84 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

Tema 8

Funciones reales de variable real 8.1

Los n´ umeros reales

Los n´ umeros reales son de sobra conocidos, sus operaciones b´asicas as´ı como su identificaci´on con los puntos de “la recta real”, por lo que s´olo vamos a mencionar aqu´ı algunas de sus propiedades (la mayor´ıa conocidas) que son imprescindibles en el desarrollo de este tema. Propiedades de orden 174.- Denotaremos por IR+ = {x ∈ IR : x > 0} y IR− = {x ∈ IR : x < 0} 1.- Antisim´etrica: Si x ≤ y e y ≤ x =⇒ x = y . 2.- Transitiva: Si x ≤ y e y ≤ z =⇒ x ≤ z . 3.- Total : Para cualesquiera x, y ∈ IR :

o bien x ≤ y ,

4.- Si x ≤ y , entonces x + z ≤ y + z para todo z ∈ IR

o bien y ≤ x . (si x < y =⇒ x + z < y + z ).

5.- Si x ≤ y , entonces x · z ≤ y · z para todo z ∈ IR+

(si x < y =⇒ x · z < y · z ).

6.- Si x ≤ y , entonces x · z ≥ y · z para todo z ∈ IR−

(si x < y =⇒ x · z > y · z ).

7.- Si 0 < x < y , entonces 0 <

1 y

<

1 x

.

Las propiedades de acotaci´on siguientes garantizan que los n´ umeros reales “llenan” la recta real, lo que nos permite decir que recorremos de manera continua un subconjunto de IR . Definici´ on 175.- Sea A ⊆ IR , diremos que el conjunto A est´a acotado superiormente si existe alg´ un K ∈ IR tal que x ≤ K , para todo x ∈ A; es decir, todos los elementos de A son menores que K . Del valor K diremos que es una cota superior de A. An´alogamente, A est´a acotado inferiormente si existe k ∈ IR tal que k ≤ x , para todo x ∈ A y diremos que k es una cota inferior de A . Diremos que A est´a acotado si lo est´a superior e inferiormente. Propiedad del extremo superior 176.- Todo subconjunto no vac´ıo A ⊆ IR y acotado superiormente admite una cota superior m´ınima, es decir, ∃ Γ ∈ IR tal que: a) x ≤ Γ; ∀ x ∈ A

b) Si K < Γ , entonces ∃ x ∈ A verificando que K < x ≤ Γ.

Se dice que Γ es el extremo superior o supremo de A y se denota por sup A ´o ext sup A . Si Γ pertenece a A, se dice que Γ es el m´ aximo de A, y escribiremos m´ax A = Γ . Propiedad del extremo inferior 177.- Todo subconjunto no vac´ıo A ⊆ IR acotado inferiormente admite una cota inferior m´axima, es decir, ∃ γ ∈ IR tal que: a) γ ≤ x ; ∀ x ∈ A

b) Si γ < k , entonces ∃ x ∈ A verificando que γ ≤ x < k .

Se dice que γ es el extremo inferior o ´ınfimo de A y se denota por inf A ´o ext inf A . Si γ pertenece a A , se dice que γ es el m´ınimo de A, y escribiremos m´ın A = γ . Nota: Que Γ = sup A es equivalente a que para cada ε > 0 existe x ∈ A con Γ − ε < x ≤ Γ. Es decir, que para cualquier valor m´as peque˜ no que el superior hay alg´ un elemento del conjunto m´as grande que ´el. An´alogamente, γ = inf A ⇐⇒ para cada ε > 0 existe x ∈ A con γ ≤ x < γ + ε. Ejemplo El conjunto A =

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©1 n

o ª n : n ∈ IN = 1, 12 , 13 , 14 , . . . est´a acotado superior e inferiormente. I.T.I. en Electricidad

