Derivadas 1. Recta tangente a una curva

DERIVADA DE FUNCIONES REALES

Consideremos la curva y = f(x) correspondiente a una función continua y en ella dos puntos distintos P(x1; y1) y Q(x2; y2). PQ es una recta secante a la curva con pendiente: m

y2  y1

x2  x1

Como y2 = f(x2), y1 = f(x1) y si consideramos x2 – x1 = h Entonces, x2 = x1 + h

Por lo tanto la ecuación de la recta secante a la curva y = f(x) es: y  y1 

La noción de derivada ha permitido a lo largo de los siglos hallar soluciones a problemas como determinar la ecuación de rectas tangentes a una curva y calcular los valores máximos o mínimos de las funciones.

f  x1  h   f  x1  h

.  x  x1 

¿Qué ocurre cuando el punto Q lo consideramos sucesivamente más cerca del punto fijo P?

La derivada expresa la variación de las funciones entre dos puntos muy cercanos y se aplica a situaciones físicas como el cálculo de la velocidad de un móvil, conociendo su ley de movimiento.

Las figuras nos muestran cómo las sucesivas secantes PQ ; PQ1 ; PQ2 ;............. ; PQn , se acercan cada vez más a la recta

tangente a dicha curva en el punto P. Profesor: Javier Trigoso

Página 1

Derivadas Es decir: La tangente a la curva y = f(x) en el punto P es el límite de las sucesivas secantes, cuando el punto Q tiende hacia el punto P. Cuando Q se aproxima a P (Q → P), el número h tiende a cero (h → 0) Por lo tanto: La pendiente mT de la recta tangente a la curva correspondiente a la función y = f(x) en el punto P(x1; y1) es: mT  lim

h0

f  x1  h   f  x1 

Determina la ecuación de la recta tangente a la curva correspondiente a cada función real en el punto indicado: 01. f(x) = x2 en el punto (2; 4)

y = 4x – 4

02. f(x) = x2 + 4x + 4 en el punto (-1; 1)

y = 2x + 3

03. f(x) = x2 + 2x + 1 en el punto (1; 4)

h

La ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto P(x 1; y1) es: y  y1  mT  x  x1  Ejemplo: Determina la ecuación de la recta tangente a la curva correspondiente a la función y  f  x   4x2  3 en el punto (1; 7) Solución: Para calcular la pendiente de la recta tangente, usamos la expresión  4 x  h 2  3  4x2  3     f  x1  h   f  x1     , es decir: mT  lim  mT  lim h 0 h 0 h h Efectuando obtenemos:

h 8x  4h  8hx  4h2 mT  lim  lim  lim 8x  4h   mT  8x h0 h0 h0 h h

Como la abscisa del punto (1; 7) es x = 1, tenemos que la pendiente mT = 8.1 = 8 Luego la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1; 7) es: y  7  8  x  1 Profesor: Javier Trigoso

PARA LA CLASE …

04. f(x) 

2 x2

en el punto (3; 2/9)

y = 4x y = (-4x + 18)/4

2. Derivada de una función real Como habrás podido observar, en la determinación de la pendiente de la recta tangente a una curva correspondiente a una función en uno de sus puntos se ha usado el concepto de límite de una función mediante la expresión: f  x0  h   f  x0  lim h0 h A este límite, si existe, se le denomina derivada de una función f(x0) en x0 y se denota por f’(x0) En general: Sea f una función real y sea x0 є R. Decimos que f es derivable en x0 si y sólo si existe el límite lim

h 0

f  x0  h   f  x0  h

Página 2

Derivadas La derivada también se designa por: y' ;

d f(x) dx

dy

;

dx

f' x0  ; Dx y ; Dx f(x) ; Dx f

f' x0 

3 x  h 2  9 x  h  4  3 x 2  9x  4    0      0  0   0   lim h0 h h  6x0  3h  9  6x0 h  3h2  9h  lim  lim h0 h 0 h h

f' x0   lim  6x0  3h  9   6x0  9

Ejemplo 1:

h0

2

Calcula la derivada de la función f(x) = x + 3 en el punto x0 = 2

Como la pendiente de la recta tangente es 3 (f’(x0) = 3), entonces: 6x0 – 9 = 3 → x0 = 2

