de integración: Sustitución trigonométrica

270

Integral de una potencia. Integral de tabla.

zZ}| { Z p 5 cos t dt p = = dt = t + C, 5 cos t | {z } Z

así,

Z

n

t dt =

tn+1 +C n+1

con

n=0

dx = t + C, 5 x2 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = t + C, en términos de la variable original de integración x, puesto que, ✓ ◆ p x x x = 5 sen t; =) sen t = p =) t = arcsen p . 5 5 Luego, ✓ ◆ Z dx x p = arcsen p + C. 5 5 x2 F Z dx p Ejemplo 240 : Integre . 9 x2 p

1 se puede obtener, ya sea por un cambio 9 x2 de variable similar al realizado en el ejemplo 239 o por medio del cambio trigonométrico Solución : La familia de primitivas de la función f (x) = p Cálculo del

x = 3 sen t

diferencial

!

dx = 3 cos t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial dx = 3 cos t dt

Z

# z}|{ Z Z Z Z dx 3 cos t dt 3 cos t dt 3 cos t dt 3 cos t dt p q q r p = = = = 2 2 2 9 x 9 cos2 t 9 9 sen t 9 1 sen2 t 9 (3 sen t) | {z } " | {z } p " Cambio x = 3 sen t

Factor común 9

1

sen2 t = cos2 t

Integral de una potencia. Integral de tabla.

=

Z

3 cos t dt = 3 cos t Z

así,

Z

n

t dt =

zZ}| { dt = t + C, | {z }

tn+1 +C n+1

con

n=0

dx = t + C, 9 x2 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = t + C, en términos de la variable original de integración x, Última actualizacón: Julio 2013

p

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

puesto que, x = 3 sen t;

=)

Luego,

Z Z

x 3

sen t = p

=)

271

t = arcsen

⇣x⌘ dx = arcsen + C. 3 9 x2

⇣x⌘ 3

.

F

dx . x2 5 Solución : Se hace el cambio trigonométrico

Ejemplo 241 : Integre

p

x=

p

Cálculo del

5 sec t

diferencial

!

dx =

p

5 sec t tan t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda dx =

Z

Diferencial p 5 sec t tan t dt

# z}|{ Z p Z p Z p dx 5 sec t tan t dt 5 sec t tan t dt 5 sec t tan t dt p q p q r = = = 2 2 2 x 5 5 sec t 5 5 sec2 t 1 5 sec t 5 | {z } " | {z } p "

Cambio p 5 sec t

sec2 t

Factor común 5

x=

= así,

Z p

5 sec t tan t dt p = 5 tan2 t Z

Z p

5 sec t tan t dt p = 5 tan t

Z

1 = tan2 t

sec t dt = ln |sec t + tan t| + C,

dx = ln |sec t + tan t| + C, x2 5 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t + tan t| + C, en términos de la variable original de integración x, puesto que, p x x = 5 sec t =) sec t = p 5 Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

p

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x=

p

5 sec t

=)

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

Última actualizacón: Julio 2013

2

x hip. sec t = p = c.a. 5 q c.o. = x2

x p

5

2

Farith J. Briceño N.

CC t

p

p

x2

5

5 [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

entonces, c.o. tan t = = c.a.

p

x2 p

5 5

272

.

Luego, Z

dx x p = ln p + 2 5 x 5

p

x2 p

5

+ C1 = ln

5

x+

= ln x + donde, C = C1

p

ln

Ejemplo 242 : Integre

Z

p

p

5

x2

p dx = ln x + x2 2 x 5

p

dx = 3x2 2

Z

se hace el cambio trigonométrico 3x=

p

+ C1 ln

p

5 + C1 = ln x +

p

x2

5 + C,

Cálculo del

2 sec t

5 + C. F

dx . 3x2 2

Solución : Se escribe la integral como Z

p

5

5, por lo tanto, Z

p

p x2 p 5

diferencial

!

p

3 dx =

q p p

dx 3x

2

, 2

2 sec t tan t dt

=)

p 2 dx = p sec t tan t dt, 3

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial p 2 dx = p sec t tan t dt 3

# z}|{ Z Z dx dx p r p = 2 2 3x 2 ( 3x) | {z } p p

Cambio p 2 sec t

3x=

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

pp 2 p Z p Z Z p sec t tan t dt 2 sec t tan t dt 2 sec t tan t dt 3 q p q r = =p =p 2 2 3 3 2 sec t 2 2 sec2 t 1 2 2 sec t 2 | {z } | {z } " " Factor común 2

sec2 t

1 = tan2 t

p Z p Z p Z 2 sec t tan t dt 2 sec t tan t dt 1 3 p p =p =p =p sec t dt = ln |sec t + tan t| + C, 2 3 3 3 2 tan t 3 2 tan t " Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

así,

Última actualizacón: Julio 2013

Z

p dx 3 p = ln |sec t + tan t| + C, 2 3 3x 2 Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

273

p 3 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t + tan t| + C, en términos de la variable original de 3 integración x, puesto que p p p 3x 3 x = 2 sec t =) sec t = p . 2 Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

Ct Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, p

3x=

p

2 sec t

p 3x hip. sec t = p = c.a. 2

=)

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

c.o. =

2

q p

3x

2

p

p

entonces,

2

p

c.o. tan t = = c.a.

CC t

2

p

3x

p

3x2

2

2

3x2 2 p . 2

Luego, Z

p

p p p p p p dx 3 3x 3x2 2 3 3 x + 3x2 p p = ln p + + C1 = ln 3 3 2 2 2 3x2 2 p

p p 3 = ln 3 x + 3x2 3 donde, C = C1

2

+ C1

p

p p p 3 p 3 ln 2 + C1 = ln 3 x + 3x2 3 3

2

2 + C,

p

3 p ln 2, por lo tanto, 3 p Z p p dx 3 p = ln 3 x + 3x2 2 3 3x 2

Ejemplo 243 : Integre

Z

2 + C. F

dx . 5 + x2

1 se puede obtener, por un procedimiento 5 + x2 similar (cambio de variable) al realizado en el ejemplo 239 o por medio del cambio trigonométrico Solución : La familia de primitivas de la función f (x) =

x=

p

5 tan t

Cálculo del diferencial

!

dx =

p

5 sec2 t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

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Método de integración: Sustitución trigonométrica

274

Entonces, la integral queda Diferencial p 5 sec2 t dt

dx =

# z}|{ p Z dx 5 sec2 t dt = p 5 + x2 5+ 5 tan t

Z

2

=

"

Z p

5 sec2 t dt = 5 + 5 tan2 t | {z } "

Cambio p x = 5 tan t

Z p

5 sec2 t dt = 5 1 + tan2 t | {z }

Z p

"

tan2 t + 1 = sec2 t

Factor común 5

=

Integral de una potencia. Integral de tabla.

p zZ}| { p 5 5 5 dt = dt = t + C, 5 5 5 | {z } "

Z p

Z

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

como, x=

p

5 tan t;

Luego,

Z

Ejemplo 244 : Integre

Z

x tan t = p 5

=)

5 sec2 t dt 5 sec2 t

=)

n

t dt =

t = arctan

✓

tn+1 +C n+1

x p 5

◆

con

n=0

.

p ✓ ◆ dx 5 x p = arctan + C. 5 + x2 5 5

F

dx . +2

x2

Solución : Se hace el cambio trigonométrico x=

p

Cálculo del

2 tan t

diferencial

!

dx =

p

2 sec2 t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial p 2 sec2 t dt

dx =

Z

# z}|{ Z dx = x2 + 2

p

p

2 sec2 t dt

2 tan t

"

Cambio p x = 2 tan t

2

+2

=

Z p

2 sec2 t dt = 2 tan2 t + 2 | {z } "

Factor común 2

Z p

2 sec2 t dt = 2 tan2 t + 1 | {z }

Z p

"

tan2 t + 1 = sec2 t

=

Farith J. Briceño N.

Integral de una potencia. Integral de tabla.

p zZ}| { p 2 2 2 dt = dt = t + C, 2 2 2 | {z } "

Z p

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Última actualizacón: Julio 2013

2 sec2 t dt 2 sec2 t

Z

n

t dt =

tn+1 +C n+1

con

n=0

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

como, x=

p

Método de integración: Sustitución trigonométrica

2 tan t;

Luego,

Z Z

Ejemplo 245 : Integre

x tan t = p 2

=)

=)

275

t = arctan

✓

x p 2

◆

.

p ✓ ◆ dx 2 x = arctan p + C. x2 + 2 2 2

F

dt . 7 + 2t2

Solución : Se escribe la integral como Z

dt = 7 + 2t2

Z

7+

dt p

2t

2,

se hace el cambio trigonométrico p

2t=

p

7 tan z

Cálculo del diferencial

!

p

2 dt =

p

2

7 sec z dz

p 7 dt = p sec2 z dz, 2

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Diferencial p 7 dt = p sec2 z dz 2

pp # 7 z}|{ p Z p Z Z Z Z p sec2 z dz dt dt 7 sec2 z dz 7 sec2 z dz 2 p p p = = = = p 2 2 7 + 2t2 7 + 7 tan2 z 7 1 + tan2 z 2 2 7+( 2 t) 7+ 7 tan z | {z } | {z } | {z } p " " p

Cambio p 7 tan z

tan2 z + 1 = sec2 z

Factor común 7

2t=

Integral de una potencia. Integral de tabla.

p Z p zZ }| { p 7 sec2 z 7 7 =p dz = p dz = p z + C, 2 7 sec z 2 7 2 | {z } 7 2 "

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

como, p

2t=

p

7 tan z

Luego,

Última actualizacón: Julio 2013

=) Z

p 2 tan z = p t 7

p dt 7 p arctan = 7 + 2t2 7 2

=)

Z

n

z dz =

z n+1 +C n+1

z = arctan

con

n=0

p ! 2 p t . 7

p ! 2 p t + C. 7 F

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Ejemplo 246 : Integre

Método de integración: Sustitución trigonométrica

Z p 4

276

x2 dx.

Solución : Hacemos el cambio trigonométrico Cálculo del

x = 2 sen t

diferencial

!

dx = 2 cos t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Diferencial dx = 2 cos t dt

Z p

4

x2 "

# z}|{ Z q dx = 4

Z r # 2 (2 sen t) 2 cos t dt = 2 4 |

Cambio x = 2 sen t

4 sen2 t cos t dt = 2 {z } "

Factor común 4

=2

Z p

4 cos2 t cos t dt = 2

Z

Z r

4 1 | 1

sen2 t cos t dt {z } p

2

sen t = cos2 t

2 cos t cos t dt = 4 "

Z

cos2 t dt,

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

para la familia de primitiva de la función f (t) = cos2 t se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonomética 1 + cos (2t) cos2 t = , 2 así, ✓Z ◆ Z Z Z Z 1 + cos (2t) 1 1 cos2 t dt = dt = (1 + cos (2t)) dt = dt + cos (2t) dt , 2p 2 2 " Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Z

Linealidad de la integral Z Z f (t) dt + g (t) dt

(f (t) + g (t)) dt =

donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediata Z dt = t + C1 ,

mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable u = 2t

Cálculo del diferencial

!

du = 2 dt

=)

du = dt, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (2t) dt = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (2t) + C2 . 2 2 2 2 " Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Luego,

Z

así,

Método de integración: Sustitución trigonométrica

cos2 t dt =

Z p

4

277

 1 sen (2t) t sen (2t) t 1 t+ + C3 = + + C3 = + sen t cos t + C3 , 2 2 2 4 2 2

x2 dx = 4

Z

cos2 t dt = 4

✓

t 1 + sen t cos t + C1 2 2

◆

= 2t + 2 sen t cos t + C,

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 2t + 2 sen t cos t + C, en términos de la variable original de integración x, puesto que ⇣x⌘ x =) t = arcsen x = 2 sen t =) sen t = . 2 2 Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x = 2 sen t

=)

sen t =

x c.o. = 2 hip.

2 x

q 2 c.a. = (2)

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

2

Ct

x2

entonces, c.o. cos t = = hip

p

x2

4 2

p

4

x2

,

es decir, Z p

4

x2

⇣x⌘

x dx = 2t + 2 sen t cos t + C = 2 arcsen +2 2 2

Luego,

Z p 4

Z p Ejemplo 247 : Integre 4x

x2

dx = 2 arcsen

⇣x⌘ 2

p

x2

4 2

+

x

p

+ C = 2 arcsen

⇣x⌘ 2

+

x

p

4 x2 + C. 2

4 x2 + C. 2 F

4x2 + 7 dx.

Solución : Se completa cuadrados 4x

4x2 + 7 =

✓ 4 x

entonces

Última actualizacón: Julio 2013

1 2

◆2

+8=

Z p

4x

(2)

4x2

2

✓

x

1 2

◆2

+8=

Z q + 7 dx = 8 Farith J. Briceño N.

✓ ✓ 2 x (2x

1 2

◆◆2

+8=

(2x

2

1) + 8

2

1) dx.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

278

Se propone el cambio de variable u = 2x

Cálculo del

1

diferencial

!

du = 2 dx

=)

du = dx, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. La integral queda Diferencial du dx = 2

Z r

# z}|{ Z p ( 2x 1 ) dx = 8 | {z } " 2

8

u2

du 1 = 2 2 "

Z p 8

u2 du.

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Cambio u = 2x 1

Se observa que la nueva integral tiene la estructura de la integral del ejemplo anterior 246, entonces, se hace la sustitución trigonométrica u=

p

Cálculo del

8 sen t

diferencial

!

du =

p

8 cos t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Diferencial p du = 8 cos t dt

Z p 8

u2 "

# r z}|{ Z du = 8

Cambio p u = 8 sen t

⇣p

8 sen t

⌘2 p# p Z r 8 cos t dt = 8 8 |

8 sen2 t cos t dt {z } "

Factor común 8

=

p

8

Z r

8 1 | 1

sen2 t cos t dt = {z } "

p Z p p Z p 8 8 cos2 t cos t dt = 8 8 cos t cos t dt " Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

sen2 t = cos2 t

=8

Z

cos2 t dt = 8 | {z } "

✓

◆ t 1 + sen t cos t + C = 4t + 4 sen t cos t + C, 2 2

Ver ejemplo 246

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 4t + 4 sen t cos t + C, en términos de la variable de integración u, puesto que ✓ ◆ p u u u = 8 sen t =) sen t = p =) t = arcsen p . 8 8 Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

279

Para calcular cos t en función de u, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

Ct Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, u=

p

8 sen t

u c.o. sen t = p = hip. 8

=)

p

8 u

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

2

c.a. =

q p

8

2

Ct

u2

entonces, c.o. cos t = = hip es decir, Z p

8

u2

du = 4t + 4 sen t cos t + C = 4 arcsen

por lo tanto,

como u = 2x

Luego,

Z p 8

✓

p

u p 8

✓

p

8

u2

8 u2 p , 8

◆

u +4 p 8

◆

p

8 u2 p +C 8 p ✓ ◆ u u 8 u2 = 4 arcsen p + + C, 2 8

p

8 u2 + C, 2 p 1, entonces la familia de primitiva de la función g (x) = 4x 4x2 + 7 viene dada por q ✓ ◆ 2 Z p (2x 1) 8 (2x 1) 2x 1 2 p 4x 4x + 7 dx = 4 arcsen + + C. 2 8 Z p

4x

4x2

u2

du = 4 arcsen

+ 7 dx = 4 arcsen

✓

u p 8

2x 1 p 8

◆

+

+

u

(2x

1)

p

4x 2

4x2 + 7

+ C.

Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio trigonométrico 2x

1=

p

Cálculo del

8 sen t

Ejemplo 248 : Integre

Z

diferencial

!

2 dx =

p

8 cos t dt

=)

dx =

p

8 cos t dt, 2 F

p

x2

dx . +x+1

Solución : Se completa cuadrados 2

x +x+1=

Última actualizacón: Julio 2013

✓

1 x+ 2

◆2

Farith J. Briceño N.

+

3 4

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

entonces

Z

dx p = 2 x +x+1

Z

Se hace la sustitución trigonométrico r p 1 3 3 x+ = tan t = tan t 2 4 2

280

dx q . 2 (x + 1/2) + 3/4 Cálculo del diferencial

!

dx =

p

3 sec2 t dt, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial p 3 dx = sec2 t dt 2

Z

dx p = 2 x +x+1

Z

r

# z}|{ dx

=

2

( x + 1/2 ) + 3/4 | {z } p

Z

p

q p

3/2 sec2 t dt

3/2 tan t

2

=

+ 3/4

Z

Cambio p 1 3 x+ = tan t 2 2

=

Z

p 3/2 sec2 t dt r 3/4 tan2 t + 3/4 | {z } " Factor común

3 4

p Z p Z p Z 3/2 sec2 t dt 3/2 sec2 t dt 3/2 sec2 t dt r p p = = = sec t dt = ln |sec t + tan t| + C1 , 3/2 sec t 3/4 sec2 t 3/4 tan2 t + 1 | {z } " tan2 t + 1 = sec2 t

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t + tan t| + C1 , en términos de la variable original de integración x, puesto que p 1 3 2x + 1 x+ = tan t =) tan t = p . 2 2 3 Para calcular sec t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x+

p 1 3 = tan t 2 2

=)

tan t =

2x + 1 c.o. p = c.a. 3

p 2 x2 + x + 1 2x + 1

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

Última actualizacón: Julio 2013

2

hip. =

q

2

(2x + 1) +

p

3

2

Farith J. Briceño N.

CC t

p

3 [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

entonces,

281

p hip. 2 x2 + x + 1 p sec t = = , c.a. 3

así, Z

p

p p dx 2 x2 + x + 1 2x + 1 2 x2 + x + 1 + 2x + 1 p p = ln + p + C1 = ln + C1 3 3 3 x2 + x + 1 p = ln 2 x2 + x + 1 + 2x + 1

donde C = C1

ln

p

ln

p

p 3 + C1 = ln 2 x2 + x + 1 + 2x + 1 + C,

3.

Luego,

Z

Ejemplo 249 : Integre

Z

p

p

p dx = ln 2 x2 + x + 1 + 2x + 1 + C. +x+1

x2

F

dx . + 8x + 14

x2

Solución : Se completa cuadrados x2 + 8x + 14 = (x + 4) entonces

Z

p

Z

dx = 2 x + 8x + 14

Se hace la sustitución trigonométrico x+4=

p

2

dx q 2 (x + 4)

Cálculo del

2 sec t

diferencial

2

!

dx =

. 2

p

2 sec t tan t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda

dx =

Z

dx p = 2 x + 8x + 14

Z

r

Diferencial p 2 sec t tan t dt

# z}|{ dx

(x+4) | {z } p

2

Cambio p 2 sec t

x+4=

Z p Z p 2 sec t tan t dt 2 sec t tan t dt q p q = = 2 2 sec2 t 2 2 2 sec t 2 | {z } " Factor común 2

Z p Z p Z p 2 sec t tan t dt 2 sec t tan t dt 2 sec t tan t dt r p p = = = , 2 2 tan t 2 tan t 2 sec2 t 1 | {z } " sec2 t

1 = tan2 t

= Última actualizacón: Julio 2013

Z

Farith J. Briceño N.

sec t dt = ln |sec t + tan t| + C1 , [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

282

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t + tan t| + C1 , en términos de la variable original de integración x, puesto que p x+4 x + 4 = 2 sec t =) sec t = p . 2 Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x+4=

p

2 sec t

x+4 hip. sec t = p = c.a. 2

=)

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

q 2 (x + 4)

c.o. =

2

x+4

p

entonces,

p

c.o. tan t = = c.a.

2

Ct

2

p

p

x2 + 8x + 14

2

x2 + 8x + 14 p , 2

así, Z

p

dx x+4 = ln p + 2 x2 + 8x + 14 = ln x + 4 +

donde C = C1

ln

p

p

p x2 + 8x + 14 x + 4 + x2 + 8x + 14 p p + C1 = ln + C1 2 2

p

x2 + 8x + 14

ln

p

2 + C1 = ln x + 4 +

p

x2 + 8x + 14 + C,

2.

Luego,

Z

Ejemplo 250 : Integre

Z

p

p dx = ln x + 4 + x2 + 8x + 14 + C. x2 + 8x + 14

p x3 x2

F

5 dx.

Solución : Se hace la sustitución trigonométrica x=

p

5 sec t

Cálculo del diferencial

!

dx =

p

5 sec t tan t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z ⇣p ⌘ 3 r⇣ p ⌘2 p 3 2 x x 5 |{z} dx = 5 sec t 5 sec t " " p Cambio p 5 sec t

x=

dx =

Última actualizacón: Julio 2013

5

Diferencial p 5 sec t tan t dt

Farith J. Briceño N.

