SECCIÓN R.4 Rectas en el plano

31

R.4

Rectas en el plano Aprenderá acerca de... ■

La pendiente de una recta

■

La ecuación de una recta en la forma punto pendiente

■

La ecuación de una recta en la forma pendiente intersección al origen

■

La graficación de ecuaciones lineales con dos variables

■

Las rectas paralelas y rectas perpendiculares

■

La aplicación de ecuaciones lineales con dos variables

. . . porque Las ecuaciones lineales se aplican profusamente en áreas como los negocios o las ciencias del comportamiento, por ejemplo.

Pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical es la razón de la cantidad del cambio vertical a la cantidad del cambio horizontal entre dos puntos. Para los puntos (x1, y1) y (x2, y2), el cambio vertical es ᭝y ϭ y2 Ϫ y1 y el cambio horizontal es ᭝x ϭ x2 Ϫ x1 (᭝y se lee “delta” y). Consulte la figura R.21. y

(x2, y2)

y2

�y = y2 — y1 y1

0

(x1, y1) �x = x2 — x1

x1

x2

x

FIGURA R.21 La pendiente de una recta no vertical puede determinarse a partir de las coordenadas de cualesquiera dos puntos de la recta.

DEFINICIÓN Pendiente de una recta

La pendiente de una recta no vertical que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es ᭝y y2 Ϫ y1 m ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏ ᎏ. ᭝x x 2 Ϫ x1 Si la recta es vertical, entonces x1 ϭ x2 y la pendiente no está definida.

EJEMPLO 1 Determinación de la pendiente de una recta FÓRMULA DE LA PENDIENTE

La pendiente no depende del orden de los puntos. Podríamos utilizar (x1, y1) ϭ (4, Ϫ2) y (x2, y2) ϭ (Ϫ1, 2) en el ejemplo 1 a). Compruébelo.

Determine la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos. Haga un bosquejo de la recta. a) (Ϫ1, 2) y (4, Ϫ2)

b) (1, 1) y (3, 4)

SOLUCIÓN a) Los dos puntos son (x1, y1) ϭ (Ϫ1, 2) y (x2, y2) ϭ (4, Ϫ2). Por tanto, ͑Ϫ2͒ Ϫ 2 4 y2 Ϫ y1 mϭᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ. 4 Ϫ ͑Ϫ1͒ 5 x 2 Ϫ x1

continúa

CAPÍTULO R Requisitos

32

b) Los dos puntos son (x1, y1) ϭ (1, 1) y (x2, y2) ϭ (3, 4). Así, y2 Ϫ y1 4Ϫ1 3 mϭᎏ ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ. x 2 Ϫ x1 3Ϫ1 2 Las gráficas de estas dos rectas se muestran en la figura R.22. Ahora resuelva el ejercicio 3.

y

y

(3, 4)

y (–1, 2)

(3, 7)

(1, 1) x

x

(4, –2)

(3, 2)

FIGURA R.22 Las gráficas de las dos rectas del ejemplo 1.

x

FIGURA R.23 Al aplicar la fórmula de la pendiente a esta recta vertical se obtiene m ϭ 5/0, que no está definido. Así, la pendiente de una recta vertical no está definida.

La figura R.23 muestra una recta vertical que pasa por los puntos (3, 2) y (3, 7). Si tratamos de calcular su pendiente mediante la fórmula (y2 Ϫ y1)/(x2 Ϫ x1), obtenemos cero en el denominador. Por lo que tiene sentido decir que una recta vertical no tiene pendiente, o que su pendiente está indefinida.

Ecuación de una recta en la forma punto pendiente

y

Si conocemos la pendiente y las coordenadas de un punto en una recta, entonces podemos determinar una ecuación para esa recta. Por ejemplo, la recta en la figura R.24 pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente m. Si (x, y) es cualquier otro punto en esta recta, la definición de pendiente proporciona la ecuación

(x, y)

yϪy m ϭ ᎏᎏ1 o y Ϫ y1 ϭ m͑x Ϫ x1͒. x Ϫ x1 Una ecuación escrita de esta forma está en la forma punto pendiente.

(x1, y1) x Pendiente = m

DEFINICIÓN Forma punto pendiente de una ecuación de una

recta FIGURA R.24 La recta que pasa por (x1, y1) con pendiente m.

La forma punto pendiente de una ecuación de una recta que pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente m es y Ϫ y1 ϭ m(x Ϫ x1).

EJEMPLO 2 Uso de la forma punto pendiente Utilice la forma punto pendiente para determinar una ecuación de la recta que pasa por el punto (Ϫ3, Ϫ4) y tiene pendiente 2. continúa

SECCIÓN R.4 Rectas en el plano

33

SOLUCIÓN Sustituya x1 ϭ Ϫ3, y1 ϭ Ϫ4 y m ϭ 2 en la forma punto pendiente, y simplifique la ecuación resultante. y Ϫ y1 ϭ m(x Ϫ x1) y Ϫ (Ϫ4) ϭ 2(x Ϫ (Ϫ3)) y ϩ 4 ϭ 2x Ϫ 2(Ϫ3)

Forma punto pendiente. x1 ϭ Ϫ3, y1 ϭ Ϫ4, m ϭ 2. Propiedad distributiva.

y ϩ 4 ϭ 2x ϩ 6

INTERSECCIÓN y

y ϭ 2x ϩ 2

La b en y ϭ mx ϩ b con frecuencia se conoce como “la intersección y” en lugar de “la ordenada (coordenada y) de la intersección con el eje y”.

