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Cap. 5: CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS 816
C APÍT U LO 24 Capacitancia y dieléctricos
Capacitor = dispositivo que almacena energía potencial eléctrica a y b 24.1 Dos conductores cualesquiera cia y dieléctricos aislados uno del otro forman un capacitor. Principio: ra a y b 24.1 Capacitores y capacitancia apacitor. Dos separados conductores separados por un un capacitor (figura Dos conductores por un aislante (o vacío) constituyen 24.1). En la aislante mayoría de ( las o aplicaciones vacio) prácticas, cada conductor tiene inicialmente a una carga neta cero, y los electrones son transferidos de un conductor al otro; aConductor esta 1Q acción se le denomina cargar el capacitor. Entonces, los dos conductores tienen car• Transfiero d e c arga d e u n gas de igual magnitud y signo contrario, y la carga neta en el capacitor en su conjunE to permanece igual a cero. En este capítulo se supondrá que éste conductor otro = trabajo Wes >el 0caso. Cuando se o aque dice que un capacitor tiene carga Q, una carga Q está almacenada en el capacicontra tor, significa que el conductor conEel potencial más elevado tiene carga 1Q y el con2Q ductor con el potencial más bajo tiene carga 2Q (siese supone que Q es positiva). Hay • W = almacenaje de nergía Conductor b que tener presente estopotencial en el análisis e y léctrico los ejemplos que siguen. En los diagramas de circuito, un capacitor se representa con cualquiera de estos símbolos: ductor b Representación en diagrama de circuitos:
cción
eléctricos
S
24.1 Capacitores y cap
Dos conductores separados por un aislant 24.1). En la mayoría de las aplicaciones p una carga neta cero, y los electrones son acción se le denomina cargar el capacito gas de igual magnitud y signo contrario, y to permanece igual a cero. En este capítulo dice que un capacitor tiene carga Q, o que tor, significa que el conductor con el pote ductor con el potencial más bajo tiene carg que tener presente esto en el análisis y los En los diagramas de circuito, un capa símbolos:
En cada uno de estos símbolos, las líneas
conductores, y las líneas horizontales rep
otro conductor. Una manera común de car bres a las terminales opuestas de una bate En cada uno de estos símbolos, las líneas verticales (rectas o curvas) representan los en los conductores, se desconecta la bate numerosas: conductores,Aplicaciones y las líneas horizontales representan los alambres conectados a uno y Vab entre los conductores (es decir, el pote otro conductor. Una manera común de cargar un capacitor es conectar estos dos alam• Flashes electrónico respecto al potencial del conductor con ca bres a las terminales opuestas de una batería. Una vez establecidas las cargas Q y 2Q • se Láseres pulsos voltaje de la batería. en los conductores, desconecta d lae batería. Esto da una diferencia de potencial fija El campo eléctrico en cualquier punto d Vab entre los conductores (es decir, el potencial del conductor con carga positiva a con • Regulador = protección contra variación de voltaje cional a la magnitud Q de carga en cada c respecto al potencial del conductor con carga negativa b), que es exactamente igual al • Receptores de radio y televisión tencial Vab entre los conductores tambi voltaje de la batería. 11.11.6 Potencial eléctrico: introducción magnitud de la carga en cada conductor, t El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es propor- cualitativa cada cional a la magnitud Q de carga en cada conductor.limita Por lo tanto, diferencia de poEste fenómeno, también la elaficiencia d e c hips d e c omputadores conductor y el campo eléctrico en c 11.12.1 y 11.12.3 tencial entre los conductores; sin embarg tencial Vab entre los conductores también es proporcional a Q. Si se duplica la Potencial, campo y fuerza eléctricos potencial no cambia. Esta razón se llama c magnitud de la carga en cada conductor, también se duplican la densidad de carga en Definición e Capacitancia (C): cada conductor y el campo d eléctrico en cada punto, al igual que la diferencia de pose carga el capacitor conectando o a una debatería, Vab = Vbateria tencial entreCuando los conductores; sin embargo, la razón entre la carga y la ldiferencia Q C5 (defin potencial no cambia. Esta razón se llama capacitancia C del capacitor: V ab Q C= (4.1) Vab Q La unidad del SI para la capacitancia es e C5 (definición de capacitancia) (24.1) Vab siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo co C Unidad de capacitancia = Farad [ C ] = F ⇒ 1F = 1 coulomb por volt (1 C>V): V La unidad del SI para la capacitancia es el farad (1 F), en honor del físico inglés del 1 F 5 1 farad 5 1 C La c apacitancia = m edida d e l a h abilidad d e u n siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo con la ecuación (24.1), un farad es igual a uncapacitor a almacenar energía coulomb poreléctrica volt (1 C>V): C U I DA D O contra coulomb • 1 Depende de la forma y tamaño del capacitor, de los conductores y de lcia a (que siempreCapacitancia está en cursivas) con la abrev F 5 1 farad 5 1 C / V 5 1 coulomb / volt con cursivas). ❚ naturaleza de la materia aislante ONLINE
CU I DADO Capacitancia contra coulombs No confunda el símbolo C para la capacitancia (que siempre está en cursivas) con la abreviatura C de los coulombs (que nunca se escribe con cursivas). ❚ 1
Cuanto mayor es la capacitancia C de un capacitor, mayor será la magnitud Q de la carga en el conductor de cierta diferencia de potencial dada Vab, y, por lo tanto, ma-
Cuanto mayor es la capacitancia C de la carga en el conductor de cierta diferenc yor será la cantidad de energía almacena energía potencial por unidad de carga.) As tud (capacidad) de un capacitor para alm
cío
opuestas. Este arreglo recibe el nombre de capacitor de placas +Q ndo la diferencia da Q y(sección aplicando –Q d 21.13 21.5) se calculó la magnitud del campo eléctrico E Diferencia vacío; es decir, se utilizando el principio de superposición de campos eléctricos, y de de potencial 5 Vab Placa b, área A arados un es-22.4) empleando la ley de Gauss. Sería una buena Alambre plo 22.8por (sección ejemplos. Se vio que E 5 s>P0, donde s es la magnitud (valor absoCapacitor separado por el vacío nductoras paralead superficial de carga en cada placa.deEsto es igual a la con magnitud 24.2 Capacitor placas paralelas carga. de ueña enplaca comparan cada dividida entre el área A de la placa, o bien, s 5 Q>A, S b) Vista lateral del campo eléctrico E Arreglocomo de las placas del capacitor carga, campoE sea)expresa nitud delelcampo as (figura 24.2b). S Placa a, área A Alambre E Q s as placas es esenE5 5 manera uniforme P0 P0 A acitor de placas +Q orme y la distancia entre las placas es d, por lo que la diferencia de –Q )ampo entre eléctrico las dos placas es d E Diferencia s eléctricos, y de de potencial 5 Vab Cuando la separación de las placas Placa b, área A 1 Qd Alambre es pequeña en comparación con su . Sería una buena Vab 5 Ed 5 tamaño, el campo eléctrico de los P0 A nitud (valor absobordes es despreciable. a la magnitud de e observa que la capacitancia C de un capacitor de placas paralelas o bien, s 5 Q>A, Capacitor = dos placas paralelas de área A separada por distancia d, con d A S b) Vista lateral del campo eléctrico E
Cargados, el campo eléctrico EESes casi uniforme: Q A (capacitancia de un capacitor (24.2) σ24.3 Dentro de un micrófono condensador C5 5 P0 E = hay un capacitor con una placa rígida y (4.2) de placas paralelas con vacío) Vab d εuna 0 placa flexible. Las dos placas se mantienen con una diferencia de potencial e la diferencia de Q • del Densidad de directamente carga σ =proporcional lo depende de la geometría capacitor; es constante Vab. Las ondas sonoras provocan A placa e inversamente proporcional a su separación d. Las cantidades que la placa flexible se mueva hacia separación de las placas tes para un capacitor dado, y P0Cuando es unalaconstante universal. Así, con delante y atrás, lo que hace variar la es pequeña en comparación C y ocasiona que la carga Por d efinición d el t rabajo, Ed =con Vabsu tenemos: cia C es una constante independiente la carga en el o capacitancia tamaño, eldecampo eléctrico de capacitor los fluya hacia y desde el capacitor de acuerdo Vab Q fle- conQla relación ε A e potencial entre las placas. Si una deeslas placas del capacitor es bordes despreciable. = Éste es ⇒C = = 0 C 5 Q>Vab. Así, la onda (4.3) C cambia conforme cambia la separación d de las placas. ecia placas paralelas d ε0A Vab se convierte d sonora en un flujo de carga
eración de un micrófono condensador (figura 24.3). que puede amplificarse y grabarse C = constante Para un capacitor forma digital. ateria entre las placas, •sus propiedades afectan d laado capacitancia. En en • Cuando tiene ire ehacer n lugar del que vacío, volverá a tratar este asunto. Entre tanto, seadebe notar si Caire < C por 0.06% Dentro de un micrófono condensador 24.3 s placas contiene a presión atmosférica en lugar de vacío, la ca(24.2) aire )de lo que predice la ecuación hay un capacitor con una placa rígida 2 2 (24.2) en menos del 0.06%.y C2818 C 2 una placa flexible.[Las dos placas se C APÍT UCLO 24 Capacitancia y dieléctricos Unidad a lterna: ⇒ A = m , d = m, ε = 1F = 1 = 1 ] [ ] [ ] 0 en 2 (24.2), si A se expresa en metros cuadrados y d en metros, C está N ⋅ m N ⋅ m J mantienen con una diferencia de potencial 2 2 des P0 son C / N # mconstante que. Las se observa que provocan entedeproporcional ondas sonoras ab , por lo V Esta relación es útil en 24.4 Los capacitores comerciales están haciaC d. Las cantidades que la placa flexible se mueva J F −12 2 otro 2 que con que la ecuación (24.2) lo ⇒variar 1F = la 1 y ε 0 = 8.85 ×rotulados 10 ado, el valor de su capacitancia. 1 C1V J = 1hace 1 Fcon 5 1 Del Cdelante niversal. Así, / N # myl5atrás, /ocasiona Para estos C que la carga V m capacitores, C 5 2200 mF, Un farad es una cap capacitancia C y en el capacitor o 1000 mF y 470 mF. fluya hacia y desde el capacitor de acuerdo muchas aplicaciones, Cl capacitor (energía por unidad de carga), esto es congruente con la definición es flecon la relación C 5 Q>Vab. Así, la #onda 2enorme 2 NOTA: 1 F = c apacitancia rad (1 mF 5 1026 F ) y último, lasÉste unidades de P0 se C /de N carga m 5 1 F / m, as placas. es sonora se expresan convierte como en un 1flujo de las cámaras fotográ • C ~ micro F (10 o más µF = fuente que puede amplificarse y grabarse gura 24.4), mientras q de digital. alimentación radio AM) o pico F capacitancia. En en forma 212 radio por lo común est (10-‐100 P0 5 F / m pF = circuitos de hacer notar que si 8.85 3 10 Para cualquier cap sintonización radio FM) ar de vacío, la calas dimensiones y la se 0.06%. formas del conductor metros, C está en Ej. Capacitores comerciales: expresión de la capac C = 2200 µF, 1000 µF y 470 µF guientes ejemplos mo de conductores.
