´N ACTIVIDADES DE AMPLIACIO

6 1.

La semejanza en el plano

Calcula las medidas de los segmentos x, y, z, t en la siguiente figura, sabiendo que las medidas de los segmentos conocidos esta ´n expresadas en metros. x

G 4

A

3

E

z

y

2

F

3 B 2C t D

2.

Dibuja un hexa ´gono regular y, tomando como ve´rtices los puntos medios de sus lados, traza un nuevo hexa ´gono. ¿Son semejantes ambos hexa ´gonos? ¿Cua ´l es la razo´n de semejanza entre ambas figuras? Si el primero tiene 6 cm de lado, calcula el ´area del segundo hexa ´gono.

3.

Demuestra que en cualquier recta ´ngulo ABCD se pueden determinar tres tria ´ngulos semejantes 1, 2 y 3 como indica la figura, trazando desde un ve´rtice la perpendicular a la diagonal opuesta. Basa ´ndote en ello, calcula las longitudes x, y, z del recta ´ngulo de la figura. D

C 2

x

z

3 1 4

A

4.

3 y

E

B

En el tria´ngulo recta ´ngulo ABC recta´ngulo en A, cuyos catetos AC y AB miden, respectivamente, 6 y 8 m, se traza la altura AD y desde D se traza una paralela al cateto AC, que corta en E al otro cateto AB. Calcula el perı´metro y el ´area del trapecio de ve´rtices ACDE. C D

A

5.

B

E

En el recta´ngulo ABCD, cuyos lados miden AB ⫽ 24 cm y BC ⫽ 10 cm, se traza una ´nto miden el perı´metro y paralela EF a la diagonal AC. Sabiendo que DF ⫽ 4 cm, ¿cua el ´area del trapecio ACEF?

D

C

F

A

6.

E

B

En un tria ´ngulo iso´sceles ABC, cuyos lados iguales AB ⫽ AC miden 10 cm y el lado ba ´sico BC mide 12 cm, se ´ngulo, como indica la figura. Calcula las inscribe un recta ´ngulo DEFG centrado respecto a la altura del tria medidas de los lados del recta ´ngulo para que su perı´metro sea de 20 centı´metros. A

M

D

C

7.

E

N F

G

B

En el tria´ngulo ADE, recta´ngulo en D, se construye el trapecio ABCD tal que los lados AB y BC tienen la misma medida, x. Calcula el perı´metro del trapecio, teniendo en cuenta las medidas de los segmentos AD ⫽ 27 m y BE ⫽ 36 m. A

x

B

27 m

x D

Gauss 4.o ESO - Opcio´n B

C

36 m

E

Actividades de ampliacio ´n

SOLUCIONES 1.

5.

Por el teorema de Tales:

En el tria´ngulo ACD: AC ⫽ 兹AD 2 ⫹ DC 2 ⫽ 26 cm, sean EC ⫽ x, FA ⫽ 10 ⫺ 4 ⫽ 6 cm y EF ⫽ z. Por la semejanza de los tria ´ngulos DEF y DAC:

AG GE EF 4 x 3 8 9 ⫽ ⫽ ; ⫽ ⫽ ;x ⫽ ;t⫽ AB BC CD 3 2 t 3 4

z 24 ⫺ x 4 ⫽ ⫽ 26 24 10

FE DE DF ⫽ ⫽ AC DC AD

AB AC AD 3 5 5 ⫹ t 10 29 ⫽ ⫽ ; ⫽ ⫽ ;y⫽ ;z⫽ BG CE DF 2 y z 3 6

x ⫽ 14,4; z ⫽ 10,4

2.

Son semejantes por tener iguales sus ´angulos interiores (120⬚). Si L y a p son el lado y la apotema del dado, aplicando el teorema de Pita ´goras al tria ´ngulo recta ´ngulo OA⬘B:

兹

C

B'

B

El perı´metro del trapecio es:

P ⫽ AF ⫹ FE ⫹ EC ⫹ CA ⫽ 56,8 cm

A'

C' D

E

E'

6.