⇣p

5 sec t tan t dt

⌘

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

283

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

# Z z}|{ r p = 5 5 sec3 t 5 sec2 t | {z "

# ! z}|{ p 5 sec t tan t dt

5 }

Factor común 5

p = 5 5

p

5

Z

3

sec t

r

2

5 sec t | {z "

sec2 t

= 25

Z

1 sec t tan t dt = 25 }

Z

sec3 t

p

5 tan2 t sec t tan t dt

1 = tan2 t

p p Z sec t 5 tan t sec t tan t dt = 25 5 sec4 t tan2 t dt, |{z} | {z } " 3

Integral de funciones trigonométricas con potencias

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = tan2 t sec4 t se observa que como la potencia de la secante es par, la integral se escribe como Potencia par. Tomar un término sec2 t.

Z

Z # tan2 t sec4 t dt = tan2 t sec2 t sec2 t dt, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será sec2 t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tan t, así, cabe la pregunta Z Z 2 2 tan2 t sec4 t dt = tan2 t sec | {z }t sec t dt, " ¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica se tiene,

Z

tan2 t sec2 t sec2 t dt =

tan2 t + 1 = sec2 t, Z

2 2 tan2 t sec | {z }t sec t dt = "

Z

tan2 t tan2 t + 1 sec2 t dt.

tan2 t + 1 = sec2 t

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secante al cuadrado, así, se propone el cambio de variable u = tan x

Cálculo del diferencial

!

du = sec2 t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

284

Entonces, la integral queda Cambio u = tan t

Z

2

4

tan t sec t dt =

Z

Cambio u = tan t

! p { # ◆2 ✓z}|{ z }| 2 tan t + 1 sec t dt

# ◆2 Z ✓z}|{ tan t tan t + 1 sec t dt = tan t 2

2

Diferencial du = sec2 t dt

2

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

=

Z Z

=

u

2

2

u + 1 du =

4

u +u

2

zZ }| { zZ }| { du = u4 du + u2 du " | {z } | {z }

Linealidad de la integral Z Z f (x) dx + g (x) dx

(f (x) + g (x)) dx =

Z

n

u du =

un+1 +C n+1

con

n=4 y n=2

u5 u3 1 1 + + C = tan5 t + tan3 t + C. 5 3 5 3

Luego,

Z

entonces

Z

tan2 t sec4 t dt =

1 1 tan5 t + tan3 t + C, 5 3

p ◆ p 1 1 25 5 5 3 5 x tan t + tan t + C = 5 5 tan t + tan3 t + C, 5 3 3 p p 25 5 5 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 5 5 tan t + tan3 t + C, en términos de la variable original 3 de integración x, puesto que p x x = 5 sec t =) sec t = p . 5 Z

3

p

x2

p 5 dx = 25 5

✓

Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x=

p

5 sec t

x hip. sec t = p = c.a. 5

=)

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

2

q c.o. = x2

p

x

5

entonces, c.o. tan t = = c.a. Última actualizacón: Julio 2013

Ct

2

p

x2 p

5 5

Farith J. Briceño N.

p

p

x2

5

5

,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

285

así, Z

p x x2 3

p

p 5 dx = 5 5 p

=

p

=

x2 p

x2 5 5 x2 5 5

Luego,

Z

x

5 5

3

3

3

!5

✓ ✓

p

p

p 25 5 + 3

p

2

25 + 3

x2

5

10 x + 3

◆

x2

2

x2 p ◆

5 5

!3

+C =

p

+C = p

x2 5 5

x2 5 5 3

✓

5

+

x2

5 ⇣p 2 x 3

5+

25 3

◆

5

⌘3

+C

+C

+ C. p

5 dx =

3

x2 5 5

✓

x2 +

10 3

◆

+ C.

Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio variable u2 = x2

Cálculo del

5

diferencial

!

2u du = 2x dx

=)

u du = x dx. F

Se deja al lector la resolución de esta integral con este cambio. Ejemplo 251 : Integre

Z

x3 dx p . x2 4

Solución : Se hace la sustitución trigonométrica x = 2 sec t

Cálculo del diferencial

!

dx = 2 sec t tan t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio x = 2 sec t

Diferencial dx = 2 sec t tan t dt

p Z # 3 z}|{ Z Z 3 x dx (2 sec t) (2 sec t tan t dt) p q = = 2 x2 4 (2 sec t) 4 " Cambio x = 2 sec t

8 sec3 t (2 sec t tan t dt) q = 4 sec2 t 4 | {z } "

Factor común 4

=

Z

16 sec4 t tan t dt p = 4 tan2 t

Z

16 sec4 t tan t dt = 2 tan t

Z

Z

16 sec4 t tan t dt r 4 sec2 t 1 | {z } p

sec2 t

1 = tan2 t

Z 8 sec4 t dt = 8 sec4 t dt " | {z }

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Integral de funciones trigonométricas con potencias

para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = sec4 t se observa que como la potencia de la secante es

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

286

par, la integral se escribe como Potencia par. Tomar un término sec2 t.

Z

Z # sec4 t dt = sec2 t sec2 t dt, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será sec2 t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es tan t, así, cabe la pregunta ¿Qué hacer con este término?

Z

por la identidad trigonométrica básica

# Z z }| { sec4 t dt = sec2 t sec2 t dt, tan2 t + 1 = sec2 t,

se tiene, tan2 t + 1 = sec2 t

Z

# Z z }| Z { sec t dt = sec2 t sec2 t dt = 4

tan2 t + 1 sec2 t dt.

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función tangente y su correspondiente derivada, la función secante al cuadrado, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

z = tan t

diferencial

dz = sec2 t dt,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio z = tan t

Z

sec4 t dt =

Z

Z

sec2 t sec2 t dt =

Z

tan2 t + 1 sec2 t dt =

Linealidad de la integral Z Z (f (z) + g (z)) dz = f (z) dz + g (z) dz

=

Z

Z

Diferencial dz = sec2 t dt

# ! # ◆2 ✓z}|{ z }| { tan t + 1 sec2 t dt

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

z }| { Z z }| { Z Z # Z 2 z3 tan3 t 2 z + 1 dz = z dz + dz = z dz + dz = + z + C1 = + tan t + C1 , 3 3 | {z } | {z } 2

Z

así,

Última actualizacón: Julio 2013

Z

n

z dz =

sec4 t dt =

z n+1 +C n+1

con

n=2 y n=0

1 tan3 t + tan t + C1 , 3

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 10.

entonces,

Z

Método de integración: Sustitución trigonométrica

x3 dx p =8 x2 4

Z

sec4 t dt = 8

✓

1 tan3 t + tan t + C1 3

◆

=

287

8 tan3 t + 8 tan t + C, 3

8 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = tan3 t + 8 tan t + C, en términos de la variable original de 3 integración x, puesto que x x = 2 sec t =) sec t = . 2 Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x = 2 sec t

=)

sec t =

q c.o. = x2

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

x hip. = 2 c.a.

2

x

(2)

p

x3 dx 8 p = 2 3 x 4

Luego,

Z

x2 2

4

!3

+8

4

2 p

c.o. = tan t = c.a. Z

x2

CC t

2

entonces,

así,

p

p

x2 2

4

x3 dx 1 ⇣p 2 p = x 3 x2 4

x2 2

+C =

4

,

1 ⇣p 2 x 3

⌘3 p 4 + 4 x2

⌘3 p 4 + 4 x2

4 + C.

4 + C.

Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio de variable u2 = x2

Cálculo del

5

diferencial

!

2u du = 2x dx

=)

u du = x dx. F

Se deja al lector la resolución de esta integral con este cambio. Ejemplo 252 : Integre

Z

x2

p 5

x2 dx.

Solución : Se hace el cambio trigonométrico x=

p

5 sen t

Cálculo del diferencial

!

dx =

p

5 cos t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

288

Entonces, la integral queda Diferencial p 5 cos t dt

dx =

Z

x "

2

p

5

# ⌘2 r z}|{ Z ⇣p x2 dx = 5 sen t 5 "

Cambio p 5 sen t

⇣p

5 sen t

⌘2 ⇣ p

5 cos t dt

⌘

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

x=

Z # r 5 sen2 t 5 |

=

5 sen2 t {z } "

Factor común 5

p =5 5

Z

2

sen t

p

5 cos2

r ⇣p# ⌘ p Z 5 cos t dt = 5 5 sen2 t 5 1 |

sen2 t cos t dt {z } p

sen t = cos2 t

1

2

Z p Z p 2 t cos t dt = 5 5 sen t 5 cos t cos t dt = 25 sen2 t cos2 t dt, " | {z } Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Integral de funciones trigonométricas con potencias

para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = sen2 t cos2 t se observa que como las potencias de las expresiones seno y coseno son pares, se tiene, por las identidades trigonométricas cos2 t =

1 + cos (2t) , 2

sen2 t =

1

cos (2t) . 2

que la integral se puede expresar como Producto notable (a + b) (a

Z

2

2

cos t sen t dt =

Z ✓

1 + cos (2t) 2

◆✓

1

cos (2t) 2

◆

b) = a2

# }| Z z (1 + cos (2t)) (1 dt = 4 "

b2

{ cos (2t))

dx

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

=

1 4

Z ✓

1 |

◆ Z Z 1 1 1 cos2 (2t) dt = sen2 (2t) dt = {z } 4 | {z } 4 " "

Identidad trigonométrica sen2 (·) + cos2 (·) = 1 de aquí,

sen2 (2t) = 1

1 = " 8

Z

✓Z

dt

cos2 (2t)

Z

cos (4t) dt

Identidad trigonométrica 1 cos 2 (·) sen2 (·) = 2

◆

1 = 8

Z

dt

1 8

Z

cos (4t) 1 1 dx = 2 4 2 "

Z

(1

cos (4t)) dt

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

cos (4t) dt.

Linealidad de la integral Z Z f (t) dt + g (t) dt

(f (t) + g (t)) dt =

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

289

Se calcula las integrales. La primera integral es sencilla Z dt = t + C1 .

Para la segunda integral, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = 4t

diferencial

!

du = 4 dt

du = dt, 4

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial du = dt 4

Cambio u = 4t

# # Z z}|{ z}|{ Z du 1 1 1 cos (4t) dt = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (4t) + C2 . 4 4 4 4 "

Z

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Luego,

Z

es decir, pero,

1 cos t sen t dt = (t + C1 ) 8 2

1 8

2

Z

✓

1 sen (4t) + C2 4

cos2 t sen2 t dt =

t 8

Z

es decir, con lo que, Z p x2 5

x2

dx = 25

✓

cos2 t sen2 t dt = Z t 8

t 8

cos2 t sen2 t dt =

t 8

1 sen (4t) + C, 32

sen2 t = 4 sen t cos3 t

1 4 sen t cos3 t 32 t 8

=

1 sen (4t) + C. 32

sen (4t) = 2 sen (2t) cos (2t) = 2 (2 sen t cos t) cos2 t

entonces,

◆

4 sen3 t cos t

4 sen3 t cos t + C,

1 1 sen t cos3 t + sen3 t cos t + C, 8 8

◆ 1 1 25 3 3 sen t cos t + sen t cos t + C = t 8 8 8

25 25 sen t cos3 t + sen3 t cos t + C, 8 8

25 25 25 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = t sen t cos3 t + sen3 t cos t + C, en términos de la 8 8 8 variable original de integración x, puesto que ✓ ◆ p x x x = 5 sen t =) sen t = p =) t = arcsen p . 5 5 Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip. CC t

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

Cateto adyacente : c.a.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

290

por lo tanto, x=

p

5 sen t

x c.o. sen t = p = hip. 5

=)

p

5 x

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

c.a. =

2

q p

2

5

Ct

x2

entonces, c.o. cos t = = hip

p

p

x2

5

5 x2 p , 5

es decir, Z

p x 5

25 x2 dx = arcsen 8

2

✓

x p 5

◆

p

25 x p 8 5

5 x2 p 5

25 = arcsen 8 Luego,

Z

p x 5 2

Ejemplo 253 : Integre

Z

x2

x3

25 dx = arcsen 8

p 4

✓

x p 5

◆

✓

25 8

x p 5

q

◆

✓

x p 5

1 x 8 x2 )

(5

3

◆3 p

q (5

5 x2 p +C 5 x2 )

3

1 3p x 5 8

1 3p x 5 8

x2 + C.

x2 + C. F

9x2 dx.

Solución : Se escribe la integral como Z p x3 4

9x2

dx =

y se hace el cambio trigonométrico 3x = 2 sen t

1 x 8

!3

=)

x=

Z

x

3

q

2

4

(3x) dx,

Cálculo del

2 sen t 3

diferencial

!

2 cos t dt, 3

dx =

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Diferencial 2 dx = cos t dt 3

Z

x

3

p

4

9x2

dx =

Z

x "

3

q

4

Cambio 2 sen t 3

x=

=

Z

8 sen3 t 27

# ◆3 q z}|{ Z ✓ 2 2 (|{z} 3x ) dx = sen t 4 3 "

Cambio 3x = 2 sen t

r 4 |

2

4 sen t {z } "

✓

2 cos t dt 3

◆

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

✓

2 cos t dt 3

◆

Factor común 4

Última actualizacón: Julio 2013

(2 sen t)

2

Farith J. Briceño N.

=

Z

# r 16 sen3 t 4 1 81 | 1

sen2 t cos t dt {z } p

sen2 t = cos2 t

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

=

16 81

Z

Método de integración: Sustitución trigonométrica

sen3 t

p

4 cos2 t cos t dt =

16 81

Z

291

Z 32 sen3 t (2 cos t) cos t dt = sen3 t cos2 t dt 81 " | {z }

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

Integral de funciones trigonométricas con potencias

para obtener la familia de primitiva de la función f (t) = sen3 t cos2 t se observa que la potencia de la expresión seno es impar, así, se escribe la integral como Potencia impar. Tomar un término seno.

Z

Z # sen3 t cos2 t dt = sen2 t cos2 t sen t dt, "

Futuro diferencial.

si el diferencial de la nueva integral será sen t dt, entonces el cambio de variable que se debe proponer es cos t, así, cabe la pregunta Z Z 2 2 sen3 t cos2 t dt = sen | {z }t cos t sen t dt, " ¿Qué hacer con este término?

por la identidad trigonométrica básica sen2 t + cos2 t = 1, por lo que,

Z

3

2

sen t cos t dt =

Z

sen2 t = 1

entonces 2

2

sen | {z }t cos t sen t dt = "

sen2 t = 1

Z

1

cos2 t,

cos2 t cos2 t sen t dt.

cos2 t

Se observa que en el nuevo integrando aparece la función coseno y su correspondiente derivada, la función seno, así, se propone el cambio de variable Cálculo del

u = cos t

diferencial

!

du =

sen t dt

=)

du = sen t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Cambio u = cos t

Z

1

2

2

cos t cos t sen t dt =

Z

1

Diferencial du = sen t dt

.◆ ! ✓& ◆ # ✓z}|{ 2 z}|{ 2 z }| { Z cos t cos t sen t dt =

Linealidad de la integral Sale de la integral por ser constante respecto a la variable de integración

1

# u2 u2 ( du)

Integrales de una potencia. Integrales de tabla.

= Z

Z

u

2

u

4

du = "

Linealidad de la integral Z Z f (u) du + g (u) du

(f (u) + g (u)) du =

Última actualizacón: Julio 2013

zZ }| { zZ }| { u2 du + u4 du = | {z } | {z } Z

n

u du =

un+1 +C n+1

con

Farith J. Briceño N.

u3 u5 + +C = 3 5

cos3 t cos5 t + + C. 3 5

n=2 y n=4

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

Luego,

Z

con lo que, Z p x3 4

9x2

32 dx = 81

Z

cos3 t cos5 t + + C. 3 5

sen3 t cos2 t dt =

32 sen t cos t dt = 81 3

2

✓

292

cos3 t cos5 t + 3 5

32 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = cos5 t 405 de integración x, puesto que

◆

32 cos5 t 405

+C =

32 cos3 t + C, 243

32 cos3 t + C, en términos de la variable original 243

3x . 2 Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular, 3x = 2 sen t

Hipotenusa : hip.

=)

sen t =

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

Ct Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, 3x = 2 sen t

=)

sen t =

3x c.o. = 2 hip.

2 3x

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

c.a. =

2

q 2 (2)

(3x)

CC t

2

entonces, c.o. cos t = = hip

p

9x2

4 2

p

9x2

4

,

por lo que, Z

x

3

p

4

32 9x2 dx = cos5 t 405

p

32 32 cos3 t + C = 243 405

2 =

Luego,

Z

x3

p

4

1 ⇣p 4 405

9x2 dx =

9x2

9x2

4

1 405

⌘5

p

!5

32 243 9x2

4

4 ⇣p 4 243

⌘3

9x2

4 2

4 243

5

9x2

p

p

4

!3

+C

9x2

3

+ C.

+ C.

Observación : Esta integral se puede resolver por medio del cambio de variable u2 = 4

9x2

Cálculo del diferencial

!

2u du =

18x dx

Se deja al lector la resolución de esta integral con este cambio.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

=)

u du =

9x dx. F

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Ejemplo 254 : Integre

Método de integración: Sustitución trigonométrica

Z

293

x2 dx p . 9 x2

Solución : Se hace el cambio trigonométrico Cálculo del

x = 3 sen t

diferencial

!

dx = 3 cos t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

x2 dx p = 9 x2

Z

=

Z

2

(3 sen t) (3 cos t dt) q = 2 9 (3 sen t) 27 sen2 t cos t dt p = 9 cos2 t

Z

Z

9 sen2 t (3 cos t dt) p = 9 9 sen2 t

27 sen2 t cos t dt = 3 cos t

Z

Z

27 sen2 t cos t dt p 9 (1 sen2 t) 2

9 sen t dt = 9

Z

sen2 t dt

para la familia de primitiva de la función f (t) = sen2 t se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonomética 1 cos (2t) sen2 t = , 2 se tiene, ✓Z ◆ Z Z Z Z 1 cos (2t) 1 1 2 sen t dt = dt = (1 cos (2t)) dt = dt cos (2t) dt , 2 2 2 donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediata Z dt = t + C1 ,

mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable Cálculo del

u = 2t

diferencial

!

du = 2 dt

du = dt, 2

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (2t) dt = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (2t) + C2 . 2 2 2 2 Luego,

así,

 1 t 2

Z

sen2 t dt =

Z

x2 dx p =9 9 x2

Z

sen (2t) t + C3 = 2 2 sen2 t dt = 9

✓

t 2

1 sen t cos t + C1 2

9t ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 2 integración x, puesto que x = 3 sen t

Última actualizacón: Julio 2013

=)

sen (2t) t + C3 = 4 2

sen t =

◆

=

9t 2

1 sen t cos t + C3 , 2 9 sen t cos t + C, 2

9 sen t cos t + C, en términos de la variable original de 2 x 3

=)

Farith J. Briceño N.

t = arcsen

⇣x⌘ 3

.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

294

Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x = 3 sen t

=)

sen t =

x c.o. = 3 hip.

3 x

q 2 c.a. = (3)

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

2

Ct

x2

entonces, cos t = es decir, Z x2 dx 9t p = 2 9 x2

c.a. = hip

⇣x⌘ 9 9 sen t cos t + C = arcsen 2 2 3

Luego,

Ejemplo 255 : Integre

Z Z

x

p

x2

9

9 x 2 3

3 p

dx p x2

4

x2

9

p

x

x2

9

,

3

⇣x⌘ x2 dx 9 p = arcsen 2 3 9 x2

p

+C =

⇣x⌘ 9 arcsen 2 3

x

p

9 x2 + C. 2

9 x2 + C. 2 F

.

