Tema 1

Funciones reales de variable real Introducci´ on En este primer tema del Bloque de C´alculo tendremos como objetivo fundamental el recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.

1.1

Conceptos Generales

Definici´ on. Una funci´on real de variable real f : A → R es una correspondencia de A ⊂ R en R que asigne a todo x ∈ A a lo m´as un n´ umero real y = f (x). En esta primera parte del curso estudiaremos u ´nicamente funciones reales de variable real, de forma que escribiremos directamente “funciones” para referirnos a ellas. Definici´ on. Llamaremos Dominio de f , Dom f , al conjunto de elementos de A para los cuales existe f (x). Habitualmente consideraremos A = Domf , en tal caso f ser´a una aplicaci´on. Otra definici´on elemental es la del conjunto Imagen de la funci´on f , Imf : Imf = {y ∈ R/∃x ∈ A, f (x) = y} Ejemplo 1: La funci´on: f (x) = x2 est´a definida sobre todos los n´umeros reales, es decir Domf = R, pero su imagen la constituyen tan s´olo los n´ umeros reales no negativos: Im f = R+ .

Ejemplo 2: La “ra´ız cuadrada”, entendiendo por ra´ız cuadrada la funci´on que hace corresponder a cada x ∈ R+ los n´ umeros reales y tales que y 2 = x, no es, estrictamente hablando, √ una funci´on, pues a cada x ∈ R+ le asigna dos n´ umeros reales: f (x) = ± x. En esta situaci´on a veces se utiliza el t´ermino “funci´on bivaluada” para hacer referencia al hecho de que cada x ∈ Domf tiene dos im´agenes. En realidad, evidentemente, se trata de dos funciones diferentes: g(x) =

√ x

√ h(x) = − x

,

1

2

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Tenemos entonces que: Dom g =Dom h =R+ (ver figura 1.1 (izquierda)), mientras que Im √ g = R+ , e Im h = R− . Nota: utilizaremos siempre la notaci´on x para referirnos la ra´ız cuadrada positiva del n´ umero real x ∈ R+ . La ra´ız cuadrada negativa ser´a denotada por tanto: √ − x

Forma anal´ıtica, gr´ afica y tabular de presentar una funci´ on. Se dice que una funci´on y = f (x) est´a expresada en forma anal´ıtica si se define por la f´ormula que indica las operaciones que debemos realizar con todo valor del dominio de f para obtener el correspondiente valor de la imagen. En general, si no est´a especificado, se sobreentiende que el dominio de la funci´on es el conjunto de valores reales para los cuales la expresi´on anal´ıtica que define la funci´on toma s´olo valores reales y finitos. (Nota: la expresi´on o f´ormula no tiene por qu´e ser u ´nica, la funci´on puede estar definida “a trozos”). Se denomina gr´afica de una funci´on y = f (x) al conjunto de puntos que se obtienen tomando los pares de valores (x, f (x)) como coordenadas de un punto del plano. Una funci´on est´a expresada gr´aficamente si viene dada por su gr´afica. graf(f ) = {(x, y) ∈ R2 / y = f (x) } Una funci´on se dice prefijada en forma tabular si se indican los valores num´ericos de la funci´on para algunos valores de la variable x. Los hechos experimentales suelen estar descritos por este tipo de expresi´on. Ejemplo: La funci´on

{ f (x) =

x2 si x > 1 −2x + 3 si x ≤ 1

est´a definida en forma anal´ıtica a trozos. Su representaci´on gr´afica es la siguiente:

8 1.0

6

0.5

0.5

1.0

1.5

4

2.0

-0.5

2 -1.0

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 1.1: Izquierda: Gr´aficas de las funciones g(x) y h(x) del Ejemplo 2. Derecha: gr´afica de f (x). Como curiosidad, podemos citar que no todas las funciones reales de variable real admiten representaci´ on gr´afica, as´ı por ejemplo la funci´on de Dirichlet: D(x) = 1 si x es un n´ umero racional, y D(x) = 0 si x es irracional, no puede ser representada.

