GEOMETRÍA

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Semejanza en el plano y en el espacio COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática • Utilizar sistemas convencionales de representa­ ción espacial (maquetas, planos, mapas…), y elegir el más adecuado para la obtención, la interpretación, la comprensión, la elaboración y la comunicación de informaciones relativas al espacio físico, y para la resolución de problemas diversos de orientación y representación que puedan aplicarse en situaciones reales. Competencia cultural y artística • Comprender obras artísticas (mensaje, contex­ tos, elementos característicos...). Tratamiento de la información y competencia digital • Utilizar recursos digitales para representar cuer­ pos y figuras geométricas.

CONTENIDOS 1. Figuras y cuerpos semejantes 2. Construcción de figuras y cuerpos semejantes 2.1. Homotecia 2.2. Semejanza

3. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes

3.1. Mapas y planos

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PREPARACIÓN DE LA UNIDAD • El área de un cuerpo geométrico es la medida de la super­ ficie que lo delimita. • El volumen de un cuerpo geométrico es la medida del espacio que ocupa. CUERPO Prisma

La cartografía es la ciencia que se encarga del estudio y de la elaboración de los mapas y cartas náuticas, reproduciendo en una superficie plana la superficie terrestre. Si la escala de un mapa es 1: 300 000. a) ¿Qué distancia real separa dos ciudades que en el mapa distan 3 cm? b) Si la escala del mapa fuera 1: 500 000, ¿cuál sería la distancia anterior?

ÁREA

VOLUMEN

Atotal = Alateral + 2 · Abase

V = Abase ⋅ h

Pirámide

Atotal = Alateral + Abase

Cilindro

Atotal = 2 p r ⋅ (g + r)

Cono

Atotal = p r ⋅(g + r)

Esfera

Aesfera = 4 p r 2

V =

Abase ⋅ h 3

V = Abase ⋅ h Abase ⋅ h 3 4 3 V = πr 3

V =

• Una transformación isométrica o movimiento es aquella en que la figura transformada conserva las distancias de la figura original. • Los movimientos en el plano son tres: la traslación, la simetría (central y axial) y el giro. Semejanza en el plano y en el espacio

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1.  Figuras y cuerpos semejantes Observa las parejas de cuerpos y figuras que se representan a continuación.

RECUERDA El método de Tales o de radiación nos sirve para construir figuras semejantes. O

a C

D

B

A

b

c

Cada pareja está formada por dos figuras o cuerpos que tienen la misma forma pero distinto tamaño. Diremos entonces que los cuerpos o figuras de cada pareja son semejantes.

C′

Si ahora nos fijamos en dos figuras o cuerpos semejantes, es fácil comprobar que la distancia entre dos puntos cualesquiera de una de las figuras y la distancia de sus puntos homólogos en la otra son proporcionales. Esta proporcionalidad se denomina razón de semejanza k.

D′

A′ B′

Se denomina razón de semejanza, k, de dos cuerpos o figuras, a la razón de proporcionalidad entre sus distancias homólogas. A′ B ′ AB

EJEMPLO 1

Dadas las siguientes figuras, calcula su razón de semejanza: B′

2 cm

4 cm

3 cm

6 cm

9 cm

D

18 cm

C ′D ′

=

CD

= ... = k

Para calcular la razón de semejanza, tenemos que calcu­ lar el cociente entre las medidas de los lados homólogos.

C′

D′

ACTIVIDADES

BC

k =

A′

C

A

B ′C ′

12 cm

6 cm

B

=

A′B ′ B ′C ′ C ′D ′ D ′A′ = = = AB BC CD DA

AB = 2 cm ; BC = 4 cm ; CD = 6 cm ; DA = 3 cm

 A′B′ = 6 cm ; B′C′ = 12 cm ; C′D′ = 18 cm; D′A′ = 9 cm k =

6 12 18 9 = = = =3 2 4 6 3

1. Dibuja un pentágono semejante al de la figura: a) Mayor, con razón de semejanza: k =

5 . 2

6 cm 5 cm



1 b) Menor, con razón de semejanza k = . 2



— Un pentágono semejante al de la figura con razón k = 1, ¿será menor, mayor o igual que él?

2 cm

3 cm

2 cm

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Observa en la siguiente tabla las propiedades de las figuras y los cuerpos se­ mejantes: FIGURAS

DIBUJO

PROPIEDADES

Polígonos semejantes

Tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.

Círculos semejantes

Dos círculos son siempre semejantes.

Poliedros semejantes

Tienen las aristas proporcionales, las caras semejantes y los ángulos iguales.

Esferas semejantes

Dos esferas son siempre semejantes.

Conos y cilindros

Tienen los radios de las bases y las alturas proporcionales.



a) Dos rectángulos cualesquiera son semejantes.



b) Los polígonos regulares del mismo número de lados siem­ pre son semejantes.



c) Dos rombos, uno de 6 cm de lado y otro de 4 cm de lado, son semejantes.



d) Los poliedros regulares del mismo número de caras siem­ pre son semejantes.