Solución : Se hace la sustitución trigonométrica Cálculo del

x = 2 sec t

diferencial

!

dx = 2 sec t tan t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z dx 2 sec t tan t dt p q = 2 2 x x 4 2 sec t (2 sec t) =

Z

= 4

Z

2 sec t tan t dt p = 2 sec t 4 sec2 t 4

2 sec t tan t dt p = 2 sec t 4 tan2 t

Z

Z

2 sec t tan t dt p 2 sec t 4 (sec2 t 1)

2 sec t tan t dt = 2 sec t 2 tan t

Z

dt 1 = 2 2

Z

dt =

t + C, 2

t ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = + C, en términos de la variable original de integración x, 2 puesto que ⇣x⌘ x 2 x = 2 sec t; =) sec t = ; =) cos t = ; =) t = arccos . 2 x 2 Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

Luego,

Z

Ejemplo 256 : Integre

Z

dx p x x2

⇣x⌘ 1 arccos + C. 2 2

=

4

295

F

dx p . x x2 + 3

Solución : Se hace el cambio trigonométrico x=

p

Cálculo del

3 tan t

diferencial

!

dx =

p

3 sec2 t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda p Z Z dx 3 sec2 t dt p q = p p x x2 + 3 3 tan t 3 tan t

2

donde, sec t dt = tan t

Z

Z

sec2 t dt p = tan t 3 sec2 t

+3 =

Z

=

Z

sec2 t dt p = tan t 3 tan2 t + 3 Z

Z

sec2 t dt q tan t 3 tan2 t + 1

sec2 t dt 1 p =p tan t 3 sec t 3

1 Z Z Z cos t 1 cos t dt = dt = dt = csc t dt = ln |csc t sen t cos t sen t sen t cos t

así,

Z

Z

sec t dt, tan t

cot t| + C,

dx 1 p = p ln |csc t cot t| + C, 3 x2 + 3 1 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = p ln |csc t cot t| + C, en términos de la variable original de 3 integración x, puesto que p x x = 3 tan t =) tan t = p . 3 Para calcular csc t y cot t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

x

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x=

p

3 tan t

=)

x c.o. tan t = p = c.a. 3

p

x2 + 3 x

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

Última actualizacón: Julio 2013

2

hip. =

q

x2 +

p

3

2

Farith J. Briceño N.

CC t

p

3 [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

entonces, hip csc t = = c.o. Luego,

Z

Ejemplo 257 : Integre

Z p

x2 x

p

3 + x2 x

y

dx 1 p = p ln 3 x x2 + 3

p

296

p c.a. 3 cot t = = ., c.o. x 3 + x2 x

p

3 + C. x F

9

dx.

Solución : Hacemos el cambio trigonométrico Cálculo del

x = 3 sec t

diferencial

!

dx = 3 sec t tan t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda q 2 Z p 2 Z Z p (3 sec t) 9 x 9 dx = 3 sec t tan t dt = 9 sec2 t 9 tan t dt x 3 sec t Z p Z p Z Z = 9 (sec2 t 1) tan t dt = 9 tan2 t tan t dt = 3 tan t tan t dt = 3 tan2 t dt,

donde,

Z

así,

tan2 t dt =

Z

sec2 t

1 dt =

Z

sec2 t dt

Z

dt = tan t

t + C,

Z p

x2 9 dx = 3 (tan t t) + C = 3 tan t 3t + C, x ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 3 tan t 3t + C, en términos de la variable original de integración x, puesto que ✓ ◆ 3 3 x x = 3 sec t =) sec t = =) cos t = =) t = arccos . 3 x x Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

Ct Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x = 3 sec t

=)

sec t =

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

Última actualizacón: Julio 2013

2

x hip. = 3 c.a.

q c.o. = x2

x

(3)

2

Farith J. Briceño N.

p

x2

9

CC t 3 [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

entonces,

p

c.o. tan t = = c.a. es decir,

Luego,

Z p

x2 x

9

dx = 3

p

x2 3

Z p

Ejemplo 258 : Integre

Z p

x2 x

9

3 arccos

9

dx =

p

x2 3

9

,

✓ ◆ p 3 + C = x2 x

x2

9

297

9

3 arccos

✓ ◆ 3 + C. x

✓ ◆ 3 3 arccos + C. x

F

x2 + 7 dx. x2

Solución : Hacemos el cambio trigonométrico x=

p

Cálculo del

7 tan t

diferencial

!

dx =

p

7 sec2 t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda q p 2 Z p 2 Z Z p 7 tan t + 7 p x +7 7 tan2 t + 7 p 2 dx = 7 sec t dt = 7 sec2 t dt p 2 2 2 x 7 tan t 7 tan t q p Z p Z p p Z p 7 tan2 t + 1 7 7 7 sec2 t 7 7 sec t 2 2 = sec t dt = sec t dt = sec2 t dt 7 7 7 tan2 t tan2 t tan2 t =

Z

sec3 t dt = tan2 t

Z

1 cos3 t sen2 t cos2 t

dt =

Z

cos2 t dt = sen2 t cos3 t

para obtener la familia de primitiva de la función g (t) =

sen2

Z

dt , sen2 t cos t

1 , se usa la identidad trigonométrica básica t cos t

1 = sen2 t + cos2 t y se escribe la integral Z Z dt = sen2 t cos t

sen2 t + cos2 t dt = sen2 t cos t

donde,

Z

sen2 t dt + sen2 t cos t

Z

cos2 t dt = sen2 t cos t

Z

dt + cos t

Z

cos t dt, sen2 t

Z

Z dt = sec t dt = ln |sec t + tan t| + C1 , cos t Z cos t mientras que, para la integral dt, se propone el cambio de variable sen2 t Cálculo del

u = sen t

diferencial

!

du = cos t dt,

la integral queda Z

cos t dt = sen2 t

Última actualizacón: Julio 2013

Z

du = u2

Z

u

2

du =

1 + C2 = u

Farith J. Briceño N.

1 + C2 = sen t

csc t + C2 , [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

así,

Z p

x2 + 7 dx = ln |sec t + tan t| x2

298

csc t + C3 ,

donde C3 = C1 + C2 , ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t + tan t| de la variable original de integración x, puesto que p x x = 7 tan t =) tan t = p . 7

csc t + C3 , en términos

Para calcular sec t y csc t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, x=

p

7 tan t

x c.o. tan t = p = c.a. 7

=)

p

x2 + 7 x

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

hip. =

2

entonces, hip csc t = = c.o.

p

q

x2 +

p

7

7 + x2 x

2

Ct

hip sec t = = c.a.

y

p

p

7

7 + x2 p , 7

por lo que, Z p

x2 + 7 dx = ln x2 = ln

donde C = C3

ln

p

p

p

7+

x2

7. Luego, Z p

Ejemplo 259 : Integre

Z

x2

p

7 + x2 x p +p 7 7 +x

ln

p

7

7 + x2 + C3 = ln x p

p

7 + x2 + x p 7

p 7 + x2 + C3 = ln 7 + x2 + x x

p x2 + 7 dx = ln 7 + x2 + x 2 x

p

p

7 + x2 + C3 x p

7 + x2 + C, x

7 + x2 + C. x F

2x 1 dx. 6x + 18

Solución : Se observa que la derivada del polinomio del denominador es x2

6x + 18

0

= 2x

6,

así, que se escribe la integral como Z Z Z Z Z 2x 1 2x 1 5 + 5 (2x 6) + 5 (2x 6) dx dx = dx = dx = + 5 x2 6x + 18 x2 6x + 18 x2 6x + 18 x2 6x + 18 x2 Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

dx , 6x + 18

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

donde, la primera integral,

Z

(2x 6) dx , se resuelve al proponer el cambio de variable x2 6x + 18

u = x2 la integral nos queda

Cálculo del

6x + 18

diferencial

Z

Z (2x 6) dx = x2 6x + 18 Z mientras que, para la segunda integral, x2 Al completar cuadrado se obtiene

así,

Z

!

du = (2x

du = ln |u| + C1 = ln x2 u

6) dx,

6x + 18 + C1 ,

dx , se completa cuadrados y se propone un cambio trigonométrico. 6x + 18

x2

6x + 18 = (x

x2

dx = 6x + 18

y ahora, se hace el cambio trigonométrico x

299

Z

2

3) + 9, dx 2

(x

3) + 9

Cálculo del

3 = 3 tan t

diferencial

,

dx = 3 sec2 t dt,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla.

así,

Entonces, la integral queda Z Z Z Z Z Z dx 3 sec2 t dt 3 sec2 t dt 3 sec2 t dt sec2 t dt 1 t = = = = = dt = + C2 , 2 2 2 2 2 x 6x + 18 3 sec t 3 3 9 tan t + 9 9 tan t + 1 (3 tan t) + 9 Z

dx t = + C2 , 6x + 18 3 t ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = + C2 , en términos de la variable original de integración x, 3 puesto que ✓ ◆ x 3 x 3 x 3 = 3 tan t =) tan t = =) t = arctan , 3 3 por lo tanto,

Entonces Z

Z 2x 1 dx = x2 6x + 18

Z

x2

dx 1 = arctan 6x + 18 3

(2x 6) dx +5 x2 6x + 18 = ln x2

donde C = C1 + 5C2 . Luego,

Z

Última actualizacón: Julio 2013

x2

Z

✓

x

3 3

◆

+ C2 .

dx 6x + 18 ✓ ✓ ◆ ◆ 1 x 3 6x + 18 + C1 + 5 arctan + C2 3 3 ✓ ◆ 5 x 3 = ln x2 6x + 18 + arctan + C, 3 3

2x 1 dx = ln x2 x2 6x + 18

x2

5 6x + 18 + arctan 3

Farith J. Briceño N.

✓

x

3 3

◆

+ C. F [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Ejemplo 260 : Integre

Método de integración: Sustitución trigonométrica

Z

p

x

(x + 6)

2

300

dx.

Solución : Se propone el cambio de variable Cálculo del

x = z2

diferencial

!

dx = 2z dz,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda p

Z

x

(x + 6)

dx =

2

p

Z

z2

(z 2 + 6)

2z dz = 2

2

Z

z2 (z 2 + 6)

2

dz.

Se hace el cambio trigonométrico z=

p

Cálculo del

6 tan t

diferencial

!

dz =

p

6 sec2 t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

z2 (z 2 + 6)

2

dz =

=

Z

Z

⇣ p

p

2

6 tan t

6 tan t

2

+6

p 6 6 tan2 t sec2 t 6 tan2 t + 1

2

⌘2

dt =

p Z p Z 6 6 tan2 t = dt = 2 6 sec t 6

p Z

6 sec2 t dt =

Z

6 tan2 t 2

6 tan t + 6

p 6 6 tan2 t sec2 t 36 (sec2 t)

sen2 t cos2 t 1 cos2 t

2

2

p

6 sec2 t dt

p Z 6 tan2 t sec2 t dt = dt 6 sec4 t

p Z 6 dt = sen2 t dt, 6

para la familia de primitiva de la función f (t) = sen2 t se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonomética 1 cos (2t) sen2 t = , 2 se tiene, ✓Z ◆ Z Z Z Z 1 cos (2t) 1 1 dt cos (2t) dt , sen2 t dt = dt = (1 cos (2t)) dt = 2 2 2 donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediata Z dt = t + C1 ,

mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable u = 2t

Cálculo del diferencial

!

du = 2 dt

=)

du = dt, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

301

Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (2t) dt = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (2t) + C2 . 2 2 2 2 Luego,

así,

es decir,

Z

Z

 1 sen t dt = t 2

sen (2t) t + C3 = 2 2

2

p Z p ✓ 6 6 t 2 sen t dt = 2 dz = 6 2 6 2 (z + 6) z2

Z

sen (2t) t + C3 = 4 2

1 sen t cos t + C1 2 p

z2

6 2 dz = 12 t (z 2 + 6) p 6 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = t 12 integración z, puesto que z=

p

6 tan t

p

p

6 = t 12

6 sen t cos t + C, 12

p

6 sen t cos t + C, 12 p 6 sen t cos t + C, en términos de la variable de 12

z tan t = p 6

=)

◆

1 sen t cos t + C3 , 2

=)

t = arctan

✓

z p 6

◆

.

Para calcular sen t y cos t en función de z, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

Ct Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, z=

p

6 tan t

z c.o. tan t = p = c.a. 6

=)

p

z2 + 6 z

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

2

hip. =

q

z2 +

p

6

2

Ct

entonces, c.o. z sen t = =p hip 6 + z2 por lo que, Z z2

p

6 2 dz = 12 t 2 (z + 6) p

y

p ✓ ◆ 6 6 z sen t cos t + C = arctan p 12 12 6 ✓

z p 6

◆

p

6 12

2

p

6

p c.a. 6 cos t = =p , hip 6 + z2

p

6 = arctan 12

p

p

p 6 z 6 p p +C 2 12 6+z 6 + z2

p

z 2

6 +C = arctan 12

✓

z p 6

◆

1 z + C, 2 6 + z2

6 + z2 p ✓ ◆ 6 z 1 z p se expresa la familia de primitiva F (z) = arctan + C, en términos de la variable original 12 2 6 + z2 6 de integración x, puesto que p x = z2 =) z = x, Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

así,

Z

p

x

(x + 6)

2

Método de integración: Sustitución trigonométrica

dx = 2

"p

Luego,

6 arctan 12 Z

Ejemplo 261 : Integre

Z

p

(x + 6)

p ✓p ◆ p # 1 x 6 x p + C = arctan 2 2 6+x 6 6

✓p ◆ x p 6

x 2

p

6 arctan 6

dx =

302

✓p ◆ x p 6

p

x + C, 6 + x2

p

x + C. 6 + x2 F

sec4 x dx p . 4 tan2 x

Solución : Se propone el cambio trigonométrico Cálculo del

tan x = 2 sen t

diferencial

sec2 x dx = 2 cos t dt,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

sec4 x dx p = 4 tan2 x =

= es decir,

Z Z

Z

sec2 x sec2 x dx p = 4 tan2 x

Z

tan2 x + 1 p sec2 x dx = 4 tan2 x Z

Z

donde,

⇣

⌘ 2 (2 sen t) + 1 q (2 cos t dt) 2 4 (2 sen t)

Z 4 sen2 t + 1 4 sen2 t + 1 p p (2 cos t dt) = 4 (1 sen2 t) 4 cos2 t Z Z Z (2 cos t dt) = 4 sen2 t + 1 dt = 4 sen2 t dt + dt,

4 sen2 t + 1 p (2 cos t dt) = 4 4 sen2 t 4 sen2 t + 1 2 cos t

Z

sec4 x dx p =4 4 tan2 x Z

Z

2

sen t dt +

Z

(2 cos t dt)

dt,

dt = t + C1 ,

mientras que, para la familia de primitiva de la función f (t) = sen2 t se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonomética 1 cos (2t) sen2 t = , 2 se tiene, ✓Z ◆ Z Z Z Z 1 cos (2t) 1 1 sen2 t dt = dt = (1 cos (2t)) dt = dt cos (2t) dt , 2 2 2 donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediata Z dt = t + C2 ,

mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable u = 2t

Cálculo del diferencial

!

du = 2 dt

=)

du = dt, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

303

Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (2t) dt = cos u = cos u du = sen u + C3 = sen (2t) + C3 . 2 2 2 2 Luego,

Z

así, Z

 1 sen t dt = t 2 2

sec4 x dx p =4 4 tan2 x

entonces,

Z

sen (2t) t + C4 = 2 2

sen2 t dt +

Z

dt = 4

✓

sen (2t) t + C4 = 4 2

1 sen t cos t + C4 2

t 2

◆

1 sen t cos t + C4 , 2

+ t + C1 = 3t

2 sen t cos t + C,

Z

sec4 x dx p = 3t 2 sen t cos t + C, 4 tan2 x ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 3t 2 sen t cos t + C, en términos de la variable original de integración x, puesto que ✓ ◆ tan x tan x tan x = 2 sen t =) sen t = =) t = arcsen . 2 2 Para calcular cos t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, tan x = 2 sen t

=)

sen t =

tan x c.o. = 2 hip.

2 tan x

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

2

c.a. =

q 2 (2)

(tan x)

entonces, c.a. cos t = = hip es decir, Z sec4 x dx p = 3t 4 tan2 x

2 sen t cos t + C = 3 arcsen

✓

CC t

2

p

4

tan x 2

Última actualizacón: Julio 2013

Z

sec4 x dx p = 3 arcsen 4 tan2 x

✓

tan x 2

◆

4

tan2 x

tan2 x , 2 ◆

tan x 2 2

= 3 arcsen Luego,

p

tan x

Farith J. Briceño N.

p

p ✓

4

tan2 x +C 2

tan x 2

◆

tan x

p

4 tan2 x + C. 2

4 tan2 x + C. 2 F [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Ejemplo 262 : Integre

Método de integración: Sustitución trigonométrica

Z

y 2 dy (y 2 + 4)

5/2

304

.

Solución : Se hace la sustitución trigonométrica Cálculo del

y = 2 tan t

diferencial

dy = 2 sec2 t dt,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

y 2 dy (y 2 + 4)

5/2

=

Z

2

(2 tan t) 2 sec2 t dt ⇣ ⌘5/2 = 2 (2 tan t) + 4 =

=

Z

1 4

8 tan2 t sec2 t (4 sec2 t)

Z

5/2

sen2 t cos2 t 1 cos3 t

es decir,

Z

Z

1 4

4 tan2 t + 4

8 tan2 t sec2 t 4 tan2 t + 1

8 tan2 t sec2 t dt = 25 sec5 t

Z

tan2 t 1 dt = 2 2 sec3 t 4

Z

sen2 t cos3 t 1 dt = cos2 t 4

Z

sen2 t cos t dt,

y 2 dy (y 2 + 4)

5/2

dt =

Z

Z

dt =

dt =

4 tan2 t 2 sec2 t

5/2

=

1 4

Z

5/2

Z

dt

tan2 t dt sec3 t

sen2 t cos t dt

para la familia de primitiva de la función f (t) = sen2 t cos t se observa que en el integrando aparece la función seno y su correspondiente derivada, la función coseno, así, es natural proponer el cambio de variable Cálculo del

u = sen t

diferencial

!

du = cos t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z u2 1 1 3 2 sen t cos t dt = u2 du = + C1 = (sen t) + C1 = sen3 t + C1 , 2 3 3 con lo que,

de aquí,

Z Z

y 2 dy (y 2

es decir,

+ 4)

5/2

=

1 4

Z

sen2 t cos t dt =

1 sen3 t + C1 , 3 ✓

sen2 t cos t dt =

1 4

Z

1 sen3 t + C, 12

y 2 dy (y 2

+ 4)

5/2

=

1 sen3 t + C1 3

◆

=

1 sen3 t + C, 12

1 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = sen3 t + C, en términos de la variable original de integración 12 y, puesto que y y = 2 tan t =) tan t = . 2 Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

305

Para calcular sen t en función de y, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, y = 2 tan t

=)

Por Pitágoras 2

2

y c.o. = 2 c.a.

tan t =

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

hip. =

2

q

p y2 + 4

y 2 + (2)

y c.o. =p , 2 hip y +4

sen t = Z

y 2 dy (y 2 + 4)

5/2

1 1 = sen3 t + C = 12 12

Luego,

Z

Z p Ejemplo 263 : Integre 2t

Ct

2

2

entonces,

por lo que,

y

y 2 dy (y 2 + 4)

5/2

y

p y2 + 4

=

!3

+C =

1 y3 ⇣p ⌘3 + C. 12 y2 + 4

1 y3 ⇣p ⌘3 + C. 12 y2 + 4

F

t2 dt.

Solución : Se completa cuadrado t2 =

2t así, la integral se escribe

Se hace la sustitución trigonométrica t

Z p

2t

2

(t

t2

1) + 1 = 1

Z q dt = 1

(t

Cálculo del

1 = sen z

diferencial

!

2

(t

1) ,

2

1) dt.

dt = cos z dz,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z p Z q 2t t2 dt = 1 (t Última actualizacón: Julio 2013

2

1) dt =

Z p

1

sen2 z cos z dz =

Farith J. Briceño N.

Z p

cos2 z cos z dz =

Z

cos2 z dz,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

es decir,

Z p

Z

t2 dt =

2t

306

cos2 z dz,

para la familia de primitiva de la función f (z) = cos2 z se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonomética 1 + cos (2z) cos2 z = , 2 se tiene, ✓Z ◆ Z Z Z Z 1 + cos (2z) 1 1 2 cos z dz = dz = (1 + cos (2z)) dz = dz + cos (2z) dz , 2 2 2 donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediata Z dz = z + C1 ,

mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable Cálculo del

u = 2z

diferencial

!

du = 2 dz

=)

du = dz, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (2z) dz = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (2z) + C2 . 2 2 2 2 Luego,

Z

así,

 1 sen (2z) z sen (2z) z 1 z+ +C = + + C = + sen z cos z + C, 2 2 2 4 2 2

cos2 z dz =

Z p

2t

t2

dt =

Z

cos2 z dz =

z 1 + sen z cos z + C, 2 2

z 1 ahora, se expresa la familia de primitiva F (z) = + sen z cos z + C, en términos de la variable original de 2 2 integración t, puesto que t 1 = sen z =) z = arcsen (t 1) . Para calcular cos z en función de t, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC ↵ Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, t

1 = sen t

=)

sen t =

t

1 1

=

c.o. hip.