85 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

8.1 Los n´ umeros reales

En efecto, n1 ≤ 1 < 2 para todo n, luego 2 es una cota superior del conjunto (de hecho, cualquier n´ umero mayor o igual a 1 lo es). Tambi´en est´a acotado inferiormente, pues n1 es positivo luego 0 < n1 para todo n y 0 es una cota inferior de A (cualquier n´ umero negativo es tambi´en una cota inferior). Luego A es un conjunto acotado y tiene supremo e ´ınfimo: como el supremo es la m´ınima cota superior, sup A = 1 , pues 1 es una cota superior y si K < 1, existe el 1 ∈ A tal que K < 1 ≤ sup A = 1 luego K no es una cota y 1 es la m´as peque˜ na. Como el ´ınfimo es la m´axima cota inferior, inf A = 0, pues es una cota y para cualquier k > 0, puedo encontrar un n suficientemente grande para que 0 < n1 < k (por ejemplo, para k = 0.00001, se tiene que 1 1 < 100000 = k ). 0 < 100001 Adem´as, sup A = 1 ∈ A luego m´ax A = 1; lo que no ocurre con el ´ınfimo, pues inf A = 0 ∈ / A , luego 6 ∃ m´ın A . 4

8.1.1

Valor absoluto de un n´ umero real

Definici´ on 178.- Sea a ∈ IR , se llama valor absoluto de a, y se representa por |a|, al n´ umero real dado por ½ √ a, si a ≥ 0 |a| = + a2 = −a, si a < 0 Propiedades del valor absoluto 179.a) |a| ≥ 0, ∀ a

y

|a| = 0 ⇐⇒ a = 0

b) |ab| = |a| |b|

d) |a| ≤ k ⇐⇒ −k ≤ a ≤ k

e) |a + b| ≤ |a| + |b|

¯ ¯ −1 c) ¯a−1 ¯ = |a| ¯ ¯ ¯ ¯ f) ¯ |a| − |b| ¯ ≤ |a − b|

.

El valor absoluto y su uso como distancia es clave en las definiciones de conjuntos y conceptos como el l´ımite y la continudad, la derivaci´on e integraci´on. Nota: Con el valor absoluto, diremos que A es acotado ⇐⇒ existe K > 0 tal que |x| ≤ K , ∀ x ∈ A . n o ¯ ¯ Ejemplo El conjunto A = 1, 12 , 13 , 14 , . . . del ejemplo anterior est´a acotado pues ¯ n1 ¯ ≤ 1 para todo n .

8.1.2

Intervalos y entornos en

IR

Los subconjuntos de IR , est´an formados por puntos separados o por intervalos (“trozos”) de la recta real o por uniones de ellos; pero no s´olo eso, sino que la validez de algunos resultados depende del tipo de intervalo usado. Pero adem´as, los intervalos centrados en un punto (que llamaremos entornos) son b´asicos en la construcci´on de la mayor´ıa de los conceptos del C´alculo. Definici´ on 180.- Dados los n´ umeros reales a y b con a ≤ b, se llama intervalo abierto de extremos a y b, y se representa por (a, b), al conjunto: (a, b) = {x ∈ IR : a < x < b} . Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, y se representa por [a, b], al conjunto: [a, b] = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b} . An´alogamente se definen: y los intervalos no acotados:

(a, b] = {x ∈ IR : a < x ≤ b} y [a, b) = {x ∈ IR : a ≤ x < b} (a, +∞) = {x ∈ IR : a < x} y [a, +∞) = {x ∈ IR : a ≤ x} (−∞, b) = {x ∈ IR : x < b} y (−∞, b] = {x ∈ IR : x ≤ b}

En los intervalos cerrados, inf[a, b] = m´ın[a, b] = a y sup[a, b] = m´ax[a, b] = b, mientras que en los abiertos inf{(a, b)} = a y sup{(a, b)} = b pero no tiene ni m´aximo ni m´ınimo. En los no acotados, como [a, +∞) , se tiene inf[a, +∞) = m´ın[a, +∞) = a pero no existe el superior (a veces se escribe sup A = +∞ , para indicar que el conjunto no est´a acotado superiomente). Naturalmente, IR es tambi´en un intervalo IR = (−∞, +∞) . Y, [a, a] = {a} pero (a, a) = (a, a] = [a, a) = ∅. Definici´ on 181.- Llamaremos entorno de centro a y radio ε > 0, y escribiremos E(a, ε), al conjunto: E(a, ε) = {x ∈ IR : |x − a| < ε} = {x ∈ IR : a − ε < x < a + ε} = (a − ε, a + ε). Llamaremos entorno reducido de centro a y radio ε > 0 , E ∗ (a, ε), al conjunto E ∗ (a, ε) = E(a, ε) − {a} = {x ∈ IR : 0 < |x − a| < ε}. Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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86 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