Una forma simplificada común.

Ahora resuelva el ejercicio 11.

Ecuación de una recta en la forma pendiente intersección al origen

y

(x, y)

La intersección y de una recta no vertical es el punto donde la recta interseca al eje y. Si conocemos la intersección y y la pendiente de la recta, podemos aplicar la forma punto pendiente para determinar una ecuación de la recta.

Pendiente = m (0, b)

x

FIGURA R.25 La recta con pendiente m y la intersección y (0, b).

La figura R.25 muestra una recta con pendiente m e intersección y (0, b). Una ecuación en la forma punto pendiente para esta recta es y Ϫ b ϭ m(x Ϫ 0). Rescribiendo esta ecuación obtenemos la forma conocida como la forma pendiente intersección al origen. DEFINICIÓN Forma pendiente intersección al origen de una ecuación de una recta

La forma pendiente intersección al origen de una ecuación de una recta con pendiente m e intersección y (0, b) es y ϭ mx ϩ b.

EJEMPLO 3 Uso de la forma pendiente intersección al origen Escriba una ecuación de la recta con pendiente 3 que pasa por el punto (Ϫ1, 6) utilizando la forma pendiente intersección al origen. SOLUCIÓN y ϭ mx ϩ b

Forma pendiente intersección al origen.

y ϭ 3x ϩ b

m ϭ 3.

6 ϭ 3(Ϫ1) ϩ b

y ϭ 6 cuando x ϭ Ϫ1.

bϭ9 La forma pendiente intersección al origen de la ecuación es y ϭ 3x ϩ 9. Ahora resuelva el ejercicio 21. No podemos utilizar la frase “la ecuación de una recta” ya que cada recta tiene muchas ecuaciones diferentes. Cada recta tiene una ecuación que puede escribirse en la forma Ax ϩ By ϩ C ϭ 0, donde A y B no son cero al mismo tiempo. Esta forma es la forma general para una ecuación de una recta.

34

CAPÍTULO R Requisitos

Si B 0, la forma general puede cambiarse a la forma pendiente intersección al origen como sigue: Ax ϩ By ϩ C¬ϭ 0 By¬ϭ ϪAx Ϫ C

( )

A C y¬ϭ Ϫᎏᎏx ϩ Ϫᎏᎏ B B

pendiente intercepción y

Formas de las ecuaciones de rectas Forma general:

Ax ϩ By ϩ C ϭ 0, A y B no son ambos cero.

Forma pendiente intersección al origen: Forma punto pendiente:

y ϭ mx ϩ b y Ϫ y1 ϭ m(x Ϫ x1)

Recta vertical:

xϭa

Recta horizontal:

yϭb

Graficación de ecuaciones lineales con dos variables Una ecuación lineal en x y y es aquella que puede escribirse en la forma Ax ϩ By ϭ C, donde A y B no son ambos cero. Al rescribir esta ecuación en la forma Ax ϩ By Ϫ C ϭ 0 vemos que está en la forma general de la ecuación de una recta. Si B ϭ 0, la recta es vertical y si A ϭ 0, la recta es horizontal. La gráfica de una ecuación en x y y consiste en todas las parejas (x, y) que son soluciones de la ecuación. Por ejemplo, (1, 2) es una solución de la ecuación 2x ϩ 3y ϭ 8 ya que al sustituir x ϭ 1 y y ϭ 2 en la ecuación conduce al enunciado verdadero 8 ϭ 8. Las parejas (Ϫ2, 4) y (2, 4/3) también son soluciones.

WINDOW Xmin=–10 Xmax=10 Xscl=1 Ymin=–10 Ymax=10 Yscl=1 Xres=1

Ya que la gráfica de una ecuación lineal en x y y es una línea recta, sólo necesitamos determinar dos soluciones y luego conectarlas con una línea recta para dibujar su gráfica. Si una recta no es horizontal ni vertical, entonces dos puntos fáciles de obtener son su intersección con el eje x y su intersección con el eje y. La intersección x es el punto (xЈ, 0) donde la gráfica interseca el eje x. Establezca y ϭ 0 y despeje x para determinar la intersección x. Las coordenadas de la intersección y son (0, yЈ). Establezca x ϭ 0 y despeje y para determinar la intersección y. Graficación con una utilería gráfica Para dibujar una gráfica de una ecuación mediante un graficador; 1. Rescriba la ecuación en la forma y ϭ (una expresión en x).

FIGURA R.26 Las dimensiones de la

2. Introduzca la ecuación en el graficador.

ventana para la ventana estándar. La notación “[Ϫ10, 10] por [Ϫ10, 10]” se utiliza para representar dimensiones de ventana como éstas.

3. Seleccione una ventana de visualización adecuada (consulte la figura

R.26). 4. Presione la tecla “graph” (graficar).

SECCIÓN R.4 Rectas en el plano

35

Una utilería para graficar, con frecuencia conocida como graficador, calcula los valores de y para un conjunto seleccionado de valores de x entre Xmín y Xmáx y traza los puntos (x, y) correspondientes.