3

´ CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 1

Ejemplo: La funci´on f (x) dada por la tabla: xi = f (xi ) =

x0 0. f (x0 ) 1.5

x1 0.5 f (x1 ) 1.8

x2 1.0 f (x2 ) 2.1

x3 1.5 f (x3 ) 1.75

x4 2.0 f (x4 ) 1.3

s´olo es conocida para los valores especificados. En consecuencia s´olo podemos representar de forma exacta un n´ umero finito de puntos de su gr´afica: f HxL 2.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

x

Figura 1.2: Gr´afica de f (x). En general las funciones reales de variable real se suelen dividir en dos grandes grupos, funciones algebraicas y funciones trascendentes. Una funci´on f (x) es algebraica si es soluci´on de una ecuaci´on polin´omica: an (x)y n + an−1 (x)y n−1 + . . . + a1 (x)y + a0 (x) = 0 cuyos coeficientes: a0 (x), a1 (x), . . . , an (x) son a su vez polinomios. Obviamente no todas las funciones algebraicas son expresables con una f´ormula algebraica sencilla, pero a menudo nos bastar´a con esa identificaci´on, es decir, utilizaremos funciones algebraicas que se presentan por medio de una expresi´on que utiliza un n´ umero finito de operaciones aritm´eticas elementales (entendiendo por elementales la suma, la resta, la multiplicaci´on, la divisi´on, las potencias y la extracci´on de ra´ıces). Los polinomios, las funciones racionales y las irracionales son claramente algebraicas. Las funciones trascendentes son las no algebraicas, y por tanto nunca ser´an expresables por medio de un n´ umero finito de operaciones aritm´eticas (los ejemplos m´as conocidos son las funciones exponencial y logaritmo, las funciones trigonom´etricas circulares, etc.). Ejemplo: La funci´on exponencial f (x) = ex es trascendente, de hecho su expresi´on en t´erminos de operaciones aritm´eticas elementales es la siguiente: x2 x3 x4 ex = 1 + x + + + + ... 2 3! 4!

4

´ CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 1

que claramente envuelve un n´ umero infinito de las mismas. Otros ejemplos muy conocidos son:

1.2

sen x = x −

x3 x5 x7 + − + ... 3! 5! 7!

cos x = 1 −

x2 x4 x6 + − + ... 2! 4! 6!

Propiedades

1. Crecimiento y decrecimiento. Sea f : A → R (A=Domf ) y sea B ⊂ A. Entonces: f es creciente en B si ∀x1 , x2 ∈ B tales que x1 < x2 se verifica f (x1 ) ≤ f (x2 ). f es estrictamente creciente en B si ∀x1 , x2 ∈ B, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ). f es decreciente y estrictamente decreciente en B de maneras an´alogas. Los puntos en los que una funci´on pasa de ser creciente a ser decreciente (o vicecersa) son los m´aximos relativos (respectivamente m´ınimos relativos) de la funci´on. Ejemplo: La funci´on

  

x si x≤0 f (x) = 0 si 0 < x < 1   x − 1 si x≥1 es creciente pero no estrictamente creciente en R. En las regiones A1 = (−∞, 0] y A2 = [1, ∞), la funci´on es estrictamente creciente.

2

1

-2

1

-1

2

3

-1

-2

Figura 1.3: Gr´afica de f (x). 2. Concavidad y convexidad. Los conceptos de concavidad y convexidad de una funci´on pueden definirse de diferentes maneras, no siempre equivalentes, que se comentar´an en temas sucesivos. Desde un punto de vista geom´etrico, para una funci´on tal que su gr´afica en el intervalo (a, b) sea una curva continua, diremos que f (x) es c´oncava en (a, b) si dados dos puntos cualesquiera de la gr´afica el segmento que los une queda por encima de la curva. Si dicho segmento queda por debajo entonces la funci´on ser´a convexa. Con frecuencia se define funci´on c´oncava y convexa con el criterio exactamente contrario, por

