Desigualdades Compuestas

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C ONCEPT

Concept 1. Desigualdades Compuestas

1 Desigualdades Compuestas

Objetivos de Aprendizaje • • • • •

Escribir y graficar desigualdades compuestas en una recta numérica. Resolver una desigualdad compuesta con “y”. Resolver una desigualdad compuesta con “o”. Resolver desigualdades compuestas usando una calculadora graficadora (Familia TI). Resolver problemas del mundo real usando desigualdades compuestas

Introducción En esta sección, resolveremos desigualdades compuestas. En secciones previas, obtuvimos soluciones que dieron la variable ya sea mayor que o menor que un número. En esta sección estamos buscando soluciones donde la variable puede estar en dos ó más intervalos en la recta numérica. Existen dos tipos de desigualdades compuestas: 1. Desigualdades unidas por la palabra “y”. La solución es un conjunto de valores mayores que un número y menores que otro número. a −25 y x < 25 Esto usualmente se escribe como −25 < x < 25. Ejemplo 2 Graficar en la recta numérica las siguientes desigualdades compuestas. a) −4 ≤ x ≤ 6 b) x < 0 o x > 2 c) x ≥ −8 o x ≤ −20 d) −15 < x ≤ 85 Solución a) La respuesta son todos los números entre -4 y 6 incluyendo ambos -4 y 6.

b) La respuesta, ya sean los números menores que 0 o números mayores que 2 sin incluir 0 o 2.

c) La respuesta, ya sean los números mayores o iguales que -8 o menores o iguales que -20.

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d) La respuesta son los números entre -15 y 85, sin incluir -15 pero incluyendo 85.

Resolver una desigualdad compuesta con Cuando resolvemos desigualdades compuestas, separamos las desigualdades y resolvemos cada una de ellas separadamente. Luego, al final combinamos las soluciones. Ejemplo 3 Resolver las siguientes desigualdades compuestas y graficar el conjunto solución. a) −2 < 4x − 5 ≤ 11 b) 3x − 5 < x + 9 ≤ 5x + 13 Solución a) Primero, reescribimos la desigualdad compuesta como dos desigualdades separadas con y. Luego resolver cada desigualdad separadamente.

−2 < 4x − 5

4x − 5 ≤ 11

3 < 4x 3 x+5

Solución a) Resolver cada desigualdad separadamente.

9 − 2x ≤ 3 −2x ≤ −6

3x + 10 ≤ 6 − x 4x ≤ −4

o

x≥3

x ≤ −1

Respuesta x ≥ 3 o x ≤ −1

b) Resolver cada desigualdad separadamente.

x−2 ≤ 2x − 4 6 x − 2 ≤ 6(2x − 4) x − 2 ≤ 12x − 24

x−2 > x+5 6 x − 2 > 6(x + 5) o

x − 2 > 6x + 30

22 ≤ 11x

− 32 > 5x

2≤x

− 6.4 > x

Respuesta x ≥ 2 o x < −64

Resolver Desigualdades Compuestas Usando una Calculadora Graficadora (familia TI-83/84) Esta sección explica como resolver con una calculadora graficadora desigualdades simples y compuestas. Ejemplo 5 Resolver las siguientes desigualdades usando la calculadora graficadora. a) 5x + 2(x − 3) ≥ 2 b) 7x − 2 < 10x + 1 < 9x + 5 c) 3x + 2 ≤ 10 o 3x + 2 ≥ 15 4

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Solución a) 5x + 2(x − 3) ≥ 2 Paso 1 Introducir la desigualdad. Presionar la tecla [Y=]. Introducir la desigualdad en la primera línea de la pantalla.

Y1 = 5x + 2(x − 3) ≥ 2 El símbolo ≥ se introduce presionando [TEST] [2nd] [MATH] y escogiendo la opción 4.

Paso 2 Leer la solución. Presionar la tecla [GRAPH]. Debido a que la calculadora traduce un enunciado verdadero con el número 1 y un falso enunciado con el número 0, tú verás una función escalonada con el valor de y–saltando desde 0 a 1. El conjunto solución es aquel formado por los valores de x para los cuales el gráfico muestra y = 1.

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www.ck12.org Nota: Tú necesitas presionar la tecla [WINDOW] y la tecla [ZOOM] para ajustar la ventana y ver el gráfico completo. La solución es x ≥

8 7

= 1.42857 . . ., por lo cual puedes ver el valor de y cambiando desde 0 a 1 en 1.14.

b) 7x − 2 < 10x + 1 < 9x + 5 Esta es una desigualdad compuesta 7x − 2 < 10x + 1 y 10x + 1 < 9x + 5. Para introducir una desigualdad compuesta:

Presionar la tecla [Y=]. Introducir la desigualdad como Y1 = (7x − 2 < 10x + 1) AND (10x + 1 < 9x + 5) Para introducir el símbolo [AND] presiona [TEST], escoge [LOGIC] en la fila de arriba y escoge la opción 1.

Arriba se observa el gráfico resultante. La respuesta son los valores de x para los cuales y = 1. En este caso −1 < x < 4. c) 3x + 2 ≤ 10 o 3x + 2 ≥ 15 Esta es una desigualdad compuesta 3x + 2 ≤ 10 o 3x + 2 ≥ 15

Presionar la tecla [Y=]. Introducir la desigualdad como Y1 = (3x + 2 ≤ 10) OR (3x + 2 ≥ 15) Para introducir el símbolo [OR] presiona [TEST], escoge [LOGIC] en la fila de arriba y escoge la opción 2. 6

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Arriba se observa el gráfico resultante. La respuesta son los valores x para los cuales y = 1. en este caso, x ≤ 2.7 o x ≥ 4.3.

