1

El Número Real

1.-

Los números irracionales. Números reales.

2.-

Aproximación decimal de un número real. 2.1.- Aproximaciones 2.2.- Error absoluto y cota de error 2.3.- Error relativo 2.4.- Aproximaciones con la calculadora

3.-

Valor absoluto de un número real

4.- Orden en R. Desigualdades numéricas. Intervalos

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4º ESO OPCIÓN B

1.- LOS NÚMEROS IRRACIONALES. NÚMEROS REALES

Pueden encontrarse números que tienen una expresión decimal infinita no periódica, es decir, no se pueden expresar como cociente de dos números naturales. Por ejemplo: - La diagonal de un cuadrado de lado 2: 2 2 . - La relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, el número π = 3,1415926535... - La relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular, el número φ = 1,6180339887.... Hemos obtenido un nuevo tipo de números. Los números con infinitas cifras decimales no periódicas reciben el nombre de irracionales y su conjunto se representa con la letra I. Al conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de los números reales y se simboliza con la letra ℝ.. Este conjunto engloba a todos los conjuntos de números estudiados hasta ahora.       Racionales Reales        Irracionales

  Naturales  Enteros   Enteros negativos    Decimales exactos   Decimales periódicos  Puros   Mixtos

Actividades propuestas 1- Indicar a qué conjuntos ( Ν, Ζ, Q , R ) pertenecen los siguientes números: ⌢ -2 ; 3; -4/ 5; 16/ 4; 4´31; − 25 ; 3 − 4 ; 3´ 6 ; π - 4 ; 18/ 5 ; 18´4 2.- Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales: 1 3 −8 ; 2 ; 2π ; ; 2 4 ; 2/3 ; 1,455555… 3 3.- Entre los dos números dados sitúa un número irracional: a) 2 y 3

b) 2 2 y 4 2

c)

π 3

Pág 2

y π

d)

2 y

5

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2.- APROXIMACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL 2.1.- Aproximaciones

Al trabajar con cantidades, en la vida real y en la mayoría de las aplicaciones prácticas, se utilizan aproximaciones.


Sería absurdo decir que la capacidad de un pantano es 42.499.786 mil litros (8 cifras significativas). Es más razonable decir que tiene 42.500 millones de litros.




El número π es un número irracional. Su valor es 3,141592653589793238... Como trabajar con ese valor, a la hora de hacer cálculos, es imposible, suele tomarse un valor aproximado, que unas veces es 3,14 y otras, 3,1416.

En el primer caso estamos dando una aproximación por exceso y en el segundo caso una aproximación por defecto. Se aproxima un número cuando no se toman todas sus cifras o se sustituyen por ceros. Una aproximación lo es por defecto cuando resulta que es menor que el valor exacto al que sustituye y por exceso cuando es mayor. Para aproximar un número se utilizan dos procedimientos: el redondeo y el truncamiento. Para redondear un número entero o decimal hasta un orden n se ponen las cifras anteriores a dicho orden n, si la cifra siguiente es mayor o igual a 5 se aumenta a una unidad y en caso contrario se mantiene, sustituyendo las cifras que vienen a continuación de la de orden n por ceros. Así, si queremos redondear el número 238 a las decenas observamos que la cifra siguiente (8) es mayor que 5, por tanto, reemplazamos el 3 por un 4 y completamos la siguiente por un cero. El número 238 redondeado hasta la decena es 240. Igualmente podemos hacer con los números decimales:
13,25 redondeado a las décimas es 13,3.
12, 513333... redondeado a las centésimas es 12,51 El truncamiento hasta un orden n es sustituir las cifras que hay a continuación por ceros. Así, el número 428 truncado a las decenas es 420 y hasta las centenas es 400. Con los números decimales podemos decir:
13,25 truncado a las décimas es 13,2
12,513333... truncado a las centésimas es 12,51 Se llaman cifras significativas de un número a aquellas que se utilizan en la aproximación, contando desde la primera cifra no nula hasta la cifra redondeada. El orden de la última cifra significativa de un número aproximado se dice que es su orden de aproximación. En las aproximaciones del ejemplo anterior, tenemos: Aproximación