5

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ello es habitual tambi´en llamar funci´on c´oncava hacia arriba y funci´on c´oncava hacia abajo a las funciones c´oncavas y convexas respectivamente. Los puntos en los que una funci´on cambia su concavidad por convexidad (y rec´ıprocamente) se denominan puntos de inflexi´on de la funci´on. Veremos en los pr´oximos temas que la concavidad y convexidad pueden caracterizarse por otros medios para el caso en el que la funci´on sea derivable (una o dos veces) en todos los puntos del conjunto considerado. 14

6

12 10

4 8 6

2

4

1

2

3

4

5

2

1

-2

2

3

4

5

Figura 1.4: Funci´on c´oncava hacia abajo (izquierda) y c´oncava hacia arriba (derecha). 3. Paridad e imparidad. Sea f : A → R, con Domf =A y tal que si x ∈ A ⇒ −x ∈ A. Entonces se define: f es una funci´on impar si ∀x ∈ A se verifica f (−x) = −f (x). f es una funci´on par si ∀x ∈ A se verifica f (−x) = f (x). La gr´afica de una funci´on par presenta una simetr´ıa con respecto al eje de ordenadas mientras que la de una funci´on impar es sim´etrica con respecto al origen de coordenadas. Ejemplo: La funci´on valor absoluto f (x) = |x| es un ejemplo sencillo de funci´on par. La funci´on g(x) = x3 − 3x es impar. 2.0

2

1.5

1

1.0

-2

1

-1

2

0.5

-1

-2

-1

1

2

-2

Figura 1.5: Gr´aficas de f (x) = |x| y g(x) = x3 − 3x. Ejemplo: La funci´on exponencial f (x) = ex no es ni par ni impar. Sin embargo la funci´on: ex + e−x , s´ı que es par, mientras que ex − e−x es impar, como puede comprobarse f´acilmente. Se

6

´ CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 1

definen las funciones coseno y seno hiperb´olicos de la forma: cosh x =

) 1( x e + e−x 2

,

senh x =

) 1( x e − e−x 2

7

3 6

2 5

1 4 3

-2

1

-1

2

-1

2

-2

1

-3 -2

1

-1

2

Figura 1.6: Gr´aficas de f (x) = ex (izquierda) y de cosh x y sinh x (derecha). 4. Acotaci´on. f es una funci´on acotada (en cualquier sentido) si Imf es un conjunto acotado (en el sentido respectivo) en R. Ejemplo: La funci´on antes representada: f (x) = |x|, est´a acotada inferiormente, pero no superiormente.

5. Periodicidad. f es una funci´on peri´odica si existe h ∈ R, h > 0, tal que: ∀x, x + h ∈ Domf

f (x) = f (x + h),

h recibe el nombre de periodo de la funci´on f . Ejemplo: Las funciones peri´odicas m´as conocidas son, sin duda, las trigonom´etricas circulares, es decir, el seno, el coseno y la tangente de un ´angulo. El periodo de las funciones seno y coseno es 2π radianes, mientras que el periodo de la tangente es π. cos(x + 2π) = cos x , ∀x ∈ R } {π + kπ, k ∈ Z tan(x + π) = tan x , ∀x ∈ R − 2

sen(x + 2π) = sen x ,

1

-Π

-

Π

Π

2

2

3Π

Π

2

2Π

5Π 2

3Π

-1

Figura 1.7: Gr´aficas de las funciones seno (trazo discontinuo) y coseno. Es evidente a partir de la gr´ afica que ambas son funciones acotadas, adem´ as el seno es una funci´ on impar mientras que el coseno es par.