Dos triángulos que tengan un ángulo igual y los lados que lo forman propor­ cionales son semejantes.

ACTIVIDADES

2. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

RECUERDA

3. Construye dos cuadrados cuyos lados midan 8 cm y 5 cm. ¿Son semejantes?

— ¿Cuál es su razón de semejanza?

4. El diámetro de la base de un cono mide 8 cm y su altura, 6 cm. Otro cono tiene una base de radio 12 cm y una ge­ neratriz que mide 20 cm. ¿Son semejantes ambos conos?

— ¿Qué medidas debería tener el segundo cono para que su razón de semejanza respecto al primero fuera k = 3? Semejanza en el plano y en el espacio

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2. Construcción de figuras y cuerpos semejantes FÍJATE En el apartado anterior hemos usado la palabra semejanza para definir una relación métrica entre dos figuras. En este apartado, utilizamos la misma palabra referida a una transformación isomórfica. No debes confundir ambos conceptos.

A continuación, estudiaremos dos métodos para construir figuras y cuerpos semejantes basados en transformaciones isomórficas. Son la homotecia y la semejanza.

2.1. Homotecia Veamos cómo transformar una figura en otra por una homotecia de centro O y 1 . razón k = 2 • Tomamos un punto arbitrario O al que denominaremos centro de homotecia, y trazamos semirrectas con origen en el punto O y que pasen por cada uno de los vértices de la figura dada. D C B E

O

A

• Sobre una de las semirrectas, por ejemplo la OA, marcamos un punto A′ de modo que se cumpla: OA′ 1 = OA 2 D C B E

O

A′

A

• Por el punto A′, trazamos una paralela al lado AB del triángulo hasta cortar la semirrecta OB en el punto B′. • Por el punto B′, trazamos una paralela al lado BC, hasta cortar la semirrecta OC en el punto C′, y así sucesivamente hasta obtener la nueva figura. D D′ C′ B′ O

C B E′

A′

E A

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Como puedes ver, los vértices homólogos de ambos polígonos están alineados respecto al centro de homotecia O y se cumple:

OA′ OB ′ OC ′ = = OA OB OC Una homotecia de centro O y razón k, k ≠ π 0, es una transformación geo­ métrica que transforma un punto A en otro A′ alineado con O y A, de modo que: OA′ k= OA

FÍJATE También podemos aplicar la homote­ cia para construir cuerpos o figuras semejantes en el espacio.

En función del valor de la razón k, tendremos los siguientes casos:

• k > 1 El tamaño de la figura transformada es mayor que el de la original. O

C′ C O

A

A′ B B′

• 0 < k < 1 El tamaño de la figura transformada es menor que el de la original. C C′ A′

O

A B′ B

• -1 < k < 0 El tamaño de la figura transformada es menor que el de la original. C

B′ A′

O A

C′

B

• k < -1 El tamaño de la figura transformada es mayor que el de la original. B′ C A′

O

A

ACTIVIDADES

B C′

5. D  ibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 2 cm de lado. A continuación, aplica una homotecia de centro O arbitrario y razón: a) k = 3 b) k = 0,5 c) k = - 2 Semejanza en el plano y en el espacio

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Cuando la razón de homotecia k es menor que 0, la figura semejante queda girada respecto a la original.

Determinación de una homotecia

En una homotecia se cumple:

Una homotecia queda determinada si conocemos los datos de uno de los siguientes casos:

• El único punto invariante en una homotecia es el centro de homotecia. • Las rectas que pasan por el centro de homotecia son rectas invariantes. • Las rectas que contienen segmentos homólogos son paralelas, y la razón de dichos segmentos coincide con la razón de homotecia.

a) El centro y la razón de homotecia (O y k = 2).

Si aplicamos la definición de homotecia a la figura de la derecha: k=2

k = A

O

A′

OA′ OB ′ = OA OB

Los triángulos OAB y O′A′B′ son semejan­ tes, ya que tienen un ángulo en común y tienen los lados proporcionales.

b) El centro y dos puntos homotéti­ cos (O, A y A′).

Así pues, se cumplirá que la razón entre los segmentos A′B′ y AB es: O

A

k =

A′

c) Dos figuras homotéticas (ABC y A′B′C′).

B′

ACTIVIDADES

A

A′ B ′ AB

A′

8. Halla el centro y la razón de la homotecia que transforma  

el triángulo ABC en el triángulo A′B′C′.

látero representado en esta figura: D O

C C′

A B

C B



 

A′

• Si la razón de una homotecia es k = -1, se trata de una simetría central.

6. Aplica una homotecia de centro O y razón k = 2 al cuadri­  

A

O

C′

C

• Una homotecia de razón k = 1 transforma cada punto en sí mismo. Esta ho­ motecia recibe el nombre de identidad.

B O

B

• Una homotecia conserva el sentido de las figuras.

