Capítulo 4: Derivada de una función Geovany Sanabria

Contenido 1 Razones de cambio

57

2 Definición de derivada

59

3 Cálculo de derivadas 3.1 Propiedades de derivadas . . . . . . . 3.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . 3.2 Derivadas de funciones trigonométricas 3.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . 3.4 Derivación implícita . . . . . . . . . . 3.5 Derivadas de funciones exponenciales y 3.6 Derivadas de funciones trigonométricas 3.7 Derivación logarítmica . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . logarítmica inversas . . . . . . . . .

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64 64 68 68 69 73 77 79 81

4 Más ejemplos

83

5 Ejercicios

87

56

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

1

Razones de cambio

Definición 1 Sea y = f (x) , si x cambia de x1 a x2 se dice que: El cambio en x es: El cambio en y es:

4x = x2 − x1 4y = f (x2 ) − f (x1 )

La razón promedio de cambio de y con respecto a x es: 4y f (x2 ) − f (x1 ) . = 4x x2 − x1 x2 Ejemplo 1 El costo en dólares de producir x refrigeradoras es C (x) = 5000 + 8x + . Encuentre la 20 razón de cambio promedio de C con respecto a x cuando se cambia el nivel de producción de x = 100 a x = 105 e interprételo. Note que 25 565 − 6300 4C C (105) − C (100) 73 = = 4 = 4x 5 5 4 Esto significa que en promedio por cada incremento en la producción de 4 unidades se produce un incremento en el costo de 73 dólares.

Ejemplo 2 La recta secante a f en x = x1 y x = x2 es la recta que pasa por los puntos (x1 , f (x1 )) y (x2 , f (x2 )) . Note que la pendiente de esta recta es: 4y f (x2 ) − f (x1 ) = , x2 − x1 4x que es la razón promedio de cambio de y con respecto a x. Ejemplo 3 Sea d (t) la función posición de una partícula en el tiempo t, entonces si el tiempo pasa de t1 a t2 la velocidad promedio o media se define como la razón promedio de cambio de d con respecto a x : 4d Vm = . 4t Ejemplo 4 Sea d (t) = 2t − 5t2 la función posición en metros de una partícula en el tiempo t en segundos, si t pasa de t = 2 a t = 4 entonces la velocidad promedio es Vm =

4d d (4) − d (2) −28 = = , 4t 2 1

lo que significa que por cada incremento del tiempo en un segundo, hay un decremento de la distancia en 28 metros. Ejemplo 5 Sea f (x) = x2 − 1, entonces la recta secante a f en los puntos (x, f (x)) y B (3, f (3)) tiene pendiente: 4y f (x) − f (3) x2 − 9 mx = = = =x+3 4x x−3 x−3 57

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

Así si x = −1, la pendiente de la recta secante es m−1 = 2, y si x = 1 entonces m2 = 4 : 8

función f 6

4

2

secante con x=-2 -5

5 -2

secante con x=1

Si x se acerca 2, entonces la secante se acercará a ser una tangente. Definición 2 Sea y = f (x) , se define la razón instantánea de cambio de y con respecto a x, en x = b como f (x) − f (b) lim x→b x−b Realizando el cambio de variable h = x − b, note que si x → b entonces h → 0, por la tanto la razón instantánea de cambio de y con respecto a x en x = b se puede expresar como f (b + h) − f (b) h→0 h lim

Ejemplo 6 Sea d (t) = 2t − 5t2 la función posición en metros de una partícula en el tiempo t en segundos, la velocidad instantánea de cambio en t = 2 es la razón instantánea de cambio de d con respecto a x, esta es: d (2 + h) − d (2) 2 (2 + h) − 5 (2 + h)2 − −16 = lim h→0 h→0 h h −18h − 5h2 = lim = lim (−18 − 5h) = −18. h→0 h→0 h

V (2) =

lim

Así, cuando el tiempo es de 2 segundos la velocidad de la partícula es −18m/s. Ejemplo 7 Determine la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva y = x2 +5x−1 en x = 1. 1. Punto de tangencia. Si x = 1 entonces y = 5, por lo tanto el punto de tangencia es (1, 5). 58

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2. Pendiente mT . La pendiente de la recta tangente es la razón instantánea de cambio de y con respecto a x, en x=2: 2

mT

y (1 + h) − y (1) (1 + h) + 5 (1 + h) − 1 − 5 = lim h→0 h→0 h h 7h + h2 = lim = lim (7 + h) = 7. h→0 h→0 h =

lim

3. Intersección con el eje y : bT Dado que la pendiente de la recta tangente es mT = 7 y esta recta debe pasar por (1, 5) entonces bT = y − mT · x = 5 − 7 · 1 = −2. Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es y = 7x − 2. 4. La ecuación de la recta normal. La recta normal es la perpendicular a la recta tangente por el punto de tangencia. Por lo tanto su pendiente es −1 −1 mN = = , mT 7 y la intersección con el eje y es bN = y − mN · x = 5 − Por lo tanto, la ecuación de la recta normal es y =

2

−1 36 ·1= . 7 7

−x 7

+

36 7 .

Definición de derivada

Definición 3 (Derivada en un punto) Se define la derivada de f en x = b como la razón instantánea de cambio de y con respecto a x en x = b, y se denota por f 0 (b) . Es decir: f (x) − f (b) f (b + h) − f (b) = lim x→b h→0 x−b h

f 0 (b) = lim

NOTA: Así f 0 (b) corresponde a la pendiente de la tangente a la curva y = f (x) en x = b. Además, si f es la función posición de un objeto, entonces f 0 (b) es la velocidad instantánea en x = b. Ejemplo 8 Sea f (x) = ax2 + bx + c Determine f 0 (3) 2

f (3 + h) − f (3) a (3 + h) + b (3 + h) + c − (9a + 3b + c) = lim h→0 h→0 h h 6ah + bh + ah2 = lim = lim (6a + b + ah) = 6a + b. h→0 h→0 h

f 0 (3) =

lim

59

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Si calculamos f´(3) utilizando el otro límite, se obtiene el mismo resultado: f (x) − f (3) ax2 + bx + c − (9a + 3b + c) = lim x→3 x→3 x−3 x−3 ¡ ¢ a x2 − 9 + b (x − 3) a (x − 3) (x + 3) + b (x − 3) = lim = lim x→3 x→3 x−3 x−3 (x − 3) [a (x + 3) + b] = lim = lim [a (x + 3) + b] = 6a + b. x→3 x→3 x−3

f 0 (3) =

lim

Note que f es continua en 3 (¿Por qué?) y su derivada existe en 3. ¿Será que toda función continua en x = b es derivable en x = b? El siguiente ejemplo da la respuesta. Ejemplo 9 Sea f (x) = |x − 2| . Determine si existe f 0 (2) . f 0 (2) = lim

h→0

f (2 + h) − f (2) |2 + h − 2| − |2 − 2| |h| = lim = lim . h→0 h→0 h h h

Realizando los límites laterales, se tiene que lim

h→0−

|h| −h = lim− = −1 h h h→0

Por lo tanto, f 0 (2) = limh→0

y

lim

h→0+

|h| h = lim+ = 1. h h→0 h

|h| NO EXISTE. Observe la gráfica de f : h 2

1

2

4

Note que pese a que f es continua en 0, no es derivable en este valor. Note que cuando x se acerca por la izquierda a 2, la pendiente de la recta tangente a f en x es −1, en cambio por la izquierda es 1. Esto se debe a que en x = 2 la gráfica tiene un “pico”. Lo anterior indica que CONTINUIDAD NO IMPLICA DERIVABILIDAD. Sin embargo, si se cumple que DERIVABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD. √ Ejemplo 10 Determine la ecuación de la recta tangente a y = x + a en x = 2, con a una constante positiva. 1. Punto de tangencia. Cuando x = 2, se tiene que: y =