1 t

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

Última actualizacón: Julio 2013

2

q 2 c.a. = (1)

(t

1)

2

Farith J. Briceño N.

CC ↵

p

2t

1

t2 [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

entonces, c.a. cos t = = hip es decir,

Luego,

Z p

2t

Z p

Ejemplo 264 : Integre

p 2t t2 = 2t 1

z 1 1 + sen z cos z + C = arcsen (t 2 2 2

t2 dt =

Z

p

1 arcsen (t 2

t2 dt =

2t

(t + 1)

dt p

t2 + 2t

Z

t2 + 2t = (t + 1)

(t + 1)

t2 ,

1) +

1 (t 2

1)

1 (t 2

p

1)

p

2t

t2 + C.

t2 + C.

2t

F

.

Solución : Se completa cuadrado así, la integral se escribe

1) +

307

dt p

t2

+ 2t

=

Z

2

1,

(t + 1)

Se hace la sustitución trigonométrica

q

Cálculo del

t + 1 = sec z

diferencial

!

dt (t + 1)

2

. 1

dt = sec z tan z dz,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z Z Z dt sec z tan z dz sec z tan z dz sec z tan z q p p = = = dz = dz = z + C, sec z tan z 2 sec z sec2 z 1 sec z tan2 z (t + 1) (t + 1) 1

ahora, se expresa la familia de primitiva F (z) = z + C, en términos de la variable original de integración t, puesto que ✓ ◆ 1 1 1 t + 1 = sec z =) =t+1 =) cos z = =) z = arccos . cos z t+1 t+1 de aquí,

Z

(t + 1)

dt p

t2 + 2t

Luego,

Ejemplo 265 : Integre

=

Z Z

2

t dt (t2

+ 1)

Z

(t + 1)

(t + 1)

dt p

q

dt (t + 1)

t2 + 2t

2

= z + C = arccos 1

= arccos

✓

1 t+1

◆

✓

1 t+1

◆

+ C.

+ C. F

2.

Solución : Se hace la sustitución trigonométrica t = tan z

Cálculo del diferencial

!

dt = sec2 z dz,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

308

Entonces, la integral queda Z Z Z Z Z t2 dt tan2 z sec2 z dz tan2 z sec2 z dz tan2 z sec2 z dz tan2 z = = = = dz 2 2 2 4 sec z sec2 z (t2 + 1) (sec2 z) tan2 z + 1

= es decir,

Z

t2 dt (t2 + 1)

2

sen2 z cos2 z 1 cos2 z

Z

=

Z

dz =

Z

sen2 z cos2 z dz = cos2 z

Z

sen2 z dz

sen2 z dz,

para la familia de primitiva de la función f (z) = sen2 z se procede de la siguiente manera, por la identidad trigonomética 1 cos (2z) sen2 z = , 2 se tiene, ✓Z ◆ Z Z Z Z 1 cos (2z) 1 1 2 sen z dz = dz = (1 cos (2z)) dz = dz cos (2z) dz , 2 2 2 donde, la primera integral del lado derecho de la igualdad es inmediata Z dz = z + C1 ,

mientras que, la segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve al proponer el cambio de variable Cálculo del

u = 2z

diferencial

!

du = 2 dz

=)

du = dz, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z du 1 1 1 cos (2z) dz = cos u = cos u du = sen u + C2 = sen (2z) + C2 . 2 2 2 2 Luego,

así,

Z

 1 z sen z dz = 2 2

Z

sen (2z) z +C = 2 2 t2 dt

(t2 + 1)

2

=

Z

sen (2z) z +C = 4 2

sen2 z dz =

z 2

1 sen z cos z + C, 2

1 sen z cos z + C, 2

z 1 ahora, se expresa la familia de primitiva F (z) = sen z cos z + C, en términos de la variable original de 2 2 integración t, puesto que t = tan z =) z = arctan t. Para calcular sen t y cos z en función de t, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip. CC ↵

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

Cateto adyacente : c.a.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

309

por lo tanto, t = tan z

=)

tan z =

t c.o. = 1 c.a.

p

1 + t2 t

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

hip. =

2

entonces, sen t = es decir, Z t2 dt (t2

+ 1)

2

=

z 2

q

1

c.o. t =p hip 1 + t2

y

1 1 sen z cos z + C = arctan t 2 2

Luego,

Z

Ejemplo 266 : Integre

t2 dt (t2

C↵

2

(1) + t2

+ 1)

2

=

cos t =

c.a. 1 =p , hip 1 + t2

1 t 1 1 p p +C = arctan t 2 2 2 1+t 2 1+t

1 arctan t 2

1 t + C. 2 1 + t2

1 t + C. 2 1 + t2 F

Z p

e sen2 x cos x dx . sen2 x 2 sen x + 5

Solución : Al completar cuadrado sen2 x se escribe la integral como

Z p

e sen2 x cos x dx p = e sen2 x 2 sen x + 5

Se hace la sustitución trigonométrica sen x

1 = 2 tan t

=)

2

2 sen x + 5 = (sen x

sen x = 2 tan t + 1

Z

1) + 4,

sen2 x cos x dx (sen x

2

1) + 4

.

Cálculo del diferencial

cos x dx = 2 sec2 t dt,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z 2 2 (2 tan t + 1) 2 sec2 t dt (2 tan t + 1) 2 sec2 t dt sen2 x cos x dx = = 2 2 4 tan2 t + 4 (sen x 1) + 4 (2 tan t) + 4 Z Z 2 2 2 (2 tan t + 1) 2 sec2 t dt (2 tan t + 1) 2 sec2 t dt (2 tan t + 1) = = dt 4 sec2 t 2 4 tan2 t + 1 Z Z Z Z Z 1 1 1 2 = (2 tan t + 1) dt = 4 tan2 t + 4 tan t + 1 dt = 2 tan2 t dt + 2 tan t dt + dt, 2 2 2 =

donde

Z

• Por la identidad trigonométrica tan2 t + 1 = sec2 t se tiene que Z Z tan2 t dt = sec2 t 1 dt = tan t

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

t + C1 .

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

• Puesto que, tan t =

sen t se tiene que cos t

Z

se propone el cambio de variable

tan t dt =

Cálculo del

u = cos t

diferencial

!

Z

310

sen t dt cos t

du =

sen t dt

=)

du = sen t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z Z sen t tan t dt = dt = cos t

du = u

ln |u| + C2 =

• Por último,

Z Z

tan t dt = ln |sec t| + C2 .

dt = t + C3 .

Entonces, Z sen2 x cos x dx (sen x

2

1) + 4

=2

= 2 (tan t

Z

tan2 t dt + 2

Z

tan t dt +

1 2

Z

t + C1 ) + 2 (ln |sec t| + C2 ) +

1 donde C4 = 2C1 + 2C2 + C3 . Así, 2 Z sen2 x cos x dx (sen x

dt

1 (t + C3 ) = 2 tan t 2

3 t + C4 = 2 tan t + ln tan2 t + 1 2

= 2 tan t + ln sec2 t

2

1) + 4

= 2 tan t + ln tan2 t + 1

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 2 tan t + ln tan2 t + 1 original de integración x, puesto que sen x

1 = 2 tan t

sen x tan t = 2

=)

1

=)

2t + 2 ln |sec t| +

sen2 x cos x dx (sen x

2

1) + 4

=2

✓

sen x 2

1

◆

✓

3 t + C4 , 2 3 t + C4 , en términos de la variable 2 t = arctan

1

◆2

= sen x

Última actualizacón: Julio 2013

sen x 2

+1

(sen x 1) 1 + ln +1 4

3 arctan 2

✓

sen x 2

1

3 arctan 2

✓

sen x 2

1

2

= sen x

✓

✓

3 arctan 2

+ ln

sen x 2

1 + ln

2

(sen x

1) + 1 4

Farith J. Briceño N.

t + C4 2

3 t + C4 , 2

de aquí, Z

+ C2

1 + C2 = ln |sec t| + C2 , cos t

= ln por lo tanto,

1

ln |cos t| + C2 = ln (cos t)

1

◆

◆

+ C4

◆

+ C4

◆

+ C4

sen x 2

1

,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

= sen x

3 arctan 2

ln 4

3 arctan 2

1) + 1

ln 4, por lo tanto,

1 Z

1) + 1

2

= sen x + ln (sen x donde, C = C4

2

1 + ln (sen x

sen2 x cos x dx 2

(sen x

1) + 4

= sen x + ln (sen x

1) + 1

Finalmente Z p p e sen2 x cos x dx p = e sen x + e ln (sen x sen2 x 2 sen x + 5 Z p

Ejemplo 267 : Integre

x2 + 4x

✓

3 arctan 2

2

3

2

1) + 1

311

p

sen x 2 ✓

e

2

✓

1

◆

sen x 2

arctan

sen x 2

1

✓

◆

+ C4

◆

+ C.

1

+ C, ◆

+ C.

sen x 2

1

F

2 dx.

Solución : Completamos cuadrado x2 + 4x con lo que,

Se hace el cambio trigonométrico x+2=

p

Z p

x2 + 4x

2 = (x + 2)

2

Z q 2 (x + 2)

2 dx =

Cálculo del

6 sec t

6,

diferencial

!

6 dx.

p

dx =

6 sec t tan t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z p Z r⇣ p ⌘2 2 x + 4x 2 dx = 6 sec t = donde,

de aquí,

p

6

Z p

Z

6 (sec2 t

6

⇣p

p Z p 6 sec t tan t dt = 6 6 sec2 t ⌘

1) sec t tan t dt =

2

sec t tan t dt = Z

Z

6 sec t tan t dt

Z p Z p 6 6 tan2 t sec t tan t dt = 6 sec t tan2 t dt,

2

sec t sec t

1 dt =

Z

3

sec t dt

Z

sec t dt

sec t dt = ln |sec t + tan t| + C1

mientras que, la integral de la secante cúbica se resuelve por el método de integración por partes. Escribimos la integral como Z Z 3 sec t dt = sec2 t sec t dt. Integramos por partes, con

u = sec t dv = sec2 t dt

Última actualizacón: Julio 2013

Al derivar

!

Al integrar

!

Farith J. Briceño N.

du = sec t tan t dt v = tan t, [email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

La integral se transforma en Z sec3 t dt = sec t tan t

Z

es conocido que

Z

tan t sec t tan t dt = sec t tan t tan2 t = sec2 t

312

sec t tan2 t dt,

1,

así, tan2 t = sec2 t

Z

Z

3

sec t dt = sec t tan t = sec t tan t = sec t tan t

es decir,

Z

de aquí,

# z }| { sec t tan2 t dt = sec t tan t

Z

sec3 t

Z

2 con lo que,

Z

=6 de quí,

 

Z

x+2=

sec3 t dt =

1 sec t tan t 2 x2 + 4x

6 sec t

sec3 t dt +

Z

sec t dt

sec3 t dt = sec t tan t + ln |sec t + tan t| + C1 , 1 1 sec t tan t + ln |sec t + tan t| + C. 2 2 Z

sec t dt

ln |sec t + tan t| + C

1 ln |sec t + tan t| + C = 3 sec t tan t 2 2 dx = 3 sec t tan t

ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = 3 sec t tan t original de integración x, puesto que p

Z

1 dt

sec3 t dt + ln |sec t + tan t| + C1 ,

1 1 sec t tan t + ln |sec t + tan t| 2 2

Z p

sec t sec2 t

sec t dt = sec t tan t

Entonces, tenemos Z Z p Z 2 2 x + 4x 2 dx = 6 sec t tan t dt = 6 sec3 t dt =6

Z

sec3 t dt + ln |sec t + tan t| + C1 ,

sec3 t dt = sec t tan t Z

1

=)

3 ln |sec t + tan t| + C,

3 ln |sec t + tan t| + C, 3 ln |sec t + tan t| + C, en términos de la variable

x+2 sec t = p 6

=)

cos t =

p

6 . x+2

Para calcular tan t en función de x, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip. CC t

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

Cateto adyacente : c.a.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

313

por lo tanto, x+2=

p

6 sec t

x+2 hip. sec t = p = c.a. 6

=)

q 2 c.o. = (x + 2)

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

2

entonces, c.o. tan t = = c.a.

q

x+2 Ct

6

q

(x + 2) p 6

2

6

p

(x + 2)

2

6

6

.

Luego, Z p x2 + 4x

así,

x+2 2 dx = 3 p 6

Z p x2 + 4x

q

(x + 2) p 6

2

6

2

6

+C

2

3 ln x + 2 +

p

x2 + 4x

2

3 ln x + 2 +

p

x2 + 4x

2 + C,

2

3 ln

=

p 1 (x + 2) x2 + 4x 2

2

=

p 1 (x + 2) x2 + 4x 2

2

p 1 (x + 2) x2 + 4x 2

(x + 2) p 6

p x2 + 4x p 6

p 1 = (x + 2) x2 + 4x 2

2 dx =

x+2 p + 6

3 ln

q

2

x+2+

3 ln x + 2 +

p

x2 + 4x

+C

ln

p

6+C

2 + C. F Ejercicios

Calcular las siguientes integrales haciendo la sustitución trigonométrica apropiada. Z Z Z Z Z dx dx dt d✓ dx p p p p 1. 2. 3. 4. 5. 7 + 2t2 16 x2 4 3x2 9 + ✓2 3x2 2 Z Z Z Z Z p dx y dy y 2 dy dx p p 6. 7. 8. 9. 10. 5t 1 + t2 dt 5/2 5/2 2 2 ax b a bx (y 2 + 4) (y 2 + 4) Z Z Z Z p dx cos x dx dx 11. 12. 13. 14. 2t t2 dt 2 3/2 sen2 x 6 sen x + 12 (1 + x2 ) (4x2 25) 15.

19. 23.

Z Z Z

p e 9 t

dx p 4 x x2 p

e2t

dt

2

ex dx 1 + ex + e2x

Última actualizacón: Julio 2013

16.

20.

Z

24.

Z p

5

p

x2

3x dx + 2x + 5

Z

p

4t

dx 16 + 6x

t2

dt

x2

Z

Z x2 dx p p 17. dx 18. 2 2 5 x x + 4x + 5 p Z Z 9x2 4 dx p 21. dx 22. x 4x x2 Z Z t dt x dx p p 25. 26. a 4 t4 4x x2

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

27. 31.

35.

Z Z Z Z

Método de integración: Sustitución trigonométrica

2x + 1 dx 2 x + 2x + 2 sec2 (2x) dx 9 + tan2 (2x) p

x

(x + 6) 3x

(e2x

dx

32.

36.

Z

Z

2x 1 dx 2 x 6x + 18 Z

x

p

29.

ln x dx 1

4 ln x

33.

ln2 x

tan7 x + tan5 x dx tan4 (⇡/4) + tan4 x x2 dx p 8x3 x6

Z p

37. Z

Z

e2t Z x2

3/2

Última actualizacón: Julio 2013

40.

41.

dx p 9 x2 Z 46.

9 dt

3x2 dx 2x2 + 5 dx p x2

5 Z

Z

sen t cos t dt 9 + cos4 t Z x3 dx p 34. 7 + x2 p Z e3x dx 38. 5/2 x (e + ex )

30.

dx 13 3 x2 9) Z Z Z Z dx dx dx dx dx p p p 43. 44. 45. 47. 2 2 2 2 16 + x 2+x x 4 x 5 x x2 + 3 Z Z Z p Z dx dx 1 x2 dx p p p 48. 49. 50. dx 51. 2 2 2 2 x 9x + 6x 8 x 1 x x + 2x + 5 Z Z Z p 2 Z 2 x dx x a2 dx p p 52. dx 53. 54. dx 55. 4 3/2 2 3 2 2 x x x +9 x x2 16 (a x ) Z Z p Z p Z p dx 2 dr 2 dt 56. 1 4r 58. t 4 t 59. x2 4 9x2 dx 57. 5/2 (5 4x x2 ) Z Z Z Z p 2x 1 t3 dt x dx p p p 60. dx 61. 62. 63. x2 9 x2 dx 2 2 2 x 4x + 5 t +4 1 x Z Z Z Z e2x dx dx dx dx p p p p 64. 65. 66. 67. 1 + e2x + e4x x2 16x2 9 x2 x2 + 9 x2 + 4x + 8 Z Z Z Z sen x dx 4x2 x dx dx p p p 68. 69. dx 70. 71. 7 + 5x2 cos2 x + 4 cos x + 1 x2 + 6x x2 + 6x p Z Z Z Z sen (2x) sen x x dx dx p 72. dx 73. 74. 75. 2 dx 3/2 2 2 sen2 x + 5 x 8x + 19 (x 4) x (1 x ) Z Z Z Z x dx x 1 e2x dx 5/2 p p dx 79. x2 1 dx 76. 77. 78. 3/2 6e x 6ex x + x x4 8x2 + 3 Z Z Z Z dx dx dx x dx p p 80. 81. 82. 83. 2 4 2 3x x+1 x 4x2 + 3 x+x+2 x x Z Z Z Z p dx dx dx 84. x3 4 9x2 dx 85. 86. 87. 2 2 2 2 x + 2x x + 2x + 5 (x + 2x + 2) Z Z p Z Z dx sec2 x dx x2 dx 2 p p 88. 89. t t dt 90. 91. x2 6x + 10 2 + 3x 2x2 tan2 x 2 p Z p Z p Z Z t2 4 dx p 92. x2 + 2x + 5 dx 93. t2 + 1 dt 94. dt 95. 2 2 t x + px + q Z Z Z Z dt x2 dx sen x dx 2y + 1 p p p 96. 97. 98. 99. dy 2x 2 2 16 + cos (t + 1) t + 2t 9 x y2 + 9 Z p Z Z Z ax dx y 3 dy dx p 100. 1 2t t2 dt 101. 102. 103. 3/2 2 1 + a2x 1 6x x2 (y + 4) Z Z Z Z 3x 6 x2 dx y dy (2x + 1) dx p p p 104. dx 105. 106. 107. 2 2 4 x2 + 2x + 2 x 4x + 5 4x x 16 9y 39.

e

2

dx

Z

28.

314

Farith J. Briceño N.

42.

p

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

Z

108.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

2x 1 dx x2 6x + 18

112.

Z

116.

Z p

p

2x x2 2

1 dx 4x + 5 x2

x

dx

117.

dt p 119. 16 + 6t t2 Z p 1 + x2 123. dx x Z p 2x e 1 127. dx 3x e Z

1. 5. 9. 13. 16. 19. 22.

p

3 3

ln

p

1 2

3x + pb x a

9 2

arcsen p

1 4

x2 x

⇣

p

29. 3 e2t

t+2 3

1 2 x

2 2

⇣

x

2 arcsen p

6 6

arctan

1 q 3

41.

arcsen p

2 2

1

50.

p

1

53.

1 3

ln

56.

1 243

⌘

⇣

⌘

2 2

x 3

59.

2 27

61.

1 3

p

x2

2

⌘3/2

+ C;

px

⌘

x x+6

6

p

+ C; p

p

1 e2x +1

42.

2 2 x

3 x

+

1 81

3x 2

x 72

4

t2 + 4 t2

p

3 3 x

p

8 + C;

Última actualizacón: Julio 2013

5 2

1 2

(t

3 3

ln

+ C;

x2

4x

9x2

3/2

62.

⇣

x3 2

p

1

⇣

4.

⌘

x

1 2x

p

24.

57.

+ C; p

x2 + C;

3

31.

10 4

arctan

arcsen

x2

1 3

1 6

55.

10 5 x

44.

p

1

81 8

arcsen

⇣

x

4 x

3 5

⇣

senpx 3 3

⌘

+

4r 2 + C;

p

x2

Farith J. Briceño N.

x 8

9

e2t + C;

9

4

2 3x

2 arccos

arcsen

6x + 18 +

1 3

p

5 3

⇣

t2 a2

arctan

x2 + 7 x2

3/2

arcsen

1 3

2+ +

1 3

⌘

⇣

+ C;

+ C;

x

3 3

⌘

+ C;

14 + C;

arcsen

45.

8 + C;

x2 16 x2

58.

x2

+ C;

p t

1 2

5 + C;

x2

4x + 5 + 3 ln x x 3

+ C;

x2 + 4x + 5 + x + 2 + C;

40.

x

p

9x2

⌘

y3

(y2 +4)3/2

5 + C;

9x2 + 6x

1 32

p

1 2e

25.

+ C;

a2

+

1 12

+ C;

x2

ln x +

⌘

+ C;

ln x2

e2x 9 e2x

p

p

34.

p

et 3

21.