Nº de cifras significativas

Orden de aproximación

13,2

3

Décimas

12,51

4

Centésimas

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2.2.- Error absoluto y cotas de error en una aproximación

Al usar las aproximaciones decimales, se simplifican los cálculos y los resultados, pero se pierde precisión y exactitud. Por eso conviene señalar el error cometido dando una cota del mismo. En el ejemplo inicial al escoger como altura del edificio el valor 33,3 se da una aproximación de la altura real cometiendo un error menor que una décima. Llamamos error absoluto de una aproximación a la diferencia en positivo entre el valor real y el valor aproximado.

 Ejemplo1:

Número: 2,2375

Aproximación

Error absoluto

Redondeado a las centésimas

2,24

2,24 – 2,2375 = 0,0025

Truncado a las centésimas

2,23

2,2375 – 2,23 = 0,0075.

La mejor aproximación es la que tiene menor error absoluto. En este caso, 2,24 es la mejor aproximación.  Ejemplo 2: El número π =3,141592653....es un número irracional. Una aproximación a las centésimas es 3,14. Al tener un número infinito de cifras decimales es imposible calcular el error absoluto, por este motivo, calculamos una cota del error. El número π está comprendido entre los valores: 3,14 < π < 3,15 Calculando la diferencia de los extremos de este intervalo determinamos una cota del error, es decir: 3,15 – 3,14 = 0,01 El error cometido es inferior a 0,01. Así, diremos que 0,01 es una cota del error absoluto cometido al tomar 3,14 como valor aproximado de π. Si π =3,141592653....y tomamos como aproximación 3,1416, ¿cuál es una cota del error absoluto cometido? 3,1415 < π < 3,1416. La diferencia entre los extremos es 3,1416 – 3,1415 = 0,0001. Por tanto el error cometido es inferior a una diezmilésima.

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2.3.- Error relativo

En muchas ocasiones interesa una medida más precisa que el error absoluto, que relacione el valor absoluto con el número dado. No es lo mismo que el error de medición es menor que 5 centímetros cuando medimos la altura de una persona o la altura de un árbol. Por eso se define el error relativo. Se llama error relativo de una aproximación al cociente entre el error absoluto y el valor exacto Así, el error relativo en la aproximación del número 0,4375 a las centésimas es: e=

0´4375 − 0´44 error absoluto 0´0025 = = = 0´0057 valor real 0´4375 0´4375

El error relativo es tanto menor cuantas más cifras significativas demos correctamente.  Ejemplo: Una balanza de peso no está equilibrada ya que marca 20 gr sin pesar nada. Pesamos dos objetos A y B en la balanza y obtenemos los siguientes pesos: Objeto A: 60 gramos

Objeto B: 2,2 Kg

El error absoluto cometido en ambas pesadas es la misma, sin embargo los errores relativos son distintos: 

Objeto A ⇒ 10/40 = 0,2 ( el peso real del objeto A es 60 – 20 = 40 gr)



Objeto B ⇒ 10/2180 = 0,00458 (el peso real del objeto B es 2200 – 20 = 2180 gr)

En el objeto A cometemos un error del 20%, mientras que en el objeto B es un 0,4%.

Actividades resueltas 1.- Calcula el error absoluto y el error relativo que se produce al aproximar El error absoluto es

1 por 0,17. 6

1 1 17 60 − 51 9 3 - 0,17 = = = = = 0,03 6 6 100 300 300 100

3 18 El error relativo es 100 = = 0,18 ⇒ El error relativo es del 18%. 1 100 6 2.- Redondea: a) Hasta las milésimas el número 12,658742 b) Hasta las décimas el número 5,9067 Calcula el error absoluto que has cometido en cada caso y determina en cuál de estas aproximaciones es mayor el error relativo. Número

