´ UNIDAD DIDACTICA 2 Espacio y Forma

2.2

Rectas en el plano

Rectas en el plano Al igual que ocurre con el punto, en geometr´ıa intr´ınseca, el concepto de recta no tiene definici´on, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto de puntos alineados, pero inmediatamente surge la pregunta de que significa que varios puntos est´en alineados. . . y la ´unica respuesta posible, al menos en geometr´ıa intr´ınseca, es que son aquellos que se encuentren sobre una recta; lo cual cierra el c´ırculo vicioso y hace la definici´on inservible. Intuitivamente, la imagen de una recta es la de un hilo tenso, indefinidamente largo e infinitamente delgado. En la geometr´ıa anal´ıtica, se dispone del recurso de representar cada punto por sus coordenadas (x, y) respecto a un sistema de referencia fijado, y puede definirse una recta como el conjunto de puntos que cumplen cierta relaci´on entre ambas coordenadas. La clave est´a en elegir cu´al debe ser la relaci´on de manera que el resultado responda a nuestra idea intuitiva de recta.

RECTA

Una recta es el conjunto de todos los puntos, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen una ecuaci´on del tipo Ax + By + C = 0 donde A, B y C son n´umeros reales que identifican la recta. EJEMPLO 2.3

La ecuaci´on 2x − 3y − 3 = 0 es la ecuaci´on de una recta.

De acuerdo con la definici´on, un punto pertenece a una recta si, al sustituir x por la abscisa del punto e y por su ordenada, se satisface la ecuaci´on. EJEMPLO 2.4

a) El punto (1, 3) pertenece a la recta 4x − y − 1 = 0 por ser 4 · 1 − 3 − 1 = 0. b) El punto (2, 3) no pertenece a la recta, ya que 4 · 2 − 3 − 1 6= 0.

83

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recta x = −

Rectas en el plano

Antes de interpretar la definici´on, conviene distinguir dos casos para evitar ciertas anomal´ıas en los razonamientos (ver figura 2.5):

C A

1. Recta paralela al eje de ordenadas. Si B = 0, la ecuaci´on anterior se reduce a (0, 0)

−

x=−

C A

C A

es decir, el conjunto de puntos de abscisa constante, igual a − CA , que representa la recta paralela al eje de ordenadas, situada a distancia − CA del origen. −

C B

recta y = −

C B

2. Recta paralela al eje de abscisas. Si A = 0, la ecuaci´on anterior se reduce a y=−

C B

que representa el conjunto de puntos de ordenada constante, igual a − CB , es decir, la recta paralela al eje de abscisas situada a distancia − CB del origen.

(0, 0)

Figura 2.5: Rectas paralelas a los ejes de coordenadas.

EJEMPLO 2.5

a) La ecuaci´on 2x − 5 = 0 tiene B = 0 y es una recta vertical, es decir, paralela al eje de ordenadas, formada por 5 los puntos de abscisa constante x = . 2 b) La ecuaci´on 3y + 1 = 0 tiene A = 0 y es la recta horizontal, es decir, paralela al eje de abscisas, formada por 1 los puntos de ordenada fija y = − . 3

Cuando B 6= 0 la ecuaci´on se puede expresar A C y = − x− B B 84

´ UNIDAD DIDACTICA 2 Espacio y Forma

Rectas en el plano

que representa una recta del plano, no vertical. Si se hace a = − AB y b = − CB , resulta: ´ ECUACION

Las coordenadas (x, y) de los puntos de una recta, no paralela al eje de ordenadas, satisfacen la relaci´on

EXPL´ICITA DE LA

y = ax + b

RECTA

para alg´un par de n´umeros reales a y b, que identifican la recta. “algunos” puntos

Los puntos de una recta que tienen la abscisa o la ordenada igual a un valor dado, se obtienen mediante substituci´on en la ecuaci´on. Por ejemplo, si se considera la recta definida por y = 12 x + 4 pueden hallarse los puntos correspondientes a ciertos valores de la abscisa, sin m´as que calcular, mediante la ecuaci´on, el valor de sus ordenadas. As´ı, para x = 1, el valor de y es y = 12 ·1 + 4 = 4.5, de modo que el punto (1, 4.5) est´a sobre la recta. Repetido este c´alculo para diversos valores de x se obtienen, por ejemplo, los puntos de la recta que figuran en la tabla siguiente:

O

“todos” los puntos

x -12 -9 -6 -4 -3 0 1 5 8 10 11 y -2 -0.5 1 2 2.5 4 4.5 6.5 8 9 9.5

La representaci´on gr´afica de los puntos de la tabla, tal y como aparece en la figura 2.6, da una justificaci´on intuitiva de que la ecuaci´on representa una recta, pues la configuraci´on geom´etrica obtenida parece responder a la idea intuitiva de puntos alineados. Puede imaginarse que se representan todos los puntos de la recta, sea cual sea la abscisa, con la ordenada calculada a O partir de la expresi´on 12 x + 4. Se obtendr´ıa as´ı la gr´afica de la recta que est´a representada en la parte inferior de la figura 2.6. El resultado es similar cualquiera que sean las constantes a y b, si afica Figura 2.6: Representaci´on de bien la recta obtenida depende de los valores que toman estas constantes y su apariencia gr´ x var´ıa. Es decir, seg´un sean a y b, la recta es m´as o menos inclinada y corta al eje de ordenadas la recta y = + 4. 2 en un punto m´as o menos alejado del origen. M´as concretamente: 85

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PENDIENTE Y ORDENADA EN EL ORIGEN DE UNA RECTA

Rectas en el plano

La constante a se denomina pendiente de la recta e indica su inclinaci´on, puesto que expresa lo que crece, o decrece, la ordenada y de los puntos de la recta por cada unidad que aumente la abscisa x. La constante b representa la ordenada en el origen, en el sentido de que la recta de ecuaci´on y = ax + b pasa por el punto (0, b) y b es, por tanto, el nivel al cual la recta corta al eje de ordenadas.

(0, b)

( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

y = ax + b

( x1 , y1 )

y2 − y1 = a ( x2 − x1 ) > 0

(0, b) 1

x2 − x1

1

O

1

O

Recta con pendiente positiva a > 0.

x2 − x1

( x2 , y2 ) 1

y2 − y1 = a ( x2 − x1 ) < 0

y = ax + b

Recta con pendiente negativa a < 0.

Figura 2.7: Pendiente de una recta.

En la figura 2.7 se representa una recta con pendiente positiva, a la izquierda, y otra con pendiente negativa, a la derecha. Cuanto m´as grande sea |a|, m´as inclinada es la recta; mientras que valores de a pr´oximos a cero, corresponden a rectas casi horizontales. Adem´as el signo de a indica si la recta es creciente o decreciente; es decir si y aumenta o disminuye al aumentar x. Observamos que puesto que una recta queda geom´etricamente determinada por dos puntos, para trazar la gr´afica de una recta de ecuaci´on dada, basta determinar el valor de y para un x 6= 0 arbitrario, y unir (x, y) con (0, b). Las rectas y = 2x −1 e y = 5x −3 tienen pendientes positivas, a = 2 y a = 5 respectivamente. Ambas son crecientes pero, como la segunda pendiente es superior a la primera, la primera recta est´a menos inclinada hacia arriba. En cambio, la recta y = −3x + 2 tiene pendiente negativa y su inclinaci´on es hacia abajo. EJEMPLO 2.6