+ C; 1 5x

⇣

ln

tan 2x 3

52. p

arccos

p 60. 2 x2 63.

q

ln 3x + 1 +

1 128 1 2r

dx

8.

arctan

18.

arctan

p

2 729

4 + C; 48.

x2 + 1 dx x4

sen (2x) + cos x dx sen2 x + sen x 2

+ C;

arcsen

28.

37.

e2x e2x 9

arcsen (2r) +

9x2 + C;

9 2

15.

x2 + 2x + 5 + C;

+ C;

1 4

+ C;

1 729

p

3 3

x2 + C;

5

3/2

x2 + 2x + 5 + x + 1 + C;

p

1 x2 dx x2

✓ 2 + 9 + C;

p

12.

t2 + C;

2t

p

y2 + 4

1 3

+ C;

25

+ C;

3 2x

ln x +

⌘3/2

⌘

Z

3/2

x2 + 5

ln ✓ +

7.

arctan tan2 x + C; ◆3 q

ln x + 1 +

4

cos2 t 3

e2x 9 e2x

3 x

x2 a2 x2

p

1 2

p

x2 +3 x

+ C; +

p

Z

Z p

126.

130.

Z p

Respuestas: Ejercicios

4x2

5 5 x

3 ln

33.

43.

51. 1 3a2

1)

p

(2x 8) dx p 1 x x2

122.

x2 1 dx x4

2 dx 4

+ C;

p

arcsen

arctan

tan2 x ✓q

+ C; p

p

2t dt p 2 t 2t + 26

133.

b + C; 1 25

Z

3x dx x2 + 2x + 5

e sen2 x cos x dx sen2 x 2 sen x + 5

Z

x3 x2

p

p

arctan (x + 1) + ln x2 + 2x + 2 + C;

1 2187

39.

x+2 5

ax2

1) +

17.

1 6

1 2

14 7 t

11.

4 ln x + C; 36.

54. p

p

p

ln2 x

arcsen

(x+2)3 x2 )3/2

4x

ax +

+ C;

30.

+ C;

+ C;

3/2

27.

+ C;

1 x2 x

p

ln

p

arctan

p 20. 3 x2 + 2x + 5

47.

p

1 x

14 14

Z

115.

5/2 y2 )

(9

Z

111.

y 2 dy

Z p

125.

3 dx x2

Z

121.

1 dx

p

Z

118.

e3x dx p 129. e2x 7 Z p 132. x2 + 1 dx

3.

2x p 4

114.

2t2

ln 1 + 2ex + 2 1 + ex + e2x

1

+ C;

x2

arcsen (t

x2 + C;

p

p 5

3

⇣

23. 4x

dt p 16 + 4t

t2 + C;

4t

+ C;

x3

p

1 2

14.

5

a a

1 + t2

+ C; p

p

2

dt 2t + 26

t2

Z

110.

dz p z 1 z2 p

+ C;

6. 5 3

10.

t+2 2

2+ln p x 5

9+x2 x

arcsen

3 2 x

2 + C;

+

⌘

p

(t2 + 1)

Z

x

Z

128.

3 arccos et + C; ⇣

x2 + ln

(5

Z

124.

arcsen

+ C;

(e2x +1)3

arctan

p

3x2

1 x 2 x2 +1

9

38.

46.

⌘

2

arcsen

32.

⇣

2.

p

arctan x +

26. 2 arcsen

35.

+ C;

⇣p

arcsen

120.

sen2 (arctan (2x)) dx sec2 (arcsen x)

1 4x

arcsen

Z

t2 dt

Z

113.

Z

131.

Z

109.

315

1 4

3 3

p 1

x

x3 + C;

4

arctan

49. x a

p

1

x 4

+ C; x2 + C;

+ C;

+ C; p

p

x3 8

t2 t 2

4

4 + C;

x2

4x + 5 + C;

p

x2 + C;

9

[email protected]

Cálculo integral - Guía 10.

64.

⇣ ⌘ p ln 2e2x + 1 + 2 e4x + e2x + 1 + C;

1 2

67.

ln x + 2 +

70.

p

p

x2 + 6x

1 4

ln

76.

1 2

ln x2

3 ln x + 3 +

p

79. 81.

arcsen (2x

84.

p

x2

1 2

90.

ln tan x +

ln t +

p

arcsen arcsen

p

p

1+

arcsen

⇣

122. p

x2 x

x2 2

t+1 p 2

p

1 x 1

t

p

x 2

2 4

⇣p

5 5

p

3 5

x2

⇣

arctan

⇣p

+ C;

1 2

(x + 1)

+ C;

95.

1

p

1

t2

⌘

x2 + C; 2+

1 4

1 2

x2

p 2 1

120.

arcsen x + C; ⌘ 1 x2 1 + C; 3 x2

4x 3 5

1 4

arctan

⇣

x

1 2

⌘

1 2

108.

x2

p

118.

p

2 2

arcsen

123. 126.

2| + 32 ln |x + 2| + C; p ln 1 + x2 + x + C;

p

⌘

⇣

t

1 3

x2 1 p

⌘

p

1 2t

1 12

ln

9 8

1 8

2

7

7 3 1

35 25

arctan

p

2 5 arctan

1 x 6e

⇣p

1 z

⇣

5 5

⇣p

35 7 x

⌘

⌘

+ C;

sen x + C;

+ C;

arctan

⇣p

⌘ p 2 x + 1 + C;

arctan

⇣

⌘

7 7

+ C; 1 2

arcsen (2t

1 2

x+1 2

2t 4

1) +

ln t +

96.

2 +8

y 2 +4

e ln (sen x

+ C;

ex +1 ex 1 p

p

⌘ 8x + 19 + C;

x2

86.

t2 + 1 +

102. py

arcsen

+ C;

p

2

4 5x

p 1

+ C; t2 + C;

t

p

arccos

t2 + 1 + C;

⇣

⌘

1 t+1

+ C;

p p 99. 2 y 2 + 9 + ln y + y 2 + 9 + C;

5 3

q

p 1

+ C; 1 6

106.

arctan

⇣

x

1 3

103.

arcsen

⌘

⌘

+

+ C; 1 4

1)2 + 1

114.

(2x + 1) 3

p

e

2

p

2

arctan

2t + 26 + 2 ln t

1+

6/5

x2 +

124. 127.

3 2 4y

+ C;

⇣p

arcsen

10 10

⌘ (x + 3) + C;

+ C; 1 2

109.

t 2t2 +2

arctan t

+ C;

x2 + 2x + 5 + C;

z2 z2

2x+1 3

121. 2 t2

x2 +1 x

x2 +1 x2 +1 3 x3

p

3 ln x + 1 + ln

69.

6x + 10 + C;

p

+ C; p

+

x2 x2

ln

89.

6x + 18 +

113.

e sen x +

4 3

x2 (6 + x) + C;

116.

x2 + 9 + C;

x+x+2 1 4

+ C;

+ C;

ln x2

x + C;

x

x2 + px + q + C;

4x

4x + 5 + C;

p

83.

cos x + C;

p

⇣

78.

ln

93.

arctan ax ln a

101.

ln

x + C;

3) + 3 ln x2

p

p

316

72. 2 sen x

f rac12 ln |x + 2| + C;

111. 3 x2 + 2x + 5

p

p

75.

80.

p

2t + 26 + C;

+ C;

arcsen

x2 + 6x + C;

⌘ 1) + C;

⇣

ln 2x + p + 2

t2 + C;

2t

⌘

ln |x|

p

+ C;

x2 + 2x + 5 + C;

98.

105. 6 arcsen

(2x + 1)

1 2

85. 2 2

(6x

1 9x

66.

cos2 x + 4 cos x + 1 + C;

1 + C;

11 11

88.

p

4 arctan

x2

p

x2

1 x

91. x + 8 arctan (x

x2 + C;

9

+

4

ln x +

p

9 + C;

ln x + 3 +

p 77. 2 x

1) + ln x2 + 2x + 2 + C;

+ 32 ln |x p 132. x 1 + x2 + 2 129.

t2 t

16x2

p

1

+ ln

x2

+ C;

x2 + 2x + 5 +

⌘

11 11

2 + C;

4x + 5 + 3 ln x

ln t

p

x+1 2x2 +4x+4

p

p

32 1215

4x + 5 + C;

9 arcsen

2

82.

2 4 135 x

2

3 arcsen

115.

125.

26x + 33

p x

t+1 p 2

5 16

71.

1 1

p

ln cos x + 2 +

8x2 + 3 + C; 2

4

x 3

68.

74. p

1 9x

65.

x2 + 6x + C;

+ C;

tan2 x

t2

⇣

p 112. 2 x2

119.

4

arctan ( x

110.

117.

x4

arctan (x + 1) +

p 104. 3 x2 107.

p

p

1) + C;

92. 2 ln x + 1 +

100.

x 4

1 4 5x

87.

9 2

x

1 8x

9x2

4

p

4+

x 48

97.

x2 + 4x + 8 + C;

p x 2 p x+2

73.

94.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

x2

5 22

p

1

e2x +1 e2x +1 3 e3x

+ C;

1 27

✓

sen x 2

p 5 6

y 9

y2

◆3

+ C;

x2 + C;

x ⇣

p

t2

1

⌘

+ C;

2t + 26 + C

+ C; 128.

p

7e2x

49 + C;

x3 3

5 ln sen2 x + sen x 2 + C; 131. 5x 4 8 arctan (2x) + C; p p 2 133. x x2 + 5 + 75 x2 + 5 + x + C; 8 2x + 25 8 ln

130.

Bibliografía 1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall. 2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté libre de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico [email protected] indicando donde se encuentra(n) dicho(s) error(es). MUCHAS GRACIAS.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 10.

Método de integración: Sustitución trigonométrica

Última actualizacón: Julio 2013

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317

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Cálculo integral - Guía 11

Método de integración: Descomposición en fracciones simples Objetivos a cubrir

Código : MAT-CI.11

• Método de integración: Descomposición en fracciones simples. Ejemplo 268 : Integre

Z

2x2 x2

x x

Ejercicios resueltos

30 dx. 6

Solución : Observemos que el grado del polinomio de numerador es igual al grado del polinomio del denominador, así, debemos dividir los polinomios 2x2

x

x2

30

2

2x + 2x + 12 x es decir,

2x2 x2

Por lo tanto

Z

2x2 x2

x x

30 dx = 6

x x

Z ✓

2+

x

6

2

18 30 x 18 =2+ 2 . 6 x x 6 x

x2

18 x 6

◆

dx =

La primera integral del lado derecho de la igualdad es sencilla, Z 2 dx = 2x + C1

Z

2 dx +

Z

x 18 dx. x2 x 6

La segunda integral la resolvemos por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador x2

x

6 = (x + 2) (x

3) .

Escribimos las fracciones simples correspondientes x 18 A B = + x2 x 6 x+2 x 3 Buscamos los valores de las constantes A y B, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados x 18 A B = + x2 x 6 x+2 x 3

x 18 A (x 3) + B (x + 2) = , x2 x 6 (x + 2) (x 3)

=)

de aquí, x

18 = A (x

3) + B (x + 2) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x. Si x = 3, sustituimos en la igualdad (3) de aquí

18 = A ((3)

B=

Si x = ( 2)

15 = 5

18 = A (x

3) + B ((3) + 2)

=)

3) + B (x + 2)

y se tiene

15 = A (0) + B (5)

=)

15 = 5B,

3

2, sustituimos en la igualdad 18 = A (( 2)

Última actualizacón: Julio 2013

x

x

18 = A (x

3) + B (( 2) + 2)

=)

3) + B (x + 2)

y se tiene

20 = A ( 5) + B (0)

Farith J. Briceño N.

=)

20 =

5A,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

de aquí

A=

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

319

20 =4 5

Entonces

x 18 4 3 = + , x2 x 6 x+2 x 3

por lo tanto,

Z

x

18 dx = x 6

x2

Z ✓

4 3 + x+2 x 3

◆

dx =

Z

4 dx + x+2

Z

3 x

3

dx.

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve con el cambio de variable Cálculo del

u=x+4

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

4 dx = 4 x+4

Z

du = 4 ln |u| + C2 = 4 ln |x + 4| + C2 . u

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve con el cambio de variable u=x

Cálculo del

3

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

3

x

Así, Z

2x2 x2

x x

30 dx = 6

Z

3

dx =

2 dx +

Z

3

Z

x

du = u

3 ln |u| + C3 =

18 dx = x 6

x2

Z

2 dx +

3 ln |x

Z

3| + C3 .

4 dx + x+2

Z

3 x

= 2x + 4 ln |x + 2| Finalmente,

Ejemplo 269 : Integre

Z Z

2x2 x2

3x

x x

30 dx = 2x + 4 ln |x + 2| 6

3 ln |x

3

dx 3 ln |x

3| + C.

3| + C. F

4x2 + 4x3 1 2x2 x

4

dx.

Solución : Observemos que el grado del polinomio de numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador, así, debemos dividir los polinomios 4x3 4x

3

4x2 + 3x 2

2x + 2x 6x2 + 5x 2

Última actualizacón: Julio 2013

4

2x2

x+1

2x + 3 4

6x + 3x

3

8x

7

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

Luego

4x3

Por lo tanto, Z 4x3 4x2 + 3x 1 2x2 x

4

dx =

Z ✓

4x2 + 3x 1 2x2 x

4

=

2x + 3 +

8x 7 2x + 3 + 1 2x2 x

◆

1

8x 7 . 2x2 x Z

dx =

320

2x dx +

Z

3 dx +

Z

1

8x 7 dx. 2x2 x

La primera y la segunda integral del lado derecho de la igualdad son sencillas, Z Z 2x dx = x2 + C1 y 3 dx = 3x + C2 . La tercera integral la resolveremos por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador 1

2x2

x = (x + 1) (1

2x) .

Escribimos las fracciones simples correspondientes 1

8x 7 A B = + 2x2 x x + 1 1 2x

Buscamos los valores de las constantes A y B, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados 8x 7 A B = + 2 1 2x x x + 1 1 2x

8x 7 A (1 2x) + B (x + 1) = , 2 1 2x x (x + 1) (1 2x)

=)

de aquí, 8x

7 = A (1

2x) + B (x + 1) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x. Si x =

1, sustituimos en la igualdad

8 ( 1) de aquí

7 = A (1 15 = 3

A=

8x

7 = A (1

2 ( 1)) + B (( 1) + 1)

2x) + B (x + 1)

=)

y se tiene

15 = A (3) + B (0)

=)

15 = 3A,

5

1 , sustituimos en la igualdad 8x 7 = A (1 2x) + B (x + 1) y se tiene 2 ✓ ◆ ✓ ✓ ◆◆ ✓✓ ◆ ◆ ✓ ◆ 1 1 1 3 7=A 1 2 +B +1 =) 3 = A (0) + B =) 8 2 2 2 2

Si x =

de aquí

B=

3 = 3 2

6 = 3

1 Z

8x 7 dx = 1 2x2 x

Última actualizacón: Julio 2013

3 B, 2

2

Entonces por lo tanto,

3=

Z ✓

8x 7 5 = + 2x2 x x+1 1 5 + x+1 1

2 2x

◆

dx =

Farith J. Briceño N.

2 , 2x Z

5 dx + x+1

Z

1

2 dx. 2x

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Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

321

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable Cálculo del

u=x+1

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

5 dx = x+1

5

Z

du = u

5 ln |u| + C3 =

5 ln |x + 1| + C3 .

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve con el cambio de variable u=1

Cálculo del

2x

diferencial

!

du =

2 dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Así, Z

4x3

4x2 + 3x 1 2x2 x

4

1

dx =

2 dx = 2x Z =

Z

2x dx + Z

du = ln |u| + C4 = ln |1 u Z

3 dx +

2x dx +

Z

Z

3 dx +

1 Z

8x 7 dx 2x2 x Z 5 dx + x+1 1 =

Finalmente,

Z

Ejemplo 270 : Integre

3x

4x2 + 4x3 1 2x2 x

4

dx = 3x

x2

2x| + C4 .

x2 + 3x

2 dx 2x

5 ln |x + 1| + ln |1

5 ln |x + 1| + ln |1

2x| + C.

2x| + C. F

Z

x + x2 + 1 dx. x3 + x

Solución : Como el grado del polinomio de numerador es menor que el grado del polinomio del denominador no se dividen los polinomios, así resolvemos la integral por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador x3 + x = x x2 + 1 . Escribimos las fracciones simples correspondientes x + x2 + 1 A Bx + C = + 2 . 3 x +x x x +1 Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados x + x2 + 1 A Bx + C = + 2 x3 + x x x +1 Última actualizacón: Julio 2013

=)

A x2 + 1 + (Bx + C) x x + x2 + 1 = , x3 + x x (x2 + 1)

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

de aquí,

322

x + x2 + 1 = A x2 + 1 + (Bx + C) x.

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x. Si x = 0, sustituimos en la igualdad x + x2 + 1 = A x2 + 1 + (Bx + C) x y se tiene ⇣ ⌘ 2 2 (0) + (0) + 1 = A (0) + 1 + (B (0) + C) (0) =) 1 = A (1) + (0 + C) (0) =) de aquí

1 = A,

A=1

Si x = 1, sustituimos en la igualdad x + x2 + 1 = A x2 + 1 + (Bx + C) x y se tiene ⇣ ⌘ 2 2 (1) + (1) + 1 = A (1) + 1 + (B (1) + C) (1) =) 3 = A (2) + (B + C) (1) =) 3 = 2A + B + C,

como A = 1, obtenemos

3 = 2 (1) + B + C de aquí

=)

3 = 2 + B + C,

B+C =1

Si x =

1, sustituimos en la igualdad x + x2 + 1 = A x2 + 1 + (Bx + C) x y se tiene ⇣ ⌘ 2 2 ( 1) + ( 1) + 1 = A ( 1) + 1 + (B ( 1) + C) ( 1) =) 1 = A (2) + ( B + C) ( 1) =)

1 = 2A + B

C,

como A = 1, obtenemos 1 = 2 (1) + B de aquí

B

C=

B

por lo tanto,

=)

1=2+B

C,

1

Resolvemos el sistema de ecuaciones ( B+C =1 Entonces

C

C=

B=0

=) 1

x + x2 + 1 A Bx + C = + 2 3 x +x x x +1

=)

y

C = 1.

x + x2 + 1 1 1 = + 2 , 3 x +x x x +1

◆ Z ✓ Z Z x + x2 + 1 1 1 1 1 dx = + dx = dx + dx. x3 + x x x2 + 1 x x2 + 1 La primera integral del lado derecho de la igualdad es de tabla, nos da Z 1 dx = ln |x| + C1 . x Z

La segunda integral del lado derecho de la igualdad también es de tabla y tenemos Z 1 dx = arctan x + C2 . 2 x +1 Finalmente

Última actualizacón: Julio 2013

Z

x + x2 + 1 dx = ln |x| + arctan x + C. x3 + x F Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 11.

Ejemplo 271 : Integre

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

Z

323

13x 2x2 + 5 dx. x2 7x + 15

x3

Solución : Como el grado del polinomio de numerador es menor que el grado del polinomio del denominador no se dividen los polinomios, así resolvemos la integral por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador x3 x2 7x + 15 = (x + 3) x2 4x + 5 . Escribimos las fracciones simples correspondientes 13x 2x2 + 5 A Bx + C = + 2 . 2 x 7x + 15 x+3 x 4x + 5

x3

Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados 13x 2x2 + 5 A Bx + C = + 2 3 2 x x 7x + 15 x+3 x 4x + 5 de aquí,

=)

2x2 + 5 = A x2

13x

A x2 4x + 5 + (Bx + C) (x + 3) 13x 2x2 + 5 = , x3 x2 7x + 15 (x + 3) (x2 4x + 5) 4x + 5 + (Bx + C) (x + 3) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x. Si x =

3, sustituimos en la igualdad 13x 2x2 + 5 = A x2 4x + 5 + (Bx + C) (x + 3) ⇣ ⌘ 2 2 13 ( 3) 2 ( 3) + 5 = A ( 3) 4 ( 3) + 5 + (B ( 3) + C) (( 3) + 3) =)

de aquí

A=

39

18 + 5 = A (9 + 12 + 5) + ( 3B + C) (0)

=)

=)

13

2 + 5 = A (1

4 + 5) + (B + C) (4)

=)

16 = 2A + 4B + 4C,

=)

16 =

4 + 4B + 4C,

4B + 4C = 20.