C′ C

B′

7. Dibuja en tu cuaderno un cubo de 1 cm de arista. A conti­ nuación, aplica una homotecia de centro O arbitrario y razón k = 4.

B′ A

A′



 

9. Dibuja en unos ejes de coordenadas el cuadrilátero ABCD

de vértices A (-4, 2), B (4, 2), C (2, 4) D (-2, 4), y halla las coor­ denadas del cuadrilátero que resulta al aplicarle una homo1 tecia de centro O (6, 6) y razón k = − . 2

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2.2. Semejanza Otra transformación que nos permite obtener figuras semejantes es la semejanza. Observa la siguiente figura: C′ A′

A

e

C

B′

— El triángulo ABC se transforma en el triángulo A′B′C′ por una homotecia de centro O y razón k = 2. C″

B″

B

— E l triángulo A′B′C′ se transforma en el triángulo A′′B′′C′′ por una simetría axial de eje e. Puedes comprobar que los triángulos ABC y A′′B ′′C ′′ son semejantes.

O A″

La transformación que nos permite pasar directamente del triángulo ABC al triángulo A′′B ′′C′′ es una semejanza. Una semejanza es la transformación geométrica que se obtiene como com­ posición de una homotecia con un movimiento. En general, diremos que dos figuras que se correspondan en una semejanza son semejantes.

FÍJATE Una transformación isométrica, o mo­ vimiento, es aquella que conserva las distancias, como indica el término: iso (‘igual’), metron (‘medida’).

En una semejanza se cumple: • Los segmentos homólogos son proporcionales y su razón coincide con la razón de homotecia. En efecto, hemos visto que la razón entre dos segmentos homotéticos coincide con la razón de homotecia. Puesto que los movimientos conservan las longitudes de los segmentos, una semejanza transformará segmentos en segmentos proporcionales y la razón de semejanza coincidirá con la razón de homotecia. • Los ángulos homólogos son iguales. Puesto que las homotecias y los movimientos conservan los ángulos, en una semejanza se tendrá que los ángulos homólogos son iguales. • Si la razón de homotecia es k = 1, esta se reduce a la identidad, y la semejanza considerada es el movimiento que aplicamos. • Si el movimiento es la identidad, la semejanza considerada se reduce a una homotecia. • Una semejanza es directa o inversa según el movimiento aplicado. Diremos que una semejanza es directa si conserva el sentido de la figura; en caso con­ trario, es inversa.

Semejanza en el plano y en el espacio

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La siguiente tabla recoge los resultados de aplicar a una figura la composición sucesiva de dos transformaciones: FÍJATE Obtenemos el mismo resultado si aplicamos primero una homotecia y después un movimiento que si lo ha­ cemos al revés: en primer lugar, el movimiento y, posteriormente, la ho­ motecia.

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTO Y HOMOTECIA

COMPOSICIÓN DE HOMOTECIA Y MOVIMIENTO

traslación - homotecia

homotecia - traslación

A

A

A′

A″

A′

A″

O

@ Si accedes a la página http://concurso. c n i c e. m e c . e s / c n i c e 2 0 0 6 / m a t e rial098/geometria/geoweb/semej1. htm, podrás utilizar un applet para ex­ perimentar con figuras semejantes.

O

simetría - homotecia

A

homotecia - simetría

A′

A″

A

A′ O

O

giro - homotecia

A′

A

A″

homotecia - giro

A

A″

A″

A′

ACTIVIDADES

O

10. Aplica a la siguiente figura una traslación de vector

� v y, a

3 continuación, una homotecia de centro O y razón k = : 2

O

centro el vértice B y ángulo 60° y, a continuación, una homo­ tecia de centro el vértice A y razón k = 2.

D

A

C

C

B

D

12. Explica cómo obtendrás otra

v

vez la figura original a partir de la figura que has obtenido en la actividad anterior.

A



B

O

11. Aplica al cuadrilátero ABCD un giro en sentido positivo de 144 Unidad 6

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3. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes Conociendo la razón de semejanza de dos figuras o cuerpos semejantes y una longitud, área o volumen en una de las figuras, podremos calcular la longitud, el área o el volumen homólogos en la otra figura.

Longitudes

FÍJATE

Observa los polígonos semejantes de la de­ recha.

r′

Al hablar de longitudes medidas en una figura, nos referimos a cualquier longitud que podamos medir en una figura. Una de estas longitudes es el perímetro. Así pues, podemos afirmar que la razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a su razón de semejanza.

d′

Al ser semejantes, cualquier longitud medi­ da en una de las figuras es proporcional a la longitud homóloga en la otra. Esta propor­ cionalidad vendrá determinada por la razón de semejanza k.

ap′

Así pues, se verificará:

r

P′ =k P

d

ap′ r′ d′ = = = k ap r d

ap

Calcula la longitud del lado de la base, la altura y la apotema de una pirámide semejante a la de la figura, con razón de semejanza k = 3. ap = 5 cm h = 4 cm

b = 6 cm

La razón entre las longitudes caracte­ rísticas de las dos pirámides semejan­ tes será: h′ b′ ap′ = = =k h b ap

perímetro del mayor de ellos es de 180 cm, ¿cuánto mide el perímetro del menor? ¿Y los lados de cada hexágono?