¡ √ ¢ √ 2 + a, por lo tanto el punto de tangencia es 2, 2 + a . 60

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2. La pendiente mT mT

√ √ f (x) − f (2) x+a− 2+a = f 0 (2) = lim = lim x→2 x→2 x−2 x−2 √ √ √ √ x+a− 2+a x+a+ 2+a √ = lim ·√ x→2 x−2 x+a+ 2+a x + a − (2 + a) ¡√ ¢ √ = lim x→2 (x − 2) x+a+ 2+a x−2 ¡√ ¢ √ = lim x→2 (x − 2) x+a+ 2+a 1 1 √ = √ = lim √ x→2 x+a+ 2+a 2 2+a

3. La intersección con el eje Y : bT ¡ √ ¢ 1 y la recta tangente pasa por 2, 2 + a , se tiene que Dado que mT = √ 2 2+a bT

= y − mT · x = =

√ √ 1 1 2+a− √ ·2= 2+a− √ 2 2+a 2+a

¢2 ¡√ 2+a −1 1+a √ =√ . 2+a 2+a

Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: x 1+a y= √ +√ . 2 2+a 2+a Definición 4 (Función derivada) Dada la función f se define la función derivada de f con respecto a x como: f (y) − f (b) f (x + h) − f (x) = lim . f 0 (x) = lim y→x h→0 y−b h 0

Esta también se puede denotar por (f (x)) y Ejemplo 11 Sea f (x) =

df (x) . dx

√ x

1. Encontrar la derivada de la función utilizando la definición. √ √ √ √ √ √ x+h− x x+h− x x+h+ x 0 f (x) = lim = lim ·√ √ h→0 h→0 h h x+h+ x h 1 1 = lim ¡√ √ ¢ = lim √ √ = √ . h→0 h h→0 2 x x+h+ x x+h+ x 61

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2. Determine f 0 (9) y f 0 (4) . De acuerdo a lo visto anteriormente se deberían calcuilar los límites: √ √ √ √ 9+h− 9 4+h− 4 y f 0 (4) = lim , f 0 (9) = lim h→0 h→0 h h 1 sin embargo, como ya se averiguo la función derivada: f 0 (x) = √ , el ejercicio se reduce a 2 x evaluar en esta función. Así: 1 1 f 0 (9) = √ = 6 2 9

1 1 f 0 (4) = √ = 4 2 4

y

Note, por ejemplo, que f 0 (0) NO EXISTE. Definición 5 (Derivadas de orden superior) Dada la función f se define: 1. La primera derivada de f como la función f 0 (x) . 2. La segunda derivada de f : f 00 (x)

o

d2 f dx2

f 000 (x)

o

d3 f dx3

f (n) (x)

o

dn f dxn

como la derivada de f 0 (x) . 3. La tercera derivada de f :

como la derivada de f 00 (x) . 4. En general, la n.ésima derivada de f :

como la derivada de f (n−1) (x) . √ x utilizando la definición. 1 En el ejemplo anterior, se determinó la primera derivada de f : f 0 (x) = √ , por lo tanto: 2 x √ √ x− x+h 1 1 √ √ √ − √ f 0 (x + h) − f 0 (x) 2 x x+h 2 x+h 2 x = lim = lim f 00 (x) = lim h→0 h→0 h→0 h h h √ √ √ √ √ √ x− x+h x− x+h x+ x+h √ = lim = lim ·√ √ √ √ √ h→0 2h x x + h h→0 2h x x + h x+ x+h −h −1 ¡√ √ ¢ = lim √ √ ¡√ √ ¢ = lim √ √ h→0 2h x x + h h→0 2 x x + h x+ x+h x+ x+h −1 −1 √ √ √ √ = √ . = 2 x x ( x + x) 4x x

Ejemplo 12 Encontrar la segunda derivada de la función f (x) =

62

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Ejemplo 13 Determine el punto de intersección de las rectas tangentes y = x = 3 respectivamente.

x−1 en x = −3 y en x+1

1. Puntos de tangencia.    Si x = −3 =⇒ y = −4 = 2 −2 Note que 2 1 Por lo tanto, la primer tangente (T 1) pasa por (−3, 2)   Si x = 3 =⇒ y = = 2 µ ¶ 4 1 y la segunda (T 2) por 3, . 2 2. Las pendientes mT 1 y mT 2 x+h−1 x−1 − f (x + h) − f (x) f 0 (x) = lim = lim x + h + 1 x + 1 h→0 h→0 h h (x + h − 1) (x + 1) − (x − 1) (x + h + 1) (x + h + 1) (x + 1) = lim h→0 h (x + h − 1) (x + 1) − (x − 1) (x + h + 1) = lim h→0 h (x + h + 1) (x + 1) Realizando las operaciones en el numerador se obtiene que: 2h 2 2 = lim = 2. h→0 h (x + h + 1) (x + 1) h→0 (x + h + 1) (x + 1) (x + 1)

f 0 (x) = lim Por lo tanto:

mT 1 = f 0 (−3) =

2 1 = 4 2

mT 2 = f 0 (3) =

y

3. Las intersecciones con el eje Y : bT 1 y bT 2 . Recta T1 Pasa por (−3, 2) 1 2 = y − mT 1 x 1 = 2 − · −3 2 7 = 2 mT 1 =

bT 1

Recta µ T1 ¶ 1 Pasa por 3, 2 1 mT 2 = 8 bT 1 = y − mT 2 x 1 1 = − ·3 2 8 1 = 8

4. Ecuaciones de las tangentes: y

=

y

=

x 7 + 2 2 x 1 + 8 8 63

(T 1) (T 2)

2 1 = . 16 8

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5. Puntos de intersección de las tangentes:    y=x+7 2 2 Se debe resolver el sistema: x 1   y= + 8 8

(1) Sustituyendo el valor de y dado por (1) en (2) : (2)

x 1 x 7 + = + 2 2 8 8

=⇒

x = −9.

Sustituyendo x = −9 en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que y = −1, Por lo tanto el punto de intersección de las tangentes es (−9, −1) . 4

(-3,2) -10

3.1

3,

-5

1

2

5

(-9,-1)

3

( )

2

-2

Cálculo de derivadas Propiedades de derivadas

Ejemplo 14 Sea f (x) = c una función constante entonces f (x + h) − f (x) c−c = lim =0 h→0 h→0 h h

f 0 (x) = lim Ejemplo 15 Dado que

¡ ¢ an − bn = (a − b) an−1 + an−2 b + an−3 b2 + ... + abn−2 + bn−1 ,

si f (x) = xn entonces

n

f 0 (x) = =

n

³ ´ n−1 n−2 h (x + h) + (x + h) x + ... + (x + h) xn−2 + xn−1

(x + h) − x = lim h→0 h h ³ ´ n−1 n−2 n−2 n−1 + (x + h) x + ... + (x + h) x + xn−1 =x + xn−1{z+ ... + xn−1} = nxn−1 lim (x + h) |

lim

h→0 h→0

n sum ados

Teorema 1 Se tiene que

(c)0 = 0,

(x)0 = 1

(xn )0 = nxn−1

64

y

¡√ ¢0 1 x = √ . 2 x

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Ejemplo 16 Sea f (x) = g (x) + k (x) , note que f (x + h) − f (x) g (x + h) + k (x + h) − (g (x) + k (x)) = lim h→0 h h · ¸ g (x + h) − g (x) +k (x + h) − k (x) = lim = g 0 (x) + k 0 (x) . h→0 h h

f 0 (x) =

lim

h→0

Teorema 2 (Propiedades de las derivadas) Sea c una constante. Si f y g son funciones derivables, entonces: 1. (f (x) ± g (x))0 = f 0 (x) ± g 0 (x) . 2. (c · f (x))0 = c · f 0 (x) 0

3. (f (x) g (x)) = f 0 (x) g (x) + f (x) g 0 (x) . 4.

