Cálculo vectorial en el plano.

Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM

SOLUCIONES

Índice de contenidos. 1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes. • Puntos en el plano cartesiano. Coordenadas. • Vectores en el plano cartesiano. Componentes.

2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. • Concepto de módulo. • Expresión analítica del módulo.

3. Operaciones con vectores y puntos. • • • •

Opuesto. Producto por constantes Suma. Diferencia. Combinaciones lineales. Suma de un punto y un vector. División de segmentos

4. Dependencia lineal de vectores. Bases. • • • •

5.

Paralelismo de vectores. Dependencia lineal. Criterio analítico para la dependencia. Bases. La base canónica. Componentes en una base.

Producto escalar de dos vectores. • Producto escalar. Expresión analítica. Ángulos. • Propiedades algebraicas. Relación con el módulo. • Perpendicularidad. Criterio analítico.

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RESUMEN DE OBJETIVOS 1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes.

•

Conocer la relación entre las componentes de un vector fijo  ,  y las coordenadas de sus extremos
  ,

y
  , 

•

Conocer el concepto de vectores equipolentes e interpretar y representar adecuadamente un vector libre  , 

•

Conocer el concepto de pendiente de un vector, fijo o libre, y su relación con las componentes del mismo: ,  = Pendiente de 

 

2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos.

•

Conocer el concepto de módulo de un vector y su relación con la distancia entre los puntos extremos del vector:   
,  


•

Conocer la expresión analítica del módulo del vector  ,  , derivada del teorema de Pitágoras:      

3. Operaciones con vectores y puntos.

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•

Conocer, y saber calcular geométrica y analíticamente: o El opuesto de un vector. o El producto de un vector por un número. o La suma o diferencia de dos o más vectores. o Las diferentes combinaciones lineales de vectores.

•

Conocer, y saber calcular geométrica y analíticamente: • La suma de un punto y un vector. • El punto medio de dos puntos. • Los puntos que dividen un segmento.

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4. Dependencia e independencia lineal de vectores. Bases.

•

Conocer el concepto, geométrico y analítico de vectores dependientes:   | |         

•

Conocer y utilizar adecuadamente el criterio analítico para la dependencia lineal de dos vectores    ,  y   ,     | |     

    0

•

Conocer el concepto de base   , ! y saber calcular las componentes de cualquier vector "  en una base   , !.

•

Conocer y saber representar la base canónica cualquier sistema de ejes cartesianos.

# , $! en

5. Producto escalar de dos vectores. Ángulo y perpendicularidad. •

Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la definición del producto escalar de dos vectores, para el cálculo de ángulos.           cos (

•

Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la expresión analítica del producto escalar de dos vectores    ,  y   ,  , expresados en la base canónica # , $!            

•

Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la relación entre el producto escalar y el módulo de un vector:        

•

Conocer las propiedades algebraicas del producto escalar y su relación con las combinaciones lineales de vectores: Conmutativas, asociativas y distributivas:    )  *"   )     *   " 

•

Conocer la relación entre el producto escalar y la perpendicularidad entre vectores y utilizarla adecuadamente para resolver problemas de perpendicularidad:   + 

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1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes. Ejercicio 1.

 y
/  . Representa los puntos
,3, ,2 , 3, 2 , /2, ,3 y los vectores
 Escribe las componentes y la pendiente de ambos vectores.

Ejercicio 2.  ,6, ,2 Representa el punto
4,3 y el vector


 . Escribe las coordenadas del punto B y la pendiente del vector


Ejercicio 3.

 5, ,4 Representa el punto 2, ,2 y el vector


 . Escribe las coordenadas del punto A y la pendiente del vector


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Ejercicio 4.  y Escribe las coordenadas de los puntos A, B, C y D y las componentes de los vectores
  . Calcula la pendiente de ambos vectores.
/

Ejercicio 5. Escribe las componentes y calcula la pendiente de cada uno de los vectores  ,  y " .

Ejercicio 6. Representa dos vectores equipolentes al vector   y otros dos equipolentes al vector .

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Ejercicio 7.  ,
/  , 3  , 43  , /4  y 3
Escribe las componentes y la pendiente de los vectores


Ejercicio 8.

