Capítulo 12 Sistemas de control

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Caso estacionario En un sistema de control el punto de equilibrio se determina resolviendo las ecuaciones que definen el sistema simultáneamente. Supondremos dos procesos acoplados dados por las ecuaciones y = f (x, p) y x = g(y), en donde p es un parámetro. Definimos la ganancia G del sistema como: G = G1 G2 =

df dg dx dy

G nos mide el grado de retroalimentación del sistema y determina la variación de x e y ante cambios en los otros parámetros. El cambio en y debido a una variación de p sin retroalimentación es: 



∂f (x, p)  ∆y 0 =  ∆p ∂p y Con retroalimentación, el cambio en y vale: ∆y =

∆y 0 1−G

Procesos con un tiempo característico Si el tiempo característico τ1 de un proceso es mucho mayor que el otro, el tiempo de recuperación del sistema τ es igual a: τ=

τ1 . 1 − G1 G2

La evolución temporal de la variable y, correspondiente a τ1 , es: y = y0 +

h(p − p0 ) (1 − e−t/τ ). 1 − G1 G2

y la de la variable x:

y − y0 G1 y0 y x0 son los valores de equilibrio para p = p0 . x = x0 +

Tiempos característicos similares Cuando un sistema con dos tiempos característicos τ1 y τ2 similares tiende al equilibrio, oscila o no dependiendo del valor de r = τ1 /τ2 . El caso crítico corresponde a: (1 + r)2 = 1 − G. 4r Si el término derecho de esta ecuación es menor que el izquierdo, el sistema oscila, y viceversa.

Problema 12.1 Las dos variables de un sistema retroalimentado están relacionadas mediante las ecuaciones: y = 3x − 4 4 x= , y siendo x mayor que cero. Determina: (a) los valores de x e y en el punto de equilibrio, (b) la ganancia del sistema, (c) el tiempo de recuperación característico sabiendo que el de la variable x por separado es de 0.2 s y el de la variable y es mucho menor.

Problema 12.2 Una de las dos variables de un sistema retroalimentado posee un tiempo de reacción característico de 15 ms, mucho mayor que el de la otra variable del bucle. La ganancia del sistema es de −0.7. ¿Cómo tiende dicho sistema al equilibrio?

Problema 12.3 Las dos variables de un sistema retroalimentado están relacionadas mediante las ecuaciones: x2 y= 4 x = 4 − 2y, siendo x mayor que cero. Determina: (a) los valores de x e y en el punto de equilibrio, (b) la ganancia del sistema, (c) el tiempo de recuperación característico sabiendo que el de la variable y por separado es de 30 ms y el de la variable x es mucho menor.

Problema 12.4 ¿Para qué valores de la ganancia oscila un sistema cuyos dos tiempos característicos son iguales cuando tiende al equilibrio?

Problema 12.5 Un sistema retroalimentado posee una ganancia de −1.5. ¿Para qué valores de τ1 y τ2 oscila cuando tiende al equilibrio?

Problema 12.6 Las dos variables de un sistema retroalimentado y un parámetro externo p están relacionados mediante las ecuaciones: y = 2x + 10 − p 42 x= + 20. y Determina: (a) los valores de x e y en el punto de equilibrio cuando p = 10, (b) la ganancia del sistema, (c) el cambio en y debido a un cambio en p de 0.2, (d) el tiempo de recuperación característico sabiendo que el de la variable y por separado es de 0.2 s y el de la variable x es mucho menor, (e) la evolución temporal de x e y cuando a partir de t = 0 hacemos p = 11, suponiendo que el sistema es lineal.

Problema 12.7 Deduce la ecuación diferencial de segundo grado que gobierna el comportamiento temporal de la variable w en un sistema de control con dos tiempos característicos similares. Obtén una solución de la parte homogénea de dicha ecuación por substitución de la expresión: w = Ae−bt , en donde A es una constante real y b una constante compleja. ¿Qué característica de b nos dice si hay o no oscilaciones?