EJEMPLO 4 Uso de una utilería graficadora Dibuje la gráfica de 2x ϩ 3y ϭ 6. SOLUCIÓN Primero despeje a y. [Ϫ4, 6] por [Ϫ3, 5]

2x ϩ 3y¬ϭ 6

FIGURA R.27 La gráfica de 2x ϩ 3y ϭ 6. Los puntos (0, 2) (intersección y) y (3, 0) (intersección x) aparecen en la gráfica y, como pareja, son soluciones de la ecuación, proporcionando respaldo visual que la gráfica es correcta (ejemplo 4).

3y¬ϭ Ϫ2x ϩ 6 2 y¬ϭ Ϫᎏᎏx ϩ 2 3

Despejar a y. Dividir entre 3.

La figura R.27 muestra la gráfica de y ϭ Ϫ(2/3)x ϩ 2, o de manera equivalente, la gráfica de la ecuación lineal 2x ϩ 3y ϭ 6, en la ventana de visualización [Ϫ4, 6] por [Ϫ3, 5]. Ahora resuelva el ejercicio 27.

VENTANA DE VISUALIZACIÓN

La ventana de visualización [Ϫ4, 6] por [Ϫ3, 5] de la figura R.27 significa Ϫ4 Յ x Յ Յ 6 y Ϫ3 Յ y Յ 5. VENTANA CUADRADA DE VISUALIZACIÓN

Una ventana cuadrada de visualización en un graficador es aquella en la que los ángulos parecen ser correctos. Por ejemplo, la recta y ϭ x parecerá que forma un ángulo de 45° con la parte positiva del eje x. Además, una distancia de 1 en el eje x parece la misma que en l eje y. Esto es, si Xscl ϭ Yscl, la distancia entre marcas consecutivas en el eje x y en el eje y parecerán ser iguales.

Rectas paralelas y rectas perpendiculares EXPLORACIÓN 1

Investigación de gráficas de ecuaciones lineales

1. ¿Qué tienen en común las gráficas de y ϭ mx ϩ b y y ϭ mx ϩ c, b

c?

¿En qué difieren? 2. Grafique y ϭ 2x y y ϭ Ϫ(1/2)x en una ventana cuadrada de visualiza-

ción (consulte la nota la margen). En la calculadora utilizamos, la “ventana decimal” [Ϫ4.7, 4.7] por [Ϫ3.1, 3.1] es cuadrada. Estime el ángulo entre las dos rectas. 3. Repita la parte 2 para y ϭ mx y y ϭ Ϫ(1/m)x con m ϭ 1, 3, 4 y 5.

En la Exploración 1 se incluyeron rectas paralelas y rectas perpendiculares. Es riesgoso utilizar un graficador para decidir cuándo las rectas son paralelas o perpendiculares. A continuación se describe una prueba algebraica para determinar cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares.

Rectas paralelas y rectas perpendiculares 1. Dos rectas no verticales son paralelas si, y sólo si sus pendientes son

iguales. 2. Dos rectas no verticales son perpendiculares si, y sólo si sus pendientes

m1 y m2 son recíprocos opuestos. Esto es, si, y sólo si 1 m1 ϭ Ϫᎏᎏ. m2

36

CAPÍTULO R Requisitos

EJEMPLO 5 Determinación de una ecuación de una recta paralela Determine una ecuación de la recta que pasa por P(1, Ϫ2) que es paralela a la recta L con ecuación 3x Ϫ 2y ϭ 1. SOLUCIÓN Determinamos la pendiente de L escribiendo su ecuación en la forma pendiente intersección al origen. 3x Ϫ 2y¬ϭ 1 Ϫ2y¬ϭ Ϫ3x ϩ 1 3 1 y¬ϭ ᎏᎏx Ϫ ᎏᎏ 2 2 La pendiente de L es 3/2.

Ecuación para L. Restar 3x. Dividir entre Ϫ2.

La recta cuya ecuación buscamos tiene pendiente 3/2 y contiene al punto (x1, y1) ϭ (1, Ϫ2). Por tanto, la ecuación que buscamos en la forma punto pendiente para la recta es 3 y ϩ 2¬ϭ ᎏᎏ͑x Ϫ 1͒ 2 3 3 y ϩ 2¬ϭ ᎏᎏx Ϫ ᎏᎏ 2 2 3 7 y¬ϭ ᎏᎏx Ϫ ᎏᎏ 2 2

Propiedad distributiva.

Ahora resuelva el ejercicio 41 a).

EJEMPLO 6 Determinación de una ecuación de una recta perpendicular Determine una ecuación de la recta que pasa por P(2, Ϫ3) que es perpendicular a la recta L con ecuación 4x ϩ y ϭ 3. Compruebe su resultado con un graficador. SOLUCIÓN Determinamos la pendiente de L escribiendo su ecuación en la forma pendiente intersección al origen. 4x ϩ y¬ϭ 3

Ecuación para L

y¬ϭ Ϫ4x ϩ 3

Restar 4x.

La pendiente de L es Ϫ4. La recta cuya ecuación buscamos tiene pendiente Ϫ1/(Ϫ4) ϭ 1/4 y pasa por el punto (x1, y1) ϭ (2, Ϫ3). Por tanto, la ecuación que buscamos en la forma punto pendiente para la recta es 1 y Ϫ ͑Ϫ3͒¬ϭ ᎏᎏ ͑x Ϫ 2͒ 4 1 2 y ϩ 3¬ϭ ᎏᎏx Ϫ ᎏᎏ 4 4 [Ϫ4.7, 4.7] por [Ϫ5.1, 1.1]

FIGURA R.28 Las gráficas de y ϭ Ϫ4x ϩ 3 y y ϭ (1/4)x Ϫ 7/2 en esta ventana cuadrada de visualización, parecen intersecarse en ángulo recto (ejemplo 6).