Aproximación

Error absoluto

Error relativo

12,658742

12,658

12,658742 - 12,658 = 0,000742

0,000742 : 12,658742 = 5,8 · 10

5,9067

5,9

5,9067 - 5,9 = 0,0067

-5

El error relativo es menor en la primera aproximación ya que es inferior a un diezmilésima. Pág 5

-3

0,0067 : 5,9067 = 1,1 · 10

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3.- Para operar con el número π se elige en la práctica el 3,1416. Redondea el número π = 3,141592653.... con 1, 2, 3 y 4 cifras decimales, indicando el error cometido en cada caso, y justifica la elección de 3,1416 que se hace en la práctica. Aproximación

Error absoluto

π = 3,1

π - 3,1 = 0,041592653.... < 0,1

π = 3,14

π - 3,14 = 0,001592653.... < 0,01

π = 3,141

π - 3,141 = 0,000592653.... < 0,001

π = 3,1416

3,1416 - π = 0,00000734.... < 0,000008

Este error es menor que 8 millonésimas, lo que da una buena aproximación para 4 cifras decimales. Por eso para las operaciones ordinarias debe ser recomendado.

2.4.- Aproximaciones en la calculadora.

Las calculadoras científicas suelen tener espacio en la pantalla para 8 ó 10 dígitos. De esta manera, cuando trabajamos con números irracionales, la calculadora nos proporciona un número aproximado. En las calculadoras científicas podemos limitar el número de cifras decimales, encargándose ella de efectuar los redondeos correspondientes. Para ello, existe el modo FIX. Si introducimos el número 123,4567 y queremos reducirlo a dos decimales, tecleamos 123 Aparece en pantalla

·

FIX

4567

MODE

7

2

123.46

Si antes de introducir el número tecleamos MODE | 7 | 3 aparece en pantalla FIX

0.000

quedando preparada para que cuando se introduzca el número decimal se aproxime con tres cifras decimales. Para volver a la posición normal, tecleamos MODE 9 También podemos introducir un número en notación científica especificando el número de cifras significativas con las que queremos trabajar, pulsando MODE | 8 | n , siendo n el número de dígitos significativos Si tecleamos: 123

Aparece en pantalla

SCI

·

4567

1.236

MODE 02

Y pulsando MODE 9 volvemos al número a su forma original.

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8

4

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Actividades propuestas 1.- Indica si las siguientes aproximaciones de a) 2,2

b) 2,23

c) 2,24

5 = 2,23606797... lo son por defecto o por exceso:

d) 2,236

e) 2,23607

2.-Escribe las aproximaciones por defecto y por exceso a la primera cifra decimal de los siguientes números e indica después cuál de las dos aproximaciones constituye su redondeo a las décimas: a) 6,23

b) 7,28

c) 0,55

d) 52,471

e) 2, 7ˆ

3.- Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: a)

35 8

b) 13,4972

c)

7

d)

37

4.-Redondea los siguientes números hasta las centésimas y acota, en cada caso, los errores absolutos cometidos: ⌢ ⌢ a) 12,30412 b) 102,34537 c) 6,034511 d) 1´ 6 e) 5 f) 17 ´ 23

5.- Aproxima los siguientes números de forma que el error absoluto sea inferior a lo que se indica en cada caso: a) 7,0852 e = 0,001

6.-Si quieres tomar

b) 427,85 e = 0,0001

11 = 3,3166247... con tres cifras decimales, cometiendo el menor error posible, ¿qué

aproximación debes tomar?

7.- Juan y Luisa han obtenido la expresión decimal 20,47813 como solución de un ejercicio. Juan redondea a la primera cifra decimal, mientras que Luis prefiere hacerlo a la tercera cifra decimal. ¿Cuál es el error absoluto, el relativo y el porcentual que comete cada uno de ellos?

8.- En una tienda de tejidos tienen un metro defectuoso, en lugar de medir 1 m mide 987 mm. ¿Cuánta tela de menos le han dado a una señora que ha comprado 16 m de un tejido cuyo precio es de 12,75 €/m? ¿Cuál ha sido la cantidad de dinero cobrado de más?