Problema 12.8 Consideremos un proceso con un solo tiempo característico, pero con control proporcional y derivativo. La ecuación que gobierna el comportamiento de v, en vez de (12.18), es en este caso: τ1

dv d(G1 u + hq) + v = G1 u + hq + τd . dt dt

Demuestra que el tiempo característico de tendencia al equilibrio de dicho sistema viene dado por: τ=

τ1 − τd G 1 G 2 . 1 − G1 G2

12.1 Las dos variables de un sistema retroalimentado están relacionadas mediante las ecuaciones: y = 3x − 4 4 x= , y siendo x mayor que cero. Determina: (a) los valores de x e y en el punto de equilibrio, (b) la ganancia del sistema, (c) el tiempo de recuperación característico sabiendo que el de la variable x por separado es de 0.2 s y el de la variable y es mucho menor.

(a) Para obtener el punto de equilibrio resolvemos el sistema de ecuaciones: x=

4 3x − 4

=⇒

3x2 − 4x − 4 = 0

y despejamos x:

√ 4 + 12 x= . 3 Como el valor positivo es el único válido, x = 2. Entonces y = 2. 2±

(b) La ganancia del sistema vale: df dg d(3x − 2) d(4/y) = dx dy dx dy 4 4 = −3 2 = −3 2 = −3. y 2

G = G1 G2 =

(c) El tiempo de recuperación característico es: τ=

τ1 0.2 = = 0.05 s. 1−G 1+3

12.2 Una de las dos variables de un sistema retroalimentado posee un tiempo de reacción característico de 15 ms, mucho mayor que el de la otra variable del bucle. La ganancia del sistema es de −0.7. ¿Cómo tiende dicho sistema al equilibrio?

El tiempo de recuperación del sistema es: τ=

0.015 τ1 = = 0.0088 s. 1 − G 1 + 0.7

El sistema tiende exponencialmente al equilibrio con este tiempo característico. Si el valor de equilibrio de una variable es x0 la tendencia es de la forma:   x ∝ x0 1 − e−t/τ .

12.3 Las dos variables de un sistema retroalimentado están relacionadas mediante las ecuaciones: x2 y= 4 x = 4 − 2y, siendo x mayor que cero. Determina: (a) los valores de x e y en el punto de equilibrio, (b) la ganancia del sistema, (c) el tiempo de recuperación característico sabiendo que el de la variable y por separado es de 30 ms y el de la variable x es mucho menor.

(a) El punto de equilibrio corresponde a: 4y = (4 − 2y)2

=⇒

y 2 − 3y + 4 = 0

y resolviendo esta ecuación de segundo grado, tenemos: √ 3 ± 36 − 16 y= 2 Sólo vale la raíz negativa, ya que da un x positivo: y = −0.74, x = 5.47. (b) La ganancia del sistema es: df dg = 2x (−2) = −4x dx dy = −4 · 5.47 = −21.9.

G = G1 G2 =

(c) El tiempo de recuperación característico será: τ=

τ1 0.03 = = 0.0013 s. 1 − G 1 + 21.9

12.4 ¿Para qué valores de la ganancia oscila un sistema cuyos dos tiempos característicos son iguales cuando tiende al equilibrio?

El caso crítico cuando los dos tiempos característicos son iguales, τ1 = τ2 , corresponde a: r=

τ1 =1 τ2

=⇒

(1 + r)2 (1 + 1)2 =1−G= =1 4r 4·1

o sea, G = 0. Entonces, el sistema oscilará cuando su ganancia sea positiva, G > 0.

12.5 Un sistema retroalimentado posee una ganancia de −1.5. ¿Para qué valores de τ1 y τ2 oscila cuando tiende al equilibrio?

El sistema oscilará cuando: (1 + r)2 ≥ 1 − G = 1 + 1.5 = 2.5 4r

=⇒

r2 − 8r + 1 ≥ 0.

Las dos raíces de la igualdad son: r =4±

√ 16 − 1,

o sea 7.87 y 0.13. Notemos que una raíz es la inversa de la otra: 1/7.87 = 0.13. La desigualdad anterior se verifica cuando r ≥ 7.87 o r ≤ 0.13. Es decir, cuando τ1 ≥ 7.87τ2 o τ2 ≥ 7.87τ1 .