h′ = k · h = 3 · 4 = 12 b′ = k · b = 3 · 6 = 18

ap′ = 15 cm h′ = 12 cm

ap′ = k · ap = 3 · 5 =15 La pirámide semejante tendrá una base de 18 cm de lado, una altura de 12 cm y una apotema de 15 cm, tal y como muestra la figura de la derecha.

b′ = 18 cm

ACTIVIDADES

1

13. Dos hexágonos tienen razón de semejanza k = . Si el 3

Así pues:

15. Halla el radio, la altura y la generatriz de un cono semejante al de la figura, 3 con razón de semejanza k = . 5

h = 5 dm

EJEMPLO 2

La razón entre dos longitudes homólogas de dos cuerpos o figuras se­ mejantes es igual a su razón de semejanza.

14. ¿Cuánto mide el diámetro de una circunferencia semejan­ te a otra cuyo perímetro es 49,98 cm y la razón de seme­ janza k = 5?

d = 2 dm

Semejanza en el plano y en el espacio

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Áreas de cuerpos semejantes Observa los dos pentágonos regulares de la izquierda con razón de semejanza k. Al ser semejantes, el perímetro y la apotema son proporcionales, y su razón de proporcionalidad es k. Así, podemos escribir: P′ =k P

ap

;

ap′ =k ap

Calculamos ahora el área de cada una de las figuras y efectuamos la razón entre ellas.

A′ =

P ′ ⋅ ap ′ 2

;

A =

P ⋅ ap 2

P ′ ⋅ ap ′ k ⋅ P ⋅ k ⋅ ap A′ 2 2 = = k2 = P ⋅ ap P ⋅ ap A 2 2

ap

Este resultado es aplicable a cualquier par de cuerpos semejantes.

Calcula el área de una esfera semejante a otra cuyo radio 5 . mide 6 cm y la razón de semejanza es k = 3 El área de la esfera de radio 6 cm es:

ACTIVIDADES

A = 4 ⋅ π ⋅ r 2 = 4 ⋅ π ⋅ 62 = 452, 4

16. La razón de las áreas de dos polígonos ­semejantes es 49 . ¿Cuál es la razón de s­ emejanza de los polígonos? 144

17. Contesta a las siguientes preguntas: a) Si triplicamos los lados de un trapecio, ¿en cuánto au­ menta su área?

La relación entre las áreas de dos esferas semejantes es: 2

A′ 5 = k 2 ⇒ A′ = k 2 ⋅ A =   ⋅ 452, 2 = 1 256,1 A 3 El área de la esfera semejante será de 1 256,1 cm2.

18. Los perímetros de dos polígonos semejantes miden 60 cm

y 150 cm. Si el área del menor es de 80 cm2, ¿cuánto medi­ rá el área del mayor?

19. Calcula el área de una pirámide se­ mejante a la de la figura con razón 5 de semejanza k = . 2

h = 15 cm

EJEMPLO 3

La razón entre las áreas de dos cuerpos o figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

b) ¿En cuánto tenemos que dividir el radio de una esfera para que su área sea 144 veces menor? 8 cm

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Volúmenes de cuerpos semejantes Observa los dos prismas de la derecha. Ambos son semejantes y su razón de semejanza es k. Al ser semejantes, dos longitudes homólogas (lados, altura...) son proporcionales y sus bases son polígonos semejantes. h

Calculamos sus volúmenes: V = Abase · h ; V ′ = A′base · h′ Al ser cuerpos semejantes: A′ base h′ = k2 ; =k Abase h h′

Si ahora calculamos la razón entre sus volúmenes: V ′ A′ base ⋅ h′ k 2 ⋅ Abase ⋅ k ⋅ h = = = k3 V Abase ⋅ h Abase ⋅ h La razón entre los volúmenes es k 3 y coincide con el cubo de la razón de seme­ janza.

Halla el volumen de un cilindro semejante a otro de radio 4 cm, altura 6 cm y con razón de semejanza k =

1 . 2

Para calcular el volumen del nuevo cilindro, aplicamos la definición de volúmenes de cuerpos semejantes. 3

Aplicamos la fórmula para calcular el volumen de un cilindro.

V′  1 = k 3 ⇒ V ′ = k 3 ⋅ V =   ⋅ 301, 6 = 37, 7  2 V

V = Abase · h = p r 2 · h = p · 42 · 6 = 301,6

El volumen del cilindro es de 37,7 cm3.

tagonal, uno de los cuales tiene un volumen de 2324,7 cm3 y el otro tiene una base cuyos lados miden 6 cm; la apote­ ma, 4,1 cm, y la altura es de 7 cm.

