Desigualdades geométricas

1 DESIGUALDADES GEOMETRICAS

Al hablar de desigualdades de segmentos y ángulos se está hablando de sus medidas. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES  TRICOTOMIA x, y Re se cumple uno y solo uno de los siguientes casos: 1) x < y 2) x = y 3) x > y  PROPIEDAD TRANSITIVA Si x < y y < z entonces x < z  PROPIEDAD ADITIVA a) Si x < y entonces x + c < y + c b) Si x < y a < b entonces x + a < y + b  PROPIEDAD MULTIPLICATIVA Si a < b y c > 0 entonces ac < bc  Si a = b + c; a, b, c R+ a > b y a > c EJERCICIO HIPOTESIS: PS y RQ se bisecan TESIS: m(RQT )

1. RMP

SMQ

2. M es punto medio de RQ y PS 3.

RM

MQ

PM

MS

m(R )

1. Por ser opuestos por el vértice 2. De hipótesis 3. De 2. Definición de punto medio

SMQ 4. RMP 5. m(R ) m(RQS ) 6.

4. De 1 y 3. L – A – L 5. De 4. Ángulos correspondientes de triángulos 6. Postulado de adición de ángulos

m(RQT ) m(RQS ) m(SQT ) 7. De 6. Propiedades de las desigualdades. 7. m RQT m(RQS ) 8. m RQT

m R

8. Sustitución de 5 en7

ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO Es un ángulo adyacente a un ángulo interior de un triangulo que forma un par lineal con este y por lo tanto son suplementarios.

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2

TEOREMA Un ángulo exterior de un triangulo es mayor que un ángulo interior no adyacente a él. HIPOTESIS: CBD es un ángulo exterior A–B–D TESIS: 1. Por el punto medio M de CB , se traza

AF , tal que AM 2. CM MB

MF

3. CMA FMB 4. CMA FMB 5. m(C ) m(MBF ) 6. m(CBD) 7. m(CBD) 8. m(CBD)

m(MBF ) m(FBD) m(MBF ) m(C )

1)m(CBD ) m(C ) 2)m(CBD ) m(CAB )

1. Postulado de construcción de segmentos congruentes. 2. De 1. Definición de punto medio 3. Opuestos por el vértice. 4. De 1, 2, 3. L – A – L 5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 6. Adición de ángulos. 7. De 6. Propiedad de las desigualdades. 8. Sustitución de 5 en 7.

METODO INDIRECTO DE DEMOSTRACION. REDUCCION AL ABSURDO. Hasta ahora los métodos usados para demostrar teoremas han sido directos. En algunas ocasiones es necesario utilizar un método indirecto para llegar a la tesis. Este método consiste en considerar todas las conclusiones posibles. Cada una de estas conclusiones deben ser investigadas de acuerdo con la hipótesis. Si puede demostrarse que todas las conclusiones posibles, excepto una, conducen a una contradicción, entonces podemos concluir que la conclusión restante debe ser la correcta. En este método se niega la tesis y se sigue un razonamiento lógico hasta llegar a una contradicción. TEOREMA DE CONGRUENCIA LADO ANGULO ANGULO (L – A – A) HIPOTESIS:

AC

DF ; A D; B E

TESIS:

ABC

DEF

Se demuestra por reducción al absurdo o método indirecto. Se niega la tesis, o sea que ABC no es congruente con DEF, entonces suponemos

AB no es congruente con DE , por lo tanto se pueden presentar dos casos: 1) AB < DE 2) AB > DE.

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3

Primer caso 1. AB < DE 2. En DE existe un punto P, tal que AB

3. De hipótesis.

3. AC DF 4. A D 5. ABC DFP 6. m B m(FPD) 7. m(FPD)

4. De hipótesis 5. De 2, 3, 4. L – A – L 6. De 5 por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 7. Por ser un ángulo exterior del

m(E )

8. m(B) m(E ) 9. m(B) m(E ) 10. m(B) m(E ) y m(B)

DP

1. Suposición 2. Construcción

FPE m(E )

8. Sustitución de 6 en 7. 9. De hipótesis. 10. De 8 y 9. CONTRADICCION!

Esta contradicción se origino al supone que AB < DE. Por lo tanto la negación de la tesis, ABC no es congruente con DEF , es falsa, entonces ABC DEF CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS TEOREMA Si dos triángulos rectángulos tienen respectivamente congruentes un cateto y un ángulo agudo, entonces son congruentes.