Si x =

1, sustituimos en la igualdad 13x 2x2 + 5 = A x2 4x + 5 + (Bx + C) (x + 3) ⇣ ⌘ 2 2 13 ( 1) 2 ( 1) + 5 = A ( 1) 4 ( 1) + 5 + (B ( 1) + C) (( 1) + 3) =)

como A =

13

2 + 5 = A (1 + 4 + 5) + ( B + C) (2)

=)

10 = 10A

y se tiene

2B + 2C,

2, tenemos 10 = 10 ( 2)

de aquí

y se tiene

2, tenemos 16 = 2 ( 2) + 4B + 4C

de aquí

52 = 26A,

2

Si x = 1, sustituimos en la igualdad 13x 2x2 + 5 = A x2 4x + 5 + (Bx + C) (x + 3) ⇣ ⌘ 2 2 13 (1) 2 (1) + 5 = A (1) 4 (1) + 5 + (B (1) + C) ((1) + 3) como A =

y se tiene

2B + 2C

=)

10 =

20

2B + 2C,

2B + 2C = 10.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

Resolvemos el sistema de ecuaciones ( 4B + 4C = 20

y

B=0

=)

2B + 2C = 10

324

C = 5.

Entonces 13x 2x2 + 5 A Bx + C = + 2 3 2 x x 7x + 15 x+3 x 4x + 5

13x 2x2 + 5 2 = + 3 2 x x 7x + 15 x + 3 x2

=)

5 , 4x + 5

por lo tanto, Z

13x 2x2 + 5 dx = 3 x x2 7x + 15

Z ✓

2 + x + 3 x2

5 4x + 5

◆

dx =

Z

2 dx + x+3

Z

x2

5 dx . 4x + 5

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable Cálculo del

u=x+3

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

2 dx = x+3

2

Z

du = u

2 ln |u| + C1 =

2 ln |x + 3| + C1 .

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve completando cuadrado x2 se obtiene

Z

se propone el cambio de variable

u=x

x2

2

4x + 5 = (x 5 dx = 5 4x + 5

2) + 1, Z

dx 2

(x

2) + 1

Cálculo del

3

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z (x

y la primitiva es

Así, Z

Z

dx 2

2) + 1

Última actualizacón: Julio 2013

Z

du = arctan u + C2 = arctan (x u2 + 1

5 dx = 5 4x + 5

x2

13x 2x2 + 5 dx = 3 x x2 7x + 15

Finalmente

=

Z

Z

Z

2 dx + x+3

dx (x Z

x2

2

2) + 1

= 5 arctan (x

5 dx = 4x + 5

13x 2x2 + 5 dx = 5 arctan (x x2 7x + 15

x3

2)

2) + C2 ,

2) + C2 .

2 ln |x + 3| + 5 arctan (x

2) + C.

2 ln |x + 3| + C. F

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Cálculo integral - Guía 11.

Ejemplo 272 : Integre

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

Z

325

13x + x2 + 48 dx. 119x + 19x2 + x3 + 245

Solución : Como el grado del polinomio de numerador es menor que el grado del polinomio del denominador no se dividen los polinomios, así resolvemos la integral por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador 2 119x + 19x2 + x3 + 245 = (x + 5) (x + 7) . Escribimos las fracciones simples correspondientes 13x + x2 + 48 A B C = + + . 119x + 19x2 + x3 + 245 x + 5 x + 7 (x + 7)2 Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados 13x + x2 + 48 A B C = + + 2 3 119x + 19x + x + 245 x + 5 x + 7 (x + 7)2 2

=) de aquí,

13x + x2 + 48 A (x + 7) + B (x + 5) (x + 7) + C (x + 5) = , 2 119x + 19x2 + x3 + 245 (x + 7) (x + 5) 2

13x + x2 + 48 = A (x + 7) + B (x + 5) (x + 7) + C (x + 5) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x. Si x =

2

5, sustituimos en la igualdad 2

13x + x2 + 48 = A (x + 7) + B (x + 5) (x + 7) + C (x + 5)

y se tiene

2

13 ( 5) + ( 5) + 48 = A (( 5) + 7) + B (( 5) + 5) (( 5) + 7) + C (( 5) + 5) =) de aquí Si x =

2

65 + 25 + 48 = A (2) + B (0) (2) + C (0)

=)

8 = 4A,

A = 2. 7, sustituimos en la igualdad 2

2

13x + x2 + 48 = A (x + 7) + B (x + 5) (x + 7) + C (x + 5)

y se tiene

2

13 ( 7) + ( 7) + 48 = A (( 7) + 7) + B (( 7) + 5) (( 7) + 7) + C (( 7) + 5) =) de aquí

C=

2

91 + 49 + 48 = A (0) + B ( 2) (0) + C ( 2)

=)

6=

2C,

3.

Si x = 0, sustituimos en la igualdad 2

2

13x + x2 + 48 = A (x + 7) + B (x + 5) (x + 7) + C (x + 5)

y se tiene

2

13 (0) + (0) + 48 = A ((0) + 7) + B ((0) + 5) ((0) + 7) + C ((0) + 5) =) como A = 2 y C =

B=

=)

48 = 49A + 35B + 5C,

3, se tiene que

48 = 49 (2) + 35B + 5 ( 3) de aquí

2

0 + 0 + 48 = A (7) + B (5) (7) + C (5)

=)

48 = 98 + 35B

15

=)

35 = 35B,

1.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

326

Entonces 13x + x2 + 48 A B C = + + 119x + 19x2 + x3 + 245 x + 5 x + 7 (x + 7)2 13x + x2 + 48 2 1 3 = + + , 2 3 119x + 19x + x + 245 x + 5 x + 7 (x + 7)2

=) por lo tanto, Z Z 13x + x2 + 48 dx = 119x + 19x2 + x3 + 245

2 1 3 + + x + 5 x + 7 (x + 7)2

!

dx =

Z

2 dx + x+5

Z

dx + x+7

Z

3 dx (x + 7)

2.

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable Cálculo del

u=x+5

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

2 dx = 2 x+5

Z

du = 2 ln |u| + C1 = 2 ln |x + 5| + C1 . u

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable Cálculo del

u=x+7

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

Z

1 dx = x+7

du = u

ln |u| + C2 =

ln |x + 7| + C2 .

La tercera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el mismo cambio de variable utilizado para resolver la segunda integral Cálculo del

u=x+7

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Así, Z

3 (x + 7)

13x + x2 + 48 dx = 119x + 19x2 + x3 + 245

Finalmente

Z

Z

2

dx =

3

2 dx + x+5

Z

Z

du 1 3 = 3 + C3 = + C3 . u2 u x+7

dx + x+7

Z

3 dx (x + 7)

13x + x2 + 48 dx = 2 ln |x + 5| 119x + 19x2 + x3 + 245

Última actualizacón: Julio 2013

2

= 2 ln |x + 5|

ln |x + 7| +

ln |x + 7| +

3 + C. x+7

3 + C. x+7 F

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

Z

Ejemplo 273 : Integre

327

5x2 10x 4x3 + 5 dx. 2x2 2x 2x3 + x4 + 1

Solución : Como el grado del polinomio de numerador es menor que el grado del polinomio del denominador no se dividen los polinomios, así resolvemos la integral por el método de las fracciones simples. Factorizamos el denominador 2 2x2 2x 2x3 + x4 + 1 = x2 + 1 (x 1) . Escribimos las fracciones simples correspondientes 5x2 10x 4x3 + 5 A B Cx + D = + + 2 . 2x2 2x 2x3 + x4 + 1 x 1 (x 1)2 x +1 Buscamos los valores de las constantes A, B, C y D, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados 5x2 10x 4x3 + 5 A B Cx + D = + + 2 2x2 2x 2x3 + x4 + 1 x 1 (x 1)2 x +1 A (x 5x2 10x 4x3 + 5 = 2 3 4 2x 2x 2x + x + 1

=) de aquí,

5x2

10x

4x3 + 5 = A (x

1) x2 + 1 + B x2 + 1 + (Cx + D) (x

1)

2

1) (x2 + 1)

(x

1) x2 + 1 + B x2 + 1 + (Cx + D) (x

2

,

2

1) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x. Si x = 1, sustituimos en la igualdad 5x2

4x3 + 5 = A (x

10x

1) x2 + 1 + B x2 + 1 + (Cx + D) (x

1)

2

y se tiene 5 (1)

2

10 (1)

=) de aquí

B=

⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 2 2 1) (1) + 1 + B (1) + 1 + (C (1) + D) ((1)

3

4 (1) + 5 = A ((1) 5

10

4 + 5 = A (0) (2) + B (2) + (C + D) (0)

2

1)

2

=)

4 = 2B,

2.

Si x = 0, sustituimos en la igualdad 5x2

10x

4x3 + 5 = A (x

1) x2 + 1 + B x2 + 1 + (Cx + D) (x

1)

2

y se tiene 5 (0)

2

10 (0)

3

4 (0) + 5 = A ((0) =)

como B =

Si x =

0

0 + 5 = A ( 1) (1) + B (1) + (D) ( 1)

2

=)

1) 5=

2

A + B + D,

2, se tiene que 5=

de aquí

0

⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 2 2 1) (0) + 1 + B (0) + 1 + (C (0) + D) ((0)

A + ( 2) + D

=)

7=

A + D,

A + D = 7. 1, sustituimos en la igualdad 5x2

10x

Última actualizacón: Julio 2013

4x3 + 5 = A (x

1) x2 + 1 + B x2 + 1 + (Cx + D) (x Farith J. Briceño N.

1)

2

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Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

328

y se tiene 5 ( 1)

2

3

10 ( 1)

=) como B =

4 ( 1) + 5 = A (( 1)

⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 2 2 1) ( 1) + 1 + B ( 1) + 1 + (C ( 1) + D) (( 1)

5 + 10 + 4 + 5 = A ( 2) (2) + B (2) + ( C + D) ( 2)

2

=)

24 =

4A + 2B

1)

2

4C + 4D,

2, se tiene que 24 =

de aquí

4A

4A + 2 ( 2)

4C + 4D

=)

28 =

4A

4C + 4D,

4C + 4D = 28.

Si x = 2, sustituimos en la igualdad 5x2

10x

4x3 + 5 = A (x

1) x2 + 1 + B x2 + 1 + (Cx + D) (x

1)

2

y se tiene 5 (2)

2

=) como B =

⇣ ⌘ ⇣ ⌘ 2 2 1) (2) + 1 + B (2) + 1 + (C (2) + D) ((2)

3

10 (2)

4 (2) + 5 = A ((2) 20

20

32 + 5 = A (1) (5) + B (5) + (2C + D) (1)

=)

2

27 = 5A + 5B + 2C + D,

2, se tiene que 27 = 5A + 5 ( 2) + 2C + D

de aquí

2

1)

5A + 2C + D =

=)

17 = 5A + 2C + D,

17.

Resolvemos el sistema de ecuaciones 8 A+D =7 > > > < 4A 4C + 4D = 28 > > > : 5A + 2C + D = 17

A=

=)

4

C=0

D=3

Entonces

5x2 10x 4x3 + 5 A B Cx + D = + + 2 2 2 3 4 2x 2x 2x + x + 1 x 1 (x 1) x +1 =)

5x2 10x 4x3 + 5 4 2 3 = + + 2 , 2x2 2x 2x3 + x4 + 1 x 1 (x 1)2 x +1

por lo tanto, Z

5x2 10x 4x3 + 5 dx = 2x2 2x 2x3 + x4 + 1

Z

4 x

1

+

2 (x

3 2 + x2 + 1 1)

!

dx =

Z

4 dx + x 1

Z

2 dx (x

1)

2

+

Z

3 dx . x2 + 1

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable u=x

1

Cálculo del diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

Entonces, la integral queda Z

4

x

dx =

1

4

Z

du = u

4 ln |u| + C1 =

4 ln |x

329

1| + C1 .

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el mismo cambio de variable que se utilizó para resolver la primera integral u=x

Cálculo del

1

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

2 (x

1)

2

dx =

Z

2

du 1 2 = 2 + C2 = + C2 . 2 u u x 1

La tercera integral del lado derecho de la igualdad es de tabla Z 3 dx = 3 arctan x + C3 . x2 + 1 Así, Z

5x2 10x 4x3 + 5 dx = 2x2 2x 2x3 + x4 + 1 Finalmente,

Z

Z

4 dx + x 1

Z

2 dx (x

1)

2

+

Z

3 dx = x2 + 1

5x2 10x 4x3 + 5 dx = 3 arctan x 2x2 2x 2x3 + x4 + 1

4 ln |x

4 ln |x

1| +

1| +

2 x

1

2 x

1

+ 3 arctan x + C.

+ C. F

Z

Ejemplo 274 : Integre

2x2 (x

6x + 7 2

1) (x + 2)

dx.

Solución : Observemos que el grado del polinomio del numerador, 2, es menor que el grado del polinomio del denominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Además, el denominador ya está factorizado. Escribimos las fracciones simples correspondientes 2x2

6x + 7

=

2

(x

1) (x + 2)

A x

1

+

B (x

1)

2

+

C . x+2

Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados 2x2 (x

6x + 7 2

1) (x + 2)

=

A x

1

+

B (x

1)

2

=) de aquí,

2x2

+

C x+2 2x2 (x

6x + 7 = A (x

6x + 7 2

1) (x + 2)

=

A (x

1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x (x

1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x

2

1) (x + 2)

1)

2

,

2

1) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

Si x = 1, sustituimos en la igualdad 2 (1)

2

6 (1) + 7 = A ((1)

2x2

6x + 7 = A (x

de aquí

2

1)

1)

2

y se tiene

2

6 + 7 = A (0) (3) + B (3) + C (0)

2

=)

3 = 3B,

B = 1.

Si x = 2 ( 2)

2, sustituimos en la igualdad

2

6 ( 2) + 7 = A (( 2)

2x2

de aquí

6x + 7 = A (x

1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x

1) (( 2) + 2) + B (( 2) + 2) + C (( 2) =)

1)

1)

2

y se tiene

2

8 + 12 + 7 = A ( 3) (0) + B (0) + C ( 3)

2

=)

27 = 9C,

C = 3.

Si x = 0, sustituimos en la igualdad 2 (0)

1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x

1) ((1) + 2) + B ((1) + 2) + C ((1) =)

330

2

6 (0) + 7 = A ((0)

2x2

6x + 7 = A (x

1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x

1) ((0) + 2) + B ((0) + 2) + C ((0) =)

0

1)

1)

2

y se tiene

2

0 + 7 = A ( 1) (2) + B (2) + C ( 1)

2

=)

7=

2A + 2B + C,

como B = 1 y C = 3, se tiene que 7= de aquí

A=

2A + 2 (1) + (3)

=)

7=

2A + 2 + 3,

1.

Entonces 2x2 (x

6x + 7 2

1) (x + 2)

=

A x

1

+

B (x

1)

2

+

C x+2

2x2

=)

6x + 7 2

(x

1) (x + 2)

=

1 x

1

+

1 (x

1)

2

+

3 , x+2

por lo tanto, Z

2x2 (x

6x + 7 2

1) (x + 2)

dx =

Z

1 x

1

+

1 (x

3 2 + x+2 1)

!

dx =

Z

dx + x 1

Z

dx (x

1)

2

+

Z

3 dx . x+2

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable u=x

Cálculo del

1

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

dx = x 1

Z

du = u

ln |u| + C1 =

ln |x

1| + C1 .

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el mismo cambio de variable que se utilizó para resolver la primera integral u=x

Última actualizacón: Julio 2013

1

Cálculo del diferencial

!

Farith J. Briceño N.

du = dx,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

331

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda

Z

1 (x

1)

2

dx =

Z

du = u2

1 + C2 = u

1 x

1

+ C2 .

La tercera y última integral del lado derecho de la igualdad la resolvemos haciendo el cambio de variable Cálculo del

u=x+2

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Así, Z

2x2 (x

6x + 7

dx =

2

1) (x + 2)

Finalmente

Z

Ejemplo 275 : Integre

3 dx = 3 x+2 Z

2x2 (x Z

dx + x 1

Z

6x + 7 2

1) (x + 2)

Z

du = 3 ln |u| + C3 = 3 ln |x + 2| + C3 . u

dx (x

1)

2

+

ln |x

dx =

Z

3 dx = x+2

1|

ln |x

1 x

1

1|

1 x

1

+ 3 ln |x + 2| + C.

+ 3 ln |x + 2| + C. F

x2 + 8x + 14 dx. (2x + 4) (x2 + 2x + 2)

Solución : Observemos que el grado del polinomio del numerador, 2, es menor que el grado del polinomio del denominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Además, el denominador ya está factorizado, puesto que, el polinomio p (x) = x2 + 2x + 2 no es factorizable en los números reales. Escribimos las fracciones simples correspondientes x2 + 8x + 14 A Bx + C = + . (2x + 4) (x2 + 2x + 2) 2x + 4 x2 + 2x + 2 Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados x2 + 8x + 14 A Bx + C = + (2x + 4) (x2 + 2x + 2) 2x + 4 x2 + 2x + 2 =) de aquí,

A x2 + 2x + 2 + (Bx + C) (2x + 4) x2 + 8x + 14 = , (2x + 4) (x2 + 2x + 2) (2x + 4) (x2 + 2x + 2)

x2 + 8x + 14 = A x2 + 2x + 2 + (Bx + C) (2x + 4) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a x. Si x =

2, sustituimos en la igualdad x2 + 8x + 14 = A x2 + 2x + 2 + (Bx + C) (2x + 4) ⇣ ⌘ 2 2 ( 2) + 8 ( 2) + 14 = A ( 2) + 2 ( 2) + 2 + (B ( 2) + C) (2 ( 2) + 4) =) Última actualizacón: Julio 2013

4

16 + 14 = A (4

Farith J. Briceño N.

4 + 2) + ( 2B + C) (0)

=)

y se tiene

2 = 2A,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

de aquí

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

332

A = 1.

Si x = 0, sustituimos en la igualdad x2 + 8x + 14 = A x2 + 2x + 2 + (Bx + C) (2x + 4) ⇣ ⌘ 2 2 (0) + 8 (0) + 14 = A (0) + 2 (0) + 2 + (B (0) + C) (2 (0) + 4) =)

0 + 0 + 14 = A (0 + 0 + 2) + (0 + C) (0 + 4)

=)

y se tiene

14 = 2A + 4C,

como A = 1, se tiene que 14 = 2 (1) + 4C de aquí

=)

14 = 2 + 4C,

C = 3.

Si x = 1, sustituimos en la igualdad x2 + 8x + 14 = A x2 + 2x + 2 + (Bx + C) (2x + 4) ⇣ ⌘ 2 2 (1) + 8 (1) + 14 = A (1) + 2 (1) + 2 + (B (1) + C) (2 (1) + 4) =)

1 + 8 + 14 = A (1 + 2 + 2) + (B + C) (6)

=)

y se tiene

23 = 5A + 6B + 6C,

como A = 1 y C = 3, se tiene que 23 = 5 (1) + 6B + 6 (3) de aquí

=)

23 = 5 + 6B + 18,

B = 0.

Entonces x2 + 8x + 14 A Bx + C = + 2 2 (2x + 4) (x + 2x + 2) 2x + 4 x + 2x + 2

x2 + 8x + 14 1 3 = + 2 , 2 (2x + 4) (x + 2x + 2) 2x + 4 x + 2x + 2

=)

por lo tanto, ◆ Z Z ✓ Z Z x2 + 8x + 14 1 3 1 3 dx = + dx = dx + dx (2x + 4) (x2 + 2x + 2) 2x + 4 x2 + 2x + 2 2x + 4 x2 + 2x + 2 Z Z Z Z 1 3 dx 1 dx dx = dx + = +3 . 2 2 2 (x + 2) x + 2x + 2 2 x+2 x + 2x + 2 La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable Cálculo del

u=x+2

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

dx = x+2

Z

du = ln |u| + C1 = ln |x + 2| + C1 . u

Para la segunda integral del lado derecho de la igualdad completamos cuadrado Z Z dx dx 2 x2 + 2x + 2 = (x + 1) + 1 =) = , 2 x2 + 2x + 2 (x + 1) + 1 Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

333

se propone el cambio de variable Cálculo del

u=x+1

diferencial

!

du = dx,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

dx = x2 + 2x + 2

Z

du = arctan u + C2 = arctan (x + 1) + C2 . u2 + 1

x2 + 8x + 14 1 dx = (2x + 4) (x2 + 2x + 2) 2

Z

dx +3 x+2

Así, Z Luego,

Z

Ejemplo 276 : Integre

Z

dx 1 = ln |x + 2| + 3 arctan (x + 1) + C. x2 + 2x + 2 2

x2 + 8x + 14 1 dx = ln |x + 2| + 3 arctan (x + 1) + C. (2x + 4) (x2 + 2x + 2) 2 F Z

sec2 x + 1 sec2 x dx. 1 + tan3 x

Solución : Como sec2 x = tan2 x + 1, tenemos que Z Z Z sec2 x + 1 sec2 x tan2 x + 1 + 1 sec2 x dx = dx = 1 + tan3 x 1 + tan3 x

tan2 x + 2 sec2 x dx, 1 + tan3 x

se propone el cambio de variable Cálculo del

u = tan x

diferencial

du = sec2 x dx,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z sec2 x + 1 sec2 x dx = 1 + tan3 x

tan2 x + 2 sec2 x dx = 1 + tan3 x

Z

u2 + 2 du. 1 + u3

Aplicamos el método de la descomposición en fracciones simples para obtener la familia de primitivas de la función. Observemos que el grado del polinomio del numerador, 2, es menor que el grado del polinomio del denominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Factorizamos el denominador u3 + 1 = (u + 1) u2

u+1 .