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Ejemplo: La funci´on f (x) = x − E[x] es peri´odica de periodo 1. E[x] es la funci´on “parte entera”, es decir la funci´on que asigna a x el mayor n´ umero entero menor o igual a x (por ejemplo: E[1.8] = 1, E[4.782] = 4, E[−0.3] = −1, . . . ). 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -2

0

-1

1

2

3

Figura 1.8: Gr´afica de la funci´on f (x) = x − E[x]. 6. Composici´on de funciones. Dadas las funciones f : A → R y g : B → R, tales que A =Domf , B =Domg, Imf ⊂ B, se define la funci´on compuesta: g◦f :A→R de la forma g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ A. Ejemplo: Consideremos las funciones f (x) = x2 y g(x) = sen x, la composici´on de ambas ser´a diferente de manera obvia seg´ un el orden considerado, as´ı tendremos: f ◦ g(x) = f (g(x)) = (sen x)2 = sen2 x ,

g ◦ f (x) = g(f (x)) = sen x2

1 8

6

4

-Π

-

Π

Π

2

2

Π

2

-3

-2

1

-1

2

3

-1 1

1

-Π

-Π

-

Π

Π

2

2

Π

-

Π

Π

2

2

Π

-1

Figura 1.9: Gr´aficas de las funciones f (x) = x2 y g(x) = sen x (arriba), y gr´aficas de las composiciones f ◦ g y g ◦ f (abajo).

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7. Funci´on inversa. Sea f : A → R, con Domf =A, una funci´on inyectiva (es decir, tal que si f (x1 ) = f (x2 ), entonces x1 = x2 ), entonces existe y es u ´nica la funci´on h :Imf → R tal que h(f (x)) = x, ∀x ∈ A, a la que llamaremos funci´on inversa de f y denotaremos h = f −1 . Tambi´en es inyectiva y verifica f (h(x)) = x, ∀x ∈Domh=Imf . Ejemplo 1: La inversa de la funci´on exponencial: f (x) = ex es la funci´on logaritmo neperiano: h(x) = ln x, es decir: f (h(x)) = eln x = x ,

h(f (x)) = ln ex = x

3

2

1

-3

-2

1

-1

2

3

-1

-2

Figura 1.10: Gr´aficas de las funciones exponencial y logaritmo neperiano.

Ejemplo 2: La funci´on tangente no es inyectiva. Por ello su funci´on inversa, el arcotangente, no est´a bien definida, pues se trata de una funci´on multivaluada para cada x ∈ R. Si nos ( ) π limitamos a considerar f (x) = tan x en intervalo −π ı que est´a 2 , 2 , entonces h(x) = arctan x s´ bien definida como funci´on real de variable real (y recibe el nombre de Determinaci´on Principal del arcotangente). Ver figuras.

6 Π

4 2

-2 Π

-Π

Π

2Π

-4

2

-2

-2 -4

-Π

-6

Figura 1.11: Gr´aficas de las funciones tangente y arcotangente.

4

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Π

6

2

4 2

Π

-

Π

2

2

-4

2

-2

4

-2 -4 Π

-6

-

2

Figura 1.12: Gr´aficas de la tangente y de la determinaci´on principal del arcotangente.