Propiedad distributiva.

1 7 y¬ϭ ᎏᎏx Ϫ ᎏᎏ 4 2 La figura R.28 muestra las gráficas de las dos ecuaciones en una ventana cuadrada de visualización y sugiere que las gráficas son perpendiculares. Ahora resuelva el ejercicio 43 a).

SECCIÓN R.4 Rectas en el plano

37

Aplicación de ecuaciones lineales con dos variables Las ecuaciones lineales y sus gráficas aparecen con frecuencia en aplicaciones. A menudo, las soluciones algebraicas de estos problemas de aplicación requieren determinar una ecuación de una recta y resolver una ecuación en una variable. Las técnicas de graficación complementan las algebraicas.

EJEMPLO 7 Determinación de la depreciación de bienes inmuebles Apartamentos Camelot compraron un edificio en $50,000 que se deprecia $2,000 por año durante un periodo de 25 años. a) Escriba una ecuación lineal que proporcione el valor y del edificio en términos de los años x posteriores a la compra. b) ¿En cuántos años el valor del edificio será de $24,500? SOLUCIÓN a) Necesitamos determinar el valor de m y b de modo que y ϭ mx ϩ b, donde 0 Յ x Յ 25. Sabemos que y ϭ 50,000 cuando x ϭ 0, por lo que la recta tiene intersección y (0, 50,000) y b ϭ 50,000. Un año después de la compra (x ϭ 1), el valor del edificio es 50,000 Ϫ 2,000 ϭ 48,000. Por lo que cuando x ϭ 1, y ϭ 48,000. Mediante álgebra, determinamos y¬ϭ mx ϩ b 48,000¬ϭ m • 1 ϩ 50,000

y ϭ 48,000 cuando x ϭ 1

Ϫ2,000¬ϭ m El valor de y del edificio, al cabo de x años después de su compra es y ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000.

1

b) Necesitamos determinar el valor de x cuando y ϭ 24,500. y¬ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000 Nuevamente, mediante álgebra encontramos 24,500¬ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000

X=12.75

Y=24500

[0, 23.5] por [0, 60000]

a)

X 12 12.25 12.5 12.75 13 13.25 13.5

Y1 26000 25500 25000 24500 24000 23500 23000

Y1 = –2000X+50000 b)

FIGURA R.29 Una gráfica a) y una tabla b) de valores para y ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000 (ejemplo 7).

Ϫ25,500¬ϭ Ϫ2,000x

Hacer y ϭ 24,500. Restar 50,000.

12.75¬ϭ x El valor depreciado del edificio será de $24,500 exactamente al cabo de 12.75 años, o 12 años y 9 meses después de que Apartamentos Camelot lo comprara. Podemos respaldar nuestro trabajo algebraico tanto gráfica como numéricamente. Las coordenadas indicadas en la figura R.29a muestran de manera gráfica que (12.75, 24,500) es una solución de y ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000. Esto significa que y ϭ 24,500 cuando x ϭ 12.75. La figura R.29b es una tabla de valores para y ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000 para unos cuantos valores de x. La cuarta línea de la tabla muestra de forma numérica que y ϭ 24,500 cuando x ϭ 12.75. Ahora resuelva el ejercicio 5. La figura R.30 en la página 38 muestra el ingreso de los estadounidenses de 1998 a 2003 en billones de dólares y su correspondiente diagrama de dispersión de los datos. En el ejemplo 8, modelamos la información de la figura R.30 con una ecuación lineal.

38

CAPÍTULO R Requisitos

Año

Monto (billones de dólares)

1998 1999 2000 2001 2002 2003

7.4 7.8 8.4 8.7 8.9 9.2 [1995, 2005] por [5, 10]

FIGURA R.30 Ingreso personal de estadounidenses. Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, Resumen Estadístico de Estados Unidos, 2004Ϫ2005. (Ejemplo 8).

EJEMPLO 8 Determinación de un modelo lineal para el ingreso personal de estadounidenses El ingreso personal de los estadounidenses, en billones de dólares, se da en la figura R.30. a) Escriba una ecuación lineal para el ingreso de los estadounidenses y en términos del año x, utilizando los puntos (1998, 7.4) y (1999, 7.8). b) Utilice la ecuación en a) para estimar el ingreso de los estadounidenses en 2001. c) Utilice la ecuación de a) para predecir el ingreso en 2006. d) Superponga una gráfica de la ecuación lineal de a) a un diagrama de dispersión de los datos. SOLUCIÓN a) Sea y ϭ mx ϩ b. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos (1998, 7.4) y (1999, 7.8) es 7.8 Ϫ 7.4 m ϭ ᎏᎏ ϭ 0.4. 1999 Ϫ 1998 El valor de 7.4 billones de dólares en 1998 proporciona y ϭ 7.4 cuando x ϭ 1998. y¬ϭ mx ϩ b y¬ϭ 0.4x ϩ b 7.4¬ϭ 0.4(1998) ϩ b

m ϭ 0.4 y ϭ 7.4 cuando x ϭ 1998

b¬ϭ 7.4 Ϫ 0.4(1998) b¬ϭ Ϫ791.8 La ecuación lineal que buscamos es y ϭ 0.4x Ϫ 791.8. b) Necesitamos determinar el valor de y cuando x ϭ 2001. y¬ϭ 0.4x Ϫ 791.8 y¬ϭ 0.4(2001) Ϫ 791.8 y¬ϭ 8.6

Hacer x ϭ 2001.

