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Cap´ıtulo 3: Acumulaci´on de capital y crecimiento (I). El modelo de Harrod-Domar Macroeconom´ıa III
Curso 2008-09
Macroeconom´ıa III
Cap´ıtulo 3: El modelo de Harrod-Domar
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Un poco de matem´aticas
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Poblaci´on e inversi´on
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La teor´ıa de la brecha financiera
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La realidad
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La tecnolog´ıa
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Matem´ aticas
Poblaci´ on e inversi´ on
La teor´ıa de la brecha financiera
La realidad
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Un poco de matem´aticas
Vamos a trabajar con tiempo continuo. Por ejemplo, output per c´apita es una funci´on del tiempo, y(t). Ejemplo: y(t) = ea t , a > 0,
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Poblaci´ on e inversi´ on
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Derivada y tasa de crecimiento de una funci´on d y(t) ≡ y(t) ˙ = a ea t . dt Podemos evaluar la funci´ on (y su derivada) en un punto particular del tiempo, por ejemplo, periodo 3. Si a = 0.5, y(3) = e0.5 · 3 = 4.4817. La tasa de crecimiento del output per c´apita es gy ≡ Nota:
y(t) ˙ a ea t = a t = a. y(t) e
d ln y(t) y(t) ˙ = . dt y(t)
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Ecuaciones diferenciales
En este caso no sabemos la forma de la funci´ on y(t). S´olo sabemos la relaci´on entre la funci´ on y su derivada, y(t) ˙ = a − b y(t), a, b > 0. Pregunta: ¿Podemos caracterizar la evoluci´ on de y(t) a lo largo del tiempo?
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Ecuaciones diferenciales
Ejemplo: Inversi´on K˙ t = −δKt + It donde Kt : stock de capital en el momento t K˙ t : crecimiento del stock de capital en t´erminos anuales It : tasa de inversi´ on en t´erminos anuales Esto es m´as o menos lo mismo que –en tiempo discreto–: ∆Kt ≡ Kt+1 − Kt = −δKt + It
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Ecuaciones diferenciales Pero en tiempo continuo podemos dar pasos ∆t m´as peque˜ nos de 1: ∆Kt = Kt+∆t − Kt = −δKt ∆t + It ∆t Ejemplo: ∆t = 0.1, K2008.0 = 100, δ = 0.2, I2008.0 = 25: K2008.1 − K2008.0 = −(0.2 × 100 × 0.1) + (25 × 0.1) = 0.5 De hecho, dividiendo por ∆t y tomando el l´ımite ∆t → 0 obtenemos Kt+∆t − Kt = K˙ t = −δKt + It , ∆t→0 ∆t lim
Haciendo los pasos ∆t cada vez m´as peque˜ nos y sumando los ∆Kt en el tiempo obtenemos la soluci´ on Kt de la ecuac´ıon diferencial. Macroeconom´ıa III
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Ecuaciones diferenciales Notad que si It = I¯ para todo t, ¯ Kt = I/δ
⇒
K˙ t = 0.
¯ Llamamos K ∗ = I/δ. Entonces, > 0, si Kt < K ∗ ; = 0, si Kt = K ∗ ; y(t) ˙ < 0, si Kt > K ∗ . Por tanto, Kt converge a K ∗ desde cualquier punto inicial.
¿C´omo es la evoluci´on de y(t) ˙ = −a + b y(t), a, b > 0?
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Poblaci´on y tecnolog´ıa
Existe un u ´nico bien final. Kt , el capital se deprecia cada periodo a la tasa δ ∈ [0, 1]. El trabajo Lt crece a la misma tasa que la poblaci´on, Nt , L˙ t N˙ t = = n. Lt Nt Por sencillez, suponemos que Lt = Nt , para todo t. La tasa de ahorro agregada de la econom´ıa es s ∈ (0, 1).
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Poblaci´on y tecnolog´ıa
Econom´ıa cerrada. No hay gasto del gobierno ni impuestos. Por tanto, Ct + It = P IBt , Ct + It = (rt + δ) Kt + wt Lt , Ct + K˙ t + δ Kt = Yt . It = K˙ t + δ Kt : inversi´ on bruta. K˙ t : Inversi´on neta. Ct + K˙ t = Yt − δ Kt : Producto Interior Neto.