1.3

Ap´ endice A. Notaci´ on y conceptos b´ asicos

Definici´ on. Se llama valor absoluto (o m´odulo) de un n´ umero real a al mismo n´ umero a si a es positivo, y al n´ umero −a si a es negativo; el valor absoluto de cero es cero. Denotaremos al valor absoluto de a por el s´ımbolo |a| (a veces se utiliza tambi´en la notaci´on: Abs(a)). Si α es mayor que cero, es evidente que la inecuaci´on: |x| ≤ α es equivalente a la relaci´on: −α ≤ x ≤ α. Propiedades: para cualesquiera n´ umeros reales a y b se verifica: • 1) |a.b| = |a|.|b| |a| a , (b ̸= 0) • 2) | | = b |b| • 3) |a + b| ≤ |a| + |b|, • 4) ||a| − |b|| ≤ |a − b|. Definici´ on. El conjunto de todos los n´ umeros reales x que satisfacen la condici´on: a ≤ x ≤ b, donde a < b, se denomina intervalo cerrado [a, b]. El conjunto de todos los n´ umeros reales x que satisfacen la condici´on: a < x < b, donde a < b, se denomina intervalo abierto (a, b). Es trivial definir, a partir de los conceptos anteriores, intervalos de la forma: [a, b), o (a, b]. Por otro lado, los intervalos pueden no ser finitos, as´ı por ejemplo: [a, ∞) = {x ∈ R / x ≥ a} y an´alogamente para (a, ∞), (−∞, b] y (−∞, b). Evidentemente toda la recta real se podr´a representar como el intervalo: R = (−∞, ∞). umeros reales est´a acotado superiormente Definici´ on. Se dice que un conjunto E de n´ (resp. inferiormente) cuando existe un n´ umero real b (resp. a) tal que para todo x ∈ E se verifica x ≤ b (resp. x ≥ a).

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Definici´ on. Se dice que un conjunto de n´ umeros reales E est´a acotado si lo est´a superior e inferiormente. L´ogicamente, un conjunto acotado est´a contenido en un intervalo cerrado [a, b]. El n´ umero real b (resp. a) de la anterior definici´on recibe el nombre de cota superior (resp. inferior) del conjunto E. Definici´ on. La menor de todas las cotas superiores de un conjunto de n´ umeros reales E recibe el nombre de supremo de E. Respectivamente, la mayor de las inferiores es el ´ınfimo de E. Si el supremo (resp. ´ınfimo) de un conjunto de n´ umeros reales pertenece a dicho conjunto, entonces se le llama m´aximo (resp. m´ınimo). Definici´ on. Dado un n´ umero real x0 , llamaremos entorno de x0 , E(x0 ) a todo intervalo abierto que contenga dicho punto. Se suelen utilizar entornos centrados en el punto x0 y de radio ϵ, es decir, de la forma: Eϵ (x0 ) = (x0 − ϵ, x0 + ϵ). Se denomina entorno reducido E ∗ (x0 ) del punto x0 a un entorno de x0 , E(x0 ) del cual se excluye al punto x0 . Definici´ on. Un punto x0 , perteneciente o no a un conjunto de n´ umeros reales E, se llama punto de acumulaci´on de E si todo entorno reducido de x0 contiene puntos de E. Definici´ on. Un punto x0 , perteneciente a un conjunto de n´ umeros reales E, se denomina punto interior de E si existe un entorno de x0 contenido completamente en E. Definici´ on. Un punto x0 , perteneciente a un conjunto de n´ umeros reales E, se denomina punto aislado de E si existe un entorno reducido de x0 que no contiene puntos de E.

1.4

Ap´ endice B. N´ umeros Complejos

Aunque en esta asignatura se estudia el C´alculo para funciones reales de variable real, con frecuencia es necesario utilizar algunos conceptos b´asicos de los n´ umeros complejos. Por ello incluiremos un breve ap´endice sobre los mismos. Desde un punto de vista formal se puede definir el conjunto C de los n´ umeros complejos como el conjunto de parejas de n´ umeros reales: (x, y) ∈ R × R, en el que se han definido las operaciones: • Suma:

• Producto:

(x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + x′ , y + y ′ )

(x, y) · (x′ , y ′ ) = (xx′ − yy ′ , xy ′ + x′ y)

Sin embargo es m´as u ´til en la pr´actica utilizar la notaci´on que se deriva de considerar el concepto de unidad imaginaria (introducido por Leonhard Euler en 1777): Definiremos