Como el lado del hexa ´gono inscrito es L⬘ ⫽ a p, la L 6 razo´n de semejanza es k ⫽ · . L⬘ 兹27 El a´rea S⬘ del hexa ´gono inscrito es: S 36 3S ⫽ S⬘ ⫽ ⬇ 70,14 cm2 S⬘ 27 4

3.

Los tria ´ngulos AME y ANB son semejantes por estar AM ME en posicio´n de Tales: ⫽ AN NB Por otro lado:

AN ⫽ 兹AB 2 ⫺ NB 2 ⫽ 兹100 ⫺ 36 ⫽ 8 cm y llamando 2x ⫽ DE, y ⫽ MN, de la relacio´n de 8⫺y x 4(6 ⫺ x ) Tales, se tiene: ⫽ y⫽ 8 6 3 Teniendo en cuenta que el perı´metro es 20 cm:

En efecto, ABD r ⫽ BDC r determinados por dos parar ⫽ ECD r de lados perpenlelas y una secante y ABD diculares. En el tria ´ngulo 1: BD ⫽ 兹32 ⫹ 42 ⫽ 5. Por semejanza, en los tria ´ngulos 1 y 2: AD AB DB 3 4 5 ⫽ ⫽ ; ⫽ ⫽ ; x ⫽ 3,2 cm; EC ED DC z x 4 z ⫽ 2,4 cm Por semejanza, en los tria ´ngulos 1 y 3: AD AB DB 3 4 5 ⫽ ⫽ ; ⫽ ⫽ ; y ⫽ 1,8 cm EB EC BC y z 3

1 1 AD · DC ⫺ FD · ED ⫽ 2 2

⫽ 100,8 cm2

F

冢冣

L2 ⫺

SAFEC ⫽ SDCA ⫺ SDEF ⫽

F'

D'

L 2 ⫽ 兹36 ⫺ 9 ⫽ 兹27 2 Su ´area es S ⫽ 3L · a p ⫽ 18兹27 ap ⫽

El a´rea es:

A

O

4x ⫹ 2y ⫽ 20

8(6 ⫺ x ) ⫽ 20 3 {x ⫽ 3; y ⫽ 4} 4x ⫹

Los lados del recta ´ngulo miden 6 cm y 4 cm.

7.

Los tria ´ngulos DAE y CBE esta ´n en posicio´n de TaAE AD x ⫹ 36 27 les: ⫽ ⫽ , cuya ´unica soluBE BC 36 x cio´n posible es x ⫽ 18 m. Por otro lado:

4.

En ABC: CB ⫽

兹6 ⫹ 8 ⫽ 10 2

2

CB · CD ⫽ 6 ; CD ⫽ 3,6 冦 CB · BD ⫽ 8 ; BD ⫽ 6,4 冧 2 2

AD 2 ⫽ CD · DB

AD ⫽ 4,8

Por semejanza: EDA ⬇ DAC, se tiene AD ED EA 4,8 ED EA ⫽ ⫽ ⫽ ⫽ AC DA DC 6 4,8 3,6 ED ⫽ 3,84; EA ⫽ 2,88

DC ⫽ DE ⫺ CE ⫽ 兹AE 2 ⫺ AD 3 ⫺ 兹BE 2 ⫺ BC 2 DC ⫽ 兹542 ⫺ 272 ⫺ 兹362 ⫺ 182 ⬇ 15,59 El perı´metro es:

p ⫽ DA ⫹ AB ⫹ BE ⫹ CD ⬇ 27 ⫹ 18 ⫹ 18 ⫹ 15,59 de valor aproximado 78,59 m.