TEOREMA Si dos triángulos rectángulos tienen sus hipotenusas congruentes y un ángulo agudo congruente entonces son congruentes.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de un punto a una recta es el segmento perpendicular trazado del punto a la recta. PQ es la distancia del punto P a la recta.

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TEOREMA Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta.)  HIPOTESIS: LP es la bisectriz de  ELN PA LE y PB LN

TESIS: PA = PB

1. PBL y PAL son triángulos rectángulos. 2. BLP ALP 3. LP LP 4. PBL PAL 5. PA = PB

1. De hipótesis. Definición de triangulo Rectángulo 2. De hipótesis. Definición de bisectriz 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3. Por ser triángulos rectángulos, con la hipotenusa un ángulo agudo congruentes. 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

TEOREMA Si dos lados de un triangulo, no son congruentes, los ángulos opuestos a ellos tampoco son congruentes y a mayor lado se opone mayor ángulo. HIPOTESIS: CA > CB TESIS: m 

 1. En CB existe un punto P, tal que CA CP 2. ACP es isósceles. 3. m(CAP ) m(P ) 4. m(CAP ) 5. m(CAP )

m( ) m(BAP ) m( )

m 

1. Postulado de construcción de segmentos congruentes 2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. De 2. En un triangulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes 4. Adición de ángulos 5. De 4. Propiedad de las desigualdades.

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6. 7. 8. 9.

m(P ) m( ) m( ) m(P ) m( ) m(P ) m( ) m( )

5 6. Sustitución de 3 en 5. 7. es un ángulo exterior en 8. De 6 y 7. 9. De 8.

m( )

ABP

TEOREMA. (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si dos ángulos de un triangulo no son congruentes, los lados opuestos a ellos no son congruentes y a mayor ángulo se opone mayor lado. HIPOTESIS: m  m  TESIS: CA > CB

Se demuestra por el método indirecto o reducción al absurdo. Se niega la tesis: CA no es mayor que CB, entonces quedan dos casos AC = CB o AC < CB (ley de la tricotomia) 1. AC = CB 1. Negación de la tesis. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 2. ABC es isósceles 3. De 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen 3. m(  ) = m(  ) ángulos congruentes. 4. De hipótesis 4. m(  ) > m(  ) 5. CONTRADICCION! 5. De 3 y 4. Por la ley de la tricotomia. 6. AC < BC 6. Negación de la tesis. 7. De 6. En un triangulo a lado mayor se opone ángulo 7. m(  ) > m(  ) mayor. 8. De hipótesis. 8. m(  ) < m(  ) 9. CONTRADICCION! 9. De 7 y 8. Ley de la tricotomia. 10. Luego CA > CB 10. De 5 y 9. COROLARIOS DEL TEOREMA ANTERIOR: 1. La medida de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es mayor que la medida de cualquiera de sus catetos. 2. El segmento mas corto que une un punto con una recta es el segmento perpendicular a ella. EJEMPLO Se da el triangulo rectángulo ABC, con el ángulo recto en A, se traza la bisectriz de  ACB que corta a AB en D. Demostrar que DB > DA. (Trazar DE BC )

HIPOTESIS:

ABC rectángulo en A CD es bisectriz del ángulo ACB

TESIS: DB > DA 1. Se traza DE

BC

1. Construcción auxiliar.

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2. CD es bisectriz de ACB 3. 1 2 4. AD DE 5. DEB es rectángulo. 6. DB > DE 7. DB > DA

6 2. De hipótesis 3. De 2. Definición de bisectriz 4. De 2. Un punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo. 5. De 1. Definición de triangulo rectángulo. 6. De 5. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que un cateto. 7. Sustitución de 4 en 6.