86

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Rectas en el plano

2.2.1 Ecuaci´on de la recta que pasa por dos puntos Dados dos puntos de coordenadas (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ), existe una ´unica recta que pasa por ambos. Podemos preguntarnos cu´al ser´a la ecuaci´on de dicha recta o, dicho en otros t´erminos, cu´al es la relaci´on que liga la ordenada y la abscisa de cualquier otro punto (x, y) alineado con los dos primeros. La respuesta es sencilla: se pretende buscar una ecuaci´on de la forma y = ax + b que se verifique para los valores (x1 , y1 ) y tambi´en para los valores (x2 , y2 ); debe ser pues  y2 = ax2 + b y1 = ax1 + b sistema de ecuaciones lineales que permite determinar a y b. Si se restan ambas ecuaciones resulta y2 − y1 = y2 − y1 a(x2 − x1 ), de donde a = y b = y1 − ax1. El c´alculo anterior supone impl´ıcitamente que x1 6= x2. Si x2 − x1 x1 = x2 la respuesta es todav´ıa m´as simple, puesto que la recta en cuesti´on es paralela al eje de ordenadas y su ecuaci´on es simplemente: x = x1. En definitiva: ´ DE LA ECUACION RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Si los dos puntos tienen abscisas distintas x1 6= x2 la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) es y2 − y1 y= (x − x1 ) + y1 . x2 − x1 Si los dos puntos tienen abscisas iguales x1 = x2, la ecuaci´on es x = x1 . EJEMPLO 2.7

La ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, −1) es y=

−1 − 2 (x − 1 ) + 2 3−1

o bien

3 7 y = − x+ 2 2

En cambio, la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (−1, −3) y (−1, 2) es x = −1. 87

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Rectas en el plano

2.2.2 Condici´on de alineaci´on de tres puntos

( x3 , y3 ) ( x2 , y2 ) C B ( x1 , y1 ) B′ C ′ A

Conocida la ecuaci´on de la recta determinada por dos puntos, el criterio para saber si tres puntos est´an alineados es autom´atico; basta comprobar si las coordenadas del tercero verifican la ecuaci´on de la recta determinada por los dos primeros. Es decir, debe verificarse y3 =

lo que, despu´es de restar y1 y dividir por x3 − x1, equivale a y3 − y1 y2 − y1 = . x3 − x1 x2 − x1

Figura 2.8: Tres puntos alineados. ´ DE CONDICION

y2 − y1 (x3 − x1 ) + y1 x2 − x1

Tres puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y (x3 , y3 ) est´an alineados si

´ DE ALINEACION

y3 − y1 y2 − y1 = x3 − x1 x2 − x1

TRES PUNTOS

o bien x1 = x2 = x3 . EJEMPLO 2.8

Los puntos (1, 1), (2, 4) y (0, −2) est´an alineados ya que se cumple −2 − 1 4 − 1 = =3. 0−1 2−1

La condici´on de alineaci´on de tres puntos, tales como se representan en la figura 2.8, significa que son proporcionales los catetos: CC′ BB′ = AC′ AB′

o bien

CC′ AC′ = . BB′ AB′

88

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Rectas en el plano

No es dif´ıcil deducir que los ´ultimos cocientes coinciden tambi´en con AC/AB y que se cumple por tanto CC′ AC′ AC = = . AB BB′ AB′ Thales de Mileto 624-547 AC

La proporcionalidad de los lados del tri´angulo ACC′ con los lados del tri´angulo ABB′ es la esencia del teorema de Thales, uno de los resultados m´as antiguos de la geometr´ıa griega.

2.2.3 Posici´on relativa de dos rectas Intersecci´ on de dos rectas

La intuici´on geom´etrica indica que dos rectas, no paralelas, se cortan en un punto. Desde el punto de vista anal´ıtico, se pueden determinar las coordenadas x e y del punto de intersecci´on, sin m´as que caer en la cuenta de que deben verificar la ecuaci´on de ambas rectas. Para admitir la posibilidad de que alguna de ellas sea paralela al eje de ordenadas, conviene escribir la ecuaci´on en la forma inicial. ´ DE INTERSECCION

El punto de intersecci´ on de las rectas

DOS RECTAS

Ax + By + C = 0

y

A′ x + B′ y + C′ = 0

si existe, tiene por coordenadas la soluci´on del sistema de ecuaciones  Ax + By + C = 0 A′ x + B′ y + C′ = 0 Desde luego, si el sistema no tiene soluci´on, es que las rectas son paralelas y distintas. En cambio si el sistema tiene infinitas soluciones, ambas rectas coinciden. En ambos casos debe verificarse AB′ − A′ B = 0 que es la condici´on para que dos rectas sean paralelas o coincidentes. 89