El perı´metro es: P ⫽ AC ⫹ CD ⫹ DE ⫹ EA ⫽ 16,32 m (AC ⫹ ED ) · AE El a´rea es: S ⫽ ⬇ 14,17 m2 2

Actividades de ampliacio ´n

Gauss 4.o ESO - Opcio´n B

´N PROPUESTAS DE EVALUACIO

6

La semejanza en el plano

CRITERIOS

ACTIVIDADES

A. Reconocer figuras semejantes y calcular la razo´n de semejanza entre sus magnitudes: lados, perı´metros y ´areas.

1. Calcula las medidas de los segmentos x, y, z en la siguiente figura. ¿Cua ´ntas soluciones hay? A x

y

B

F 2

E

4

z

y

x

C

6

D

2. Las diagonales de un rombo miden 12 y 16 cm, respectivamente. Halla el ´area de otro rombo semejante de 100 cm de perı´metro. B. Conocer el teorema de Tales y aplicarlo para representar puntos que determinan segmentos de razones dadas.

3. Dibuja sobre una recta 4 puntos A, B, C y D de modo que se verifiquen las AB AD siguientes razones: ⫽2y ⫽ 5. ¿Que´ teorema utilizas para hacerlo? AC CB

C. Aplicar los criterios de semejanza de tria ´ngulos en la resolucio´n de problemas.

4. Para determinar la altura de un objeto, una persona de 1,70 m de altura situ ´a un espejo en el suelo entre ella y el objeto, de forma que todos ellos, objeto, espejo y persona, quedan en un mismo plano. Si el espejo dista 10 m del objeto y 2 m de la persona, ¿que´ altura tiene el objeto?

D. Conocer los teoremas relativos a los tria ´ngulos recta´ngulos y aplicarlos para resolver problemas.

5. En el tria ´ngulo recta ´ngulo de la figura, calcula el cateto b, la altura h, correspondiente al ve´rtice A, y el a´rea.

a

b

h 27

12

E. Conocer los teoremas relativos a los tria ´ngulos cualesquiera y aplicarlos en la solucio´n de problemas.

6. Calcula el lado b y la altura h del tria´ngulo de la figura. ¿Se trata de un tria ´ngulo recta ´ngulo? A b C

F. Resolver problemas geome´tricos en los que incida la semejanza.

5

h

10

2 B

7. La buhardilla de una casa es el trapecio ABCD de la figura. Se desea colocar el marco de una ventana DEFG rectangular de 18 metros de perı´metro. Halla las dimensiones del marco. C G 3m

B y

D

Gauss 4.o ESO - Opcio´n B

F

x

E 4,5 m

Propuestas de evaluacio ´n

1,5 m

A

SOLUCIONES 1.

4.

Por el teorema de Tales:

y 2 ⫽ 4 6

y⫽3

Si AP es la persona, BO el objeto, E el espejo, pi ⫽ rp . O

Por la semejanza de los tria ´ngulos EDF y ECA:

x x⫹z ⫽ 4 10

z⫽

3x 2

P 1,7 i A 2E

Para cada valor de x se obtiene un valor de z. Hay infinitas soluciones.

2.

冧

BO EB ⫽ AP AE BO 10 ⫽ 1,70 2 El objeto mide 8,50 m.

D⬘ ⫽ k · D ⫽ 8k d⬘ ⫽ k · d ⫽ 6k

冧

cm 冦 Dd⬘⫽20 ⬘⫽15 cm

k ⫽ 2,5

5.

BO ⫽ 8,50

Se aplica el teorema de la altura para hallar h :

h 2 ⫽ 12 · 27; h ⫽ 18 La altura h mide 18 cm. Se aplica el teorema de Pita ´goras al tria ´ngulo AHB: 2 2 c ⫽ 兹18 ⫹ 12 ⬇ 21,63 b ⫽ 兹182 ⫹ 272 ⬇ 32,45

S ⫽ 2D⬘d⬘ ⫽ 600 cm2

3.

B

10

Por la semejanza de los tria ´ngulos EAP y EBO, podemos escribir:

Sean D ⫽ 8, d ⫽ 6 las semidiagonales del rombo dado, D⬘ y d⬘ las del rombo semejante, x su lado, k la razo´n de semejanza, y S el ´area pedida. Se tiene:

x ⫽ 兹D⬘2 ⫹ d⬘2 ⫽10k 4x ⫽100 40k ⫽100

r

Dibujamos una recta, r, y marcamos en ella un punto, A. Por este punto, trazamos otra recta, r⬘. r'

El cateto b mide 32,45 cm.