con la definición / N # m2 5 1 F / m,
2
Ejemplo 24.1
Tamaño de un capacitor de 1 F
Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 1.0 F. Si las placas tienen una separación de 1.0 mm, ¿cuál es el área de las placas?
SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Éste no es un capacitor de placas paralelas, por lo que no es posible utilizar las relaciones desarrolladas para esa geometría particular. En vez de ello, regresaremos a la definición fundamental de capacitancia: la magnitud de la carga en cualquier conductor dividida entre la diferencia de potencial de los conductores.
El campo eléctrico entre las esfera la esfera interior; la esfera exterior plo 22.5 vimos que la carga en una po igual a cero dentro de la esfer conductor exterior no contribuye a La expresión anterior para E e una carga puntual Q, por lo que bién puede tomarse como la mism puntual, V 5 Q>4pP0r. De ahí qu (positivo) en r 5 ra con respecto en r 5 rb es
PLANTEAR: Emplearemos la ley de Gauss para encontrar el campo Ej. Tamaño de un capacitor eléctrico entre los conductores esféricos. A partir de este valor se deter mina la diferencia de potencial V entre los dos conductores; después ab Para C = 1F y d = 1.00mm usaremos la ecuación (24.1) para encontrar la capacitancia C 5 Q>Vab. EJECUTAR: Con procedimiento 22.5 (sección ⎤ Cd el⎡ mismo F 1⋅10 −3del ejemplo 2 2 22.4), se toma superficie gaussiana una esfera con radio A = como ⋅ m = m ≈ 1.1× 10 8rmentre Usando la relación (4.3) ⎢ ⎥ −12 ε F m 8.85 × 10 ⎣ ⎦ 0 las dos esferas y que sea concéntrica con respecto a éstas. La ley de Gauss (ecuación 22.8) establece que el flujo eléctrico a través de esta superficie es igual a ladcarga total encerrada superficie, Esto corresponde a un cuadrado e alrededor de 1dentro 0 km de de lalado ~ la ditercera parte vidida entre P : 0 de la isla de Manhattan -‐ no es un diseño muy práctico para un capacitor
Vab 5 Va 2 Vb 5 5
1 2 1 4pP r Q
0
a
Por último, 5 miden unos cuantos centímetros Ahora es posible fabricar capacitores dCe E 1 FdA que de la capacitancia es P0 lado, usando carbono activo Sen vez del vacío Q S S
#
S
Qenc
Por simetría, E es de magnitud constante y paralela a dA en cada punto de esta superficie, por lo que la integral en la ley de Gauss
Ej. Capacitor esférico 24.5 Capacitor esférico.
Vab
5
Como ejemplo, si ra 5 9.5 cm y rb
Coraza interior, carga 1Q Superficie gaussiana ra
r
rb
Coraza exterior, carga 2Q
Q Aplicando la ley de Gauss ∫ E ⋅ dA = ε 0 donde E es // a dA y E homogeneo Q 1 Q E ⋅ dA == E ( 4π r 2 ) = ⇒ E = ∫ Ejemplo 24.4 Capacitorε 0cilíndrico 4πε 0 r 2 Misma forma que para carga puntual Un conductor cilíndrico largo tiene un radio ra y densidad lineal de carga 1l. Está rodeado por una coraza conductora cilíndrica coaxial Por definición del con potencial eléctrico para lineal cargas untuales: radio interior rb y densidad de p carga 2l (figura 24.6). Calcu⎛ rb − ra ⎞suponienQ de longitud Q ⎞para este Q capacitor, le la capacitancia por⎛ unidad Vab =hay Vavacío − Vb en = ⎜el espacio−entre los cilindros. = ⎟ do que ⎝ 4πε 0 ra 4πε 0 rb ⎠ 4πε 0 ⎜⎝ ra rb ⎟⎠ A SOLUCIÓN Q rr La capacitancia C = = 4πε 0 a b = 4πε 0 mg IDENTIFICAR: Igual en el ejemplo 24.3, se usa la definición funVab rb − rque d a damental de capacitancia.
Donde Amg es el cuadrado de la media geométrica ra rb Similar a capacitancia de placas paralelas cuando d r
C5
3
C 5 4p 1 8.85 3 10 212
5 1.1 3 10 210 F 5 1
EVALUAR: Podemos relacionar e un capacitor de placas paralelas. L tre las áreas 4pra2 y 4prb2 de las geométrica de las dos áreas, lo que tre las esferas es d 5 rb 2 ra, por l como C 5 P0Agm>d. Ésta es exacta cas paralelas: C 5 P0A>d. La conc esferas es muy pequeña en compa comportan como placas paralelas c
PLANTEAR: Primero se encuentr potencial Vab entre los cilindros y cilindros; después se encuentra la diante la ecuación (24.1). La varia vidida entre L.
EJECUTAR: Para encontrar la dif dros, se utiliza el resultado que se
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C APÍT U LO 24 Capacitancia y dieléctricos
del cilindro interior a (posi (negativo), es decir,
24.6 Un capacitor cilíndrico largo. En esta figura la densidad de carga Ej. Capacitor clineal ilíndrico l se supone positiva. La magnitud de carga en una longitud L de cualquier cilindro es lL.
Va
2l
1l
Esta diferencia de potencial como en la figura 24.6) porq más elevado que el del exteri La carga total Q en una ecuación (24.1), la capacitan
ra rb
C5
L
El potencial para un cilindro infinito es: •
Q Vab
5
λ r V= ln 0 2πε 0 r 23.3). Ahí se determinó que en un punto de un cilindro con carDonde r0 es el radio arbitrario donde V = 0 afuera
La capacitancia por unidad d
C L
ga a una distancia r de su eje, el potencial debido al cilindro es Si se sustituye P0 5 8.85 3 Para un capacitor cilíndrico, tomamos r0 = rbl el radio r0 de la superficie interior del V5 ln C cilindro, de manera que el cilindro exterior 2pP tiene Vr = 0 , por lo tanto en ra 0 L λ r donde r0 es el radio (arbitrario) Vab = en ellnqueb V 5 0. En este problema, se 2πεpara rela potencial entre los cilindros EVALUAR: Se observa que la puede usar este mismo resultado 0 con la lley de Gauss, la carga en el cilindro exte- tá determinada en su totalida La carga total porque, de acuerdo manera que a capacitancia: Q = λ L de rior no contribuye al campo entre los cilindros (véase el ejemplo el caso de las placas paralela Q 2πε L 24.3). En nuestro caso,Cse= toma=el radio0 r0 como rb, el radio de la su- bricados de este modo, pero e V ln r r ( ) ab b a perficie interior del cilindro exterior, de manera que el cilindro con- nen un material aislante en ve
La capacitancia por uexterior nidad destá e longitud: ductor en V 5 0. Entonces, el potencial en la superficie exterior del cilindro interior C (donde 2πε 0r 5 ra) es igual al potencial Vab = L ln ( rb ra ) Para ε 0 = 8.85 × 10 −12
C 55.6 pF m = L ln ( rb ra )
• • •
F pF = 8.85 m m
de televisión y conexiones d por unidad de longitud de 69
Evalúe su comprensión de la sección 24.1 espacio entre los conductores. Si se duplica la cantida ¿qué pasa con la capacitancia? i) aumenta; ii) disminu depende del tamaño o la forma de los conductores.