Escribimos las fracciones simples correspondientes u2 + 2 A Bu + C = + 2 . 2 (u + 1) (u u + 1) u+1 u +u+1 Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados u2 + 2 A Bu + C = + (u + 1) (u2 u + 1) u + 1 u2 + u + 1 Última actualizacón: Julio 2013

=)

A u2 u + 1 + (Bu + C) (u + 1) u2 + 2 = , (u + 1) (u2 u + 1) (u + 1) (u2 u + 1)

Farith J. Briceño N.

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Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

de aquí,

u2 + 2 = A u2

334

u + 1 + (Bu + C) (u + 1) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a u. Si u =

1, sustituimos en la igualdad u2 + 2 = A u2 u + 1 + (Bu + C) (u + 1) ⇣ ⌘ 2 2 ( 1) + 2 = A ( 1) ( 1) + 1 + (B ( 1) + C) (( 1) + 1) =)

de aquí

1 + 2 = A (1 + 1 + 1) + ( B + C) (0)

y se tiene

=)

3 = 3A,

A = 1.

Si u = 0, sustituimos en la igualdad u2 + 2 = A u2 ⇣ ⌘ 2 2 (0) + 2 = A (0) (0) + 1 + (B (0) + C) ((0) + 1) =)

u + 1 + (Bu + C) (u + 1)

0 + 2 = A (0

0 + 1) + (0 + C) (0 + 1)

y se tiene

=)

2 = A + C,

como A = 1, se tiene que 2 = (1) + C de aquí

=)

2 = 1 + C,

C = 1.

Si u = 1, sustituimos en la igualdad u2 + 2 = A u2 ⇣ ⌘ 2 2 (1) + 2 = A (1) (1) + 1 + (B (1) + C) ((1) + 1) =)

1 + 2 = A (1

u + 1 + (Bu + C) (u + 1)

1 + 1) + (B + C) (1 + 1)

y se tiene

=)

3 = A + 2B + 2C,

como A = 1 y C = 1, se tiene que 3 = (1) + 2B + 2 (1) de aquí

=)

3 = 1 + 2B + 2

=)

0 = 2B,

B = 0.

Entonces u2 + 2 A Bu + C = + (u + 1) (u2 u + 1) u + 1 u2 + u + 1 por lo tanto,

Z

u2 + 2 du = u3 + 1

Z ✓

1 + u + 1 u2

u2 + 2 1 = + u3 + 1 u + 1 u2

=)

1 u+1

◆

du =

Z

du + u+1

Z

u2

1 , u+1

du . u+1

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable Cálculo del

z =u+1

diferencial

!

dz = du,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Última actualizacón: Julio 2013

du = u+1

Z

dz = ln |z| + C1 = ln |u + 1| + C1 . z Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

335

Para la segunda integral del lado derecho de la igualdad completamos cuadrado u2

u+1=

✓

◆2

1 2

u

+

3 4

Z

=)

se propone el cambio trigonométrico p 1 3 u = tan t 2 2

u2

Cálculo del diferencial

du = u+1

!

du =

Z

du 2

(u

1/2) + 3/4

,

p

3 sec2 t dt, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

du = u+1

u2

Z

du (u

2

1/2) + 3/4

= como

p 1 3 = tan t 2 2

x

Z Z

u2 + 2 du = u3 + 1

Z

3 p Z sec2 t dt 3 sec2 t dt 2 = ! p 2 3 3 2 3 3 tan2 t + tan t + 4 4 2 4

p Z p Z p Z p 3 sec2 t dt 4 3 sec2 t 2 3 2 3 = dt = dt = t + C2 , 3 2 3 2 sec2 t 3 3 tan2 t + 1 4 =)

de aquí,

Así,

=

p

Z

u2

du + u+1

tan t =

2u 1 p 3

=)

t = arctan

✓

2u 1 p 3

◆

,

p ✓ ◆ du 2 3 2u 1 p = arctan + C2 . u+1 3 3 Z

u2

p ✓ ◆ du 2 3 2u 1 p du = ln |u + 1| + arctan + C, u+1 3 3

puesto que, u = tan x, entonces p ✓ Z sec2 x + 1 sec2 x 2 3 2 tan x p dx = ln |tan x + 1| + arctan 3 3 1 + tan x 3

1

◆

+ C. F

Ejemplo 277 : Integre

Z

x

ex

2e 1 dx. x 2e + 1

Solución : Tenemos que, el integrando lo podemos escribir como ex

2ex 1 = 2e x + 1

así,

se propone el cambio de variable

Z

u

Última actualizacón: Julio 2013

2ex ex

1

2 +1 ex

=

2ex 1 e ex 2 + ex ex

2ex 1 dx = ex 2e x + 1

ex

x

Z

(2ex 2 (ex )

Cálculo del diferencial

!

Farith J. Briceño N.

=

1) ex + ex

2

(2ex 2 (ex )

1) ex + ex

2

,

dx,

du = ex dx,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

336

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

Z

2ex 1 dx = ex 2e x + 1

(2ex 2 (ex )

1) ex +

ex

2

Z

dx =

(2u 1) du . u2 + u 2

Aplicamos el método de la descomposición en fracciones simples para obtener la familia de primitivas de la función. Observemos que el grado del polinomio del numerador, 1, es menor que el grado del polinomio del denominador, 2, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Factorizamos el denominador u2 + u

2 = (u

1) (u + 2) .

Escribimos las fracciones simples correspondientes (u

2u 1 A B = + . 1) (u + 2) u 1 u+2

Buscamos los valores de las constantes A, y B, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados 2u 1 A B = + 1) (u + 2) u 1 u+2

(u

=)

(u

2u 1 A (u + 2) + B (u 1) = , 1) (u + 2) (u 1) (u + 2)

de aquí, 2u

1 = A (u + 2) + B (u

1) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a u. Si u = 1, sustituimos en la igualdad 2 (1) de aquí

A=

Si u = 2 ( 2) de aquí

2u

1 = A ((1) + 2) + B ((1)

2

1)

1)

=)

2u

1 = A (u + 2) + B (u

y se tiene

1 = A (1 + 2) + B (0)

=)

1 = 3A,

1 . 3

2, sustituimos en la igualdad 1 = A (( 2) + 2) + B (( 2) B=

1 = A (u + 2) + B (u

1)

=)

4

1)

y se tiene

1 = A (0) + B ( 2

1)

=)

5=

3B,

5 . 3

Entonces (u

2u 1 A B = + 1) (u + 2) u 1 u+2

por lo tanto, Z

2u 1 du = (u 1) (u + 2)

Z ✓

=)

1/3 5/3 + u 1 u+2

◆

du =

Z

(u

1/3 du + u 1

2u 1 1/3 5/3 = + , 1) (u + 2) u 1 u+2 Z

5/3 du 1 = u+2 3

Z

du u

1

+

5 3

Z

du . u+2

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable z=u

Última actualizacón: Julio 2013

1

Cálculo del diferencial

!

Farith J. Briceño N.

dz = du,

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

337

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

du u

1

=

Z

dz = ln |z| + C1 = ln |u z

1| + C1 .

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable Cálculo del

p=u+2

diferencial

!

dp = du,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Así,

du = u+2

Z

dp = ln |p| + C2 = ln |u + 2| + C2 . p

Z

Z Z (2u 1) du 1 du 5 du 1 5 = + = ln |u 1| + ln |u + 2| + C, 2 u +u 2 3 u 1 3 u+2 3 3 puesto que, u = ex , entonces Z 2ex 1 1 5 dx = ln |ex 1| + ln (ex + 2) + C. ex 2e x + 1 3 3 Z

Ejemplo 278 : Integre

F

p

ex

2 + ex + 1 p x dx. +2+e x 1 e +1

Solución : Tenemos que, el integrando lo podemos escribir como p p p 2 + ex + 1 2 + ex + 1 2 + ex + 1 p x p x = = p x 2 ex + 2 + e x 1 e +1 1 e +1 (ex ) + 2ex + 1 e +1 x e +2+ x ex e p x p 2 + e + 1 ex 2 + ex + 1 ex = = , p x p x 2 2 (ex ) + 2ex + 1 e +1 (ex + 1) e +1 por lo tanto,

Z

p p Z 2 + ex + 1 ex 2 + ex + 1 p x dx = dx. p x 2 ex + 2 + e x 1 e +1 (ex + 1) e +1

Se propone el cambio de variable

Cálculo del

u2 = e x + 1

diferencial

2u du = ex dx,

!

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

p

ex

2+ +1 p x dx = ex + 2 + e x 1 e +1

Última actualizacón: Julio 2013

Z

2+

p

(ex + 1)

ex

2

x

+1 e dx = p x e +1

Farith J. Briceño N.

Z

⇣

2+

p

u2

2 (u2 )

⌘

2u du p u2 [email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

Z

=

2u (2 + u) du = u4 u

Z

338

2u (2 + u) du = 2 u (u3 1)

Z

2+u du. u3 1

Aplicamos el método de la descomposición en fracciones simples para obtener la familia de primitivas de la función. Observemos que el grado del polinomio del numerador, 1, es menor que el grado del polinomio del denominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Factorizamos el denominador u3

1) u2 + u + 1 .

1 = (u

Escribimos las fracciones simples correspondientes 2+u A Bu + C = + 2 . 2 1) (u + u + 1) u 1 u +u+1

(u

Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados (u

2+u A Bu + C = + 1) (u2 + u + 1) u 1 u2 + u + 1

de aquí,

=)

(u

A u2 + u + 1 + (Bu + C) (u 2+u = 2 1) (u + u + 1) (u 1) (u2 + u + 1)

u + 2 = A u2 + u + 1 + (Bu + C) (u

1)

,

1) .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a u. Si u = 1, sustituimos en la igualdad u + 2 = A u2 + u + 1 + (Bu + C) (u ⇣ ⌘ 2 (1) + 2 = A (1) + (1) + 1 + (B (1) + C) ((1) 1) =) de aquí

1)

y se tiene

1 + 2 = A (1 + 1 + 1) + (B + C) (0)

=)

3 = 3A,

A = 1.

Si u = 0, sustituimos en la igualdad u + 2 = A u2 + u + 1 + (Bu + C) (u ⇣ ⌘ 2 (0) + 2 = A (0) + (0) + 1 + (B (0) + C) ((0) 1) =)

1)

0 + 2 = A (0 + 0 + 1) + (0 + C) ( 1)

y se tiene

=)

2=A

C,

como A = 1, se tiene que 2 = (1) de aquí

C=

C

=)

2=1

C,

1.

Si u =

1, sustituimos en la igualdad u + 2 = A u2 + u + 1 + (Bu + C) (u ⇣ ⌘ 2 ( 1) + 2 = A ( 1) + ( 1) + 1 + (B ( 1) + C) (( 1) 1) =) como A = 1 y C =

1 + 2 = A (1

B=

1)

=)

y se tiene

1 = A + 2B

2C,

1 se tiene que 1 = (1) + 2B

de aquí

1 + 1) + ( B + C) ( 1

1)

2 ( 1)

=)

1 = 1 + 2B + 2,

1.

Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

339

Entonces 2+u A Bu + C = + 1) (u2 + u + 1) u 1 u2 + u + 1

(u

por lo tanto, Z

(u

2+u du = 1) (u2 + u + 1)

Z ✓

=)

1 u

2+u 1 u 1 = + , 1) (u2 + u + 1) u 1 u2 + u + 1

(u

u 1 + 1 u2 + u + 1

◆

du =

Z

du u

1

Z

u+1 du. u2 + u + 1

La primera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable z=u

Cálculo del

1

diferencial

!

dz = du,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

du u

1

=

Z

dz = ln |z| + C1 = ln |u z

1| + C1 .

Para la segunda integral del lado derecho de la igualdad completamos cuadrado ✓ ◆2 Z Z 1 3 (u + 1) du (u + 1) du 2 = u +u+1= u+ + =) , 2 2 4 u2 + u + 1 (u + 1/2) + 3/4 se propone el cambio trigonométrico p 1 3 u+ = tan t 2 2

Cálculo del diferencial

!

du =

p

3 sec2 t dt, 2

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda !p 3 1 3 tan t + sec2 t dt 2 2 2 !2 p 3 3 tan t + 2 4

p Z

(u + 1) du = u2 + u + 1

Z

(u + 1) du 2

(u + 1/2) + 3/4

=

Z

(u + 1/2 + 1/2) du 2

(u + 1/2) + 3/4

=

Z

! ! p 3 1 3 1 tan t + sec2 t dt tan t + sec2 t dt p Z p Z 2 2 2 2 3 3 = = 3 3 3 2 2 tan2 t + tan2 t + 1 4 4 4 ! p 3 1 ! tan t + sec2 t p Z p Z p 2 2 4 3 2 3 3 1 = dt = tan t + dt 3 2 sec2 t 3 2 2 p

p 2 3 = 3

Z p

3 tan t dt + 2

Z

1 dt 2

!

p Z p p Z 2 3 3 2 3 1 = tan t dt + dt 3 2 3 2

p p Z p p Z Z Z 2 3 3 2 3 1 3 = tan t dt + dt = tan t dt + dt, 3 2 3 2 3 Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

donde,

Z

mientras que,

Z

se propone el cambio de variable

dt = t + C2 ,

diferencial

Z

sen t dt, cos t

dp =

sen t dt

tan t dt =

Cálculo del

p = cos t

340

!

=)

dp = sen t dt,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z Z sen t dp dt = = ln |p| + C3 = cos t p

ln |cos t| + C3 = ln (cos t)

luego,

Z

de aquí,

1

+ C3 = ln

1 + C3 = ln |sec t| + C3 , cos t

tan t dt = ln |sec t| + C3

p Z p 3 3 dt = ln |sec t| + t + C4 , 3 3 p 3 ahora, se expresa la familia de primitiva F (t) = ln |sec t| + t + C4 , en términos de la variable original de 3 integración u, puesto que p ✓ ◆ 1 3 2u + 1 2u + 1 p u+ = tan t =) tan t = p =) t = arctan . 2 2 3 3 Z

(u + 1) du = u2 + u + 1

Z

tan t dt +

Para calcular sec t en función de u, se trabaja con el triángulo trigonométrico rectangular,

Hipotenusa : hip.

sen t =

c.o. hip.

cos t =

c.a. hip.

tan t =

c.o. c.a.

csc t =

hip. c.o.

sec t =

hip. c.a.

cot t =

c.a. c.o.

Cateto opuesto : c.o.

CC t Cateto adyacente : c.a. por lo tanto, u

p 1 3 = tan t 2 2

=)

Por Pitágoras 2

2

(hip.) = (c.o.) + (c.a.)

2

tan t =

hip. =

2u + 1 c.o. p = c.a. 3 q

2

(2u + 1) + 3

entonces, hip. sec t = = c.a. Última actualizacón: Julio 2013

q 2 (2u + 1) + 3 Ct

p

2u + 1

3

q 2 (2u + 1) + 3 p . 3

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

341

Luego, Z

q

(u + 1) du = ln u2 + u + 1

p ✓ ◆ 2 (2u + 1) + 3 3 2u + 1 p p + arctan + C4 3 3 3

p ✓ ◆ q 3 2u + 1 2 p = ln (2u + 1) + 3 + arctan + C5 3 3 p ✓ ◆ p 3 2u + 1 2 p = ln 4u + 4u + 4 + arctan + C5 3 3 p ✓ ◆ p 3 2u + 1 p = ln 4 (u2 + u + 1) + arctan + C5 3 3 p ✓ ◆ 3 2u + 1 1/2 p = ln 2 u2 + u + 1 + arctan + C5 3 3 p ✓ ◆ 1 3 2u + 1 2 p = ln u + u + 1 + arctan + C6 2 3 3 Así, Z

2+u du = u3 1

Z

Z

du u

1

(u + 1) du = ln |u u2 + u + 1

p ✓ ◆! 1 3 2u + 1 2 p ln u + u + 1 + arctan + C7 2 3 3

1|

= ln |u

1|

1 ln u2 + u + 1 2

como u = ex + 1, entonces p Z Z 2 + ex + 1 2+u p x dx = 2 du 3 x x u 1 e +2+e 1 e +1 = 2 ln |u

1|

x

= 2 ln |e + 1 = 2x

⇣

x

1 ln u2 + u + 1 2 1|

2

x

⌘

p 2 + ex + 1 p x dx = 2x ex + 2 + e x 1 e +1

Ejemplo 279 : Integre

Z

3 arctan 3

✓

2u + 1 p 3

⌘ 1 ⇣ x 2 ln (e + 1) + (ex + 1) + 1 2

ln (e + 1) + e + 2

Finalmente Z

p

◆!

p

3 arctan 3

✓

2u + 1 p 3

◆

+ C7 ,

+C

p

3 arctan 3

✓

2 (ex + 1) + 1 p 3

◆!

+C

p ✓ x ◆ 2 3 2e + 3 p arctan + C. 3 3

⇣ ⌘ 2 ln (ex + 1) + ex + 2

p ✓ x ◆ 2 3 2e + 3 p arctan + C. 3 3 F

4x + 2x dx. 4x+1

8x

Solución : Escribimos la integral como Z Z Z 2 4x + 2x (2x ) + 2x (2x + 1) 2x dx = dx = 3 2 3 2 dx. x x+1 8 4 (2x ) 4 · (2x ) (2x ) 4 · (2x ) Última actualizacón: Julio 2013

Farith J. Briceño N.

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

342

Se propone el cambio de variable Cálculo del

u = 2x

diferencial

du = 2x ln 2 dx

!

du = 2x dx, ln 2

=)

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

4x + 2x dx = x 8 4x+1

Z

u+1 du 1 = u3 4u2 ln 2 ln 2

Z

u+1 du, u3 4u2

Aplicamos el método de la descomposición en fracciones simples para obtener la familia de primitivas de la función. Observemos que el grado del polinomio del numerador, 1, es menor que el grado del polinomio del denominador, 3, por lo tanto, no se dividen los polinomios. Factorizamos el denominador u3

4u2 = u2 (u

4) .

Escribimos las fracciones simples correspondientes u2

u+1 Au + B C = + . 2 (u 4) u u 4

Buscamos los valores de las constantes A, B y C, para los cuales la igualdad se satisfaga, para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados u+1 Au + B C = + 2 2 u (u 4) u u 4

u+1 (Au + B) (u = 2 u (u 4) u2 (u

=)

de aquí, u + 1 = (Au + B) (u

4) + Cu2 , 4)

4) + Cu2 .

Para obtener los valores de las constantes le damos valores arbitrarios a u. Si u = 0, sustituimos en la igualdad (0) + 1 = (A (0) + B) ((0) de aquí

B=

4) + C (0)

(4) + 1 = (A (4) + B) ((4) C=

=)

0 + 1 = (0 + B) (0

u + 1 = (Au + B) (u

4) + C (4)

y se tiene 4) + C (0)

2

=)

1=

4B,

2

=)

4) + Cu2

y se tiene

4 + 1 = (4A + B) (0) + 16C

=)

5 = 16C,

5 . 16

Si u = 1, sustituimos en la igualdad (1) + 1 = (A (1) + B) ((1) como B =

2

4) + Cu2

1 . 4

Si u = 4, sustituimos en la igualdad

de aquí

u + 1 = (Au + B) (u

4) + C (1)

2

1 5 y C= , se tiene que 4 16 ✓ ◆ ✓ ◆ 1 5 2 = 3A 3 + 4 16

Última actualizacón: Julio 2013

u + 1 = (Au + B) (u =)

=)

4) + Cu2

1 + 1 = (A + B) (1

2=

3A +

Farith J. Briceño N.

