TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES. Definición: Una función es una relación entre dos variables x e y de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un único valor de la variable y. Se dice que y depende de x,y se escribe y=f(x), y es una función de x. X es la variable independiente e Y la dependiente. Una función puede venir dada de varias formas: por una tabla, por una gráfica, por su expresión analítica o algebraica (ecuación), o por un enunciado. Gráficamente una relación entre dos variables no será función si su grafica se “dobla” sobre si misma. Gráfica 1: es función.

ENUNCIADO TABLA

Gráfica 2: no es función.

EXPRESIÓN ANALÍTICA GRÁFICA

Definición: El dominio de definición de una función son los distintos valores que puede tomar la la variable x. Se representa en el eje x y, por supuesto es un subconjunto de R. Se calcula bien a partir de la gráfica, o bien partir de la expresión analítica. Se representa por la letra D. Definición: El recorrido o imagen de una función es el conjunto de valores que toma la variable y. Se representa por I o R y también es un subconjunto de R. Sólo se puede obtener a partir de la grafica de la función.

TIPOS DE FUNCIONES. Las funciones se clasifican según su expresión analítica. Encontramos los siguientes tipos de funciones: 1.- FUNCIONES POLINÓMICAS: su expresión algebraica es un polinomio f(x)=a+bx+cx2+dx3..... Su dominio es el conjunto de los Números reales D=R. Según el grado del polinomio pueden ser de grado cero, de primer grado, de segundo, etc.... Las funciones polinómicas son siempre continuas y derivables en todo su dominio que es R.

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1.1.- Función constante: es una función polinómica de grado 0 cuya expresión es f(x)= K. Su grafica es una línea recta paralela al eje x en el valor K del eje y. Representa las funciones y=30/6 e y=-2/3.

1.2.-Función Lineal: es una función polinómica de grado 1 cuya expresión es f(x)= mx con m no nulo. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen y cuya pendiente es m. Se puede representar a partir del valor de la pendiente. También se puede representar dando dos o tres valores en una tabla. Si la m0 sería creciente. Representa las funciones y=3x, y=-2x, y=5/2 x e y=-2/3x

1.3.- Función Afín: es una función polinómica de grado 1cuya expresión es f(x)= mx+n con m y n no nulos. Su gráfica es una línea recta que pasa por el punto (0,n) y cuya pendiente es m. Se puede representar a partir de la ordenada en el origen n, y el valor de la pendiente. También se puede representar dando dos o tres valores en una tabla. Si la m0 sería creciente. Representa las funciones y=3x, y=-2x, y=5/2 x e y=-2/3x

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1.4.-Función cuadrática: es una función polinómica de grado 2 cuya expresión es f(x)= ax2+bx+c con a no nulo. Su gráfica es una parábola abierta hacia arriba U si a>0, y hacia abajo en caso contrario. Para representarla se hallan los cortes con los ejes coordenados y el vértice al menos. Si es necesario se hará también una tabla dando valores que estén a ambos lados del vértice. Se puede tener en cuenta la simetría respecto del eje vertical que pasa por dicho vértice(eje de la parábola). Para hallar los cortes con el eje x imponemos la condición y=0 y resolviendo la ecuación obtendremos dos soluciones, una o ninguna. Estos puntos son de la forma (p,o). Para hallar los cortes con el eje y impondremos la condición x=0 obteniendo un valor de y, y=c, y el punto (0,c) Representa las funciones y= x2-4x+3; y= -x2+1; y=2x2+4x+4; y=-x2-4; y=x2-2x+1

El estudio y representación de funciones polinómicas de grado superior a 2 lo realizaremos más adelante. 3

2.- FUNCIONES EXPONENCIALES: su expresión analítica es de la forma f(x)=ax donde a es un número real a>0. Su dominio es el conjunto de los números reales D=R. Y el recorrido es R= (0, + ! ). Las funciones son continuas y derivables en todo su dominio que es R. Su gráfica es creciente si a>1 y decreciente si 0