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y = 3x + 5 y = x−2

Rectas en el plano

De esta manera, la resoluci´on de los sistemas de ecuaciones lineales con dos inc´ognitas adquiere una interpretaci´on geom´etrica sencilla. Las rectas y = x − 2 e y = 3x + 5 se cortan en el punto cuyas coordenadas son la soluci´on del sistema formado por ambas ecuaciones. Si se resta la primera ecuaci´on de la segunda, se obtiene 2x + 7 = 0; luego x = − 72 y,
7 11 por consiguiente, y = − 11 2 . As´ı pues el punto de corte es − 2 , − 2 , (ver figura 2.9). EJEMPLO 2.9

(− 27 , − 11 2 )

Figura 2.9: Intersecci´on de dos rectas.

Rectas paralelas

Puesto que la pendiente de una recta marca su inclinaci´on con respecto a los ejes de coordenadas, dos rectas ser´an paralelas si tienen la misma pendiente. ´ DE CONDICION

Las rectas de ecuaciones

PARALELISMO

y = ax + b y = a′ x + b′

(FORMA EXPL´ICITA)

son paralelas si a = a′ . Cuando las ecuaciones de las rectas est´an en forma general es sencillo encontrar la condici´on de paralelismo. Se ha visto en el apartado anterior que dos rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A′ x + B′ y + C′ = 0 son paralelas, o coinciden, si AB′ − A′ B = 0. Salvo en el caso en que ambas fuesen verticales, ser´a B 6= 0 y B′ 6= 0, de manera que de la condici´on anterior tenemos el siguiente resultado, que nos muestra de nuevo que las pendientes tienen que coincidir. 90

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Rectas en el plano

Las rectas de ecuaciones

´ DE CONDICION

Ax + By + C = 0 A′ x + B′ y + C′ = 0

PARALELISMO (FORMA IMPL´ICITA)

son paralelas si

A A′ − =− ′ B B

o lo que es lo mismo

AB′ − A′ B = 0.

Figura 2.10: Rectas paralelas.

´ DE LA ECUACION

a) Las rectas y = 2x − 3 e y = 2x + 6 son paralelas porque tienen la misma pendiente a = 2. b) Las rectas 3y − 4x − 3 = 0 y 9y − 12x + 36 = 0 son paralelas, porque se cumple 3 · (−12) − 9 · (−4) = 0. Aunque tambi´en puede observarse que sus pendientes 43 y 12 9 coinciden.

9y −

3y −

4x −

3=

0

12 x+

36 =

0

y=

y=

2x +

2x−

6

3

EJEMPLO 2.10

A partir de lo anterior, es sencillo obtener la ecuaci´on de la paralela a una recta dada que pasa por un punto (x0 , y0 ) ya que, adem´as de tener pendiente a, la ecuaci´on debe satisfacerse para x = x0 e y = y0 . Por otra parte, en el caso de que la recta sea vertical, la paralela por un punto es inmediata.

La ecuaci´on de la paralela a la recta y = ax + b por el punto (x0 , y0 ) es

RECTA PARALELA

y = a(x − x0 ) + y0 .

POR UN PUNTO

En el caso de una recta vertical x = k, la paralela por (x0 , y0 ) es la vertical x = x0 . EJEMPLO 2.11

a) La ecuaci´on de la paralela a la recta y = 3x − 1 por el punto (1, 1) es y = 3(x − 1) + 1, es decir, y = 3x − 2. 91

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Rectas en el plano

b) La forma general de la paralela por un punto tambi´en es v´alida cuando la recta tiene pendiente a = 0, es decir, es paralela al eje de abscisas. Por ejemplo, la paralela a la recta y = 4 por el punto (3, −2) es y = −2. √ √ c) La paralela a la recta x = −1, por el punto ( 5, −π ) es igual a x = 5.

Rectas perpendiculares

(r )

(r′ )

El concepto de perpendicular a una recta dada es m´as delicado, porque hay que saber interpretar lo que significa anal´ıticamente la perpendicularidad en t´erminos de las pendientes. En la figura 2.11 se observa que si una recta (r) es muy inclinada —tiene una pendiente a grande— la perpendicular (r′) tiene una pendiente peque˜na y de signo contrario. Y al rev´es, la perpendicular a una recta (r′) de peque˜na pendiente es una recta (r) de pendiente grande y de signo contrario. (r ) (1, a)

B

Figura 2.11: Una recta r y su perpendicular r′ .