µ

f (x) g (x)

¶0

=

f 0 (x) g (x) − f (x) g 0 (x) 2

[g (x)]

.

Ejemplo 17 Sea f (x) = 2x3 + 3x2 entonces: ¡ ¢0 ¡ ¢0 f 0 (x) = 2x3 + 3x2 (por la regla #1) ¡ ¢0 ¡ ¢0 = 2 x3 + 3 x2 (por la regla #2) = 2 · 3x2 + 3 · 2x = 6x2 + 6x

Ejemplo 18 Determine la ecuación de la rectas tangentes a y = x2 − 3x en el punto 1. Punto de tangencia.

µ

¶ 3 , −4 . 2

¶ µ ¶ µ 3 3 , −4 , no significa que , −4 sea el punto de tanEl hecho de que la tangente pase por 2 2 µ ¶ 3 gencia, además f 6= −4. Así, como este punto se desconoce supongamos que es (a, b) . 2

2. La pendiente mT

¡ ¢0 f 0 (x) = x2 − 3x = 2x − 3,

por lo tanto mT = f 0 (a) = 2a − 3. 3. La intersección con el eje Y : bT

Dado que la recta tangente pasa por (a, b) , se tiene que bT = y − mT · x = b − (2a − 3) a. Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y = (2a − 3) x + b − (2a − 3) a. 65

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4. Hallar los valores de a y b Hay dos informaciones que no hemos utilizado: (a) (a, b) es punto de tangencia, por lo tanto f (a) = b, es decir:

(b) Por

µ

a2 − 3a = b

(1)

¶ 3 , −4 pasa la tangente, entonces debe satisfacer su ecuación: 2 −4 = (2a − 3) ·

3 + b − (2a − 3) a 2

=⇒

b = 2a2 − 6a +

1 2

(2)

Sustituyendo b,dado por (1) , en (2) : 1 a − 3a = 2a − 6a + 2 2

2

√ 3± 7 =⇒ a = 2

Utilizando (1) , para ambos valores de a se obtienen que b = − 12 . Por lo tanto hay dos puntos de tangencia: Ã ! √ 3+ 7 1 i. Punto de tangencia (a, b) = ,− . La ecuación de la recta tangente es: 2 2 √ 3√ 7−4 y =x 7− 2 Ã ! √ 3− 7 1 ii. Punto de tangencia (a, b) = ,− . La ecuación de la recta tangente es: 2 2 √ 3√ 7−4 y = −x 7 + 2

66

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En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función y las dos tangentes: 2

-2

( ) 3

-4

2

,-4

Ejemplo 19 Determine la tercer derivada de f (x) = x9 . f 0 (x) = 9x8 ¡ ¡ ¢0 ¢0 f 00 (x) = 9x8 = 9 x8 = 9 · 8x7 ¡ ¡ ¢0 ¢0 f 000 (x) = 9 · 8x7 = 72 x7 = 72 · 7x6 = 504x6 ¡ ¢ Ejemplo 20 Sea g (x) = (2 − x) x3 − 4x2 + 1 , note que

¢ ¡ ¢0 0¡ g 0 (x) = (2 − x) x3 − 4x2 + 1 + (2 − x) x3 − 4x2 + 1 i h¡ ¢0 ¡ ¤¡ ¢0 £ ¢ = (2)0 − (x)0 x3 − 4x2 + 1 + (2 − x) x3 − 4x2 + (1)0 ¢ ¡ ¢ ¡ = (0 − 1) x3 − 4x2 + 1 + (2 − x) 3x2 − 4 · 2x + 0 ¢ ¡ ¢ ¡ = − x3 − 4x2 + 1 + (2 − x) 3x2 − 4 · 2x ¡ ¢ Ejemplo 21 Sea f (x) = x2 + 4x g (x) . Se sabe que g (0) = 3 . Determine f 0 (0) .

Note que

¡ 2 ¢0 ¡ ¢ x + 4x g (x) + x2 + 4x g 0 (x) ¢ ¡ = (2x + 4) g (x) + x2 + 4x g 0 (x) ,

f 0 (x) =

por lo tanto:

f 0 (0) = 4g (0) + 0 · g 0 (0) = 4g (0) = 4 · 3 = 12. 67

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x2 + 3 , se tiene que 2x + 1 ¢0 ¡ ¢ ¡ 2 x + 3 (2x + 1) − x2 + 3 (2x + 1)0

Ejemplo 22 Sea h (x) = 0

h (x) =

(2x + 1)2

=

¢ ¡ 2x (2x + 1) − x2 + 3 · 2 (2x + 1)2

0

Aunque la notación “() ” es muy práctica, no siempre es recomendable su uso. En general se utilizará esta notación cuando se tenga certeza con respecto a la variable con la que se deriva. Ejemplo 23 Sea f (y) = xy 2 + 3y + 2x con x constante entonces: d ¡ 2¢ d d (3y) + (2x) xy + dy dy dy d ¡ 2¢ d d = x y + 3 (y) + 2x (1) dy dy dy = x · 2y + 3 · 1 + 2x · 0 = 2xy + 3.

d f (y) = dy

3.1.1

Ejercicios 0

1. Pruebe que: [f (x) g (x) h (x)] = f 0 (x) g (x) h (x) + f (x) g 0 (x) h (x) + f (x) g (x) h0 (x) . 2. Determine en que puntos de la curva y = x3 + 3x + 5, la recta tangente es paralela a la recta y = 9x + 1. 3. Determine la ecuación de las rectas tangentes a la curva y = x2 + x, y pasan por punto (2, −3) .

3.2

Derivadas de funciones trigonométricas

Ejemplo 24 Sea f (x) = sen x, entonces: f 0 (x) = = = = = =

sen (x + h) − sen (x) h→0 h sen (x) cos (h) + sen (h) cos (x) − sen (x) lim h→0 h sen (x) (cos (h) − 1) + sen (h) cos (x) lim h→0 h · ¸ cos (h) − 1 sen (h) lim sen (x) + cos (x) h→0 h h cos (h) − 1 sen (h) + cos (x) lim sen (x) lim h→0 h→0 h h sen (x) · 0 + cos (x) · 1 = cos (x) lim

Teorema 3 (Derivadas de funciones trigonométricas) 0

(sen x) = cos x 0 (cos x) = − sen x 0 (tan x) = sec2 x

0

(cot x) = − csc2 x 0 (sec x) = sec x tan x 0 (csc x) = − csc x cot x 68

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Ejemplo 25 Compruebe la derivada de la secante. Se tiene que (sec x)

0

= =

Ejemplo 26 Sea f (x) =

¶0 0 0 0 1 (1) cos x − (cos x) − (cos x) = = cos x cos2 x cos2 x 1 sen x sen x = · = sec x tan x cos2 x cos x cos x

sen x , entonces 1 + tan x

f 0 (x) = =

3.3

µ

0

(sen x) (1 + tan x) − (sen x) (1 + tan x)

(1 + tan x)2 cos x (1 + tan x) − (sen x) sec2 x (1 + tan x)

2

0

.