NOTA: El caso de congruencia de triángulos L – L – A no se da en todos los casos, por ejemplo:

El caso L – L – A; solo se da cuando el ángulo congruente es el mayor ángulo del triangulo. TEOREMA. UNICO CASO DE CONGRUENCIA L – L – A Si dos triángulos tienen respectivamente dos lados congruentes y un ángulo congruente, pero estos ángulos son opuestos a los lados de mayor longitud, entonces son congruentes los triángulos. HIPOTESIS:

AC DF ; BC EF B E AC AB; AC BC DF DE; DF EF TESIS: ABC DEF La demostración se hace por el método indirecto Se niega la tesis o sea que ABC no es congruente al DEF 1. Negación de la tesis 1. AB DE 2. AB > DE o AB < DE 2. De 1. Ley de la tricotomia 3. AB > DE 3. De 2  4. Existe un punto Q en ED , tal que 4. De 3. Postulado de construcción de segmentos congruentes.

EQ

AB

5. CB FE 6.  B  E 7. ABC QEF 8. AC 9. DF

QF

AC 10. DF QF

5. De hipótesis. 6. De hipótesis 7. De 4, 5, 6. L – A – L 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De hipótesis. 10. De 8 y 9. Propiedad transitiva

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7 11. De 10. Definición de triangulo isósceles. 12. De 11. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes. 13. De hipótesis. 14. Sustitución de 10 en 13. 15. De 14. En QEF , a lado mayor se opone ángulo mayor 16. Sustitución de 12 en 15

11. QDF es isósceles. 12. FDQ Q 13. DF > EF 14. QF > EF 15. FDQ Q 16. m E

m FDQ 17. m FDQ m E

17. Por ser FDQ un ángulo exterior en

18. ¡CONTRADICCION!

FDE

18. De 17. Porque la suposición de que el triangulo ABC no es congruente con el triangulo DEF es falsa.

Analizar el caso AB < DE para llegar a una contradicción. TEOREMA Si la hipotenusa y un cateto de un triangulo rectángulo son respectivamente congruentes a la hipotenusa y un cateto de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

RESUMEN DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS: 1. Cateto – Cateto 2. Cateto – Angulo agudo 3. Hipotenusa – Angulo agudo 4. Hipotenusa – Cateto TEOREMA: LA DESIGUALDAD TRIANGULAR. La suma de las medidas de dos lados de un triangulo es mayor que la medida del tercer lado. HIPOTESIS: ABC cualquiera TESIS: AC + CB > AB

 1. En AC existe un punto P tal que

CP

1. Construcción.

CB y unimos B con P.

2. AP = AC + CP

2. Adición de segmentos.

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3. AP = AC + CB 4. m(P ) m(PBC ) 5. m(PBA) 6. m(PBA)

m(PBC ) m(CBA) m(PBC )

7. m(PBA) 8. AP > AB

m(P )

9. AC + CP > AB) 10. AC + CB > AB

3. Sustitución de 1 en 2 4. A lados iguales se oponen ángulos congruentes. 5. Adición de ángulos 6. De 5. Propiedad de las desigualdades. 7. Sustitución de 4 en 6 8. En el PAB a mayor ángulo se opone mayor lado. 9. De 8. Adicion de segmentos. 10. Sustitución de 1 en 9.

TEOREMA DE LA ENVOLVENTE HIPOTESIS: ABC cualquiera. O es un punto en el interior del triángulo TESIS: AC CB

 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

La BO corta a AC en D AD + DO > AO DC + CB > BD AD + DO + DC + CB > AO + BD AC + CB + DO > AO + BD AC + CB + DO > AO + OB + DO AC + CB > AO + OB

AO OB

1. De hipótesis. O es un punto interior 2. Desigualdad triangular en ADO 3. Desigualdad triangular en DCB 4. De 2 y 3. Suma de desigualdades. 5. De 4. Adición de segmentos 6. De 5. Adicion de segmentos 7. De 6. Ley cancelativa.

TEOREMA Si dos lados de un triangulo son respectivamente congruentes a dos lados de otro triangulo y el ángulo incluido en el primer triangulo es mayor que el ángulo incluido en el segundo triangulo, entonces al tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del segundo triangulo.