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la unidad imaginaria i como un objeto matem´atico que verifica: i2 = −1. Obviamente no se trata de un n´ umero real. Llamaremos entonces n´ umeros imaginarios (o n´ umeros imaginarios puros) a los de la forma: a i, siendo a un n´ umero real cualquiera. Informalmente podemos entonces definir los n´ umeros complejos como las “sumas” de n´ umeros reales e imaginarios. Por ejemplo: z = 2 + 3 i. Desde este punto de vista, la suma de dos n´ umeros complejos: z = x + y i y z ′ = ′ ′ x + y i, ser´a: z + z ′ = (x + yi) + (x′ + y ′ i) = x + x′ + (y + y ′ ) i Mientras que el producto: z · z ′ = (x + yi) · (x′ + y ′ i) = xx′ + xy ′ i + yx′ i + yy ′ i2 = xx′ − yy ′ + (xy ′ + x′ y) i donde se ha tenido en cuenta que por definici´on: i2 = −1. La identificaci´on de las dos definiciones es obvia: (x, y) ≡ x + y i, y entonces todas las operaciones coinciden trivialmente en ambas versiones, como pod´ıa esperarse. Para todo n´ umero complejo z = x + y i ∈ C se define su parte real: Re(z) = x y su parte imaginaria: Im(z) = y. Los n´ umeros reales pueden verse entonces como n´ umeros complejos de parte imaginaria nula, es decir: x = x + 0 i, mientras que los n´ umeros imaginarios puros son los n´ umeros complejos de parte real nula: y i = 0 + y i. Para todo n´ umero complejo z = x + y i se define su complejo conjugado como el n´ umero complejo z¯ (o z ∗ ) tal que tiene la misma parte real pero parte imaginaria opuesta, es decir: z = x+yi , z¯ = x − y i Obviamente z¯ = z. De igual manera que los n´ umeros reales los representamos habitualmente por una recta (“la recta real”), los n´ umeros complejos se representan en un plano: “el plano complejo”. Para ello basta con tomar unos ejes cartesianos en el plano e identificar la abscisa con la parte real del n´ umero complejo y la ordenada con la parte imaginaria. De esta forma a cada n´ umero complejo le corresponde un u ´nico punto del plano, que suele llamarse el afijo del n´ umero complejo. Si se introducen las coordenadas polares en el plano complejo (ver Figura 1.13): • M´odulo de un n´ umero complejo: r = distancia del afijo al origen de coordenadas. √ ∀z = x + y i ∈ C ⇒ |z| = r = x2 + y 2 • Argmento de un n´ umero complejo: φ = ´angulo formado por el segmento que une el afijo y el origen con el eje de abscisas positivas. y ∀z = x + y i ∈ C ⇒ Arg(z) = φ = arctan x

12

´ CALCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 1

2

1

r j 1

-1

2

3

-1

Figura 1.13: Afijo del n´umero complejo: z = 1 + 2i. tendremos la posibilidad de representar los n´ umeros complejos en forma polar o trigonom´etrica: x = r cos φ ,

y = r sen φ

z = x + y i = r (cos φ + i sen φ) Definiremos finalmente la exponencial imaginaria en la forma1 : ei φ = cos φ + i sen φ y as´ı: z = x + y i = r (cos φ + i sen φ) = r ei φ Comentario: utilizando las definiciones anteriores es f´acil comprobar la validez de la F´ormula: ei π + 1 = 0 conocida como la “Identidad de Euler”. Esta identidad es de una simplicidad sorprendente y relaciona en una u ´nica expresi´on a cinco de los n´ umeros m´as relevantes de la ciencia: 0, 1, e, π e i. Ha sido elegida varias veces a lo largo de la historia como la f´ormula m´as bella de las Matem´aticas. 1

Evidentemente no se trata de una definici´ on arbitraria. N´ otese que si en la f´ ormula anal´ıtica de la exponencial antes introducida se sustituye x por i x se obtiene: ( ) ix i2 x2 i3 x3 i4 x4 x2 x4 x3 x5 ei x = 1 + + + + + ... = 1 − + + ... + i x − + + ... 1! 2! 3! 4! 2! 4! 3! 5! donde reconocemos de manera inmediata las expresiones anal´ıticas de las funciones seno y coseno, as´ı por tanto: ei x = cos x + i sen x