8.2 Funciones reales de variable real

8.1.3

Algunas operaciones con n´ umeros reales

8.1.3.1

Potencias racionales y reales de un n´ umero real

Las potencias racionales, xr , se definen paulatinamente a partir de las potencias naturales: n)

? para n ∈ IN y x ∈ IR , definimos xn = x · x · · · x . ? para z ∈ ZZ y x ∈ IR − {0} , definimos x0 = 1 y si z < 0, xz = (x−1 )−z . √ 1 ? para n ∈ IN y x ∈ IR+ , definimos x n = n x como el α ∈ IR tal que αn = x √ z ? para r = nz , con z ∈ ZZ y n ∈ IN , y x ∈ IR+ , definimos x n = n xz . y se verifican las siguientes propiedades: (1) xr y r = (xy)r

(2) xr xs = xr+s

(3) (xr )s = xrs

(4) Si 0 < x < y , entonces 0 < xr < y r si r > 0

y

(5) Si r < s se tiene que xr < xs cuando x > 1

y

0 < y r < xr si r < 0

xs > xr cuando 0 < x < 1. √ Antes de terminar, un peque˜ no apunte sobre las raices n-´esimas, n x para x ≥ 0: si n es impar, existe un u ´nico n´ umero real α > 0 tal que αn = x ; y si n es √ par, existe un u ´nico n´ umero real α > 0 tal que αn = x y √ n n n (−α) = x. Por ello, si n es par siempre se escribe x > 0 y − x < 0 para distinguir entre el valor positivo y el negativo. Potencias reales.- Las potencias reales de un n´ umero real, xα , con x > 0 y α ∈ IR se extienden de las racionales (aunque no de manera sencilla) y verifican las mismas propiedades de (1) a (5) que las potencias racionales. 8.1.3.2

Exponencial real de base e

La exponencial de base e que a cada x ∈ IR le asigna el n´ umero real ex . Las propiedades de las potencias, establecen la validez de: (1) ex+y = ex ey

(2) Si x < y se tiene que ex < ey

(3) ex > 0

(Gen´ericamente, tenemos exponenciales de base a, para cualquier a > 0, con propiedades similares.) 8.1.3.3

Logaritmo neperiano real

Para cada x ∈ (0, +∞), se define el logaritmo neperiano, ln x como el valor real α tal que eα = x ; es decir, la operaci´on rec´ıproca a la exponencial. (1) ln(xy) = ln x + ln y

(2) ln(xy ) = y ln x

(3) Si 0 < x < y se tiene ln x < ln y

(Gen´ericamente, para cada exponencial ax , tenemos el logaritmo en base a, loga x .)

8.2

Funciones reales de variable real

Definici´ on 182.- Llamaremos funci´ on real de variable real, a cualquier aplicaci´on f : A −→ IR , donde A ⊆ IR . Al conjunto A lo denominaremos dominio de f y escribiremos A = Dom(f ) . Si x ∈ A escribiremos y = f (x) para indicar que y ∈ IR es la imagen de x por medio de f . El recorrido o conjunto imagen de f , que suele denotarse por f (A), ser´a: n o n o f (A) = f (x) ∈ IR : x ∈ A = y ∈ IR : ∃ x ∈ A con y = f (x) = Img f Nota: Si la funci´on viene dada s´olo por la expresi´on y = f (x) , sobreentenderemos que el dominio es el m´aximo subconjunto de IR para el cual f (x) ∈ IR , es decir, Dom(f ) = {x ∈ IR : f (x) ∈ IR} √ Ejemplo Sea f : [−1, 1] −→ IR dada por f (x) = 1 − x2 . Se tiene que: √ Dom(f ) = [−1, 1]: pues x ∈ [−1, 1] =⇒ 0 ≤ x2 ≤ 1 =⇒ 1 − x2 ≥ 0 =⇒ 1 − x2 = f (x) ∈ IR . Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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87 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