21. El volumen de una esfera es de 904,78 dm3. Calcula el vo­ lumen y el radio de una esfera semejante a esta, con razón 7 de semejanza k = . 6

ACTIVIDADES

20. Calcula la razón de semejanza de dos prismas de base pen­

22. Las medidas de un ortoedro son 3 cm × 5 cm × 8 cm. ¿Qué medidas tendrá un ortoedro semejante a este cuyo volu­ men sea de 25 920 cm3?

23. Calcula el volumen de la pirámide de la figura y, a continuación, halla el volumen y las medidas de otra pirámide semejante a esta con razón de semejanza k = 3.

6c

h = 12 cm

EJEMPLO 4

La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza.

m

6 cm

Semejanza en el plano y en el espacio

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3.1.  Mapas y planos El concepto de semejanza se utiliza constantemente para representar sobre un papel objetos demasiado grandes o demasiado pequeños. Un ejemplo de estas representaciones son los mapas y los planos que son re­ presentaciones gráficas de un territorio, una ciudad, una red de carreteras, un edificio...

0

Escala 1 : 200

20 km

Las dimensiones de los mapas y de los planos son proporcionales al territorio u objeto que representan. Así pues, los segmentos que unen dos puntos cuales­ quiera del mapa y sus correspondientes puntos en la realidad son proporcionales. La constante de proporcionalidad viene definida por la escala del mapa. La razón entre una longitud medida en un plano o un mapa y la longitud homóloga medida sobre el objeto real es la escala del mapa o el plano. @ Si accedes a la página http://www2. ign.es/signa, encontrarás el Mapa To­ pográfico Nacional de España y lo po­ drás visualizar a diferentes escalas.

La escala a la que se ha reproducido el dibujo se indica al pie y se expresa me­ diante un cociente cuyo dividendo es la unidad. Así, la escala 1 : 50 significa que 1 unidad de longitud del dibujo representa 50 de estas mismas unidades en la realidad. A menudo, en mapas y planos, la escala se in­ dica de forma gráfica tal y como se muestra a la derecha.

ACTIVIDADES

En este caso, se indica que un segmento del dibujo de longitud igual a la repre­ sentada mide en la realidad 500 km.

24. La escala de un mapa es 1 : 250 000.

25. Observa el siguiente plano:

a) ¿Cuál es la distancia real de dos localidades que en el mapa están separadas 5 cm?

a) ¿Cuál es su escala?

b) ¿A qué distancia estarán en el mapa dos poblaciones que en la realidad distan 15 km? — ¿Qué escala tendrá un mapa en el que dos ciudades que en la realidad distan 50 km están separadas por 8 cm?

2

9m

b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene el piso en total? c) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la habitación B? d) D ibuja la escala gráfica del mapa.

B

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ACTIVIDADES RESUELTAS A

Calcula la escala aproximada del plano de la figura.

B

Dado el triángulo ABC, inscribe un cuadrado DEFG con un lado sobre la base AB.

C

B

A

Comprensión del enunciado

Comprensión del enunciado

El enunciado del problema no contiene ningún dato. Así pues, ten­ dremos que extraer los datos de la figura de una forma aproximada.

Lee atentamente el enunciado e imagina la posible solución del problema.

Planificación de la resolución

Planificación de la resolución

Para saber la escala, debemos conocer la medida real y la medida en el plano de los objetos representados.

— Existen muchos cuadrados con un lado sobre la base AB. Cons­ truimos uno cualquiera D′E′F′G′ con el vértice G′ sobre el lado AC.

Hemos de centrar, pues, la atención en un objeto del que conozca­ mos sus medidas reales, por ejemplo la cama porque es un objeto cuya longitud real es aproximadamente de unos 2 m.

Ejecución del plan de resolución Longitud de la cama en el plano: 8 mm. Expresamos los 2 m de la medida real en milímetros y calculamos la escala. longitud en el plano 8 mm 1 Escala = = = longitud real 2 00 00 mm 250

—  E l vértice F′ no se encuentra C F sobre el lado BC. Pero ob­ F′ G′ serva que si consideramos una homotecia de centro el vértice A y hallamos el A D′ E′ transformado del punto F′ sobre el lado BC, obtendremos la solución del problema.

B

Ejecución del plan de resolución Procedemos tal y como lo hemos planificado, y determinamos F, el vértice homotético de F ′sobre el lado BC.

Así pues, la escala es 1 : 250.

C

Obtenemos el segmento EF, que es el lado del cuadrado DEFG, solución del problema.

Revisión del resultado

G

A

Comprobamos el resultado midiendo la anchura de una puerta en el plano, y verificando que coincide con la anchura real.

D

F

E

B

Revisión del resultado Comprobamos que, efectivamente, el cuadrado construido cumple las condiciones del enunciado.

a) Calcula las dimensiones de la habita­ ción A. b) Averigua la superficie de la cocina.

