Capítulo 1 La actividad matemática como “asunto” de la enseñanza

matemáticas que tiene un alumno y no sólo las concernientes al tema en el que está trabajando en un momento dado, su posicionamiento con respecto a la disciplina, el rol del docente en la producción de conocimientos del estudiante son tratados en la última parte del capítulo completando un panorama que, intencionalmente, se muestra complejo y desafiante.

Nuestra visión de la matemática

Mapa del capítulo En este capítulo proponemos una visión de la complejidad de la actividad matemática en la clase tomando como doble referencia por un lado nuestra perspectiva de la matemática como disciplina científica y por otro las condiciones institucionales en las que la actividad de producción en la clase deberá insertarse. La noción de modelización ofrece la posibilidad de pensar el trabajo matemático de manera integrada superando los enfoques que hacen énfasis en algún aspecto particular del trabajo matemático en desmedro de otros. Haciendo eje en la actividad de modelización situamos el papel de las técnicas y de las formas de representación. Ubicamos luego la idea de modelización en el ámbito de un cierto dominio matemático y analizamos la necesidad de examinar, para cada teoría que es objeto de enseñanza, el núcleo de problemas alrededor del cual se organizará la misma, considerando las herramientas con las que contará el alumno para su estudio. La consideración del conjunto de ideas

Nos ubicamos en una perspectiva según la cual la matemática es un producto cultural y social. Cultural, porque sus producciones están permeadas en cada momento por las concepciones de la sociedad en la que emergen, y condicionan aquello que la comunidad de matemáticos concibe en cada momento como posible y como relevante. El análisis histórico es rico en episodios al respecto. Por ejemplo, la civilización griega del período clásico supuso que los hechos de la naturaleza obedecen a un orden que puede ser conocido a través de la Matemática (Kline, M; 1985). En particular, para los pitagóricos todos los objetos estaban hechos de partículas elementales de materia o “unidades de existencia” combinadas con las distintas figuras geométricas. El número total de unidades representaba el objeto material. El número era la materia y la forma del universo. Esto permite comprender por qué le atribuían a los números formas geométricas y por qué el estudio de la aritmética se centraba en las propiedades de estos “tipos de números” (triangulares, cuadrados, etc.).2

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Ver Carmen Sessa (2005) : Iniciación al Estudio didáctico del Algebra, de esta misma colección

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La matemática es también un producto social, porque es producto de la interacción entre personas que se reconocen como pertenecientes a una misma comunidad. Las respuestas que plantean unos, dan lugar a nuevos problemas que visualizan otros, las demostraciones que se producen se validan según las reglas que se aceptan en cierto momento en la comunidad matemática. Son reglas que van se van transformando en función de los conocimientos y de las herramientas disponibles, lo cual lleva a pensar que la idea misma de rigor matemático, cambia con el tiempo.

La génesis escolar del trabajo matemático Dado que es la actividad matemática en tanto actividad de producción la que nos interesa “producir” –que se produzca- en la escena del aula, tomar las ideas anteriores como referencia es para nosotros ineludible. Sin embargo pensar que “el asunto” de la clase es la actividad matemática –incluyendo los resultados de dicha actividad, por supuesto- no es una postura unánimemente compartida entre todas las personas involucradas en la educación matemática: hay quienes se centran en comunicar algunos “resultados” a la manera de discurso acabado, hay quienes hacen un recorte para la enseñanza que no toma al conjunto de la actividad matemática como referencia sino sólo una parte, y conciben la enseñanza como la comunicación de técnicas aisladas. Ni unos ni otros necesitan pensar en una génesis escolar que convoque a los alumnos a un trabajo de reconstrucción de ideas. Aunque la noción de génesis escolar se irá precisando a medida que avancemos en el desarrollo del libro, digamos por ahora que es necesario pensar en un proceso de producción en la clase

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que tenga en cuenta las condiciones de la institución escolar que son esencialmente diferentes de las que rigen la producción de saberes en la ciencia. En primer lugar, los alumnos deberán elaborar conocimientos que – seguramente con rasgos diferentes- ya existen en la cultura. Las herramientas conceptuales que dispondrán para hacerlo serán diferentes de las que fueron utilizadas cuando esos conocimientos “ingresaron” en la comunidad científica de la “mano” de matemáticos profesionales 3. En otros términos, un matemático productor “sabe” muy distinto que un alumno de la escuela concebido como “matemático”, lo cual obliga a pensar qué elementos tendría un alumno para reconstruir una idea que fue elaborada con otras herramientas y desde otro marco conceptual. Por otro lado, muchos de los “objetos” que se tratan en la clase de matemática de la escuela actual, hace varios siglos que “abandonaron” su refugio original en la comunidad matemática y circulan por la sociedad “común”, lo cual ha modificado una y otra vez sus sentidos. Por ejemplo, durante el período griego las razones de números naturales no eran considerados números sino justamente razones –relaciones- en tanto que hoy, los niños nacen en una cultura en la que las razones de números naturales son números y su esfuerzo se concentra en adaptarse desde el vamos a este funcionamiento. Esto hace que la complejidad

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En aras de resaltar las condiciones de funcionamiento del conocimiento escolar, estamos tal vez “simplificando” un poco las cosas: los conocimientos no “ingresan” un día determinado a la cultura ni tampoco lo hacen de la mano de “un” o “unos” matemáticos: se trata normalmente de procesos menos definidos. Pensamos sin embargo, esto no altera lo esencial de lo que queremos comunicar.

