Resolver una desigualdad significa encontrar los valores para los cuales la incógnita cumple la condición. Para ver ejemplos de las diferentes desigualdades que hay, haga Click sobre el nombre:

Desigualdades lineales

Desigualdades simultáneas

Desigualdades cuadráticas

Desigualdades Racionales

Desigualdades con Valor absoluto

Desigualdades lineales Una desigualdad lineal es aquella donde la incógnita está elevada al exponente uno. Por ejemplo, . Para resolver una desigualdad debemos tener en cuenta lo siguiente: -

Si un término está sumando, pasa al otro lado de la desigualdad a restar. Si un término está sumando, pasa al otro lado de la desigualdad a sumar. Si un término está multiplicando y es positivo, pasa al otro lado de la desigualdad a dividir. Si un término está dividiendo y es positivo pasa al otro lado de la desigualdad a multiplicar. Cuando el término que se va a pasar al otro lado es negativo y está multiplicando o dividiendo, pasa a hacer la operación contraria, pero el signo de la desigualdad cambia de sentido.

Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a ver algunos ejemplos explicados paso a paso:

Resolver la siguiente desigualdad:

Dejamos incógnita a un lado y los números al otro lado. Como el 3 está restando, lo pasamos a sumar:

Realizamos la operación y listo:

Para comprobar la respuesta, damos un valor a en la desigualdad original que esté dentro del intervalo y si la respuesta es correcta, deberá cumplirse la desigualdad. Verifiquemos para

porque este valor está dentro del intervalo solución:

Resolver la siguiente desigualdad:

Dejamos incógnita a un lado y los números al otro lado. La x que está sumando la pasamos a restar y el 2 que está restando lo pasamos a sumar:

Realizamos la operación y luego pasamos el 2 que está multiplicando a dividir:

Resolver la siguiente desigualdad:

Dejamos incógnita a un lado y los números al otro lado. El que está sumando la pasamos a restar y el 5 que está sumando lo pasamos a restar:

Realizamos la operación y luego pasamos el que está multiplicando a dividir. Recuerde que cuando un número negativo se pasa al otro lado a dividir, el signo de la desigualdad se cambia:

Resolver la siguiente desigualdad:

Dejamos incógnita a un lado y los números al otro lado. El que está sumando la pasamos a restar y el 2 que está restando lo pasamos a sumar:

Realizamos la operación y luego pasamos el que está dividiendo a multiplicar. Por último, pasamos e que está multiplicando a dividir. Recuerde que cuando un número negativo se pasa al otro lado a dividir, el signo de la desigualdad se cambia:

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Desigualdades simultáneas Una desigualdad simultánea es un tipo de desigualdad donde aparece más de una desigualdad en la misma expresión. Por ejemplo:

Es una desigualdad simultánea. La expresión de la mitad condiciones:

debe cumplir simultáneamente las dos

y La solución que se encuentre debe satisfacer las dos desigualdades al mismo tiempo. Para mayor claridad, vamos a resolver la desigualdad anterior con una explicación paso a paso. Volvamos a escribir la desigualdad a resolver:

Primero: debemos partir la desigualdad en dos desigualdades

y Segundo: resolvemos cada desigualdad por separado y encontramos la solución para cada una:

Solución 1

Solución 2

Tercero: realizamos la intersección entre las dos soluciones y encontramos la solución definitiva. Las dos soluciones hasta ahora encontradas son:

Solución 1 Solución 2 Para realizar la intersección, debemos representar las soluciones sobre la recta numérica. La Solución 1 derecha:

la vamos a rayar con líneas inclinadas hacia la

La Solución 2 izquierda:

la vamos a rayar con líneas inclinadas hacia la

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

En donde las líneas se crucen será la solución. Solución definitiva

Veamos otro ejemplo: Resolver la siguiente desigualdad:

Primero: debemos partir la desigualdad en dos desigualdades

y

Segundo: resolvemos cada desigualdad por separado y encontramos la solución para cada una:

Solución 1

Solución 2 Tercero: realizamos la intersección entre las dos soluciones y encontramos la solución definitiva. Las dos soluciones hasta ahora encontradas son:

Solución 1 Solución 2 Para realizar la intersección, debemos representar las soluciones sobre la recta numérica. La Solución 1 derecha: La Solución 2 izquierda:

la vamos a rayar con líneas inclinadas hacia la

la vamos a rayar con líneas inclinadas hacia la

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

En donde las líneas se crucen será la solución. Solución definitiva

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Desigualdades cuadráticas y de orden superior Cuando la incógnita está elevada al exponente 2, se dice que tenemos una desigualdad cuadrática. Si la incógnita está elevada a un exponente mayor que 2, se dice que es una desigualdad de orden superior. El grado depende del mayor exponente de la expresión. Para solucionar una ecuación de orden superior, debemos pasar todos los términos a un lado de la desigualdad y dejar cero al otro lado. Enseguida, se factoriza la expresión y cada término se soluciona por aparte. La respuesta final se encuentra utilizando el método del “cementerio” Para una mayor claridad, vamos a solucionar un ejercicio y lo explicaremos paso a paso: Solucionar la siguiente desigualdad:

Primero: pasamos todos los términos a un lado de la desigualdad y al otro lado dejamos el cero:

Reducimos términos semejantes:

Segundo: factorizamos la expresión:

Tercero: cada factor lo desarrollamos por aparte como una desigualdad:

Cuarto: ahora ya tenemos dos soluciones. Cada número es el extremo de su solución. Vamos a ubicarlos sobre una recta numérica y solucionaremos la desigualdad por el método del “cementerio”. 2

3

Ahora colocaremos al lado izquierdo, en cada casilla, los factores que quedaron en la desigualdad:

2

3

Ahora, cogemos cada factor y realizamos el siguiente análisis: o sea, es positivo (mayor que cero) cuando , entonces, a la derecha del número 3 colocamos el signo más (+) y a la izquierda signo menos en cada casilla. 2

3

o sea, es positivo (mayor que cero) cuando , entonces, a la derecha del número 2 colocamos el signo más (+) y a la izquierda signo menos en cada casilla. 2

3

Después, multiplicamos los signos verticalmente: 2

3

Revisamos cuál es el signo de la desigualdad que quedó al final cuando todo está factorizado:

El signo final es lo que significa que debemos coger los signos positivos que resultaron de la multiplicación de signos: 2

3

Los signos positivos se encuentran en los intervalos entre

y

La solución es la unión de los dos resultados: Solución: Los intervalos son cerrados porque el símbolo de la desigualdad es

Ahora, veamos otro ejemplo. Solucionar la siguiente desigualdad:

Primero: pasamos todos los términos a un lado de la desigualdad y al otro lado dejamos el cero:

Reducimos términos semejantes:

Segundo: factorizamos la expresión:

Para factorizar la expresión anterior, debimos utilizar el método de división sintética. Si el estudiante quiere recordar este método, vaya a: Menú - Álgebra – Factorización

Tercero: cada factor lo desarrollamos por aparte como una desigualdad:

Cuarto: ahora ya tenemos tres soluciones. Cada número es el extremo de su solución. Vamos a ubicarlos sobre una recta numérica y solucionaremos la desigualdad por el método del “cementerio”. -3

-1

2

Ahora colocaremos al lado izquierdo, en cada casilla, los factores que quedaron en la desigualdad:

-3

-1

2

Ahora, cogemos cada factor y realizamos el siguiente análisis: o sea, es negativo (menor que cero) cuando , entonces, a la derecha del número 1 colocamos el signo más (+) y a la izquierda signo menos en cada casilla.

-3

-1

2

o sea, es negativo (menor que cero) cuando , entonces, a la derecha del número 2 colocamos el signo más (+) y a la izquierda signo menos en cada casilla.

-3

-1

2

o sea, es negativo (menor que cero) cuando , entonces, a la derecha del número -3 colocamos el signo más (+) y a la izquierda signo menos en cada casilla. -3

-1

2

Después, multiplicamos los signos verticalmente: -3

-1

2

Revisamos cuál es el signo de la desigualdad que quedó al final cuando todo está factorizado:

El signo final es lo que significa que debemos coger los signos negativos que resultaron de la multiplicación de signos: -3

-1

2

Los signos negativos se encuentran en los intervalos entre

y

La solución es la unión de los dos resultados: Solución: Los intervalos son abiertos porque el símbolo de la desigualdad es , es decir, no da la posibilidad de que sea igual, o sea, la solución NO incluye los extremos.