HIPOTESIS: AC DF ;CB FE m(ACB ) m(F ) TESIS: AB > DE

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

1. Trazamos CK , tal que ACK

F  2. En CK existe un punto G, tal que CG FE 3. AC DF 4. ACG DFE 5. Trazamos la bisectriz de GCB que corta a AB en H y trazamos GH . 6. GCH HCB 7. GC

FE 8. FE CB 9. GC CB 10. CH CH 11. CGH CHB 12. GH HB 13. AG

DE

14. AH + HG > AG 15. AH + HB > AG 16. AB > AG 17. AB > DE

1. Construcción 2. Postulado de construcción de segmentos congruentes 3. De hipótesis 4. De 1, 2, 3. L – A – L 5. Construcción 6. De 5. Definición de bisectriz 7. De 1 8. De hipótesis 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva 10. Propiedad reflexiva 11. De 6, 9, 10. L – A – L 12. De 11. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 13. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 14. Desigualdad triangular en AGH 15. Sustitución de 12 en 14 16. De 15. Adición de segmentos 17. Sustitución de 13 en 16.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el tercer lado del primero es mayor que el tercer lado del segundo, entonces la medida del ángulo opuesto al tercer lado del primero es mayor que la medida del ángulo opuesto al tercer lado del segundo. AC DF HIPOTESIS: BC

EF

AB

DE

TESIS: m(C )

1. m(C ) no es mayor que m(F ) 2. m(C ) = m(F ) o m(C ) es menor que m(F ) 3. m(C ) m(F )

1. Negación de la tesis 2. De 1. Ley de la tricotomia 3. De 2 Suposición

m(F )

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4. AC DF y BC 5. ABC DEF

10

EF

4. De hipótesis

5. De 3 y 4. L – A – L 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos s 6. AB DE 7. AB > DE 7. De hipótesis. 8. CONTRADICCION! 8. De 6 y 7 9. De 2. Suposición 9. m(C ) m(F ) 10. AB < DE 10. De 9 y 4. Teorema anterior. 11. AB > DE 11. De hipótesis 12. CONTRADICCION! 12. De 10 y 11. Ley de la tricotomia. Luego las suposiciones son falsas y por lo tanto se cumple que m(C ) m(F ) EJERCICIOS RESUELTOS 1).Si desde un punto A que no pertenece a la recta l, se traza una perpendicular a la recta y dos segmentos oblicuos, es mayor, el que está más alejado del pie de la perpendicular. HIPOTESIS: AP TESIS: AC

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

m(APB) 90º m(1) 90º 2 es agudo m(2) m(3) m(1) m(2) m(1) m(3) AC > AB

 l; PC

PB

AB

1. De hipótesis. Definición de perpendicular 2. De 1 y por ser 1 un ángulo exterior en el triangulo APB 3. De 2. Por ser el suplemento de un ángulo obtuso. 4. Por ser 2 un ángulo exterior en triangulo CBA 5. Por ser 1 obtuso y 2 agudo 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva 7. De 6. En el CBA a mayor ángulo se opone mayor lado.

2) HIPOTESIS: O es un punto interior del triangulo ABC

a b c TESIS: 2 2)a b c m n r 1)m n r

1. 2. 3. 4.

m+n>c m+r>a n+r>b 2m + 2n + 2r > a + b + c

1. Desigualdad triangular en AOB 2. Desigualdad triangular en BOC 3. Desigualdad triangular en COA 4. De 1, 2, 3. Propiedad de adición de

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5. 2(m + n + r) > a + b + c 6. m

n r

a b c 2

11 las desigualdades 5. De 4. Factor común 6. De 5. Transposición de términos.

Para la segunda parte de la demostración se sigue el proceso del ejemplo 2 y se llega a lo siguiente: b+a>n+m c+a>m+r b+c>r+n y sumando las tres desigualdades se tiene: 2a + 2b + 2c > 2m + 2n + 2r de donde 2(a + b + c) > 2(m + n + r) a + b + c > m + n + r. 3)

1. m (  ADB) > m (  DEB) 2. m (  DEB) > m(  C) 3. m (  ADB) > m(  C)

1. Por ser  ADB un ángulo exterior en DEB 2. Por ser  DEB un ángulo exterior en AEC 3. De 1, 2. Propiedad transitiva.

4) Demostrar que en cualquier triangulo la suma de dos ángulos interiores en menor que 180º

HIPOTESIS:

ABC cualquiera

m( ) m( ) 180º TESIS: m( ) m( ) 180º

m( ) m( ) 180º 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

es un ángulo exterior m(  ) > m(  ) m(  ) + m(  γ) = 180º m(  ) = 180º - m(  γ) 180º - m (  γ) > m(  ) 180º > m(  ) + m(  γ) m(  ) + m(  γ) < 180º

1. Definición de ángulo exterior 2. De 1. Por ser DEB un ángulo exterior 3. Por ser suplementarios. 4. De 3. Transposición de términos 5. Sustitución de 4 en 2 6. De 5. Transposición de términos 7. De 6.