9.- Al medir un puente con una cinta métrica, se comete un error absoluto menor que 0,5 cm, mientras que al determinar la longitud de un lápiz con una regla, se comete un error absoluto inferior a 1 mm. Se sabe que las medidas exactas del puente y del lápiz son, respectivamente, 54,45 m y 18,50 cm. ¿qué medida es más exacta?

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3.- VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

El valor absoluto de un número real indica la distancia de ese número al origen 0. Distancia = 12

Distancia = 12 Distancia = 3

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Distancia = 5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

El valor absoluto de un número real a se representa por | a |


Si el número es positivo o 0, su valor absoluto es el mismo número. | 12 | = 12 ;




|5|=5

Si el número es negativo, su valor absoluto es el opuesto del número. | -3 | = 3 ;

| -12 | = 12




El valor absoluto de un número y su opuesto es el mismo.




| x |
a ⇔ -a
x
a ( i.e., todos los números reales mayores que –a y menores que a)




| x | ≥ a ⇔ x ≥ a ó x
- a (i.e., los números reales menores que –a ó mayores que a )

Actividades resueltas 1.- Realiza las siguientes operaciones con valores absolutos indicadas a continuación: a) |3 – 7| + 5

b) 5 - |6 – 3| + |1 – 7|

c) | | 7 + 2 – 13| - |4 – 9| |

d)

4 7 − 2 − 1− 5 5

a) |3 – 7| + 5 = | -4 | + 5 = 4 + 5 = 9 b) 5 - |6 – 3| + |1 – 7| = 5 – 3 + 6 = 8 c) | | 7 + 2 – 13| - |4 – 9| | = | | -4 | - |- 5| | = | 4 – 5| = 1 d)

4 7 6 2 32 − 2 − 1− = − = 5 5 5 7 35

2.- Indica qué valores de “x” cumplen las siguientes condiciones: a) | x | = 4

b) | x | = 0

c) | x | = -2

d) | x | < 1

e) | x | > 4

a) Los valores de x son 4 y –4. b) El único valor es 0. c) No existe ningún valor ya que siempre el valor absoluto es positivo. d) Hay que buscar en la recta real aquellos valores que disten menos de la unidad del 0. Por la derecha del 0 tenemos los valores que son menores que 1 y por la izquierda del 0, los valores que son mayores que –1. e) Hay que buscar en la recta real aquellos valores que disten más de 4 unidades del 0. Por tanto, serían los valores mayores que 4 y los valores menores que –4.

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Actividades propuestas 1.- Halla los siguientes valores absolutos: a) | 4 – | 5 – 7| |

d)

b) | 2 · | 7 – 3 | – 5 · | 4 – 1 | – 3 |

5 6 9 −3 − − 2 5 4

e)

1 1 5 − + 2 · −1 2 3 6

c)

5 2 1 −1 − − 4 3 2

f) 8 −

2.- Representa en una recta los conjuntos de números siguientes: a) | x | = 3 b) | x | < -2 c) | x| ≤ 5

2 7 + −4 3 6

d) | x | > 4

3.- Clasifica las siguientes igualdades según sean verdaderas o falsas. a) |-2| = 2

b) | 4 – 12 | = | 4 | – | 12 |

c) | 15 – 6 | = | 15 | – | 6 |

d) | -3 · 6 | = | -3 | · | 6 |

e) | 3 – 9 | = | | 3 | – | 9 | |

f) | 8 + 3 | = | 8 | + | 3 |

4.- ORDEN EN ℜ. DESIGUALDADES NUMÉRICAS. INTERVALOS.

La ordenación de los números reales permite hablar del conjunto de números comprendidos entre dos números determinados Hemos podido ver que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números reales. Para referirnos a todos estos números se utilizan los intervalos. 4.1.- Tipos de desigualdades e intervalos

El conjunto de números que verifican una desigualdad se expresa mediante intervalos: Nombre

Semirrecta (intervalos no acotados)

Desigualdad

Significado

Intervalo

x>a

Números mayores que a.

(a, +∞ )

x