Regla de la cadena

Teorema 4 (Regla de la cadena) Si f y g son funciones derivables entonces f ◦ g es derivable y además: 0 (f ◦ g (x)) = f 0 (g (x)) g 0 (x) Note que si y = f ◦ g (x) y u = g (x) , la regla de la cadena esta dada por: dy du dy = · dx du dx En palabras se tiene que: (f ◦ g (x))0 | {z } Derivada de f ◦ g (x) (con respecto a x)

=

f 0 (g (x)) · g 0 (x) | {z } | {z } Derivada de f (u) Derivada de g (x) (con respecto a u) (con respecto a x) evaluada en u = g (x)

Ejemplo 27 Sea f (m) = m2 + 5m + 3, note que m no es una constante por lo tanto: df df dm dm = · = (2m + 5) . dx dm dx dx ¢ ¡ Ejemplo 28 Determine la derivada de f (x) = sen x2 + x + 3 df = 2m + 5, dm

Sea u = x2 + x + 1, así f (x) = sen u, entonces

df df du = · dx du dx = cos u · (2x + 1) ¡ ¢ = cos x2 + x + 3 · (2x + 1) .

f 0 (x) =

69

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria √ Ejemplo 29 Determine la derivada de f (x) = cos x √ Sea u = cos x, entonces f (x) = u, por lo tanto df du · du dx 1 √ · − sen x 2 u 1 √ · − sen x. 2 cos x

f 0 (x) = = =

Ejemplo 30 Determine la derivada de f (x) = (1 + sen (5x))

5

Sea u = 1 + sen (5x) , entonces f (x) = u5 , por lo tanto df du · du dx 0 = 5u4 · (1 + sen (5x)) 0 = 5u4 · (sen (5x)) .

f 0 (x) =

Para derivar sen (5x) se utiliza nuevamente la regla de la cadena, sea w = 5x, así 0

(sen (5x)) =

d d dw (sen (5x)) = (sen w) · = cos w · 5 = cos (5x) · 5. dx dw dx

Por lo tanto

0

4

f 0 (x) = 5u4 · (sen (5x)) = 5 (1 + sen (5x)) · cos (5x) · 5 En el ejemplo siguiente se muestran algunas derivadas calculadas por regla de la cadena de un forma más automatizada. Ejemplo 31 Note que h¡ ¢6 i0 x3 + 4x Ãr !0 1 4 x + x ´0 ³p 3 x3 + 3x

¢¢0 ¡ ¡ tan x2 + 4x

¡ ¢5 ¡ ¢0 ¡ ¢5 ¡ ¢ = 6 x3 + 4x · x3 + 4x = 6 x3 + 4x · 3x2 + 4 =

= = =

µ µ ¶ ¶0 1 1 −1 4 3 r · x + · 4x + 2 = r x x 1 1 4 4 2 x + 2 x + x x ¡ ¢0 ¡ ¢ 1 1 q · x3 + 3x = q · 3x2 + 3 3 3 (x3 + 3x)2 3 3 (x3 + 3x)2 ¢ ¡ ¢0 ¡ sec2 x2 + 4x · x2 + 4x ¡ ¢ ¡ ¢ tan x2 + 4x sec x2 + 4x (2x + 4) 1

Ejemplo 32 Para calcular las siguientes derivadas no se conoce f (x) , por lo tanto: ´0 ³p 1 p · f 0 (x) f (x) = 2 f (x) n 0

[(f (x)) ] 0 [sen (f (x))]

n−1

= n (f (x)) · f 0 (x) = cos (f (x)) · f 0 (x) 70

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

Ejemplo 33 Determine la derivada de |x| . √ Dado que |x| = x2 entonces utilizando la regla de la cadena se tiene que: ³√ ´0 ¡ ¢0 1 2x x 0 (|x|) = x2 = √ · x2 = √ = . |x| 2 x2 2 x2

En los ejemplos no solo se uso la regla de la cadena, sino también otras reglas de derivación. ¿Cuáles? Veamos más explícitamente la combinación de estas reglas. √ 5 Ejemplo 34 Determine la derivada de f (x) = x3 sen x ¡ ¢0 1 q · x3 sen x (regla de la cadena) 4 5 5 (x3 sen x) h¡ ¢0 i 1 0 q · x3 sen x + x3 (sen x) (regla del producto) 4 5 5 (x3 sen x) ¡ ¢ 1 q · 3x2 sen x + x3 cos x 4 5 5 (x3 sen x)

f 0 (x) = =

=

Ejemplo 35 Determine la derivada de g (x) = cos µ

µ

x2 + 3 x−3

¶

¶ µ 2 ¶0 x +3 (regla de la cadena) g (x) = − sen · x−3 # " ¢ ¡ ¢ ¡ µ 2 ¶ 0 0 x2 + 3 (x − 3) + x2 + 3 (x − 3) x +3 = − sen (regla del cociente) · 2 x−3 (x − 3) ¢# ¡ µ 2 ¶ " 2x (x − 3) + x2 + 3 x +3 = − sen · x−3 (x − 3)2 0

x2 + 3 x−3

Ejemplo 36 Determine la derivada de h (x) = 0

h (x) = = = =

µ

µ

x sec x x2 + 1

¶4

¶3 µ ¶0 x sec x 4 · (regla de la cadena) x2 + 1 " ¢ ¡ ¢0 # ¡ µ ¶3 0 (x sec x) x2 + 1 + (x sec x) x2 + 1 x sec x 4 (regla del cociente) · 2 x2 + 1 (x2 + 1) # ¢ ¢¡ 2 µ ¶3 " ¡ x + 1 + (x sec x) · 2x (x)0 sec x + x (sec x)0 x sec x 4 · (regla del producto) x2 + 1 (x2 + 1)2 # ¢ ¡ µ ¶3 " ( sec x + x sec x tan x ) x2 + 1 + 2x2 sec x x sec x 4 · 2 x2 + 1 (x2 + 1) x sec x x2 + 1

71

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

En los ejemplos anteriores note que la regla de cadena es la primera que se aplica. Veamos algunos ejemplos donde esto no sucede. ¡ ¢ Ejemplo 37 Determine la derivada de f (x) = x2 + sec x3 ¡ ¢0 ¡ ¡ ¢¢0 f 0 (x) = x2 + sec x3 (regla de la suma) ¡ 3¢ ¡ 3 ¢ ¡ 3 ¢0 = 2x + sec x tan x · x (regla de la cadena) ¡ 3¢ ¡ 3¢ 2 = 2x + sec x tan x · 3x Ejemplo 38 Determine la derivada de g (x) = cos x sen (tan x)