SECCIÓN R.4 Rectas en el plano

39

Al utilizar el modelo lineal que encontramos en a) estimamos el ingreso de los estadounidenses en 2001 como 8.6 billones de dólares, un poco menos que el monto real de 8.7 billones. c) Necesitamos determinar el valor de y cuando x ϭ 2006. y¬ϭ 0.4x Ϫ 791.8 y¬ϭ 0.4(2006) Ϫ 791.8

Hacer x ϭ 2006.

y¬ϭ 10.6 [1995, 2005] por [5, 10]

FIGURA R.31 Modelo lineal para el ingreso personal de los estadounidenses (ejemplo 8).

Mediante el modelo lineal que encontramos en a) predecimos que el ingreso de los estadounidenses en 2006 será 10.6 billones de dólares d) La gráfica y el diagrama de dispersión se muestran en la figura R.31. Ahora resuelva el ejercicio 51.

PROBLEMA DE INICIO DE CAPÍTULO (de la página 1) PROBLEMA: Suponga que la velocidad de la luz es aproximadamente 186,000 millas por segundo. (Tomó mucho tiempo llegar a este número. Consulte la nota al margen acerca de la velocidad de la luz). a) Si la distancia de la Luna a la Tierra es de aproximadamente 237,000

millas, determine el tiempo requerido para que la luz viaje de la Tierra a la Luna. b) Si la luz viaja de la Tierra al Sol en 8.32 minutos, aproxime la distancia de

la Tierra al Sol. c) Si la luz tarda 5 horas y 29 segundos para viajar del Sol a Plutón, aproxi-

me la distancia del Sol al Plutón. SOLUCIÓN: Utilizamos la ecuación lineal d ϭ r ϫ t (distancia ϭ velocidad ϫ tiempo) para realizar los cálculos con r ϭ 186,000 millas/segundo. a) Aquí d ϭ 237,000 millas, por lo que

d 237,000 millas t ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏᎏ Ϸ 1.27 segundos. 186,000 millas/segundos r El tiempo requerido para que la luz viaje de la Tierra a la Luna es alrededor de 1.27 segundos. b) Aquí t ϭ 8.32 minutos ϭ 499.2 segundos, por lo que

millas d ϭ r ϫ t ϭ 186,000 ᎏ ϫ 499.2 segundos ϭ 92,851,200 millas. segundos VELOCIDAD DE LA LUZ

Muchos científicos han tratado de medir la velocidad de la luz. Por ejemplo, Galileo Galilei (1564Ϫ1642) intentó medir la velocidad de la luz sin mucho éxito. Visite la siguiente página Web para consultar información interesante relativa a este tema. http://www.what-is-the-speed-of-light.com/

La distancia de la Tierra al Sol es alrededor de 93 millones de millas. c) Aquí t ϭ 5 horas y 29 minutos ϭ 329 minutos ϭ 19,740 segundos, por lo que

millas d ϭ r ϫ t ϭ 186,000 ᎏ ϫ 19,740 segundos segundos ϭ 3,671,640,000 millas.

La distancia del Sol a Plutón es de 3.7 ϫ 109 millas, aproximadamente.

CAPÍTULO R Requisitos

40

REPASO RÁPIDO R.4 En los ejercicios del 5 al 8 despeje y.

En los ejercicios del 1 al 4 despeje x.

5. 2x Ϫ 5y ϭ 21

1. Ϫ75x ϩ 25 ϭ 200

7. 2x ϩ y ϭ 17 ϩ 2͑x Ϫ 2y͒

2. 400 Ϫ 50x ϭ 150

1 1 6. ᎏᎏx ϩ ᎏᎏy ϭ 2 3 4 8. x 2 ϩ y ϭ 3x Ϫ 2y

En los ejercicios 9 y 10 simplifique la fracción.

3. 3͑1 Ϫ 2x͒ ϩ 4͑2x Ϫ 5͒ ϭ 7

9Ϫ5 9. ᎏᎏ Ϫ2 Ϫ ͑Ϫ8͒

4. 2͑7x ϩ 1͒ ϭ 5͑1 Ϫ 3x͒

Ϫ4 Ϫ 6 10. ᎏᎏ Ϫ14 Ϫ ͑Ϫ2͒

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN R.4 En los ejercicios 1 y 2 estime la pendiente de la recta. 1.

2.

y

y

9 8 7 6 5

9 8 7 6 5

4 3 2 1

4 3 2 1

0

1

2 3

4 5

6

x

En los ejercicios del 15 al 20 determine una ecuación en la forma general para la recta que pasa por el par de puntos.