27. Dadas dos rectas secantes r y s, A

traza por el punto A una recta que concurra con r y s en el pun­ to de corte, que se encuentra fuera de los límites del papel.

s A

r

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ACTIVIDADES

26. A partir del siguiente plano:

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SÍNTESIS • Homotecia

3

• Semejanza

dos métodos para construir

Figuras y cuerpos semejantes

1

una de las aplicaciones

Mapas y planos

matemáticamente están relacionadas mediante

Razón de semejanza

2

Las medidas que se relacionan mediante la razón de semejanza son

5 • Longitudes

4

• Áreas La razón de proporcionalidad entre el mapa y el plano con la realidad se llama

6

Escala

1 Dos figuras o cuerpos son semejantes si tienen la mis­

4 Relación de longitudes, áreas y volúmenes homólogos

ma forma aunque el tamaño sea distinto.

2 L  lamamos razón de semejanza k de dos figuras o cuer­

pos semejantes a la razón de proporcionalidad entre sus distancias homólogas.





3 Dos métodos para construir figuras semejantes son la

homotecia y la semejanza.

— Una homotecia de centro O y razón k, k ≠ 0, es una transformación geométrica que transforma un punto A en otro A′ alineado con O y A, de modo que:



OA′ k = OA

— Una semejanza es la transformación geométrica que se obtiene como composición de una homotecia con un mo­­vimiento.

• Volúmenes



en figuras semejantes. — La razón entre dos longitudes homólogas de dos figuras o cuerpos semejantes es igual a la razón de semejanza. — La razón entre las áreas de dos figuras o cuerpos se­ mejantes es igual al cuadrado de la razón de seme­ janza. — La razón entre los volúmenes de dos cuerpos seme­ jantes es igual al cubo de la razón de semejanza.

5 Los mapas y los planos son representaciones gráficas

de un territorio, una ciudad, una red de carreteras, un edificio...

6 La razón entre una longitud medida sobre un mapa o

plano y la longitud homóloga medida sobre el objeto real es la escala del mapa o del plano. La escala puede expresarse mediante un cociente o de forma gráfica.

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28. Halla la medida representada por x en la siguiente estructura R de madera:

Construcción de figuras y cuerpos semejantes 32. En una homotecia de centro O (–2, 2), el punto A (1, 2) se transforma en el punto A′ (4, 2). Halla la razón de homotecia y los transformados de los puntos B (–2, 0) y C (–2, 3). y al triángulo obtenido una homotecia de centro O′ y razón k′ = -1,5. ¿Qué transformación permite pasar del triángulo inicial al triángulo final?

4

1,9 m

33. Aplica al triángulo ABC una homotecia de centro O y razón k = 2 m

x

ACTIVIDADES

Figuras y cuerpos semejantes

6

C O′ O

6m



A

29. Los triángulos ABC y A′B′C′ son semejantes.

B

34. ¿Son homotéticos los triángulos rectángulos isósceles ABC y A′B′C′ de esta figura?

C′

C

C x+3

x



A x + 1,5

B

A′

12 cm

B′

Halla cuánto miden los lados de cada uno de los triángulos si x representa una longitud expresada en centímetros.

30. Considera los dos hexágonos regulares representados a con­

A



simetría respecto al eje e y, a con­ tinuación, una homotecia de cen­ tro O (-1, 0) y razón k = 3. ¿Qué nombre recibe esta composición?

D E′ C

F

A

B

D′ C′

F′ A′

B′

a) ¿Cuánto miden los ángulos de los dos polígonos? b) Calcula la razón de dos lados homólogos. ¿Obtienes el mis­ mo valor si escoges otro par de lados homólogos?

31. Un prisma de base un hexágono regular tiene una altura el doble de los lados de la base. ­Sabiendo que un prisma seme5 mide 15 dm de jante a este con razón de semejanza k = 3 altura, halla las medidas del prisma inicial.

B

C′

35. Aplica a la siguiente figura una

R tinuación.

E

A′

B′

Ye 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4

1 2 3 4

X

Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes 36. Dos triángulos equiláteros son semejantes con razón de semejanza k = 2. Si la altura del ­triángulo menor es ­¿cuál es el perímetro del triángulo mayor?

5 3 cm, 2

37. Las longitudes de las diagonales de un rombo son 4 cm y 8 cm



y 8 cm. Calcula cuánto medirán los lados, el perímetro y el área de un rombo semejante al anterior, con razón de semejanza 7 k = . 2 Semejanza en el plano y en el espacio

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38. Calcula mentalmente para responder a estas preguntas: a) El perímetro de un pentágono mide 45 cm. ¿Cuál es el pe­ rímetro de un pentágono semejante a este con razón de 1 semejanza k = ? 5 b) El área de un rectángulo es de 92 cm 2 y el área de otro semejante a este es de 26 cm2. ¿Cuál es la razón de seme­ janza entre ambos rectángulos?

39. Dos pirámides de base cuadrangular son semejantes y su ra zón de semejanza es k =

44. Construye dos segmentos homotéticos de centro O y razón k = 3. ¿Cómo son dichos segmentos?

— Comprueba gráficamente que cualquier par de segmentos paralelos es homotético.