g 0 (x) = (cos x)0 sen (tan x) + cos x [sen (tan x)]0 (regla del producto) = − sen x sen (tan x) + cos x cos (tan x) · (tan x)0 (regla de la cadena) = − sen x sen (tan x) + cos x cos (tan x) sec2 x ¡ ¢ ¡ ¢ Ejemplo 39 Determine la derivada de h (x) = cos x2 + 1 − sen x3 + x £ ¡ ¢¤0 £ ¡ ¢¤0 h0 (x) = cos x2 + 1 − sen x3 + x (regla de la resta) ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢0 ¡ 3 ¢ ¡ ¢0 = − sen x + 1 · x + 1 − cos x + x · x3 + x (regla de la cadena) ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ = − sen x2 + 1 · 2x − cos x3 + x · 3x2 + 1 ¡ ¢ cot x2 − 1 Ejemplo 40 Determine la derivada de j (x) = 6 (x2 − 9) ¢ h¡ ¢6 i0 £ ¡ 2 ¢¤0 ¡ ¢6 ¡ − cot x − 1 · x2 − 9 cot x2 − 1 · x2 − 9 0 j (x) = (regla del cociente) 12 (x2 − 9) ¢ ¡ ¢5 ¡ 2 ¢0 ¢¡ ¢0 ¡ ¢6 ¡ ¡ x − 9 − − csc2 x2 − 1 x2 − 1 · x2 − 9 cot x2 − 1 · 6 x2 − 9 (regla de la cadena) = 12 (x2 − 9) ¢ ¡ ¢5 ¢ ¡ ¢6 ¡ ¡ cot x2 − 1 · 6 x2 − 9 · 2x + csc2 x2 − 1 · 2x · x2 − 9 = 12 (x2 − 9) En los siguientes ejemplos se aplica varias veces la regla de la cadena. √ Ejemplo 41 Determine la derivada de f (x) = sen ( 3 x cos x) ¡√ ¢ ¡√ ¢0 f 0 (x) = cos 3 x cos x · 3 x cos x (regla de la cadena) ¢ ¡√ 1 (x cos x)0 (regla de la cadena) = cos 3 x cos x · q 2 3 3 (x cos x) ¡√ ¢ £ 0 ¤ 1 = cos 3 x cos x · q (x) cos x + x (cos x)0 (regla del producto) 2 3 3 (x cos x) ¡√ ¢ 1 = cos 3 x cos x · q (cos x + x sen x) 2 3 3 (x cos x) 72

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria £ ¡ ¢ ¤2/3 Ejemplo 42 Determine la derivada de g (x) = sen x2 − x + cos (1 − x) g 0 (x) =

=

= =

3.4

¢ ¤0 £ ¡ 2 2 p − x + cos (1 − x) (regla de la cadena) sen x 3 3 sen (x2 − x) + cos (1 − x) h£ i ¡ 2 ¢¤0 2 0 p sen x − x + [cos (1 − x)] (regla de la suma) 3 3 sen (x2 − x) + cos (1 − x) i h ¡ ¢ ¡ ¢0 2 cos x2 − x · x2 − x + − sen (1 − x) · (1 − x)0 p (regla de la cadena) 3 3 sen (x2 − x) + cos (1 − x) £ ¡ ¢ ¤ 2 cos x2 − x · 2x + − sen (1 − x) · −1 p 3 3 sen (x2 − x) + cos (1 − x)

Derivación implícita

Recordemos la regla de la cadena: 0

[ f (g (x)) ] = f 0 (g (x)) · g 0 (x) , si se denota y = g (x) se obtiene que d d dy f (y) = f (y) · . dx dy dx

[ f (y) ]0 = f 0 (y) · y 0 o más explícitamente

Ejemplo 43 Sea y una variable, las siguientes derivadas son con respecto a x : ¡ 3 ¢0 = 3y 2 y 0 y ¡ 2 ¢ 0 = 2x + 2yy 0 x + y2 ¢ ¤0 ¡ ¢ ¡ ¢0 £ ¡ = cos y 2 + 2y + 1 · y 2 + 2y + 1 sen y 2 + 2y + 1 ¡ ¢ = cos y 2 + 2y + 1 · (2y + 2) y 0 ¡ ¢ ¤0 ¡ ¢0 ¡ ¢ £ 3 £ ¡ ¢¤0 = x3 cos y 2 + x3 cos y 2 x cos y 2 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢0 = 3x2 cos y 2 + x3 · − sen y 2 · y 2 ¡ ¢ ¡ ¢ = 3x2 cos y 2 + x3 · − sen y 2 · 2yy 0

La derivación implícita nos permite hallar y 0 si necesidad de que y este despejado. Ejemplo 44 Calcule y 0 sabiendo que y = sen y + x Derivando a ambos lados con respecto a x se obtiene que: 0

y 0 = [sen y + x]

=⇒ y 0 = cos y · y 0 + 1

=⇒ y 0 − cos y · y 0 = 1 =⇒ y 0 (1 − cos y) = 1

Por lo tanto y 0 =

1 1 − cos y 73

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria ¡ ¢ Ejemplo 45 Calcule y 0 sabiendo que y = tan x + y 3

Derivando a ambos lados con respecto a x se obtiene que: £ ¡ ¢¤0 y 0 = tan x + y 3 ¡ ¢ ¡ ¢0 =⇒ y 0 = sec2 x + y 3 · x + y 3 ¡ ¢ ¡ ¢ =⇒ y 0 = sec2 x + y 3 · 1 + 3y 2 y 0 ¡ ¢ ¡ ¢ =⇒ y 0 = sec2 x + y 3 + 3y 2 y 0 sec2 x + y 3 ¡ ¢ ¡ ¢ =⇒ y 0 − 3y 2 y 0 sec2 x + y 3 = sec2 x + y 3 £ ¡ ¢¤ ¡ ¢ =⇒ y 0 1 − 3y 2 sec2 x + y 3 = sec2 x + y 3

Por lo tanto

¡ ¢ sec2 x + y 3 y = 1 − 3y 2 sec2 (x + y 3 ) 0

La derivación implícita permite hallar la ecuación de la recta tangente a una curva cuya ecuación no es dada por una función. Ejemplo 46 Sea x [f (x)]6 + xf (x) = 6, si f (6) = 1, determine f 0 (6) . Derivando a ambos lados la ecuación : ´0 ³ x [f (x)]6 + xf (x) = (6)0 ³ ´0 =⇒ x [f (x)]6 + ( xf (x))0 = 0 ³ ´0 =⇒ (x)0 [f (x)]6 + x [f (x)]6 + ( x)0 f (x) + x f 0 (x) = 0 =⇒ [f (x)]6 + x · 6 [f (x)]50 · f 0 (x) + f (x) + x f 0 (x) = 0

Evaluando en x = 6 : 6

50

[f (6)] + 6 · 6 [f (6)] · f 0 (6) + f (6) + 6 f 0 (6) = 0

=⇒ 1 + 6 · 6 · f 0 (6) + 1 + 6 f 0 (6) = 0

=⇒ 42 · f 0 (6) = 2 1 =⇒ f 0 (6) = . 21

Ejemplo 47 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva (o punto de tangencia): (4, −3) . 1. La pendiente mT

74

y2 x2 + = 2 en el punto de contacto 16 9

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

Derivando a ambos lados la ecuación de la curva: µ 2 ¶0 x y2 0 = (2) + 16 9 2x 2yy 0 + =0 16 9 2x 2yy 0 =− =⇒ 9 16 9x =⇒ y 0 = − 16y =⇒

Así la pendiente de la recta tangente en el punto (4, −3) es y 0 evaluada en x = 4, y = −3 : mT = −

9·4 3 = 16 · −3 4

2. Intersección con el eje y : bT bT = y − mT · x = −3 − Por lo tanto la ecuación de la recta tangente: Y =

3 · 4 = −6. 4

3 x − 6. 4 2

Ejemplo 48 Determine los puntos de contacto donde la recta tangente a la curva 1 es horizontal y vertical. 1. Determinemos y 0