A

´ rea: S ⫽ (12 ⫹ 27)18 ⫽ 351 A 2

r

El a´rea mide 351 cm2. Sobre r⬘ llevamos 5 segmentos de igual longitud u, y en ella los puntos C⬘, B⬘ y D⬘. Trazando tres paralelas por C⬘, B⬘ y D⬘ se obtienen los puntos C, B y D, que cumplen con las condiciones del problema. u

6.

b 2 ⫽ 122 ⫹ 52 ⫺ 2 · 12 · 10; b ⫽ 11 El lado b mide 11 cm. Teorema de Pita ´goras: h ⫽ 兹52 ⫺ 22 ⫽ 兹21

D'

u C'

u A

C

u

B'

El tria ´ngulo no es recta ´ngulo: 112 ⫹ 52 ⬆ 122

u

7. B

D

AD AB ⫽ AD⬘ C⬘B⬘

Por tanto:

AC AB ⫽ u 2u AD CB ⫽ 5u u

Sean x e y las dimensiones del marco. ´goras: El lado CB se calcula por el teorema de Pita

Efectivamente, aplicando el teorema de Tales:

AC AB ⫽ AC⬘ AB⬘

Se aplica el teorema del cateto:

冧 冧 AB ⫽2 AC AD ⫽5 CB

Propuestas de evaluacio ´n

CB ⫽ 兹(3 ⫺ 1,5)2 ⫹ 4,52 ⬇ 4,74 ABCD y EFCD son semejantes, luego sus bases son proporcionales: BA FE 1,5 y ⫽ ; ⫽ ; y ⫽ 兹4,5 ⬇ 2,12 FE CD y 3 De la condicio´n del perı´metro: 2x ⫹ 2y ⫽ 18; x ⬇ 6,88 Las dimensiones del marco son: 2,12 m y 6,88 m

Gauss 4.o ESO - Opcio´n B

ACTIVIDADES DE REFUERZO

6

La semejanza en el plano

1.

Dibuja sobre una recta tres puntos A, B y C, de forma que los segmentos AB y AC tengan una razo´n igual a 3 . ¿En que´ teorema te basas para la construccio´n? 2

2.

Un padre y su hijo contemplan una torre de 45 metros de altura. El padre tiene una altura de 1,80 m y proyecta una sombra de 50 cm. El hijo proyecta una sombra de 30 cm. Se pide: a) ¿Que´ altura tiene el hijo? b) ¿Cua ´nto mide la sombra que proyecta la torre en ese momento del dı´a?

3.

Se ha hecho una fotocopia, reducida al 40 %, de un plano en el que aparece dibujado un recta ´ngulo. Como el dibujo aparece muy pequen ˜o, se ha hecho una ampliacio´n de la fotocopia del plano al 150 %, de modo que en ella los lados del recta ´ngulo miden 3 cm y 4 cm. Calcula el ´area del recta ´ngulo original que aparece en el plano.

4.

En un papel rectangular de 90 ⫻ 60 centı´metros se dibuja un recta ´ngulo semejante al contorno del papel y centrado respecto a los lados, cuya ´area es de 2 400 cm2. ¿A que´ distancia de los bordes del papel quedan los lados del recta ´ngulo?

5.

Las bases de un trapecio iso´sceles miden 18 cm y 30 cm, y la altura, 6 cm. Calcula la altura del tria ´ngulo que tiene como lados la base menor del trapecio y las prolongaciones de sus lados no paralelos.

6.

La base de un tria ´ngulo iso´sceles mide 6 cm, y la altura correspondiente a uno de los lados iguales mide 4 cm. Halla el ´area del tria ´ngulo y el ´area de otro semejante tal que la razo´n de semejanza respecto del anterior sea de 1,2.

7.

La figura muestra parte de la estructura del entramado de la nave de una fa ´brica. Con las medidas que se dan, en metros, determina la altura x de la misma. D E x 18

A

8.