que supone concebir un cociente como un número, quede “oculta” en un funcionamiento naturalizado por la sociedad. En segundo lugar, la escuela impone un modo de trabajo según el cual los saberes sólo pueden durar un cierto tiempo en la vida de la clase ya que luego hay que pasar a ocuparse de otros saberes, esto implica un condicionante fuerte a la hora de pensar en procesos de reconstrucción del conocimiento en la escuela ya que los tiempos de aprendizaje no se rigen por la lógica de los “trimestres” o “bimestres”. Digamos finalmente que el sistema a través del cual se acreditan los aprendizajes no siempre “calza bien” con los recorridos que es necesario transitar para involucrarse verdaderamente en un proceso de producción… Es difícil describir la actividad matemática – aún desde la concepción global de pensarla como producto social y culturalsin caer en reduccionismos de algún tipo. Cual-quiera que haya estudiado matemática – es el caso de los profesores actuales o futuros- “tuvo” que resolver unos cuantos ejercicios y problemas como parte de su trabajo de estudiante. Seguramente habrá sorteado para ello complejidades muy diversas: en algunos casos habrá tenido que “replicar” las pautas dadas por un problema “tipo” correspondiente a una cierta teoría, en otros habrá pasado por momentos de incertidumbre – no saber qué hacer, no saber si se hizo bien - aún conociendo que el problema, por ser planteado como parte de las tareas de una cierta asignatura, requería de las herramientas tratadas en dicha asignatura. Algunos problemas habrán “mostrado” aspectos nuevos de una teoría, otros habrán servido para permitir la emergencia de una cierta técnica o para consolidarla; algunos habrán dado la posibilidad de explorar y ensayar poniendo en

juego diversos conocimientos y otros habrán requerido de una herramienta sin la cual el problema no salía. Por otro lado, a través de un problema se pueden buscar resultados de muy diversa naturaleza: elementos de un cierto conjunto (números, matrices, vectores, funciones, etc.), construcciones, conjeturas, demostraciones, representaciones…Al revisar la propia trayectoria de estudio no es fácil establecer cuánto aportó cada una de estas situaciones a construir para uno mismo una representación acerca de qué es la matemática y cuáles son sus asuntos. Si analizamos en profundidad seguramente encontraremos que algunos problemas “abiertos” – esos que requieren tomar muchas decisiones y que generan un gran nivel de incertidumbre-, nos dejaron una huella importante porque nos permitieron acceder a una idea más o menos general mientras que otros pudieron haber sido buenas experiencias pero quedaron aisladas sin que sus resultados se hayan podido insertar en alguna organización teórica. Por eso frases muy acuñadas como “la matemática se ocupa de problemas” o “hay que dar problemas y no ejercicios” o “no hay que dar técnicas”, aunque parcialmente dignas de ser consideradas, dicen poco acerca de cómo estructurar un proyecto de enseñanza.

La noción de modelización Muchos autores (Tíjonov y Kostomárov, 1984; Chevallard, 1989; Gascón, 2000) coinciden en describir a la matemática como una actividad de modelización. Muy sucintamente diremos que un proceso de modelización supone en primer lugar recortar una cierta problemática frente a una realidad generalmente compleja en la que intervienen muchos más

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elementos de los que uno va a considerar, identificar un conjunto de variables sobre dicha problemática, producir relaciones pertinentes entre las variables tomadas en cuenta y transformar esas relaciones utilizando algún sistema teórico matemático, con el objetivo de producir conocimientos nuevos sobre la problemática que se estudia. Reconocer una problemática, elegir una teoría para “tratarla” y producir conocimiento nuevo sobre dicha problemática, son tres aspectos esenciales del proceso de modelización. Tradicionalmente, la noción de modelización se ha reservado para el estudio de sistemas no matemáticos – provenientes generalmente de las ciencias naturales o socialesusando algún sistema teórico de la matemática. Chevallard (1989) sin embargo reivindica también la noción de modelización para pensar la producción de conocimientos de un sistema matemático a través de otro sistema, también matemático. La llama modelización intramatemática. Veamos un ejemplo.

Un ejemplo de modelización intramatemática y algunas reflexiones sobre los procesos involucrados en la construcción y utilización de un modelo matemático

Consideremos el siguiente problema Un número natural excede en 22 a un múltiplo de 5. ¿Cuál es el resto de dividirlo por 3? Es un problema aritmético que admite un modelo algebraico: los números aludidos pueden representarse con la fórmula n = 5 k + 22, con k natural. El modelo pone en evidencia la estructura de los números a los que se refiere

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el problema y permite “producir” números que responden a dicha estructura. Al aplicar la fórmula a una serie de números consecutivos k, se obtienen números que responden a la estructura de números cuyos restos en la división por 3 se quieren estudiar. Estos números consecutivos dan lugar a una primera exploración del problema cuyo análisis permite establecer una regularidad: los restos se van sucediendo en orden: 1, 0, 2, 1, 0, 2….Si se analiza más en profundidad se constata que en todos los casos en los que se obtiene resto 1, en la fórmula se reemplazó la variable por un múltiplo de 3; de la misma manera, los restos 0 corresponden a reemplazos en la fórmula por números de resto 1 y números de restos 2, corresponden a reemplazos en la fórmula por números que tienen resto 2 al ser divididos por 3: k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5 k + 22

22

27

32

37

42

47

52

57

62

67

Resto al ser dividido por 3

1

0

2

1

0

2

1

0

2

1

Ahora bien, dado que la exploración “separa” los números que se van colocando en la fórmula en tres clases (los múltiplos de 3, los que tienen resto 1 al ser divididos por 3 y los que tienen resto 2), sustituir en la fórmula general la variable por expresiones que den cuenta de los restos, permite “ver” cómo el resto del número que se coloca en la fórmula influye en el resto del número que se obtiene:

5 ´ 3 q + 22 = 5 ´ 3 q + 21 + 1 = 3 (5q+7) + 1 5 ´ (3q+1) + 22 = 15 q+ 27 = 3(5q+9) 5 ´ (3q+2) + 22 = 15 q + 32 = 3(5q+10) +2 Si bien el problema admite un primer tratamiento exploratorio, la técnica de sustituir la variable permite comprender mejor las relaciones involucradas en el mismo. La actividad de modelización integra conocimientos de diferente naturaleza. Efectivamente, para abordar el problema hace falta: elegir una relación pertinente y encontrar los medios para representarla, realizar exploraciones, reconocer en las mismas algunas regularidades relevantes, poner en juego conocimientos sobre división entera que permitan ajustar el uso del modelo sustituyendo la variables por expresiones que representen números que tienen un resto dado al ser divididos por 3, saber que transformando una expresión se podrán destacar los restos de todos los números que responden a una cierta estructura, usar de propiedades aritméticas que permitan transformar las expresiones… Resaltemos que para hacer funcionar el modelo 5 k + 22 se hace necesaria la utilización de un conjunto de técnicas cuya potencia no se puede apreciar si se aíslan del problema. ¿Qué queremos decir? Si se planteara por ejemplo en una clase la tarea de sustituir en una expresión algebraica una variable por una cierta expresión o por un número como una actividad en sí misma, la misma no habilitaría para hacer uso de esa técnica en un problema como el que estamos analizando. Profundicemos un poco más cómo puede concebirse la emergencia de ciertas técnicas en el marco de un proceso

de modelización. La exploración inicial, orientada por la intención de encontrar regularidades, permite “separar” los números que tienen distintos restos. Esta exploración puede dar sentido a la técnica y lugar a su emergencia, en el caso en que no esté disponible aún en los estudiantes. El disponer de la misma permite un tratamiento más “seguro” del problema al tiempo que ofrece explicaciones que la exploración no “muestra”. Además, al expresar el problema a través de relaciones, se generan mejores condiciones para ubicar el problema en una clase de problemas, dando de este modo una perspectiva más general. Por este motivo, aunque el problema podría ser enfocado sin la técnica, no es lo mismo disponer de ella que no. Notemos que es interesante y fértil discutir con los alumnos las diferencias entre abordar problemas de este tipo de un modo exploratorio y hacerlo con las herramientas algebraicas; estas discusiones ayudan a comprender la naturaleza de la actividad matemática y a comunicar a los alumnos los fundamentos del trabajo al que se los convoca. Este último punto invita a pensar tanto en la posición del alumno al abordar una problemática como en el papel productor de las interacciones. Nos ocuparemos de estos temas dentro de algunas páginas.

Las “ventajas didácticas” de pensar la actividad matemática como una actividad de modelización

Como señalábamos a propósito del ejemplo, la noción de modelización permite tener una visión integrada del trabajo matemático poniendo en cuestión las miradas que hacen énfasis sobre algún aspecto particular priorizándolo por encima de

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los otros (lo importante son los problemas o lo importante son las técnicas). Efectivamente, la matemática no funciona “separando” problemas, técnicas, representaciones, demostraciones; todas estas “zonas” convergen de diferentes maneras en la tarea de modelización. En general, la insuficiencia de algunas herramientas plantea la necesidad de inventar nuevas técnicas y nuevos modos de representar más potentes o más ajustados; al hacerlo pueden surgir nuevas relaciones y puede accederse a perspectivas más generales. La reflexión sobre los problemas puede dar lugar a la formulación de conjeturas, a la identificación de propiedades que podrán – o no- reformularse en organizaciones teóricas que funcionen más o menos descontextualizadas de los problemas que les dieron origen. La variedad y complejidad de problemáticas que pueden ser interpretadas desde la noción de modelización es enorme: la misma abarca asuntos en los que los modelos matemáticos requeridos están vinculados a dominios específicos de la matemática “sabia” (álgebra superior, análisis matemático, probabilidades) como también cuestiones que pueden ser abordadas desde la escuela primaria. Por ejemplo, se puede interpretar que el aplicar una operación aritmética para anticipar un resultado en una situación – por ejemplo establecer cuántos objetos deben darse a cada una de las b personas que participan de un reparto equitativo de a objetos- es aplicar el modelo división entera a dicha situación. ¿Cuál sería la ventaja didáctica de llamar modelización a algo que siempre hemos pensado como “aplicar una operación”? Además de contribuir – como ya se ha señalado- a tener una visión más integrada de la actividad matemática, la idea de modelización realza el valor educativo que tiene la enseñanza

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de esta disciplina: ofrece la posibilidad de actuar sobre una porción de la realidad a través de un aparato teórico. El expresar una realidad usando una teoría ubica a quien estudia en una perspectiva de mayor generalidad lo cual le permite apreciar el valor y la potencia del conocimiento. Acá radica un aspecto fundamental del sentido formativo que es necesario no perder de vista. Digamos también que la idea de modelización conlleva la idea de producción de conocimiento lo cual permite situar el aspecto central al que se apunta a través de la enseñanza. Chevallard plantea que la noción de modelización per-mite “mirar” globalmente la actividad matemática desde la escuela hasta la universidad y suministra un marco de re-ferencia a partir del cual es posible reconocer diferencias significativas entre diferentes dominios de la matemática, al considerar el tipo de problemas que pueden modelizarse en cada uno de ellos, los modelos que toleran, las herramientas que se usan.