0

15. (7, Ϫ2) y (1, 6)

16. (Ϫ3, Ϫ8) y (4, Ϫ1)

17. (1, Ϫ3) y (5, Ϫ3)

18. (Ϫ1, Ϫ5) y (Ϫ4, Ϫ2)

19. (Ϫ1, 2) y (2, 5)

20. (4, Ϫ1) y (4, 5)

En los ejercicios del 21 al 26 determine una ecuación en la forma pendiente intersección al origen para la recta. 21. La recta que pasa por (0, 5) con pendiente m ϭ Ϫ3. 22. La recta que pasa por (1, 2) con pendiente m ϭ 1/2. 1

2

3 4

5 6

x

En los ejercicios del 3 al 6 determine la pendiente de la recta que pasa por el par de puntos.

23. La recta que pasa por los puntos (Ϫ4, 5) y (4, 3). 24. La recta que pasa por los puntos (4, 2) y (Ϫ3, 1). 25. La recta 2x ϩ 5y ϭ 12.

3. (Ϫ3, 5) y (4, 9)

4. (Ϫ2, 1) y (5, Ϫ3)

26. La recta 7x Ϫ 12y ϭ 96.

5. (Ϫ2, Ϫ5) y (Ϫ1, 3)

6. (5, Ϫ3) y (Ϫ4, 12)

En los ejercicios 27 a 30, con un graficador, grafique la ecuación lineal. Seleccione una ventana de visualización que muestre la intersección de la recta con el eje x y con el eje y.

En los ejercicios del 7 al 10 determine el valor de x o y, para que la recta que pasa por el par de puntos tenga la pendiente dada. Puntos

Pendiente

27. 8x ϩ y ϭ 49

28. 2x ϩ y ϭ 35 30. 2100x ϩ 12y ϭ 3540

7. (x, 3) y (5, 9)

mϭ2

29. 123x ϩ 7y ϭ 429

8. (Ϫ2, 3) y (4, y)

m ϭ Ϫ3

9. (Ϫ3, Ϫ5) y (4, y)

mϭ3

En los ejercicios 31 y 32, la recta contiene al origen y el punto en la esquina superior derecha de la pantalla del graficador.

10. (Ϫ8, Ϫ2) y (x, 2)

m ϭ 1/2

En los ejercicios del 11 al 14 determine una ecuación en la forma punto pendiente para la recta que pasa por el punto con la pendiente dada. Punto

31. Escriba para aprender ¿Cuál recta de las que se muestran aquí tiene mayor pendiente?

Pendiente

11. (1, 4)

mϭ2

12. (Ϫ4, 3)

m ϭ Ϫ2/3

13. (5, Ϫ4)

m ϭ Ϫ2

14. (Ϫ3, 4)

mϭ3

[Ϫ10, 10] por [Ϫ15, 15]

[Ϫ10, 10] por [Ϫ10, 10]

a)

b)

SECCIÓN R.4 Rectas en el plano

32. Escriba para aprender ¿Cuál recta de las que se muestran tiene la mayor pendiente?

41

46. Planeación de la inversión Mary Ellen planea invertir $18,000, poniendo parte del dinero, x, en ahorros que pagan 5% al año y el resto en una cuenta que paga 8% anualmente. a) En esta situación, ¿qué valores son posibles para x?

[Ϫ20, 20] por [Ϫ35, 35]

[Ϫ5, 5] por [Ϫ20, 20]

a)

b)

En los ejercicios del 33 al 36 determine el valor de x y el valor de y para los cuales (x, 14) y (18, y) son puntos en la gráfica. 33. y ϭ 0.5x ϩ 12

34. y ϭ Ϫ2x ϩ 18

35. 3x ϩ 4y ϭ 26

36. 3x Ϫ 2y ϭ 14

En los ejercicios del 37 al 40 determine los valores para Ymín, Ymáx y Yscl que harán que la gráfica de la recta aparezca en la ventana de visualización, como se muestra a continuación: WINDOW Xmin=–10 Xmax=10 Xscl=1 Ymin= Ymax= Yscl= Xres=1

c) Grafique y márquela para estimar cuánto invirtió Mary Ellen al 5%, si ella obtuvo $1,020 de interés total al final del primer año. d) Utilice su graficador para generar una tabla de valores para I a fin de determinar cuánto debe invertir Mary Ellen al 5% para obtener $1,185 de interés total al cabo de un año. 47. Navegación Un aeroplano comercial asciende en el despegue con una pendiente m ϭ 3/8. ¿Cuánto volará en la dirección horizontal para alcanzar una altura de 12,000 pies por arriba del punto de despegue? 48. Inclinación de una autopista La carretera 70 oeste de Denver, Colorado tiene una sección señalada como de 6% de inclinación. Esto significa que por un cambio horizontal de 100 pies hay 6 pies de cambio vertical.

37. y ϭ 3x

38. y ϭ 5x

2 39. y ϭ ᎏᎏx 3

5 40. y ϭ ᎏᎏx 4

En los ejercicios del 41 al 44, a) determine una ecuación para la recta que pasa por el punto y es paralela a la recta dada y b) determine una ecuación para la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta dada. Corrobore su trabajo en forma gráfica. Punto

b) Si Mary Ellen invierte x dólares al 5%, escriba una ecuación que describa el interés total I recibido por ambas cuentas al final de un año.

6% inclinación 6% INCLINACIÓN

Recta

41. (1, 2)

y ϭ 3x Ϫ 2

42. (Ϫ2, 3)

y ϭ Ϫ2x ϩ 4

43. (3, 1)

2x ϩ 3y ϭ 12

a) Determine la pendiente de esta sección de la autopista.