Ã

2

(y − 5) (x + 3) + 4 9

2

!0

= (1)0

2 (y − 5) y 0 2 (x + 3) + =0 4 9 2 (y − 5) y 0 2 (x + 3) =⇒ =− 4 9 4 (x + 3) =⇒ y 0 = − 9 (y − 5) =⇒

2. Tangentes horizontales. Estas tangentes son paralelas al eje X, por lo tanto tienen pendiente mT = 0, así y0 = −

4 (x + 3) =0 9 (y − 5)

=⇒

75

(x + 3) = 0

=⇒

2

(y − 5) (x + 3) + = 4 9

x = −3

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

(y − 5)2 (−3 + 3)2 2 Sustituyendo x = −3 en la ecuación de la curva: + = 1 =⇒ (y − 5) = 4 4 9 √ =⇒ y −5 = ± 4 =⇒ y = 5±2. Por lo tanto, los puntos de contacto donde la recta tangente es horizontal son (−3, 7) y (−3, 3) 3. Tangentes verticales. Estas tangentes son paralelas al eje Y, por lo tanto no tienen pendiente. Note que y 0 no existe cuando su denominador es cero, es decir, si: 9 (y − 5) = 0

=⇒

y=5 2

2

(5 − 5) (x + 3) Sustituyendo y = 5 en la ecuación de la curva: + = 1 =⇒ (x + 3)2 = 9 4 9 √ =⇒ x + 3 = ± 9 = ±3 =⇒ y = −3 ± 3. Por lo tanto, los puntos de contacto donde la recta tangente es vertical son (0, 5) y (−6, 5) Gráfica de la curva las tangentes en los puntos encontrados:

(-3,7)

8

6

(-6,5)

(0,5) 4

(-3,3)

-5

Ejemplo 49 Determine y 00 sabiendo que x2 + y 2 = xy. Derivando implícitamente se obtiene 2x + 2y · y 0 = y + xy 0 . Despejando y 0 y0 =

y − 2x 2y − x

76

2

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

y derivando y 00

=

= =

(y 0 − 2) (2y − x) − (2y 0 − 1) (y − 2x) (2y − x)2 y − 2x 3x − 3y 3xy 0 − 3y 2y − x = 2 2 (2y − x) (2y − x)

¢ ¡ −6 −xy + x2 + y 2 3x (y − 2x) − 3y (2y − x) = 2y − x 2y − x

Como x2 + y 2 = xy, entonces y 00 = 0

3.5

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmica

Definición 6 e es un número que cumple que: eh − 1 = 1. h→0 h lim

Ejemplo 50 Sea f (x) = ex , se tiene que ex+h − ex ex eh − ex eh − 1 = lim = ex lim = ex . h→0 h→0 h→0 h h h

f 0 (x) = lim

Ejemplo 51 Sea y = ln x, entonces x = ey , derivando a ambos lados utilizando derivación implícita: (x)0 = (ey )0

=⇒

Por lo tanto: (ln x)0 = y 0 =

1 = ey y 0

1 1 = y e x

Teorema 5 Se tiene que 0

0

(ex ) = ex

(ln x) =

1 x

Ejemplo 52 Determine la derivada de la función exponencial f (x) = ax . Note que f (x) = ax = ex ln a , por lo tanto: f 0 (x) =

¡ x ln a ¢0 e

= ex ln a · (x ln a)0 = ex ln a · ln a = ax · ln a.

(por regla de la cadena y el teorema anterior) (pues ln a es constante )

77

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

Ejemplo 53 Determine la derivada de la función logaríitmica g (x) = loga x. U tilizando el teorema del cambio de base, se tiene que g (x) = loga x =

ln x , por lo tanto: ln a

µ

¶0 ln x ln a 1 1 0 (pues (ln x) es constante) ln a ln a 1 1 (por el teorema anterior) ln a x 1 x ln a

g 0 (x) = = = =

Teorema 6 (Derivada de la función exponencial y logarítmica). La derivada de la función exponencial y logarítmica es: 1 . x ln a ¢ ¡ 2 Ejemplo 54 Determine la derivada de f (x) = ex +sen x − log3 x2 + 1 . 0

0

(ax ) = ax · ln a

f 0 (x) =

(loga x) =

³ 2 ´0 £ ¢¤0 ¡ ex +sen x − log3 x2 + 1

¢0 ¡ 1 · x2 + 1 (regla de la cadena) + 1) ln 3 2 2x = ex +sen x · (2x + cos x) − 2 (x + 1) ln 3 2

= ex

+sen x

¡ ¢0 · x2 + sen x −

(regla de la resta)

(x2

2

Ejemplo 55 Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y 3 3x punto de contacto (0, a)

−x

¡ ¢ = ln x2 + y 2 en el

Derivando a ambos lados la ecuación de la curva: ³ ´0 £ ¡ ¢ ¤0 2 y 3 3x −x = ln x2 + y 2 ³ 2 ´0 ¡ ¢0 2 ¡ 2 ¢0 1 =⇒ y 3 3x −x + y 3 3x −x = 2 x + y2 2 x +y ¡ ¢0 2x + 2yy 0 2 2 =⇒ 3y 2 y 0 · 3x −x + y 3 · 3x −x ln 3 · x2 − x = 2 x + y2 2

−x+1

+

2

−x+1

−

=⇒ y 2 y 0 · 3x =⇒ y 2 y 0 · 3x

· 2 =⇒ y´ y 2 · 3x −x+1

y 3 · 3x

2

−x

ln 3 · (2x − 1) =

2x 2yy 0 + x2 + y 2 x2 + y 2

2yy 0 2x 2 = 2 − y 3 · 3x −x ln 3 · (2x − 1) 2 2 2 x +y x +y ¸ 2x 2y 2 = 2 − − y 3 · 3x −x ln 3 · (2x − 1) x2 + y 2 x + y2 78

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

Evaluando en (0, a) : · mT a2 · 31

¸ 2a = −a3 ln 3 · (2 · 0 − 1) 02 + a2

−

· ¸ 2 =⇒ mT 3a2 − = a3 ln 3 a =⇒ mT =

a3 ln 3 2 3a2 − a

Ejemplo 56 Sea f (x) = e2x . Determine la n-ésima derivada de f, es decir f (n) (x) . Note que: ¡ 2x ¢0 e = e2x (2x)0 = 2e2x ¡ ¡ ¢0 ¢0 f 00 (x) = 2e2x = 2 e2x = 2 · 2e2x = 22 e2x ¡ ¢0 ¡ ¢0 f 00 (x) = 22 e2x = 22 e2x = 22 · 2e2x = 23 e2x .. . (n) f (x) = 2n e2x f 0 (x) =

3.6

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Ejemplo 57 Determine la derivada de y = f −1 (x) . Note que y = f −1 (x) si solo si f (y) = x, derivando a ambos lados utilizando derivación implícita se tiene que: [f (y)]0 = (x)0 =⇒ [f (y)]0 = 1 =⇒ f 0 (y) · y 0 = 1 (regla de la cadena) 1 =⇒ y0 = 0 f (y) 1 0 =⇒ y = 0 −1 (se sustituye el valor de y) f (f (x)) Teorema 7 (Derivada de la función inversa) Se tiene que: £

f −1 (x)

¤0

=

1 f0

(

f −1

(x) )

.