Algunos primeros elementos para discutir el papel de las representaciones en el trabajo matemático La idea de que las representaciones semióticas son una manera de poner por escrito lo ya pensado, está muy difundida en las prácticas de enseñanza. Sin embargo, es una idea difícil de sostener cuando tomamos conciencia de que los objetos matemáticos sólo existen a través de las herramientas que se inventan para expresarlos y de que las posibilidades de producción de conocimiento están condicionadas por la disponibilidad de dichas herramientas. Efectivamente, el análisis histórico de los procedimientos utilizados en las

distintas civilizaciones para realizar cálculos aritméticos por ejemplo, permite apreciar los “beneficios” de la notación posicional para disponer de procedimientos automatizados para las operaciones: es la misma organización del sistema de notación la que hace posible que la escritura de un número “muestre” las relaciones numéricas que informan de manera inmediata los pasos necesarios para operar. La representación de un cierto objeto abarca tanto la construcción de la representación como la posibilidad de operar con dicha representación, realizando transformaciones regidas por las leyes del registro en el que se representa. Distintos autores (Bosch, M.; 1994; Chevallard, Y.; 1996; Bosch, M. y Chevallard, Y.; 1999; Duval, R. 1995) señalan que esas transformaciones cumplen una función en la producción de nuevas relaciones y de nuevas significaciones para relaciones ya conocidas. Por ejemplo, consideremos la expresión n 3- n (en la que n representa un número entero ); al transformar la expresión en su equivalente n (n-1) (n+1), se hace observable que se trata del producto de tres enteros consecutivos, lo cual permite a la vez realizar un análisis que lleva a establecer una nueva relación (el cubo de un número entero menos dicho número es siempre múltiplo de 6). Al mismo tiempo, al poner en juego técnicas de factorización al servicio de este problema particular, resulta posible elaborar una nueva significación de dichas técnicas: permiten resolver problemas de divisibilidad. Consideremos ahora otro “costado” de la cuestión de las representaciones. La exigencia de interpretar una cierta representación semiótica, requiere desentrañar las relaciones implicadas en la misma, lo cual da lugar a la producción de

conocimiento. Supongamos por ejemplo que un alumno que está comenzando a trabajar algebraicamente enfrenta un problema aritmético que relaciona dos variables con un grado de libertad entre ellas (Tengo 100 ruedas entre triciclos y bicicletas, ¿cuántas bicicletas y cuántos triciclos puede ser que tenga?). Es probable que el alumno – esa es nuestra experiencia con algunos estudiantescomience a buscar soluciones “sueltas”, sin darse cuenta de que las mismas pueden ser producidas a partir del único algoritmo. La necesidad de interpretar una fórmula que representa la relación entre las variables ( 3 x + 2 y = 100 en este caso) le ofrecerá condiciones para entender que todas las soluciones del problema “responden” a la misma relación, construyendo de esta manera una perspectiva más general. Con relación al problema anterior, hemos planteado en una clase que los alumnos propusieran escrituras para representar las soluciones del problema, sin haber explicado previamente las convenciones de la fórmula. Al hacerlo, no estábamos esperando que se acercaran lo máximo posible a las escrituras convencionales para luego “completar” desde la enseñanza “lo que les faltare”. Nuestra línea de trabajo ha sido la de generar un espacio tal que al hablar de las escrituras el discurso del docente pudiera entrar en diálogo con las preguntas y las ideas de los alumnos al respecto. En esta perspectiva, presentamos el ejemplo de dos alumnas –Graciela y Fabiana- que, a partir del trabajo propuesto, le formulan a la docente preguntas específicas sobre “las maneras de escribir”. Veamos:

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Graciela: Con Fabiana antes habíamos hecho una fórmula pero escrita, habíamos puesto: busque un número que pueda elegirse para la cantidad de triciclos, luego a eso lo multiplico por 3 y lo resto de 100 y a lo que me da lo divido por 2 y eso me da la cantidad de bicicletas. Profesora: Bien. ¿Cuál es la pregunta? Graciela: ¿Está bien como lo pongo?, porque yo no sé cómo ponerlo en una cuenta, pero sacamos esa conclusión. Profesora: O sea, vos pondrías como pasos... bueno... poné: primero busqué un número X, después... Graciela: Un número X de triciclos y lo multiplico por 3. Profesora: 3X. Graciela: Después 100 – ese número. Fabiana: Yo puse 3X, y ¿cómo hago para escribir con lo que me da esto, 100 – esto? ¿Cómo lo escribo? Profesora: Una posibilidad es poner 100 – esto. Es una opción. Fabiana: 100 – 3X Profesora: Claro. Después, ¿qué hacés? Fabiana: Dividido 2. Pero ¿cómo haría toda la cuenta? Queda claro que cuando Graciela dice “fórmula escrita” se refiere a un relato con palabras –escrito pero, como dice Chevallard (1996), traducción de lo oral-. Su procedimiento

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es, sin duda, general; pero “separado en pasos”, sosteniendo la tradición aritmética. La primera intervención de la docente (¿cuál es la pregunta?) contribuye a que estas alumnas expliciten la distinción entre “poner con palabras” y “poner en una cuenta”. Pareciera que la dificultad está en conseguir una cuenta, es decir, una única relación representando el problema, más que las cuentas en sí. El ejemplo ilustra el salto que supone escribir el problema algebraicamente, pero además nos interesa resaltar que la posibilidad de que las alumnas se formulen preguntas sobre la escritura da mucho más sentido a las explicaciones de la docente. Digamos finalmente – ya lo hemos dicho a propósito de las técnicas- el trabajo con las representaciones cobra sentido cuando se aprecia su potencia para comprender ideas y producir conocimiento y su fertilidad se reduce enormemente cuando la actividad de representación se concibe en sí misma sin estar ligada a una finalidad en el marco de un problemática.