La capacitancia de los cilindros coaxiales está determinada en su totalidad por las dimensiones, tal como ocurre en el caso de las placas paralelas Los cables coaxiales comunes tienen un material aislante en vez de vacío Los capacitores se fabrican con ciertas capacita 24.7 Algunos dealos capacitores El cable típico para las ntenas de televisión y conexiones de videograbadoras disponibles en el comercio. 24.7). Sin embargo, estos valores estánda tiene una capacitancia por unidad de longitud de 6(figura 9 pF/m en una aplicación específica. Se pueden obtene capacitores; son posibles muchas combinacione xión en serie y la conexión en paralelo. 4
24.2 Capacitores en serie
Capacitores en serie
La figura 24.8a es un diagrama de una conexió
24.2 Capacitores en serie y en paralelo
821
la placa inferior de C1 y la placa superior de C2, en conjunto, de- 24.8 Conexión en serie de dos capacitores. a cero porque tales placas sólo están conectadas una con otra y a) Dos capacitores en serie en una conexión enConexión serie, la magnitud de la carga todas de capacitores en sen erie y elas n paralelo
Capacitores en serie: • Los capacitores tienen la misma carga Q. a figura 24.8a, las diferencias de potencial los puntos a y c, la La construcción de un entre capacitor determina capacitancia individual: • Sus diferencias de potencial se suman: n representarse como • La combinación de diferentes capacitores cualquier valores, Vac p1ermite Vcb 5 Vpabroducir . tal que requeridas por aplicaciones especificas a Q Q Vac 5 V1 5 Vcb 5 V2 5 C1 C + +en + +paralelo Dos combinación p2 osibles en un circuito eléctrico: en serie 1Q o – – – – C1 Vac 5 V1 2Q 1 1 Vab 5 V 5 V1 1 V2 5 Q 1 1) Combinación C1 serie Ce2yn enserie c Vab 5 V 24.2 Capacitores en paralelo 821 Combinamos en serie dos capacitor con capacitancia C1 y1Q C2 + + + + C Vcb 5 V2 2Q – – – – 2 en conjunto, de- 24.8 Conexión en serie de dos capacitores. 1 1 as una con otra V y 5a) Dos1capacitores en serie (24.3) b arga en todas las Q C1 C2
1
2
Capacitores en serie:
común, losasímbolos V1, capacitores V2 y V setienen utilizan paracarga denotar la misma Q. las difelos puntos y c, • Los • Sus diferencias de potencial se suman: Vac (a través del primer capacitor), Vcb (a través del segundo caVac 1 de Vcbcapacitores), 5 Vab. és de toda la combinación respectivamente. a equivalente Ceq de la combinación en serie se define como la olo capacitor para el que la carga1Q Q es + + la + +misma que para la comVac 5 V1 la combi– – otras – C1 palabras, diferencia de potencial es la misma. 2Q –En tituir por un capacitor equivalente de capacitancia Ceq. Para un c Vab 5 V o, como el que se ilustra en la figura 24.8b, Q Ceq 5 V (24.3)
1Q
o bien, b
++ ++
1 2Q V– – 5 Ceq Q
––
C2 Vcb 5 V2
(24.4)
b) El capacitor equivalente único a
La capacitancia equivalente es menor que las capacitancias La carga individuales: es la misma1Q ++ ++ Q V para los C 5 – – – – eq V capacitores 2Q 1 1 1 individuales. 5 1 Ceq C1 C2 b
aciones (24.3) y (24.4) encuentra queen serie, la magnitud de la carga en todas las placas es la misma En usena conexión b) El capacitor equivalente único denotar las dife- 1 a 1 s del segundo ca-1 Las capacitancia iferencias de pLaotenciales: 5 d1 ectivamente. Ceq equivalente es menor C1 C2 Q Q que las capacitancias e define como la (4.4) La carga Vac = V1 = y Vcb = V2 = C C2 individuales: 1Q e extender a cualquier número de capacitores conectados en se1 que para la comes la misma + ++ Q equivalente: uiente de+ la capacitancia Vrecíproco labras,resultado la combi-para De elm anera para losque C 5 – – – – eq V capacitores ncia Ceq. Para un 2Q ⎛ ⎞ 1 1 V =1V = V + V = Q 1 + 1 (4.5) individuales. 5 1 ab 1 2 ⎜ Ceq C1 C2 1 1 1 ⎝ C1 C2 ⎟⎠ 5 1 1 1c (capacitores en serie) (24.5) 24.9 Conexión en paralelo de dos C1 C2 C3 b capacitores. (24.4) La capacitancia resultante en serie es por lo tanto: 1 V a)1 Dos 1capacitores en paralelo apacitancia equivalente = = + (4.6) de una combinación en serie es igual íprocos de las capacitancias individuales. En una conexión Ceq en Q Capacitores C1 C2 en paralelo: equivalente siempre es menor que cualquiera de las capacitan- • Los capacitores tienen el mismo potencial V.
onectados en se-En una combinación en serie, la magnitud de la cartores en serie ncia equivalente: das las placas de todos los capacitores; sin embargo, las diferencias
• La carga en cada capacitor depende de su capacitancia: Q1 5 C1V, Q2 5 C2V. a
pacitores individuales no son las mismas a menos que sus capacitan++ ++ + + Q C2 Q2 C – – iguales. Las diferencias de potencial de los capacitores individuales Vab 5 V 1 – – – – 1 de potencial a través de la combinación en serie: e)diferencia(24.5) 24.9 total Conexión en paralelo de dos 5 c 1 . ❚ capacitores.
en serie es igual
b
a) Dos capacitores en paralelo
b) El capacitor equivalente único
b recíproco de la capacitancia equivalente: l siguiente(24.4) resultado para el
1 1 1 1 5 1 1 1c Ceq C1 C2 C3
(capacitores en serie)
(24.5)
24.9 Conexión en paralelo de dos capacitores.
Para cualquier numero de capacitores en serie: a) Dos capacitores en paralelo N 1 en paralelo: ∑Capacitores i=1 •C i capacitores tienen el mismo potencial V. Los
la capacitancia equivalente de una combinación en serie es igual 1 en snectados recíprocos capacitancias individuales. En una conexión en de se-las(4.7) = Ceq ancia equivalente siempre es menor que cualquiera de las capacitancia equivalente: s.
• La carga en cada capacitor depende de su capacitancia: Q1 5 C1V, Q2 5 C2V. En una conexión en serie, la capacitancia equivalente siempre es menor que a apacitores en serie cualquiera En una combinación en serie, la magnitud de la carde las capacitancias individuales
) (24.5) en paralelo de dos las diferencias en todas las placas de24.9 todosConexión los capacitores; sin embargo, capacitores. os capacitores individuales no son las mismas a menos que sus capacitan++ ++ + + Q C2 Q2 C – – sean iguales. Las diferencias de potencial de los capacitores individuales Vab 5 V 1 – – – – 1 a) Dos capacitores en paralelo Combinación de capacitores en paralelo nar serie es igualde potencial la diferencia total a través de la combinación en serie: c una 1 V3conexión 1 . ❚ en Capacitores en paralelo:
e las capacitan-
• Los capacitores tienen el mismo potencial V. • La carga en cada capacitor depende de su s en paralelo capacitancia: Q1 5 C1V, Q2 5 C2V. e muestra en la figura 24.9a a se llama conexión en paralelo. Dos capaagnitud de la car-
b) El capacitor equivalente único a
nectados en paralelo entre los puntos a y b. En este caso, las placas suo, las diferencias dos capacitores están conectadas mediante alambres conductores para ue sus capacitan++ ++ + + Q C Q2 Entonces, en C 5 placas V 1 – 2 – –otra. erficie equipotencial,Vyab las inferiores – – – 1 forman ores individuales ninación paralelo, la diferencia de potencial para todos los capacitores inen serie: misma, y es igual a Vab 5 V. Sin embargo, las cargas Q1 y Q2 no son
alelo. Dos capao, las placas suonductores para ra. Entonces, en capacitores inQ1 y Q2 no son
b
b
1Q Ceq
V
+++ +++
––– –––
2Q b
La carga es la suma de las cargas individuales: Q 5 Q1 1 Q2. Capacitancia equivalente: Ceq 5 C1 1 C2.
b) El capacitor equivalente único En una conexión en paralelo, la diferencia de potencial para todos los capacitores a individuales es la misma La carga es la suma de 1Q las cargas individuales: Las cargas i+ndividuales: ++ +++ C Q 5 Q1 1 Q2. eq V – – – – – – (4.8) Q1 = C1V y Q2 = C2V Capacitancia equivalente: 2Q Ceq 5 C1 1 C2. La carga b total es la suma de las cargas: Q = Q1 + Q2 = V ( C1 + C2 ) (4.9) Y la capacitancia equivalente en paralelo: Q Ceq = = C1 + C2 (4.10) V Para N capacitores en paralelo: (4.11)
N
Ceq = ∑ Ci i=1
En una conexión en paralelo la capacitancia equivalente siempre es mayor que cualquier capacitancia individual
6
Capacitores en serie y en paralelo
Ejemplo 24.5
En las figuras 24.8 y 24.9, sean C1 5 6.0 mF, C2 5 3.0 mF y Vab 5 18 V. Encuentre la capacitancia equivalente, la carga y la diferencia de potencial para cada capacitor cuando los dos capacitores se conectan a) en serie, y b) en paralelo.
SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Este problema usa las ideas analizadas en esta sección acerca de las conexiones de los capacitores. PLANTEAR: En los dos incisos, una de las variables buscadas es la capacitancia equivalente Ceq, que para la combinación en serie del inciso a) está dada por la ecuación (24.5), y para la combinación en paralelo del inciso b) por la ecuación (24.6). En cada inciso podemos encontrar la carga y la diferencia de potencial utilizando la definición de capacitancia, ecuación (24.1), y las reglas descritas en la Estrategia para resolver problemas 24.1. EJECUTAR: a) Para la capacitancia equivalente de la combinación en serie (figura 24.8a), se aplica la ecuación (24.5) y se encuentra que 1 1 1 1 1 1 5 1 5 Ceq C1 C2 3.0 mF 6.0 mF
Ceq 5 2.0 mF
La carga Q en cada capacitor en serie es igual a la carga en el capacitor equivalente: Q 5 CeqV 5 1 2.0 mF 2 1 18 V 2 5 36 mC
b) Para determinar la capacitancia equivalente de la combinación en paralelo (figura 24.9a), se utiliza la ecuación (24.6): Ceq 5 C1 1 C2 5 6.0 mF 1 3.0 mF 5 9.0 mF La diferencia de potencial a través de cada uno de los dos capacitores en paralelo es la misma que aquélla a través del capacitor equivalente, 18 V. Las cargas Q1 y Q2 son directamente proporcionales a las capacitancias C1 y C2, respectivamente: Q1 5 C1 V 5 1 6.0 mF 2 1 18 V 2 5 108 mC Q2 5 C2 V 5 1 3.0 mF 2 1 18 V 2 5 54 mC
EVALUAR: Observe que la capacitancia equivalente Ceq para la combinación en serie del inciso a) es menor que C1 o C2, en tanto que para la combinación en paralelo del inciso b), la capacitancia equivalente es mayor que C1 o C2. Resulta pertinente comparar las diferencias de potencial y las cargas en cada inciso del ejemplo. Para los dos capacitores en serie, como en el inciso a), la carga es la misma en cualquier capacitor y la diferencia de potencial más grande ocurre a través del capacitor con la menor capacitancia. Además, Vac 1 Vcb 5 Vab 5 18 V, como debe ser. En contraste, para los dos capacitores en paralelo, como en el inciso b), cada capacitor tiene la misma diferencia de potencial y la mayor carga está en el capacitor con la mayor capacitancia. ¿Puede usted demostrar que la carga total Q1 1 Q2 en la combinación en paralelo es igual a la carga Q 5 CeqV en el capacitor equivalente?
La diferencia de potencial a través de cada capacitor es inversamente proporcional a su capacitancia: Vac 5 V1 5 Vcb 5 V2 5
Q C1 Q C2
5 5
36 mC 6.0 mF 36 mC 3.0 mF
5 6.0 V 5 12.0 V
Ejemplo 24.6 Red de capacitores La máquina Z (Sandia Laboratory: ttp://www.sandia.gov) utiliza un las cuales Encuentre la capacitancia equivalente N deational la combinación que se mues- h car partes del arreglo que sí están en serie o en paralelo, tra en la figura 24.10a. combinaremos para encontrar la capacitancia equivalente. número grande de capacitores en paralelo para dar una capacitancia equivalente C utiliza la ecuación (24.5) parase analizar las porciones enorme energía: Selos arcos eléctricos producen SOLUCIÓNy almacenar una grande cantidad de PLANTEAR: de la red conectadas en serie, y la ecuación (24.7) para analizar aquecuando los capacitores su nergía en que un están blanco, no mayor que un carrete de IDENTIFICAR: Los cinco capacitores d enescargan la figura 24.10a noe están co- llas en paralelo. 9 nectados todos en serie ni en paralelo. Sin embargo, podemos identifihilo, que caliente el objetivo a T > 2 × 10 K 24.10 a) Red de capacitores entre los puntos a y b. b) Los capacitores de 12 mF y 6 mF conectados en serie en a) se sustituyen por un capacitor equivalente de 4 mF. c) Los capacitores en paralelo de 3 mF, 11 mF y 4 mF en b) se sustituyen por un capacitor equivalente d) d Por los capacitores de 18R mF. Ej. ed e último, capacitores en serie de 18 mF y 9 mF en c) se sustituyen por un capacitor equivalente de 6 mF. a)
b)
a
3 mF
11 mF
12 mF
c) a
a
3 mF
11 mF
4 mF
d) a
18 mF
… sustituimos estos capacitores en serie por un capacitor equivalente.
6 mF 9 mF b
Sustituimos estos capacitores en serie por un capacitor equivalente …
6 mF 9 mF b
… sustituimos estos capacitores en paralelo por un capacitor equivalente …
9 mF b
b
continúa Etapas: a) Se calcula la capacitancia equivalente de los dos capacitores en serie más internos b) Se usa esta capacitancia para calcular la capacitancia equivalente de los tres capacitores en paralelo c) Se calcula la capacitancia equivalente de este último capacitor colocando lo en serie son el capacitor restante
7
Almacenamiento de energía en un capacitor La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor U es exactamente igual a la cantidad de trabajo W que se requiere para cargar lo • Cuando el capacitor se descarga se recupera en forma de trabajo realizado por las fuerzas eléctrica Para determinar U se necesita determinar el trabajo: • Sean q y v la carga y el potencial eléctrico en una etapa intermediaria del proceso de carga • Por definición v = q C y el trabajo a esta etapa es q dW = vdq = dq (4.12) C • El trabajo total = el trabajo para cargar el capacitor a su máxima Q Q 1 Q Q2 (4.13) W = ∫ dW = ∫ q dq = 0 C 2C 0 Si se define la energía potencial de un capacitor sin carga como cero, entonces el trabajo W es igual a la energía potencial U del capacitor con carga Q Por definición de la capacitancia C = ⇒ Q 2 = C 2V 2 : V Q2 1 1 (4.14) U =W = = CV 2 = QV 2C 2 2 C J • Donde las unidades [Q ] = C, [ C ] = F = , [V ] = V = ⇒ [U ] = J V C
8
Analogía mecánica Segundo la ley de Hook para un resorte, la energía potencial almacenada por el resorte es: 1 U = kx 2 (4.15) 2 11 2 1 Q ⇒ Q → x y → k • Similar a U = 2C C • Como la carga eléctrica es igual a su campo eléctrico (ley de Gauss), aquí la carga juga el papel equivalente al espacio en la ley de Hook Segundo el teorema del Virial en promedio la energía de un sistema mecánico estable es igual a: U 2K = U ⇒ K = W = (4.16) 2 V ⎛V⎞ • Aquí la analogía mecánica es directa, porque U = Q ⎜ ⎟ donde es el ⎝ 2⎠ 2 potencial promedio Si el capacitor es cargado a partir de una batería (fuente de potencia constante): 1 U = CV 2 (4.17) 2 • Más grande la capacitancia, más grande la energía disponible
9
Interpretación en la teoría de campo En la teoría de campo, la energía reside en el campo mismo • El trabajo para cargar un capacitor, es un trabajo contra el campo eléctrico dentro del capacitor Definimos la densidad de campo como la densidad por unidad de volumen µ 1 Como el volumen del capacitor Vol = Ad y la energía almacenada U = CV 2 por lo 2 tanto: 1 CV 2 (4.18) µ= 2 Ad A Usando las otras definiciones de capacitancia C = ε 0 y potencial eléctrico V = Ed d encontramos que 1 ⎛ A⎞ 1 2 2 CV 2 ⎜⎝ ε 0 ⎟⎠ ⋅ E d 1 2 d u= 2 = = ε 0 E 2 (4.19) Ad Ad 2 En esta definición, vemos que la noción de una carga en el espacio (Mecánica clásica de Newton) es equivalente a la noción de campo (Teoría de Campo), que es, de hecho, equivalente a la noción de trabajo, que es el resultado de las interacciones entre partículas (Mecánica analítica de Leibniz) Estos son tres maneras equivalentes como describir las interacciones entre partículas carga + espacio campo
(
)
Trabajo (interacciones entre partículas)
10
rga y energía entre capacitores
ncia C1 5 8.0 mF al 24.12 Cuando se cierra el interruptor S, el capacitor con carga C1 V0 5 120 V (en la está conectado a otro capacitor sin carga C2. La parte central del interruptor es manija aislante; ladcarga sóloepuede fluir entre tá abierto. Una vez Ej. Transferencia de una carga y transferencia e energía ntre capacitores las dos terminales superiores y entre las dos terminales inferiores. a diferencia de po rto el interruptor S? ptor S se deja abierQ0 ++ ++ C2 54.0 mF está sin V0 5 120 V –– –– es la diferencia de carga en cada uno? C1 5 8.0 mF C2 5 4.0 mF S rrar el interruptor S?