 ,
/  , 3  , 43  , /4  y 3
Escribe las componentes y la pendiente de los vectores


Ejercicio 9. Los puntos A, B, C y D forma un paralelogramo. Representa y halla las componentes y la  ,
/  ,  pendiente de los vectores
 3 y  /3

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Ejercicio 10.  3, 2 . Resulta que si
   , 2 ,  y   2,  ,  , entonces
  Calcula las coordenadas de A y de B. Representa ambos puntos y el vector


Ejercicio 11. Resulta que los vectores  2,  ,  y  , 3, 4 son equipolentes Calcula sus componentes y represéntalos con origen en A y B, respectivamente.

Ejercicio 12.  es un representante fijo del vector  Resulta que el vector
   1, 2 , 2 . Sabiendo que
,1, 3 y 3 , 11 , calcula los valores de x e y. Dibuja un representante del vector   y calcula su pendiente.

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Ejercicio 13.  y /3  son equipolentes al vector libre  Sabemos que los vectores
 . Determina los puntos B y C, gráficamente. ¿Cuál es la pendiente de esos tres vectores?

Ejercicio 14.  es un vector fijo con la misma dirección que el vector libre  Sabemos que el vector
 , pero sentido contrario y módulo doble. Determina el punto B, gráficamente.

Ejercicio 15.

 es un vector fijo con la misma dirección y sentido que el vector Sabemos que el vector
 libre  , pero su módulo es el doble. Determina el punto B, gráficamente.

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Ejercicio 16. Sabemos que los vectores     ,  , 2 y 3 ,  , 2 ,  son equipolentes. Determina sus componentes y su pendiente.

Ejercicio 17.  es un vector fijo equipolente al vector libre  Sabemos que el vector
  ; Calcula las

 . coordenadas de los puntos
 ,  ,  y  , 3, 2 ,  y representa el vector


Ejercicio 18.

 es un vector fijo opuesto al vector libre  Sabemos que el vector
  ; Calcula las

 . coordenadas de los puntos
 , 2 ,  y    , 2 ,  y representa el vector


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2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. Ejercicio 19. Calcula el módulo de los vectores los vectores  ,  y " .

Ejercicio 20. Representa los puntos
,2, ,2 y 2, 5.5 y calcula la distancia que los separa.  ? ¿Cuál es el módulo del vector


Ejercicio 21. Calcula la medida de la diagonal AC de este paralelogramo.

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Ejercicio 22. Halla el módulo del vector  15, ,8 .

Ejercicio 23. Halla la distancia entre los extremos del vector ,9, 40 .

Ejercicio 24. Halla la distancia entre los puntos A y B.

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Ejercicio 25. Halla el perímetro del triángulo ABC y comprueba que es isóceles.

Ejercicio 26. La distancia entre los puntos A y B es de 10 unidades. Sabemos que A(-2, -2) y que B(6, y), con  . y>0. Determina y representa el punto B y el vector


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Ejercicio 27. Halla el perímetro de este trapecio isósceles.

Ejercicio 28. Dado el punto A(3, 2) halla las coordenadas de otro punto B, sabiendo que está sobre el eje de ordenadas y que dista 5 unidades del punto A.

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Ejercicio 29. El vector  , 2  2 tiene módulo 13 unidades. ¿Cuáles son las posibles componente de   ?

Ejercicio 30. Los vectores  ,   2 y 2 , 4, , tienen el mismo módulo. Halla el valor de x sabiendo que es un número entero.

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Ejercicio 31. El vector  ,   1 tiene la mitad de módulo que el vector 3 , 3, 3 , 1 Halla el valor de x, sabiendo que no es un número entero.

Ejercicio 32.  , de módulo 10 unidades, tiene su origen en el punto A(2, 6) y su extremo Un vector
 B, sobre el eje de abcisas. ¿Cuáles son los posible lugares para el punto B?

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3. Operaciones con vectores y puntos. Ejercicio 33. Calcula analítica y gráficamente el vector libre     , con origen en el punto A.

Ejercicio 34.



Calcula analítica y gráficamente el vector libre 2    , con origen en el punto A.

Ejercicio 35. Calcula analítica y gráficamente el vector libre 3     "  , con origen en el punto A.

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Ejercicio 36. Calcula analítica y gráficamente el vector libre 2 ,  , 2 "  , con origen en el punto A.

Ejercicio 37. Calcula la suma     , utilizando el origen que tengan     en cada pareja.