44. (6, 1)

3x Ϫ 5y ϭ 15

b) En una autopista con una inclinación de 6%, ¿cuál es la distancia horizontal requerida para ascender 250 pies?

45. Apreciación de bienes inmuebles Bob Michaels compró una casa hace 8 años en $42,000; este año el inmueble se valuó en $67,500. a) Una ecuación lineal V ϭ mt ϩ b, 0 Յ t Յ 15 representa el valor V de la casa durante 15 años a partir de que fue comprada. Determine m y b. b) Grafique la ecuación y márquela para estimar en cuántos años, a partir de la compra, esta casa tendrá un valor de $72,500. c) Plantee y resuelva una ecuación de forma algebraica para determinar cuántos años, a partir de la compra, esta casa tendrá un valor de $74,000. d) Determine cuántos años después de la compra esta casa tendrá un valor de $80,250.

c) Una señal en la autopista indica 6% de inclinación durante las siguientes 7 millas. Estime cuántos pies en sentido vertical hay a lo largo de esas siguientes millas. (Hay 5,280 pies en una milla). 49. Escriba para aprender Especificaciones de edificación Los tejados asfaltados no cumplen con el código de especificaciones de un tejado que tiene una inclinación menor a 4Ϫ12. Una inclinación 4Ϫ12 implica que hay 4 pies de cambio vertical por cada 12 pies de cambio horizontal. Cierto tejado tiene pendiente m ϭ 3/8. ¿Podrían usarse tejados asfaltados en ese tejado? Explique. 50. Revisión del ejemplo 8 Utilice la ecuación lineal encontrada del ejemplo 8 para estimar el ingreso de los estadounidenses en 2000, 2002 y 2003 mostrados en la figura R.30.

CAPÍTULO R Requisitos

42

51. Gasto de los estadounidenses El gasto personal de los estadounidenses de 1998 a 2003, en billones de dólares, se muestra en la tabla. x ⏐1998 y 5.9

⏐

1999 6.3

2000 6.7

2001 7.0

2002 7.4

54. Exportaciones de Estados Unidos a Japón El total de exportaciones (en miles de millones de dólares) de Estados Unidos a Japón de 1996 a 2003 se proporciona en la tabla R.8.

2003 7.8

Tabla R.8 Exportaciones de Estados Unidos a Japón

a) Escriba una ecuación lineal para el gasto de los estadounidenses y, en términos del año x, utilizando los puntos (1998, 5.9) y (1999, 6.3). b) Utilice la ecuación en a) para estimar los gastos de los estadounidenses en 2002. c) Utilice la ecuación en a) para predecir el gasto de los estadounidenses en 2006. d) Superponga una gráfica de la ecuación lineal en a) a un diagrama de dispersión de los datos. 52. Importaciones de Estados Unidos provenientes de México El total, en miles de millones de dólares, de las importaciones de Estados Unidos provenientes de México, para cada año x desde 1996 hasta 2003 se da en la tabla. (Fuente: Oficina de Censos de los Estados Unidos, Resumen Estadístico de Estados Unidos, 2001, 2004-2005). x ⏐1996 y 74.3

⏐

1997 85.9

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

67.6 65.5 57.8 57.5 64.9 57.4 51.4 52.1

a) Haga que x ϭ 0 represente a 1990, x ϭ 1 represente a 1991, y así sucesivamente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. b) Utilice la información de 1996 y 2003 para escribir una ecuación lineal para las exportaciones y, de Estados Unidos a Japón en términos del año x. Superponga la gráfica de la ecuación lineal al diagrama de dispersión de a).

a) Utilice las parejas (1997, 85.9) y (2001, 131.3) para escribir una ecuación lineal para x y y, b) Superponga la gráfica de la ecuación lineal en a) a un diagrama de dispersión de los datos.

53. Población mundial La población mundial a mitad de año durante los años de 1997 a 2004 (en millones) se muestra en la tabla R.7.

Exportaciones de Estados Unidos (miles de millones de dólares)

Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, Resumen Estadístico de Estados Unidos, 2001, 2004-2005.

1998 1999 2000 2001 2002 2003 94.6 109.7 135.9 131.3 134.6 138.1

c) Utilice la ecuación en a) para predecir el total de importaciones de Estados Unidos provenientes de México en 2006.

Año

c) Utilice la ecuación en b) para predecir las exportaciones de Estados Unidos a Japón en 2006. En los ejercicios 55 y 56 determine a de modo que los segmentos de recta AB y CD sean paralelos. 55.

y

56.

y

D(a, 8)

Tabla R.7 Población mundial Año

Población (millones)

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

5852 5930 6006 6082 6156 6230 6303 6377

A(0, 0)

b) Utilice la información de 1997 y 2004 para escribir una ecuación lineal para la población y en términos del año x. Superponga la gráfica de la ecuación lineal al diagrama de dispersión de los datos. c) Utilice la ecuación en b) para predecir la población mundial a medio año en 2006. Compárela con la estimación 6525 de la oficina de censos.

B(1, 2) x

C(3, 0)

A(0, 0)

x

C(3, 0)

En los ejercicios 57 y 58 determine a y b de modo que la figura ABCD sea un paralelogramo. 57.

