REPUBLICA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACIÓN TRANSLACIONES N EL PLANO Materia: Matematica TRASLACIONES EN EL PLANO Consideremos un punto p en el plano y un vector a; Si dibujamos un vector equipolente al vector a, con origen el punto p, y llamamos p´ al extremo de este vector, diremos que p ha sido trasladado al punto p´, o que p´ es la traslación de p por medio del vector a. p´ p a p a En general: Diremos que la traslación de un punto p; por medio del vector a, es un punto p´, tal que: pp = a De esta manera, cualquier punto del plano puede trasladarse por medio del vector a, o sea, que podemos definir una función del plano en el plano, de tal manera que a cada punto p del plano le hacemos corresponder su trasladado por medio del vector a. A esta función la denotaremos por Ta y la llamaremos traslación de vector a. Ejemplo: Hallemos las imágenes de los puntos a, b y c por medio de la traslación Ta . b b´ a a. a a´ c c´ Observemos que: La imagen de a por medio de Ta es a´ y escribimos:Ta (a) = a´ La imagen de b por medio de Ta es b´ y escribimos: Ta (b) = b´ 1

La imagen de c por medio de Ta es b´ y escribimos: Ta (c) = c´ En resumen, diremos que: Una traslación de vector a es una función del plano en el plano, tal que a cada punto p del plano le hace corresponder su trasladado p´ , es decir: Ta (p) = p´, donde p´ = a Imagen de figuras planas por medio de una traslación. Imagen de un segmento por una traslación. Consideremos el segmento pq y el vector a: queremos determinar el tipo de figura que se obtiene al colocarle la traslación Ta . a Para ello, hallemos Ta (p) = p´ y Ta (q) = q´ q q´ Unimos p´ con q´ y obtenemos un segmento p´o´. a Observemos entonces que la imagen de pq por a medio de Ta es otro segmento p´q´. Esto lo p p´ podemos denotar así: Ta (pq) = p´q´. Si consideramos el vector pq, podemo observar que el vector p´q´ es equipolente al vector pq. En efecto, ambos vectores tienen la misma dirección, sentido y modulo. Por lo tanto, el segmento p´q´ tiene la misma longitud que el segmento pq. q q´ p p´ En resumen: La traslación de un segmento pq por medio de Ta es un segmento p´q´. Cumpliéndose ademas que: | (pq) = | (p´q´) Además, si consideremos el vector pq, se obtiene el vector p´o´, donde : pq = p´q´ (Equipolentes) Imagen de una semirrecta y de una recta por una traslación.

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Consideremos la semirrecta l, de origen o. Para hallar la traslación de dicha semirrecta, simplemente determinamos Ta (o) y Ta (b). Donde b es un punto cualquiera de la semirrecta. La semirrecta l´ de origen o´, que pasa por b´, a es la imagen de l por medio de Ta . O sea; l b b´ l Ta (l) = l´ o o´ Similarmente, para hallar la imagen de una recta R, Por medio de Ta , tomamos dos puntos distintos c Y d, de R. Luego, hallamos Ta (c) = c´ y R´ Ta (d) = d´. a d d´ La recta R´ que pasa por c´ y d´ es la imagen de R R por medio de Ta . O sea; c c´ a Ta (R) = R´ Imagen de un triangulo por una traslacion. Consideremos el triangulo abc y la traslación de Ta . Como un triangulo esta determinado por sus vértices, para hallar la imagen del triangulo abc simplemente hallaremos las imágenes de c sus vértices, es decir, de a, b y c. c´ Asi: Ta (a) = a´; T a (b) = b´; Ta (c) = c´. b

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El a´b´c´ sera la imagen de abc o sea: a b´ a´ T ( abc) = a´b´c´ La imagen de un triangulo abc , por medio de la traslación Ta , es otro triangulo a´b´c´. Imagen de un rectángulo por una traslación. Consideremos el rectángulo abcd y d c la traslación Ta . ab Como el rectángulo esta determinado por sus vértices: a, b, c y d, para hallar la traslación de este rectángulo procedemos a hallar: d´ c´ Ta (a) = a´; Ta (b) = b´; Ta (c) = c´; Ta (d) = d´. a´ b´ Luego, el rectángulo a´b´c´d´ es la imagen de abcd por medio de Ta . Imagen de una circunferencia por una traslación. Consideremos una circunferencia de c centro o y radio de longitud R. oa Tomemos un radio oa de la circunferencia c; Hallemos Ta (o) = o´ y Ta (a) = a´. c´ Como vimos anteriormente: a´ R = |(oa) = |(o´a´) Luego, la imagen de c por medio de Ta Es otra circunferencia c´, de centro O´ y del