Solución: Reemplazando x0 = 2 en: f' x0   lim

 2  h 2  3 22  3        lim h0 h

f 2  h   f 2  h

h 0

efectuando obtenemos:

y0= 3(2)2 – 9(2) + 4 → y0 = -2

h

h 0

es decir: f'2  lim

Reemplazamos x0 = 2 en la función f(x) = 3x2 – 9x + 4 para obtener y0

f  x0  h   f  x0 

Por lo tanto el punto buscado P(x0; y0) es P (2; -2)

Ejemplo 3:

h  4  h 4h  h2  lim  lim  4  h  h 0 h 0 h 0 h h

f'2   lim

Si f(t)  3t2  6t es la función que define la trayectoria de un móvil, encuentra la expresión que determina la rapidez instantánea (velocidad) en el instante t0

f'2    4  0   4

Solución:

Ejemplo 2: 2

Encontremos el punto de la curva asociada a la función f(x) = 3x – 9x + 4 en el que la pendiente de la tangente es 3. Solución: Sea P(x0; y0) el punto buscado, calculemos la derivada f’(x0) f x0  h  f x0 f' x0  lim h 0 h

 





 

V  t0   f' x0   lim V  t0  V  t0 

f  t0  h   f  t0 

h0 h 3 t  h 2  6 x  h  3 t 2  6t    0     0  0   0   lim h 0 h h  6t0  3h  6  6t0 h  3h2  6h  lim  lim h 0 h 0 h h

V  t0   lim  6t0  3h  6   6t0  6 h 0

Profesor: Javier Trigoso

Página 3

Derivadas La expresión V  t0   6t0  6 puede ser calculada para distintos valores

3. Propiedades sobre las funciones derivadas de funciones

de t0 obteniéndose así cada rapidez deseada

reales:

IMPORTANTE:

Función

Derivada

f x  c

f' x   0

f  x   xn

f' x   nxn 1

f x  x

La rapidez de un móvil, cuya trayectoria está dada por la función de posición S = f(t), es la derivada de la función, es decir: v(t) = f’(t), del mismo modo la aceleración será a(t) = f’’(t),

f' x   1

n

n

f  x   c.g  x 

f  x   g  x  .h  x 

05. f(x) = 3x + 1 en x0 = 1

3

06. f(x) = x2 + 1 en x0 = 3

6

07. f(t) = 3t2 – 5t + 1 en t0 = 5s

25

08. f(t) 

1 2 t  4t  1 en t0 = 3s 2

7

correspondiente a la función f(x)  x3  3x2  1 , en los que la pendiente (-1; -3) y (3; 1) 3

t . Donde “x” 3 se mide en metros y “t” en segundos. Hallar su velocidad después de 6seg. De iniciado el movimiento. 38

10. Un punto está en movimiento según la ley: x  t   2t 

Profesor: Javier Trigoso

g x

f' x   n.g  x 

h x

.g' x 

f' x   g' x   h' x 

f' x   c.g' x 

f' x   g' x  .h  x   g  x  .h' x 

f' x  

g' x  .h  x   g  x  .h'  x  h2  x 

f  x   ex

f' x   e x

f  x   ln x

1 x f' x   ax .ln a f' x  

f  x   ax ; (a  0)

f  x   loga x

09. Determina las coordenadas de los puntos de la curva de la recta tangente es 9.

f x 

n 1

n 1

f x  g x  h x

Calcula la derivada de las siguientes funciones reales:

n

n. x

f x  g x

PARA LA CLASE …

1

f' x  

f x  x



f x  g h x f  x   senx

f  x   cos x

f' x  





1 x.ln a



f' x   g' h  x  .h' x 

f' x   cos x

f' x   senx

f  x   tgx

f' x  

f  x   ctgx

f' x  

1 cos2 x 1

sen2 x Página 4

Derivadas Ejemplo 1:

h'(x) 

3

Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) = x y g(x) = 4x + 3, entonces la derivada de la función producto es:



2x2 x2  3 4x6

  h'(x)    x

2

3



2x4

PARA LA CLASE ….