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Desigualdades racionales Cuando se habla de racional, estamos hablando de fraccionarios. Una desigualdad racional es aquella que tiene incógnitas en el denominador. La siguiente es una desigualdad racional:

Las desigualdades racionales se resuelven muy parecido a las desigualdades cuadráticas o de orden superior. Se factorizan las expresiones arriba y abajo (en el numerador y en el denominador), luego se coge cada factor por separado y por último, se resuelve utilizando el método del “cementerio”. Al momento de resolver desigualdades racionales tenga en cuenta lo siguiente: Si el signo de la desigualdad tiene los signos o , los factores que están en el denominador se deben trabajar con los signos o . Lo anterior, debido a que el denominador no puede ser igual a cero. Esto significa, que los intervalos que incluyan los extremos del denominador, van abiertos. Cuando tenga una desigualdad racional, NO se le ocurra pasar el denominador a multiplicar al otro lado. Pase todo para un lado, saque mínimo común múltiplo (mcm) y deje el denominador normal. Para ilustrar lo anterior, veamos un par de ejemplos explicados paso a paso: Resolver la siguiente desigualdad racional:

Primero: debemos dejar todo en un solo lado y al otro lado el cero, luego si es necesario sacamos mcm y dejamos la fracción. En este caso no es necesario, por lo tanto procedemos a factorizar el numerador, porque el denominador ya no se puede factorizar:

Segundo: cada factor lo desarrollamos por aparte como una desigualdad:

Fíjense que el factor del denominador se colocó solamente como > y no como .

Tercero: ahora ya tenemos tres soluciones. Cada número es el extremo de su solución. Vamos a ubicarlos sobre una recta numérica y solucionaremos la desigualdad por el método del “cementerio”. -3

3

5

Ahora colocaremos al lado izquierdo, en cada casilla, los factores que quedaron en la desigualdad:

-3

3

5

Ahora, cogemos cada factor y realizamos el siguiente análisis: o sea, es positivo (mayor o igual que cero) cuando , entonces, a la derecha del número 5 colocamos el signo más (+) y a la izquierda el signo menos en cada casilla.

-3

3

5

o sea, es positivo (mayor o igual que cero) cuando , entonces, a la derecha del número -3 colocamos el signo más (+) y a la izquierda el signo menos en cada casilla.

-3

3

5

o sea, es positivo (mayor que cero) cuando , entonces, a la derecha del número 3 colocamos el signo más (+) y a la izquierda el signo menos en cada casilla. -3

3

5

Después, multiplicamos los signos verticalmente: -3

3

5

Revisamos cuál es el signo de la desigualdad que quedó al final cuando todo está factorizado:

El signo final es lo que significa que debemos coger los signos positivos que resultaron de la multiplicación de signos: -3

3

5

Los signos positivos se encuentran en los intervalos entre

y

La solución es la unión de los dos resultados: Solución: En la solución, el extremo del denominador se colocó abierto, porque la solución NO incluye el número 3.

Veamos otro ejemplo: Resolver la siguiente desigualdad:

Primero: debemos pasar todo a un lado de la desigualdad y dejamos el cero al otro lado:

Hacemos reducción de términos semejantes:

Ahora, debemos sacar el mcm para resolver la fracción. Recuerde que en estos casos cuando son dos fracciones, se multiplica cruzado el denominador es el producto de los dos denominadores:

Hacemos nuevamente reducción de términos semejantes:

Segundo: factorizamos las expresiones tanto del numerador como del denominador:

Tercero: Simplificamos y desarrollamos cada factor por separado como una desigualdad:

Fíjense que el factor del denominador se colocó solamente como > y no como .