Antes de conectar los dos capacitores: Q0 = C1V0 = 960 µC donde C1 = 8 µF y EJECUTAR: a) La carga Q0 en C1 es 1 V0 = 120V que nos da U = V0Q0 = 0.058J acitor con una difeQ0 5 C21 V0 5 1 8.0 mF 2 1 120 V 2 5 960 mC de que se cierra el Después db) e conectar los almacenada capacitores einicialmente n paralelo, el en potencial es el m s de los dos capaciLa energía el capacitor esismo Veq = V pero
las cargas se redistribuyo de manera que Q0 = Q1 + Q2 (la carga es conservada) palabras, los capa1 1 Uinicial 5 Q0 V0 5 1 960 3 10 26 C 2 1 120 V 2 5 0.058 J Para determinar las cargas individuales usamos la definición de la capacitancia 2 2 Q1 = C1V y Q2 = C2V a carga y la energía c) Cuando se cierra el interruptor, la carga positivaQQ0 se distribuye cuaciones (24.1)Combinando y sobre las Q1 + Q2 =deQ0ambos = ( C1 +capacitores, C2 )V ⇒ V = y la 0carga = 80V las rplacas elaciones superiores negativa + C2 el carácter de la co- 2Q se distribuye en las placas inferiores de los dosC1capacitores. Sean 0 Esto nos da Q1 = 640 µC y Q2 = 320 µC ue los dos capacitoQ1 y Q2 las magnitudes de las cargas finales en los dos capacitores. De utiliza otra vez la la conservación de la carga, 1 a en los capacitores La energía potencial eléctrica final es U = VQ0 = 0.038J Q1 1 Q22 5 Q0 .
El proceso no es conservativa – hay una perdida de energía en otra forma relacionada con el movimiento de los electrones, calor + radiación infrarroja Ej. Densidad de energía Queremos almacenar 1.00J de energía potencial en un volumen de 1.00m3 en el vacío J Esto corresponde a una densidad µ = 1.00 3 y un campo eléctrico: m 2µ V E= ≈ 4.75 × 10 5 ε0 m Esto es un campo muy fuerte con una diferencia de potencial enorme 0.5 × 10 6 V Nota, como µ ∝ E 2 una aumentación por factor 10 del campo produciría una aumentación de energía por un factor 100
11
iii) con cualquiera, ya sea e
24.4 Dieléctri 24.13 Un tipo común de capacitor utiliza láminas dieléctricas para separar los conductores.
La mayoría de los capac placas conductoras. Un t metálicas como placas, En los capacitores, se colocan un material Mylar. Estos materiales una unidad capaz de pr no conductor entre las placas = compacto (figura 24.13) dieléctrico Conductor La colocación de un (hoja metálica) funciones. La primera e Ej. Hoja de plástico = Mylar metálicas grandes con u 24.4 Dieléctricos 829 La segunda función e Un sándwich de este material se enrolla de potencial entre las pla un apacitor compacto 24.14 Efecto de un dieléctrico entre las carga es constante, Qformando 5 C0V0 5 CV y cC>C 0 5 V0>V. En este caso, la ecuaquier material aislante ex placas paralelas de un capacitor. a) Con la forma 2) se puede expresar de través de él, si se somete una carga dada, la diferencia de potencial Conductor V0 es V0. b) Con la misma carga pero con un se llama ruptura del die (hoja metálica) V5 (donde Q es unadconstante) Dieléctrico Tres funciones e un dieléctrico: (24.13) dieléctrico entre las placas, la diferencia K campos eléctricos más in de potencial V es menor que V0.(hoja de plástico) trico permite que un cap léctrico presente, la diferencia de potencial para una carga Q dada se redu a) lo tanto, almacene cantid actor de K. 1) Soluciona el problema de mantener las placas separadas stante dieléctrica K es un número puro. Como C siempre es mayor que C0, La tercera función es 2) Aumenta la diferencia de potencial mVacío áximo posible es mayor que la unidad. En la tabla 24.1 se incluyen algunos valores repremayor cuando entre sus o Cualquier aterial aislante ycuando sujeto a un campo eléctrico intenso de K. Para el vacío, K 5 1, por definición. Para elm aire a temperaturas to se demuestra con ayu experimenta ruptura dieléctrica – iQonización del material que permite 2Q ordinarias, K es alrededor de 1.0006; este valor es tan cercano a 1 que para rencia de potencial entre 24.4 Dieléctricos 829 el paasaje de lvacío. a electricidad (correspondiente a perdida de energía) ticos, un capacitor con aire es equivalente uno con Observe que uno a otro. La figura 24. agua tiene un valor de K muy grande, por lo general no espun dieléctrico o Los dieléctricos ueden tolerar más altos campos -‐ potencial aumenta con carga, con magnitud ico usarlo en24.14 capacitores. razón es que sientre bien el EfectoLa desin un dieléctrico lasagua pura estecomo caso,para la ecuaruptura dieléctrica es do entre las placas se ins paralelas de un solvente capacitor.iónico. a) ConCualquier ion V0 tor deficiente, por otroplacas lado, es un excelente 3) Dieléctrico p ermite aumentar la carga y la capacitancia parafina o poliestireno, l una carga dada, la diferencia de potencial n el agua haría que las cargas fluyeran entre las placas del capacitor, por lo es V . b) Con la misma carga pero con un minuye a un valor peque 0 e descargaría. (24.13) dieléctrico las placas, la diferencia Se coloca entre un electrómetro que permite medir el potencial entre Electrómetro dos placas paralela potencial vuelve a su va (mide la de potencial con carga QV es 1 Valores de la constante dieléctrica, K, menor a 20 °Cque V0. las placas no han cambia diferencia de ga Q dada se redu– + potencial entre La capacitancia orig a) K Material K las placas) dieléctrico presente es C es mayor que C10, Cloruro de polivinilo 3.18 Vacío nor que V0, de donde se b) nos valores reprem) 1.00059 Plexiglás 3.40 mayor que C0. Cuando e a temperaturas1.0548 y atm) Vidrio 5–10 Dieléctrico 2Q léctrico, la razón de C a rcano a 1 que para Q 2.1 Neopreno 6.70 trica del material, K: acío. Observe que 2.25 Germanio 16 2Q Q o es un dieléctrico 2.28 Glicerina 42.5 en el agua pura es K5 3–6 Agua 80.4 V0 C ico. Cualquier ion 3.1 Titanato de estroncio 310 l capacitor, por lo
Dieléctricos
n dieléctrico real es un aislante perfecto. Por consiguiente, siempre hay cierElectrómetro V Al agregar el (midecon la dieléctrico. En la te de fuga entre las placas con carga de un capacitor dieléctrico, se reduce diferencia 4.2 se ignoró tácitamente este efecto en la obtención de las de expresiones para – la diferencia de + potencial entre K tancias equivalentes de capacitores conectados en serie, ecuación (24.5), y potencial a través las placas) – del capacitor. o, + o ecuación (24.7). 3.18 Pero si la corriente de fuga fluye un tiempo suficientego como para cambiar b)manera sustancial las cargas con respecto a los va3.40 de os para obtener las ecuaciones (24.5) y (24.7), La Dieléctrico introducción entre ltales as pecuaciones lacas de upodrían n dieléctrico o cambia las eléctrico cargas, pero cambia la 24.15 nLíneas de campo cuando 5–10 er exactas. entre las placas hay a) vacío y b) un 6.70
capacitancia de C0 =
nducida y16polarización Q
Q Q a C = donde V < Vdieléctrico. 0 ⇒ C > C0 V V0
2Q 42.5 e inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo 80.4 e la carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquéllas dis-
a) Vacío
Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse oun factor K. 310 mo factor. Si E0 es el valor con vacío y E es el valor con dieléctrico, entonces 12
siempre hay cierE0 5 la dieléctrico.EEn K
V
(cuando Q es una constante) Al agregar el dieléctrico, se reduce
(24.14)
s + + + + + +
S
E0
2s – – – – – –
b) Dieléctrico s 2si + +– + +– + +–
2s – +– S E – +– – +– si
Vacío
0
K siempre es mayor que la unidad. En la tabla 24.1 se incluyen algunos valores representativos de K. Para el vacío, K 5 1, por definición. Para el aire a temperaturas y presiones ordinarias, K es alrededor de 1.0006; este valor es tan cercano a 1 que para fines prácticos, un capacitor con aire es equivalente a uno con vacío. Observe que aunque el agua tiene un valor de K muy grande, por lo general no es un dieléctrico La constante dieléctrica muy práctico como para usarloCen capacitores. La razón es que si bien el agua pura es V K= = 0 , que es siempre > 1 (4.20) un conductor deficiente, por otro C0 lado, V es un excelente solvente iónico. Cualquier ion disueltoQ en agua haría las cargas fluyeran las placas del capacitor, por lo Cuando es celonstante, el nque uevo potencial es igual aentre : que éste se descargaría. 1
Q
V=
(4.21)
V0 K Tabla 24.1 Valores de la constante dieléctrica, K, a 20 °C Material
K
Material
K
Vacío
1
Cloruro de polivinilo
3.18
Aire (a 1 atm)
1.00059
Plexiglás
3.40
Aire (a 100 atm)
1.0548
Vidrio
Teflón
2.1
Neopreno
Polietileno
2.25
Germanio
16
Benceno
2.28
Glicerina
42.5
Agua
80.4
Mica
3–6
Mylar
3.1
Titanato de estroncio
5–10
310
Carga inducida y polarización Cuando se inserta un material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo tiempo que la carga se mantiene constante, la diferencia de potencial entre aquéllas disminuye en un factor K. Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse en el mismo factor. Si E0 es el valor con vacío y E es el valor con dieléctrico, entonces E0 K
(cuando Q es una constante)
Dieléctrico
6.70
Ningún dieléctrico real es un aislante perfecto. Por consiguiente, siempre hay cier ta corriente de fuga entre las placas con carga de un capacitor con dieléctrico. En la NOTA: • Aunque agua ttácitamente iene un K elevado, no een s pla ráctico usar de lo clas omo dieléctrico para sección 24.2 seel ignoró este efecto obtención expresiones en c apacitores, p orque e s u na m olécula p olar y p or l o t anto u n b ueno (24.5), y las capacitancias equivalentes de capacitores conectados en serie, ecuación solvente iónico –(24.7). cualquier ocasiona flujo e carga en paralelo, ecuación Peroión si la corriente de dfuga fluye un tiempo suficiente mente largo como para cambiar de manera sustancial las cargas con respecto a los va• De hecho ninguno dieléctrico es un aislante perfecto – siempre tiene lores usados para obtener las ecuaciones (24.5) y (24.7), tales ecuaciones podrían corriente de fuga dejar de ser exactas.