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8. m(  ) > m(  ) 9. 180º - m(  γ) > m(  ) 10. 180º > m(  ) + m(  γ) 11.  es un ángulo exterior en ∆ABC 12. m(  ) > m(  )

8. De 1. Por ser un ángulo exterior 9. Sustitución de 4 en 8. 10. De 9. Transposición de términos. 11. Definición de ángulo exterior 12. De 11. Un ángulo exterior es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a el. 13. Por ser suplementarios. 14. De 13. Transposición de términos 15. Sustitución de 14 en 12 16. De 15. Transposición de términos.

13. m(  ) + m(  ) = 180º 14.m(  ) = 180º - m(  ) 15.180º - m(  ) > m(  ) 16.180º > m(  ) + m(  )

5) En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que FC demostrar que FB > CD

1. AB > AC 2. m (  ACB) > m (  ABC) 3. FC

DB 4. BC BC 5. FB > CD

DB . Si AB > AC,

1. De hipótesis 2. De 1. Si un triangulo tiene dos lados desiguales al mayor se opone el ángulo mayor 3. De hipótesis 4. Propiedad reflexiva 5. De 2, 3, 4. Si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo incluido en el primero es mayor que el incluido en el segundo, entonces el tercer lado del primero es mayor que el tercero del segundo.

6) Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que su semiperimetro y menor que su perímetro. HIPOTESIS: CH ; AH 1; AH 2 son alturas del triangulo TESIS:

AB

BC CA 2

AH1 CH

BH 2

AB

BC CA

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13 1. De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo 2. De 1. En un triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cualquier cateto.

1. CH1 A; BHC ; AH 2 B son rectángulos

AC

AH1

2. BC

CH AB BH 2 3. AB BC AC 4. AH1

H1B

AH1 CH

3. De 2. Propiedad de la adición de las desigualdades 4. Teorema de la desigualdad triangular.

BH 2

AB

AH1 H1C AC CH HB BC CH HA AC BH 2 CH 2 BC BH 2 AH 2 AB 5.

2 AH1

6.

2CH

H1B

2 AB 2 BC 2 AC 2 AH1 2CH 2 BH 2

7. 2 AH1 8. AH1 9.

2 BH 2

AB

CH

CH

BH2 BH 2

BC CA 2

BC

H1C AB

HB AC

2 AB

HA

(CH 2

2 BC

2 AB 2BC 2 AC BC AB

AH 2 )

2 AC

AB AC

BC CA 2

AH1 CH

5. De 4.Propiedad de las desigualdades

6. De 5. Adición de segmentos 7. De 6. transposición de términos 8. De 7. Aritmética 9. De 9. Lo mismo escrito de otra manera

BH 2

EJERCICIOS DE DESIGUALDADES 1.

 AC EC HIPOTESIS: E D C B

TESIS: 1) CE > CD 2) AE > AD

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14

2.

3. Se da un

ABC y la mediana AM . Demostrar que AM

 Sugerencia: en AM existe un punto P, tal que AM

AB AC 2

MP

4. Demostrar que un triangulo cualquiera, la suma de las tres alturas es menor que el perímetro del triangulo. 5. HIPOTESIS: CD

CB

1) AC DC 2)m(ADC ) m(A) TESIS: 3)m(1) m(A) 4) AD BD

6. AD

AB

HIPOTESIS: CD CD

CB

TESIS: m(DAB)

AD m(DCB)

7.

DA DB HIPOTESIS: A D C AD

AB

TESIS: m(  A) > m(  C)

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8. HIPOTESIS:

ABC cualquiera

TESIS: m(ADB )

m(C )

9. HIPOTESIS:

ADB es isosceles con DA DB DB > AB A–D–C TESIS: Triángulo ABC es un triangulo escaleno.