8.2 Funciones reales de variable real

f ([−1, 1]) ⊆ [0, 1] , ya que x¡√ ∈ [−1, 1] ¢=⇒ 0 ≤ x2 ≤ 1 =⇒ −1 ≤ −x2 ≤ 0 =⇒ 0 ≤ 1−x2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ si k ∈ [0, 1], se tiene k = f 1 − k 2 ; luego f ([−1, 1]) = [0, 1]. Para f dada por f (x) =

1 1−x2

√

1−x2 ≤ 1 y,

, su dominio se obtendr´a de: 1 ∈ IR ⇐⇒ 1 − x2 6= 0 ⇐⇒ x2 6= 1 ⇐⇒ x 6= ±1 1 − x2

f (x) ∈ IR ⇐⇒

luego Dom(f ) = IR − {1, −1} = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞).

Definici´ on 183.- Llamaremos gr´ afica de la funci´on dada por y = f (x), y lo denotaremos por graf(f ), al subconjunto de IR2 n o graf(f ) = (x, y) ∈ IR2 : x ∈ Dom(f ) e y = f (x) n o = (x, f (x)) ∈ IR2 : x ∈ Dom(f )

Adem´as, Img(f ) = IR − [0, 1).

4

y f (a)

r (a, f (a))

f (c)

©© © ¼

graf(f ) (c, f (c))

r

r(b, f (b))

f (b)

x a

c

b

Definici´ on 184 (Operaciones con funciones).- Sea f y g funciones reales de variable real. Entonces son funciones reales de variable real las siguientes: 2.- (Producto)

1.- (Suma)

(f +g)(x) = f (x) + g(x) ³ ´ f (x) f 3.- (Cociente) g (x) = g(x)

(f g)(x) = f (x) · g(x)

4.- (Composici´on)

(g ◦ f )(x) = g(f (x))

en los conjunto donde tenga sentido. Es decir:

³ ´ Dom(f /g) = Dom(f ) ∩ Dom(g) − {x : g(x) = 0} n o Dom(g ◦ f ) = x ∈ Dom(f ) : f (x) ∈ Dom(g)

Dom(f +g) = Dom(f ) ∩ Dom(g) Dom(f g) = Dom(f ) ∩ Dom(g) Ejemplo Sean f (x) =

√

2 − x y g(x) =

√

x2 − 1. Se tiene que

Dom f = {x ∈ IR : 2 − x ≥ 0} = {x ∈ IR : 2 ≥ x} = (−∞, 2] Dom g = {x ∈ IR : x2 − 1 ≥ 0} = {x ∈ IR : x2 ≥ 1} = (−∞, −1] ∪ [1, +∞) = IR − (−1, 1) √ √ Luego el dominio de (f + g)(x) = 2 − x + x2 − 1 es ³ ´ Dom(f + g) = Dom f ∩ Dom g = (−∞, 2] ∩ (−∞, −1] ∪ [1, +∞) = (−∞, −1] ∪ [1, 2] √ √ que coincide con el de (f g)(x) = √ 2 − x x2 − 1. Para el dominio de ( fg )(x) = √x2−x , como g(x) = 0 si x2 − 1 = 0, es decir, si x = ±1, 2 −1 ³ ´ ³ ´ Dom fg = (Dom f ∩ Dom g) − {−1, 1} = (−∞, −1] ∪ [1, 2] − {−1, 1} = (−∞, −1) ∪ (1, 2] y, finalmente el dominio de (g ◦ f )(x) =

q√ √ ( 2 − x)2 − 1 = 1 − x ser´a

√ √ © ª (1) © ª Dom(g ◦ f ) = x ∈ (−∞, 2] : 2 − x ∈ Dom g = x ∈ (−∞, 2] : 2 − x ≥ 1 = {x ∈ (−∞, 2] : 2 − x ≥ 1} = {x ∈ (−∞, 2] : 1 ≥ x} = (−∞, 1] (1) como

√

2 − x ≥ 0 , se tiene

√ √ √ 2 − x ∈ Dom g si 2 − x ∈ [1, +∞) , es decir, si 2 − x ≥ 1 .