12.6 Las dos variables de un sistema retroalimentado y un parámetro externo p están relacionados mediante las ecuaciones: y = 2x + 10 − p x=

42 + 20. y

Determina: (a) los valores de x e y en el punto de equilibrio cuando p = 10, (b) la ganancia del sistema, (c) el cambio en y debido a un cambio en p de 0.2, (d) el tiempo de recuperación característico sabiendo que el de la variable y por separado es de 0.2 s y el de la variable x es mucho menor, (e) la evolución temporal de x e y cuando a partir de t = 0 hacemos p = 11, suponiendo que el sistema es lineal.

(a) Resolvemos el sistema para p = 10:

√ 400 − 84 2x2 − 40x − 42 = 0 =⇒ x= . 2 Supondremos el valor positivo de x, x = 21, y por tanto y = 2x = 42. 20 ±

(b) La ganancia del sistema vale: df dg d(2x) d(20 + 42/y) −42 = =2 2 dx dy dx dy y 1 = − = −0.048. 21

G =

(c) Un cambio en p de 0.2 supone una variación en y igual a: ∆y 0 1 ∂(2x + 10 − p) ∆y = = ∆p 1−G 1−G ∂p −1 · 0.2 = = −0.19. 1 + 0.048

(d) El tiempo de recuperación característico es: τ=

τ1 0.2 = = 0.019 s. 1 − G 1 + 0.048

(e) Para linealizar el sistema pasamos a las variables: u = x − 21 v = y − 42 q = p − 10 El sistema lineal aproximado es entonces: v 42 v = 2u − q

u = −

La evolución temporal de v es: v=

  hq  −1 · 1  1 − e−t/τ1 = 1 − e−t/0.19 . 1−G 1 + 0.048

La evolución de y es por tanto: y = 42 + v = 42 − 0.95 1 − e−t/0.19 



y la de x: x = 21 + u = 21 −

  v = 21 + 0.023 1 − e−t/0.19 . 42

12.7 Deduce la ecuación diferencial de segundo grado que gobierna el comportamiento temporal de la variable w en un sistema de control con dos tiempos característicos similares. Obtén una solución de la parte homogénea de dicha ecuación por substitución de la expresión: w = Ae−bt , en donde A es una constante real y b una constante compleja. ¿Qué característica de b nos dice si hay o no oscilaciones?

Sustituimos la expresión de v dada por la expresión (12.19) en la ecuación (12.12): τ1 τ2

d2 u du + (τ + τ ) + (1 − G)u − hqG2 = 0. 1 2 dt2 dt

Si sustituimos u = Ae−bt en la ecuación homogénea correspondiente a la ecuación anterior (es decir, sin el término hqG2 ) encontramos: b2 τ1 τ2 Ae−bt − b(τ1 + τ2 )Ae−bt + (1 − G)Ae−bt = 0. De aquí deducimos el valor de b: q

τ1 + τ2 ± (τ1 + τ2 )2 − 4τ1 τ2 (1 − G) b= . 2τ1 τ2 Habrá oscilaciones cuando b posea parte imaginaria, o sea, cuando se verifique: (τ1 + τ2 )2 < 4τ1 τ2 (1 − G).

12.8 Consideremos un proceso con un solo tiempo característico, pero con control proporcional y derivativo. La ecuación que gobierna el comportamiento de v, en vez de (12.18), es en este caso: τ1

dv d(G1 u + hq) + v = G1 u + hq + τd . dt dt

Demuestra que el tiempo característico de tendencia al equilibrio de dicho sistema viene dado por: τ1 − τd G1 G2 τ= . 1 − G1 G2

Sustituyendo u = G2 v en la ecuación que gobierna el comportamiento de v tenemos: τ1

dv d(hq) dv + v = G1 G2 v + hq + τd G1 G2 + τd . dt dt dt

La parte homogénea de esta ecuación es: (τ1 − τd G1 G2 )

dv + (1 − G1 G2 )v = 0. dt

Si suponemos una dependencia de v de la forma v = Ae−t/τ , encontramos: e−t/τ (τ1 − τd G1 G2 )A + (1 − G1 G2 )Ae−t/τ = 0. τ De aquí despejamos τ : τ=

τ1 − τd G 1 G 2 . 1 − G1 G2