45. Un jardín tiene dos zonas triangu­ lares con césped y una zona rec­ tangular con grava. Observa la figura y halla el área de cada una de las zonas.

16 m 10 m

ACTIVIDADES

6

12 . 9

Calcula sus medidas, sus áreas y sus volúmenes, sabiendo que el área de la base de la pequeña es de 27 cm2 y la apotema de la grande mide 8,54 cm.

40. Resuelve las siguientes cuestiones:

12 m

46. Halla el radio y la generatriz del cono de la siguiente figura:

8 cm

5 cm

a) La distancia entre dos ciudades es de 750 km. Si la distancia que hay entre ellas en un mapa es de 15 cm, ¿cuál es la escala del mapa? b) ¿Cuál es la distancia real que separa dos ciudades si en un mapa a escala 1 : 1 000 000 la distancia entre ellas es de 8 cm?  c) En un plano a escala 1 : 100 la superficie de una habitación es de 9 cm2. ¿Cuál es la superficie real de la habitación?

3 cm

47. La maqueta de una furgoneta a escala 1 : 43 mide 10,5 cm de largo, 5 cm de ancho y 4,5 cm de alto. ¿Qué medidas tendrá la furgoneta a escala real?

Problemas 41. Construye dos hexágonos regulares cuyos lados midan 1,5 cm R y 5 cm.

— Halla las medidas de una maqueta de la misma furgoneta a escala 1 : 18.

48. A partir de este mapa, averigua la distancia que hay entre las ciudades representadas por los puntos A, B, C, D y E.

a) ¿Cuál es la razón de semejanza? A

b) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ¿Y entre sus áreas?

D C

42. Las medidas de las bases de un trapecio son 8 cm y 4 cm, y R su altura es de 3 cm. ¿Cuánto miden los lados, el perímetro y el área de un trapecio semejante a este, con razón de seme­ janza k = 4?

E B 0

50 km

43. Construye un rectángulo de 5 cm de base y 3 cm de altura.



Con­siderando como centro de homotecia el centro del rec1 tángulo, construye uno homotético de razón k = y otro 2 de ­razón k = 3. ¿Son homotéticos, a su vez, los dos rectángulos que has obtenido? ¿Cuál es su razón de homotecia?

49. En grupos de 3 o 4 miembros, dibujad la fachada de vuestro centro escolar escogiendo la escala que consideréis más ade­ cuada: 1 : 200 o 1 : 500.

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56. Aplica al cuadrado una homotecia de

A

50. Un cono tiene una altura de 20 cm. Calcula a qué distancia de la base hay que cortarlo con un plano paralelo a esta para que el cono resultante tenga un volumen ocho veces más peque­ ño que el volumen del cono inicial.

51. Comprueba gráficamente que los segmentos A′B′ y A′′B′′, homotéticos del segmento AB, obtenidos mediante homote1 y cias de centros O 1 y O 2 y razones de homotecia k1 = 2 1 k2 = son a su vez homotéticos con una homotecia de cen3 tro un punto O 3 alineado con O 1 y O 2.

centro O (0, 1) y, a continuación, una traslación de 2 unidades siguiendo el sentido positivo del eje de ordenadas. ¿Cómo volverías a obtener la figura original con una única homotecia? Calcula el centro y la razón.





57. Tres círculos son semejantes con razón de semejanza entre 1 círculos consecutivos k = . 3





B

ACTIVIDADES

Más a fondo

6

Calcula sus radios sabiendo que, al colocarlos como en la fi­ gura, la distancia AB mide 78 cm.

B′ A A′

B′′

58. Estos rectángulos son semejantes:

A′′

x +5 2

52. Halla el volumen encerrado entre estas dos esferas si su razón de semejanza es 3 : k = 4

m

a) ¿Cuál será la escala del plano fotocopiado si hacemos una ampliación del 125 %? b) Si ahora reducimos la fotocopia al 40 %, ¿cuál será la nueva escala del plano?

2x – 3

4x+ 3 2

R = 16 c

53. Fotocopiamos el plano de una casa cuya escala es 1 : 200.

x–2

 Calcula cuánto miden los lados de cada uno de ellos si x re­ presenta una longitud en centímetros y la razón entre áreas 49 es . 4

59. Observa la siguiente figura: 

c) ¿Qué área tendrá en el plano original y en los fotocopiados una habitación cuadrada cuya área real es de 9 m2? 

54. Los fractales son estructuras formadas a partir de la semejan­ za y la homotecia. Dos de los más sencillos son la curva de Koch y el triángulo de Sierpinsky. Busca en Internet sus representa­ ciones y las principales características. A partir de esta infor­ mación, intenta construir un fractal distinto.



55. Justifica si las siguientes afirmaciones son ciertas:

La razón de semejanza entre triángulos de tamaños consecu­ tivos es la misma y en cada triángulo el cateto mayor mide el doble que el menor. ¿Cuál es su razón de semejanza?

a) Si 1 < a < b, un plano a escala 1 : a ocupa menos que un plano a escala 1 : b.