La posición del estudiante frente a la actividad matemática Agreguemos ahora al análisis no sólo las actividades que se han mencionado - problemas, técnicas, representaciones, demostraciones, etc. - sino la posición desde la cual una cierta persona enfoca dichas actividades. No es lo mismo, por ejemplo, encarar un problema sabiendo que es un representante perteneciente a una clase de problemas, abarcados por una teoría (Gascón, 2000) y que se pueden tratar con una cierta técnica, que abordarlo como un caso único y aislado que

tiene un fin en sí mismo. En el primer caso se tiene desde el vamos una actitud generalizadora que “empuja” hacia la producción de conocimientos. (¿Qué es lo general en este problema que me va a servir para entender mejor los asuntos que estoy tratando?) Ahora bien, en la actitud que se asume al enfrentar un problema no interviene solamente la decisión y la voluntad del estudiante que aborda el problema como si esa actitud fuera un don que “se tiene” o “no se tiene”, o una cuestión “moral”. Si bien el proyecto personal comporta un aspecto que es del ámbito de las decisiones íntimas para cada sujeto, se va conformando también a través del juego de interacciones que se promueven en la clase, de las intenciones del docente, de los intercambios que se propician, de las actividades que se priorizan. Efectivamente, un alumno pudo haber resuelto un problema sin poner en juego una perspectiva muy general, pero una invitación del docente a reexaminar de manera colectiva el problema una vez resuelto, cambiando por ejemplo las condiciones de los datos y analizando qué aspectos permanecen y cuáles se modifican, contribuye a modificar la posición del alumno y lo ayuda a instalarse en un proyecto más general. La reflexión sobre el trabajo matemático, “produce” más matemática, este es un asunto esencial sobre el que volveremos una y otra vez.

Normas y creencias regulando el trabajo matemático Frente a la resolución de un problema matemático, muchas veces se hace evidente que para abordarlo hacen falta muchos más conocimientos que los que se pueden reconocer

como pertenecientes al campo teórico en el que se inserta el problema. Estos conocimientos, en general implícitos, regulan el trabajo matemático como si de alguna manera “dictaran” lo que está permitido hacer (y lo que no), lo que conviene hacer (y lo que no), la manera de interpretar ciertos resultados. Muchos de estos conocimientos a los que nos estamos refiriendo constituyen el sistema de normas matemáticas que una persona ha elaborado como producto de su práctica. Algunas de estas normas suelen ser concientes pero muchas de ellas no lo son e irrumpen de pronto a propósito de una cuestión que se está resolviendo condicionando las estrategias que se utilizan. Por ejemplo, en el marco de una secuencia didáctica sobre división entera en clase de séptimo grado, los alumnos debían resolver el siguiente problema: Proponé una cuenta de dividir cuyo cociente sea 43 y cuyo resto sea 27. ¿Cuántas podrías proponer? Si pensás que hay menos de tres, escribilas todas y explicá por qué no hay más. Si pensás que hay más de tres cuentas, proponé al menos cuatro y explicá cómo pueden obtenerse otras. Una alumna aplicó la fórmula dividendo = divisor x 43 + 27, atribuyendo a los divisores los valores 90, 3, 55 y 27. Luego sostuvo que se podrían obtener infinitas cuentas “poniendo un divisor cualquiera”. La profesora invita a esta alumna a constatar si los dividendos y divisores propuestos cumplían las condiciones pedidas. Al comprobar que las cosas no funcionaban con los divisores 3 y 27, se produce el siguiente diálogo:

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Profesora: ¿Y por qué con algunos números da y con otros no, cuando hacés esto por 43 más 27? Alumna:

porque no hicimos el mismo procedimiento

Profesora: ¿Por qué no es el mismo procedimiento? Alumna: Porque si hubiéramos hecho el mismo procedimiento nos hubiera dado. Porque nosotros probamos de muchas formas.

comprende pero también se ponen en juego creencias cuyas razones no se llegan a interrogar nunca (son así). En el marco de una clase, una vez que dichas reglas emergen –como en el ejemplo que acabamos de comentar-, tiene sentido hablar explícitamente de ellas ya sea para rechazarlas, ya sea para aceptarlas, ya sea para considerar sus límites. Volveremos sobre esta cuestión.

La resolución de problemas y la producción de conocimiento Interpretamos que el supuesto de la alumna es que si en un caso obtuvo lo que quería y en otro no, es porque no aplicó el mismo procedimiento. Es decir, ella pareciera creer que un procedimiento queda caracterizado por las operaciones que se realizan para ponerlo en juego y debe poder aplicarse de manera indiscriminada a “todos los números”. Cuando se quiere explicar a sí misma la contradicción surgida entre lo anticipado y lo obtenido, considera que ello se debe a la aplicación de otro procedimiento y no a la extensión del mismo a un dominio en el cual no es válido. Esa creencia justamente le impide buscar “las razones” del error en el hecho de que está usando “divisores” mayores o iguales que el resto. Este pequeño episodio nos permite detectar que la consideración del dominio de validez como uno de los elementos que caracterizan un procedimiento resulta “extraña” para esta alumna. Ahora bien, su creencia se pone de manifiesto en acto a raíz de este problema y no es razonable pensar que ella podría haber explicitado este supuesto en forma de “ley” de manera independiente del problema en el que dicha “ley” se puso en juego. Así funcionan muchas de las reglas que regulan el trabajo matemático: se usan leyes que se pueden justificar, se aplican normas cuya racionalidad se

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Como el lector ya se pudo haber dado cuenta –esperamosestamos proponiendo una discusión que intente traspasar – revisar, matizar, delimitar, contextualizar- ciertas sentencias muy divulgadas acerca de la enseñanza de la Matemática que, desde nuestro punto de vista ocultan la complejidad inherente al proyecto de que otros – los jóvenes que asisten a la escuela secundaria- aprendan a producir conocimiento tomando las pautas de -a la manera de- una disciplina científica. Una de las frases famosas dice que la Matemática avanza a fuerza de resolver problemas. Nosotros adherimos a esta perspectiva, claro, pero sabemos que se necesitan contornear condiciones para recuperar para el aula el papel productor que tienen los problemas. Señalábamos antes la fertilidad didáctica de tener en el horizonte la noción de modelización para describir la actividad matemática. Ahora bien, para que los alumnos puedan modelizar se necesita que dispongan de ciertas herramientas, y nosotros estamos planteando que para construyan esas herramientas, tienen que modelizar! ¿Entonces?