Cuarto: ahora ya tenemos dos soluciones. Cada número es el extremo de su solución. Vamos a ubicarlos sobre una recta numérica y solucionaremos la desigualdad por el método del “cementerio”. -6

2

Ahora colocaremos al lado izquierdo, en cada casilla, los factores que quedaron en la desigualdad:

-6

2

Ahora, cogemos cada factor y realizamos el siguiente análisis: o sea, es positivo (mayor o igual que cero) cuando , entonces, a la derecha del número -6 colocamos el signo más (+) y a la izquierda el signo menos en cada casilla. -6

2

o sea, es positivo (mayor que cero) cuando , entonces, a la derecha del número 2 colocamos el signo más (+) y a la izquierda el signo menos en cada casilla. -6

2

Después, multiplicamos los signos verticalmente: -6

2

Revisamos cuál es el signo de la desigualdad que quedó al final cuando todo está factorizado:

El signo final es lo que significa que debemos coger los signos positivos que resultaron de la multiplicación de signos: -6

2

Los signos positivos se encuentran en los intervalos entre

y

Fíjense, que el extremo del factor que está en el denominador es abierto porque la solución NO incluye el valor 2. La solución es la unión de los dos resultados: Solución:

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Desigualdades con Valor absoluto Las desigualdades con valor absoluto normalmente son lineales, por lo tanto, se deben solucionar como las desigualdades lineales. Para resolver una inecuación con valor absoluto, debemos quitar las barras que identifican el valor absoluto . Para poder hacer esto, debemos tener en cuenta cuál de los siguientes casos debemos resolver: Caso I: El valor absoluto es mayor o mayor o igual que la expresión del otro lado de la desigualdad.

Para quitar las barras de valor absoluto, convertimos la desigualdad anterior en dos desigualdades, las resolvemos por separado y luego unimos sus soluciones:

Veamos un ejemplo: Resolver la siguiente desigualdad: Convertimos la desigualdad anterior en dos desigualdades: Desigualdad 1: Desigualdad 2:

Resolveremos cada una por separado y al final uniremos las dos soluciones: Desigualdad 1:

Solución 1: Desigualdad 2:

Solución 2:

Ahora, unimos las dos soluciones y obtenemos la solución definitiva: Solución definitiva:

Caso II: El valor absoluto es menor o menor o igual que la expresión del otro lado de la desigualdad.

Para quitar las barras de valor absoluto, convertimos la desigualdad anterior en una desigualdad simultánea, la cual debemos resolver como aprendimos anteriormente y para encontrar la solución definitiva, debemos hacer intersección de las dos soluciones encontradas:

Veamos un ejemplo: Resolver la siguiente desigualdad: Para quitar las barras del valor absoluto, convertimos la desigualdad dada, en una desigualdad simultánea:

Como ya aprendimos, una desigualdad simultánea se resuelve como dos desigualdades separadas y al final hacemos intersección de sus dos soluciones. Desigualdad 1: Desigualdad 2: Vamos a resolver cada desigualdad: Desigualdad 1:

Solución 1:

Desigualdad 2:

Solución 2: Ahora, intersectamos las dos soluciones y obtenemos la solución definitiva: Solución definitiva:

Caso III: El valor absoluto está a ambos lados de la desigualdad y dentro de cada valor absoluto está la incógnita.

Para quitar las barras del valor absoluto: 1. Elevamos al cuadrado a los dos lados de la desigualdad 2. Resolvemos los cuadrados 3. Pasamos todos los términos a un lado de la desigualdad y al otro lado dejamos el cero 4. Resolvemos el ejercicio como una desigualdad cuadrática o de grado superior.

Veamos un ejemplo: Resolver la siguiente desigualdad:

1. Elevamos al cuadrado a cada lado de la desigualdad y quitamos las barras:

2. Resolvemos los cuadrados:

3. Pasamos todos los términos a un lado de la desigualdad y al otro lado dejamos el cero

5. Resolvemos el ejercicio como una desigualdad cuadrática o de grado superior. Factorizamos la expresión por el método de la ecuación cuadrática:

Reemplazamos estos valores en la fórmula de la ecuación cuadrática:

Entonces, la expresión

Ahora, resolveremos “cementerio”:

factorizada queda:

la

desigualdad

utilizando

el

método

del

si si

Ya hemos obtenido los dos puntos extremos, entonces vamos a hacer la operación del cementerio:

3

Solución:

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