Ejercicio 38. Calcula analítica y gráficamente el vector libre ,1.5  , 1.5 , con origen en el punto A.

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Ejercicio 39. Calcula la suma 2   2 , utilizando el origen que tengan     en cada pareja.

Ejercicio 40. Calcula el vector  ,   , utilizando el origen que tengan     en cada pareja.

Ejercicio 41. Calcula, en cada caso, el vector que se solicita.

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Ejercicio 42. Calcula, en cada caso, el vector que se solicita.

Ejercicio 43. Calcula, en cada caso, el vector que se solicita.

Ejercicio 44. Calcula, en cada caso, el vector que se solicita.

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Ejercicio 45. Calcula gráficamente la fuerza resultante    .

Ejercicio 46. Calcula gráficamente la fuerza resultante      " .

Ejercicio 47. Calcula gráficamente la descomposición normal y tangente de la fuerza 9  *  :.

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Ejercicio 48. Sean A(2, 3) y   ,5, ,4 . Calcula analítica y gráficamente el punto  
   .  . Calcula y representa el vector


Ejercicio 49. Sean A(-2, 1),   4, 2 y  2, ,1 Calcula analítica y gráficamente los puntos  
   y  y /  /    2. Calcula y representa los vectores


Ejercicio 50. Sean A(-3, 1), B(1, 4) y C(-1, -2) tres puntos del plano tales que  
   y /    . Calcula analítica y gráficamente los vectores   y .

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Ejercicio 51. Halla gráfica y analíticamente el punto M, medio de los puntos del plano A(-2, 1) y B(4, 5).   ? ¿Quién es el punto



Ejercicio 52. Halla analíticamente el punto medio de los lados del triángulo ABC.

Ejercicio 53. El punto M(-3, 3) es el punto medio entre A y B. Calcula A, sabiendo que B(-5, -3).

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Ejercicio 54. El punto M(3, 5) es el punto medio entre
 ,  ,   2, 3 . Calcula las coordenadas de A y B.

Ejercicio 55.

;;;; en tres partes iguales. Calcula los puntos
 
  y

  Divide el segmento
 < <

Ejercicio 56.

=

;;;; en cinco partes iguales. Calcula los puntos

  (  1,2,3,4) Divide el segmento
 >

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Ejercicio 57. Considera los vectores  3, ,4 , 6, ,2  " 6, 4 y realiza las siguientes operaciones.

Ejercicio 58. Calcula a y b para que los vectores  2,    3 , 2 , 2  2 cumplan la igualdad   2 

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Ejercicio 59. Calcula x e y para que los vectores  ,,    , 2, 5  " 2 , 3  2 cumplan la igualdad: "      

Ejercicio 60.  Calcula x e y para que los vectores  ,   1 , ,, ,2 ,   " ? , , cumplan la igualdad:       "   0

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4. Dependencia e independencia lineal. Bases. Ejercicio 61. Representa los vectores libres  2, ,3 y ,4, 6 . Determina gráfica y analíticamente su dependencia lineal. Calcula la constante k que verifica:      

Ejercicio 62. Representa el vector libre  ,2 , 4 . Calcula y representa un vector  linealmente con  , que tenga sentido opuesto y la mitad de módulo que  .

Ejercicio 63. Justifica geométrica y analíticamente la dependencia o independencia de los vectores   y . En el caso de que sean dependientes, calcula la constante k que verifica:      

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Ejercicio 64. Sabemos que los vectores libres  @, 5 y ,9, ,15 son dependientes. Determina el valor de la constante a y de la constante k que verifica      

Ejercicio 65. Sabemos que los vectores libres  A  B, 4 y ,6, ,4 son dependientes. Determina los posibles valores de la constante x y calcula, en cada caso, los pares de vectores   y .

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Ejercicio 66. Justifica geométrica y analíticamente la dependencia o independencia de los vectores   y . En el caso de que sean dependientes, calcula la constante k que verifica:      

Ejercicio 67. Comprueba analíticamente que los vectores #1 , 0 , $0 , 1 forman base y halla las coordenadas de los vectores  ,   "  en la base canónica # , $!

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Ejercicio 68. Comprueba analíticamente que los vectores    2#  $    ,2#  4$ forman base y calcula las coordenadas del vector "   ,6#  2$ en la base   , ! .