Evidentemente la sola idea de plantear problemas no permite vislumbrar cómo los alumnos podrían reconstruir un aparato teórico que le permitiera reinvertirlo para resolver nuevos problemas, para poner en juego y producir modelos y para elaborar más teoría. Nuevamente puede ser útil pensar en el trabajo del matemático. Efectivamente, un matemático trabaja siempre en alguna teoría, en algún marco y produce y resuelve problemas -que le generan nuevos problemas-, normalmente en ese marco. Su cultura matemática le puede sugerir recurrir a otras zonas dentro de la disciplina para avanzar en la resolución de sus problemas, pero es claro que su práctica está inscripta en un cierto ambiente teórico en el que reconoce y resuelve problemas. Además de resolver problemas, el matemático generaliza, descontextualiza, reorganiza… Desde una perspectiva didáctica pensamos el trabajo de modelización en la clase como vía para que los alumnos tengan una experiencia de producción de conocimientos en el marco de un cierto dominio matemático (divisibilidad, geometría métrica, proporcionalidad, funciones, álgebra lineal, etc., etc.), experiencia que permita además enriquecer la conceptualización teórica en dicho dominio. Esto exige examinar cada dominio o teoría matemática que es objeto de enseñanza, considerando los problemas que los conceptos de dicho dominio permiten abordar, las propiedades que relacionan los conceptos y que se traducen normalmente en estrategias de resolución en la medida en que permiten transformar las relaciones involucradas en un problema, las formas de representación que se prestigian. Este examen debería ayudar a construir un proyecto de enseñanza en el que se considere de qué manera van a “ingresar” en la esfera de trabajo del alumno cada uno de los aspectos que constituyen la

organización teórica que se quiere enseñar y cómo – con qué herramientas del alumno - se van a validar los teoremas y propiedades correspondientes. El análisis de las condiciones para fundamentar al nivel de los conocimientos de los alumnos las propiedades que se estudiarán vinculadas a cierta temática, requiere a veces una reconstrucción por parte del profesor que lo sitúa en un verdadero trabajo de producción matemática. Efectivamente, en muchas ocasiones deberá inventar demostraciones nuevas para propiedades muy familiares para él pero que se demuestran normalmente apelando a conocimientos que los alumnos no tienen en el momento en que tienen que estudiar dichas propiedades. (¿Cómo puedo demostrar en la clase la relación entre las pendientes de rectas perpendiculares si mis alumnos todavía no vieron trigonometría?; Quiero dar parábola, ¿es necesario para analizar cómo obtener las coordenadas del vértice, que enseñe antes cómo obtener las raíces?; Empecé el estudio de la función exponencial proponiendo modelizar una situación en la que una población de bacterias aumenta un 20% cada media hora, ¿cómo “paso” de esta situación a la función exponencial sobre un dominio continuo: no digo nada o me embarco en discutir con los alumnos la diferencia entre una situación discreta y una continua? Desnaturalizar el conocimiento matemático correspondiente a un cierto dominio o campo matemático que constituye el proyecto de enseñanza es indispensable cuando se piensa en procesos de reconstrucción de dicho dominio en el marco escolar: ¿qué problemas son potentes para que los alumnos estudien y comprendan el funcionamiento de las cuestiones involucradas en esta teoría? ¿aunque estos problemas parecen

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similares pensando en las herramientas matemáticas necesarias, tienen todos la misma complejidad desde la perspectiva del alumno? ¿cuáles son las propiedades imprescindibles? ¿se van a demostrar todas? ¿cómo se decide cuáles se demuestran y cuáles solamente se enuncian? ¿con qué estrategias podrán abordar los alumnos los problemas que se propondrán? ¿qué grado de explicitación admiten dichas estrategias? ¿es posible identificar un conjunto de técnicas que permiten resolver estos problemas? ¿vale la pena hacerlo? ¿qué aspectos quedan a cargo del alumno y pueden ser reconstruidos por él y qué aspectos es necesario explicar para que puedan trabajar en el dominio teórico que se está tratando? ¿qué aspectos de este dominio no se van a trabajar y por qué? ¿es posible comparar el funcionamiento de este tema con el de otros que los alumnos han estudiado?, ¿es fértil dicha comparación? Queda claro que las respuestas a estas cuestiones pueden ser muy diversas, están muy condicionadas por la institución en la que se va a desplegar la enseñanza y dependen también del sentido que el docente atribuye a su proyecto. Cualesquiera fueran los modos de contestar estos interrogantes, los mismos ofrecen un marco para pensar la enseñanza y ponen en evidencia la cantidad de decisiones didácticas inherentes a la tarea de enseñar matemática que el docente debe enfrentar.4 4