25 B 25 C 20

20

Para medir la capacidad de un pozo cilı´ndrico, un agricultor introduce un palo recto de 9,5 m de largo, segu ´n se indica en la figura, de forma que la parte CD que sobresale mide 1,5 m, y el extremo del palo, D, esta´ situado a 1 m del suelo. Calcula cua ´ntos litros es capaz de almacenar el pozo. E 1,5 1 C D 8

h A

Gauss 4.o ESO - Opcio´n B

B

Actividades de refuerzo

SOLUCIONES 1.

Dibujamos r y r⬘. Trazamos sobre r⬘ AB⬘ ⫽ 3 y AC⬘ ⫽ 2. Las paralelas, por B⬘ y C⬘, cortan a r en B y C, respectivamente. Por el teorema de Tales, se tiene:

AB AC ⫽ AB⬘ AC⬘

2.

u u

C

r

a A C'

AB AC ⫽ 3 2

Sean P, H y T las alturas del padre, el hijo y la torre, respectivamente, y SP, SH y S T las longitudes de sus respectivas sombras, en centı´metros. Por semejanza:

5.

r' u B'

B

u

AB 3 ⫽ AC 2

P

6. H

SP

SH

T ST

4.

Aplicando el teorema de Pita ´goras al tria ´ngulo recta ´ngulo DAB: AD ⫽ 兹x 2 ⫺ 9 . El a´rea S del tria´ngulo puede calcularse de dos formas:

E

A

x

E C

4 3

D

B

AC · BE CB · AD ⫽ 2 2 2x ⫽ 3兹x 2 ⫺ 9 x ⫽ 兹16,2 ⫽ 4,02 cm S⫽

P H T 180 H 4 500 ⫽ ⫽ ⫽ ⫽ SP SH ST 50 30 ST H ⫽ 108 cm; S T ⫽ 1 250 cm

3.

B Los tria ´ngulos recta ´nC gulos AEB y DEC esta ´n 15 en posicio´n de Tales. Se 9D A x AB AE 6 tiene: ⫽ CD DE 15 6⫹x ⫽ 9 x x ⫽ 9 cm, que es la medida de la altura.

4,02 · 4 ⫽ 8,05 cm2. El a´rea del 2 otro tria ´ngulo es: S⬘ ⫽ 8,05 · 1,22 ⫽ 11,59 cm2

Su ´area vale S ⫽ Sean L y L⬘ las longitudes, en centı´metros, del objeto original y de la ´ultima fotocopia, y S y S⬘ sus respectivas superficies. Se tiene: L S ⫽ 0,4 · 1,5 ⫽ 0,6; ⫽ 0,62 ⫽ 0,36 L⬘ S⬘ S ⫽ 0,36 S ⫽ 4,32 cm2 12 Sean S y S⬘ las superficies de la hoja de papel y del recta ´ngulo, respectivamente. Su raa' zo´n es: a S 90 · 60 ⫽ ⫽ 2,25, por tanto: S⬘ 2 400 a b ⫽ ⫽ 兹2,25 ⫽ 1,5 a⬘ b⬘ a⬘ ⫽ 60 cm; b⬘ ⫽ 40 cm. Al estar centrados, las separaciones son: a ⫺ a⬘ b ⫺ b⬘ ⫽ 15 cm; ⫽ 10 cm 2 2

Actividades de refuerzo

b

7.

Tomando los tria ´ngulos ACD y ABE, semejantes, por estar en posicio´n de Tales, se puede escribir:

CD AC ⫽ EB AB x ⫽ 28 m

b'

8.

D E

x

18

A

x 70 ⫽ 18 45

20 + 25

B

25

C

Los tria´ngulos recta ´ngulos ABC y CDE son semejantes. Si h es la profundidad del pozo, se tiene: h 8 ⫽ h ⫽ 5,33 m 1 1,5 El dia ´metro del pozo es: AB ⫽

2 2 兹8 ⫺ h ⫽ 5,96 m

El volumen es: AB 2 V⫽␲· · h ⫽ 148,624 m3 ⫽ 148 624 litros 2

冢 冣

Gauss 4.o ESO - Opcio´n B