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Poblaci´on y tecnolog´ıa s ∈ (0, 1) es la fracci´ on de la renta disponible que se ahorra. Por tanto, el ahorro agregado es St = s Yt = (rt + δ) Kt + wt Lt . Puesto que AHORRO = IN V ERSION , St = s Yt = K˙ t + δ Kt . hemos obtenido una ecuaci´ on que relaciona PIB e inversi´on y que podemos usar para analizar la evoluci´ on temporal del stock de capital y de la renta. K˙ t = s Yt − δ Kt .
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Inversi´on y crecimiento El capital por unidad de trabajo es kt ≡
Kt Lt
(1)
(ratio capital-trabajo). Su tasa de crecimiento: k˙ t kt
=
˙t K Kt
−
L˙ t Lt
(2)
Podemos escribir la ecuaci´ on de acumulaci´ on de capital como k˙ t = s yt − (δ + n) kt . k˙ t kt
= s kytt
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− (δ + n)
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(4)
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La tecnolog´ıa
La teor´ıa de la brecha financiera Hasta ahora no hemos hecho ning´ un supuesto tecnol´ogico. Es decir, no hemos descrito c´ omo la renta, yt , cambia cuando cambian los factores. El supuesto de que partieron Harrod y Domar era el siguiente k˙ t y˙ t = , yt kt Es decir, aumentos proporcionales en el capital per c´apita se traducen en aumentos proporcionales de la renta. De esta manera, y˙ t yt = s − (δ + n). yt kt La tecnolog´ıa que satisface ese supuesto es Yt = AKt .
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La tecnolog´ıa
La teor´ıa de la brecha financiera Seg´ un nuestra tecnolog´ıa, eso supone que gy =
y˙ t = sA − (δ + n) yt
Consecuencias: La tasa de crecimiento es constante a lo largo del tiempo Hay crecimiento a largo plazo s´ olo por la acumulaci´on de capital Incrementar la tasa de ahorro s resulta en crecimiento m´as alto a largo plazo Bajar la tasa de crecimiento de la poblaci´ on n resulta crecimiento m´as alto a largo plazo
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La teor´ıa de la brecha financiera
Dado los dem´as par´ametros, se puede calcular la tasa de inversi´on requerida para que la renta crezca a la tasa deseada (constante) gy : s = (n + δ + gy )
n + δ + gy kt = . yt A
Por tanto, seg´ un este modelo una buena pol´ıtica de desarrollo es ayudar a los pa´ıses menos desarrollados a aumentar su tasa de inversi´on.
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El mundo rico di´o ayuda de desarrollo a los pa´ıses pobres para suplementar los ahorros y incrementar la inversi´ on. ¿Qu´e pas´o? Muchas veces, la ayuda no se convert´ıa en inversi´on sino en consumo (falta de incentivos, corrupci´ on) Aunque creciera la inversi´ on en algunos pa´ıses, no se dieron tasas m´as altas de crecimiento.
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La realidad ...La realidad (Zambia) 1300 1200 1100 1000 900 800 1955
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1980
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25 Investment as % of GDP
Real per capita GDP
1400
20
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years
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La realidad gapcht
...La realidad (Zambia) Figure 4: The Gap between Harrod-Domar and Reality in Zambia 20500 The Per Capita Income that would have been if 18500
all Aid had gone into Investment and Investment had gone into Growth according to Harrod Domar (assuming 'typical" ICOR of 3.5)
16500
14500
12500 .,
.0500
1500
6500
4500
2500
-
--
-
-- -
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Zambian per capita income income -----
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500 co
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7/1/97
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La tecnolog´ıa
Pero, ¿de qu´e tecnolog´ıa estamos hablando?
Supongamos Yt = min {Kt , A Lt } . En t´erminos per c´apita yt = min {kt , A lt } De tal manera que si kt ≤ A lt obtenemos que yt = kt y por tanto y˙ t k˙ t = . yt kt Esto supone que debe darse que Kt ≤ A Lt .
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Pero, ¿de qu´e tecnolog´ıa estamos hablando? La funci´on de producci´ on de coeficientes fijos
La función de producción de proporciones fijas Capital
Y3
C
Y2
B A
Y1
L1
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Trabajo
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Pero, ¿de qu´e tecnolog´ıa estamos hablando?
Esta tecnolog´ıa supone que la renta aumenta siempre en la misma proporci´on que el capital (y que la inversi´ on) ¿De qu´e se olvida? Rendimiento marginal decreciente del capital
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