Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Económicas y Estadística Ejercicios complementarios del libro “ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA CIENCIAS ECONÓMICAS” Sagristá R.,Koegel L. y otros autores
Capítulo 1:“El número real - Desigualdades e inecuaciones” 1. Resuelve los sistemas de inecuaciones y representa en el eje real dichas soluciones.
3x + 2 x − 2 > 2 − x a) 2( x + 1) ≤ 8 3( x − 1) 1 − 3x − 2 > −2 x + 2 b) x + 1 ≤ 3 x > x − 4 + − x +1 2 2 3 4 x 2 − 3 ≤ 5 + 2 x 2 c) 2x − 6 > 4
2. Encuentra el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones. Expresa dicha solución en forma de intervalo, si es posible y representa en el eje real dichas soluciones.
2 x − 5 − 3x 2 + 3 − < −x 2 + 1 5 −3 1 b) 3 − ≥ 2 x − x −1 c) ≤2 − 3x − 1 a)
3. Dados los siguientes conjuntos: 7+ x A = x ∈ R / < 1 x
3 B = x ∈ R / 2. x − ≥ 1 2
x−4 C = x ∈ R / 3 ≤ 6 4
Encuentra y representa en el eje real el conjunto solución de: a) b)
∩ ∪
Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
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c) C 4. Determina la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. En caso de ser verdadero explica la propiedad utilizada y en caso de ser falso, proporciona un contraejemplo. 1 1 a) 0 < x < 2 ⇒ < x 2 b)
x2 = x ∀ x ∈ R
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Respuestas a los ejercicios propuestos: 1. a) S = (− ∞; − 1) 1 b)S = − ; 2 2
c)
S= φ
2. 5 a) S = − ∞; 2
b) S = (− ∞; 0 ) U [1;+∞ ) 1 1 c) S = − ∞; − U − ;+∞ 3 5
3. a) S = (− ∞; 0 ) b) S = (− ∞; 1] U [2;+∞ ) c) S = [− 4; 12 ] 4. a) Falso. Considera x=1 0 < 1 < 2 ⇒ 1 > b) Falso:
1 2
x 2 = x .Considera por ejemplo x= -2
Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
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Ejercicios resueltos. 1. a) Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las desigualdades, llamando S1 y S2 a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución del sistema es la intersección de las soluciones S1 y S2.
Resolvemos la primera inecuación 3x + 2 x x > − x ⇔ 3 x + 2 < −2 − x ⇔ 3x + 2 < − x + 2 x ⇔ 3x + 2 < x ⇔ −2 2 2
3x − x < −2 ⇔ 2 x < −2 ⇔ x < −1 Es decir,
S1 = {x ∈ R / x < −1} = (− ∞;−1)
Resolvemos la segunda inecuación 2( x + 1) ≤ 8 ⇔ 2 x + 2 ≤ 8 ⇔ 2 x ≤ 6 ⇔ x ≤ 3
Es decir,
S 2 = {x ∈ R / x < 3} = (− ∞;3)
Luego el conjunto solución del sistema es: S = S1 ∩ S 2 = {x ∈ R / x < −1} = (− ∞;−1) La representación gráfica en el eje real es:
b) Para poder resolver el siguiente sistema de inecuaciones, debemos resolver cada una de las desigualdades, llamando S1 y S2 a cada una de las respectivas soluciones. El conjunto solución del sistema es la intersección de las soluciones S1 y S2 Resolvemos la primera inecuación 4x 2 − 3 ≤ 5 + 2x 2 ⇔ 4x 2 − 2x 2 ≤ 5 + 3 ⇔ 2x 2 ≤ 8 ⇔ x 2 ≤ 4 ⇔
x2 ≤ 4 ⇔ x ≤ 2 ⇔
−2≤ x ≤ 2
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Es decir, S1 = {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2} = [− 2;2] Resolvemos la segunda inecuación
2 x − 6 > 4 ⇔ 2 x > 4 + 6 ⇔ 2 x > 10 ⇔ x > 5 Es decir, S 2 = {x ∈ R / x > 5} = (5;+∞) Luego el conjunto solución del sistema es: S = S1 ∩ S 2 = φ
2. b) Para encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación debemos primero restar 2 a ambos miembros y luego sacamos común denominador en el primer miembro 1 1 1 x −1 ≥ 2 ⇔ 3 − − 2 ≥ 0 ⇔ 1− ≥ 0 ⇔ ≥0 x x x x Al tener una inecuación fraccionaria mayor o igual a cero debemos pedir que el numerador y denominador tengan el mismo signo o que el numerador sea cero. Así tendremos dos sistemas de inecuaciones que se autoexcluyen. x − 1 ≥ 0 (1) x − 1 ≤ 0 (3) (I) ó (II) ( 2) ( 4) x > 0 x < 0 Luego si S es el conjunto de soluciones será la unión de cada una de las soluciones 3−
S = S I ∪ S II y como S I = S1 ∩ S 2 y S II = S 3 ∩ S 4 Se trata entonces de unir las soluciones de los dos sistemas de ecuaciones: La solución del sistema I es x ≥1 x > 0 Es decir, S I = {x ∈ R / x ≥ 1} = [1;+∞ ) La solución del sistema II es x ≤1 x < 0 Es decir S II = {x ∈ R / x < 0} = (− ∞;0)
Luego el conjunto solución es S = S I ∪ S II = (− ∞;0) ∪ [1;+∞ ) La representación gráfica es:
Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
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3. Para poder realizar las operaciones pedidas debemos encontrar cada uno de los conjuntos A, B y C •
7+ x A= x ∈ R / < 1 x Resolvemos la inecuación