Solución:



La función producto es: h(x)  f(x).g(x)  x3 . 4x  3 Y su derivada es:



 

  h'(x)  3x .  4x  3   x  .  4 

h'(x)  x3 '.  4x  3  x3 .  4x  3' 2

3

11. Si f(x) 

1  x  x2 , calcular: f’(-3) x

-46/9

5 12. Calcular “n” , si f'(n)  , siendo: f(x)  x2  9 4

5

h'(x)  12x3  9x2  4x3 3

2

h'(x)  16x  9x

13. Dada la función: f(x)  Ejemplo 2: Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) = x2 + 1 y g(x) = 2x3, entonces la derivada de la función cociente es:

La función producto es: h(x)  y su derivada es:

x h'(x) 

f(x) x2  1  g(x) 2x3

11 5  11x

Calcular “a”, si: f'(a) 

1 128 1

14. Calcular f(-1) en la función f(x), que verifica f'(x)  4x  3 f (1) = 10

Solución:

1

, 4

15. Dada la función f(x) que verifica: f''(x)  6x  4; f'(1)  10; f(0)  4 Calcular: f(-1)

2

      2x  2x  . 2x    x  1 .  6x  h'(x)  2

 1 '. 2x3  x2  1 . 2x3 ' 3

3

h'(x) 

Profesor: Javier Trigoso

2

4x6 4x 4  6x 4  6x2 4x6

2

2



2x 4  6x2 4x6

Página 5

Derivadas 4. Aplicación de máximo y mínimo de una función

Si x = 27 → V  4 27

Ejemplo 1:

no nos sirve pues no es posible armar una caja cuyo volumen sea igual a cero.

Con una cartulina de 54 cm de lado se quiere construir una caja sin tapa de base cuadrada y volumen máximo. Calcula las dimensiones que debe tener la caja. Solución: Para construir la caja debemos trazar paralelas a los lados a una distancia “x” de cada borde de la cartulina, recortar los cuadrados de lado “x” determinados en cada esquina y luego doblar la cartulina por las líneas marcadas (fig. 1)

3

  3

 

Si x = 9 → V  4 9

2

 216 27   2916 27   0 , entonces este valor

2

 216  9   2916  9   11664 , “V” toma el valor

máximo, entonces las dimensiones de la caja son: lado de la base: (54 – 2x) = 54 – 18 = 36 cm, altura: x = 9 cm Ejemplo 2: De todos los rectángulos de 25 cm2 de área, ¿cuál es el de menor perímetro? Solución: Si llamamos “x” a la base, “y” a la altura y “p” al perímetro del rectángulo (ver figura) • p = 2x + 2y …………………(1) • Área del rectángulo = 25 25 xy  25  y  .........(2) x

De esta manera se construye una caja (fig. 2) de altura “x”, área de la



base iguala a (54 – x)2 y volumen “V”, donde: V  54  2x

2



.x o bien:

V  4x3  216x2  2916x y como “V” es función de “x”, es decir:

V  f(x)  4x3  216x2  2916x , el problema a resolver, consiste en hallar un máximo de f(x). Calculemos la derivada de f(x), es decir: f'(x)  12x2  432x  2916

 25  50 Reemplazando (2) en (1): p  2x  2    2x  x x  

 

y como “p” es función de “x”, es decir p  f x  2x  derivando f(x) resulta f' x   2 

50 x

50

, que se anula para x = 5 x2 Luego el rectángulo buscado es un cuadrado de 5 cm. Lado.

Factorizando resulta: f'(x)  12  x  27  x  9  Luego: f'(x)  12  x  27  x  9  0

Profesor: Javier Trigoso



x  27  x  9

Página 6

Derivadas PARA LA CLASE ….