Ejemplo 58 Verifique el teorema anterior con f −1 (x) = ln (x) . Si f −1 (x) = ln (x) entonces f (x) = ex y f 0 (x) = ex , entonces £

f −1 (x)

¤0

=

1 f0

(

f −1

(x) )

=

f0

1 1 1 = ln x = , ( ln x ) e x

Note que el resultado coincide con la derivada del logaritmo natural, estudiado antes. 79

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Ejemplo 59 Determine la derivada del arc sen (x) . Dado que el arcoseno es la función inversa del seno entonces si f (x) = sen x =⇒ entonces (arc sen x)

0

=

£

f −1 (x)

¤0

=

f0

2 2 Así, p de la identidad sen x + cos x = 1 se tiene que cos y = 2 − 1 − sen y ). Además como y = arc sen x entonces sen y = x :

cos ( arc sen x ) = cos y =

Por lo tanto

f 0 (x) = cos x , f (x) = arc sen x −1

1 f 0 ( f −1 (x) )

1 ( arc sen x ) 1 = cos ( arc sen x ) · ¸ −π π Sea y = arc sen x,como arc sen : [−1, 1] → , , entonces 2 2 · ¸ −π π y∈ , =⇒ cos y ≥ 0. 2 2 =

½

p 1 − sen2 y (se descarta cos y =

p p 1 − sen2 y = 1 − x2 .

1 0 (arc sen x) = √ . 1 − x2

Teorema 8 (Derivadas de funciones trigonométricas inversas) Se tiene que: ¡ ¢0 1 0 (arc sen x) = sen−1 x = √ 1 − x2 ¡ ¢0 −1 (arc cos x)0 = cos−1 x = √ 1 − x2 ¡ −1 ¢0 1 0 (arc tan x) = tan x = 1 + x2

¡ ¢0 −1 0 (arc cot) = cot−1 x = 1 + x2 ¡ ¢0 1 (arc sec)0 = sec−1 x = √ x x2 − 1 ¡ −1 ¢0 −1 0 (arc csc) = csc x = √ x x2 − 1 ³ 2 ´ Ejemplo 60 Determine la derivada de f (x) = arc tan ex +1 . f 0 (x) = =

³ 2 ´0 x +1 · ¢2 e

1

¡ 1 + ex2 +1 ¢0 ¡ 2 1 x2 +1 x +1 ¡ 2 ¢2 · e x +1 1+ e 2

=

2xex +1 ¡ ¢2 1 + ex2 +1 80

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Ejemplo 61 Determine la derivada de g (x) = ln

¡√ ¢ ¡ ¢ x5 − 1 csc−1 x3 .

h ³p ´i0 ´£ ³p ¡ ¢ ¡ ¢¤0 ln x5 − 1 csc−1 x3 + ln x5 − 1 csc−1 x3 ´0 ´ ³p ³p ¡ ¢ ¡ 3 ¢0 1 −1 √ = √ x5 − 1 csc−1 x3 + ln x5 − 1 · x 5 3 6 x −1 x x −1 ¢ ¡√ ¡ 5 ¢0 ¡ ¢ − ln x5 − 1 1 1 √ · √ x − 1 csc−1 x3 + · 3x2 = √ x5 − 1 2 x5 − 1 x3 x6 − 1 ¢ ¡√ ¡ 3 ¢ −3 ln x5 − 1 5x4 −1 √ = . x + csc 2 (x5 − 1) x x6 − 1

g 0 (x) =

3.7

Derivación logarítmica

Hemos visto como la derivación de una suma o resta es mucho más simple que la derivación de un producto o cociente. ¿Hay una forma de convertir un producto o cociente a una suma o resta? La pregunta anterior es respondida por la función logarítmica, en particular el logaritmo natural, pues: ln (xy) = ln x + ln y (convierte un producto en una suma) x ln = ln x − ln y (convierte un cociente en una resta) y (convierte una potencia en un producto ln (xn ) = n · ln x de una función por una constante) Entonces si quiere hallar la derivada de f (x) = y y esta función es producto o división de varias expresiones, es mejor: 1.Simplificar ln y 2.Aplicar derivación implicita a la ecuación ln y = ... y0 0 (recuerde que (ln y) = ) y Lo anterior nos permite, además, hallar la derivada de expresiones de la forma: f (x)g(x) . ¢√x+1 ¡ Ejemplo 62 Determine la derivada de g (x) = x2 + 1

Primero, simplifiquemos ln g (x) = ln y :

ln y =

¡√ ¢ ¡ ¢ x + 1 ln x2 + 1

81

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Derivando a ambos lados:

=⇒ =⇒ =⇒

£√ ¡ ¢ ¤0 (ln y)0 = ( x + 1) ln x2 + 1

¡ ¢ £ ¡ ¢ ¤0 √ √ y0 0 = ( x + 1) ln x2 + 1 + ( x + 1) ln x2 + 1 y ¢0 ¡ 2 ¢ ¡ 2 x +1 √ y0 1 = √ ln x + 1 + ( x + 1) · y x2 + 1 2 x · ¸ ¢ ¡ 2 √ 1 2x 0 y = y √ ln x + 1 + ( x + 1) · 2 x +1 2 x

Sustituyendo y, se obtiene que:

¡ ¢√x+1 y 0 = x2 + 1

·

¢ ¡√ ¢ ¡ 1 2x √ ln x2 + 1 + x + 1 · 2 x +1 2 x √ ex 5 x2 + 2 Ejemplo 63 Determine la derivada de f (x) = (x + 2)5 · (2 + x)x

¸

Primero, simplifiquemos ln f (x) = ln y : ³ p ´ h i 5 ln y = ln ex x2 + 2 − ln (x + 2)5 · (2 + x)x ³p ´ h i 5 5 x = ln ex + ln x2 + 2 − ln (x + 2) + ln (2 + x) ¡ ¢ ln x2 + 2 = x+ − 5 ln (x + 2) − x ln (2 + x) 5 Derivando a ambos lados de la igualdad: Ã

!0 ¢ ¡ ln x2 + 2 − 5 ln (x + 2) − x ln (2 + x) (ln y) = x + 5 ¢0 ¡ 2 £ ¤ x +2 y0 5 =1+ − · (x + 2)0 − (x)0 ln (2 + x) + x [ln (2 + x)]0 y 5 (x2 + 2) x + 2 ¸ · 2x 5 1 y0 0 =1+ − − ln (2 + x) + x · (2 + x) 2 y 5 (x 2+x · + 2) x + 2 ¸ 2x 5 x 0 y =y 1+ − − ln (2 + x) − 5 (x2 + 2) x + 2 2+x 0

=⇒ =⇒ =⇒

Sustituyendo y = f (x) , se obtiene que √ · ¸ 2x ex 5 x2 + 2 5 x 0 1+ − − ln (2 + x) − y = 5 (x2 + 2) x + 2 2+x (x + 2)5 · (2 + x)x x√ (3 − x) 6 x3 − 2 Ejemplo 64 Determine la derivada de f (x) = ex x6 82

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

Primero, simplifiquemos ln f (x) = ln y : ³ ´ p £ ¤ 6 ln y = ln (3 − x)x x3 − 2 − ln ex x6 ³p ´ £ ¤ 6 = ln (3 − x)x + ln x3 − 2 − ln ex + ln x6 ¡ ¢ ln x3 − 2 = x ln (3 − x) + − x − 6 ln x 6 Derivando a ambos lados de la igualdad: Ã

!0 ¢ ¡ ln x3 − 2 − x − 6 ln x (ln y) = x ln (3 − x) + 6 ¢0 ¡ 3 y0 1 6 1 = ln (3 − x) + x (3 − x)0 + x −2 −1− 3 y 3−x 6 (x − 2) x y0 x 3x2 6 = ln (3 − x) − + −1− y · 3 − x 6 (x3 − 2) x¸ x 3x2 6 y 0 = y ln (3 − x) − + −1− 3 − x 6 (x3 − 2) x 0