Las preguntas que proponemos como marco para estudiar un cierto dominio que va a ser enseñado, están inspiradas en la producción de diferentes autores que ofrecen herramientas conceptuales para estudiar la actividad matemática. Al respecto citemos que en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico cuya referencia principal es Y. Chevallard, el saber matemático se describe en términos de organizaciones matemáticas institucionales. P. Bolea, M. Bosch y J. Gascón (2001) plantean : “una organización matemática surge como respuesta a una cuestión o a un conjunto de cuestiones. No se dice qué es una organización matemática, pero se da un esbozo de su estructura postulando que está constituida por cuatro componentes principales: tipos de problemas, técnicas, tecnologías y teorías”. Los autores enfatizan la relación dinámica entre estas

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Un pequeño ejemplo de producción a partir de un problema Vamos a analizar – como ejemplo- la potencialidad de un problema pensado como medio para gestar y sostener un proceso de producción en clase, vinculado a cuestiones de divisibilidad. Como aprendimos con Mason (1996) los ejemplos son asuntos complicados: para quien lee, el ejemplo se confunde con el todo en tanto que para quien escribe el ejemplo es una selección de una totalidad construida a través de una experiencia de la cual sólo se puede comunicar una parte. Pero nos animaremos igual con el ejemplo advirtiendo al lector sobre los riesgos que asumimos. Se trata de un problema que se podría proponer en un primer año de la escuela secundaria,

componentes, y reconocen dos aspectos inseparables: la práctica matemática o praxis (formada por tareas y técnicas) y el discurso razonado sobre dicha práctica (formado por tecnologías y teorías). Una organización matemática es entonces un complejo de técnicas tecnologías y teorías organizadas alrededor de un tipo de tareas (Bosch, M. y Chevallard, Y.; 1999). Por otro lado, Vergnaud (1990) desde una perspectiva cognitiva señala que un concepto es una terna compuesta por el conjunto de situaciones que dan sentido al concepto, el conjunto de esquemas invariantes que el sujeto utiliza para tratar dichas situaciones y las formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el concepto. Al centrar el análisis en la perspectiva del sujeto, Vergnaud advierte que no hay correspondencia entre el saber matemático estructurado y el modo en que el sujeto va a elaborando conocimiento matemático. Esto ayuda a comprender por qué problemas que son muy similares desde la perspectiva matemática son esencialmente diferentes para el sujeto que está aprendiendo. Este reconocimiento pone en evidencia la necesidad de tratarlos en la clase de manera diferenciada.

apuntando a revisar las relaciones concernientes a la división entera.5 En una tabla de 6 columnas e “infinitas” filas, se van ubicando consecutivamente el cero y “todos” los números naturales: 0 6 12 18 24 30 36 .

1 7 13 19 25 31 37 .

2 8 14 20 26 32 38 .

3 9 15 21 27 33 39 .

4 10 16 22 28 34 40 .

5 11 17 23 29 35 41 .

a) ¿En qué fila y en qué columna se encuentra el 126? b) ¿Qué número se encuentra en la novena fila, segunda columna ? c) Proponer dos números mayores que 1000 que se encuentren en la misma columna que el 130.

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Este problema ha sido trabajado con maestros de escuela primaria en el marco de un postítulo en Enseñanza de la Matemática para el nivel primario que se desarrolla en la Escuela de Capacitación CEPA de la Ciudad de Buenos Aires, que coordinamos junto con Carmen Sessa. La implementación del problema ha generado muchísimas discusiones en el equipo de docentes del postítulo integrado por Daniel Arias, Diego Barcos, Valeria Borsani, Verónica Cambriglia, Mara Cedrón, Diana Giuliani, Gioia Guerberoff, Cecilia Lamela, Hernán Münch, Andrea Novembre, Héctor Ponce, María Emilia Quaranta, Silvia Segal, Paola Tarasow y Graciela Zilberman. El análisis que aquí se realiza es tributario de esas discusiones.

d) ¿Qué número se encuentra en la fila 37, columna 3? e) ¿Dónde se encuentra el 27643? f) Se va a hacer otra tabla con un criterio similar pero con 7 columnas. ¿En qué fila y columna estará el 126? Para esta segunda tabla, qué número se ubica en la fila 8, columna 4? g) Ahora se tiene otra tabla, de la cual se conoce una columna : 7 19 31 ... ¿Se puede saber de cuántas columnas es la tabla? ¿Cómo se podría decidir si el 1147 está en esa misma columna? Es claro que con sólo leer el enunciado del problema no es posible acceder a la intención didáctica de quienes lo proponen, ya que el mismo puede dar lugar a relaciones diversas según cuánto se tire de la cuerda, una vez respondidas las primeras cuestiones. Esta es una primera moraleja que nos gustaría resaltar: la actividad matemática que potencialmente un problema permitiría desplegar no está contenida en el enunciado del problema sino que, como veremos, depende sustancialmente de las interacciones que a propósito del problema se pueden generar. Los números en la tabla están dispuestos respetando ciertas relaciones que se intenta que los alumnos establezcan. Es bastante sencillo que repararen rápidamente que los números de la primera columna son múltiplos de 6, y con eso alcanza

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para establecer fila y columna del 126. Ahora bien, para muchos estudiantes no es evidente a partir de esta primera relación, que los números de las otras columnas también van de 6 en 6 y tampoco resulta observable que esto último es equivalente a decir que los números de una misma columna tienen el mismo resto al ser divididos por 6. Todas estas cuestiones están involucradas en el problema y es factible que se movilicen en alguna medida cuando los alumnos deben abordar las preguntas que hacen insuficiente el contar “a mano”. En principio, cuando se pide la ubicación de números “grandes” se está comunicando implícitamente la idea de que hay relaciones generales que es pertinente utilizar, pero esto no implica de manera inmediata que los alumnos asuman dicha generalidad. Este posicionamiento puede lograrse – para quienes no lo tengan de entrada- como producto de una construcción favorecida por las discusiones que se generen en la clase a propósito del problema. Hemos tenido la experiencia de alumnos que reconocen localmente la división por 6 como una estrategia para ubicar la fila y la columna de un número determinado, pero no toman conciencia de que cualquier número puede ubicarse mediante esta estrategia. Por otro lado, algunos alumnos usan la división sin entender acabadamente por qué el modelo división resuelve el problema de manera general. Esto último implica reconocer que todo número de la tabla – y por lo tanto, todo númeropuede expresarse como un múltiplo de 6 más un número entre 0 y5 y dividir un número por 6, es ubicarlo entre dos múltiplos consecutivos de 6.