03. Halla la derivada de la función f(x)  sen2 x A. 2senx

16. La suma de dos números es 18, encuentra dichos números tales que la suma de sus cuadrados sea mínima.

B. senx.cosx

C. sen2x

04. Dada la función: f(x)  x2  3 Calcular: P  f 3 3

6 2

17. Si la suma de la base y la altura de un triángulo es igual a 38 m. ¿Qué dimensión debe tener dicho triángulo para que su área sea máxima?

a)

18. Hallar el área máxima de un rectángulo que tiene su base inferior en el eje “x” y dos de sus vértices en la curva: y = 6 – 2x2

función y  2x2  5x  1 en el punto P(-3; 2)

19. Hallar el área del mayor rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas, que pueden inscribirse en la región limitada por las parábolas. 3y= 12 – x2 ; 6y = x2 - 12 20. Un paralelogramo y un triángulo tiene un vértice común y los otros vértices del paralelogramo están sobre los lados del triángulo dado. Calcular el área máxima del paralelogramo que se puede inscribir de esta forma. Base del triángulo = 10; Altura del triángulo = 6.

A. -6

B. -3

02. Dada la función: f(x)  A. -2

B. -1

b)

c)

 3   f  6 

d) 3 3

e) 2 3

05. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la A. x – y – 1 = 0 D. 7x + y + 19 = 0

B. x – y + 1 = 0 E. x + y = 0

C. x + y – 1 = 0

06. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la función y  senx  cos x en el punto P (0; 1) A. y = x + 1 D. y = 3x + 1

B. y = x - 1 E. y = 4x + 1

C. y = 2x + 1

07. Halla el mínimo valor de la función f(x)  2x2  8x  1 A. -12

B. -10

C. -9

D. -7

E. -5

x

2

1

C. 0 x 1 x 1 C. 0



3

 2  6x  3 , calcular f’(0) D. 4

E. 6

, calcular f’(4) D. 1

E. 2

π 09. Dada la función f(x)  ln  sen2x  calcular f'  8 A. 1

B. 2

C. 4

D.

2

E. 0

10. Indica el área máxima de un rectángulo de lados (3 – 2x) y (x + 1) A. 25/4 u2 B. 25/2 C. 25/8 D. 5/2 E. 35/4 11. La función desplazamiento de un móvil está dada por

f(t)  3t2  t  1 ¿Cuál es la rapidez en el instante t = 2? A. 5

Profesor: Javier Trigoso

3

E. 2

08. ¿Cuál es el producto mínimo de dos números cuya diferencia es 4? A. 5 B. 12 C. 0 D. -3 E. -4

PARA LA CASA …. 01. Dada la función: f(x) 

D. 2sen2x

B. 6

C. 11

D. 18

E. 19 Página 7

Derivadas 12. ¿Cuál es el valor de “p” para que el mínimo de la función

19. Si: f(x)  x 5  x  g(x) 

2

f(x)  x  2x  p sea igual a 10? A. 8

B. 9

C. 10

D. 1

E. 1/2

13. El desplazamiento de un móvil está dado por la función 3

2

f(t)  2t  5t  t . Encuentra la expresión que define su aceleración instantánea. A. 6t2 – 10t + 1 D. 10t – 12

2

B. 6t – 10t E. 8t - 5

C. 12t – 10

14. Encuentra un número real tal que al restarle su cuadrado, la diferencia sea máxima. A. 1 B. 3/4 C. 1/4 D. 1/2 E. 2 15. Determina dos números que sumados den 100, tal que la suma del cuadrado de uno de ellos con el séxtuplo del otro sea mínima. A. 5 y 95 B. 3 y 97 C. 6 y 94 D. 8 y 92 E. 4 y 96 16. Se tiene la derivada de una función: f(x)  3x2  2 calcular: f(-1); si f(0) = 1 A. 0

B. -1

C. 1

D. 2

E. -2

x 1 17. Siendo: f(x)  ¿para que el valor de “a” se cumple f(a)  ; xa a2 a  0? A. 1 B. 3 C. 2 D. 5 E. 4 4

 x3  1  18. Dada la función f(x)    , hallar f´(-1)  2x3  1    A. 288 B. -288 C. 298 D. -298

Profesor: Javier Trigoso

A. -15

2

x2 C. 3

B. -2,5

; calcular: R 

f'(1) g'(2)

D. 25

E. -56

20. Calcula la medida de cada cateto de un triángulo rectángulo de 10 cm de hipotenusa que tenga área máxima. A. 2 15 y 2 10 cm

B.