E5
b)
(24.14)
Como la magnitud del campo eléctrico es menor cuando el dieléctrico está presente, la densidad superficial de carga (que crea el campo) también debe ser menor. La carga superficial en las placas conductoras no cambia, pero en cada superficie del dieléctrico aparece una carga inducida de signo contrario (figura 24.15). Originalmente, el dieléctrico era neutro y todavía lo es; las cargas superficiales inducidas surgen como resultado de la redistribución de la carga positiva y negativa dentro del material dieléctrico. Este fenómeno se llama polarización. La polarización se mencionó por 13 primera vez en la sección 21.2, y se sugiere al lector que vuelva a leer la explicación de la figura 21.8. Se supondrá que la carga superficial inducida es directamente pro-
Q
24.15 Líne entre las pla dieléctrico. a) Vacío s + + + + + + + + + + + + + +
S
E
s
Para una de
o real es un aislante perfecto. Por consiguiente, siempre hay cierV Al agregar el entre las placas con carga de un capacitor con dieléctrico. En la dieléctrico, se reduce ró tácitamente este efecto en la obtención de las expresiones para la diferencia de uivalentes de capacitores conectados en serie, ecuación (24.5), y potencial a través – n (24.7). Pero si laCarga corriente de fuga fluye un tiempo suficientedel capacitor. + inducida y polarización ra cambiar de manera sustancial las cargas con respecto a los vabtener las ecuaciones y (24.7), ecuaciones podrían En p(24.5) resencia de un tales dieléctrico con Q constante: Líneas de campo eléctrico cuando 24.15 E 1entre las placas hay a) vacío y b) un = < 1 (4.22) E0 Kdieléctrico. a y polarización a) Vacío b) Dieléctrico n material dieléctrico entre las placas de un capacitor al mismo Por lo tanto, la carga superficial sobre el s 2s s 2s e mantiene constante, la diferencia dedpotencial 2si si conductor debe isminuir entre aquéllas dis– – + + K. Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas debe reducirse – – + +– + S S i E0 es el valor con La vacío y E es el valor consobre dieléctrico, entonces carga superficial el dieléctrico – – + + E E0 – – + – + + neutraliza la carga sobre la superficie E0 – – + + E5 (cuando es una constante) (24.14) del cQonductor K – – +– + + – – + + el campo eléctricoCargas es menor cuando el dieléctrico está presente, Carga superficiales = inducidas +– – + +– inducida al de carga (que crea el•campo) también debe menor. La carga El resultado de la ser redistribución – – + + acas conductoras no cambia, enpositiva cada superficie del dielécde pero carga y negativa +– – + +– rga inducida de signo contrario 24.15). Originalmente, – – + + dentro (figura del material utro y todavía lo es; las cargas superficiales inducidas surgen co– + – – + + – – + + edistribución de la carga positiva y negativa dentro del material • El resultado de la polarización – + – – + + ómeno se llama polarización. La polarización se mencionó por del m aterial 2si si s 2s s 2s cción 21.2, y se sugiere al lector que vuelva a leer la explicación supondrá que la carga superficial inducida es directamente proPara una densidad de carga dada s, las cargas tud del campo eléctrico E en el material; de hecho, éste es el cainducidas en las superficies del dieléctrico reducen el campo eléctrico entre las placas. ctricos comunes. (Esta proporcionalidad directa es análoga a la
En mucho dieléctrico Qinducida ∝ E análoga a la ley de Hook ( F = −kδ , donde δ es el alargamiento unitario que experimenta un material elástico) • Excepción cuando E es muy intenso (ruptura dieléctrica) o dieléctrico hecho de un material cristalino (material menos polarizable = o no elástico) σ Para una densidad superficial dada, σ, el campo eléctrico es E0 = ε0 Con un dieléctrico el campo se cambia para 1 E = (σ − σ i ) (4.23) ε0 1 σ Usando el hecho que E = E0 y E0 = K ε0
σ −σi σ σ 1 1⎞ ⎛ = ⇒ 1− i = ⇒ σ i = σ ⎜ 1− ⎟ ⎝ K⎠ ε0 Kε0 σ K Para K 1 ⇒ σ i → σ (4.24)
14
A partir de estas relaciones se define la permitividad del dieléctrico como: (4.25) ε = K ε 0 Que simplifica la relación con el campo en dieléctrico para: σ E = (4.26) ε La capacitancia en presencia de un dieléctrico cambia para: A A C = KC0 = K ε 0 = ε (4.27) d d La densidad de energía en el campo eléctrico dentro del dieléctrico: 1 1 µ = Kε0E 2 = ε E 2 (4.28) 2 2 Ej. Capacitor con y sin dieléctrico Dos placas paralelas con A = 2000cm2 separadas de d =1.00cm; Se carga las placas obteniendo un potencial V0 = 3000V A • La capacitancia es igual a C0 = ε 0 177pF d • La carga es Q = C0V0 0.531µC V V • La magnitud del campo E0 = 0 3.00 × 10 5 d m El mismo capacitor con la misma carga y con un dieléctrico de plástico disminuye el potencial a V = 1000V Q • La capacitancia pasa a ser más alta C = 531pF V C V0 = 3.00 • La constante dieléctrica es K = C0 V C • La permitividad del dieléctrico ε = K ε 0 2.66 × 10 −11 comparado con N ⋅ m2 F ε 0 = 8.85 × 10 −12 m • La carga inducida dentro del dieléctrico 1⎞ 2 ⎛ Qi = Q ⎜ 1− ⎟ = Q 3.54 × 10 −7 C = 0.354 µC ⎝ K⎠ 3 V V • El nuevo campo E = = 1.00 × 10 5 d m
15
Almacenamiento de energía con y sin dieléctrico En el ejemplo anterior, antes de la inserción del dieléctrico la energía potencial eléctrica estaba: 1 U 0 = C0V02 7.97 × 10 −4 J 2 La densidad de energía: 1 U J µ0 = ε 0 E02 = 0 0.398 3 2 Ad m Después de la introducción del dieléctrico la energía potencial eléctrica es 1 1 U = CV 2 2.66 × 10 −4 J U 0 2 3 y la densidad de energía: 1 J µ0 = ε E 2 0.133 3 2 m • El proceso de la inserción de un dieléctrico no es conservativo ¿Donde se fue la energía? Este se va en el trabajo necesario para polarizar el dieléctrico – la polarización de un material no es un proceso conservativo
16
eléctrico suel dieléctrico éctrico es tan as moléculas, movimiento, ina. oltajes máxiforma un arrco crea una yectoria conqueda inuti-
material sin e afectada de irregularidaontrolar. Por tricas. La ri24.2 se prees comunes. ejemplo, una más pequeño) mo cercano a
les aislantes
Un campo eléctrico muy intenso ocasionó la ruptura de la rigidez del dieléctrico en un bloque de *24.5 Modelo molecular de plexiglás
El flujo de carga resultante grabó este patrón (fractal) en el bloque – Ya se mencionó que cuando un material dieléctrico se somete campo eléctrico firma de uan un fenómeno caóticosu- 24.17 Un campo ficientemente intenso, tiene lugar la ruptura del dieléctrico y entonces el dieléctrico ocasionó la ruptur cuando el campo eléctrico es tan dieléctrico en un b se convierte en conductor (figura 24.17). Esto ocurre intenso que arranca los electrones de sus moléculas y los lanza sobre otras moléculas, El flujo de carga re patrón en el bloqu con lo cual se liberan aún más electrones. Esta avalancha de carga en movimiento, que forma una chispa o descarga de arco, suele iniciarse de forma repentina. Debido a la ruptura del dieléctrico, los capacitores siempre tienen voltajes máximos nominales. capacitor eses csomete uncampo voltajeexterna excesivo se forma un arEl fenómeno de rCuando uptura un dieléctrica uando aun ioniza un material co a través de la capa aislante cambiando lo en de un cdieléctrico, onductor y lo quema o perfora. Este arco crea una trayectoria corto) conductores. Si laetrayectoria con• Los econductora lectrones s(un on acircuito rrancados de sentre us mlos oléculas con grande nergía ductora permanece después deoléculas, haberse lextinguido el dispositivo quedacinuti• Se chocan con otras m iberando mel ás arco, electrones = fenómeno aótico lizado de manera permanente en su función de capacitor. • Avalancha de cargas produce chispas o arcos eléctricos (corte circuito) de La magnitud máxima de campo eléctrico a que puede someterse un material sin forma repentina que ocurra la ruptura se denomina rigidez dieléctrica. Esta cantidad se ve afectada de Cuanto ste fenómeno se plaasa se forman ulas n arco a través las del pequeñas material pirregularidaerforando lo manera esignificativa por temperatura, impurezas, de conducción orte cfactores ircuito que son difíciles de controlar. Por des•en Camino los electrodos metálicos=y cotros Si el sólo camino permanece después que se ede xtingue el arco, dieléctricas. el capacitor esta• razón pueden darse cifras aproximadas las rigideces Lase ri6 queda d añado – e l f enómeno e s i rreversible gidez dieléctrica del aire seco es alrededor de 3 3 10 V>m. En la tabla 24.2 se pre sentan valores de la rigidez dieléctrica de varios materiales aislantes comunes. La magnitud el campo eléctrico áxima =mayores campo d e ruptura = rigidez dieléctrica Observe que dtodos los valores sonmmucho que el del aire. Por ejemplo, una • Sensible a T , i mpurezas, i rregularidades d el m aterial, e tc. capa de policarbonato de 0.01 mm de espesor (el espesor práctico más pequeño) • 10 Campo uptura dieléctrica es muy aproximativo – firma un de voltaje un proceso complejo o a tiene veces dlae rrigidez del aire y soporta máximo cercano caótico (3 3 107 V>m) (1 3 1025 m) 5 300 V. V Para el aire seco a 1atm, la rigidez dieléctrica es 3 × 10 6 m Tabla 24.2 Constante dieléctrica y rigidez dieléctrica de algunos materiales aislantes
Ruptura del dieléctrico
Material
2.6 4.7
3 3 107 6 3 107 7 3 107 2 3 107 1 3 107
/
– +
Evalúe su comprensión de la sección 24.4 El espacio entre las placas de un capacitor aislado de placas paralelas está ocupado En ausencia de un por un bloque de material dieléctrico con constante dieléctrica K. campo Las doseléctrico, placas del capacitor tienen cargas Q y 2Q. Se extrae el bloque dieléctrico. Si las cargas no cambian, ¿cómo 17 se modifica la energía en el capacitor las moléculas polares cuando se retira el material dieléctrico? incrementa; ii) disminuye; iii) permanece igual. se orientan i)alSe azar.