60. La misma habitación de 2 × 3 m se ha dibujado en dos planos.

b) Si a > 1, a : 1 es una escala de ampliación.

En uno ocupa un área de 1,5 cm2 y la escala del otro es 1 : 350. ¿Cuál es la razón entre las escalas de los planos?

Semejanza en el plano y en el espacio

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ACTIVIDADES

COMPETENCIAS BÁSICAS 1. D  ada la figura en el plano: Si se aplica una homotecia de centro O = (0, 3) y razón k = 3, y posteriormente una traslación según el vector: a) Representa la nueva figura obtenida.

 



b) Calcula el incremento porcentual del área de la nueva figura obtenida respecto al área de la figura original.



c) Utiliza un programa informático para comprobar los resultados de los apartados anteriores.



2. T omando como referencia el sofá del plano, que en el papel mide 2 cm y en la realidad 2,5 m, responde a las siguientes preguntas: a) Determina la escala del plano en metros y, después en centí­ metros. b) Determina la superficie de la cocina y la superficie total del piso. c) ¿Qué escala debería tener el plano para que ocupara el doble en el papel?

3. I NVESTIGA @ Formad grupos para realizar un trabajo sobre la presencia de las figuras geométricas en la escultura y la pintura.

En los siguientes enlaces encontraréis referencias de pintores y escultores que han utilizado las formas geométricas en sus obras:

http://md21011.socialgo.com/magazine/read/la-geometra-en-la-pintura-y-la-escultura_77.html http://www.eduardo-chillida.com/index.php?id=153&tx_ttnews[cat]=29 http://wassilykandinsky.narod.ru/  http://www.spainselecta.com/index.htm?http://www.spainselecta.com/joan_miro.htm http://www.epdlp.com/pintor.php?id=203 Seguid estos pasos: • Búsqueda de información en Internet: imágenes y características de un mínimo de diez obras en las que destacan las figuras geométricas. • Elaboración de una ficha técnica para cada obra en la que consten los siguientes datos: autor y título de la obra, características y ubicación. • Cread una presentación con las imágenes obtenidas y las fichas elaboradas.

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5 Los triángulos que forman la figura

¿Cuánto miden los lados de un triángulo semejante cuyo perímetro es 364 cm?

son semejantes con razón de se5 mejanza k = . Halla el área de 3 la zona sombreada sabiendo que el área del triángulo mayor es 10,8 cm2.

2 La razón entre las apotemas de dos pentágonos es k = 3 . Si el área del mayor es 70,4 cm2, ¿cuál es el área 5 del menor?

3 A un triángulo cuyo perímetro mide 12 cm se le ha aplicado una simetría central de centro O y, a continuación, una ho­ motecia de centro el centro de simetría y razón de homote4 cia k = . ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo homo3 tético?

4 El volumen de un cubo es de 216 m3. Calcula las longitudes de las aristas, las superficies y el volumen de un cubo 1 semejante, con razón de semejanza k = . 3

6 Una sala rectangular mide 20 cm × 25 cm en un plano a escala 1 : 20. Calcula su área real utilizando dos procedi­ mientos distintos.

EVALUACIÓN

1 Los lados de un triángulo miden 12 cm, 18 cm y 22 cm.

7 Una figura es semejante a otra con razón de semejanza

k = 2 y, a su vez, esta es semejante a una tercera con razón 1 de semejanza k = . ¿Serán semejantes la prime3 ra y la tercera figura? ¿Cuál será su razón de semejanza?

Crónica matemática Descripción objetiva de las formas Las proyecciones y los sistemas de representación son técnicas para describir las formas de los objetos. Hay dos tipos de proyección: la cilíndrica y la central o ­cónica. En la cilíndrica, los rayos de proyección son paralelos entre sí. Pueden ser ortogonales al plano de proyección (­ cilíndrica ortogonal) o formar con él un ángulo no recto ­(cilíndrica oblicua). En la central o cónica, los rayos de ­proyección tienen origen en un punto V y forman distintos ángulos con el plano de proyección.

Los sistemas de representación que permiten tomar ­medidas sobre el dibujo y así obtener las dimensiones del objeto son el sistema diédrico y el sistema acotado. Ambos utilizan la proyección cilíndrica ortogonal en uno o más ­planos. Otros sistemas de representación, tales como la perspectiva cónica y la axonométrica, representan los objetos tal como los vería un observador desde una posición particular, pero no permiten tomar medidas sobre el dibujo.

V

rayo proyectante

rayo proyectante

A

rayo proyectante

A

C

C A

B

B

C B

A′

C′ B′ plano de proyección

A′

C′ B′ plano de proyección

A′

C′

B′plano de proyección

En el diédrico, se representan las proyecciones sobre tres planos ortogonales: el alzado, la planta y el perfil. Semejanza en el plano y en el espacio

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