A

c

a

h

D a′ C

b

a

1 a′

(1, −a′ )

(r′ )

Figura 2.12: La recta y = ax y su perpendicular y = −a′ x.

Para deducir con m´as precisi´on la relaci´on que existe entre la pendiente de una recta y la de su perpendicular, se considera, como muestra la figura 2.12, un tri´angulo ABC rect´angulo en A, de catetos b y c, y 92

´ UNIDAD DIDACTICA 2 Espacio y Forma

Rectas en el plano

se traza por A la perpendicular a la hipotenusa, para obtener una altura h del tri´angulo, cuya intersecci´on D con la hipotenusa determina sobre ella dos segmentos de longitudes a y a′ . Como resultado de aplicar el teorema de Pit´agoras a cada uno de los tres tri´angulos rect´angulos de la figura, se tiene △ ABD : △ ACD : △ ABC :

a2 = c2 − h2, a′ 2 = b2 − h2 , (a + a′ )2 = b2 + c2 .

Entonces: b2 + c2 = (a + a′ )2 = a2 + a′ 2 + 2aa′ = c2 − h2 + b2 − h2 + 2aa′

por

△ ABC

por

△ ABD y △ ACD

y por consiguiente al simplificar resulta aa′ = h2. Consideremos ahora la recta (r ) de pendiente a que pasa por el origen de coordenadas. Su ecuaci´on es y = ax y, evidentemente, pasa por el punto (1, a). Sea (r′ ) la recta perpendicular a (r ) que pasa por el origen. Si denotamos a su pendiente por −a′ , su ecuaci´on es de la forma y = −a′x, y, adem´as, pasa por el punto (1, −a′ ). El dibujo de las rectas r y r′ proporciona una imagen id´entica a la anterior, como se ve en la parte derecha de la figura 2.12, salvo que, ahora, h = 1. Luego, seg´un hemos visto, debe ser aa′ = 1, o equivalentemente a′ = 1a . En definitiva, la pendiente −a′ de la perpendicular (r′ ) a (r ) vale: 1 −a′ = − . a 1 M´as a´un, toda perpendicular a (r ) —paralela a (r′ )— tiene pendiente − . a Conocida la pendiente de las perpendiculares a una recta dada, para determinar la ecuaci´on de aquella de entre ellas que pasa por un punto dado (x0 , y0 ), basta imponer que pase por dicho punto. 93

´ UNIDAD DIDACTICA 2 Espacio y Forma

´ DE LA ECUACION

Rectas en el plano

La ecuaci´on de la perpendicular a la recta y = ax + b por el punto (x0 , y0 ) es

RECTA

1 y = − (x − x0 ) + y0 . a

PERPENDICULAR POR UN PUNTO

La perpendicular a la recta y = 2x −1 por el punto (2, −1) tiene pendiente − 12 y su ecuaci´on es y = − 12 (x −2) −1, es decir, 2y + x = 0. Ambas est´an representadas en la figura 2.13. EJEMPLO 2.12

Resta por analizar los casos extremos, es decir, encontrar la perpendicular a rectas paralelas a los ejes de coordenadas: ´ DE LA ECUACION

Si a = 0, la recta es paralela al eje de abscisas y su perpendicular por el punto (x0 , y0 ) es la paralela al eje de ordenadas x = x0 .

PERPENDICULAR A LOS EJES

Sim´etricamente, la perpendicular a la recta vertical x = k por (x0 , y0 ) es la paralela al eje de abscisas y = y0 .

2y +

y=

2x−

1

EJEMPLO 2.13

x=

0

√
a) La perpendicular a la recta y = − 2 por el punto 32 , − 25 es la recta de ecuaci´on x = 32 . √  b) La perpendicular a la recta x = −4 por el punto 2, π es la recta y = π .

(2, −1)

Figura 2.13: Rectas perpendiculares. 94