+
+
+
–
– +
n dieléctrico, argas superficonductores
Poliestireno Vidrio a) pyrex
–
ducida
Rigidez dieléctrica, Em ( V m )
24.18 Moléculas polaresSa)2.8 sin un Policarbonato campo eléctrico aplicado E y3.3 b) con Poliéster S Polipropileno un campo eléctrico aplicado 2.2 E.
+
❚
Constante dieléctrica, K
–
de un éctrico Se extrae el capacitor anece igual.
24.17 Un campo eléctrico muy intenso ocasionó la ruptura de la rigidez del dieléctrico en un bloque de plexiglás. El flujo de carga resultante grabó este patrón endel el dbloque. Ruptura ieléctrico
❚
24.18 Moléculas campo eléctrico ap un campo eléctrico a)
+
+
– +
–
+
– +
+
–
–
S
–
+
+
–
– +
+
– +
+
+
+
–
–
–
nducida
En ausencia de un campo eléctrico, las moléculas polares se orientan al azar.
b)
–
conductor. Pero un a) dieléctrico ideal no tiene cargas con liberue, ¿cómo puede surgir una carga superficial? o, se tiene que analizar otra vez el reacomodo de la carga a nimoléculas, como las de H2O y N2O, tienen cantidades iguales En ausencia un de egativas, pero con una distribución desigual, con de exceso un dieléctrico, campo eléctrico, ada en un lado de la molécula y carga negativa en el otro. Cocargas superfilas moléculas polares ección 21.7, tal arreglo recibe el nombre de dipolo eléctrico, y se orientan al azar. os conductores olécula polar. Cuando no está presente un campo eléctrico en ente un campo nuemoléculas polares, éstas se orientan al azar (figura 24.18a). no hay camarse en unlibercampo eléctrico, tienden a orientarse como en la argas con
+
studiaron as de un las cargas superficiales inducidas en un dieléctrico, ctrico. Ahora veremos cómo se originan estas cargas superfieléctrico 24.18 Moléculas polaresSa)Los sin conductores un era conductor, la respuesta sería sencilla. . Seun extrae campo eléctrico aplicado b) con E cyarga nneellibertad capacitorde movimiento y,olecular cuando está campo Modelo m de lpresente a iun nducida S un campo eléctrico aplicado E . rmanece igual. as se redistribuyen en la superficie de manera que no hay cam❚
–
o molecular de la carga inducida
– +
– +
E
Cuando se aplica un campo eléctrico, las moléculas polares tienden a alinearse con él.
– +
b)
–
Propiedad eléctrica de u n c onductor: S de la carga a ni– E son libres de mover se a la superficie del conductor • Cargas eléctricas + tidades iguales – • +En presencia de un Cuando campo seeléctrico los electrones libres se redistribuye para con exceso de producir un campo aplica nulo un en campo el conductor (efecto de la caja de Faraday) en el otro. Co– + eléctrico, las olo eléctrico, y Moléculas polares, H O omoléculas N2O, tiene cantidad de cargas iguales pero con distribución 2 + polares tienden po eléctrico en no s–imétrica (no +equilibrada) produciendo un dipolo eléctrico a alinearse – figura 24.18a). • En un material hecho e moléculas polares, en ausencia de campo externa, los condél. rse como en la dipolos se orientan de manera aleatoria • Cuando se introduce un campo externo, los dipolos se alinean en el sentido del campo – el resultado de momentos de torsión • Efecto de temperatura, hace que la alineación nunca es perfecta Incluso una molécula que por lo general no es polar se convierte en un dipolo al colocarse en un campo eléctrico debido a que éste empuja las cargas positivas en las moléculas en la dirección del campo, y a las negativas en dirección opuesta O 24 Capacitancia y dieléctricos +
•
Esto ocasiona una redistribución de la carga dentro d Se la molécula = dipolos
24.19 Moléculas no polares a) sin un campo eléctrico aplicado E y b) con un campo inducidos S eléctrico aplicado E. b)
a)
En ausencia de un campo eléctrico, las moléculas no polares no son dipolos eléctricos.
–
–
–
+ –
S
E
+
+
+ –
–
+
+
Un campo eléctrico ocasiona que las cargas positivas y negativas de las moléculas se separen ligeramente, lo que en efecto convierte la molécula en polar.
figura 24.18b, como resultado de los pares de torsión de campo eléctrico descritos en la sección 21.7. En virtud de la agitación térmica, la alineación de las moléculas con S respecto a E no es perfecta. Incluso una molécula que por lo general no es polar se convierte en un dipolo al colocarse en un campo eléctrico debido a18 que éste empuja las cargas positivas en las moléculas en la dirección del campo, y a las negativas en dirección opuesta. Esto ocasiona una redistribución de la carga dentro de la molécula (figura 24.19). Tales dipo-
os fuerzas. d llamada (21.14)
21.32 La fuerza neta sobre este dipolo eléctrico es cero, pero hay un par de torsión dirigido hacia la parte interna de la página, que tiende a hacer girar el en elen sentido horario. Pardipolo de torsión un dipolo eléctrico – trabajo y energía potencial S
gnitud del ? m.
+
S
p S
d
E
de no conno hay tangnificados. ento. ❚
S
S
F25 2qE
–
S
F 5 qE 1
1q f
d sen f
2q
Cuando se coloca un dipolo en un campo eléctrico uniforme aparecen fuerzas de magnitudes iguales F+ = F− = qE , por lo tanto: •
La fuerza neta sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es cero Sin embargo, las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma línea, por lo que: • Sus pares de torsión no suman cero Sea φ el ángulo entre el campo el eléctrico y el eje del dipolo, el momento de torsión es igual a: 1 d (4.29) τ = F × d = qE senφ 2 2 Y la suma del pare de torsión (aplicando la regla de la mano derecha) τ = qEd senφ = Ep senφ = p × E (4.30) • El pare de torsión siempre tiende a hacer que p gira para que se alinee con E Cuando esto se pasa, un trabajo se realiza: el trabajo realizado por el pare de torsión durante un desplazamiento infinitesimal = dW = τ dφ donde τ = − pE senφ (negativo porque el para de torsión va en el sentido que φ disminuye) En un desplazamiento finito de φ1 a φ2 el trabajo es igual a: φ2
(4.31)
W = ∫ − pE senφ dφ = pE cosφ2 − pE cosφ1 φ1
Como el trabajo es el negativo del cambio de potencial, tenemos para la energía potencial (4.32) U (φ ) = − pE cosφ ⇒ U = − p ⋅ E
•
La energía potencial tiene su valor mínimo en la posición estable, cuando p es paralelo a E 19
las moléculas no polares no son dipolos eléctricos.