Dominio de algunas funciones elementales 185.√ ? Ra´ız: f (x) = n x y Dom f = [0, +∞) . ? Potencia real: ? Exponencial:

f (x) = xα f (x) = ex

? Logaritmo neperiano: Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

y y

Dom f = (0, +∞) . Dom f = IR .

f (x) = ln(x)

y

Dom f = (0, +∞) .

Con

4 √ n

x = 0 ⇐⇒ x = 0 .

Con xα > 0 para todo x . Con ex > 0 para todo x . Con ln x = 0 ⇐⇒ x = 1 . I.T.I. en Electricidad

88 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

? Seno:

f (x) = sen(x)

? Coseno:

f (x) = cos(x)

? Tangente:

Dom f = IR . y

f (x) = tg(x) =

? Seno hiperb´olico:

? Tangente hiperb´olica: α>1

sen x cos x

e −e 2

−x

¡

¡

y

ex +e−x 2

f (x) = th(x) =

sh x ch x

f (x) = ex

Dom f = IR . y

y

Con sh x = 0 ⇐⇒ x = 0 .

Dom f = IR .

Con ch x ≥ 1 para todo x .

Dom f = IR .

ch(x)

sh(x)

0 0 son estrictamente crecientes en sus dominios; y si α < 0, xα decrece estrictamente en (0, +∞) (ver gr´aficas arriba). La funci´on f (x) = x1 es estrictamente decreciente en cada punto de su dominio IR −{0} , pero no es mon´otona decreciente en el conjunto (ya que −1 < 1 pero f (−1) = −1 < f (1) = 1.) 4 Definici´ on 188.- Se dice que f : A −→ IR es inyectiva en A si f (x) 6= f (y) para todo x, y ∈ A, con x 6= y . Ejemplo Las funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes en un conjunto son inyectivas. La funci´on f (x) = x2 es inyectiva en [0, 1] y tambi´en en [−1, 0], pero no lo es en el conjunto [−1, 1] puesto que f (−1) = 1 = f (1) con 1 6= −1. Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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89 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

8.3 Ejercicios

Definici´ on 189.- Sean f : A −→ IR y B = f (A) . Si f es inyectiva en A , llamaremos funci´ on inversa de f en A, y la denotaremos por f −1 , a la funci´on f −1 : B −→ A tal que f −1 (f (x)) = x , para todo x ∈ A . Ejemplo 190 ? La funci´on f : [0, ∞) −→ IR con f (x) = x2 , tiene inversa en ese conjunto (es √ estrictamente √ −1 −1 −1 creciente en ´el) y es f : [0, ∞) −→ [0, ∞) dada por f (y) = y . [ f (f (x)) = x2 = |x| = x ] ? La funci´on f : (−∞, 0] −→ IR con f (x) = x2 , tiene inversa en ese conjunto (es estrictamente decreciente √ √ en ´el), que es f −1 : [0, ∞) −→ (−∞, 0] dada por f −1 (y) = − y . [ f −1 (f (x)) = − x2 = − |x| = x ] ? La funci´on f : (0, +∞) −→ IR con f (x) = xα , tiene inversa en el conjunto (es estr. creciente si α > 0 y 1 1 decreciente si α < 0), que es f −1 : (0, ∞) −→ IR dada por f −1 (y) = y α . [ f −1 (f (x)) = (xα ) α = x1 = x ] ? La funci´on f : IR −→ (0, ∞) con f (x) = ex , tiene inversa en IR (es estrictamente creciente en ´el), que es f −1 : (0, ∞) −→ IR dada por f −1 (y) = ln y . [ f −1 (f (x)) = ln(ex ) = x ln(e) = x ] ? La funci´on f (x) = sen x , tiene inversa en el conjunto [− π2 , π2 ] (es estrictamente creciente en ´el), la funci´on f −1 : [−1, 1] −→ [− π2 , π2 ] que llamaremos arcoseno y denotaremos f −1 (y) = arcsen y . (El seno no tiene inversa en [0, 2π], pues no es inyectiva en ese conjunto) ? La funci´on f (x) = cos x , tiene inversa en el conjunto [0, π] (es estrictamente decreciente en ´el), la funci´on f −1 : [−1, 1] −→ [0, π] que llamaremos arcocoseno y denotaremos f −1 (y) = arccos y . ? La funci´on f (x) = tg x , tiene inversa en el conjunto [− π2 , π2 ] (es estrictamente creciente en ´el), la funci´on f −1 : IR −→ [− π2 , π2 ] que llamaremos arcotangente y denotaremos f −1 (y) = arctg y . ? La funci´on f (x) = sh x , f : IR −→ IR , tiene inversa en IR (es estrictamente creciente en ´ep l), la funci´on f −1 : IR −→ IR que llamaremos argumento del sh y denotaremos f −1 (y) = argsh y = ln(y + y 2 + 1). ? La funci´on f (x) = ch x , tiene inversa en [0, ∞) (estrictamente creciente), la funci´ on f −1 : [1, ∞) −→ [0, ∞) p −1 que llamaremos argumento del ch y denotaremos f (y) = argch y = ln(−y + y 2 + 1). −1 ? La funci´on th: IR −→ (−1, 1) , tiene inversa en IR (estrictamente creciente), la qfunci´on f : (−1, −1) −→ IR