Resolver Problemas del Mundo Real Usando Desigualdades Compuestas Muchos problemas de aplicación requieren el uso de desigualdades compuestas para encontrar la solución. Ejemplo 6 La velocidad de una pelota de golf en el aire está dada por la fórmula v = −32t + 80, donde t es el tiempo desde que la pelota fue golpeada. Cuando está la pelota viajando entre 20 pie/seg y 30 pie/seg?

Solución Paso 1 Queremos encontrar los tiempos en los que la pelota esta viajando entre 20 pie/seg y 30 pie/seg. Paso 2 Establecer la desigualdad 20 ≤ v ≤ 30 Paso 3 Reemplazar la velocidad con la fórmula v = −32t + 80.

20 ≤ −32t + 80 ≤ 30 Separar la desigualdad compuesta y resolver cada desigualdad. 7

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20 ≤ −32t + 80

− 32t + 80 ≤ 30

32t ≤ 60

50 ≤ 32t

y

t ≤ 1.875

1.56 ≤ t

Respuesta 1.56 ≤ t ≤ 1.875 Paso 4 Para revisar introduce el valor mínimo y el máximo de t en la fórmula para la velocidad. Para t = 1.56, v = −32t + 80 = −32(1.56) + 80 = 30 pie/seg Para t = 1.875, v = −32t + 80 = −32(1.875) + 80 = 20 pie/seg Entonces la velocidad está entre 20 y 30 pie/seg. La respuesta es correcta. Ejemplo 7 La camioneta pick-up de William recorre entre 18 a 22 millas por galón de gasolina. su tanque de gasolina puede almacenar 15 galones de gasolina. Si él maneja a una velocidad promedio de 40 millas por hora, cuánto tiempo de conducción obtiene con un tanque lleno de combustible?

Solución Paso 1 Conocemos La camioneta recorre entre 18 y 22 millas/gal Hay 15 galones en el tanque de combustible de la camioneta. William conduce a un promedio de 40 millas/hora Dejar t = como el tiempo de conducción Paso 2 Usamos el análisis dimensional para obtener desde tiempo por tanque a millas por galón. XX XX tanque 1X 40 millas 40t millas tX hours X × × = X X X 15 galones 1 tank 1 horas 45 gallon

Paso 3 Ya que la camioneta recorre entre 18 y 22 millas/gal, establecemos la desigualdad compuesta.

18 ≤

40t ≤ 22 15

Separar la desigualdad compuesta y resolver cada desigualdad. 40t 15 270 ≤ 40t 18 ≤

6.75 ≤ t 8

y

40t ≤ 22 15 40t ≤ 330 t ≤ 8.25

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Respuesta 6.75 ≤ t ≤ 8.25. Andrew puede conducir entre 6.75 y 8.25 horas en un tanque lleno de gasolina. Paso 4 Para t = 6.75, obtenemos

40t 40(6.75) 15 15

= 18 millas por galón.

Para t = 8.25, obtenemos

40t 40(8.25) 15 15

= 18 millas por galón.

Resumen de la Lección • Las desigualdades Compuestas combinar dos o más desigualdades con “y” e “o”. • Las combinaciones con “Y” implican que las únicas soluciones para ambas desigualdades serán soluciones a la desigualdad compuesta. • Las combinaciones “O” implican que las soluciones a cualquier desigualdad serán soluciones la desigualdad compuesta.

Ejercicios de Repaso Escribir las desigualdades compuestas representadas por los siguientes gráficos. 1. 2. 3. 4. Resolver las siguientes desigualdades compuestas y graficar la solución en una recta numérica. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

−5 ≤ x − 4 ≤ 13 1 ≤ 3x + 4 ≤ 4 −12 ≤ 2 − 5x ≤ 7 3 3 4 ≤ 2x + 9 ≤ 2 −2 2x−1 3 < −1 4x − 1 ≥ 7 o 9x 2 10 2x+3 x 2 4 < 2 o −5 +35 2x − 7 ≤ −3 o 2x − 3 > 11 4x + 3 ≤ 9 o −5x + 4 ≤ −12 Para obtener una calificación de B en su clase de Algebra, Stacey debe tener una calificación promedio mayor o igual que 80 y menor que 90. Ella recibió las calificaciones de 92, 78, 85 en sus primeras 3 pruebas. Entre que puntuaciones deben estar sus calificaciones si ella va a recibir una calificación de B para la clase?

Respuesta 1. −40 ≤ x ≤ 70 2. x < −2 o x ≥ 5 3. −8 < x < 0 9

www.ck12.org 4. x ≤ −2 o x > 1.5 5. −1 ≤ x ≤ 17

6. − 43 ≤ x ≤ − 13

7. −1 ≤ x ≤

14 5

15 8. − 33 8 ≤x≤− 4

9. − 52 ≤ x < −1

10. x ≥ 2 o x <

2 3

11. x > 7 o x < −7

12. x <

5 2

o x > 13

13. x ≤ 2 o x > 7

14. x <

3 2

ox≥

16 5

15. 65 ≤ x < 105

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