–
–
+ –
+
+
negativas de las moléculas se separen ligeramente, + lo que en efecto – 24.20 La polarización de unladieléctrico convierte S E da lugar en un campo eléctrico a la molécula en polar.
formación de capas delgadas de cargas ligadas en las superficies, lo que crea carga superficiales si figura 24.18b, como resultado de los pares de torsión dedensidades campo de eléctrico descritos en y 2si. Por claridad, se han exagerado la sección 21.7. En virtud de la agitación térmica, la alineación de las moléculas con los tamaños de las moléculas. S
respecto a E nopes perfecta. Ya sea con moléculas olares o no 2si Incluso una molécula lo general no es polar se convierte en unsidipolo al polares, de la redistribución dque e la por carga – + – positivas + – + en las colocarse en un campo eléctrico debido a que éste empuja las cargas causada pmoléculas or el campo externo – + + en la dirección del campo, y a las negativas en dirección opuesta. oca+ – Esto – (polarización) o rigina l a f ormación d e siona una redistribución de la carga dentro de la molécula (figura dipo– + – + 24.19). – + Tales una capa los de se carga en dipolos cada sinducidos. uperficie del llaman – + – + – + material dieléctrico con densidad Ya sea con– moléculas polares o no polares, la redistribución – + causada – +de –la +carga E olarizaciónSde un dieléctrico por el campo origina la formación de una capa de carga en cada superficie del mate– – o eléctrico E da lugar asuperficial la ±σ i + + – + S
rial dieléctrico (figura 24.20). Estas capas son las cargas superficiales descritas en la e capas delgadas de cargas – + – + – + as superficies, lo que crea sección 24.4; su densidad superficial de carga se denota con si. Las cargas no tienen – + – + – + cargas no tienen libertad para de carga superficiales sLas i libertad para moverse indefinidamente como lo harían en un conductor porque cada – – + + – + claridad, se han exagerado moverse iuna ndefinidamente porque cEn ada está unida a una molécula. realidad se llaman cargas ligadas para diferenciar2si si de las moléculas. una está unida a una molécula = cargas
si
si
colocarse en un campo eléctrico d moléculas en la dirección del cam siona una redistribución de la carg los se llaman dipolos inducidos. Ya sea con moléculas polares por el campo origina la formación rial dieléctrico (figura 24.20). Est sección 24.4; su densidad superfic libertad para moverse indefinidam una está unida a una molécula. En las de las cargas libres que se ag capacitor. En el interior del mater igual a cero. Como se ha visto, es rización, y se dice que el material Los cuatro incisos de la figura dieléctrico cuando se inserta en el gas opuestas. La figura 24.21a mu la situación después de haber inse comodo de las cargas. La figura 2
24.21 a) Campo eléctrico de magn de un dieléctrico con constante dielé campo. d) Campo resultante de mag
las de las cargas libres que se agregan y se retiran de las placas conductoras de un permanece d ligadas capacitor. En el interior del material, la carga neta por unidad de volumen igual a cero. Como se ha visto, esta redistribución de carga recibe el nombre de pola- rización, dice quela elcmaterial está ppolarizado. En el interior del ymseaterial, arga neta or unidad de volumen permanece igual a Los cuatro incisos de la figura 24.21 ilustran el comportamiento de un trozo de cero: dieléctrico cuando se inserta en el campo entre un par de placas de capacitor con cara) El campo original; b) Situación después de haber insertado el dieléctrico, pero gas opuestas. La figura 24.21a muestra el campo original. La figura 24.21b presenta antes de qlaue ocurra el reacomodo de las cargas; c) flechas delgadas = el campo situación después de haber insertado el dieléctrico, pero antes de que ocurra el reaadicional q ue se de establece l dieléctrico por scon us flechas cargas superficiales comodo las cargas.en Laefigura 24.21c ilustra delgadas el campoinducidas adicioS
a) Sin dieléctrico s + + + + + + + + + + + + + +
+
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
E (campo opuesto al original, no tan grande como para anularlo por completo, ya que las
+
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
+
– +
– +
cargas en 24.21 el dieléctrico no tienen libertad ara dos moverse en forma indefinida); d) Por s a) Campo eléctrico de magnitud E0 p entre placas con cargas. b) Introducción superficiales y su de un edieléctrico constante dieléctrica K. c) Las cargas consiguiente, l campo con resultante en el dieléctrico disminuyó su inducidas magnitud campo. d) Campo resultante de magnitud E0>K. a) Sin dieléctrico s + + + + + + + + + + + + + +
si d
s
S
E0
2s – – – – – – – – – – – – – – 2s
b) El dieléctrico se acaba de insertar + + + + + + + + + + + + + +
– – – – – – – – – – – – – –
c) Las cargas inducidas d) Campo resultante crean campo eléctrico s 2s si 2si 2si si – – + + – – – +– + + + – – + + +– +– +– +– – – + + +– +– +– +– – – + + – + – – +– + + – – + + +– +– +– +– – – + + – + – – +– + + – – + + +– +– +– +– 2si si 2si si s 2s
Campo eléctrico original.
Campo más débil en el dieléctrico debido a las cargas inducidas (ligadas).
La polarización también es la razón por la que un cuerpo con carga, como una varilla de plástico electrificada, puede ejercer una fuerza sobre un cuerpo sin carga, como un trozo de papel o una bolita de médula de saúco.
20
S
E0
2s – – – – – – – – – – – – – – 2s
b) El dieléc se acaba de + + + + + + + + + + + + + +
ley de Gauss en los dieléctricos 24.23 Ley de Gauss con un dieléctrico. Esta figura presenta un acercamiento de la placa izquierda del capacitor de la figura 24.15b. La superficie gaussiana es una caja rectangular que tiene una mitad en el conductor y la otra mitad en el dieléctrico.
sección 24.4 puede extenderse para reformular la ley de Gauss de útil en el caso particular de los dieléctricos. La figura 24.23 es un e la placa izquierda del capacitor y la superficie izquierda del dieléca 24.15b. Se aplicará la ley de Gauss a la caja rectangular que se Ley de Gauss en los dieléctricos e transversal mediante la línea púrpura; el área superficial de los la izquierdo está incrustado en el conductor que derecho es A. El lado La por figura es el un acercamiento la placa zquierda del capacitor, lo que campo eléctrico ende cualquier sidel cestá apacitor y la en superficie ficie es igual a cero. izquierda El lado derecho incrustado el dieléctrico, eléctrico tiene magnitud E y E'del en cualquier 5d 0ieléctrico izquierda lugar de las otras carga total encerrada, incluida la carga de la placa del capacitor y la n la superficie del dieléctrico, Qenc 5se (saplica 2 si )A, por lo que la ley La ley de es Gauss a la caja
S
EA 5
+ + –
•
+
Vista lateral
σ
(24.21)
P0
El área superficial de los lados
+ Superficie gaussiana
izquierda del capacitor, por lo que s o bien, s2s 5 el campo eiléctrico en cualquier K sitio de esa superficie es igual a on la ecuación (24.21) se obtiene cero sA sA ado d o •bien,El lKEA 5erecho está incrustado (24.22)en EA 5 KP0 P0 el dieléctrico, donde el campo S S E y gausmde agnitud (24.22) plantea que el flujo deeléctrico KE, no E,taiene través la superficie a figura 24.23, es igual a la carga libre encerrada sA dividida E⊥ = 0 en cualquier lugar dentre e las P0. otras cuatro caras • La carga total encerrada, inclui la carga de la placa del capacitor y la carga inducida en la superficie del dieléctrico: Qenc = (σ − σ i ) A
1
2
Conductor Vista en perspectiva
A
Por lo que la ley de Gauss da
Φ = EA =
(4.33)
–σi
+ –
izquierdo y derecho A cantidades sta ecuación no es muy esclarecedora porque relacionaes dos dentro del dieléctrico y la densidad superficial de carga inducida si. uede usar la ecuación (24.16), desarrollada para esta misma situación, • El lado izquierdo está incrustado de simplificar la ecuación eliminando s . La ecuación (24.16) i en el conductor que forma la esplaca 1 si 5 s 1 2 K
E
Conductor Dieléctrico
rectangular que se muestra en corte transversal mediante la línea púrpura 1s 2 s 2A i
S
E50
(σ − σ ) A
21
i
ε0
A
Dieléctrico
⎛ 1⎞ σ Pero como σ i = σ ⎜ 1− ⎟ ⇒ (σ − σ i ) = y tenemos que K⎠ K ⎝
σA σA ⇒ ( KE ) A = Kε0 ε0 El flujo cambia de Φ0 = E ⋅ A → Φ = KE ⋅ A En general, para cualquier superficie gaussiana, la ley de Gauss en presencia de un dieléctrico de constancia dieléctrica K es: Qenc−libre (4.35) K E ∫ ⋅ dA = ε 0 Ej. Capacitor esférico con dieléctrico La simetría del problema no cambia por la presencia del dieléctrico por lo que se tiene que: Q 2 K E ∫ ⋅ dA = ∫ KE dA = KE ∫ dA = ( KE ) 4π r = ε 0 Φ = EA =
(4.34)
(
)
Por lo tanto el campo eléctrico disminuye por un factor 1 K
E=
1 1 Q 1 Q 1 Q = = 2 2 K 4πε 0 r 4πε r 2 4π ( K ε 0 ) r
De la misma forma la diferencia de potencial Vab disminuye del mismo factor 1 K con lo que la capacitancia C =
Q se ve incrementada en un factor K Vab
C=
4π ( K ε 0 ) ra rb rb − ra
22
=
4πε ra rb rb − ra