3 5 + 4 16

y se tiene

4) + C

=)

2=

=)

2=

3A +

3A

3B + C,

17 , 16

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

de aquí

A=

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

343

5 . 16

Entonces u+1 Au + B C = + u2 (u 4) u2 u 4

u+1 = u2 (u 4)

=)

5 u 16 u2

1 5 4 + 16 , u 4

por lo tanto, Z

u2

u+1 du = (u 4)

0

Z

B @

Z ✓

= es decir,

Z

donde

1 0 5 5 1 Z u B 16 4 + 16 C A du = @ 2 u 4 u

5 u 16 u2

5 u 16 u2

1 1 5 1 + 2 4 u 16 u 4

◆

Z

1 4

u+1 du = 2 u (u 4)

5 16

Z

mientras que,

Z

du u

du =

Z

1 1 5 4 + 16 C A du u2 u 4

5 16

Z

du 5 + 2 u 16

Z

du u

1 4

du u

4

Z

du 5 + 2 u 16

Z

du u

4

,

,

du = ln |u| + C1 , u

du = u2

Z

2

u

du =

1 + C2 , u

y por último, la tercera integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable z=u

Cálculo del

4

diferencial

!

dz = du,

con este cambio se espera transformar la integral en una integral sencilla de resolver, es decir, en una integral de tabla. Entonces, la integral queda Z

du u

4

=

Z

dz = ln |z| + C3 = ln |u z

4| + C3

Así, Z

u+1 du = 3 u 4u2

5 16

Z

du u

1 4

Z

du 5 + 2 u 16

Z

como u = 2x , se tiene ✓ Z Z 4x + 2 x 1 u+1 1 1 dx = du = x x+1 3 2 8 4 ln 2 u 4u ln 2 4 · 2x

Luego,

Última actualizacón: Julio 2013

Z

4x + 2x 1 dx = x x+1 8 4 ln 2

✓

x

2 4

du u

4

=

1 4u

5 5 ln |u| + ln |u 16 16

4| + C

◆ 5 5 ln |2x | + ln |2x 4| + C 16 16 ✓ x 1 2 5x 5 = ln 2 + ln |2x ln 2 4 16 16 5x 5 ln 2 + ln |2x 16 16

Farith J. Briceño N.

◆ 4| + C.

◆

4| + C.

F [email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

344

Ejercicios Calcular las siguientes integrales utilizando descomposición en fracciones Z 2 Z Z Z x +1 dx 2 dx 3t2 1. dx 2. 3. 4. x2 x x2 x 2 x2 + 2x 2t3 Z Z 4 Z Z 3x3 dx x + 8x2 + 8 2 dx 6. 7. dx 8. 9. x2 + x 2 x3 4x x2 1 11.

Z

15.

Z

19.

Z

23.

Z

5x2 + 6x + 9 dx 2

(x

3) (x + 1)

x3 + 1 dx (x2

4x + 5)

2

x4 + 1 dx x4 + x2

+

x2

+ 1)

2

2

Z

16. Z

20.

dx (x4

12.

27.

x+4 dx x (x2 + 4)

28.

31.

Z

x3 + x + 1 dx x (x2 + 1)

32.

Z

2x3 x dx x4 x2 + 1

39.

Z

5x3 + 2 dx x3 5x2 + 4x

43.

Z

(x 11) dx x2 + 3x 4

47.

51.

Z Z

dt 2

(t + 2) (t + 1)

44.

52.

56.

55.

Z

(t + 3) dt 4t4 + 4t3 + t2

59.

Z

(4x 2) dx x3 x2 2x

60.

dt (t + a) (t + b)

64.

63.

67.

Z Z

5x3 x4

4x dx 16

Última actualizacón: Julio 2013

68.

3) (2x + 1)

(x2

Z

Z

(x2

+ 3)

2

29.

(x +

(x

dx 1) (x + 2) (x + 3)

33.

x2 3 dx x3 + 4x2 + 5x + 2

37.

(20x 11) dx (3x + 2) (x2 4x + 5)

41.

Z

49.

x2 dx 3 2x + 9x2 + 12x + 4 x2 4x 4 dx x3 2x2 + 4x 8 2x2 + 41x 91 dx (x 1) (x + 3) (x 4)

61.

2x3 + 5x2 + 16x dx x5 + 8x3 + 16x

65.

x (3

ln x)

69.

Farith J. Briceño N.

2

Z

Z

26.

dx x3

Z Z

Z

2 x2 )

9 dx 8x3 + 1

Z

Z

+ 1)

Z x2

4

x6 dx x2 16 t3 dt t3 8

1)

Z

x2 dx (x3 + 4x) Z

Z

Z

Z

54.

58. Z

62.

66. Z

2

dx x4 + x2 + 1

2

x+1 dx x3 1

t2 + 2 dt t (t2 + 1)

50.

1)

dx

Z

46.

70.

2

34.

3

ex dx e4x 1 dx

(x2

(x

(x 6) dx x2 2x

dx 16x4 1 dx x3 + 1

4x

42.

dx 2x3 + x

dx x2

30.

38.

1

Z

Z

dt (t2

Z

22.

5t + 3 dt t2 9

x3

18.

x4 dx x4 1

Z

57.

Z

14.

dx x3 + 3x‘2

Z

53.

2x2 3x 36 dx (2x 1) (x2 + 9)

dx ln x) (1

Z

Z

10.

3

dx 9x4 + x2

(1 +

1) (x2

+ x + 1)

(x + 1)

Z

5.

x2 dx

x3 dx

25.

45.

Z

Z

Z

dx

2

t2 (t + 1)

17.

21.

6t + 2 dt 3t2 + t

dt

x3 8x2 1 dx (x + 3) (x 2) (x2 + 1)

Z

Z

+ 2)

2

Z

dx

2

4x2 + 3x + 6

Z

Z

2

(x

Z

48.

(17x 3) dx 3x2 + x 2

3)

13.

dx

36.

40.

(x

2

dx

x2 + 19x + 10

Z

24.

Z

Z

x3 + x

x2 2x 1 dx 2 (x + 3) (x2 + 1)

Z

35.

Z

simples.

dx + x2 + x

x3 Z

Z

(x + 2) dx x2 (x2 1)

5x x2

2 dx 4 18 dx

(4x2 + 9)

2

4 + 5x2 dx x3 + 4x Z

e5x dx (e2x + 1)

2

t2 + 2 dt t (t2 1) Z

x2 dx x2 + x 6

t3 1 dt 4t3 t [email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

Z

71.

cos x dx sen x + sen3 x

Z

75.

x (x2 + 1)

x4 x3

Z

96.

Z

99.

102. 105.

80.

x2 x2

91.

97.

3x + 5 (x2

Z Z

+ 2x + 2)

x2 + 19x + 10 dx 2x4 + 5x3

2x (x2

3

3x + 2)

Z

103.

Z

dx

2

5x2 3x + 18 dx 9x x3

112.

Z

x dx x3 + 2x2 + x + 2

4x + 2 x dx x 8 4x+1

Z

115.

x3 dx 4 x + 2x2

Z

92. Z

95.

x 3 dx x3 + x2

2x2 + x 8 dx x3 + 4x x2 + 2x 1 dx 27x3 1

x2

4x + 3

x (x + 1)

Z

104.

2x2 + 13x + 18 dx x3 + 6x2 + 9x

Z

89.

3x2 21x + 32 dx x3 8x2 + 16x

Z

111.

Z

x4 + 3x3 5x2 4x + 17 dx x3 + x2 5x + 3

Z

109.

x2 + 3 dx x3 + x2 2x

Z

sec2 x + 1 sec2 x dx 1 + tan3 x

Z

74.

30x2 + 52x + 17 24x3 dx 9x4 6x3 11x2 + 4x + 4

6x2 + 22x 23 dx (2x 1) (x2 + x 6)

106.

Z

Z

Z

3x

t2 dt 4 t 8t

345

2x3 + 9x dx (x2 + 3) (x2 2x + 3) Z 2 x +x+2 dx 86. dx 2 x2 1 10)

2x4 2x + 1 dx 2x5 x4 x2 + x dx 3 x x2 + x 1

Z

(x2

Z

Z

2x2 + 3x + 2 dx 98. x3 + 4x2 + 6x + 4 Z dx 100. (x2 4x + 3) (x2 + 4x + 5)

dx

2

Z

Z

5x + 9 dx 83. 5x + 6 Z x2 8x + 7

88.

6x2 2x 1 dx 4x3 x

Z

117.

x2 3x 7 dx (2x + 3) (x + 1)

85.

94.

108.

114.

77.

Z

2x2 x + 2 dx x5 2x3 + x

73.

3x2 + 7x dx x3 + 6x2 + 11x + 6

6x3 12x2 + 6 dx 6x2 + 12x 8

5x2 + 3x 2 dx x3 + 2x2

Z

93.

82.

Z

x2 + 3x + 3 dx 3 x + x2 + x + 1

5x2 11x + 5 dx 4x2 + 5x 2

Z

90.

2

Z

Z

x3

Z

87.

79.

(3x 13) dx x2 + 3x 10

Z

84.

76.

x4 + 1 dx

Z

81.

72.

(5x + 7) dx x2 + 4x + 4

Z

78.

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

2

dx

x 2 dx + 7x + 3 Z (2x + 21) dx 101. 2x2 + 9x 5

2x2

Z

Z

3x2 x + 1 dx x3 x2 2t2 + t t 3 t2

4 dt 2t p Z 2 + ex + 1 p x 110. dx ex + 2 + e x 1 e +1 107.

Z

113. Z

116.

ex

2x2 x + 2 dx x5 + 2x3 + x

2ex 1 dx 2e x + 1

x2 + 8x + 14 dx (2x + 4) (x2 + 2x + 2) Respuestas: Ejercicios

1. x

ln |x| + 2 ln |x

5. 3 ln |t 8.

ln

x 1 x+1

12. 6x +

1 3

1| + C;

2.

3| + 2 ln |t + 3| + C;

6.

+ C;

1 2 2x

9.

+ 28 ln |x

Última actualizacón: Julio 2013

ln |x + 1| + 3|

30 x 3

ln

3 2 2x

x 2 x+1

3.

3x + ln |x

4x+3 2x2 +4x+2

+ C;

+ C;

+ C;

13. 2 ln

ln

x x+2

4. 2 ln |t|

+ C;

1| + 8 ln |x + 2| + C; 10. 2 ln

t+1 t

2t+1 t2 +t

x x

1

+

+ C;

Farith J. Briceño N.

1 2x x2 x

14.

7.

1 2 2x

+ C; 1 2

ln |t

ln x2

1| +

1 2

ln |2t

2 ln |x| + 7 ln x2

11.

x2

1 +

5x 3 2x 3

3 2x2 2

1| + C; 4 + C;

+ C;

+ C;

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

15.

15 2

arctan (x 1 x

17. 19. x 22.

x 8x2 +32

26.

2 3

1 x

⇣

1 16

+

⌘

x2 +3 x2 +2

ln |x

3 2

ln |2x + 1|

35.

1 2

ln x4

38.

ln |x|

2x + 1 +

1 2

3 3

ln x2

ln |x

54.

ln |x| + 2 ln x2 + 4 + C;

57.

1 4

ln

60.

3 2

ln x2 + 9

64.

x x2 +4

ex 1 ex +1

72.

+ ln |t|

arctan x + x x+1

74. 4 ln

1 2 2x

80. 2x + 83.

ln x2

85.

30 343

88.

ln

+ C;

1 3x+2

x2

ln

p

1|

8 x+1

arctan (x + 1) +

101.

ln

105.

1 3x3

(2x 1)2 x+5

+ ln |2x

109. 2 ln |x| 4 3

ln |x

1|

96.

x x2 +2x+2

3|

7

Última actualizacón: Julio 2013

2

16 3 3 x

1 x 4 2 x2 1

ln |x| +

3x+1 x2

1 4

1 6

⇣p

2 2

ln |x + 2| + C;

1 2

1 x+3

+ 512 ln 2 3

ln |t

94. 1

1 52

+ C;

+ C;

110. 2x 1 5

1 3x

p

3 3

42.

1 18

+

⇣p

(2x

59.

ln x2

5 3

ln |x + 3| + C;

ln |x

⌘ (2x + 1) + C;

3 3

4| + C;

2 x

ln |x| +

⌘

3 2

+ C;

1|

7 ln |x + 3| + 5 ln |x

p

3 6

1

63. 4 5

arctan

b

ln |x

t+a t+b

ln

a

9 5

2| 2

p

3

+ C;

ln |x + 3| + C;

arctan

3

⇣p

3 3

1| + 3 ln |x

1 2 2x

87.

3 2

90. 2 ln |x| +

1 x

24 ln |x

1 4

ln |x

7 130

1

2|

x

1

1

+ C;

108.

p

⇣

ln (ex + 1)2 + ex + 2 ln |x + 2| +

Farith J. Briceño N.

2

3 1 5

3

4

+ C;

arctan 2

+ C;

88x 139 (x 2)2

2| +

arctan (x + 2) +

t 2 t+1

107. 2 ln |t| + ln

+ C;

+ C;

+ 3 ln |x + 2| + C;

4| +

x

⌘

+ C;

arctan (x + 1) + C;

1| +

t+1 p 3

ln |2x + 3| + C;

p p 2 1| + 5273 arctan 33 (6x + 81 ln |3x ⇣p ⌘ p + 2 3 3 arctan 33 (2 tan x 1) + C;

97. 2 ln |x + 2|

⇣

⌘ (t + 1) + C;

3 ln |x + 1| + x x

4| + C;

2 ln |x + 1| + C;

2x

82. x + 3 ln

84. 2 ln |x

+ C;

1) + C;

1 2x

79.

(x 1)3 x+1

ln

2| + C;

ln t2 + 2t + 4

1 3

⇣p

arctan

ln |3x

66. x +

2|

2| + C;

1 20

+ C;

ln |2x + 1| + C;

103. 2 ln |x| + ln |x

arctan x

x 1 x+1

ln

ln 2x2 + 1 + C;

1 2

ln |x|

4 3x+6

161 6

1| +

+ C;

3 3

1 4

2 ln |x + 1| + 3 ln |x + 3| + C;

1 x2 +1

ln |tan x + 1|

2 5

⌘ (2x + 1) + C;

+ C;

ln |x + 2| +

ln |x

ln t2 + 2t + 4 +

+ C;

3|

1 4

+ C;

ln t2 + 1 + C;

1 2

+ C;

ln |x + 1| + C;

ln |x

3 3

arctan x +

2 ln |t| + C;

ln |t

1) + C;

+ C;

1 3

56. 4 ln |x

x 4 x+4

⌘

x 2

1 2

+ C;

1 2x2 +2

⇣p

arctan

⌘

ln sen x + 1 + C;

ln |x

(x

3 9

x+3 x

ln

45.

1

2x+1 p 3

2

1 12

ln |x| +

p

1) +

1|

7 3

arctan

ln t2

3 2

⇣

arctan

ln x2 + x + 1

+ C;

ln 9x2 + 3x + 1

5 162

112.

1 ex 2 e2x +1

2|

1 9

1 3t3 +5t 8 (t2 +1)2

+ C;

ln |sen x|

arctan

100. 2x+5 x

3 3

+ C;

+ C;

29.

1 6

346

ln x2 + 1 +

1 2

51. 4 ln |x + 1| +

69. t +

1|

(2x+1)3

+ C;

+ ln

x 2

ln |x + 2| +

p

3 6

+

25. x

ln |x|

+ C;

1 5 5x

+

78.

2x

1 2

p

⌘

(2x

ln |x

1|

76. 2 ln |x + 2|

+ C;

ln

4 9

1 2

+ C;

92.

1 12

arctan t +

62.

+ C;

71.

arctan

4

ln |x

11t+3 2t2 +t

+ C;

73.

1| + C;

4 ln |x + 3| + C;

ln |x| +

p

3 3

⌘

21.

34. 2 ln |t|

ln x + x + 1 +

3 1

2 ln |x| +

106. 2 ln |x|

7 6

2 3x

2x p 1 3

+ C;

32.

48.

arctan

86. x + 2 ln |x

1 2x2 +4x+4

102.

1| + C;

3 2

+

+ C;

ln |x + 1| +

+ C;

+ C;

3 ln |x

3 3 x

⌘

⇣p

2| + 2 ln |x + 3| + C;

81. 4 ln |x + 5|

3 + C;

3 8

41.

1| + C;

89. 2 ln x + 4

5 4

ln x ln x

ln

3 x+2

2 ln |x

2

ln |x +

1 2

ln x + 1 + C;

arctan

151 19x 49(x+2)(x 5)

x 2 x+2

ln

arctan

39. 5x +

arctan (ex ) +

2

⇣p

3 9

2

1 6

3 2

1 3

37.

⇣

arctan

1 2

+ C;

1 6

+

ln |2t + 1| + C;

ln |x + 3| + ln |2x

3 4

(x+1)2

1 4

1 t+2

+

65. 256x + 68.

ln |3x + 2|

3 2

+ C;

2|

x3

9 16

ln x2 + 2x

1

+

+ C;

1 4

75. 5 ln |x + 2| + 2 3

3

x 5 x+2

93. 2 ln |x|

111.

3 x

x

1 2x

1|

ln |x + 1| +

2x + 3

91. 3 ln |x

99.

ln |2t

1 2

28x+17 1 3 (3x+2)(x 1)

77.

95.

+

arctan

+

307x+143 196x2 490x 294

arctan x + C; p

2

1 2

ln |x

ln |x + 1|

61.

1| + C;

⌘

⌘

3x3 +6x2 +7x+15 2(x2 +2)(x2 +3)

11 ln |t| + 11 ln |2t + 1|

55.

ln x2 + 4 + C;

7 16

1 3

53.

2 ln |2x 3 2

⌘

+ C;

x 4x2 +9

50.

58. ex

+

3 2

4 +

t+1 t+2

arctan (ex ) + C;

1 2

5 1 2 x2 +4

2| + C;

3 3 x

x2 +x+1 x2 x+1

ln |3x + 2| + C;

+ C;

⇣p

⌘ (2x + 1) + C;

3 3

ln

ln x + 4

2 2 x

2 x+1

47.

52.

5 2

3

⇣p

4x + 5

2x 1 2x+1

⇣p

3 6

x+1 +

2

1 2

2| + 3 ln |x + 2| + C; ln

ln

p

ln x + 4 + arctan ⇣p ⌘ arctan 33 (2x + 1) + C;

9

arctan x

1 8

⇣

2x+1 x 3

ln

ln x + 1 + C; ⇣p ⌘ arctan 33 (4x 1) + C;

2

arctan

1 4

+

3

44.

2

70.

p

1| + C;

arctan 2x +

1 4t

5

ln |x + 2| +

36. p

3

arctan

ln |x|

27.

p

3

3

2 arctan

ln x + x + 1 +

ln x2 + x + 1

2 ln |x

ln x2

p

31. x + ln |x|

ln 4x2

3 4

43. 3 ln |x + 4|

67.

15 4

p

129 343

16.

ln x2

1 4

2

+

x x3 1 6 x4 +x2 +1

2

2| + C;

2) +

1 4

1 2

⌘

x2 +3 x2 +1

ln x + x + 1 + C;

40. 4 arctan (x

46. 2 ln |x

ln

23.

x2 + 1 + C; 1 2

⇣

2

1 3

2 ln |x

33.

49.

+ C;

x+2 1 3 x2 +x+1

28. ln |x + 1| +

1 2

20.

+ C;

ln x2 + x + 1

⇣p ⌘ p 3 3 arctan 33 x +

1|

30. 3 ln |x|

x 2

1 4

18.

+ C;

arctan

3x 17 2x2 8x+10

4x + 5 +

3 arctan 3x + C;

2 arctan x

24. 3 ln

ln x2

1 2

2) +

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

98. 1 65

104.

⌘

ln

px+3 2x+1

+ C;

2

ln x + 4x + 5 + C; 1 x

+ 3 ln |x

arctan x + ln |x

x +3 2ep 3

ln x + 1 + C;

1) + C;

1| + C;

1| + C;

+ C;

[email protected]

Cálculo integral - Guía 11.

113. 2 ln |x| 116.

1 3

ln |ex

1 2

arctan x

1| +

5 3

Método de integración: Descomposición en fracciones simples

ln x2 + 1

ln (ex + 2) + C;

x 2x2 +2

117.

+ C; 1 2

114.

1 ln 2

⇣

x

2 4

5x 16

ln 2 +

5 16

ln |2x

ln |x + 2| + 3 arctan (x + 1) + C;

⌘ 4| + C;

347

115.

1 2

ln x2 + 2 + C;

Bibliografía 1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: “Cálculo”. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall. 2. Stewart, J.: “Cálculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

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