Ejercicio 69. Comprueba analíticamente que los vectores  3 , ,1  2 , 3 forman base y calcula las coordenadas del vector " 10 , 4 en la base   , ! .

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5. Producto escalar de dos vectores. Ángulo y perpendicularidad. Ejercicio 70. Los vectores libres   y  forman un ángulo de 60C y además    3    4. ¿Cuál es el valor de su producto escalar?

Ejercicio 71. Los vectores libres   y  forman un ángulo de 120C y además    6       ,18. ¿Cuál es el módulo del vector  ?

Ejercicio 72. Los vectores libres   y  cumplen que    3 ,   4       6√2. ¿Qué ángulo forman   y  ?

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Ejercicio 73.

> E

Los vectores libres   y  forman un ángulo ( tal que cos(  . Además,      15 y     ,     2. ¿Cuál es el módulo de cada vector?

Ejercicio 74. Los vectores libres   y  forman un ángulo de 150C y además    √2    √6. ¿Cuál es el producto escalar     ?

Ejercicio 75. Los vectores libres   y  cumplen que    6 ,   √3       9. ¿Qué ángulo forman   y  ?

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Ejercicio 76.  y
/  . Calcula el producto escalar de los vectores


Ejercicio 77.  y
/  . Calcula el producto escalar de los vectores


Ejercicio 78. Calcula el producto escalar de los vectores   y .

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Ejercicio 79. Calcula el ángulo que forman los vectores   y .

Ejercicio 80. Calcula el ángulo que forman los vectores  y .

Ejercicio 81. Calcula el ángulo que forman los vectores  y .

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Ejercicio 82. Calcula el producto escalar y el ángulo que forman los vectores   y .

Ejercicio 83. Calcula el producto escalar y el ángulo que forman los vectores   y .

Ejercicio 84. Sabemos que los vectores   y  son perpendiculares y que    √2 ,   √5 . Si       y   2  ,  , ¿cuál es el producto escalar    ?

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Ejercicio 85. Sabemos que los vectores   y  cumplen que      ,4 y además    √8 ,   √6 . Si

  3   2 y   3 , 2  , ¿cuál es el producto escalar    ?

Ejercicio 86. Sabemos que los vectores   y  cumplen que    √5    √8 . Además, si

  2  ,  y   3   2 entonces,     14. ¿Cuál es el producto escalar     ?

Ejercicio 87. Sabemos que los vectores   y  cumplen que    √6    √3 . Además, si

    , 2 y   2  , 3 entonces,     8. ¿Qué ángulo forman     ?

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Ejercicio 88. Estudia la perpendicularidad entre los vectores  ,4,3 , 3, 4 , " 2, ,6 y :6, ,8 .

Ejercicio 89. Demuestra, utilizando el cálculo vectorial, que el triángulo de vértices
3,2 , 6,3 y /1,8 es un triángulo rectángulo.

Ejercicio 90. Calcula el valor del parámetro a para que los vectores  3,2 y ,4, F sean perpendiculares.

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Ejercicio 91. Calcula el valor del parámetro a para que los vectores  4,3 y F, 1 formen un ángulo de 45C

Ejercicio 92. Calcula el valor del parámetro a para que los vectores  3,1 y 4, F formen un ángulo de 45C

Ejercicio 93. Calcula el valor del parámetro a para que  1, √3 y F, 2√3 formen un ángulo de 60C .

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Ejercicio 94. Los vectores  3,4 y G, H son perpendiculares y además   10. Calcula las componentes posibles para el vector .

Ejercicio 95. ;;;; , Comprueba que el vector  2,3 lleva la dirección de la altura de todos los triángulos con base
 siendo:
1,4 y 7,0

Ejercicio 96. Los vectores  ,   1 y 1 , 2, 2 son perpendiculares. Calcula las posibles componentes de los vectores   y .

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Ejercicio 97. Determina un vector   que sea perpendicular al vector 6, ,2 y tenga módulo √10.

Ejercicio 98.

J K Comprueba que si  2, 3 y ,1, 2 entonces los vectores si       y   K   , K  son

perpendiculares.

Ejercicio 99. Dados los vectores  1, 2 y ,3, 1 y los vectores       y       , calcula x para que  y  sean perpendiculares.

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