que llamaremos argumento de la th y denotaremos f −1 (y) = argth y = ln

y+1 y−1

.

4

Nota: La gr´afica de f −1 es sim´etrica, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, a la gr´afica de f . En efecto, si (x, y) ∈ graf(f ) con y = f (x), entonces, el punto (y, f −1 (y)) ∈ graf(f −1 ) es de la forma (y, f −1 (y)) = (y, f −1 (f (x))) = (y, x) . 1

Puede observarse esto en la figura 8.1 de la p´agina 88, para ex y su inversa ln(x) y xα y su inversa x α .

8.3

Ejercicios

8.90 Usar las Propiedades del orden 174 y las de las operaciones descritas en el apartado 8.1.3, para probar que: a) si 0 < x < y , entonces 0 < x2 < y 2 b) si y < x < 0, entonces 0 < x2 < y 2 c) si 0 < x < y , entonces 0 < |x| < |y| d) si y < x < 0, entonces 0 < |x| < |y| e) si 0 < x < 1, entonces 0 < x2 < x f) si 1 < x , entonces 1 < x < x2 1 1 g) si y < x < 0, entonces x1 < y1 < 0 h) si y < x < 0, entonces 0 < |y| < |x| √ √ √ √ i) si 0 < x < y , entonces 0 < x < y j) si 0 < x < y , entonces − y < − x < 0 8.91 Hallar el dominio de las funciones reales de variable real dadas por: p √ (i) f1 (x) = x2 − 2x (ii) f2 (x) = − |x| − x √ (iv) f4 (x) = ln |x| (v) f5 (x) = ln x (vii) f1 (x) + f2 (x) (viii) f3 (x) − f1 (x) (x) f7 (x) =

√ √x−1 x+1

(xiii) f3 (x) · f3 (x) (xvi)

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f4 (x)+f5 (x) f8 (x)

(xi) f8 (x) = ln(f6 (x)) (xiv) f9 (x) · f7 (x) (xvii) (f5 ◦ f8 )(x)

q (iii) f3 (x) = x−1 x+1 (vi) f6 (x) = ln(2 − x2 ) (ix) f21(x) + f31(x) q (xii) f9 (x) = √x−1 x+1 (xv) (xviii)

f6 (x) f1 (x)

+

f1 (x) f6 (x)