10.

11.

12. HIPOTESIS: Triángulo ABC cualquiera El punto O es un punto en el interior del triangulo. a b c TESIS: 2 2)m n r a b c 1)m n r

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13. Demostrar el siguiente teorema: Un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta).

14. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triangulo es mayor que su semiperimetro y menor que su perímetro. 15. En un triángulo ABC, A – F – C y A – D – B, de manera que FC demostrar que FB > CD.

DB . Si AB > AC,

16. Utilizar la demostración por reducción al absurdo o método indirecto de demostración para demostrar que si una mediana de un triangulo no es perpendicular al lado que corta, entonces al menos dos lados del triangulo no son congruentes. 17. En el ABC, AC > AB. Demostrar que si D es un punto cualquiera entre B y C, entonces AC > AD. 18. Demostrar que si dos alturas de un triangulo son congruentes, el triangulo es isósceles. 19. Demostrar que si AM es una mediana del triangulo ABC, entonces los segmentos  desde B y C, perpendiculares a AM , son congruentes. 20. Escribir el reciproco de cada uno de los siguientes enunciados y decidir si cada enunciado y cada reciproco es verdadero o falso: A. Si dos ángulos son congruentes, entonces son rectos. B. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. C. Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces equidista de los extremos del segmento. D. Si dos ángulos son agudos, entonces son complementarios. E. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes. ¿Será verdadero el reciproco de todo enunciado verdadero? Ejercicios tomados de los siguientes textos:  Geometría Euclidiana de Nelson Londoño  Geometría Euclidiana de Hemmerling  Curso de Geometría. Reunión de profesores  Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli  Geometría de Edwin E. Moise

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Recopilados por: José Manuel Montoya Misas. EJERCICIOS RESUELTOS DE DESIGUALDADES  Demostrar utilizando el método indirecto de demostración o reducción al absurdo:

HIPOTESIS: BC

BA

DC ≠ DA TESIS: BD no es bisectriz de  CBA

1. BD es bisectriz de  CBA 2.  1 2 3. BD

BD BA

4. BC 5. BDC

1. Negación de la tesis. Suposición. 2. De 1. Definición de bisectriz 3. Propiedad reflexiva 4. De hipótesis

5. De 2, 3, 4. L – A – L 6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos 6. DC DA congruentes. 7. DC ≠ DA 7. De hipótesis. 8. CONTRADICCION 8. De 6 y 7. Ley de la tricotomia Por lo tanto la suposición 1 es falsa y por consiguiente es verdad que BD no es bisectriz. BDA

 HIPOTESIS: AB

BD

DC

TESIS: AD > DC

1. ABD es isósceles 2. 2 3 3. BDC es isósceles 4. 4 5 5. m(  4) > m(  2)

1. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles 2. De 1. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles 3. De hipótesis. Definición de triangulo isósceles. 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles 5. Por ser un ángulo exterior del triangulo ABD

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6. m(  5) > m(  2) 7. En ADC: AD > DC

6. Sustitución de 4 en 5. 7. De 6. En un triangulo a mayor ángulo se opone mayor lado

 HIPOTESIS: AD AB CD CB CD > AD TESIS: m (  DAB) > m (  DCB)

1. CD > AD 2. m(  1) > m(  2) 3. AD AB y CD CB 4. CB > AB 5. m(  3) > m(  4) 6. m(  1) + m(  3) > m(  2) + m(  4) 7. m(  DAB) > m(  DCB)

1. De hipótesis 2. De 1. En el ADC a mayor lado se opone mayor ángulo. 3. De hipótesis. 4. Sustitución de 3 en 1. 5. De 4. En el ABC a mayor lado se opone mayor ángulo. 6. De 2 y 5. Suma de desigualdades. 7. De 6. Suma de ángulos.



1. m(  ADB) > m(  DEB) 2. m(  DEB) > m(  C) 3. m(  ADB) > m(  C)

1. Por ser un ángulo exterior en el 2. Por ser un ángulo exterior en el 3. De 1 y 2. Propiedad transitiva.

DEB ACE