=⇒ =⇒ =⇒

Sustituyendo y = f (x) , se obtiene que √ · ¸ (3 − x)x 6 x3 − 2 x 3x2 6 0 ln (3 − x) − + −1− y = ex x6 3 − x 6 (x3 − 2) x

4

Más ejemplos

¡ ¢ Ejemplo 65 Sea f (x) = x3 − 4x2 g (x) . Se sabe que la ecuación de la recta normal a la curva x y = g (x) en el punto de tangencia (−2, 5) es y = + 5. Determine f 0 (−2) . 4 Se tiene que: ¡ 3 ¡ ¢0 ¢ x − 4x2 g (x) + x3 − 4x2 g 0 (x) ¢ ¡ ¢ ¡ = 3x2 − 8x g (x) + x3 − 4x2 g 0 (x)

f 0 (x) =

Note que:

f 0 (−2) = −4g (−2) + −24g 0 (−2) Como (−2, 5) es punto de tangencia, entonces g (−2) = 5. Además como y = entonces la pendiente de la recta tangente es g 0 (−2) = −4. Por lo tanto:

x + 5 es la recta normal, 4

f 0 (−2) = −4g (−2) + −24g 0 (−2) = −4 · 5 + −24 · −4 = 76. Ejemplo 66 Determine la derivada de la función g (x) = |x sen x|

83

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

Note que 0

(|x sen x|)

=

=

µq ¶0 ³ ´0 1 2 2 (x sen x) = q · (x sen x) 2 (x sen x)2 1 0 q · 2x sen x (x sen x) 2 2 (x sen x)

1 · 2x sen x (sen x + x cos x) 2 |x sen x|

=

Ejemplo 67 Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x3 − 2x + 2 que pasan por el punto (−2, −2) . Note que (−2, −2) es un punto de la curva. Así hay dos posibilidades: que (−2, −2) sea el punto de tangencia o que no. Caso I. Si (−2, −2) es el punto de tangencia a.

La pendiente mT

¡ ¢0 f 0 (x) = x3 − 2x + 2 = 3x2 − 2,

por lo tanto mT = f 0 (−2) = 10. b.

La intersección con el eje Y : bT Dado que la recta tangente pasa por (−2, −2) , se tiene que bT = y − mT · x = −2 − 10 · −2 = 18. Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: y = 10x + 18.

Caso II. Si (−2, −2) no es el punto de tangencia. Sea (a, b) el punto de tangencia: a. La pendiente mT = f 0 (a) = 3a2 − 2. b. La intersección con el eje Y : bT Dado que la recta tangente pasa por (a, b) , se tiene que ¡ ¢ bT = y − mT · x = b − 3a2 − 2 a.

c.

Por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: ¡ ¢ ¡ ¢ y = 3a2 − 2 x + b − 3a2 − 2 a.

Determinar (a, b)

Hay dos informaciones que no hemos utilizado: 84

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

i.

(a, b) es punto de tangencia, por lo tanto f (a) = b, es decir: b = a3 − 2a + 2

ii.

(1)

la tangente pasa por (−2, −2), entonces debe satisfacer su ecuación: ¡ ¢ ¡ ¢ −2 = −2 3a2 − 2 + b − 3a2 − 2 a =⇒

b = 6a2 − 2a + 3a3 − 6

(2)

Igualando 1 y 2 : a3 − 2a + 2 = 6a2 − 2a + 3a3 − 6 2a3 + 6a2 − 8 = 0 2 (a − 1) (a + 2)2 = 0 a = 1 o a = −2

=⇒ =⇒ =⇒

Si a = −2 se obtiene la recta tangente del caso 1. Si a = 1 =⇒ b = 1, entonces el punto de tangencia sería (1, 1) y la tangente sería: ¡ ¢ ¡ ¢ y = 3a2 − 2 x + b − 3a2 − 2 a =⇒ y = x

Así, las ecuaciones de las tangentes que pasan por el punto (−2, −2) son: y = 10x + 18, 3

y=10x+18

y=x

f(x) y=x

2

1

-2

2 -1

(-2,-2)

-2

-3

¡ ¢ Ejemplo 68 Sea f (x) = x3 − 4x2 g (x) . Se sabe que la ecuación de la recta normal a la curva x y = g (x) en el punto de tangencia (−2, 5) es y = + 5. Determine f 0 (−2) . 4 85

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

Se tiene que: ¡ 3 ¡ ¢0 ¢ x − 4x2 g (x) + x3 − 4x2 g 0 (x) ¢ ¡ ¡ ¢ = 3x2 − 8x g (x) + x3 − 4x2 g 0 (x)

f 0 (x) =

Note que:

f 0 (−2) = −4g (−2) + −24g 0 (−2) Como (−2, 5) es punto de tangencia, entonces g (−2) = 5. Además como y = entonces la pendiente de la recta tangente es g 0 (−2) = −4. Por lo tanto:

x + 5 es la recta normal, 4

f 0 (−2) = −4g (−2) + −24g 0 (−2) = −4 · 5 + −24 · −4 = 76. (x + 4)2 (y − 7)2 Ejemplo 69 Considere la curva + = 1. Determine, si existen, los puntos sobre la 4 25 gráfica de la curva en los cuales la recta normal es paralela al eje Y . Determinemos y 0

Ã

(x + 4)2 (y − 7)2 + 4 25

!0

= (1)0

2 (x + 4) 2 (y − 7) y 0 + =0 4 25 2 (y − 7) y 0 2 (x + 4) =⇒ =− 25 4 25 (x + 4) =⇒ y 0 = − 4 (y − 7) =⇒

Si la recta normal es paralela al eje Y entonces la tangente es paralela al eje X, por lo tanto tiene pendiente mT = 0, así y0 = −

25 (x + 4) =0 4 (y − 7)

=⇒

(x + 4) = 0

=⇒

x = −4

(x + 4)2 (y − 7)2 2 Sustituyendo x = −4 en la ecuación de la curva: + = 1 =⇒ (y − 7) = 25 4 25 √ =⇒ y − 7 = ± 25 =⇒ y = 7 ± 5. Por lo tanto, los puntos de contacto donde la recta tangente es horizontal son (−4, 12) y (−4, 2) Ejemplo 70 Sea y =

f (x) f 0 (x) g (x) − f (x) g 0 (x) , utilizando derivación logaritmica. pruebe que y 0 = 2 g (x) [g (x)]

86

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 4. Derivada de una función Prof. Geovany Sanabria

Se tiene que: ln (y) = ln (f (x)) − ln (g (x)) , derivando a ambos lados de la igualdad: (ln y)0 = (ln (f (x)) − ln (g (x)))0 y0 f 0 (x) g 0 (x) =⇒ = − y f (x) g (x) f 0 (x) g (x) − f (x) g 0 (x) y0 = =⇒ y · f (x) g (x) ¸ f 0 (x) g (x) − f (x) g 0 (x) 0 =⇒ y = y f (x) g (x) Sustituyendo y =

f (x) se obtiene que g (x) y0 =

5

f (x) f 0 (x) g (x) − f (x) g 0 (x) f 0 (x) g (x) − f (x) g 0 (x) · = 2 g (x) f (x) g (x) [g (x)]

Ejercicios

Realice los ejercicios de la práctica #2.

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