58.

y

Fuente: http://www.census.gov/ipc/ww/ worldpop.html

a) Suponga que x ϭ 0 representa a 1990, x ϭ 1, representa a 1991, y así sucesivamente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos.

D(5, a)

B(3, 4)

B(2, 5)

A(0, 0)

D(4, 0)

y

C(a, b)

B(a, b)

x

A(0, 0)

C(8, 4)

D(5, 0)

59. Escriba para aprender Rectas perpendiculares a) ¿Es posible que dos rectas con pendientes positivas sean perpendiculares? Explique. b) ¿Es posible que dos rectas con pendientes negativas sean perpendiculares? Explique.

x

SECCIÓN R.4 Rectas en el plano

60. Actividad en grupo Rectas paralelas y rectas perpendiculares

43

c) Dibuje la gráfica para a ϭ 5, b ϭ 3.

a) Suponga que c d y a y b no son ambos cero. Muestre que ax ϩ by ϭ c y ax ϩ by ϭ d son rectas paralelas. Explique por qué son necesarias las restricciones sobre a, b, c y d. b) Suponga que a y b no son ambas cero. Demuestre que ax ϩ by ϭ c y bx Ϫ ay ϭ d son rectas perpendiculares. Explique por qué son necesarias las restricciones sobre a y b.

d) Utilice sus gráficas en a), b) y c) para hacer una conjetura acerca de lo que representan a y b cuando c ϭ 1. Pruebe su conjetura. e) Repita a)Ϫd) para c ϭ 2. f) Si c ϭ Ϫ1, ¿qué representan a y b? 68. Investigación de las gráficas de ecuaciones lineales

Preguntas de examen estandarizado

a) Grafique y ϭ mx para m ϭ Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 1, 2, 3 en la ventana [Ϫ8, 8] por [Ϫ5, 5]. ¿Qué tienen en común estas gráficas? ¿En qué difieren?

61. Verdadero o falso La pendiente de una recta vertical es cero. Justifique su respuesta.

b) Si m > 0, ¿qué tienen en común las gráficas de y ϭ mx y y ϭ Ϫmx? ¿En qué difieren?

62. Verdadero o falso La gráfica de cualquier ecuación de la forma ax ϩ by ϭ c, donde a y b no son ambos cero, siempre es una recta. Justifique su respuesta. En los ejercicios del 63 al 66 puede utilizar una calculadora graficadora para resolver los problemas. 63. Opción múltiple ¿Cuál de las siguientes es una ecuación de la recta que pasa por el punto (Ϫ2, 3) con pendiente 4? A) y Ϫ 3 ϭ 4(x ϩ 2)

B) y ϩ 3 ϭ 4(x Ϫ 2)

C) x Ϫ 3 ϭ 4(y ϩ 2)

D) x ϩ 3 ϭ 4(y Ϫ 2)

E) y ϩ 2 ϭ 4(x Ϫ 3)

c) Grafique y ϭ 0.3x ϩ b para b ϭ Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3 en [Ϫ8, 8] por [Ϫ5, 5]. ¿Qué tienen en común estas gráficas? ¿En qué difieren?

Ampliación de las ideas 69. Conexión entre álgebra y geometría Muestre que si se unen los puntos medios de lados consecutivos de cualquier cuadrilátero (consulte la figura), el resultado es un paralelogramo. y

64. Opción múltiple ¿Cuál de las siguientes es una ecuación de la recta con pendiente 3 e intersección con el eje y de Ϫ2? A) y ϭ 3x ϩ 2

B) y ϭ 3x Ϫ 2

C) y ϭ Ϫ2x ϩ 3

D) x ϭ 3y Ϫ 2

(b, c)

(d, e)

(3, 4)

E) x ϭ 3y ϩ 2 65. Opción múltiple ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta y ϭ Ϫ2x ϩ 5?? 1 A) y ϭ 2x ϩ 1 B) y ϭ Ϫ2x Ϫ ᎏᎏ 5 1 1 1 C) y ϭ Ϫᎏᎏx ϩ ᎏᎏ D) y ϭ Ϫᎏᎏx ϩ 3 2 3 2 1 E) y ϭ ᎏᎏx Ϫ 3 2 66. Opción múltiple ¿Cuál de las siguientes es la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos (Ϫ2, 1) y (1, Ϫ4)? 3 A) Ϫᎏᎏ 5 5 C) Ϫᎏᎏ 3 E) Ϫ3

3 B) ᎏᎏ 5 5 D) ᎏᎏ 3

x

(a, 0)

x

A. Representación para el ejercicio 69

70. Conexión entre álgebra y geometría Considere la semicircunferencia de radio 5 con centro en (0, 0) que se muestra en la figura. Determine una ecuación de la recta tangente a la semicircunferencia en el punto (3, 4). (Sugerencia: Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia).

y

0, b

(b, c)

0 A

B

a) Dibuje la gráfica para a ϭ 3, b ϭ Ϫ2. b) Dibuje la gráfica para a ϭ Ϫ2, b ϭ Ϫ3.

A. Representación para el ejercicio 70

71. Conexión entre álgebra y geometría Muestre que en cualquier triángulo (consulte la figura) el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y mide la mitad de él.

Exploraciones y x 67. Exploración de la gráfica de ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ c, a a b Sea c ϭ 1.

y

O (0, 0)

(a, 0)

x