(f1 ◦ f4 ◦ f2 )(x) I.T.I. en Electricidad

90 – Matem´aticas I : C´alculo diferencial en IR

8.3 Ejercicios

a) Expresar la funciones f2 y f4 como funciones definidas a trozos. b) ¿Por qu´e los dominios de f3 y de f7 son distintos? c) ¿Cu´al ser´a el dominio de la funci´on f2 ◦ f2 ? Obtener su expresi´on. 8.92 Sean f y g dos funciones reales de variable real mon´otonas. Probar que: a) Si f es (estrictamente) creciente, las funciones f (−x) y −f (x) son (estric.) decrecientes. b) Si f es (estrictamente) decreciente, las funciones f (−x) y −f (x) son (estric.) crecientes. c) Si f es (estric.) creciente y positiva, la funci´on

1 f (x)

d) Si f es (estric.) decreciente y positiva, la funci´on caso y en el anterior si la funci´on f es negativa?

es (estric.) decreciente.

1 f (x)

es (estric.) creciente. ¿Qu´e ocurrir´a en este

e) Si f y g son crecientes (decrecientes), f + g es creciente (decreciente). f) Buscar una funci´on f creciente y una g decreciente tales que f + g sea creciente; y otras para que f + g sea decreciente. g) Si g es creciente y f es creciente (decreciente), g ◦ f es creciente (decreciente). h) Si g es decreciente y f es creciente (decreciente), g ◦ f es decreciente (creciente). ¿Que ocurrira si la monoton´ıa de g es estricta? ¿Y si lo es la de f ? ¿Y si lo son ambas? 8.93 Usar los resultados del ejercicio anterior, para probar lo siguente: a) Probar que f (x) = b) Sabiendo que e crecientes.

x

1 x2 +1

es creciente en (−∞, 0) y decreciente en (0, +∞).

es esctirtamente creciente en IR y que x = eln x , probar que sh(x) y ln(x) son

c) Probar que f (x) =

x2 −1 x2 +1

es creciente en (0, +∞) y usarlo para probar que th(x) es creciente en IR .

8.94 Sea f : IR −→ IR , se dice que f es par si f (−x) = f (x), y que es impar si f (−x) = −f (x). a) Comprobar si sen x , cos x , tg x , sh x , ch x , th x y xn , para n = 0, ±1, ±2, . . . , son pares o impares. b) Si f es par y creciente en (0, +∞) , ¿ser´a tambi´en creciente en (−∞, 0)? c) Si f es impar y creciente en (0, +∞) , ¿ser´a tambi´en creciente en (−∞, 0)? d) ¿Que caracter´ıstica especial cumplen las gr´aficas de las funciones pares? ¿Y las de las funciones impares? Justificar la respuesta 8.95 Para las funciones que aparecen en el Ejemplo 190 anterior, dibujar su gr´afica y la de su inversa en los dominios indicados. Si una funci´on f : A −→ B es creciente (decreciente) en A , ¿dir´ıas que su inversa f −1 : B −→ A tambi´en es creciente (decreciente) en B ? Probarlo en el caso de creer que es cierto, o en el caso de creer que es falso, justificarlo con un ejemplo. 8.96 Sean las funciones f , g y h , funciones reales definidas por:  2 1 ½  2x − 2 , si x ∈ (−∞, −1] 1, si x ≤ 0 1 − x2 , si x ∈ (−1, 0) f (x) = ; ; g(x) = −1, si x > 0  3 1−x2 , si x ∈ [0, ∞)

( h(x) =

−x3 −1 2−x2 , 2

x +2 2x+4 ,

si |x + 1| ≤ 1 si |x + 1| > 1

a) Describir la casu´ıstica de f y h mediante la pertenencia de x a intervalos (como la funci´on g ) b) Describir la casu´ıstica de g y h mediante desigualdades de x (como la funci´on f ) c) Obtener su dominio y el de las funciones |f | , |g| , f +g y f ·h. d) Hallar las expresiones de |f | , |g| , f +g y f ·h, como funciones definidas a trozos. e) Encontrar el dominio y la expresi´on de las funciones compuestas f (x2 ) y g(2 − x). f) Encontrar el dominio y la expresi´on de las funciones g ◦ f y f ◦ g .

Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

I.T.I. en Electricidad