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Pensar la división de un número natural por un número a como la ubicación de ese número entre dos múltiplos consecutivos de a, no es una idea que surge de manera inmediata de la práctica de haber usado la división entera en el contexto de las situaciones de reparto equitativo. En otros términos, este problema no plantea solamente una aplicación del concepto de división entera que ya se tiene, sino un nuevo sentido que pone en evidencia relaciones diferentes de las que están en juego en el contexto del reparto. Ahora bien, establecido que la división entera permite contestar las primeras cinco cuestiones, es posible examinar algunas relaciones de la tabla y formular conjeturas. En principio, del análisis surge que dos números que están en la misma columna difieren en un múltiplo de 6 o, dicho en otros términos la diferencia de dos números de la misma columna es un múltiplo de 6. La experiencia de la tabla está muy “pegada” a esta relación como para que los alumnos acepten la necesidad de validarlas más allá “de lo que ven en la tabla”. Despegar la relación de la tabla da sentido a interrogarse por su validez: ¿es verdad que si dos números tienen el mismo resto al ser divididos por 6, su diferencia es un múltiplo de 6? En principio, es verdad “en la tabla”. ¿Qué pasa fuera de ella? Estas cuestiones no forman parte de las preguntas iniciales del problema pero el trabajo realizado ofrece un contexto que permite al docente formularlas pensando que habrá

algunos elementos para su validación. En otros términos, el problema de la tabla se trata de manera general con el modelo división entera, pero a la vez, identificado el modelo, es posible formular conjeturas sobre dicho modelo, primero contextualizadas en la tabla para luego plantearse su descontextualización. Es difícil pensar que un alumno podría plantearse estas conjeturas. Aunque lo hiciera de manera personal, es de todos modos el docente quien está autorizado a proponerlas como un asunto digno de ser tomado en cuenta en la clase. Se puede apreciar acá cómo el problema se plantea con la intención de tener un contexto a partir del cual proponer a la clase algunas cuestiones más teóricas. Entre su intención matemático - didáctica y su apreciación sobre las posibilidades de la clase, el docente elige un contexto que permite generar trabajo matemático en el aula. Al despegar la última conjetura de su “atadura” a la tabla, es posible pensar en argumentos para su validación un poco más descontextualizados. Aunque algunos alumnos responderán que la conjetura es verdadera porque dos números que tienen el mismo resto al ser divididos por 6 están en la misma columna de la tabla y, como los de la misma columna van de 6 en 6, difieren en un múltiplo de 6, otros podrán producir argumentos más independientes de la vida de los números adentro de la tabla. Para el docente es interesante reparar en el nivel de generalidad de dichos argumentos y no esperar solamente demostraciones escritas en el lenguaje del álgebra. Aunque estas últimos puedan surgir –dependerá sin duda de la experiencia que tengan los alumnos con el uso de las letras para representar variables - no son imprescindibles en este caso. Un alumno podría plantear, por ejemplo, puedo pensar un múltiplo de 6 más un número, como bolsitas de 6 elementos más una cantidad de elementos “sueltos”.

Si resto dos de estos números, los “sueltos” desaparecen y queda un múltiplo de 6. Aunque el argumento está ligado a una representación – las bolsitas- con la que seguramente después será difícil operar, por ahora su explicación es general y es válida. Es interesante pensar en la confrontación entre modos de proponer los argumentos sin dar, en principio, mayor estatus a unos que a otros, de manera que los alumnos puedan pensar la potencia de cada uno. Analizada la conjetura anterior, tiene sentido preguntar por su recíproca: Si la diferencia de dos números naturales es un múltiplo de 6, ¿es verdad que tienen el mismo resto al ser divididos por 6? Acá los argumentos ligados a la tabla son menos convincentes y tiene más sentido la escritura algebraica: a=6q+r b = 6 q’ + r’ r y r’ son números entre 0 y 5. a – b = 6 (q – q’) + r – r’. Como r – r’ debe ser un múltiplo de 6 y además cada uno de ellos es un número entre 0 y 5, la única posibilidad es que r-r’ sea 0 y por lo tanto r = r’. En síntesis, el problema ofrece un sentido para la división entera no construido a partir de uso de la operación en situaciones de reparto. Identificada la división entera como instrumento de resolución, la tabla ofrece un contexto de formulación y validación de conjeturas sobre la división entera, conjeturas que después pueden descontextualizarse para ir a parar a una pequeña teoría de la aritmética de los números naturales. Las primeras relaciones que se producen al contestar

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las preguntas iniciales, se toman como objeto de discusión para producir nuevas y más descontextualizadas propiedades. La reflexión sobre las acciones realizadas ofrece un contexto de producción matemático que contribuye a que el alumno se posicione de una manera más general y más teórica. Las otras cuestiones planteadas ofrecen la posibilidad de extender las relaciones concibiendo tablas cualesquiera. De esta manera, las relaciones producidas considerando el divisor 6, se extienden a un divisor cualquiera y el problema de la tabla del 6, pasa a ser un problema dentro de una clase: los problemas de tablas de n columnas que pueden ser tratados a partir de la relación n q + r, con r