“ VALOR ABSOLUTO “ El valor absoluto de un número es la distancia que hay entre el cero y ese número sobre la recta numérica. El sÃ−mbolo se utiliza para indicar el valor absoluto El valor absoluto de cualquier número diferente a 0, siempre es positivo. El valor absoluto de cero, es cero. Si a representa cualquier número real entonces: a si a 0 ( positivos ) -a si a < 0 (negativos ) Ejercicio. Ordenar de mayor a menor a) 6, 2, - 1, I 3 I, I 5 I

6, 5, 3, 2, - 1,

b) 4, -2, 8, l - 6 l, - l 3 l

8, 6, 4, -2,

c) l 9 l, l 4 l, l -12 l, l 3 l, l -5 l

12, 9, 5, 4, 3

d) - l 5 l, - l 6 l,- l 7 l, l -8 l, l -9 l NOTA.

9, 8, -5, -6, -7

En el ejercicio siguiente se deben resolver por orden asÃ−: 1.2.3.- valor absoluto 1.- Potencias y RaÃ−ces 2.- Multiplicaciones y divisiones 3.- Suma y Resta TIP. Resolver de adentro hacia fuera Ejercicio

1

¿ Que propiedad se aplicó ? • dos entre dos reflexiva • sÃ− x = a 5, entonces 5x simétrica • sÃ− x + 2 - 8 entonces 3 = x+2 simétrica • sÃ− x = 3 y 3=y entonces x=y transitiva • sÃ− x= 4 entonces x+3 = 4+3 reflexiva transitiva • sÃ− 2x = 4 entonces 3 ( 2x ) = 3 ( 4 ) reflexiva PROPIEDADES DE LA DESIGUALDAD Para todos los números reales a, b, c a=a sÃ− a = b, entonces b = a sÃ− a = b y b = c entonces

Propiedad Reflexiva Propiedad Simétrica Propiedad Transitiva

a=c . Ejemplos. Propiedad Reflexiva. 3=3 x+5=x+5 Propiedad Simétrica sÃ− x = 3 entonces 3 = x sÃ− y x + 4 entonces x + 4y sÃ− y = + 2x -3 entonces + 2x - 3 = y Propiedad Transitiva sÃ− x = a y a = 4y entonces x = 4y sÃ− a +b = c y c = 4r entonces a + b - 4r sÃ− 4k +3r = 2m y 2m = 5w + 3 entonces 4k + 3r = 5w + 3 “ DESIGUALDADES “ Los sÃ−mbolos de la desigualdad son: > mayor que mayor ó igual que 2

< menor que menor ó igual que Una expresión matemática que contiene uno o mas de los sÃ−mbolos anteriores se llama desigualdad. La dirección del sÃ−mbolo de desigualdad es en ocasiones llamado sentido de la desigualdad. Algunos ejemplos de desigualdad con una variable son: 2x + 3 4x < 3x -5 -3 Para resolver una desigualdad se debe despejar la variable en un lado del sÃ−mbolo de desigualdad. Para despejarla se usan las mismas técnicas empleadas en la solución de ecuaciones. PROPIEDADES • sÃ− a > b, entonces a + c > b + c • sÃ− a > b, entonces a-c > b - c • sÃ− a > b y c > o, entonces ac > bc • sÃ− a > b y c > o, entonces a/c > b/c • sÃ− a > b y c < o, entonces ac < bc • sÃ− a > b y c < o, entonces a/c < b/c Las dos primeras propiedades, establecen que el mismo número puede sumarse o restarse en ambos lados de la desigualdad. la tres y cuatro indican que ambos lados de la desigualdad pueden multiplicarse o dividirse por cualquier número real positivo. En la quinta y sexta indican que cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplo. 7 > 2 12>8 7 ( - 1 ) 2 ( -1 ) 12 < 4 8 < 4 -7 < - 2 - 3 < - 2 El conjunto solución de 1 desigualdad con una variable puede graficarse en la recta numérica o escribirse en la notación de intervalos SOLUCION DE LA DESIGUALDAD x>a xa x
SOLUCION INDICADA EN LA RECTA NUMERICA

SOLUCION REPRESENTADA EN NOTACIÃ N DE INTERVALOS (a , ) [a , ) (- , a) (- , a] 3

a
(a , b) [a , b[ (a , b] [a , b)

El circulo sin sombrear indica que el final no es parte de la solución En la notación de intervalos, los corchetes se utilizan para indicar que los intervalos finales son parte de la solución y los paréntesis, para indicar que los intervalos finales no son parte de la solución. El sÃ−mbolo infinito indica que el conjunto solución continua indefinidamente y siempre se usa el paréntesis Ejercicio: SOLUCIà N DESIGUALDAD x5 x<3 2
RECTA NÃ MERICA

SOLUCIÃ N EN NOT. INTERVALOS [5 , ) ( , 3) (2 , 6] [-6 , -1] [-4 , 2)

4