D. 3 10 y 10 cm

E. 6 y 8 cm

70 y 30 cm

C. 5 2 y 5 2 cm

21. Dadas las funciones: f(x)  x5  5x4  10x2  6 ;

g(x)  x5  4x3  2x  3 Calcular P  A. 2

B. 3

C. 4

f''( 1) g''( 1)

D. 5

E. 8

22. Sea la función: f(x)  ax2  bx  1 ; si f(0) = 3; f(1) = 1

ac 1 1 Además: f    f   . Calcula el valor de: R  c b 2 2 A. 0 B. 1/3 C. 4 D. 1/4 23. Dada la función: f(x)  calcular: “ab” A. 128

B. -64

ax  b 4x

E. ½

, si su derivada es: f"(x) 

C. 64

D. -128

2x 3/2

4  x

E. 32

24. Encuentra dos números positivos cuya suma sea igual a 20, además, el cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo. A. 6 y 14 B. 7 y 13 C. 5 y 15 D. 4 y 16 E. 8 y 12

E. 188

Página 8

Derivadas 25. Una recta pasa por el punto P (3; 4) y corta a los semiejes positivos formándose un triángulo, encuentra la ecuación de la recta para que el área de la región triangular sea mínima. A. 4x – 3y + 24 = 0 B. 4x – 3y - 24 = 0 C. 4x + 3y - 24 = 0 D. 3x + 4y + 24 = 0 E. 3x + 4y - 24 = 0 26. Sea las funciones: f(x)  senx  g(x)  tanx Donde: x pertenece en primer cuadrante. Además se tiene que:  1  (f(x))(g(x))  2 . Hallar: Q (x) ; si :Q(x)  f(x)2    g(x)   

A. 1

B. 2x

C. x + 1

Si se tiene el siguiente triángulo rectángulo:  Senα   (Cosα)   Nos piden hallar: f  α   Cosα  Senα con respecto al A. 5 B. 7 C. 4 D. 3 E. 6

D. 0

E. 2

5

3

29. Las gráficas adjuntas corresponden a las 1  g(x)  3x  3 funciones: f(x)  2x2  2x  2 Determina la máxima longitud vertical “d”. A. 25/8 B. 15/2 C. 21/8 D. 17/4 E. 1

d

30. Un torpedero está anclado a 9Km del punto más próximo a la orilla. Se necesita enviar un mensajero al campamento situado en la orilla. La distancia entre el campamento y el punto más próximo referido es de 15 Km.: teniendo en cuenta que el mensajero recorre a pie 5 Km. /h y en un bote remando 4 Km. /h. Indicar en que pinto de la orilla debe desembarcar para llegar al campamento lo más pronto posible. A. a 3 Km. del campamento B. a 5 Km. del campamento C. a 2 Km. del campamento D. a 8 Km. del campamento E a 4 Km. del campamento

4

27. Si el propietario de un teatro cobra S/. 10 por cada boleto de admisión, la asistencia promedio será de 100 personas. Si por S/. 1 de incremento en el precio del boleto, la asistencia promedio desciende en dos personas ¿A cuánto debe vender cada entrada para obtener una ganancia máxima? A. S/. 10 B. S/. 15 C. S/. 20 D. S/. 30 E. S/. 21 28. Una pieza larga y rectangular de lámina de 30 cm. De ancho la convirtiese en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos rectos con la base. ¿Cuál debe ser el ancho de las partes dobladas, si se desea que tenga la mayor capacidad posible? A. 5cm. B. 10cm. C. 8, 25cm. D. 6cm. E. 7, 5cm.

Profesor: Javier Trigoso

Página 9