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Mismo radio (R) En todas las imágenes presentadas se han observado las siguientes propiedades de la traslación de Ta . a) Conserva distancias, es decir: Ta transforma el segmento ab en el segmento a´b´ con: b b´ |(ab) = |(a´b´) a r a´ Por esto, diremos que Ta es una isometría. B) Transforma una figura f de la misma forma y dimensiones. f f´ Ta Existencia del elemento neutro Recordemos que el vector O tiene la propiedad: A+O=O+A=A Entonces, una traslación del vector O deja fijo a un P del plano, es decir: Ta ( p) = p Observemos entonces que: To T a = T a . a = T a O sea, la composición de cualquier traslación Ta con la traslaciónTa ; por esta razón, diremos: El conjunto de las traslaciones tiene como elemento neutro a la traslación T , con respecto a la operación de composición de traslaciones, es decir: T a o Ta = To T a = T a Traslacion inversa Consideremos un punto p y una traslacion Ta . Con esta traslación, p se traslada hasta q. Si , a su vez, trasladamos q por medio de Ta p a Obtendremos de nuevo p. 5

q O sea: Ta (p) = q, y Ta (q) = p p a Por lo tanto: q T a o T a = T (−a) + a = T o Por esto, decimos: Para cada traslación Ta existe una traslación inversa Ta respecto a la composición de traslaciones. En resumen, la composición de tralaciones cumple las siguientes propiedades: Composicion de traslaciones: Tb o Ta = Ta . Tb Propiedades Conmutativa T b o Ta = Ta o Tb Asociativa Tc o ( Tb o Ta ) = ( Tc o Tb ) oTa Existencia del Ta o To = To o Ta = Ta elemento neutro Traslación inversa Ta o T.a = T. a o Ta = To ROTACIONES EN EL PLANO Consideremos un punto O en el plano y p sea otro punto del plano, distinto al anterior. Consideremos la semirrecta Oa. Dibujemos los angulosA y & que se indican ( a la derecha). &a Con un compas , tomando centro en O y con un O A radio Oa, cortamos los lados Op y Oq , obte− q niendo, respectivamente, los puntos a´ y a´´. a´

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& Oa a´´ Ejemplos: Dan ideas de rotación las siguientes situaciones: • El movimiento de una puerta al cerrarse o abrirse. • El movimiento de un péndulo. • El movimiento de las agujas del reloj. Elementos de una rotación. Como vimos anteriormente, una rotación queda determinada por: • El centro de giro o de la rotación (el punto O). • La magnitud del angulo • El sentido del angulo. Ejemplo: Hallemos las imágenes del punto a, por medio de una rotación de centro o y angulo a. .a .o Construyamos el segmento oa y dibujemos b el angulo aob, congruente con el angulo a y con el mismo sentido. Luego, con un compas, y a´ tomando centro en o con una abertura oa, trazamos un arco hasta cortar el lado ob. o Sea a´ este punto. Diremos entonces que a a´ es la imagen de a por medio de la rotación de centro o y angul a. Observa que oa´ = oa y aoa´ = a, con el Mismo sentido. Por esta razon, definimos:

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Una rotación de centro o y angulo a orientado, es una funcion que transforma cada punto p del plano en otro punto q, tal que: op = oq y poq = a. Imágenes de algunas figuras por medio de una rotación. • Imagen de un segmento por medio de una rotación. Consideremos el segmento ab; queremos hallar su imagen por medio de una rotación de centro o y angulo a orientado. bb b´ &a &ao& a´ La imagen del sgmento ab es el segmento a´b´. Si medimos los segmentos ab y a´b´ observaremos que son iguales. O sea: |(ab) = |(a´b´) En el siguiente ejemplo veremos que esto no es una casualidad, sino que la imagen de un segmento ab es otro segmento a´b´ con la misma longitud. f Asi, a la derecha tenemos la rotación del d Segmento ab para varios angulos de rotación. La imágenes cd, ef, hg, etc, todas o b tienen la misma longitud. Esto nos permite obtener una conclusión muy importante. En efecto, como la distancia h del punto a al punto b es la longitud del segmento ab, y como |(ab) = |(a´b´), siendo a´b´ la imagen 8

ab por medio de una rotación, entonces la distancias entre las imágenes a´ y b´ es la misma distancia que entre a y b. Luego: La rotación de centro o y angulo orientado a, conserva las distancias, es decir, es una isometría. O sea: Imagen de a = a´ Imagen de b = b´ Distancia entre a y b = |(ab) = |(a´b´) = distancia entre a´ y b´ • Imagen de untriangulo por medio de una rotación. Como un angulo viene determinado por sus tres vértices, para hallar la imagen del triangulo abc lo que haremos sera hallar las imágenes de a, b y c, y luego trazar los segmentos a´b´, a´c´ y b´c´, obteniendo el triangulo a´b´c´, obteniendo el triangulo a´b´c´. c a b Oa b Como |(ab) = |(a´b´); | (ac) = |(a´c´); |(bc) = |(b´c´), concluimos diciendo que la imagen de un triangulo abc es otro triangulo a´b´c, donde los lados correspondientes son iguales, es decir: |(ab) = |(a´b´) |(ac) = |(a´c´) |(bc) = |(b´c´) Composicion de rotaciones del mismo centro Consideremos un punto a y apliquémosle sucesivamente una rotación de centro o y angulo a, y luego una rotación de centro o a´ y angulo &. Observando que se tendría el

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mismo efecto aplicando, de una vez, la rotación de centro o y angulo a + &. & Es decir: o a´ a R.(&)°R.(a) = R.(a + &) a´´ O sea, la composición de la rotación de centro o y angulo a, con la rotación de centro o angulo &, es una rotación del mismo centro o y angulo a + &. R.(&)°R.(a) = R.(a + &) Ejemplo: Hallemos la imagen del triangulo abc por medio de R.(30°) y R.(80°). Solucion: De acuerdo a la composición de rotaciones, se obtiene el mismo resultado aplicando R.(30°) al abc, y luego aplicando R.(80°), que aplicando directamente R.(30° + 80°) = R.(110°). b´´ c´´ a´´ c´ b´ a´ oc ab b´´ c´´ a´´ R.(30°) R.(80°) abc a´b´c´ a´´b´´c´´ c O ab

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